unidad ii complejos y logaritmos

16

87LOS NUMEROS COMPLEJOS

Concepto de número imaginario. Como en el conjunto de los números reales, por ejemplo la ecuación

x2+1 , no tiene solución, es necesario ampliarlo; ya que, √−1 no es real.

Se acostumbra poner i = √−1 , i se llama unidad imaginaria.

A las raíces de los x∈ℜ se los llama números imaginarios; en general:

∀ x ∈ℜ+se tiene que √-x=i√ x

el conjunto de todos los números imaginarios denotaremos con la letra Y, por lo tanto:

Y= {ih/ i=√−1 , h∈ℜ}

Potencies de i.

Sea: h un número imaginario, n∈Z++, se define como:

h" =h n-1h; h° = 1 siendo h = 0

Aquí cumplen las propiedades algebraicas:

hm+n=hm hn

hmn=(hm )n

Concepto de numero complejo:

Un numero complejo es un numero de la forma a + bi, con a ,b∈ℜ e i=√−1Se llama conjunto de los números complejos y se denota por C, a la siguiente expresión:

C={a+bi /a , b∈ℜ; i=√−1 } Los números complejos de la forma (0, b) son llamados imaginarios puros.

Vamos a demostrar la propiedad de la multiplicación por un escalar α ∈ℜ

α (a , b )=( αa,αb )

Para eso escribimos el número real a en la forma (a , 0) y aplicamos la definición de multiplicación

α ( a, b ) = (α , 0) (α , b) = (α a - 0b, α b + 0a) = (α a, α b) .

Denotaremos el número complejo (0,1) con la letra i y lo llamaremos unidad imaginaria. Es fácil demostrar que i2 = -1

i2 = (0,1)2 = (0,1) (0,1) = (0(0) -1(1) , 0(1) + 1(0) ) = (-1, 0) = -1

Forma binómica de u n número com p l e jo

Sea z = (a , b) un número complejo. Entonces podemos escribirlo en la forma: z = (a , b) = (a, 0) + (0, b) = a (1, 0) + b (0,1)

Pero como (1, 0) = 1 y (0,1) = i, entonces (a, b) = a + bi . En este caso a + bi se llama forma binómica o

Msc. Alberto Pazmiño O.

17

binomia del número complejo.Representación grafica

El numero complejo Z = a + bi, se dice que esta expresado en forma rectangular, Si:

a se llama parte entera de Z y se denota por a = Re(Z) b se llama parte imaginaria de Z y se denota por b = lm(Z)

El conjunto de los números de la forma Z = a + 0i es isomorfo a R; por eso se dice que ℜ⊂C

Z = a +bi se lo puede representar en R2 mediante el siguiente modelo geométrico, esto es representamos el vector Z =(a, b) así:

y

b Z(a,b)

0 a x

Definición 1. Sean Z = a + bi y W =c + di, se dice que Z = W, ⇔a =c y b= d.

Se acepta porque en R la relación de igualdad existe y es de equivalencia.

Ejemplos:

Verificar si los siguientes números complejos son iguales.

1. x-2+4yi = 3 + 12i Entonces; x-2 y 3, partes reales 4yi y 12i partes imaginarias x-2 = 3, x = 5

Definición 2. Sean Z = a + bi por lo tanto tenemos que:

Se llama complejo nulo o cero al complejo z = 0+ 0i Se llama opuesto de z al complejo -z = -a-bi Se llama conjugado de z y se denota z al complejo z̄ = a –bi

Se llama módulo de z y se denota ⌊ z ⌋ al número real no negativo

⌊ z ⌋=√a2+b2

Operaciones en C


18

Con los números complejos se pueden efectuar operaciones de suma, resta, multiplicación, división y potencia, cuando el numero está en la forma z = a + bi, o w = c + di

Suma y multiplicación de números complejos en la forma binómica

x :C+C ⇒ / ( a + bi ) + (c + di ) = ( a + c ) + (b + d ) i , puesto que a, b, c, d son todos números reales.

x :CxC ⇒ / ( a + bi ) (c + di ) = ac + adi + bci + bdi 2 = ( ac - bd ) + ( ad + bc ) i por que i2 = -1 .

Resta o sustracción:

-: CxC⇒ / (a +bi) - (c + di) = (a-c) + (b-d)i

Cociente o División

¿ :CxC⇒/ a+bic+di

=( a+bic+di ).( c−di

c−di )=ac+bd+(−ad+bc ) ic2+d2

=ac+bd+(−ad+bc ) i

|z|2

Potenciación:

x : Cn ⇒ / (a + bi)n =(a + bi) (a + bi) (a + bi)….. (a + bi)n-1

ACTIVIDAD

Efectué las siguientes operaciones indicadas. 1. Dados los números complejos z = (3, 2) y w = (-1, -4) , halle: Hallar:

a) z+w ; z−w ; z .w y z /wb) 3z -2w

c) z2

d) z3

2. Muestre que (0, 0) es el elemento neutro para la suma de números complejos.

3. Muestre que (1, 0) es el elemento neutro para la multiplicación de números complejos.

4. Calcule:

a) (a) i3 , (b) i4 , (c) i5

5. Calcule:

(a) i4 n , (b) i4 n +1 , (c) i4 n + 2 ,

6. Verifique que uv y uv son conjugados.

7. Resuelva la ecuación cuadrática x2 + 3x + 3 = 0


19

8. Resuelva la ecuación cuadrática 2 x2 + 4x + 5 = 0 .

Sistema de coordenadas polares

Sea P(a , b) el punto de R2 asociado al complejo z = a + bi; esto es: y

b P(a,b)

r

θ 0 a x

Se llama modulo de z y se denota ⌊ z ⌋ al número real no negativo

r=⌊z ⌋=√a2+b2

Sea θ el ángulo formado por el semieje positivo 0x y el vector OP el Argumento de z.

Definición 1. Se llaman coordenadas polares de z a la pareja (r, θ ).

Al valor de θ entre 0 y 2π se llama valor principal.

Del grafico anterior, sabemos por trigonometría que:

a = rcos θ ; b = r sen θ ; Luego, se tiene

Z = rCosθ + irSenθ = r (Cosθ +iSenθ )

Definición 2. Se llama forma trigonométrica o polar del número complejo z a la siguiente:

z= r (Cos θ + iSenθ ) (forma sencilla)

z = r(cos(θ + 2kπ )+ iSen(θ +2kπ )) (forma más general)

ACTIVIDAD

1. Expresar en forma polar los siguientes números complejos:

a) z=(−1 , −i√3 )

b) w=(√3+i )


20

2. Efectuar en forma analítica, polar y grafica la operación: (2+6i)+ (5 + 3i)

Potenciación

Para calcular la n-esima potencia de un número complejo es preciso aplicar reiteradas veces la regla de la multiplicación.

[{Cosθ + i senθ }n = rn(Cosnθ + i Sen nθ ),

Conocida como la fórmula de De Moivre.Es decir la relación también es válida para exponentes enteros negativos. La regla de potenciación de un número complejo es la siguiente:“Para elevar a la potencia n un numero complejo dado en su forma trigonométrica se ha de elevar a la mencionada potencia el modulo de tal número, mientras que el argumento se ha de multiplicar por el valor n .”

Ejemplo:

1. Elevar a la potencia 8 el número complejo z=(√3−i) .

El módulo de z es igual a 2 y su argumento principal θ=−π

6

El módulo de z8 es 28 y el argumento vale 8θ=8(− π

6 )=− 4π3

Por consiguiente:

z=(√3−i)8=28[Cos(− 4π

3 )+iSen(−4 π3 )]

Radicación

El numero z se llama raíz de orden n del numero complejo w si zn = w.

A la raíz n-esima se le designa por n√w

Si w = 0, entonces cualquiera que sea n, la ecuación zn = w tiene una sola solución z= 0

Si w≠0 , entonces z≠0 , consecuentemente tanto w como z se pueden representar en la forma trigonométrica.

z=r (Cos θ+iSenθ )w=s (Cos φ+iSen φ )

La ecuación zn = w toma la forma

z=w=r n (Cos nθ+iSen nθ )=s (Cos φ+iSen φ )

Como dos números complejos son iguales si y solo si son iguales sus módulos y sus argumentos difieren en un número múltiplo de 2n, podemos escribir


21

rn=s , nθ=φ+2 πk

O también: r=n√s , θ=φ+2 πk

n siendo k ∈Z

De este modo, el resultado de la radicaci6n se escribe de la siguiente manera:

z=n√ s[(Cos (φ+2 πkn )+iSen (φ+2 πk

n ))]Donde

n√s es el valor aritmético de la raíz.Si en esta expresión damos al número k los valores de 0, 1,..., n -1, obtenemos la siguiente n valores de la raíz:

Si k=0→Z0=n√s [(Cos (φn )+iSen (φn ))]

Si k=1→Z1=n√s [(Cos (φ+2π

n )+iSen (φ+2πn ))]

Si k=2→Z2=n√s [(Cos (φ+4 π

n )+iSen (φ+4 πn ))]

. .. .. . .. .. . .. .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. .. . .. .. .

Si k=n-1→Zn=n√s [(Cos (φ+2 (n−1 ) π

n )+iSen (φ+2 (n−1 ) πn ))]

Es fácil comprobar que zn=z0; es decir, hay exactamente n raíces de orden n de w.

Todas las raíces de orden n del numero w tienen igual modulo n√s pero distintos argumentos, que difieren en

un sumando múltiplo de

2 πn . De aquí que los números complejos que son las raíces de orden n del numero

complejo w corresponden a los puntos del plano complejo situados en los vértices del polígono regular inscrito

en la circunferencia de radio n√s , con centro en el origen de coordenadas.

y

z2

z1 x


22

z3

ACTIVIDAD

a. Hallar los valores de z=3√−27

b. Hallar los valores de z=3√−125

c. Hallar los valores de z=4√−16

d. Hallar los valores de z=3√8

CAPITULO II

FUNCIONES

¿Qué es una función?

Una función es como una máquina: tiene una entrada y una salida.

Y lo que sale está relacionado de alguna manera con lo que entra.

FUNCION LOGARITMICA Y EXPONENCIAL

FUNCION EXPONENCIAL. Las funciones exponenciales se presentan en campos muy diversos como biología, administración, economía, química, física e ingeniería.

Si b > 0, entonces a cada número real x corresponde un número real único bx

. Esto lleva a la siguiente definición.


23

DEFINICIÓN. Si b > 0 y b≠ 1 , entonces la función exponencial de base b es la función f definida por:

El dominio de f es el conjunto de números reales y el contra dominio es el conjunto de números positivos.

PRIMER CASO: La función toma la forma de: y=ax. Si número real positivo a > 1, entonces a = 2,

y=2x

La siguiente tabla muestra valores racionales de x con sus correspondientes valores de funciones.

En la figura se ve el trazado de la gráfica de y=2x

SEGUNDO CASO: Si b < 1, y= bx

Un ejemplo será entonces si b = 1/2, la función toma la forma de: y=( 1

2 )x

La siguiente tabla muestra valores racionales de x con sus correspondientes valores de funciones.


f ( x )= y=bx

x y=2x

-3 1/8-2 1/4-1 1/20 11 22 43 80,5

1,4

y=( 12 )

x

x

-3 8-2 4-1 20 11 ½2 1/43 1/8

y=( 12 )

x

24

Observación: La función exponencial es siempre positiva para todos los valores de x.

A cada valor de x corresponde un solo valor de y, y viceversa. Si a >1 la función exponencial es creciente. Si a <1 la función exponencial es decreciente.

Las asíntotasEn la gráfica de la función f(x)=k/x se puede observar como las ramas de la hipérbola se aproximan a los ejes de coordenadas, son las asíntotas.Cuando la gráfica de una función se acerca cada vez más a una recta, confundiéndose con ella, se dice que la recta es una asíntota.Aunque estas rectas pueden llevar cualquier dirección en el plano aquí nos limitaremos a las:Asíntotas verticales. La recta x=a es una asíntota vertical de la función si se verifica que cuando el valor x tiende al valor a, el valor de f(x) tiende a valores cada vez más grandes, f(x)→+∞,ó más pequeños, f(x)→-∞.Asíntotas horizontales. La recta y=b es una asíntota horizontal de la función si se verifica que cuando x→+∞ ó x→-∞, el valor

Asíntota vertical x=1x→1+ (por la derecha) f(x)→+∞x→1- (por la izquierda) f(x) →- ∞o Asíntota horizontal y=1x→+∞ f(x) → 2x→- ∞ f(x)→ 2

LOGARITMO : Se llama logaritmo de un número real, positivo, N en base a a otro número x real, positivo y diferente de 1, al número x que es el exponente al que hay que elevar la base a para obtener el número dado N

“El logaritmo del número N, en base a igual a x”, se expresa mediante la siguiente simbología:


Decrece +∞Crece −∞

25

⇔

La función logarítmica es función inversa de la función exponencial.

Ejemplos:

Exprese en notación logarítmica las siguientes notaciones exponenciales.

a) 35=243→Log3 243=5

b) 3√27=3→3

13=27→Log327=

13

Las siguientes notaciones logarítmicas escriba usando notación exponencial.

a) Log2 8=3→23=8

b) Log6 216=3→63=216

Halle el logaritmo que se indica

a ) Log10 1000=x→10x=1000

10x=103

x=3

b ) Log16 8=x→16x=8

24 x=23

4 x=3

x=34

Propiedades:

La observación de los gráficos anteriores, sugiere las siguientes propiedades.

1.la función es positiva para todos los valores de X >1 y negativa para todos los valores de X comprendidos entre 0 y 1.

2.La función es creciente, esto es, a medida que crece un número crece su logaritmo.

3.A cada número corresponde un solo logaritmo.

4.El logaritmo de 0 (cero) no está definido : log b 0 =

5.Si un número aumenta, también aumenta su logaritmo; si el número tiende al su logaritmo también.


número Loga N=xbase exponente

ax=N

26

6.El logaritmo de la base es siempre 1 (uno); log b b = 1 b 1 =b.

7.El logaritmo de 1 es 0 ; o sea : log b 1 = 0 b 0 =1.

Propiedades Fundamentales o teoremas.

Las propiedades fundamentales de los logaritmos son las siguientes:

1. log a M.N = log a M + log a N

Teorema1.- “El logaritmo del producto de dos o más números es igual a la suma de los logaritmos de sus factores en esa misma base”

Demostración: Sea: log a M = m y log a N = n

a m = M y a n = N

a m . a n = M.N

a m + n = MN

log a MN = m + n

Análogamente se puede demostrar las siguientes propiedades.

2. log a M/N = log a M - log a N

3. log a M k = k. log a M

4. log a n√M = log a M 1 / n = (1/n) log a M

Ejemplos:

Aplicar las propiedades de los logaritmos a los siguientes ejemplos.

Log (11 x8 )=Log 11+Log 8

Log

9317

=Log 93−Log 17


Log23√36 x12=Log2 (36 x 12 )

13

=13

Log2 (36 x 12 )

=13 [Log2 36+ Log2 12 ]

=13

Log2 36+13

Log2 12

27

Ecuaciones Exponenciales y Logarítmicas

Se llaman ecuaciones exponenciales, aquellas que contienen la incógnita o las incógnitas en algún exponente.

Son ecuaciones exponenciales:

3x=202x+ y=4x

5x+1+25x=750

Según como representan las ecuaciones exponenciales, éstas generalmente se resuelven aplicando las propiedades de los logaritmos.

Por lo tanto una ecuación se llama Logarítmica, cuando contiene el logaritmo de la incógnita.

Por lo tanto al resolver ecuaciones exponenciales, podemos aplicar los siguientes pasos según sea el caso.

1ro. Igualando ambos miembros a una misma base. a x = k a =k =# (+s) y a 1

2do. Formando y resolviendo como trinomios. ax 2+bx+c=0

3ro. Mediante la aplicación de logaritmos, dándonos ecuaciones logarítmicas

Si : ax=k⇒Logax=Logk xLoga=Logk

x=LogkLoga

Ejemplos:

Resolver las ecuaciones siguientes..

2x=64→2x=26

x=6


Log (23 x 32 x5 )=Log 23+Log 32+Log 5 =3 Log 2+2Log 3+Log 5

63 x=120→Log 63 x=Log 1203 xLog 6=Log120

x=Log 1203 Log 6

x=0 ,8906 . .. ..

28

ACTIVIDAD

A. Exprese en notación logarítmica las siguientes notaciones exponenciales.

1. a) 25=32 ; b)

5−2= 125

; c)

( 13 )

−2

=9 ; d) 6

12=√36 ;

2. a) 8134=27 ; b)

64−2

3=1

16; c)

( 13 )

0

=1 ; d)

625−3

4= 1125

;

B. Las siguientes notaciones logarítmicas escriba usando notación exponencial.

1. a) log10 10000=4 ;

b) c) log1

3

9=−2

2. a) log322=1

5;

b) log1

2

64=−6 c)

log1618=−3

4

C. Obtenga el valor del logaritmo...

1. a) log 8

12 b)

log 3 81 c) log 21

2. a) log10 10000

b) log3

181 c)

log14

132

3. a) log322

b) log7 7

c) log8

12

D. Resuelva la ecuación en términos de x o de b

1. a) log2x=3

2 b)

log 14

x=72

c) log1

3

x=−4

2. a) log 3 x=2

3 b)

log 19

x=52

c) log b 144=2

3. a) log b6=1

3 b) logb3=1

4 c) log b 0 , 01=−2


;3

12log8

2x+4 x=7222 x+2x−72=0(2x+9 ) (2x−8 )=02x=−9 notiene solución2x=82x=23

x=3

29

4. a ) logb

14=−2

3 b) logb27=−3

c) log b0 , 001=−3

2 E. Simplifique la expresión

1. a) log 6 ( log5 5 ) b)

log 2( log9 81 ) c) log5 (log2 32 )

2. a) log 2( log3 81 ) b)

log 2( log2256 ) c) log b ( logb b )

F. Aplicar las reglas de los logaritmos en los siguientes ejercicios:

1. log (11 x 3) = log 11 + log 3 7. log (7 x 15 x 19)= log7 + log 15 + log 19

3. log 5 300 / (7 x 61)= 8. log (415 x 313) / (29 x 17)=

4. log 5√43 x78 = 9. log √P(P−a)(P−b)(P−c )=

5. log ab3c2 / √a2−b2 = 10. log

(a−b )2√a2−b2

(a+b)3√( a+b )2 =

6. log 5√a3 3√b2√c = 11. log

(a /b)2/3 .√2 a . 3√c

d2√c =

G. Expresar cada uno de los siguientes ejercicios mediante un solo logaritmo

1. log 2 + log 6 = log 2 x 6=

2. log A – log B – log C =

3. log O – (¼) log a + 2 log S =

4. log 7 + log 12 – log 16 =

5. 5 log 6 - 4 log 2 + 3 log 6 – 2 log 8 =

6. m log Q + n log R – r log S =

7. a log b – c log d + e log f =


30

H. Dados el valor de los logaritmos; Hallar el logaritmo deseado.

1. Sea log 3 = 0.4771213 y log 2 = 0.30103 . deducir el log de 75

2. Sea el log de 2 = 0.30103 ; hallar el logaritmo de √1.25

3. Conociendo el log 5 = 0.69897, hallar el logaritmo de 250

4. sabiendo que log 3 = 0.4771213 y log 4 = 0.60206 ; hallar el logaritmo de 48

5. dado log 2 = 0.30103 ; hallar el logaritmo de 10.

I. Resolver las siguientes ecuaciones exponenciales:

1. 4 x+1 = 5

x−2

2. 3x2+5=36x

3. 2x = 64

4. 3x+1+9x=108

5. 2x+3+4 x+1=320

6. 2x+3−4x+1=320

7. log 6 (x 2 + 2x + 15) - log 6 (x + 2) = 1

8. 3x+1+3x−2−3x−3+3x−4=750

9. 32 x . 56 x−7=9x−2 .71− x

10. log 4 8+ log 4 (x + 5) =2

11. (2 log x)log 100 + log 2 log x – 4.29273297 = 0


31

12. log √ x+14+ log√ x+7−log1 .2=1

Inecuaciones Exponenciales y Logarítmicas

Inecuaciones Exponenciales

Se presentan únicamente las formas:

Nf ( x ) > Ng( x )

N

f ( x ) < N

g( x )

Tanto en f (x) como g(x); x ∈ R; además N ∈ R

Si: Nf ( x ) > Ng( x ) f(x) > g(x) ; siempre que N > 1 (el sentido no cambia)

Ejemplos:

Resolver las siguientes inecuaciones

1.

Resolviendo; la solución será

x ∈ ( −∞, −2) U (6, +∞)

Inecuaciones Logarítmicas

Debemos recordar previamente que si:

log b N=x⇔ N=b x

Además de las siguientes propiedades del logaritmo:

a. log a M.N = log a M + log a N

Teorema1.- El logaritmo del producto de dos o más números es igual a la suma de los logaritmos de sus factores en esa misma base

Demostración: Sea log a M = m y log a N = n a m = M y a n = N


4xx+2 <8

x−2x+2

(22 )xx +2

<(23 )x−2x+ 2

(2 )2 xx+2

¿ (2 )3 x−6x+2

2 xx+2

−3 x−6x+2

<0

32

a m . a n = M.Na m + n = MNlog a MN = m + n

b. log a M/N = log a M - log a N

c. log a M k = k. log a M

d. log a n√M = log a M 1 / n = (1/n) log a M

Tener en cuenta que:

1) Los logaritmos sólo se extraen a números reales.

2) La base de un logaritmo no puede ser menor que cero(tampoco cero)

Se presentan entonces dos casos:

I CASO: La base b es mayor que 1.

a) Los números mayores que 1 tienen logaritmo positivo

b) Los números fraccionarios (entre 0 y 1) tienen logaritmo negativo Por ello; dados x, y ∈ R

si :b>1∧0< x< y⇒ logb x< logb yluego :si : x>0 ;b>1⇒ logb x>N ⇒ x>bN

x>0 ;b>1⇒ logb x<N⇒ x<bN

II CASO: La base b es 0 <b <1

a) Los números mayores que 1 tienen logaritmo negativo

b) Los números fraccionarios (entre 0 y 1) tienen logaritmo positivo.Por ello; dados x, y ∈ R

si :b>1∧0< x< y⇒ logb x< logb yluego :si : x>0 ; 0<b<1⇒log b x>N⇒0<x<bN

x>0 ; 0<b<1⇒ logb x<N⇒ x>bN

Ejemplos:

Resolver las siguientes inecuaciones

1.


2 log8 ( x−2 )−log8 ( x−3 )>23

log8[ ( x−2 )2

x−3 ]>23

. .. .. .∗

En (¿ )(x−2 )2

x−3>0 ∧

( x−2 )2

x−3>8

23

x≠2 , x−3>0 ∧( x−2 )2

x−3>4

x≠2 , x>3 ∧( x−2 )2

x−3−4>0

∧( x−2 )2−4 ( x−3 )x−3

>0

∧ x2−4 x+4−4 x+12x−3

>0

∧ x2−8 x+16x−3

>0

∧( x−4 )2

x−3>0

∧x-3>0; x≠4 x≠2, x>3 ∩ x>3 ; x≠4 ∴ x∈ (2,3 ) ∪ (4,+∞ )

33

Funciones: Inyectiva, Biyectiva y Sobreyectiva

Definiciones formales

Inyectiva

Una función f es inyectiva si, cuando f(x) = f(y), x = y.

Ejemplo: f(x) = x2 del conjunto de los números naturales a es una función inyectiva.

(Pero f(x) = x2 no es inyectiva cuando es desde el conjunto de enteros (esto incluye números negativos) porque tienes por ejemplo

f(2) = 4 y f(-2) = 4)

Nota: Inyectiva también se llama "uno a uno", pero esto se confunde porque suena un poco como si fuera biyectiva.

Sobreyectivo (o también "epiyectivo")

Una función f (de un conjunto A a otro B) es sobreyectiva si para cada y en B, existe por lo menos un x en A que cumple f(x) = y, en otras palabras f es sobreyectiva si y sólo si f(A) = B.

Así que cada elemento de la imagen corresponde con un elemento del dominio por lo menos.

Ejemplo: la función f(x) = 2x del conjunto de los números naturales al de los números pares no negativos es sobreyectiva.

Sin embargo, f(x) = 2x del conjunto de los números naturales a no es sobreyectiva, porque, por ejemplo, ningún elemento de va al 3 por esta función.


2 log8 ( x−2 )−log8 ( x−3 )>23

log8[ ( x−2 )2

x−3 ]>23

. .. .. .∗

En (¿ )(x−2 )2

x−3>0 ∧

( x−2 )2

x−3>8

23

x≠2 , x−3>0 ∧( x−2 )2

x−3>4

x≠2 , x>3 ∧( x−2 )2

x−3−4>0

∧( x−2 )2−4 ( x−3 )x−3

>0

∧ x2−4 x+4−4 x+12x−3

>0

∧ x2−8 x+16x−3

>0

∧( x−4 )2

x−3>0

∧x-3>0; x≠4 x≠2, x>3 ∩ x>3 ; x≠4 ∴ x∈ (2,3 ) ∪ (4,+∞ )

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Biyectiva

Una función f (del conjunto A al B) es biyectiva si, para cada y en B, hay exactamente un x en A que cumple que f(x) = y

Alternativamente, f es biyectiva si es a la vez inyectiva y sobreyectiva.

Ejemplo: La función f(x) = x2 del conjunto de números reales positivos al mismo conjunto es inyectiva y sobreyectiva. Por lo tanto es biyectiva.

(Pero no desde el conjunto de todos los números reales porque podrías tener por ejemplo

f(2)=4 y f(-2)=4


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FUNCION CUADRATICA


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Definición

Una función cuadrática es aquella que puede escribirse de la forma:

f(x) = ax2 + bx + c

Donde a, b y c son números reales cualesquiera y a distinto de cero.

Si representamos "todos" los puntos (x,f(x)) de una función cuadrática, obtenemos siempre una curva llamada parábola.

Como ejemplo, ahí tienes la representación gráfica de dos funciones cuadráticas muy sencillas:

f(x) = x2

f(x) = -x2

Obtención del vértice de una parábola

El vértice de una parábola está situado en el eje de ésta y, por tanto, su abscisa será el punto medio de las abscisas de dos puntos de la parábola que sean simétricos.Como toda función cuadrática pasa por el punto (0,c) y el simétrico de éste tiene de abscisa x = -b/a, la del vértice será Xv = -b/2a. La ordenada Yv se calcula sustituyendo el valor de Xv en la ecuación de la función.

Intersección de la parábola con los ejes

Intersección con el eje OY: Como todos los puntos de este eje tienen la abscisa x = 0, el punto de corte de la parábola con el eje OY tendrá de coordenadas (0,c)

Intersección con el eje OX: Como todos los puntos del eje OX tienen la ordenada y = 0, para ver estos puntos de corte se resuelve la ecuación de segundo grado: ax 2 + bx + c = 0 .

Dependiendo del valor del discriminante (D) de la ecuación, se pueden presentar tres situaciones distintas:

i. Si D > 0, la ecuación tiene dos soluciones reales y distintas y la parábola cortará al eje OX en dos puntos.

ii. Si D = 0, la ecuación tiene una solución real y, por tanto, la parábola cortará al eje OX en un punto (que será el vértice).

iii. Si D < 0, la ecuación no tiene soluciones reales y la parábola no cortará al eje OX.

Resumen

Toda función cuadrática f(x) = ax2 + bx + c, representa una parábola tal que:

Su forma depende exclusivamente del coeficiente a de x2. Los coeficientes b y c trasladan la parábola a izquierda, derecha, arriba o abajo. Si a > 0, las ramas van hacia arriba y si a < 0, hacia abajo.


http://thales.cica.es/rd/Recursos/rd99/ed99-0416-02/cortes.htm





http://thales.cica.es/rd/Recursos/rd99/ed99-0416-02/corteOX.htm

http://thales.cica.es/rd/Recursos/rd99/ed99-0416-02/definicion.htm

http://thales.cica.es/rd/Recursos/rd99/ed99-0416-02/definicion.htm

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Cuanto más grande sea el valor absoluto de a, más cerrada es la parábola. Existe un único punto de corte con el eje OY, que es el (0,c) Los cortes con el eje OX se obtienen resolviendo la ecuación ax2 + bx + c = 0, pudiendo ocurrir

que lo corte en dos puntos, en uno o en ninguno. La primera coordenada del vértice es Xv = -b/2a.


unidad ii complejos y logaritmos

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