unidad 2 mec.fluidos, fluidos en reposo.pdf

UNIVERSIDAD NACIONAL

SANTIAGO ANTÚNEZ DE MAYOLO

FACULTAD DE INGENIERÍA CIVIL Mecánica de Fluidos

Marco A. Silva Lindo

MECÁNICA DE FLUIDOS

UNIDAD DIDÁCTICA II:

FLUIDOS EN REPOSO

2.1 GRADIENTE DE PRESIONES

La presión se define como la cantidad de fuerza ejercida sobre una área unitaria de una

sustancia.

Presión en un punto: p = lim ∆A->0 (Fn/∆A)

SI: Pascal (Pa) o N/m2

lbf/pie2 o lbf/pulg

2

La unidad de presión pascal es demasiado pequeña para las presiones que se encuentran

en la práctica; por lo tanto, son de uso común sus múltiplos kPa= 103 Pa y MPa= 10

6 Pa

La presión que ejerce un fluido en reposo sobre un punto es de la misma magnitud (en

todas las direcciones) cambiando solamente en dirección y sentido.

Dos principios importantes sobre la presión:

a) La presión actúa uniformemente en todas las direcciones sobre un pequeño

volumen de fluido.

b) En un fluido confinado entre fronteras sólidas, la presión actúa perpendicularmente

a la frontera.

Se habla de presión solo cuando se trata de un gas o un líquido. La contraparte de la

presión en los sólidos es el esfuerzo normal.

El gradiente de presiones es una relación matemática que nos indica la variación de la

presión con respecto a las coordenadas de un determinado sistema.

Denotando p = p(x,y,z) y diferenciando parcialmente:

dp = ∂p dx + ∂p dy + ∂p dz

∂x ∂y ∂z

px py pz

Si tomamos un diferencial de volumen, entonces el diferencial de presión que actúa

sobre este elemento es la suma escalar del diferencial de presión en x, y y z, pero como

F = p. A => el diferencial de fuerza resultante en cada una de las direcciones será:

(

) ( )

(

) ( )

(

) ( )

x

z

y

dy dx

dz





Entonces, la fuerza total sobre el diferencial de volumen será:

( ) (

)

Siendo d∀ = dx dy dz

La fuerza por unidad de volumen en un punto (en un d∀) será:

(

)

Si denotamos de acuerdo al operador matemático:

(

)

Entonces:

Debe notarse, que esta es la fuerza que se produce sobre el flujo debido a la presión.

Pero de acuerdo con el principio de acción y reacción, la fuerza que produce el flujo

sobre dicho punto es:

ECUACIÓN GENERAL DE LA HIDROSTÁTICA:

Para la deducción se asume un elemento diferencial de fluido, sobre el cual actúan las

fuerzas másicas y las fuerzas superficiales.

Fuerzas másicas o de cuerpo:

donde:

Diferencial de fuerzas másicas

Aceleración de la gravedad efectiva = Aceleración de la gravedad

Aceleración cualquiera del elemento

dm = ρ d∀ = Diferencial de masa

( )

Fuerzas superficiales: ∀

∀

Por equilibrio estático, se debe cumplir:

( ) ∀ ( ) ∀ ∀

x

z

y

dy dx

dz





Ecuación General de la Estática de Fluidos (Ecuación

General del movimiento para un fluido que actúa como un

cuerpo rígido)

Caso particular:

Ecuación General de la Estática de Fluidos para un campo

gravitacional

Condiciones: 1. Fluido en reposo

2. Única fuerza volumétrica es la debida a la gravedad.

3. El eje z es vertical hacia arriba.

2.2 VARIACIÓN DE LA PRESIÓN EN UN FLUIDO ESTÁTICO

a). Fluido incompresible

Para un fluido incompresible ρ = ρ0 = cte g = cte.

∫

∫

Es decir: p – po = –ρo g(z–zo) = ρo g(zo–z)

h = zo – z h es positivo

p = po + ρogh

Nota:

1. La presión es la misma en cualquiera de dos puntos que se encuentren en el

mismo nivel y que formen parte del mismo tramo continuo de líquido.

2. La presión aumenta si uno baja a lo largo de una columna de líquidos.

b). Fluido compresible

Para cualquier fluido estático

Antes de poder integrar se necesita expresar ρ como función de cualquiera de las

otras variables de la ecuación.

Se puede considerar

∀ ∀⁄

⁄ pues ∀ = m/ρ

Suponiendo E = cte ρ = f (p) Fluido Barotrópico.

Con esto se puede integrar la ecuación general de estática de fluidos.

Para gases ideales p= ρRT

x

y

z

zo

g

h





2.3 PRESIONES ABSOLUTA Y MANOMÉTRICA

Los valores de la presión se deben establecer respecto a un nivel de referencia.

La presión real que se encuentra en una posición dada se llama presión absoluta y

se mide en relación al vacío absoluto (presión cero absoluta). Por lo tanto, la

presión absoluta siempre es positiva.

Los niveles de presión que se miden respecto a la presión atmosférica se denominan

presiones manométricas, es decir indican la diferencia entre la presión absoluta y

la presión atmosférica local.

Una presión manométrica por encima de la presión atmosférica local siempre

es positiva.

Una presión manométrica por debajo de la presión atmosférica local es

negativa y se le conoce como presión de vacío.

La magnitud de la presión atmosférica varía con la ubicación y condiciones

climáticas. La presión atmosférica se puede obtener mediante un barómetro, en el

cual se mide la altura de una columna de mercurio.

La mayor parte de los manómetros miden en realidad una diferencia de presión entre la

presión real y la presión del ambiente (generalmente la presión atmosférica).

Se cumple: pabs = pman + patm

Unidades:

patm = 1.033 kg/cm2 = 101.3 kPa (a nivel del mar)

1 Pa = 1 N/m2 10.33 m de H2O = 760 mm Hg = 14.7 psi

1 lbf.pulg-2

=6895 Pa = 6895 N.m-2

= 6895 kg.m-1

.s-2

1 bar = 105 Pa = 0.1 MPa = 100 kPa

1 atm =101,325 Pa =101.325 kPa =1.013 bars =1.033 kgf/cm2 =10.33 m de H2O =14.7 lbf/pulg

2

1 kgf/cm2 = 9.807 N/cm

2 = 9.807 x 10

4 N/m

2 = 9.807 x 10

4 Pa = 0.9807 bar = 0.9679 atm

2.4 FUERZAS SOBRE SUPERFICIES SUMERGIDAS

1) FUERZAS SOBRE SUPERFICIES PLANAS

Una superficie plana inclinada expuesta a un líquido, queda sometida a la presión del

fluido distribuida sobre su superficie.

pabsoluta pmanométrica

patmosférica

Nivel de presión

Vacío absoluto

pabsoluta

pmanométrica patmosférica

Nivel de presión

Vacío absoluto

pbarométrica

pbarométrica





La figura muestra la distribución de la presión sobre la

superficie de un plano inclinado totalmente sumergido

en un líquido.

La presión absoluta arriba del líquido es po, la cual es

la presión atmosférica local patm si ese líquido está

abierto a la atmosfera. Pero po puede ser diferente de

patm si se crea un vacío en el espacio que está arriba

del líquido o se presuriza.

Entonces, la presión absoluta en cualquier punto de la placa es

p = po + ρgh = po + ρgy senθ

En un diferencial de área:

dF = p dA=( po + ρgh) dA =( po + ρgy senθ) dA = po dA + ρgy senθ dA

La fuerza hidrostática resultante FR que actúa sobre la superficie se determina cuando

se integra dF sobre toda el área superficial.

FR = ∫ = ∫( ) = po A+ ρg senθ ʃ y dA

FR = = ( ) = ( )

FR = donde Presión en el centro de gravedad o

centroide, equivale a la presión promedio sobre la superficie.

La fuerza hidrostática resultante FR actúa en el centro de presión CP.

La presión po suele ser la atmosférica, la cual, en la mayoría de los casos, se puede

ignorar, ya que actúa sobre los dos lados de la placa. Cuando este no es el caso, una

po

O





manera práctica de tomar en cuenta la contribución de po a la fuerza resultante es

sencillamente sumar a , una profundidad equivalente .

Cuando se analizan las fuerzas hidrostáticas sobre superficies sumergidas,

sencillamente se puede restar la presión atmosférica cuando actúa sobre ambos lados

de la estructura.

CENTRO DE PRESIONES

La ubicación vertical del punto de aplicación de la fuerza resultante se determina

cuando se iguala el momento de la fuerza resultante al momento de la fuerza de

presión distribuida, respecto al eje x. Esto da

∫ = ∫ ( ) = ∫ ∫

o

Donde y’ es la distancia del centro de presión al eje x e ∫ es el segundo

momento de área (llamado también momento de inercia del área) respecto al eje x que

pasa por O.

Los momentos de inercia respecto a dos ejes paralelos están interrelacionados por el

teorema de los ejes paralelos.

Donde es el segundo momento de área respecto al eje x que pasa por el centroide

del área e (la coordenada y del centroide o centro de gravedad) es la distancia entre

los dos ejes paralelos.

Reemplazando, obtenemos:

[ ( )⁄ ]

Para p0 = 0

De manera similar se obtiene:

[ ( )⁄ ]

h ≡





Para p0 = 0

Donde es el producto de inercia respecto a los ejes x e y que pasan por el centroide

del área.

Parábola

La presión actúa normal a la superficie y las fuerzas hidrostáticas que intervienen

sobre una placa plana de cualquier configuración forman un volumen cuya base es el

área de la placa y altura es la presión de variación lineal. Este prisma virtual de

presiones tiene una interpretación física interesante: su volumen es igual a la magnitud

de la fuerza hidrostática resultante que actúa sobre la placa, y la línea de acción de esta

b

a





fuerza pasa por el centroide del prisma homogéneo. La proyección del centroide sobre

la placa es el centro de presión.

2) FUERZAS SOBRE SUPERFICIES CURVAS

En una superficie curva sumergida la determinación de la fuerza hidrostática resultante

es más complicada, pues se necesita la integración de las fuerzas de presión que

cambian de dirección a lo largo de la superficie curva.

La manera más sencilla de calcular la resultante de las fuerzas debidas a las presiones

sobre una superficie curva es determinar las dos componentes horizontales en ángulo

recto y la componente vertical por separado.

La fuerza de presión en este caso está dada por: dF = pdA

La fuerza resultante se determina sumando las contribuciones de cada elemento

diferencial: ∫

Esta fuerza resultante se puede descomponer en componentes:

Donde i, j, k son los vectores unitarios de las direcciones x, y, z respectivamente.

Cada una de estas componentes de fuerza se puede expresar como:

∫ ∫

∫ ∫

∫ ∫

Donde θx, θy y θz son los ángulos entre dA y los vectores unitarios i, j y k

respectivamente.

Por lo tanto dAx, dAy y dAz son las proyecciones del elemento dA sobre los planos

perpendiculares a los ejes x, y y z respectivamente.

Área proyectada

en el plano xy

Área proyectada

en el plano yz

Área proyectada

en el plano xz





Así tenemos:

La fuerza que actúa sobre la superficie

solida es igual y opuesta a la que actúa

sobre la superficie líquida (tercera ley

de Newton).

Componentes Horizontales

Una componente horizontal es igual a la fuerza debida a las presiones que se ejercerían

sobre la proyección vertical de la superficie curva. El plano vertical de proyección es

normal a la dirección de la componente.

( )

( )

Su centro de presión se calcula usando el área proyectada del mismo modo que en una

superficie plana.

Componente vertical

La componente vertical es igual al peso del líquido situado verticalmente por encima

de la superficie curva y extendido hasta la superficie libre.

y

z

x

profundidad al centro de

gravedad del área proyectada





Superficie libre imaginaria: es la superficie que se forma suponiendo que el fluido

ocupa una posición tal, que iguala la presión en ambas caras de la superficie.

∀

Su centro de presión coincide con el centro de gravedad del volumen del fluido real o

imaginario, que se encuentra sobre la superficie curva.

Fuerza Resultante:

La magnitud de la fuerza hidrostática resultante que actúa sobre la superficie curva es:

√

Se puede determinar la localización exacta de la línea de acción de la fuerza resultante

tomando un momento respecto a un punto apropiado

2.5 EMPUJE Y FLOTACIÓN DE CUERPOS SUMERGIDOS

Si un objeto se sumerge en un líquido o flota sobre una superficie, la fuerza que

experimenta debido a la presión del líquido de densidad ρ se denomina fuerza de

empuje o flotación.

con ρ constante e integrando: p = p0 + ρgh

La fuerza neta vertical neta sobre el elemento resulta:

Superficie libre Superficie libre imaginaria

Cuerpo flotante

Cuerpo sumergido

dA

∀

h





dF =(p0 + ρgh2) dA - (p0 + ρgh1) dA = ρg(h2- h1) dA = ρg ∀

Entonces F = ρg ∀ = γ ∀= E ∀ : volumen del cuerpo sumergido o volumen

desalojado por el cuerpo

La fuerza vertical neta debida a la presión, o fuerza de empuje sobre el objeto, es igual

a la fuerza de gravedad del líquido desplazado por el objeto (peso del volumen del

líquido desplazado) y actúa hacia arriba pasando por el centroide del volumen

desplazado (Ley de Arquímedes).

Ahora tenemos que hablar de la densidad del material que estamos sumergiendo en el

agua u otro líquido. Todos sabemos que los cuerpos que son más pesados (tienen

mayor densidad) se van a hundir en el agua o en cualquier otro líquido, contrario a lo

que sucede con los cuerpos que son livianos (tienen menor densidad), esto es

básicamente porque la densidad en ambos casos es diferente. Se infiere que un cuerpo

sumergido en un fluido

1) Permanece en reposo en cualquier punto en el fluido, cuando ;

2) Se hunde hasta el fondo, cuando ; y

3) Asciende hasta la superficie del fluido y flota cuando .

Punto de aplicación

∫ ⟹

∀ ∫ ∀ es el centroide del Volumen.

Caso particular: Cuerpos flotantes o sumergidos en dos líquidos.

∀ ∀

∀ ∀

∀ ∀

2.6 FLUIDOS CON MOVIMIENTO DE CUERPO RÍGIDO

Un fluido incompresible (ρ = constante) con movimiento de cuerpo rígido se mueve

sin deformarse como si efectivamente consistiera en un cuerpo sólido. Como no

1

∀

h

∀

2

Cuerpo flotante

Densidad del cuerpo = c

Densidad del fluido =

Cuerpo suspendido (neutralmente flotante)

Cuerpo hundido

c ˃

c = c <





existen deformaciones, tampoco puede haber esfuerzos cortantes; en consecuencia, el

único esfuerzo que actúa sobre cada elemento de fluido es la presión. Entonces no hay

movimiento de una capa con respecto a las adyacentes.

a) FLUIDO CON ACELERACIÓN LINEAL UNIFORME

En la sección 2.1 se dedujo una expresión para la

fuerza total debida a la presión y a la gravedad que

actúan sobre una partícula de fluido de volumen d∀:

( ) ∀

Igual a ∀

y ∀ ∀

( ) ∀ entonces

∀

Nótese que o “nabla” (del en inglés) es un operador vectorial que se usa para

expresar los gradientes de una función escalar de manera compacta en forma

vectorial. Asimismo, el gradiente de una función escalar se expresa en una

dirección determinada y, por consiguiente, es una cantidad vectorial.

Por otro lado ∀ y

∀

Reemplazando:

o ( )

Cuando se resuelven los vectores en sus componentes, esta relación se puede

expresar de manera más explícita como:

(

) ( ) ( )

También se pueden expresar en forma escalar en las tres direcciones ortogonales

como:

En el eje x:

( )

En el eje y:

( )

x

z

y

d∀

FUERZA DE PRESIÓN POR UNIDAD DE VOLUMEN EN

UN PUNTO

FUERZA VOLUMÉTRICA O DE CUERPO POR UNIDAD DE

VOLUMEN EN UN PUNTO

ACELERACIÓN DE LA PARTÍCULA DE

FLUIDO

MASA POR UNIDAD DE

VOLUMEN + = x





En el eje z:

( )

CASO PARTICULAR:

es decir y ρ =γ/g con

La dirección de la gravedad coincide con el eje negativo z:

Fluidos en aceleración:

,

y

( )

Fluidos en reposo:

,

y

Caída libre de un cuerpo de fluido:

,

y

→ p = constante

Aceleración hacia arriba de un cuerpo de fluido:

,

y

La diferencia de presión se duplica.

Aceleración en trayectoria recta

Considerando un recipiente parcialmente lleno con un líquido que se mueve sobre

una trayectoria recta con una aceleración constante. Tomando la proyección de la

trayectoria de movimiento sobre el plano horizontal como el eje x y la proyección

sobre el plano vertical como el eje z, como se muestra. No existiendo movimiento

en la dirección y, es decir .

En este caso las ecuaciones del movimiento para fluidos se reducen a:

,

y

( )

x

z

Superficie libre

θ





Entonces la diferencial total de p = p (x,y,z)

Queda de la siguiente manera:

( )

Con ρ = constante, integrando entre dos puntos 1 y 2 en el fluido, se obtiene:

( )

( )( )

Tomando el punto 1 como el origen ( x = 0, z = 0) y p1 = p0 = patm y el punto 2

como cualquier punto en el fluido, la distribución de presión queda:

Variación de la presión:

( )

Ascenso vertical de la superficie

El ascenso o descenso vertical de la superficie libre se determina considerando dos

puntos sobre dicha superficie, es decir p1 = p2, entonces:

( )

( )( )

Despejando ( ) ⟹

( )

Ecuación para las Isobaras

Se obtiene haciendo dp = 0 (p1 = p2)

x

z

Superficie libre θ

Isobaras: superficies de presión constante (son paralelas a la superficie libre real o imaginaria)





Las isobaras son superficies paralelas cuya pendiente en el plano xz es:

Para un recipiente lleno y tapado

debe considerarse como si no

estuviera tapado. Se trabaja con

una superficie libre imaginaria.

b) FLUIDO CON ROTACIÓN UNIFORME ALREDEDOR DE UN EJE

VERTICAL

Consideraciones:

Todas las partículas de un fluido que gira alrededor de un eje vertical

tienen la misma velocidad angular, pues al no haber deformación no

pueden desarrollarse esfuerzos cortantes.

La aceleración actuante es consecuencia de la velocidad angular y está

dirigida radialmente hacia el eje de rotación.

En el sentido vertical prevalecen las condiciones hidrostáticas.

Se analiza en coordenadas cilíndricas (r, θ, z). Se tiene simetría en el eje z tomado

como eje de rotación, y no hay dependencia respecto de θ, . También

puesto que no hay movimiento en la dirección z. La aceleración centrípeta

dirigida en forma radial hacia el eje de rotación es .

En el eje r: (

)

(

)

∀

( )

Las ecuaciones del movimiento para fluidos en rotación se reducen a:

,

y

Entonces la diferencial total de p = p (r, θ, z) queda de la siguiente manera:

z

ω

r r

p

dr





Con ρ = constante, integrando entre dos puntos 1 y 2 en el fluido, se obtiene:

(

) ( )

Debe observarse que en un radio fijo, la presión varia en forma hidrostática en la

dirección vertical, como en un fluido en reposo.

Tomando el punto 1 como el origen (r = 0, z = 0) y p1 = p0 = patm y el punto 2

como cualquier punto en el fluido, la distribución de presión se puede expresar

como:

Variación de la presión:

Ecuación para las Isobaras

La ecuación para las superficies de presión constante o isobaras, se obtiene

haciendo dp = 0 (p1 = p2)

Integrando:

Superficies de presión constante:

Resulta la ecuación de una parábola, por lo tanto las superficies de presión

constante, inclusive la superficie libre, son paraboloides de revolución, paralelos a

la superficie libre real o imaginaria.

La constante C1 es diferente para distintas isobaras.

Tomando como origen la base del cilindro, para la superficie libre con r = 0 y z = 0

se obtiene C1 = hc

ω

Superficie libre

Isobaras: superficies de presión constante

z

r

R

: Altura original del fluido en el recipiente sin rotación.

: Altura mínima, distancia de la superficie libre al fondo del recipiente a lo largo del eje de rotación.





Como el volumen se conserva, entonces:

Volumen original = Volumen del paraboloide

∀ (

)

Se tiene:

Diferencia máxima en las alturas

Se determina cuando se evalúa z, en r = R

De la formula se obtiene:

Comparándola con la obtenida del gráfico:

Se obtiene:

Referencias bibliográficas:

1. Chereque, Wendor. Mecánica de Fluidos I. Pontificia Universidad Católica del Perú.

Lima, 1987.

2. Cengel Y. A.; Cimbala J.M. Mecánica de Fluidos Fundamentos y Aplicaciones.

Primera Edición. Editorial Mc. Graw Hill. México 2006.

3. Rocha, Arturo. Diseño de Tuberías y Canales.





CENTROIDES

Arco circular Arco cuarto de circular

X

R

Y

XC

0

2

y

Rsenx

RL

R

Y

X

Y

X

C

Ry

Rx

RL

2

2

2

Semicircunferencia Sector circular

X

YR

X

Y

C

Ry

Rx

RL

2

X

R

Y

XC

0

3

2

2

y

Rsenx

RA

Superficie rectangular Cuadrante

X

Y

X

Y

h

b

C

2

2

hy

bx

bhA

R

Y

X

Y

X

C

3

4

3

4

4

2

Ry

Rx

RL

Semicírculo Cuadrante de elipse

X

YR

X

Y

C

3

4

2

2

Ry

Rx

RA

x

y

Y

X

b

a

C

3

4

3

4

4

by

ax

abA

Superficie triangular Superficie triangular

x

y

h

b

Y

X

C

3

3

2

2

hy

bx

bhA

x

y

a

X

Y

b

h

C

3

3

2

hy

bax

bhA

Cuadrante de parábola Enjuta parabólica

x

y

b

h

X

Y

C

5

2

8

5

3

2

hy

bx

bhA

x

y

X

Y

b

h

C

10

3

4

3

3

hy

bx

bhA





CENTROIDES

Paralelepípedo rectangular Tetraedro rectangular

y

z

x

b

ca

2

2

2

cz

by

ax

abcV

a

c

b

x

z

y

4

4

4

6

cz

by

ax

abcV

Cilindro de revolución Semicilindro

x

z

y

R

L

0

0

2

2

z

y

Lx

LRV

L

R

y

z

x

3

4

0

2

2

2

Rz

y

Lx

LRV

Semiesfera paraboloide

R

x

z

y

8

3

0

0

3

2 3

Rz

y

x

RV

h Ry

z

x

0

3

2

0

2

2

z

hy

x

hRV

Cono de revolución Semicono

x

y

z

R

h

0

0

4

3

3

2

z

y

hx

hRV

x

h

R

z

y

Rz

y

hx

hRV

0

4

3

6

2

Pirámide irregular Cáscara semicilíndrica

x

y

z

a

h

b

bz

hy

ax

abhV

8

3

4

8

3

3

G

y

Rz

x

L/2

L/2

0

0

2

z

y

Rx





MOMENTOS DE INERCIA

Sector circular Cuadrante circular

X

R

Y

XC

4

4

4

2

1

22

1

4

22

1

4

RI

senR

I

senR

I

Z

Y

X

R

Y

X

Y

X

C

4

4

4

4

8

9

4

16

9

4

16

16

RI

RI

RI

RII

Z

Y

X

YX

Semicírculo Circulo

YR

X

Y

C

4

4

4

8

9

8

8

8

RI

RI

RII

Z

X

YX

C

R

Y

X

4

4

4

4

4

4

RI

RI

RI

Z

Y

X

Superficie rectangular Superficie triangular

X

Y

X

Y

h

b

C

12

12

3

3

3

3

3

3

hbI

bhI

hbI

bhI

Y

X

Y

X

x

y

a

Y

b

h

C

X

4

36

12

3

3

3

hbI

bhI

bhI

Z

X

X

Superficie subparabólica Superficie de cuadrante de elipse

2y=h(x/b)

h

b

X'

Y'Y

X

80

2100

37

5

21

3

3

3

3

hbI

bhI

hbI

bhI

Y

X

Y

X

x

y

X

b

a

C

Y

9

4

16

9

4

16

16

16

3

3

3

3

baI

abI

baI

abI

Y

X

Y

X

Cuadrante de parábola Tímpano de grado n

2

X

X'

Y'Y

h

b

y=h(x/b)

480

19

175

8

15

2

7

2

3

3

3

3

hbI

bhI

hbI

bhI

Y

X

Y

X

x

y

Y

b

h

C

y=f(x)=hx / b n>0n n

X

3

133

3

3

n

hbI

n

bhI

Y

X

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