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Unidad II.- CENTROS DE GRAVEDAD Mecánica Racional

UNELLEZ - INGENIERÍA CIVIL 14

UNIDAD 2

EQUILIBRIO DE CUERPOS RÍGIDOS.

CENTROS DE GRAVEDAD

GENERALIDADES.-

El centro de gravedad es aquel que localiza el peso resultante de un sistema de

partículas y el centro de masas de un sistema de partículas discretas. Para ello

consideraremos un sistema de n partículas fijo dentro de una región del espacio.

Los pesos de las partículas pueden reemplazarse por una única (equivalente)

resultante con un punto de aplicación G bien definido.

Es decir, un sistema de fuerzas paralelas entre sí, puede ser sustituido por una fuerza

única resultante, como la suma algebraica (WR) que actúa sobre un punto específico.



Ese es el punto de aplicación que tendrá por coordenadas x, y y z, y se le

denominará “Centro de Gravedad” (G).

El Peso resultante = peso total de las n partículas

La suma de los momentos de los pesos de todas las partículas respecto a los ejes x,

y, z ejes = momento del peso resultante respecto a esos ejes.

La Suma de momentos respecto al eje x.

La Suma de momentos respecto al eje y.

Aunque los pesos no producen momento sobre el eje z, podemos rotar el sistema de

coordenadas 90° respecto al eje x (o y) con las partículas fijas y sumar los momentos

respecto al eje x (o y),

Ya que el Peso = m.g

Esto implica que el centro de gravedad coincide con el centro de masas. Las

partículas tienen peso solo bajo la influencia de una atracción gravitatoria, mientras que el

centro de masas es independiente de la gravedad.



CENTROS DE GRAVEDAD DE ÁREAS SIMÉTRICAS Y REGULARES

El centro de gravedad de áreas regulares y/o simétricas de cuerpos rígidos, tales

como: cuadrados, rectángulos, triángulos, círculos, entre otros, coinciden su centro

geométrico de tal forma:

a h

a b

Momentos de Primer Orden.

Si se tiene un área cualquiera, referidos a un sistema de ejes cartesianos, a su vez,

esta puede subdividirse en varias áreas conocidas A1, A2, A3… An. Entonces se denomina

momento de primer orden al producto de dicho eje al considerado.

𝑆𝑥 = 𝐴1 .𝑌1 + 𝐴2.𝑌2 + 𝐴3.𝑌3 + … . .𝐴𝑛 .𝑌𝑛

En resumen: 𝑺𝒙 = 𝑨𝒊.𝒀𝒊𝒏𝒊=𝟏

De forma similar con respecto al eje Y:

𝑺𝒚 = 𝑨𝒊.𝑿𝒊

𝒏

𝒊=𝟏

G .

G

r

G



Un cuerpo rígido está compuesto por un número infinito de partículas. Si

consideramos una partícula arbitraria de peso dW.

Por otra parte, si un área definida por el contorno y = f(x); se lleva a un elemento

infinitesimal, teniendo:

Donde x, y y z respectivamente, se denominan momentos estáticos de primer orden

respecto a los ejes x, y y z.

Centro de Gravedad para un Sistema de Partículas.

Si se considera un sistema de “n” partículas fijas contenidas en un espacio de

coordenadas x, y y z. Para el centroide de la superficie de un objeto, tal como una placa o un

disco, subdividimos el área en elementos diferenciales dA.



CENTROIDE DE UNA LÍNEA.

Si la geometría de un objeto (rígido), por ejemplo una varilla o un alambre, que

tenga la forma de una línea continua y homogénea, se elige un diferencial de longitud dL,

que tiene coordenadas x, y y z respectivamente

En este caso el centro de gravedad del objeto no necesariamente debe estar sobre la

línea, sino fuera de ella, tal como se muestra en la figura. Entonces se tiene que:



Eje de Simetría.

En el caso de figuras plana, el centro de gravedad G, necesariamente se encuentra

dentro de esa área.



Centros de Gravedad de Áreas

Ejemplo # 1.

Demostrar que el centro de gravedad de

un rectángulo es 𝑏ℎ 𝑦 ℎ

2 respectivamente.

y

dy h

y

b x

Ejemplo # 2.

Determinar el centro de gravedad de un

triángulo.

y

dy I h

y

b x

Solución:

Los lados de b y h se tiene dA = b.dy

Aplicando la definición, se tiene:

Aŷ = 𝑦.𝑑𝐴 ; ŷ = 𝑦 .𝑏 𝑑𝑦ℎ

0

𝐴 pero como A = b.h

ŷ =

𝑏 . 𝑦2

2 0

ℎ

𝑏 .ℎ =

𝑏 .ℎ2

2.𝑏 .ℎ ; ŷ =

𝒉

𝟐

Demostramos a X

Aplicando la definición, se tiene:

dA = h.dx ; x = 𝑋 𝑑𝐴𝑏

0

𝐴 pero como dA = h.dx

𝑋 .ℎ𝑑𝑥𝑏

0

𝑏 .ℎ ŷ =

ℎ . 𝑥2

2 0

𝑏

𝑏 .ℎ =

ℎ .𝑏2

2.𝑏 .ℎ ; x =

𝒃

𝟐

Solución:

dA = s.dy

Dado que A = ½ b.h, aplicando la definición se tiene:

ŷ = 𝑦 .𝑑𝐴

𝑑𝐴 por semejanza de triángulo

𝒃

𝒔=

𝒉

𝒉−𝒚 =>

𝒔 = 𝑏

ℎ (ℎ − 𝑦) sustituyendo el valor de G

ŷ = 𝑦 .

𝑏

ℎ (ℎ−𝑦) 𝑑𝑦

ℎ0

𝑏

ℎ (ℎ−𝑦) 𝑑𝑦

ℎ0

=

𝑏

ℎ (ℎ−𝑦2) 𝑑𝑦ℎ

0𝑏

ℎ (ℎ−𝑦) 𝑑𝑦ℎ

0

s

s

ŷ =

ℎ .𝑦2

2 − 13𝑦

3 0

ℎ

ℎ .𝑦− 𝑦2

2 0

ℎ = 16ℎ

3

12ℎ

2 ; ŷ = 𝟏

𝟑.𝒉 identifica el

centro de gravedad a 1/3h de la base y a una distancia 2/3h del vértice.



Ejemplo # 3.

Determinar el centro de gravedad de la

figura compuesta que se muestra.

Solución:

C2 C1



Ejemplo # 4.


figura.

Solución:

.

Ejemplo # 5.

Localice el centro de gravedad de la figura

compuesta.



Ejemplo # 6.

Localice el centro de gravedad de la figura

compuesta.



Ejemplo # 7.


figura.



Ejemplo # 8.


figura.

Ejemplo # 9.


figura.

Un cuarto de

Elipse



Ejemplo # 10.


figura.



Usando Y de un arco de radio

En el límite como Δ →0

Así que:



Ejemplo # 11.

El eje horizontal x señala el centroide del área mostrada y

divide el área en dos componentes A1 y A2. Determine el

primer momento para cada componente de área respecto

al eje x, y explique los resultados obtenidos.

Área 1

Área 2

Primero, se localiza y en la figura



Centros de Gravedad de Líneas

Ejemplo # 12.

Determinar la distancia de x al centro de gravedad

de una varilla homogénea de forma parabólica. Si

la varilla tiene un peso por unidad de longitud de

0.5 lb/ft. Determine la reacción al soporte de apoyo

O.

Solución:

= 0



Ejemplo # 13.

Una varilla uniforme de acero es doblada en un

arco circular con radio de 500 mm. La varilla está

apoyada por un vínculo A y una cuerda BC.

Determine la tensión de la cuerda y la reacción en

A.

Solución:

Primero, por definición sabemos que:

También note que la deflexión ABD es un

triángulo equilátero. Equilibrando se tiene::



Ejemplo # 14.

Un alambre homogéneo de acero es doblada en un

arco parabólico. Determine por integración la

coordenada x de su centroide.

Solución:

Primero, notemos que debido a que el alambre es homogéneo, su centro

de gravedad coincide con el centroide de la línea correspondiente

se tiene:

Luego:

Entonces:

Entonces:



Ejemplo # 15.

Un alambre homogéneo de acero es doblada en un

arco parabólico. Determine por integración la

coordenada x de su centroide.

Solución:

Primero, notemos que debido a que el alambre es homogéneo, su centro

de gravedad coincide con el centroide de la línea correspondiente

Ahora:

Luego:

Y:

Entonces:



Centros de Gravedad de Volúmenes

Ejemplo # 16.

Determine el volumen y área del sólido obtenido

por rotación del área del ejemplo # 4. a) referente

al eje x, b) a la línea x = 165 mm.

Solución:

De la solución del Ejemplo # 4, tenemos:

Aplicando el Teorema de Pappus-Guldinus, tenemos:

(b) La Rotación referente al eje x:

(a) La Rotación referente a x= 165 mm:

Área

Línea



Ejemplo # 17.

En un agujero de 15 mm de díametro se introduce

un tornillo de acero de 20 mm de espesor, el

orificio luego es compensado por el tornillo, tal

como se muestra. Determine el volumen del acero

removido durante el proceso de atornillado

Solución:

El volumen requerido puede ser generado por la rotación del área mostrada referenten al eje y.

aplicando el segundo Teorema de Pappus-Guldinus, tenemos:



Ejemplo # 18.

Determine el volumen y el área de superficie de

la figura mostrada, el cual está hecha de 2 in

(pulgadas) de diámetro. Si R = 3 in y L = 10 in.

Solución:

Notemos que el área A y la circunferencia C del cruce de la sección del tubo es:

Observemos que el final de la sección semicircular puede ser obtenida por la rotación al cruce de la sección a

través del arco semicircular del radio R. Luego aplicando el segundo Teorema de Pappus-Guldinus, tenemos:

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