dinamica de fluidos unidad ii.ppt

7/22/2019 Dinamica de Fluidos Unidad II.ppt

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Dinmica de Fluidos

Presenta:Dr. Oscar Adrin Morales C.

E-mail:[email protected]

Semestre:Agosto

Noviembre 2013.


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Unidad II.- Anlisis dimensional y semejanza hidrulica.

1. Homogeneidad dimensional.

2. Dimensiones y unidades.

3. Teorema de Pi.

4. Anlisis adimensional de ecuaciones rectoras.

5. Estudio de modelos de similitud.

6. Flujo laminar y turbulento.

7. Nmero de Reynolds.8. Ecuacin de Bernoulli.

9. Ecuacin de la energa.
http://www.google.com.mx/url?sa=i&rct=j&q=numeros+adimensionales&source=images&cd=&cad=rja&docid=3gwMghONy3ELcM&tbnid=E1feVrlD75ya3M:&ved=&url=http%3A%2F%2Fwww.eluniverso.org.es%2F2013%2F06%2Flos-grandes-numeros-del-universo%2F&ei=gKYVUoe5D4KdigLH4oHwBA&bvm=bv.51156542,d.cGE&psig=AFQjCNEblD3oUYaA4_a3k5XW6aJEvJd0UA&ust=1377236992620615


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Yo soy un hombre viejo, y cuando me muera y vaya al Cielo hay dos cuestionessobre las que espero la iluminacin. Una de ellas es la electrodinmica

cuntica y el otro es la turbulencia. Sobre el primero, estoy muy bastante

optimista.Sir Horace Lamb

1849 - 1934


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Flujo laminar y flujo turbulento.

El flujo laminar se define como el flujo en el cual el fluido se mueve en capas olaminas, que se deslizan suavemente una sobre otra adyacente, nicamente con

intercambio molecular de momento. Cualquier tendencia a la inestabilidad y laturbulencia son atenuadas por las fuerzas viscosas.

Sin embargo el flujo turbulento es el movimiento de un fluido que se da enforma catica, en que las partculas se mueven desordenadamente y lastrayectorias de las partculas se encuentran formando pequeos remolinos

aperidicos


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Nmero de Reynolds.

El comportamiento del fluido, particularmente con respecto a las prdidas deenerga, depende bastante si el flujo es laminar o turbulento. Por esta razn esdeseable tener medios para predecir el tipo de flujo sin tener necesidad deobservarlo.

Por lo que se puede demostrar experimentalmente que el carcter del flujo en unconducto redondo depende de 4 variables; la densidad del fluido (), la viscosidad

del fluido (), el dimetro del conducto (D o ) y la velocidad promedio del flujo

(Uprom).Osborne Reynolds fue el primero en demostrar que un flujolaminar o turbulento puede ser predicho si se conoce lamagnitud de un nmero adimensional, conocido ahora por sunombre, el cual se calcula como:

v

UU promprom

Re

1842 - 1912sm

kgs

mm

m

kgUprom

**

Re3


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Experimento de Reynolds:

En las imgenes se presenta el experimento que realiz Osborne Reynolds en1883 en su investigacin para demostrar la estabilidad del flujo en un conducto,en a) se observa el flujo laminar, en b) flujo en transicin y en c) el flujoturbulento. El aparto original presentado en la figura superior aun existe en la

Universidad de Manchester


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Nmero de Reynolds critico.

Para aplicaciones practicas en flujos de conductos, si el nmero de Reynolds esmenor a 2300, se considera flujo laminar. Si el nmero de Reynolds es mayor a4000 se puede suponer que es flujo turbulento.

En el intervalo de nmero de Reynolds comprendido entre 2300 y 4000, esimposible predecir que tipo de flujo existe, por consiguiente, este intervalo seconoce como regin critica.

Las aplicaciones tpicas involucran flujos que se encuentran bien colocados en elintervalo de los flujo laminares o turbulentos, por lo que esta regin deincertidumbre no ocasiona gran dificultad.


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Ejercicio 1:

Determine si el flujo es laminar o turbulento, si fluye glicerina a 25C en unconducto cuyo dimetro interior es de 150 mm. La velocidad promedio del

flujo es de 3.6m/s.

promURe

sPax

smmmkg

1

3

1060.9

)/6.3)(15.0)(/1258(

Re

708Re

La tabla maneja propiedades defluidos a 25C.

2

2

2

3)(

Re

m

Nm

N

m

sNs

mm

m

kg


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Ejercicio 2:

Determine el intervalo de velocidad promedio para el cual un flujo estara en laregin critica si aceite SAE 10 a 60F fluye en un conducto de acero de 2calibre 40. El aceite tiene una gravedad especifica de 0.89

Ejercicio 3:

Un conducto de 4 de dimetro lleva 0.20 pies/s de glicerina (Sg =1.26) a 100F.Es el flujo laminar o turbulento?

Ejercicio 4:

Aire a condiciones estndar fluye a travs de una tubera de 1 pulg de dimetroy la velocidad promedio es de 1 pie/s. El flujo laminar o turbulento?

Ejercicio 5:Calcule el mximo flujo volumtrico de combustleo a 45C, en la que el flujopermanecer como laminar en una tubera de 100 mm de dimetro. Para elcombustleo utilice sg = 0.895 y viscosidad dinmica = 4.0 x 10- Pa-s.


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Ejercicio 2:

Determine el intervalo de velocidad promedio para el cual un flujo estara enla regin critica si aceite SAE 10 a 60F fluye en un conducto de acero de 2

calibre 40. El aceite tiene una gravedad especifica de 0.89

El fluido estara en la regin crtica si 2300 < Re < 4000, as que se despeja lavelocidad de la ecuacin del nmero de Reynolds:

De las tablas se conoce que: = 0.17 pies = 2.10 x 10- lb-s / pies = (Sg) *(1.94 slug/pie) = 1.73 slug/pie

RepromU

)17.0)(/73.1(

)2300)(/101.2(3

23

piespieslug

pieslbxUprom

)17.0)(/73.1(

)4000)(/101.2(3

23

piespieslug

pieslbxUprom

spieUprom /4.16 spieUprom /2.28

Para flujo laminar: Para flujo turbulento:


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Ejercicio 3:

Un conducto de 4 de dimetro lleva 0.20 pie/s de glicerina (Sg =1.26) a100F. Se tiene flujo laminar o turbulento?

Datos: = 4 / 12 pies = 0.333 pie. = 7 x 10- lb-s / pie = (Sg) *(1.94 slug/pie) = 2.44 slug/pie

De la ecuacin de continuidad:

El numero de Reynolds es:

spiespie

spies

A

QUprom /3.2

087.0

20.0

4/)333.0(

/20.02

3

promURe

263007.0

84.1

107

333.0*44.2*3.2Re

3

x 334.5141m

kg

pie

slug


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Variacin de la viscosidad con la temperatura.

Anlisis dimensional.

slug

slug

pie

slb

slug

slbpieslug

spielbpieslug

pie

slb

spieslug

pie

slb

spiepieslug

pie

slb

piepie

slug

s

pie

2

22

2

22

3

2

2

3

Re

promURe


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Ejercicio 4:

Aire a condiciones estndar fluye a travs de una tubera de 1 pulg de dimetroy la velocidad promedio es de 1 pie/s. El flujo laminar o turbulento?

Datos: = 1 / 12 pulg = 0.083 pie. = 1.8 x 10- N-s/m (3.76 exp-7 lbf--s / pies)u = 1 pie/s

La densidad se obtiene de la ecuacin de gas ideal:

El nmero de Reynolds se obtiene sustituyendo en la ecuacin:

3

2

077.0

)54460(*3.53

8.2116

pie

lb

RRlb

lbpie

pie

lb

RT

P m

m

aire

5312.32

1076.3

1*083.0*077.0

Re

2

2

7

3

pieslug

slbx

lb

slugx

pie

slbx

s

piepie

pie

lb

U f

mf

m

prom


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Ejercicio 5:

Calcule el mximo flujo volumtrico de combustleo a 45C, en la que el flujopermanecer como laminar en una tubera de 100 mm de dimetro. Para el

combustleo utilice sg = 0.895 y viscosidad dinmica = 4.0 x 10- Pa-s.

Datos: = 100 mm = 0.1 m.A = 0.00785 m = 4.0 x 10- Pa-s.sg = 0.895

La densidad se obtiene: c = a (sg) = 1000 * 0.895 = 895 kg / m

Se obtiene la velocidad del nmero de Reynolds mximo:

El gasto se obtiene de la ecuacin Q = U x A, sustituyendo los valores se tiene:

s

mxU

prom03.1

)1.0(*895

)100.4(*2300Re 2

s

mm

s

mAUQ prom

32

0081.0)00785.0(*03.1*


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Radio hidrulico para secciones no circulares.

Todos los ejemplos vistos hasta ahora son aplicables paraflujo en conductos circulares llenos, es decir, la

dimensin caracterstica de la trayectoria del flujo es eldimetro interior.

Sin embargo, muchos problemas prcticos en ingenieraimplican el flujo en secciones transversales no circulares.

En las siguientes figuras se muestran secciones transversales tpicas nocirculares cerradas.


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La dimensin caracterstica de las secciones transversales no circulares seconoce como radio hidrulico (R), definido como el cociente del rea neta de laseccin transversal de una corriente de flujo entre el permetro mojado (PM)de la seccin, esto es:

La unidad para R en el sistema internacional es el metro, y en el sistemaingles se expresa en pies.

El permetro mojado (PM) se define como la suma de la longitud de los limitesde la seccin que realmente estn en contacto con el fluido.

La manera es que se calcula el nmero de Reynolds en secciones no circularesse calcula de manera similar a la usada para conductos y tubos circulares, elnico cambio es la sustitucin del valor del dimetro con 4R:

Comprobacin:

PMAR

)4(Re

Ru

4

4/2 D

D

D

PM

AR

RD 4 Esto demuestra que 4R es equivalente a D para un conducto circular.


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Ejemplo:

Determine el radio hidrulico de la seccin que semuestra en la figura, si la dimensin interna de cadalado del cuadrado es de 250mm y el dimetro exteriordel tubo es de 150mm.

El rea neta de flujo es la diferencia entre el rea delcuadrado y el rea del circulo:

22222 448294/)150()250(4/ mmdSA

El permetro mojado (mostrado en rojo en la figura) es la suma de los cuatro ladodel cuadrado mas la circunferencia del circulo:

mmdSPM 1471)150()250(44 El radio hidrulico es:

mmmPM

AR 0305.05.30

1472

44829


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Ejercicio 1:

En la siguiente imagen se presentaun intercambiador de calor liquido-

aire, en el cual el aire fluye a 8 m/s,dentro de un pasaje rectangular yalrededor de un conjunto de 5 tuboscolocados de manera vertical.

Cada tubo tiene un dimetro de

con un grueso de pared de 0.049.

El aire tiene una densidad de1.15kg/m y una viscosidad de1.63x10- Pa-s.

Calcule el nmero de Reynoldspara el flujo de aire.

Considere la seccin central delintercambiador de calor.


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2001625.0)05.0*0127.0*5()05.0*096.0(

)*5()*(

m

HdHBA

Solucin:

El rea neta de flujo (mostrada en lafigura en color rojo) es la diferencia

entre el rea del rectngulo menos elrea ocupada por los tubos:

El permetro mojado (mostrado en lnearoja en la figura) es la suma delpermetro del intercambiador mas lasparedes de los tubos. Debe

considerarse el espacio ocupado por lostubos en la parte superior e inferior delintercambiador (mostrados en lneanegra en la figura)

mHdBPM 665.0)050.0(12)]0127.0(10)096.0(2[)12(]102[


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mPM

AR 00244.0

665.0

001625.0

El nmero de Reynolds es:

55081063.1

08979.0

1063.1

15.1)00244.0*4(84Re

55

xx

Ru

Sustituyendo los datos en la ecuacin del radio hidrulico:

Los intercambiadores de calor seencuentran en muchos sistemas qumicoso mecnicos. Estos sirven, como sunombre lo indica, para ganar calor oexpeler calor en determinados procesos.Algunas de la aplicaciones ms comunes

se encuentran en calentamiento,ventilacin, sistemas deacondicionamiento de espacios,radiadores en mquinas de combustininterna, calderas, condensadores, yprecalentadores o enfriamiento de

fluidos.


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Ejercicio 2:

Aire con un peso especifico de 12.5 N/m y una viscosidad dinmica de 2.0 x 10-Pa-s, fluye a travs de la parte sombreada del ducto de la figura mostrada, conuna rapidez de 150 m/h. Calcule el nmero de Reynolds del flujo.

Datos:

ext = 0.025m. B = 0.050m. H = 0.050m. C = 0.1m = 2 x 10- Pa-s. = 12.5 N/m. Q = 0.042m/s.


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2221 002.0)4/)025.0(()05.0*05.0()4/()*( mDHBA

Solucin: El rea neta de flujo se encuentra con rea 1 + rea 2.

rea 1.- cuadrado imaginario de la figura menos el rea ocupada por elcirculo:

rea 2.- triangulo imaginario de la figura:2

2 00125.0)2/)05.0*05.0(2/)*]([ mHBCA

2

21 00325.000125.0002.0 mAAAneta

El rea neta seria:


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El permetro mojado es la suma de las paredes interiores de la geometraanalizada mas el permetro del circulo:

mDCTBHPM 35.0)025.0(1.0071.005.005.0][

El radio hidrulico es:

mPMAR 0093.0

35.000325.0

La velocidad es igual a:

s

m

A

Qu 8.12

00325.0

042.0


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Ejercicio 3:

En la siguiente figura se muestra la forma en que fluye etilenglicol (sg=1.1) a77F alrededor de los tubos y dentro del pasaje rectangular. Calcule la velocidaddel etilenglicol en pie/s, que se requiere para que el flujo tenga un nmero de

Reynolds de 8000.

Unidades en sistema ingles:

Densidad: Viscosidad:

3pie

Slugs

2pie

slb


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Solucin: la densidad del agua a 77F es 1.935 slugs / pie por lo tanto ladensidad del etilenglicol es:

La viscosidad del etilenglicol a 77F en el sistema internacional es 0.0161 Pa-s,por lo tanto en el sistema ingles es:

Ahora se determina el rea donde circula el fluido:

33134.2935.11.1)(

pie

slugs

pie

slugssg aguaeti

22

2

200034.0

7.10

22.00161.00161.0

ft

slb

pie

m

N

lbs

m

NsPa

2

2

2

018.04

12

"375.0*

712

"5.1*

12

"25.2

)4/(7)*(

pieA

dHBA


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El permetro mojado es:

Sustituyendo los datos en la ecuacin del radio hidrulico:

Despejando la velocidad de la ecuacin del Reynolds:

'31.1

12

)"375.0(7

12

"5.12

12

"25.22

722

PM

dHBPM

piePM

AR 014.0

3.1

01.0

pie1

pie8 2

spiex

Ru /23

13.2*014.0*4

)1038.3(8000

4

Re 4

Ru4Re

Nota: el etilenglicol (anticongelante) es un lquidotransparente, incoloro, ligeramente espeso y levesabor dulce. Por estas caractersticas organolpticasse suele utilizar distintos colorantes para reconocerloy as disminuir las intoxicaciones por accidente.


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Perfiles de Velocidad

Una de las investigaciones ms consistentes ysistemticas de Edme Mariotte (1620-1684) fue larealizada en el campo de la mecnica de los fluidos,investigacin cuyos detalles y resultados sepublicaron en 1686, en el Tratado del movimiento delas aguas y de los dems cuerpos fluidos.Lleg a plantearse el problema que Castelli no habapodido resolver; cmo medir velocidades en el senode un ro. "Hay que considerarescriba- que el aguade un ro no avanza con igual velocidad en susuperficie y en otras partes, porque cerca del fondose atrasa mucho al encontrarse con piedras, malezay otras irregularidades

Estas aserciones pueden interpretarse en el sentidode que, si indicamos con flechas las velocidadescorrespondientes a varios puntos de una seccinvertical AB de un ro y trazamos por sus extremos lacurva CD, que se suele llamar perfil de velocidades


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Dicho perfil tendra el aspecto quemuestra la figura I, mientras que en laseccin del canal angosto, se parecera alque se ve en la figura II.

La velocidad del flujo no es constante a travs de la seccin recta de un conducto,si no que vara de acuerdo al punto donde se determine. Esto se debe a que la

velocidad no tiene distribucin uniforme a travs de la seccin por la influenciade la viscosidad del fluido, las rugosidades del conducto y de la mismaturbulencia sobre el desplazamiento de los lquidos. Para rgimen laminar a), ladistribucin vertical de la velocidad sigue una ley parablica, mientras que enrgimen turbulento b) lo hace de acuerdo a una ley logartmica.


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Desarrollo de perfiles de velocidad.

Para un flujo laminar circulando por una tubera circular y con un perfiluniforme en la entrada, la longitud de desarrollo del flujo o tambin conocidacomo longitud de entrada (LE) est dada por: LE/D = 0.065 Redonde D = Dimetro tubera y Re = nmero de Reynolds

Para flujo laminar la longitud de entrada para flujo laminar en tuberas puedellegar a ser: LE = 0.065 Re D = 0.06 (2300) D = 138 D.

La longitud del ncleo inviscoso es aproximadamente un tercio de la longitud deentrada..


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Perfil de velocidad laminar

La velocidad de un fluido en contacto con un limite solido estacionario es cero, lavelocidad mxima para cualquier tipo de flujo se presenta en el centro delconducto. En la figura se puede observar los perfiles clsicos de los flujos laminary turbulento en un conducto circular.

Debido a la regularidad del perfil de velocidad en un flujo laminar, se puededefinir una ecuacin para calcular la velocidad local en cualquier punto dentro dela trayectoria del flujo en un conducto circular.

radio.radio mximo.

velocidad promedio.

2

0

12r

ruU

u

r0r


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Calculo de perfil de velocidad laminar.

Para obtener el perfil de velocidades en un conducto circular o cuadrado seutiliza la norma AMCA 203-90 (air movement and control association).

Ej i i :


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Ejercicio:

Grafique el perfil de velocidad desde la pared hastael centro del conducto analizando la velocidad encada 5 mm. Utilizar los datos donde se tiene flujolaminar de glicerina a 25C en un conducto cuyodimetro interior es de 150 mm y velocidadpromedio del flujo es de 3.6m/s.

2

0

12r

ruU


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NOTA: La rapidez representa el mdulo de la velocidad .

Conservacin y transformacin de la energa.

La cantidad de fluido que fluye en un sistema por unidad de tiempo, se conocecomo gasto o caudal y se puede expresar mediante 3 trminos:

Rapidez de flujo de volumen {gasto volumtrico} (Q): es el volumen del flujo defluido que pasa por una seccin por unidad de tiempo.

Rapidez de flujo de masa {gasto msico} (QM): es la masa de fluido que fluye poruna seccin por unidad de tiempo.

Rapidez de flujo de peso {gasto de fuerza} (QW): es el peso de fluido que fluye poruna seccin por unidad de tiempo.

El mas importante y utilizado en la industria es gasto volumtrico y se calculamediante la siguiente ecuacin:

Q = A*U = m2 * m/s = m3/s.Donde:A es el rea de la seccin.U es la velocidad promedio del flujo.


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El gasto msico esta relacionado con el gasto volumtrico mediante la ecuacin :

s

kg

s

mm

m

kgAUQQM **

2

3

Smbolo Definicin S. I. Sistema Ingles

Q A*U m3/s pie3/s

QM *A*U kg/s Slug/s

QW *A*U N/s lb/s

Debido a que los metros cbicos por segundo son cantidadesmuy grandes con frecuencia se utilizan otras unidades comolos litros por minuto (l/min) o galones por minuto (gal/min),cuyas conversiones son:

1.0 l/min = 16.67 x 10-6 m3/s.1.0 gal/min = 6.309 x 10-5 m3/s.


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Ejercicios gasto:

Convertir un gasto de 30 gal/min a pie3/s.

s

piesx

gals

pies

galQ

32

3

1068.6

min449

0.1

min30

Convertir un gasto de 600 l/min a m3/s.

s

m

ls

ml

Q3

3

010.0

min60000

0.1

min600

Convertir un gasto de 30 gal/min al

/min.

min6.113

min0.1

min875.3

min30

l

gal

lgal

Q


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Ecuacin de continuidad.

El mtodo para calcular la velocidad de flujo de un fluido en un sistema deconductos cerrado depende del principio de continuidad.

Un fluido fluye de la seccin 1 a la seccin 2 con una rapidez constante, es decir, lacantidad de fluido que pasa por cualquier seccin en un cierto tiempo es constante;por lo que se dice que tenemos un flujo constante o permanente.

Por otro lado si no se agrega, retira o almacena fluido entre las secciones 1 y 2,entonces la masa de fluido que pasa por la seccin 2 en un tiempo dado debe ser la

misma que la que fluye por la seccin 1, en el mismo tiempo.

Esto se puede expresar en trminos del gasto msico como:

QM1 = QM2

1A1U1 =2A2U2

Ecuacin de continuidad.


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Si el fluido que se encuentra en el conducto de la figura es un liquido para el cual ladensidad en el punto 1 es la misma que la del punto 2; entonces se puedeconsiderar como liquido incompresible , esto se puede expresar como:

2211UAUA

Esta es la ecuacin de continuidad para flujo estable, esto es: que la rapidez deflujo de un volumen es la misma en cualquier seccin.


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Ejercicio continuidad 1:

En el conducto que se muestra el dimetro interior en las secciones 1 y 2 es de 50 y100 mm, respectivamente. Si esta fluyendo agua a 70C con una velocidadpromedio de 8 m/s en la seccin 1 calcular:

a) la velocidad promedio en la seccin 2.

b) la rapidez de flujo de volumen.

c) la rapidez de flujo de peso.

d) la rapidez de flujo de masa.


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Solucin:

2211 UAUA

La ecuacin de continuidad para flujo incompresible se utiliza para hallar lavelocidad en el punto 2. Despejando la velocidad 2:

2

112A

AUU

22

21 7854;1963 mmAmmA

a) Entonces la velocidad 2 es:

s

m

mm

mmx

s

mU 2

7854

19638

2

2

2

b) Gasto volumtrico:

s

msm

mm

mmmuAQ

3

23

22

11 0157.0)/8(*10

0.1*1963

c) Rapidez de flujo en peso:

s

kN

s

m

m

kN

QQW 151.00157.0*59.9

3

3

s

kg

s

m

m

kgQQM 36.150157.0*978

3

3

d) Gasto msico:



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Un intercambiador de calor de casco y tubo est constituido por dos ductos deacero, como se muestra en la figura, cada ducto tiene un grueso de pared de0.049pulg.

Calcule la relacin (el cociente) entre el gasto volumtrico en el casco y el gastovolumtrico en el tubo, si se supone que la velocidad promedio del flujo deberser igual en cada uno .

S l i :


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Solucin:

Se pide la relacin de los gastos por lo que la respuestas ser:

Como se especifica que la velocidad en el casco debe ser igual a la velocidad en elducto, para este ejercicio Ucasco = Uducto:

Por lo tanto se debe conocer el rea del casco y el ducto para resolver elproblema, calculando primero para el ducto se tiene:

Dint (ducto) = Dext2esp = 1/2 2(0.049) = 0.402

222

int 126.04

)402.0(

4in

inDductoA

ductoducto

cascocasco

ducto

casco

UA

UA

Q

Q

ductoducto

ductocasco

ducto

casco

uA

uA

Q

Q

*

*

P l l l f ti d l d d


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Para calcular el rea efectiva del casco por dondecircula el flujo se debe considerar la seccin interiordel casco y a sta, restarle el rea exterior del ducto.

222

196.04

)5.0(

4in

inDDuctoAext

222

int 278.0196.0474.0 inininDuctoACascoAA extcascoefec

2.2

196.0

278.02

2

in

in

Q

Q

ducto

casco

222

int 474.04

)777.0(

4in

inDCascoA

El rea interior del casco se calcula con:

Dint (casco) = Dext2esp = 7/82(0.049) = 0.777

El rea exterior del ducto es:

El rea efectiva del casco es:

La relacin de gastos es:



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En la siguiente figura se muestra un intercambiador que se utiliza paratransferir calor desde el fluido que circula dentro del tubo interior hacia elliquido que fluye en el espacio comprendido entre la parte exterior del tubo y la

parte interior del conducto cuadrado que rodea el tubo. Este dispositivo se conocecomo intercambiador de calor de casco y tubo.

Calcule a) el gasto dentro del tubo y b) en el conducto cuadrado (casco), indique elresultado en gal/min (considere que la velocidad en ambos conductos es 8 pies/s).

NOTA: 1pie/s = 449galones /min.

a)De la tabla se conoce que en un tubo de cobre tipo K de se tiene:


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a)De la tabla se conoce que en un tubo de cobre tipo K de se tiene:

int = 0.527pulg = 0.0439pie y ext = 0.625pulg = 0.0520pie

Por lo tanto el rea es: At = ((0.0439pie) * )/4 = 0.00151 pie

El gasto dentro del tubo es:

Qt = A1 U = (0.00151 pies) * (8 pies/s) = 0.0121pie/s

Si se conoce que 1pie/s = 449galones /min, se tiene: Qt = 5.42gal/min.

b)El rea de flujo neta para el conducto cuadrado es la diferencia entre el readentro del casco cuadrado y la parte externa del tubo, por lo tanto:

As = S - (ext/4) = (0.8pulg) - (0.625pulg)/4 = 0.333pulg

Convirtiendo a pies se tiene:

As = 0.333pulg * (1pie/144pulg) = 0.00231pie

El gasto en esta seccin es entonces:

Qs = A2 U = (0.00231 pies) * (8 pies/s) = 0.0185pie/s

Si se conoce que 1pie/s = 449galones /min, se tiene: Qt = 8.31gal/min.



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En la figura se muestra un conducto de 150mm que lleva 0.072m/s de agua, si elconducto se ramifica en dos, y la velocidad en el conducto de 50mm es de 12m/s,

Cul es la velocidad en el conducto de 100mm?

Datos del problema:


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222

2 00196.04

)050.0(

4m

mDA

s

mm

s

mAVQ

32

222 0235.000196.0*12

321 QQQ

213 QQQ s

m

s

m

s

mQ

333

3 0485.00235.0072.0

222

3 00785.0

4

)1.0(

4

mmD

A sm

m

sm

A

QV /18.6

00785.0

/0485.02

3

3

33

Datos del problema:

D1 =0.150m Q1 = 0.072m/s

D2 = 0.050m V2 = 12m/s

D3 = 0.100m V3 = ?

Utilizando la ecuacin de Continuidad se tiene:

Primero se encuentra el gasto 2:

Ahora se puede conocer el gasto en 3, despejando de la ecuacin de arriba:

Por lo tanto la velocidad en 3 se puede conocer de la ecuacin de gastovolumtrico tal como se indica:



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Considere un flujo estacionario de agua a travs del dispositivo que se muestraen el diagrama. Las reas son A1=0.2pie, A2=0.5pie y A3=A4 = 0.4pie.

La relacin de flujo msico que sale de la seccin 3) es de 3.88slug/s. El flujovolumtrico que entra en la seccin 4) es de 1pie/s y en la seccin 1 la velocidades: V1=10i pies/s.Si las propiedades se suponen uniformes a travs de todas las secciones de flujode entrada y salida, determine la velocidad en la seccin 2).

[Forma integral de ecuacin de continuidad]

Adems calcule los valores de lascomponentes de velocidad para los ejes

x y y en las secciones 3 y 4

Datos:


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Datos A1 = 0.2pie.A2 = 0.5pie.A3 = A4 = 0.4pie. = 1.94 slug/pie.Qm3 = 3.88 slug/s (saliendo).Q4 = 1 pie/s (entrando).U1 = 10i pies/s.U2 = ?

Consideraciones:

1) Flujo incompresible (Se analizan gastos msicos).

2) Flujo estacionario (No hay variacin de las propiedades en el tiempo).

3) Propiedades uniformes en todo el VC (No existe TFC o reaccin qumica).

scvc

AdUdt

0 sc

AdU

0

Solucin:


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Solucin

Para cualquier volumen de control que se escoja para resolver el problema, seobserva que existen 4 secciones (superficies de control) donde la masa fluye, porlo tanto se puede escribir:

0

4321

4321 AAAAsc

AdUAdUAdUAdUAdU

Se pueden analizar las integrales una por una admitiendo que las propiedadesson uniformes sobre cada rea y recordando que la densidad es constante, por lo

tanto para la superficie 1:

AUAdUA

1

El smbolo de valor absoluto indica que se han tomado encuenta las direcciones de los vectores en el producto punto.

NOTA: El vector rea es un vector de producto escalar quecontiene tanto a la entidad geomtrica como al vector normal,que tiene la propiedad de ser ortogonal a todos los vectores

tangentes a la entidad geomtrica.

P l fi i 3 ti :


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Para la superficie 3 se tiene:

m

A

QAUAdU

3

Para la superficie 4 el anlisis es:

QAUAdUA

4

Despejando la integral para el punto dos de la ecuacin inicial planteada:

4312

431

AAAA

AdUAdUAdUAdU

Sustituyendo valores se encuentra:

43112

QQAUAdU mA

s

slug

s

pie

pie

slug

pie

slugpie

s

pie

pie

slug94.11*94.188.32.0*10*94.1

3

33

2

3

Puesto que el valor de la integral es positivo el producto punto de U y A es


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Puesto que el valor de la integral es positivo, el producto punto de U y A espositivo tambin, lo que implica que el flujo es hacia afuera como se indica en eldibujo:

Finalmente de la ecuacin de continuidad se despeja la velocidad 2 para obtenersu valor:

sslugAUAdU

A

94.1222

s

pie

pieslug

pie

s

slug

As

slug

U 25.0

1*94.1*94.1

94.1

2

3

2

2

Como U2 est en la direccin y negativa entonces se debe escribir como:

s

piejU

22

C i d l


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Conservacin de la energa.

En el anlisis de problemas en lneas de conductos, debe tomarse en cuenta todala energa del sistema.

De fsica se conoce que la energa no puede ser creada ni destruida, sino quepuede ser transformada de un tipo a otro, este es el enunciado de la ley deconservacin de la energa.

Cuando se analizan problemas de flujo en conductos, existen tres formas deenerga que siempre se deben tomar en consideracin.

C i d l (E i d B lli)


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Conservacin de la energa (Ecuacin de Bernoulli)

Considere el elemento de fluido que se muestra en la figura, y que se encuentraen el interior del conducto de un sistema de flujo.

Este elemento esta localizado a una cierta elevacin (z), tiene una velocidad (v)yuna presin (p). El elemento de fluido tendr las siguientes formas de energa:

*Energa potencial: debido a su elevacin o altura, la energa potencial delelemento con respecto de algn nivel de referencia es:

PE = w * z (w = peso del elemento).

*Energa cintica: debido a su velocidad, la energa cintica del elemento es:

KE = w * u / 2 g (g = gravedad).

*Energa de flujo: en ocasiones conocida como energa de presin o trabajo de


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Energa de flujo: en ocasiones conocida como energa de presin o trabajo deflujo, sta representa la cantidad de trabajo necesario para mover el elemento defluido a travs de una cierta seccin.

La energa de flujo se abrevia FE (flow energy) y se calcula a partir de la

ecuacin: FE = w * p / (p = presin en el elemento).

La cantidad de energa total que posee el elemento de fluido ser la suma deestas tres formas de la misma, y se representa por E:

E = FE + KE + PE

E = (w * p / ) + (w * u / 2g) + (w * z)

As las unidades que se utilizan en esta ecuacin son:

*

*

mNm

m

NmPa

N

mPaN

m

N

PaNwp 3

2

33

3

****

mNms

sNm

s

ms

mN

g

wu

2

22

2

2

2

2

Considere ahora el elemento de fluido de la figura inferior, que se mueve de la


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Considere ahora el elemento de fluido de la figura inferior, que se mueve de laseccin 1 a la seccin 2, los valores de p, z y vson diferentes en las dos secciones.

En la seccin 1, la energa total es:

En la seccin 2, la energa total es:

gwuwzwpE2

2

11

11

g

wuwz

wpE

2

2

22

22

Si no se agrega energa al fluido o sepierde entre la secciones 1 y 2, entoncesel principio de conservacin de la energase expresa:

21 EE

g

wuwz

wp

g

wuwz

wp

22

2

22

2

2

11

1

El peso del elemento w, es comn en todos los trminos y se le puede cancelar,


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El peso del elemento w, es comn en todos los trminos y se le puede cancelar,por lo que la ecuacin queda entonces:

Esta ecuacin se fue deducida por Daniel Bernoulli, por eso lleva su nombre.

g

uz

p

g

uz

p

22

2

22

2

2

11

1

Cada uno de los trminos de la ecuacin tiene unidades de longitud, y a la vezrepresentan formas distintas de energa; en hidrulica es comn expresar laenerga en trminos de longitud, y se habla dealtura o cabeza, esta ltima frasese deriva directamente de la traduccin del ingls hydraulic head.

Unidades para cada elemento:

*

*

*

mmN

mN

m

Nm

N

m

N

Pap

2

3

3

2

3

mms

sm

s

ms

m

g

u

2

22

2

2

2

2

mz

Restricciones a la ecuacin de Bernoulli


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Restricciones a la ecuacin de Bernoulli.

Aunque sta ecuacin es aplicable a una gran cantidad de problemas prcticos,existen algunas limitaciones que deben tomarse en cuenta con el fin de aplicar laecuacin de manera correcta:

*es vlida solamente para fluidos incompresibles (d / dt = 0), puesto que el pesoespecifico del fluido se considera igual en las dos secciones.

*no puede haber dispositivos mecnicos entre las dos secciones de inters quepudieran agregar o eliminar energa del sistema, ya que la ecuacin estableceque la energa total del fluido es constante.

*no puede haber transferencia de calor hacia adentro o fuera del sistema.

*no puede haber prdidas de energa debido a la friccin.

En realidad ningn sistema real satisface estas restricciones, sin embargo,existen muchos sistemas para los cuales solamente se tendr un errordespreciable cuando se aplica la ecuacin de Bernoulli.

g

uz

p

g

uz

p

22

2

22

2

2

11

1

Ejercicio ecuacin de Bernoulli 1:


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En la figura que se muestra fluye agua a 15C de la seccin 1 a la seccin 2, en laseccin 1 se tiene un ducto con 25mm de dimetro, la presin manomtrica es de345kP y la velocidad de flujo es de 3 m/s.

La seccin 2, tiene 50mm de dimetro y est 2 metros sobre la seccin 1,suponiendo que no hay perdidas de energa calcule la presin 2.

Datos del problema:


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Datos del problema

D1 = 25mm P1 = 345kP u1 = 3m/s

D2 = 50mm Z2Z1 = 2.0m P2 = ?

g = 9.806m/s h2o= 9.81kN/m

Utilizando la ecuacin de Bernoulli se tiene:

g

uz

p

g

uz

p

22

2

22

2

2

11

1

g

uz

g

uz

pp

22

2

22

2

11

12

g

uz

g

uz

pp

22

2

22

2

11

12

Agrupando los elementos de la energa potencial y cintica (cabeza de elevacin yde velocidad) se tiene:

g

uuzzpp

2

2

2

2

12112

Para poder resolver la ecuacin de Bernoulli se debe conocer la velocidad en el


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Para poder resolver la ecuacin de Bernoulli se debe conocer la velocidad en elpunto 2, puesto que los dems datos ya se proporcionaron.

Utilizando la ecuacin de continuidad:

Se puede conocer la velocidad en el punto 2:

Se deben calcular las reas en las secciones del conducto:

Sustituyendo estos valores en la ecuacin de continuidad se encuentra lavelocidad 2:

De las condiciones inciales se conoce que:

Z2Z1 = 2.0m

Despejando Z2 queda:

Z2

= 2.0m + Z1

2211 uAuA

2

112

A

uAu

222

1

4914

)25(

4mm

mmDA

222

2

19634

)50(

4mm

mmDA

smmm

mmsmu /75.0

1963

)491(*)/0.3(2

2

2

S tit d h l i d B lli t d l d t id :


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Sustituyendo ahora en la ecuacin de Bernoulli todos los datos conocidos:

g

uuzzpp

2

2

2

2

12112

)/806.9(2

)/75.0()/0.3(0.281.9345

2

22

32 sm

smsmm

m

kNkPap

)/806.9(2

)/75.0()/3()0.2(81.93452

22

112sm

smsmzmzkNkPap

2

22

32 /)806.9(2

/)563.00.9(0.281.9345

sm

smm

m

kNkPap

2

22

32 /612.19

/437.80.281.9345

sm

smm

m

kNkPap

mmm

kNkPap 43.00.281.9345

32

2

2 /39.15345 mkNkPap

kPap 61.3292

Procedimiento para la aplicacin de la ecuacin de Bernoulli:


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Procedimiento para la aplicacin de la ecuacin de Bernoulli:

*Determinar que elementos son conocidos y que se va a encontrar.

*Decidir cuales dos secciones del sistema utilizar cuando escriba la ecuacin de

Bernoulli, generalmente se escoge una seccin de la cual se conocen muchosdatos.

*Escribir la ecuacin en la direccin del flujo, es decir, el flujo debe ir de laseccin de la parte izquierda de la ecuacin a la parte derecha.

*Simplifique la ecuacin, si es posible, mediante la cancelacin de los trminoscuyo valor es cero o de aquellos que son los mismos en ambos lados de laecuacin.

*Sustituya las cantidades conocidas y calcule el resultado, tome la precaucin deasegurar el uso de unidades consistentes a lo largo del clculo.

g

uz

p

g

uz

p

22

2

22

2

2

11

1

Energa de flujo Energa potencial Energa cintica

Cabeza de presin Cabeza de elevacin Cabeza de velocidad



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Gasolina (sg = 0.67) est fluyendo a 0.11m/s en el conducto que se presenta en lafigura, si la presin antes de la reduccin es de 415kPa, calcule la presin en elconducto de 75 mm de dimetro.


Agua a 10C est fluyendo del punto A al punto Bpor el conducto que se muestra en la figura a unarapidez de flujo volumtrico de 0.37m/s. Si lapresin en A es de 66.2kPa, calcule la presin en B.


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Gracias por

su atencin

dinamica de fluidos unidad ii.ppt

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