7/18/2019 Todo Espacio Vectorial tiene una Base

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Facultad de Ciencias Fısicas y Matematicas Universidad de Chile

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Espacios de dimension infinita

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La idea de este texto es conocer algunos de los espacios de dimensi on infinita y mostrar el potente resultado de quetodo espacio vectorial tiene una base. Este resultado es (medianamente) intuitivo tomando espacios de dimension finita(uno esperarıa que se parecieran a R

n y sus vectores unitarios), pero es extrano cuando hablamos de espacios de dimensioninfinita, esto es pues en muchos de estos espacios no logramos encontrar una base explicita de cardinal infinito, pero aunası sabemos que existe. Veamos ciertos ejemplos de espacios sin base explicita.

Ejemplo 1.   Consideremos el espacio vectorial    de las sucesiones a valores reales. ¿Cual serıa la base de   ?, Pensandocomo lo harıamos en  R

n se nos ocurrirıa que las sucesiones (1, 0, 0, 0,...), (0, 1, 0, 0,...), (0, 0, 1, 0,...) conformarıan nuestrabase. El problema es que no todas las sucesiones pueden ser escritas como una suma de los elementos de esta   base . Porejemplo cualquier sucesion constante no puede ser escrita como elementos de esta base.

Propuesto :  ¿Por que las sucesiones constantes no pueden ser escritas como sumas  finitas  de elementos de esta  base ?

Ejemplo 2.  Consideremos ahora el espacio   L  de funciones   f   :   R   →   R. Esta vez el problema es mucho mas complejopuesto que es mas difıcil intuir alguna base, ni siquiera de una erronea, como la vez anterior.

Aun ası no todos los espacios de dimension infinita dan problemas al encontrar su base, en algunos casos esta es inclusointuitiva.

Teorema 1.   Sea  P   el espacio vectorial de todos los polinomios de coeficientes en   R   y valores en  R.  P   es de dimensi´ on 

infinita y  B  =  {x0, x1, x2, x3, x4,...}  es una base de  P .

Demostraci´ on.  Recordemos que para que un conjunto sea base debe ser l.i. y todo elemento del espacio debe poder serescrito como una combinacion lineal de elementos de la base.Es linealmente independiente, pues si no lo fuera tendria un subconjunto l.d., es decir tendrıamos un elemento xy ∈ B  quepuede ser escrito como combinacion de lineal de otros elementos de  B , lo que es una contradiccion.

Ademas todo polinomio puede ser escrito como una suma de elementos de B , puesto que todo polinomio P (x) por definiciones de la forma  P (x) =

k

i=0 λixi para algun  k .

Corolario 1.   L   es dimensi´ on infinita.

Demostraci´ on.   Como P  es subespacio de  L, la dimension de  L  es por lo menos la dimension de  P .

En general se emplean tres tecnicas para demostrar que un espacio es de dimension infinita, la primera es por contra-diccion asumiendo una base finita, la segunda es encontrando una base infinita y la ultima es encontrando un s.e.v. dedimension infinita. Cabe notar que dos de estas demostraciones no dan una base explicita para el espacio, pero aun asisabemos que existe (y que es infinita). Empleemos la tecnica de usar un s.e.v. mas sencillo para encontrar la dimensionde un espacio mas complejo.

Teorema 2.    es de dimensi´ on infinita.

Demostraci´ on.   Nuevamente tenemos el problema de que no tenemos una base explıcita, analogamente a los polinomiosdemostraremos que un s.e.v. tiene dimension infinita, siguiendo la misma idea que con  L. Mostraremos que el s.e.v.  c00de las sucesiones que tienen una cantidad finita de terminos no nulos es de dimensi on infinita y que  B  = {ei}∞i=1   con  eila sucesion que es nula salvo en la posicion  i  donde hay un 1 es una base de este. En efecto sea  s(n) ∈  c00, sabemos que

esta es nula a partir de un  i∗. Por tanto  s(n) =i∗

i=1 λiei   con s(i) =  λi. De esto concluimos que tanto  c00   como    son dedimension infinita.Propuesto: Verifique que  c00   es s.e.v. de    y que  B  es l.i.

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Por ultimo veremos el teorema de que todo espacio vectorial tiene una base, esto es increıble pues vimos que encontraruna base para    o  L  es muy dificil (de hecho nadie lo ha logrado), pero mediante este teorema sabemos que existen. Esteresultado es sumamente potente y ocupa el famoso Axioma de Elecci´ on  (que dice que el producto arbitrario de conjuntos novacios es no vacio) en forma del  Lema de Zorn , para ocupar esta herramienta necesitamos primero un par de definiciones.

Definicion 1   (Cadena).   Un subconjunto  C  de un conjunto parcialmente ordenado (E, ≤) se dira cadena si todos sus

elementos son comparables (i.e.  ∀x, y ∈  C   tenemos que  x  ≤  y  o  y  ≤  x)

Definicion 2  (Elemento Maximal).  Un elemento  m  ∈  E  se dira maximal si verifica

m ≤  y  ⇒  y  =  m   ∀y ∈  E 

Teorema 3  (Lema de Zorn).   Si toda cadena  C  en un conjunto parcialmente ordenado  E   tiene cota superior, entonces el 

conjunto  E   tiene un elemento maximal.

Demostraci´ on.   La demostracion del lema de Zorn es bien complicada y escapa de los contenidos del curso, aun asi esinteresante saber que esta ocupa el axioma de eleccion y mas aun es equivalente a este. Para los que esten interesados enestos temas en material docente subı un pdf que abarca en mayor profundidad tanto el lema de Zorn como el axioma deeleccion.

Ya estamos listos para probar nuestro gran teorema, de hecho podemos probar algo un poco m as fuerte

Teorema 4.   Todo conjunto l.i. de un espacio vectorial puede ser extendido a una base.

Demostraci´ on.   Sea  I  un conjunto l.i. de un espacio vectorial  E  y consideremos  A =  {B  ⊆  E   : B   es l.i.   ∧ I  ⊆ B}  dotadodel orden  ⊆. Veamos que toda cadena  C   tiene una cota superior  S   =  ∪C ∈CC , es claro que   I   ⊆  C   ⊆ ∪C ∈CC   para todoelemento de la cadena, basta ver que es l.i., supongamos que no, por tanto existen   c1   ∈  C 1   c2   ∈  C 2  que son l.d., luegocomo  C  esta totalmente ordenada podemos suponer sin perdida de generalidad que  C 1  ⊆ C 2  luego  c1, c2  ∈ C 2  son l.d. loque contradice el hecho de que  C 2  es l.i.Concluimos que toda cadena tiene cota superior, entonces existe un elemento maximal  M . Veamos que M  es una base, enefecto M  es l.i. pues  M  ∈ A, supongamos que existe un elemento  x  que no se puede escribir como combinacion lineal deelementos de  M , entonces M  ∪ x es l.i. y extiende a  M , lo que contradice el hecho de que  M  es maximal para la inclusion.Por tanto  M  es base.

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