tema i. espacio vectorial uned

TEMAS I

NOTAS BREVES SOBRE MATRICES Y DETERMINATES

1.- Definicin de matriz . Una matriz real de orden mxn siendo m y n nmeros naturales es un conjunto de mxn nmeros distribuidos en m filas y n columnas.

Ejemplos:

A los nmeros que componen las matrices se les llama elementos. Se representan en general por la expresin aij donde i representa la fila y j la columna en la que se encuentra.

Ejemplo:

2.- Igualdad de matrices Dos matrices son iguales si tienen el mismo orden y adems los elementos colocados en el mismo lugar, valen lo mismo. ( han de ser la misma matriz)

3.- Operaciones con matrices

a) Suma. Dadas dos o ms matrices del mismo orden, su suma es otra matriz del mismo orden cuyos elementos se obtienen como suma de los elementos colocados en el mismo lugar de las matrices sumandos.

Ejemplo: +

b) Multiplicacin por un nmero. Para multiplicar una matriz cualquiera por un nmero real, se multiplican todos los elementos de la matriz por dicho nmero.

Ejemplo: 2=

c) Producto de matrices. El resultado de multiplicar dos matrices es otra matriz en la que el elemento que ocupa el lugar cij se obtiene sumando los productos parciales que se obtienen al multiplicar todos los elementos de la fila i de la primera matriz por los elementos de la columna j de la segunda matriz.

Ejemplo:

=

Ntese que para que esta operacin tenga sentido tal y como se ha definido, es preciso que el nmero de columnas de la primera matriz, coincida con el de filas de la segunda. En caso contraria no casaran las multiplicaciones parciales. La matriz resultante tiene el nmero de filas de la primera y el de columnas de la segunda. Es importante subrayar tambin que en el caso en que se pudieran multiplicar las matrices AB y BA , el resultado generalmente es diferente, lo que nos dice que la multiplicacin de matrices no tiene la propiedad conmutativa.

4.- Matrices traspuestasDada una matriz A, su traspuesta ( At) es la que se obtiene al cambiar filas por columnas en el mismo orden. Ejemplo: A = At =

Ejemplo: Dadas las matrices A = y B = , calcular :

a) A + B; b) A B c) 2A d) 3B e) 3A + 2B; f) (A B)t ; g) AB ; h) BA ; i) At

Solucin

a) A + B = b) A B = c) 2A =

d) 3B = e) 3A + 2B = f) (A B)t =

g) AB = h) BA = i) At = 5.- Determinante de una matriz cuadrada

Es un nmero asociado a toda matriz cuadrada y que en el caso de las de 2x2 y 3x3 se calcula de las siguientes maneras.

Sea A = su determinante que se expresa

En el caso de que sea A = se calcula como:

EMBED Equation.3 Obsrvese que en este caso los productos positivos estn formados por los elementos de la diagonal principal y sus dos paralelas multiplicadas por el elemento que est en el extremo opuesta. Anlogo para la secundaria y sus paralelas. Este mtodo es conocido como la regla de SarrusEjemplos:

Calcula

Calcula

= 54 +8 + 40 60 + 48 6 = 24.

EJERCICIOS PROPUESTOS

Calcular el valor de los siguientes determinantes:

a)

SOLUCIONES a) 1 b) 1 c) 1 d) 1 6.- Propiedades de los determinantes1.- Si una matriz cuadrada tiene una lnea con todos los elementos 0, el determinante vale 0

2.- Si una matriz cuadrada tiene dos lneas paralelas iguales, el determinante vale 0

3.- Si una matriz cuadrada tiene dos lneas paralelas proporcionales, el determinante vale 0

4.- El determinante de una matriz cuadrada y el de su traspuesta valen lo mismo

5.- Si se intercambian dos lneas paralelas, el determinante cambia de signo

6.- Si multiplicamos los elementos de una lnea por un nmero, el determinante tambin queda multiplicado por el mismo nmero

Ejemplo: Sea la matriz A = . Su determinante vale 32. Ahora multiplicamos la segunda columna ( por ejemplo) por 3. Nos quedara la matriz B = . Su determinante sera 96 que sera 323

7.- El determinante del producto de dos matrices es igual al producto de los determinantes de dichas matrices, es decir

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3 8.- Si un determinante vale0, las filas o columnas son linealmente dependientes y si es distinto de cero son linealmente independientes

TEMA I. ESPACIO VECTORIAL

1.- ESPACIO VECTORIAL

Es una estructura algebraica formada por un conjunto E a cuyos elementos llamaremos vectores en el que se ha definido una ley de composicin interna (operacin) que denotaremos por + que cumple las siguientes propiedades:

a) u + ( v + w ) = ( u + v ) + w Asociativa

b) u + v = v + u Conmutativa

c) Existe un elemento de E que denotaremos por 0 tal que u + 0 = u y que llamaremos elemento neutro

d) Dado un elemento u de E existe otro llamado u tal que u + ( u) = 0 que llamaremos elemento simtrico

Tambin se ha definido una ley de composicin externa sobre un cuerpo K (generalmente el cuerpo de los nmeros reales), es decir una operacin de un elemento de E con otro de K para obtener otro de E que cumple las propiedades siguientes:

a) a( u + v ) = au + av

b) ( a + b )u = au + bu

c) a(bu) = (ab)u

d) 1u = u

Siendo a y b elementos de K y u y v elementos de E

Entonces al conjunto E con estas operaciones y cumpliendo las 8 propiedades se dice que es un espacio vectorial sobre K

A los elementos de un espacio vectorial se les llama vectores y a los elementos de K se les llama escalares.

Ejemplo

El conjunto R2 que son pares de nmeros reales (x , y) con la suma definida como:

( x1 , y1) + ( x2 ,y2 ) = ( x1 + x2 , y1 + y2 ) y la multiplicacin por un nmero definida como:

a( x, y ) = ( ax , ay ) tambin es un espacio vectorial sobre R. Anlogo para R3 y en general Rn.

2.- COMBINACIN LINEAL DE VECTORES

Dado un conjunto de vectores , una combinacin lineal de ellos es el vector que se obtiene al sumar los vectores dados multiplicados previamente por nmeros cualesquiera.

Ejemplos:

a) Sean los vectores . Multiplicamos el primero por 2 por ej. y el segundo por 4 quedando 2( 3, 2) + 4( 1, 1) = ( 10, 8 ). Este vector ( 10, 8 ) se dice que es combinacin lineal de los dos primeros. Obviamente se podrn obtener infinitos vectores generados por ellos, sin ms que cambiar los nmeros por los que multiplicamos.

b) Es el vector ( 5 , 6 ) tambin una combinacin lineal de los dados?

Si lo fuera tendra que haber dos nmeros a y b tales que ( 5, 6) = a( 3, 2) + b( 1, 1 )

Operando el segundo miembro e igualando componentes llegaramos a un sistema que resolvemos, es decir ( 5, 6 ) = ( 3a b, 2a + b ) y de aqu de donde

a = 1 y b = 8. Por tanto s que lo es

c) Es el vector ( 4, 3 ) una combinacin lineal de los vectores ( 1, 2 ) ( 2, 4 )?

Planteando lo mismo de antes llegamos a que ( 4, 3 ) = a( 1, 2 ) + b( 2, 4 ) y de aqu al sistema Al resolver este sistema vemos que es incompatible. Por lo tanto no es combinacin lineal.

3.- VECTORES LINEALMENTE DEPENDIENTES e INDEPENDIENTES

Dado un conjunto de vectores , diremos que constituyen un sistema linealmente independiente o sistema libre, si la nica forma de obtener el vector nulo como combinacin lineal de ellos es que todos los escalares valgan 0. En caso contrario, es decir si al menos un escalar es distinto de 0, el sistema es linealmente dependiente.

Ejemplos:

a) Cmo son los vectores ?

Hemos de plantear la siguiente condicin a(3, 2) + b( 1, 1) = (0, 0 ). El sistema que obtenemos ser que al resolverlo nos da a = b = 0 y por tanto son linealmente independientes ( L. I.)

b) Y los vectores (1, 2 ) ( 2, 4 )?

Al plantear la condicin a(1, 2) + b( 2, 4 ) = ( 0, 0) obtenemos el sistema que es compatible e indeterminado. Tomando por ejemplo a = 6 b = 3 se cumple la igualdad sin que los escalares sean 0. El sistema es linealmente dependiente. (L. D.)

Obsrvese que el sistema planteado siempre es homogneo con lo que slo caben dos posibilidades: si es determinado, la solucin es la trivial y el sistema es L. I. y si es indeterminado es L. D.

c) Comprobar que los vectores son L. I.

d) Comprobar que los vectores son L. D.

4.- SISTEMA GENERADOR

Dado un conjunto de vectores , diremos que es un sistema generador para el espacio vectorial E, si cualquier vector de E se puede escribir como una combinacin lineal de ellos. Es decir si w E w = .

Ejemplos:

a) Probar que los vectores son un sistema generador ( S. G. ) de R2Cojamos un vector cualquiera de R2 por ejemplo ( m, n ) y escribimos

a(3, 2) + b( 1, 1) = (m, n ). De aqu el sistema de donde obtenemos

a = m + n y b = 2m + 3n lo que nos indica que sea cual sea el valor de m y n siempre podemos obtener el valor de a y b

b) Y los vectores ( 1, 2 ) ( 2, 4 )?

Para un vector ( m, n ) tendramos a(1, 2) + b( 2, 4 ) = ( m, n) y de aqu que al resolverlo nos da 0 = 2m + n , o sea no podemos calcular el valor de a y b y por lo tanto no lo puede generar.

5.- BASE y DIMENSIN DE UN ESPACIO VECTORIAL

Una base de un espacio vectorial es un conjunto de vectores que cumplen dos condiciones:

a) Es un sistema de vectores linealmente independientes

b) Es un sistema generador del espacio vectorial

Se demuestra que todas las bases de un espacio vectorial que puede tener infinitas tienen el mismo nmero de vectores. A dicho nmero se le llama dimensin del espacio vectorial. As la dimensin de R2 es 2 ; la de R3 es 3 y en general la de Rn es n. La dimensin del subespacio vectorial formado por el {0} tiene dimensin 0A la base cuyos vectores tienen sus componentes 0 excepto una que vale 1 se le llama base cannica. En R2 sera { ( 1, 0) ( 0, 1) }. En R3 { ( 1,0, 0 ) ( 0, 1, 0 ) ( 0, 0, 1 ) } y as sucesivamente.

6.- COORDENADAS DE UN VECTOR RESPECTO DE UNA BASE

Son los escalares por los que hay que multiplicar los vectores de la base para obtener el vector dado

Ejemplos:

a) Calcular las coordenadas del vector ( 5, 6) respecto de la base {( 3, 2) ;( 1, 1 )}

Ya hemos visto antes que ( 5, 6) = a( 3, 2) + b( 1, 1 ) nos da como resultado a = 1 y

b = 8. Dichos nmeros 1 y 8 son las coordenadas buscadas

b) Y respecto de la base cannica?.

Obsrvese que en este caso ( 5, 6) = a( 1, 0) + b( 0 ,1 ) nos da a = 5 b = 6 . Es decir en la base cannica, coinciden las componentes del vector con las coordenadas de dicho vector respecto de la base cannica

c) Calcular las coordenadas de los vectores a) ( 10, 6 , 9) b) ( 1, 7, 10) c) ( 1, 7, 7) respecto de la base ( Habra que hacer un sistema para cada vector): Sol: a) 2, 3, 1 b) 1, 2, 3 c) 5, 1, 27.- TEOREMAS RELATIVOS A BASES7.1.- En Rn n vectores linealmente independientes son base

7.2.- En Rn n vectores que forman un sistema generador son base

Estos teoremas nos permiten a la hora de demostrar que un sistema de vectores es una base, comprobar una sola de las dos condiciones de base.

8.- SUBESPACIO VECTORIAL

Sea E un espacio vectorial y sea F un subconjunto de E. Diremos que F es un subespacio vectorial de E si es un espacio vectorial con sus elementos y las operaciones inducidas de E.

Nota importante: Como F ha de ser espacio vectorial ha de contener el elemento neutro de E

Caracterizacin: Sea E un espacio vectorial y sea F diremos que F es subespacio vectorial de E si es decir cualquier combinacin lineal de elementos de F es un elemento de F.

Ejemplo: Sea E = R2 un espacio vectorial y sea F = es decir F lo forman los vectores de R2 cuya primera componente vale 0. Veamos que es un subespacio vectorial. Cogemos dos elementos de F u = ( 0 , y1) v = ( 0, y2) y dos nmeros reales . Calculamos

= que es un elemento de F, por tener la primera componente nula. Por lo tanto F es subespacio vectorial.

9.- FORMAS DE EXPRESAR UN SUBESPACIO

Son tres:

a) Mediante las ecuaciones implcitas o cartesianas que son igualdades que relacionan las componentes de los vectores.

Ejemplo 1: Sea F = . En este caso los vectores de F son aquellos que verifican que el doble de la primera componente ms la segunda es igual a 0. Vectores de F seran ( 3, 6) ( 2, 4) ( 0, 0 ) etc..

Ejemplo 2 : Sea F = { ( x1, x2, x3 ) 3x1 2x2 + x3 = 0 }. En este caso podran ser de F los vectores ( 1, 1, 1) ( 0, 0, 0 ) ( 2, 3, 0 ) ( 2, 4 , 14) etc.b) Mediante las ecuaciones paramtricas. Las componentes se relacionan mediante parmetros que son letras que pueden tomar valores arbitrarios.

Ejemplo 1: Sea F = . En este caso nos indica que si x toma un valor cualquiera, la y ha de valer el triple con signo cambiado. Vectores de F seran

( 0, 0) ( 1, 3) ( 2, 6) ( 4, 12) etc..

Ejemplo 2: Sea F = { ( }. Se nos indica que los vectores, que son de R3, tienen la caracterstica de que la 1 y la 3 componente son opuestas y la 2 es el doble de la 1; por ejemplo los vectores ( 3, 6, 3 ) y ( 1, 2, 1 ) pertenecen a F

Ejemplo 3 : Sea F = { ( }

En este caso se significa que la 1 componente x1 toma un valor arbitrario , la 2 x2 toma otro valor independiente del 1 que llamamos y la 3, vale la resta de los dos. Por ejemplo: ( 3, 1, 4 ) ( 2, 1, 3 ).c) Dando los vectores que generan el subespacio. En este caso los vectores de F son los generados por l o ellos.

Ejemplo 1:

Sea F = R( 1, 1). Esta forma de expresar el subespacio no indica que los vectores de l son los generados por el ( 1, 1), es decir por ej. (4, 4) ( 2,2 ) ( 0, 0) ( 5, 5) etc. Ejemplo 2

Sea F = R ( 1, 1, 0 ) + R ( 2, 0, 1 ) = { a ( 1, 1, 0 ) + b ( 2, 0, 1 ) } = { ( a + 2b, a, b ) }

Es importante de cara a la resolucin de problemas, el saber pasar de un modo a otro. Vemoslo con algn ejemplo.

El paso del modo c) al b) est resuelto en el ejemplo anterior. En el caso que tengamos que pasar del b) al c), no habra ms que sacar factor comn los parmetros a y b . Por ejemplo:

Ejemplo 1 : Sea F = { ( a, 3a ) } = { a ( 1, 3 ) } = R ( 1, 3 ) y ya estaramos en la c)

Ejemplo 2 : Sea F = {( a b, b, 3a + b )} = {a (1, 0, 3 ) + b ( 1, 1, 1 )} = = R (1, 0, 3 ) + R( 1, 1,1 ) Para pasar del b) al a) se eliminan los parmetros. Por ejemplo: Sea F = { ( a, 3a ) a}. Significa que x1 = a y x2 = 3a. Sustituyendo el valor de a en la 2 quedara x2 = 3 x1 de donde 3x1 x2 = 0 que es la ecuacin cartesiana

Ejemplo 3 : Sea F = { ( a + b, 2a, 3a b ) a, b R }. De aqu

Entre la 1 y la 3, sumndolas eliminamos b y queda x1 + x3 = 4a (1) y junto con x2 = 2a que multiplicamos por 2 y sumamos con (1) quedara x1 2x2 + x3 = 0.

Para pasar de la a) a la b) se calcula el valor de cada componente, teniendo en cuenta que al menos una tendr que tomar valores arbitrarios.

Ejemplo 1

Sea el subespacio cuya ecuacin cartesiana es 2x1 x2 = 0 : si queremos calcular x1, es evidente que su valor depender de lo que valga x2 y viceversa. As si queremos despejar x1, le daremos a x2 el valor a y x1 = con lo que el subespacio ser: F = { (x1,x2 ) = ( , a ) } lo que nos dice que el valor de la 1 componente es la mitad del de la 2. Para evitar trabajar con fracciones se puede escribir F = { ( a, 2a) } que representa el mismo subespacio

Ejemplo 2

Sea F = { (x1, x2, x3 ) de R3 / x1 + x2 2x3 = 0 }

El valor de cada una de ellas depende de las otras dos, por lo tanto al calcularla tendremos que darle a x2 por ej. el valor a y a x3 el valor b con lo que x1 = a + 2b y el subespacio quedara:

F = { ( x1, x2, x3 ) = ( a +2b, a, b ) } que al sacar factor comn a y b quedara F = { a ( 1, 1, 0 ) + b ( 2, 0, 1 ) } = R ( 1, 1, 0 ) + R ( 2, 0, 1 ) y estaramos en la forma c).

Por ltimo, en el caso en que F viniera en funcin de dos ecuaciones implcitas por ej. F = {( x1, x2, x3 ) / x1 + x2 2x3 = 0 x1 x2 = 0 }, resolveramos el sistema quedndonos con dos incgnitas al haber dos ecuaciones, con lo que dependeran de una sola incgnita

le damos a x3 el valor a y resolvemos el sistema obteniendo x1 = a y x2 = a.

Luego F ser F = { ( x1, x2, x3 ) = ( a, a, a ) } = {a ( 1, 1, 1 ) } = R( 1, 1, 1)10.- SUBESPACIO INTERSECCIN DE OTROS Dados dos subespacios L y M, el subespacio interseccin , est formado por los vectores que pertenecen simultneamente a los dos. La forma ms fcil de averiguarlo es, una vez expresados en forma implcita, resolver el sistema formado por sus ecuaciones. ( se ver en la parte prctica ) . Si la interseccin es el vector nulo se dir que los subespacios son independientes.

Ejemplo 1 Sea L = y sea M =

Veamos cul es el subespacio interseccin. Escribamos la ecuacin implcita o cartesiana del subespacio M . Para ello eliminamos el parmetro

Como es decir 3x + y = 0. Resolviendo el sistema formado por las dos ecuaciones cartesianas tendremos cuya solucin es x = y = 0. Es decir el nico vector que pertenece a los dos subespacios simultneamente es el vector nulo, que sabemos que pertenece a cualquier subespacio. Por tanto L y M son independientes

Ejemplo 2

Sea L = { ( }. y sea M = { (x, y, z ) de R3 / x + y 2z = 0 }Escribimos la(s) ecuacin(es) cartesiana(s) de L teniendo en cuenta que y eliminando el parmetro tenemos y = 2x z = x que son las ecuaciones buscadas. Resolvemos ahora el sistema Que nos da x = y = z = 0. Luego el nico vector es el ( 0, 0, 0 ) y los subespacios son independientes

Ejemplo 3:

Sea L = { ( x, y, z ) = ( a +2b, a, b ) } y M = { (x, y, z ) de R3 / 3x y + z = 0 }Eliminamos a y b del primer subespacio. Como sustituyendo en la 1 ecuacin se tiene x = y + 2z o lo que es lo mismo x + y 2z = 0. Si resolvemos ahora el sistema al sumar nos queda 4x z = 0 de donde z = 4x y = 7x. Por tanto la solucin del sistema que es compatible e indeterminado ser que al sacar factor comn ( x, y, z ) = ( 1, 7, 4 ) es decir el subespacio est generado por el vector ( 1, 7, 4 ) que es de dimensin 1.

11.- SUBESPACIO SUMADados dos subespacios vectoriales A y B del espacio vectorial E, definimos el subespacio suma de ambos que escribimos A + B como aqul en el que cada uno de sus vectores se puede poner como suma de uno de A y otro de B. Es decir

A + B =

Los vectores que lo generan se obtienen aadiendo los que generan A a los que generan B.

Ejemplo: Sea A = R ( 1, 0, 1 ) y sea B = R ( 2, 1, 1 ) entonces A + B = R ( 1, 0, 1 ) + R ( 2, 1, 1 )Si A y B son independientes, la suma de A y B se llama suma directa y se escribe . Si adems, la suma de A y B nos da el espacio vectorial E, siendo independientes, se llaman subespacios suplementarios.

12.- TEOREMAF1 y F2 son independientes , es decir : Dos subespacios son independientes s y slo s , su interseccin es el vector nulo

13.- RANGO DE UN SISTEMA DE VECTORES

Dado un conjunto de vectores , su rango es el nmero de vectores de este sistema que son linealmente independientes. Una definicin equivalente es que el rango de un sistema de vectores es la dimensin del subespacio que generan

Para calcular el rango hay que tener en cuenta:

a) Que el vector nulo (aqul que tiene todas sus componentes nulas) depende de cualquier otro, ya que basta multiplicar ste por 0 para obtener el nulo. Por tanto, si aparece en el sistema de vectores se puede eliminar sin que se modifique el rango del sistema.

b) Si un vector se obtiene multiplicando otro por un nmero, es proporcional al primero, y por tanto depende de l y tambin se puede eliminar del sistema sin que se modifique el rango

c) Si un vector es combinacin lineal de otros, se puede eliminar sin que se modifique el rango.

d) Importante: Las columnas de una matriz pueden considerarse vectores y una propiedad de los determinantes nos asegura que si ste vale 0, las columnas (vectores) son linealmente dependientes pero si no es 0 los vectores que lo componen son linealmente independientes.

e) En R2 hay a lo sumo dos vectores linealmente independientes; en R3 tres y en general en Rn hay n vectores a lo sumo L.I.

Ejemplo

Calcular el rango de los vectores:{(1, 2, 1) (0, 2, 4) (0, 0, 0) ( 3, 6, 3) (1, 0, 5) ( 2, 2, 1) }

El procedimiento sera el siguiente: Eliminamos el 3 por ser el nulo, el 4 por ser el 1 multiplicado por 3, el 5 por ser la suma de los dos primeros y depende de ellos ( esto no es fcil de ver. Ahora veremos cmo lo resolveramos en el caso de no darnos cuenta).

Elegimos dos vectores que sean linealmente independientes, por ej. los dos primeros que no son proporcionales. Esto nos asegura que el rango es como mnimo 2. El 3 es evidente que se eliminara. El 4 tambin por ser proporcional a uno de los dos elegidos (esto tambin es fcil de comprobar). Con el 5 como no est claro, formamos el determinante siguiente con los vectores en columnas:

= 0 lo que nos indica que la tercera columna es combinacin de las dos primeras y por lo tanto se elimina tambin.

Y con el sexto vector hacemos lo mismo

= 14 que es distinto de 0 con lo que las tres columnas son linealmente independientes. Por tanto el rango del sistema de vectores dado es 3, que por otra parte es el valor mximo que puede ser al tratarse de vectores de R3 que como sabemos es un espacio vectorial de dimensin 3 y por lo tanto no puede haber ms de 3 vectores linealmente independientes. Si el sistema hubiese tenido ms vectores, el rango no podra haber aumentado.

14.- SUBESPACIO AFINDado un espacio vectorial E, diremos que A es un subespacio afn de E si A = v + F siendo v un vector cualquiera de E y F un subespacio vectorial de E, es decir:

A = v + F = { z E tales que z = v + x con x F } ( cualquier vector de A es suma del v que es fijo y otro de F )

Ejemplo: Sea A = ( 2, 1, 1) + R( 1, 0 , 1). En este caso v = ( 2, 1, 1) y F = R ( 1, 0, 1).

En A estaran por ej. los vectores ( 2, 1, 1) + ( 1, 0 ,1 ) = ( 3, 1, 0) ;( 2, 1, 1 ) + ( 3, 0, 3 ) = ( 5, 1, 2) ( 2, 1, 1) + ( 2, 0, 2 ) = ( 0, 1, 3 ) etc.

Tambin puede venir el subespacio afn de esta forma A =

En este caso como x el vector + = ( 0, 3 , 0) + y por tanto A es la suma del vector v = ( 0 , 3, 0 ) ms el subespacio F engendrado por los vectores ( 1, 1, 0 ) y ( 0, 0, 1), es decir

A = ( 0, 3, 0 ) + R( 1, 1, 0 ) + R( 0, 0, 1 )

Ntese que cualquier subespacio vectorial es un subespacio afn ya que siempre se puede poner como A = {0} + F . El contrario no es cierto. El ejemplo anterior nos sirve ya que en l no estara el vector neutro

15.- HIPERPLANOS DE RnUn hiperplano de Rn es el conjunto de vectores que verifican una ecuacin lineal. Se expresa as donde los ai y la d son nmeros reales y las ai no son simultneamente nulas.

Ejemplos: H1 = es un hiperplano de R2 H2 = es un hiperplano de R3 16.- TEOREMA. Todo hiperplano es un subepacio afn

17.- SUBESPACIOS AFINES PARALELOS y DBILMENTE PARALELOS

Dos subespacios afines A = v + F y B = w + G son paralelos si F = G y son dbilmente paralelos ( v + F es dbilmente paralelo a w + G ) si F GEJERCICIOS

1.- Qu valores han de tener x e y para que los vectores (2, 1, x ) y ( 6, y, 15 ) sean linealmente dependientes? Sol: x = 5 e y = 3

2.- Y para que sean linealmente independientes? Sol: x 5 y 3

3.- a) Pueden ser tres vectores de R2 una base de ste? Sol: No. Las bases de R2 slo pueden tener dos vectores

b) Y un vector? Sol : Tampoco

c) Puede ser una base un sistema de vectores que contenga el vector nulo?

Sol : No ya que el vector nulo depende de los dems y por lo tanto no sera L. I.

d) Puede ser una base de R2 dos vectores proporcionales?. Por ejemplo { ( 2, 1 ) ( 6, 3 ) } Sol: No porque uno de ellos se puede poner como combinacin del otro y por lo tanto no seran L. I.

e) Cul de estos sistemas de vectores podr ser una base, atendiendo a lo anterior?

e.1) {( 1, 1 ) ( 3, 3 ) e.2) {( 1, 1 ) ( 1, 0 ) ( 2, 1 ) } e.3) {( 1, 3 ) }

e.4) {( 4, 1 ) ( 2, 0 ) } e.5) {( 1, 0 ) ( 1, 3 ) ( 0, 0 ) } Sol : e.4

4.- Cul es el rango de los sistemas de vectores siguientes? Tambin se podra preguntar, cul es la dimensin de los subespacios generados por los siguientes sistemas de vectores?

4.1.- { ( 1, 0, 1 ) ( 2, 1, 4 ) } Sol : 2

4.2.- { ( 1, 2 ) } Sol : 1

4.3.- { ( 1, 1 ) ( 2, 2 ) } Sol : 1

4.4.- { ( 1, 0, 1 ) ( 1, 1, 0 ) ( 0, 1, 1 ) } Sol : 2

4.5.- { ( 2, 1, 0 ) ( 2, 1, 0 ) ( 4, 2, 0 ) } Sol : 1

4.6.- { ( 1, 0, 1 ) ( 1, 1, 1 ) ( 3, 1, 2 ) } Sol : 3

5.- Cunto tiene que valer a para que los vectores (1, 1, 0 ) (2, 1, 3 ) ( a, 1, 6 ) sean linealmente dependientes? Sol : a = 7

6.- Cunto ha de valer b para que la dimensin del subespacio vectorial generado por los vectores ( 1, 2, 2 ) ( b, 6, 6 )

a) Sea dos? Sol : b 3 b) Sea 1? Sol : b = 3

7.- Qu tienen que valer a y b para que los vectores ( 1, a, 2, 0 )( 2, 3, 0, a) ( 4, 1, 4, b ) sean a) linealmente dependientes.? Sol : a = 1 y b = 1

b) Y para que sean linealmente independientes? Sol : a

8.- Consideremos los vectores ( 1, 1, 0, 1 ) ( 0, 0, 1, 2 ) ( 0, 1, 2, 1 )( 0, 1, 3, a ). Cul es el valor de a para que el rango del sistema de vectores sea 3.

Sol : a = 3. Nota : Aplicar determinantes

9.- Con los datos del problema anterior se cumple :

a) El sistema es libre para todo a de R

b) El sistema es ligado para todo a de R

c) El 2, 3 y 4 vector forman un sistema libre si a 3

d) El sistema es una base de R4 si a = 1

Sol : la d ya que por la anterior sabemos que si a = 3 el sistema es ligado, luego en cualquier otro caso es L. I. y como son 4 vectores de R4 , son una base

10.- Sean los subespacios F = {( x1, x2 ) de R2 / x1 = 0 } G = {( x1, x2 ) de R2 / 2x1 + x2 = 0 }. Demostrar que F G = R2Sol : Calculamos F G. Se comprueba que F G = { ( 0, 0 ) }.

Como F = R ( 0, 1 ) y G = R ( 1 , 2 ), F + G = R ( 0, 1) + R ( 1, 2 ) }

que es una base de R2 . Luego F G = R2.

11.- Sean los vectores de R4 ( 1, 1, 0, 0 ) ( 0, 1, 1, 0 ) ( 2, 1, a, 0 ), entonces, a) el sistema es libre si a = 0 b) el sistema es libre si a = 3

c) el sistema es ligado si a = 3 d) el sistema es ligado si a = 0 Sol : la a

12.- Si a es un valor que hace que los vectores anteriores sean base de un subespacio y son las coordenadas del vector ( 3, 1, 1, 0 ) respecto de dicha base, entonces comprobar que .

Sol : Basta expresarlo como C. L. y resolver el sistema13.- Cul de los siguientes subconjuntos es un subespacio vectorial de R4?

a) { ( x1, x2, x3, x4 ) / x1 + x2 = 1 }

b) { / x1 + x3 = 1 }

c) { / x2 = x3 }

d) { / x1 + x2 = x12 }

Sol : Es la c. Ya que la a y la b no contienen al neutro y la d no es lineal

14.- Los vectores ( 1, 2, a ) ( 2, b, 6 ) son L. I. en R3 s y solo s

a) b) c) a = 3 b = 4 d) NingunaSol : Si fueran L. D. a = 3 y b = 4, por tanto la negacin es que

15.- Cul de los siguientes sistemas de vectores es una base de R2?a) ( 1, 0 ) ( 2, 0 ) b) ( 1, 0 ) ( 0, 1 ) ( 0, 0 ) c) ( 1, 0 ) ( 0, 1 ) ( 1, 1 ) d) ( 1, 1 ) ( 1, 2 )

Sol : la d

16.- Sean los subespacios F1 = R ( 0, 1, 1 ) y F2 = { ( x1, x2, x3 ) / x1 = 0 }

Demostrar que F1 + F2 = F2

Sol : F2 = R ( 0, 1, 0 ) ( 0, 0, 1 ) y como ( 0, 1, 1 ) = ( 0, 1, 0 ) + ( 0, 0, 1 ), cualquier vector de F1 es de F2

17.- Dada la base ( 1, 2) ( 1, 1 ) calcula las coordenadas de un vector ( a, b )

Sol : y

18.- Cul de los siguientes subconjuntos no es subespacio vectorial de R3?

a) { ( a, b, c ) / a + b + c = 0 }

b) { / 2b + 3c = 5a }

c) { / a2 + b2 + c2 = 0 }

d) { / a = 1 }

Sol : La d por no contener al neutro

19.- Para qu valores de b los vectores ( b, 3, 2 ) ( 2, 3, b ) ( 4, 6, 4 ) no son una base de R3? Sol : b = 2 b = 2

20.- La dimensin del subespacio vectorial generado por los vectores( 1, 2, 3 ) ( 4, 5, 6 ) ( 7, 8, 9 ) es : Sol : 2

21.- Sean las bases de R2 B = {(1, 1 )( 0, 2 } y B={( 1, 0 ) ( 2, 1 )}. Si las coordenadas de un vector respecto de la 1 son 1 y 1, cules son las coordenadas respecto de la 2 base?. Sol : 7 y 3

22.- Dados los subespacios L = {( x1, x2, x3 ) / x1 = x3 , x2 = 0 } y

M = { ( x1, x2, x3 ) / x3 = 0 }. Demostrar que LM = R3Sol : Como L = R ( 1, 0, 1 ) y M = R( 1, 0, 0 ) + R( 0, 1, 0 ) y como son independientes y adems L + M = R3 , los subespacios L y M son suma directa.

23.- Sean los vectores ( a, 1, 1 ) ( 1, 2, 1 ) ( 0, a, 0 ). Si r es el rango de los tres vectores, entonces:

a) r = 3 si a = 1 b) r = 2 si a = 0 c) r = 1 si a = 0 d) r = 2 si a = 1 Sol : la b

24.- Sean los vectores ( 2, 3, 0 ) ( 0, 1, 2 ) ( 2, 2, 2 ) ( 2, 1, 4 ). Cules son sus ecuaciones cartesianas?

a) x1 + x2 = 0 x1 x3 = 0 b ) x3 = 0 c) 3x1 2x2 + x3 = 0 d) R3Sol : Comprobando las que verifican los vectores se comprueba que es la c

25.- Cul es el rango del sistema de vectores anterior? Sol : 2

26.- Dados los subespacios vectoriales:

F1 = R ( 1, 1, 1 ) y F2 = { ( x1, x2, x3 ) / x1 = 2x2, x3 = 3x2 }. Determinar cual de estos vectores no pertenece a F1 + F2:

a) ( 3, 2, 4 ) b) ( 2, 1, 3 ) c ) ( 1, 1, 1 ) d) ( 3, 2, 1 ) Sol : La d

27.- Los vectores ( 3, 0, a, 1 ) ( 1, 1, 0, b ) ( 2, 5, b, 4 ) son L. D. si :a) a = 1 y b = 1 b) c) d) a = 1 b = 1

Sol : la a

28.- La dimensin del subespacio vectorial generado por los vectores

( b, 5, 3 ) ( 3, 5, b ) ( 6, 10, 6 ) es igual a 1 si : Sol : b = 3 . 29.- Sean los subespacios de R3 L = {( x, y, z ) / x + 3y z = 0 , x + y = 0 } M = { ( a, 0, 3a ) }. Cul es el subespacio L + M? Sol : L + M = { ( x, y, z ) / 3x + 5y z = 0 }

30.- La dimensin del subespacio LM ( siendo L y M los del ejercicio anterior) es : Sol : 0

31.- Calcula la dimensin del sistema de vectores:

( 2, 3, 0 ) ( 0, 1, 2 )( 2, 2, 2 ) ( 2, 1, 4 ). Sol : 2

32.- Calcula la ecuacin cartesiana del subespacio que generan estos vectores .Sol : 3x 2y + z = 0

33.- Consideremos los vectores ( a, 2, a ) ( 1, 0, 0 ) ( 1, 3, 1 ). Calcula para qu valores de a forman una base de R3. Sol : a

34.- Calcular la dimensin del subespacio generado por los vectores:

( 0, 1, 1 ) ( 1, 0, 1 ) ( 1, 1, 0 ) ( 2, 1, 1 ). Sol : 2

PROBLEMAS DE EXAMEN

1.- Consideremos los siguientes vectores de R4: (1, 1, 0, 1) (0, 0, 1, 2) (0, 1, 2, 1) y

(0, 1, 3, a). Entonces:

a) rang = 2 si a = 3 b) r = 3 si a = 3 c) r = 3 si a 3 d) r = 4 si a

3

Sol: Como son vectores de R4, el rango a lo sumo ser 4. Como los dos primeros vectores son

L.I. por no ser proporcionales, el rango que determinan ellos es 2.

Veamos si el tercero es combinacin lineal de los dos primeros. Escribimos:

(0, 1, 2, 1) = (1, 1, 0, 1) + (0, 0, 1, 2) y de aqu obtenemos el sistema que no tiene solucin al darnos dos valores distintos para las incgnitas. Esto significa que el tercer vector no depende de los dos primeros y el rango es 3. Veamos ahora bajo qu condiciones, el cuarto depende de los tres primeros. Escribimos

(0, 1, 3, a) = (1, 1, 0, 1) + (0, 0, 1, 2) + (0, 1, 2, 1) que nos conduce al sistema:

De las tres primeras obtenemos: = 0 ; = 1 ; = 1 que sustituidos

en la ltima ecuacin nos da a = 3. Para este valor, el cuarto vector depende de los tres

primeros y si a es distinto de 3 el rango es 4. La respuesta es la b)2.- Sea {v1, v2, v3, v4} un sistema de vectores de un espacio vectorial E de dimensin

finita. Cul de las siguientes afirmaciones puede ser falsa?

a) rang {v1, v2, v3, v4} = rang {v2, v1, v3, v4}b) rang {v1, v2, v3, v4} = rang {v1 + v2, v1, v3, v4}c) rang {v1, v2, v3, v4} = 1 + rang {v2, v3, v4}d) rang {v1, v2, v3, v4} = rang {v1 v2, v1, v3, v4}Sol: Por teora sabemos que la a) , b) y d) son ciertas. La c) puede ser falsa si el vector v1 es combinacin lineal de los otros tres. En este caso, el rango no aumenta en una unidad.3.- Los vectores (b, 3, 2) (2, 3, b) y (4, 6, 4) NO forman base de R3 si el parmetro real a verifica:

a) b {2, 2} b) b {3, 0} c) b {1, 1} d) b = 5

Sol: Calculamos que se anula para b = 2 y b = 2. En estos casos

los vectores son L.D. y no forman base. La respuesta es la a)4.- Una base del subespacio vectorial de R4 (TIENE QUE DAR EL VECTOR (0,0))

es:

a) {(1, 0, 1, 1) (1, 0, 2, 1)} b) {(0, , 1, 0) ( 1, , 0, 1)}

c) {(0, 0, 1, 0) (2, 0, 0, 1)} d) {(, 0, 1, ) (1, 2, 1, )}

Sol: El subespacio viene dado por sus ecuaciones cartesianas. Aquellos vectores que formen parte de l tendrn que cumplir estas ecuaciones. Si vamos sustituyendo las posibles bases, vemos que es la b) la que las cumple.5.- Consideremos el subconjunto de R3: A =

donde a y b son nmeros reales. Entonces:

a) A es un subespacio vectorial de R3 cualesquiera que sean a y b

b) Si a = b = 0 entonces A = R( 0, 1, 0)

c) (0, 0, 0) A cualesquiera que sean a y b

d) Si a = b = 0 entonces A no es subespacio vectorial de R3Sol: La a) es falsa ya que si a no es 0 no puede ser subespacio vectorial porque el elemento

neutro no cumplira la primera ecuacin cartesiana. Este argumento sirve para la c). La d) es

falsa ya que si a = b = 0 entonces que s sera un subespacio vectorial y adems sus vectores son de la forma:

EMBED Equation.3 R( 0, 1, 0) que es la b)

6.- Consideremos los vectores de R3: (a, 1, 1) (1, 2, 1) y (0, a, 0). Entonces:

a) r = 3 si a = 1 b) r = 2 si a = 0 c) r = 1 si a = 0 d) r = 2 si a = 1

Sol: Lo podemos hacer probando las soluciones o por determinantes. Si calculamos que se anula para a = 0 y a = 1.

Para estos dos valores, el rango no es 3. Ahora bien si a = 0 las dos primeras columnas por

ejemplo son L.I. por no ser proporcionales y el rango es 2 que es la b)7.- Los vectores (1, 2, a) y (2, b, 6) son L.I. de R3 si y slo si:

a) a 3 y b 4 b) a 3 o b 4 c) a = 3 y b = 4 d) Ninguna de ellas

Sol: Para que sean L.I. no pueden ser proporcionales. Para que lo fueran a = 3 y b = 4. Para

que no lo sean basta con que no se cumpla una de ellas es decir: a 3 o b 4 que es la b)

8.- Consideremos en subconjunto de R2: con a , b y

k nmeros reales. Si k = 0 qu opcin es incorrecta:

a) A0 es subespacio vectorial de R2 cualesquiera que sean a y b

b) Si a = b = 0 entonces A0 = R2c) A0 = R(b, a) cualesquiera que sean a y bd) (0, 0) A0 cualesquiera que sean a y b

Sol: La a) es correcta ya que sera el subespacio dado

mediante su ecuacin cartesiana. La b) tambin sera correcta ya que si a = b = 0, tendramos

y cualquier vector de R2 lo cumplira. La d) tambin ya que si , el vector (0, 0) cumple esta ecuacin. Sera la c)9.- Si k 0 entonces: (viene de la anterior)

a) AK es un subespacio afn de R2 cualesquiera que sean a y b

b) Si a y b no son simultneamente nulos, entonces AK es un hiperplano de R2c) Si a = b = 0 entonces AK es un hiperplano de R2d) Si a = b = 0 entonces AK es un subespacio vectorial de R2Sol: La a) es falsa ya que si a = b = 0 y k 0 nos quedara

que no se cumplira nunca. La c) nos dara lo mismo que la a) y la d) tambin nos conduce a una contradiccin. La b) es la correcta por ser la definicin de hiperplano10.- Dados los subespacios vectoriales de R2:

F = R( 0, 2) y . Se verifica:

a) F G = ( conjunto vaco)

b) F y G son subespacios vectoriales independientes pero F G R2c) F y G son subespacios vectoriales independientes y F G = R2d) F y G no son subespacios vectoriales independientes

Sol: ===

= R(1, )

Como los dos vectores que generan F y G son L.I forman una base de R2, se cumple que:

F + G = R2 y como son independientes, entonces F G = R2 que es la c)11.- Consideremos las bases de R2 siguientes: B = {(1, 1) (0, 2)} y B = {(1, 0) (2, 1)}.

Si las coordenadas del vector u respecto a B son 1 y 1, entonces las coordenadas del vector u respecto de B son:

a) 5 y 7 b) 7 y 5 c) 7 y 3 d) 3 y 7

Sol: Sabemos que u = 1(1, 1) + 1(0, 2) = (1, 3). Ahora lo ponemos en funcin de la base B. Queda: (1, 3) = a(1, 0) + b( 2, 1) y de aqu el sistema que nos da b = 3 y a = 7 que es la c)12.- Cul de los siguientes subconjuntos de R4 es un subespacio vectorial de R4?

a) b)

c) d)

Sol: Un subespacio vectorial ha de contener al elemento neutro, es decir ha de verificar la

ecuacin cartesiana. La a) y la b) no la cumplen. La d) tampoco es porque la ecuacin cartesiana ha de ser lineal (no puede haber un exponente al cuadrado). La respuesta es la c)13.- Determinar cul de los siguientes subespacios afines de R3 es paralelo al hiperplano

.

a) ( 3, 0, 0) + R( 1, 0, 1) + R( 0, 1, 0) b) ( 3, 0, 3) + R( 1, 0, 0) + R( 0, 1, 0)

c) ( 0, 3, 0) + R( 1, 0, 1) + R( 0, 0, 1) d) ( 0, 0, 3) + R( 1, 1, 0)

Sol: Sabemos por teora que dos subespacios afines v + F y w + G son paralelos si los

subespacios F y G son el mismo. Veamos qu vectores generan el hiperplano

Como , tenemos que y nos quedara:

=

EMBED Equation.3 = (4, 0, 0) + R(0, 1, 0) + R(1, 0,1). La respuesta es la a) por tener los mismos vectores

generadores.14.- Determinar cul de los siguientes conjuntos NO es subespacio vectorial de R3:

a) b)

c) d)

Sol: Cualquier subespacio vectorial ha de contener el neutro de R3. El subconjunto d) no es subespacio ya que no contiene al neutro al tener la primera componente siempre igual a 1. Esta es la respuesta.

15.- Considere los subespacios vectoriales de R3:

y . Se verifica:

a) (1, 0, 1) b) (1, 0, 1) L + M

c) L M = R3 d) Ninguna de las anteriores

Sol: La respuesta a) no es cierta ya que para estar en la interseccin ha de estar en los dos. Las

ecuaciones de L las cumplen, pero no la de M ya que la tercera componente ha de valer 0 y en

esta caso, en el vector (1, 0, 1) vale 1.

Por otra parte = == R(1, 0, 1)

= == R(1, 0, 0) + R(0, 1, 0)L + M est generado por los vectores : {(1, 0, 1) (1, 0, 0)(0, 1, 0)}. La respuesta b) es falsa ya

que el vector (1, 0, 1) est en el subespacio suma. Por otra parte los tres vectores son L.I. y los

subespacios independientes ; luego son una base de R3. La respuesta es la c)

16.- Consideremos el sistema de vectores de R4: B = {(1, 1, 0, 0) (0, 1, 1, 0) (2, 1, a, 0)}.

Se tiene que:

a) Es un sistema libre si a = 0 b) Es un sistema libre si a =3

c) Es un sistema ligado si a = 3 d) Es un sistema ligado si a = 0 Sol: Como los dos primeros son L.I. por no ser proporcionales, veamos bajo qu condiciones el tercer vector es C.L. de los dos primeros: (2, 1, a, 0) = (1, 1, 0, 0) + (0, 1, 1, 0) que

nos conduce al sistema de aqu = 2 ; = 3 y por tanto a = 3.

Para este valor, los vectores forman un sistema ligado. En caso contrario forman un sistema

libre. La respuesta que se adecua es la a)17.- Sean los subespacios vectoriales de R3 siguientes:

y

El subespacio vectorial L + M es:

a) b)

c) d) R3Sol: Veamos qu vectores generan L. Resolvemos el sistema .

Eliminamos la x y obtenemos: z = 2y. Le damos a y = ; z = 2 x = .

Los vectores de L son de la forma: ( x, y, z) = (,,2) = (1, 1, 2)Por otra parte M esta generado por el vector = = R(1, 0, 3)Por tanto L + M = R(1, 1, 2) + R(1, 0, 3). Como slo son dos vectores, la d) no puede ser.

Se comprueba que cumplen la ecuacin de la respuesta b)

18.- La dimensin del subespacio vectorial L M es: (sigue del anterior)

a) 0 b) 1 c) 2 d) 3

Sol: Los vectores de L M han de verificar las ecuaciones cartesianas de ambos subespacios. Veamos cules son las de M. y eliminando entre la 1 y 3 nos quedan las ecuaciones y = 0 ; z = 3x que son las ecuaciones de M. Para que un vector sea de L M ha de verificar que tiene por solucin x = y = z = 0 y la dimensin es 0 que es la a)19.- Considrese los siguientes vectores de R3: (2, 3, 0) (0, 1, 2) (2, 2, 2) y (2, 1, 4). Se verifica:

a) Forman una base de R3 b) son generadores de R3c) Son L.I. d) Ninguna de las anteriores

Sol: En R3 las bases tienen 3 vectores lo que descarta la a) y a lo sumo hay tres vectores L.I. lo

que descarta la c). Para generar R3 necesitamos que haya tres vectores al menos que sean L.I. Los dos primeros lo son. Veamos si el tercero depende de ellos. Calculamos y si calculamos con el cuarto: .

Luego slo hay dos L.I. y por tanto no son sistema generador. La respuesta es la d)

20.- Los cuatro vectores generan el subespacio vectorial de ecuaciones:

(viene del anterior)

a) x + y = 0 ; x z = 0 b) z = 0 c) 3x 2y + z = 0 d) generan R3Sol: Sabemos que no es la d). Si sustituimos los vectores en las ecuaciones vemos que los

vectores cumplen la c)21.- Determinar cul de los siguientes subconjuntos de R3 NO es subespacio afn de R3a)

b)

c)

d)

Sol: La respuesta es la d) ya que si la primera ecuacin la multiplicamos por nos dara

otra equivalente que sera y la otra ecuacin es que es absurdo ya

que no puede ser simultneamente igual a dos nmeros distintos.

La respuesta a) es subespacio afn por ser subespacio vectorial,ya que el nico vector que

cumple esa ecuacin es el (0, 0, 0) que constituye l solo un subespacio vectorial y por tanto

afn

La b) se puede poner como: (x1, 1, x3) = (0, 1, 0) + x1(1, 0, 0) + x3(0, 0, 1) que sera el

subespacio afn: (0, 1, 0) + R(1, 0, 0) + R( 0, 0, 1)

La c) se puede poner como (0, x2, x3) = (0, 3x3, x3) = (0, 3, 0) + x3(0, , 1) que es el

subespacio afn. (0, 3, 0) + R(0, , 1)

22.- Consideremos los subespacios vectoriales de R3: y

. Se verifica:

a) F1 y F2 son subespacios vectoriales independientes

b) F1 y F2 son subespacios vectoriales suplementarios en R3

c) F1 + F2 = F2

d) F1 + F2 = F1

Sol: Calculamos los vectores que generan F1

= =R(1, 0, 0) + R(0, 0, 1)Como F2 = R( 1, 0, 1) y este vector es suma de los dos que generan F1:

(1, 0, 1) = (1, 0, 0 ) + (0, 0, 1) se cumple que F1 + F2 = F1 y es la d)23.- Consideremos los tres vectores de R3 siguientes: (a, 2, a) (1, 0, 0) y (1, 3, 1). De ellos

se puede afirmar:

a) Si a = entonces son L.D. b) Si a entonces forman una base de R3c) Si a = entonces son L.I. d) Ninguna de las anteriores

Sol: Calculamos el determinante que se anula para a = . En este caso son L.D. En cualquier otro son L.I. y por tanto al ser tres vectores, forman base. Es la b)24.- La dimensin del subespacio vectorial de R3 generado por los vectores:

(0, 1, 1) (1, 0, 1) (1, 1, 0) y (2, 1, 1) es:

a) 1 b) 2 c) 3 d) 4

Sol: Como son vectores de R3, a lo sumo pueden ser de dimensin 3, lo que descarta la d). Sabemos que los dos primeros son L.I. por no ser proporcionales. Para ver si el tercero depende de ellos, calculamos el determinante formado por los tres primeros:

, lo que indica que el tercero depende de los dos primeros. Hacemos lo mismo con el cuarto: . Por lo tanto tambin depende y la dimensin es 2 que es la b)25.- Cul de los siguientes sistemas de vectores es una base de R2?

a) {(1, 1) (1, 1)} b) {(2, 1) (1, 1)}

c) {(1, 0) (0, 1) (0, 0)} d) {(1, 0) (0, 1) (1, 1)}

Sol: En R2 una base est formada por dos vectores L.I. lo que descarta la c y la d). En la a) los

vectores son L.D. (multiplicando por 1, el primero, obtenemos el segundo). La nica posible es la b)

26.- La dimensin del subespacio vectorial generado por los vectores:

(b, 5, 3) ( 3, 5, b) y (6, 10, 6) es igual a 1 si:

a) b = 0 b) b c) b = 3 d) b = 3

Sol: Para que la dimensin sea 1, los tres vectores han de ser L.D. y esto se consigue con

b = 3 que es la c). En este caso los vectores seran: (3 ,5, 3) (3, 5,3) y (6, 10, 6) que son proporcionales. 27.- Determinar cul de estos subconjuntos de R3 NO es subespacio vectorial de R3a) b)

c) R3 d)

Sol: Sabemos que cualquier subespacio vectorial ha de contener al neutro y la respuesta d) no

lo tiene al no verificar la ecuacin cartesiana.

28.- Considrese el siguiente sistema de vectores: {(1, 1, 2) (2, 1, 1)( 1, 0, )}

donde es un parmetro real. Este sistema de vectores verifica:

a) Es una base de R3 cualquiera que sea

EMBED Equation.3 R b) Es una base de R3 si

c) Es una base de R3 si d) No es una base de R3 para ningn valor de

Sol: Para ser base han de ser L.I. Calculamos que se anula para . Para cualquier valor distinto de l es base. Es la c)29.- Considrese la base {(1, 2) (2, 5)} de R2. Las coordenadas del vector (2, 2)

en esta base son:

a) 6 y 2 b) 5 y 2 c) 6 y 4 d) 10 y 2

Sol: Escribimos (2, 2) = a(1, 2) + b(2, 5) y de aqu el sistema que nos da por solucin a = 6 y b = 2 que es la a) 30.- Determinar cul de estos subconjuntos de R2 NO es subespacio vectorial de R2:

a) {(2, 0)} b) {(0, 0)} c) R2 d)

Sol: La respuesta a) indica que el subconjunto dado, est formado nicamente por ese vector.

El nico subconjunto con un vector que es subespacio es el formado por el neutro. Es la a)

31.- Cul de los siguientes subconjuntos de R3 NO es un subespacio afn de R3?

a) {(1, 1, 1)} b)

c) d) {(0, 0, 0)}

Sol: La respuesta b) hace referencia al vector (0, 0, 0) que es el nico que cumple la ecuacin.

Como este vector por s solo constituye un subespacio vectorial, tambin es un subespacio

afn. Lo mismo pasa con la d).

La a) se puede poner como suma del punto (1, 1, 1) + {(0, 0, 0)}, es decir es suma de un

punto y del subespacio formado por el neutro que tambin es afn. La nica que no es es la c)

32.- Los vectores (a, b, 3) y (2, 4, 6) son linealmente dependientes si y solo si:

a) a = 1 y b = b) a = y b = 2 c) a = 1 y b = 2 d) a = 1 y b =

Sol:

Para que dos vectores sean L.D. han de ser proporcionales, es decir, uno de ellos es el otro

multiplicado por un nmero. Para que esto ocurra, el primero se ha de multiplicar por 2 (la

pista nos la da la tercera componente) y para esto ha de pasar que a = 1 y b = 2 que es la c)33.- Considrese el siguiente sistema de vectores: (1, 0, 2) (1, 1, 1) y (2, 1 , b)

donde b es un parmetro real. Se verifica:

a) Es una base de R3 para todo b distinto de 0

b) Es una base de R3 para todo b distinto de 1

c) No es base de R3 para ningn valor de b

d) Es una base de R3 cualquiera que sea b real

Sol: Para que sean base han de ser L.I. y para ello el determinante ha de ser distinto de 0

Lo calculamos: que se anula para b = 1.

En este caso no son base. En cualquier otro caso lo son. Slo lo cumple la b)

34.- Considrese la base {(1, 2) (1, 1)} de R2. Las coordenadas del vector (1, 1) en esta base son:

a) 6 y 3 b) 4 y 3 c) 2 y 5 d) 2 y 3

Sol: Escribimos (1, 1) = a(1, 2) + b( 1, 1) y de aqu el sistema cuyas soluciones son: a = 2 y b = 3 que es la d)35.- Determinar cul de los siguientes subconjuntos de R3 NO es subespacio afn de R3a)

b)

c)

d)

Sol: La respuesta es la d) ya que si la primera ecuacin la multiplicamos por 2 nos dara otra

equivalente que sera y la otra ecuacin es que es absurdo.

La respuesta a) es subespacio afn por ser subespacio vectorial.

La b) se puede poner como: (, 0, 0) + R(2, 1, 0) + R( 0, 0, 1) que es un subespacio afin

La c) se puede poner como (0, 0, 1) + R(0, 1, ) que es un subespacio afn.36.- Determinar cul de estos subconjuntos de R3 NO es subespacio vectorial de R3a)

b) R(2, 1, 2)

c)

d)

Sol: La respuesta a) es subespacio vectorial ya que el nico vector que cumple esa condicin es el elemento neutro que constituye l solo un subespacio vectorial. La b) tambin es por ser el subespacio generado por ese vector. La c) no es subespacio ya que el elemento neutro no cumple la ecuacin. La d) es subespacio y viene determinado por sus ecuaciones cartesianas.

37.- Dados los subespacios vectoriales de R2:

y . Se verifica:

a) F y G son subespacios vectoriales independientes pero F G R2b) F y G son subespacios vectoriales independientes y F G = R2c) F G = ( conjunto vaco)

d) F y G no son subespacios vectoriales independientes

Sol: ===

= R( , 1)

= =R( 1, 0)

Como los dos vectores son L.I, forman una base de R2, se cumple que F + G = R2 y como son independientes porque el nico vector que cumple las condiciones de los subespacios es el neutro, entonces F G = R2 que es la b)38.- Considrese los siguientes vectores de R3: (1, 2, 2) (2, 3, 2) (0, 1, ).

El rango de estos vectores es:

a) Es 2 si = 0 y es 3 si

EMBED Equation.3 0 b) Es 2 si = 6 y es 3 si

EMBED Equation.3 6

c) Es 2 si = 6 y es 3 si

EMBED Equation.3 6 d) Es 3 para cualquier valor de

Sol: Lo hacemos por determinantes que se anula

para = 6. Para este valor el rango es dos y si es distinto de l, es 3 que es la b)39.- Consideremos los siguientes vectores de R4: ( 2, 0, 2, 0) ( 1, 1, 0, 0) y ( 0, 1, a , 0).

a) Son L.I si a = 1 b) Son L.D si a = 0

c) Son L.I. si a = 1 d) Son L.D. si a = 2

Sol: Los dos primeros son L.I. por no ser proporcionales. Veamos bajo qu condiciones es el

tercero combinacin lineal de los dos primeros:

(0, 1, a, 0) = (2, 0, 2, 0) + (1, 1, 0, 0) y de aqu el sistema

de aqu = 1 y y por lo tanto a = 1. Para este valor son L.D. en caso contrario son L.I. La respuesta es la c)40.- Considrese la base de R3: {( 1, 2, 2) (1, 1, 0) (3, 4, 1)}. Las coordenadas del vector (2, 1, 1) en esta base son:

a) 0, 9 y 3 b) 2, 9 y 3 c) 2, 9 y 1 d) 6, 9 y 3Sol: Escribimos (2, 1, 1) = a( 1, 2, 2) + b( 1, 1, 0) + c( 3, 4, 1) que nos da el sistema que al resolverlo nos da a = 2, b = 9 y c = 3 que es la b) 41.- Sea V el espacio vectorial de las matrices simtricas de orden 2 sobre R. Las

coordenadas de la matriz respecto de la base de V:

, y son:

a) 4, 0 y 1 b) 1, 1, y 2 c) 1, 1 y 2 d) 5, 2 y 0

Sol: Escribimos = a+ b+ c de donde:

= y de aqu el sistema

de donde a = 1, b = 1, y c = 2 que es la b)42.- Determinar cul de los siguientes subconjuntos es un subespacio vectorial de R3:

a) {(a, b, c) R3 / a 0 } b) {(a, b, c) R3 / 2b + 3a = 5 ; a + b + c = 0 }

c) {(a, b, c) R3 / 2 a = 5b + 3c ; b = c } d) {(a, b, c) R3 / a2 + b2 + c2 = 1 } Sol: Para que un subconjunto sea un subespacio vectorial ha de contener al neutro. El nico

subconjunto en el que sus ecuaciones lo cumplen es la c)

43.- Sean los subespacios vectoriales de R4:

H = { ( x, y, z, t) R4 / x + y = 0 ; z + t = 0} y L = { ( ) }.

Una base del subespacio vectorial H L es:a) (0, 0, 2, 1) b) ( 1, 0, 2, 1) c) ( 0, 0, 1, 1) d) ( 0, 0, 1, 1)

Sol: El nico vector que est en los dos subespacios es el (0, 0, 1, 1) por ser el nico que cumple las condiciones de ambos. En H: 0 + 0 = 0 y 1 + (1) = 0 Las de L siendo

44.- La dimensin del subespacio vectorial de R3 generado por los vectores:

( 1, 2, 3) ( 4, 5, 6) y ( 7, 8, 9) es igual a:

a) 0 b) 1 c) 2 d) 3

Sol: Los dos primeros vectores son L.I. por no ser proporcionales. Para ver si lo son los tres,

calculamos . La dimensin es 2 que es la c)

45.- Unas ecuaciones del subespacio vectorial de R4:

R(1, 1, 0, 1) + R(1, 2, 3, 0) + R(2, 3, 3, 1) son:

a) 2x + y z = 0 ; 3x 3y + t = 0 b) 2x + y t = 0 ; 3x + 3y z = 0

c) x y = 0 ; y + t = 0 d) Ninguna de las anteriores

Sol: Ninguno de los tres vectores cumple las ecuaciones de las respuestas. Es la d)46.- Considrese el siguiente sistema de vectores: ( 1, 1, 0) (2, 3, 2) y (5, 7 , b)

donde b es un parmetro real. Se verifica:

a) Es una base de R3 cualquiera que sea b real

b) Es una base de R3 para todo b distinto de 4

c) Es una base de R3 solamente para b = 4

d) No es base de R3 para ningn valor de b

Sol: Para que sean base, han de ser L.I. y para ello el determinante ha de ser distinto de 0

Lo calculamos: que se anula para b = 4. En este caso no son base. En cualquier otro caso lo son. Slo lo cumple la b)

47.- Determinar cul de estos subconjuntos de R2 NO es subespacio vectorial de R2:

a) {(0, 0)} b) R2 c) R(1, 0) d) {(1, 1)}

Sol: La respuesta d) indica que el subconjunto dado, est formado nicamente por ese vector.

El nico subconjunto con un vector que es subespacio es el formado por el neutro. Es la d)

48.- Consideremos los siguientes subespacios vectoriales de R3:

F1 = R(1, 2, 0) F2 = R(0, 0, 1) y F3 = R(0, 1, 1). Se verifica:

a) F1 ; F2 y F3 son tres subespacios vectoriales independientes pero F1 F2 F3 R3b) (F1 + F2) y F3 no son subespacios vectoriales independientes

c) F1 F2 F3 = R3d) F1 F2 = (conjunto vaco)

Sol: Como los tres vectores son L.I. (lo probamos por determinantes) y adems son

independientes la respuesta es la c)49.- Si en R3 el vector ( 2, 3, 0) es igual a una combinacin afn de los vectores:

( a, 0, 0) (0, 1, 1) y ( 0, a, 1), entonces:

a) a = b) a = 2 c) a = 1 d) Ninguna de las anteriores

Sol: Planteamos (2, 3, 0) = (a, 0, 0) + (0, 1, 1) + (0, a, 1) de donde:

. La ltima ecuacin es la condicin de combinacin afn.

Entre la 3 y la 4 obtenemos . Que llevado a la 1 nos da a = 2 y ya despus

y . La respuesta es la b)

50.- La dimensin del subespacio vectorial de R3 generado por los vectores (b, , 3) (3, 5, b) y (6, 10, 6) es igual a 1 si:

a) b = b) b 0 c) b

EMBED Equation.3 d) b = 3

Sol: Para que la dimensin sea 1 los tres vectores han de ser proporcionales. Si b = , obtenemos (, , 3) ( 3, 5, ) y ( 6, 10, 6) que lo son. La respuesta es la a)51.- Dados los subespacios vectoriales de R2:

y . Se verifica:

a) F G = (conjunto vaco)

b) F y G son subespacios vectoriales independientes y F G = R2c) F y G son subespacios vectoriales independientes pero F G R2d) F y G no son subespacios vectoriales independientes

Sol: = =R(0, 1)

===

= R(1, )

Como los dos vectores son L.I forman una base de R2, se cumple que F + G = R2 y como son independientes porque el nico vector que cumple las condiciones de los subespacios es el neutro, entonces F G = R2 que es la b)52.- Si A = entonces: (viene de la anterior)

a) A = (3, 0) + G b) A no es un subespacio afn de R2

c) A = (0, 3) + G d) Ninguna de las anteriores

Sol: La b) no es correcta porque A por definicin (punto ms subespacio vectorial es un subespacio afn). Veamos si es la a) o la c).

Sabemos que G = R(1, ). Si el vector (x1, x2) (3, 0) + G sera de la forma:

(x1, x2) = (3, 0) + (1, ) = (3 + ,

) de donde x1= 3 + y x2 = y

eliminando de las dos nos queda y de aqu que

es la ecuacin de A. La respuesta es la a)

53.- Los vectores (1, 1, 0) (0, 1, 1) y (2, , a) de R3 verifican:

a) Son L.I. si a = 0 b) Son L.D. si a = 3 c) Son L.I. si a = d) Son L.D. si a = 0Sol: Calculamos el determinante que se anula para a = .

En este caso son L.D. Para cualquier otro valor son L.I. . La respuesta es la a)54.- Si a es tal que B= {(1, 1, 0) (0, 1, 1) y (2, , a) } es una base de R3 y si son

las coordenadas del vector ( 3, 1, 1) en esta base, entonces: (viene de la anterior)

a) b) c) d) Para cualquier a, B no es base

Sol: Sabemos por la pregunta anterior que es base para cualquier valor que no sea , lo que descarta la d).

Escribimos ( 3, 1, 1) = (1, 1, 0) + (0, 1, 1) + (2, , a) y de aqu el sistema:

De las dos primeras obtenemos y entre sta y la tercera eliminando nos da que es la b)55.- Dados los subespacios vectoriales de R3:

y .

Determinar cul de los subconjuntos de R3 No es un subespacio vectorial

a) F1 F2 b) (1, , ) + F1 c) F1 + F2 d) ( 1, 0, 1) + F2Sol: Sabemos por teora que la interseccin y suma de subespacios vectoriales tambin lo es,

lo que descarta la a) y la d). Las otras dos respuestas en principio son subespacios afines que

no tienen por qu ser subespacios vectoriales. Ahora bien, el punto de la respuesta b), el

(1, , ), cumple la ecuacin cartesiana de F1 es decir: ( 1, , ) + F1 = F1 que ya es subespacio vectorial. Obsrvese que en la d) no ocurre esto. La respuesta es la b) 56.- Sean y .

Se verifica:

a) A = (1, 2) + F b) A = ( 2, 1) + F c) F no es subespacio afn de R2 d) (0, 0) A

Sol: La c) no es correcta ya que como F es un subespacio vectorial, es un subespacio afn.

Veamos cul es la correcta. Los vectores de F son de la forma:

= = . Ahora cogemos el punto (1, 2) y un vector de F que es de la forma (2x2 , x2) y los sumamos obtenemos un vector de la forma ( 1, 2) + (2x2 , x2) = ( 1 + 2x2, 2 + x2). Si sustituimos este punto en la ecuacin de A vemos que la cumple:

1 + 2x2) + 2(2 + x2) = 3. Sera la a)

57.- Los vectores (1, 0, 2) (4, 2, 1) y (, a, 5) de R3 verifican:

a) Son L.I. si a = b) Son L. D. si a = 2

c) Forman base si a = 2 d) Su rango es 2 si a

Sol: Calculamos el determinante que se anula para a = .

Para este valor son L.D . En caso contrario son L.I. y forman base. La respuesta es la c)

58.- Los vectores (3, 2, a) (2, a, 4) y (4, 3, 2) NO forman base de R3 si a verifica:a) a = 0 b) a {3, 3} c) a {2, 2} d) a {1, 1} Sol: Igual que antes, calculamos que se anula para a = 1 y a = 1.

En estos casos los vectores son L.D. y no forman base. La respuesta es la d)59.- Determinar cul de los siguientes subespacios afines de R3 es paralelo al hiperplano

a) ( 1, 5, 1) + R( 4, 2, 0) + R( 0, 0, 1) b) ( 0, 0, 5) + R( 2, 1, 0) + R( 1, 1, 0)

c) ( 3, 3, 1) + R( 4, 2, 0) + R( 0, 1, 0) d) ( 5, 0, 0) + R( 2, 1, 0) + R( 1, 0, 0)

Sol: Sabemos por teora que dos subespacios afines v + F y w + G son paralelos si los

subespacios F y G son el mismo. Veamos que vectores generan el hiperplano

Como , tenemos que y nos quedara:

=

EMBED Equation.3 (5, 0, 0) + R( 2, 1, 0) + R( 0, 0,1). La respuesta es la a) ya que los vectores (4, 2, 0) de la respuesta a) y el (2, 1, 0) obtenido por nosotros son proporcionales.60.- Los subespacios vectoriales de R3: y

verifican:

a) Son independientes pero no suplementarios b) F1 F2 = R(2, , 2)

c) F1 F2 = R(2, 1, ) d) Ninguna de las anteriores

Sol: Calculamos F1 F2. Los vectores que estn en la interseccin han de estar en los dos,

por lo tanto han de verificar las dos ecuaciones. Si resolvemos el sistema

obtenemos como solucin y las soluciones son de la forma:

y es el mismo subespacio que el generado por ( 2, , 2). Es la b)61.- Dados los vectores de R3: v1= (1, 2, a) ; v2 = (, 4, 3) y v3 = (1, 8, 1) donde a es

un parmetro real, el vector v1 es combinacin lineal de v2 y v3 si :

a) a = y si a = 1 b) Para cualquier valor de a c) Si a = 3 d) Si a =

Sol: Si un vector ha de depender de los otros, los tres han de ser L.D. y entonces su

determinante ha de ser 0. Lo calculamos que se anula si a = que es la d)62.- Dada la base B = {(1, 0, 0) ( 1, 1, 0) ( 0, 0, 1)} de R3, las coordenadas

de un vector ( a, b, c) de R3 en la base B son:

a) ; ; b) ; ;

c) ; ; d) ; ;

Sol: Escribimos ( a, b, c) = (1, 0, 0) + (1, 1, 0) + (0, 0, 1) y de aqu el sistema:

y de aqu ; ; que es la a)63.- Cul de los siguientes subconjuntos de R3 es un subespacio vectorial de R3?

a) b)

c) d)

Sol: Cualquier subespacio vectorial ha de contener al elemento neutro. El nico subconjunto

cuya ecuacin la cumple es la d)

64.- Se consideran los subespacios vectoriales de R3:

y G = R( 0, 1, 2). Se verifica:

a) Son subespacios vectoriales independientes b) F + G = F

c) Son subespacios vectoriales suplementarios de R3 d) F + G = G

Sol:

= == R(0, 1, 0) + R(0, 0, 1)Ahora bien el vector que genera G que es (0, 1, 2) se puede poner como:

(0, 1, 2) = (0, 1, 0) + 2(0, 0, 1) es decir es una combinacin lineal de los que generan F.

Por tanto F + G = F que es la b)

65.- Los vectores (1, 1, 0) (b , a, 1) y (0, 2, ) forman una base de R3 si los parmetros

reales a y b verifican:

a) a = 2 y b = 4 b) a = y b = 1 c) a = 0 y b = 2 d) a = 1 y b = 2

Sol: Para que sean base, han de ser L.I. y para esto, el determinante formado por ellos ha de

ser distinto de 0. Lo calculamos: . Si sustituimos los posibles valores,

vemos que la d) es la nica que no nos da 0

66.- Dada la base B = {(1, 2) ( 0, 1)} de R2, las coordenadas a y b del vector (7, 2) son:

a) a = 7 y b = b) a = 7 y b = 2 c) a = y b = 7 d) a = 7 y b =

Sol: Escribimos (7, 2) = a(1, 2) + b( 0, 1) de donde de aqu a = 7 y b = que es la a)67.- Cul de los siguientes subconjuntos de R3 NO es subespacio vectorial de R3?

a) {(0, 0, 0)} b) R(1, , 14) c) {(1, 2, 1)} d) R3

Sol: La respuesta c) indica que el subconjunto dado est formado nicamente por ese vector.

El nico subconjunto con un vector que es subespacio, es el formado por el neutro. Es la c)

68.- Sea . Se verifica:

a) F no es un subespacio vectorial de R3 b) F no es un subespacio afn de R3c) F = R( 1, 1, 5) d) F = R( 5, 0, 1) + R(1, 1, 0)

Sol: Sabemos que F es un subespacio vectorial dado por su ecuacin cartesiana. La a) es falsa.

Como es un subespacio vectorial, tambin es un subespacio afn. La b) es falsa. La c) tambin

es falsa porque el vector (1, 1, 5) no cumple la ecuacin. La d) es cierta ya que los vectores la cumplen.

69.- El rango de los vectores ( 4, 0, 0) (2, 2, 2) ( 2, 1, 1) y (0, 3, 3) es

a) 1 b) 2 c) 3 d) 4

Sol: Como son vectores de R3 la respuesta 4 no puede ser, ya que a lo sumo hay 3. Sabemos

que los dos primeros son L.I. por no ser proporcionales. Veamos los tres primeros.

Calculamos y no aumenta el rango. Si formamos y el rango

no aumenta, siendo 2 que es la b)

70.- Sean los vectores (2, 2, 1) ( 0, 2, 3) y (1, 0, a) de R3. Se verifica:

a) Son L.I si a = 1 b) Son L.D si a 1 c) Son L I. si a = 4 d) Son L. D. si a = 4

Sol: Calculamos que se anula para a = 1. La respuesta es la c) ya que si a 1 ( en particular 4) son L.I71.- Dados los vectores de R3: v1 = ( 1, 1, 1) ; v2 = ( 1, 0, 1) y v3 = ( 3, 1, 3), determinar

cul de los siguientes vectores NO es combinacin lineal de ellos:

a) (0, 0, 0) b) (1, 1, 0) c) (2, 1, 2) d) (0, 1, 0)

Sol: Calculamos en primer lugar el determinante formado por los tres: . Esto nos indica que los tres vectores son L.D. Sabemos que los dos primeros por ejemplo son L.I. por

no ser proporcionales. Ahora formamos de nuevo determinantes con estos dos y otro de los

dados. Aqul determinante que no de 0 ser la respuesta porque los tres vectores sern L.I. Con el neutro no hace falta probar ya que siempre da 0. Con la b): y esta es la respuesta. Se puede comprobar que los otros determinantes hubieran dado 0

72.- El rango de los vectores (1, 3, 4) (0, 1, 2) (1, 0 , 2) y (1, 1, 2) es:

a) 4 b) 3 c) 2 d) 1

Sol: Como son vectores de R3 la respuesta a) no puede ser, ya que a lo sumo hay 3. Sabemos

que los dos primeros son L.I. por no ser proporcionales. Veamos los tres primeros.

Calculamos y no aumenta el rango. Pero si formamos y el

rango es 3 que es la b)

73.- Dada la base B = {(1, 1) (1, 0)} de R2, las coordenadas a y b del vector (5, 3) en B son:

a) a = 3 y b = 5 b) a = 3 y b = 2 c) a = 5 y b = 3 d) a = 2 y b = 3

Sol: Escribimos (5, 3) = a(1, 1) + b(1, 0) que nos conduce al sistema

que tiene por solucin a = 3 y b = 2 que es la b)

74.- Considere los subespacios vectoriales de R3: F1 = R( 0, 1, 0) y F2 = R( 1, 1, 1).

Se verifica:

a) F1 y F2 son subespacios vectoriales independientes b) F1 + F2 = F1c) F1 y F2 son subespacios vectoriales suplementarios d) F1 + F2 = F2

Sol: Como los vectores que generan cada subespacio son entre s L.I. los subespacios tambin

lo son. No son suplementarios porque entre los dos no generan R3, al tener slo dos vectores.

La respuesta es la a)

75.- Considere los subconjuntos :

y

Se verifica:

a) G = F + (0, 2, 0) b) G = F + (0, 4, 0) c) G = F + (1, 0, 0) d) G = F + (0, 0, 4) Sol: Lo haremos probando hasta dar con la solucin. Veamos: Un vector de F es de la forma

= . Ahora les sumamos el punto. En el caso de la respuesta a) quedara + ( 0, 2, 0) y nos dara un vector de la forma que cumple la ecuacin que caracteriza al subconjunto G.

Lo comprobamos: . La respuesta es la a)

76.- Los vectores de R3: (1, 2, 0) (0, 1, 1) y (1, a, 2) verifican:

a) Son L.I. si a = 2 b) Son L. D. si a = 2 c) Son L. D. si a = 4 d) Son L.D. si a = 0 Sol: Calculamos el determinante que se anula para a = 4. Para este valor los vectores son L.D que es la c) 77.- Los vectores (1, 2, 0) (3, 1, 2) (4, 3, 2) y (3, 1, 2) de R3 verifican:

a) Forman una base de R3 b) Generan R2

c) No generan R3 d) Forman una base de R4Sol: No forman una base de R3 porque son 4 vectores lo que descarta la a). No generan R2

porque son vectores de R3, lo que descarta la b). No forman una base de R4 porque son

vectores de 3 componentes lo que descarta la d). La respuesta es la c). Obsrvese aparte que el

tercer vector es suma de los dos primeros y el 4 es igual que el segundo. Por tanto solo hay 2

L.I. y por tanto no pueden generar R3.

78.- Dados los vectores de R3: v1 = (0, 0, 1) ; v2 = (0, 1, 1) y v3 = (a, 0, 0). Se verifica:

a) v1 es combinacin lineal de v2 y v3 para todo a

b) v3 es combinacin lineal de v1 y v2 para todo a

c) v3 es combinacin lineal de v1 y v2 si a = 0

d) v3 no es combinacin lineal de v1 y v2 para ningn valor de a

Sol: Si a = 0 el tercer vector es: v3 = (0, 0, 0) que es combinacin lineal de cualesquiera otros

ya que: (0, 0, 0 ) = 0(0, 0, 1) + 0( 0, 1, 1). Es la c)


(1, 0, 1) (1, 1, 1) y (0, 1, 1) es:

a) 0 b) 1 c) 2 d) 3

Sol: Como los dos primeros vectores por ejemplo no son proporcionales, la dimensin es 2.

Para ver si el tercero no depende de los dos primeros, calculamos el determinante formado por los tres: . Como es distinto de 0, los vectores son L.I. y el rango es 3 que es la d)

80.- Considere los tres vectores de R3 siguientes: (0, 1, a) (1, 1, a) y (2, 0, 0).

Su rango verifica:

a) es 3 si a =1 b) es 2 si a = 2 c) es 3 si a 2 d) Ninguna de las anteriores

Sol: Calculamos el determinante: . Lo que indica que los vectores son L.D. para todo valor de a. Luego el rango nunca es 3. Tambin se comprueba que los dos primeros

siempre son L.I. porque no son proporcionales. Por tanto el rango es siempre 2 y la respuesta

es la b)81.- Dados los subespacios vectoriales de R3:

F1 = R(0, 2, 2) y , determinar qu vector de los

siguientes no pertenece a F1 + F2a) ( 0, 0, 0) b) ( 4, 2, 1) c) ( 2, 4, 8) d) Ninguno de los anteriores

Sol: = =

= = R( 1, 1, 0) + R( 0, 1, 1)

Sabemos que el subespacio F1 + F2 est generado por los vectores que generan F1 y los que generan F2 es decir ( 0, 2, 2) ( 1, 1, 0) y ( 0, 1, 1). Como estos vectores forman base al ser su determinante distinto de 0, cualquier vector es

combinacin lineal de ellos. La respuesta es la d)

82.- Dados los vectores de R3: v1 = (0, 1, 1) ; v2 = (2, 1, 1) y v3 = (1, a, 0) donde a es un

parmetro real, se verifica:

a) v1 es combinacin lineal de v2 y v3si a = 0b) (1, 2, 4) es combinacin lineal de v1 , v2 , v3 para todo a

c) (1, 1, 1) no es combinacin lineal de v1 , v2 , v3 si a = 0

d) v2 es combinacin lineal de v1 y v3para todo a

Sol: Calculamos el determinante . Que se anula para a = 0. lo que indica que en este caso los vectores son L.D. Como el 2 y el 3 que seran ( 2, 1, 1) y ( 1, 0, 0) son L.I.,

significa que el primero depende de ellos dos. La respuesta es la a)

83.- Considere los tres vectores de R3 siguientes: (1, 2, 1) (a, 1, a) y (2, 0, 2).

De ellos se puede afirmar:

a) Si a = son L.D. b) Si a 0, son L.I. c) Si a = 0 son L.I. d) Ninguna de ellas

Sol: Calculamos el determinante .

Luego los vectores son L.D. para cualquier valor de a. La respuesta sera la a)

84.- Considrese la base B = {(2, 1, 1) ( 0, 3, 2) (1, 2, 1)} de R3. Las coordenadas

del vector ( 0, 3, 4) en esta base son:

a) 2 , 1 y 1 b) 2, 1 y 4 c) 2, 1 y 4 d) 0, 3 y 4

Sol: Escribimos (0, 3, 4) = a(2, 1, 1) + b(0, 3, 2) + c(1, 2, 1) que nos conduce al sistema y de aqu a = 2, b = 1 y c =4 que es la c)85.- Considrese el siguiente sistema de vectores: {(2, 1, 1) (4, 2, 2) (2, 0, )}





Sol: Calculamos y no puede ser base para ningn valor de b al ser L.D. que es la d)86.- Sea . Se verifica:

a) F = (0, 0, 5) + R( 1, 0, 2) b) F = (0, 0, 5) + R(2, 1, 1) + R(1, 0, 2)

c) F = (5, 0, 0) + R(2, 0, 1) d) F = (5, 0, 0) + R(2, 0, 1) + R(0, 1, 0)

Sol: Sabemos que si x1 + 2x3 = 5 entonces x1 = 5 2x3 y nos quedara:

= ( 5, 0, 0) + R(2, 0, 1) + R( 0, 1, 0) que es la d)87.- Determinar cul de los vectores siguientes de R3 no es combinacin lineal de:

(1, 0, 1) (2, 0, 1) y (1, 1, 4): a) (2, 1, 5) b) (1, 0, 3) c) ( 0, 1, 9) d) Ninguno de ellos

Sol: Como los vectores dados son L. I. al tener el determinante un valor distinto de 0:

los vectores forman una base y entonces cualquier vector de R3 es

combinacin lineal de ellos. La respuesta es la d)

88.- Los siguientes vectores de R3: (1, a, a) (2, 1, 1) y (1, 1, 1) son generadores de R3

si el parmetro real a verifica:

a) a = 0 b) a = 1 c) a = 5 d) Ninguna de las anteriores

Sol: Para que tres vectores de R3 sean generadores de l , han de ser L.I. y por lo tanto su determinante ha de ser distinto de 0. Calculamos para cualquier valor de a. Por tanto nunca pueden ser sistema generador. Es la d)

89.- Dados los siguientes subespacios vectoriales de R3:

y .

Cul de los siguientes subespacios es interseccin de F1 y F2?

a) b) R3

c) d) R(1, 2, 0)

Sol: Los vectores que pertenecen a la interseccin de los subespacios, han de cumplir

simultneamente las ecuaciones de ambos. Resolvemos el sistema formado por ellas:

y de aqu .

Los vectores sern de la forma:

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3 R( 1, 2, 0) o lo que es lo mismo R(1, 2, 0) que es la d)90.- Sea v1, v2, v3, v4 un sistema ligado de vectores de R3. Se verifica:

a) Los vectores v1, v2, v3, v4 no son generadores de R3b) v1 es combinacin lineal de v2, v3, v4

c) v1, v2, v3, v4 son linealmente independientes

d) El sistema v1, v2, v3 es una base de R3Sol: La c) se descarta ya que en R3 no puede haber 4 vectores L.I.

Consideremos los vectores: (1, 1, 0) (1, 0, 0) ( 0, 1, 0) (0, 0, 1). (es primero es la suma del 2 y

3). La a) es falsa porque los vectores 2 , 3, y 4 forman una base de R3 y por tanto sistema de generadores junto con el 1. La d) tambin es falsa ya que los tres primeros vectores no son base al ser el 1, la suma del segundo y tercero. La respuesta es la b)91.- Los siguientes vectores de R3: (2, a, b) (0, 0, 1) (b, 2, 2) son L.I. si:

a) a = 2 y b = 2 b) a = 2 y b = 2 c) a = 1 y b = 4 d) a = 4 y b = 1Sol: Si el determinante es distinto de 0 son L.I.. Calculamos que slo es distinto de 0 si a = 1 y b = 4 que es la c)92.- Considere los subespacios vectoriales de R3: y

.

Cul de estos vectores no pertenece al la interseccin

a) (2, 2, 1) b) (1, 1, 2) c) (0, 0, 0) d) Ninguno de ellos

Sol: Como el vector ( 2, 2, 1) de la respuesta a) no cumple las ecuaciones cartesianas de los dos subespacios, no pertenece a su interseccin.93.- Los siguientes vectores de R3: (1, a, 0) (0, a, 0) (2, 1, 2) no son generadores de R3,

si el parmetro real a verifica:

a) a = 1 b) a = 2 c) a = 0 d) a = 2

Sol: Si el determinante es distinto de 0 son L.I. y por lo tanto base y sistema de generadores Calculamos que se anula para a = 0.

Este es el valor que hace que no sea sistema de generadores. Es la c)

94.- Dado el subespacio vectorial de R3: .

Su dimensin es:

a) 2 b) 1 c) 3 d) 0

Sol: = = =

= R(1, 1, 0) + R( 0, 0, 1) .

Como son vectores L.I. ,la dimensin es 2 que es la a)95.- Cul de los siguientes subconjuntos de R3 NO es un subespacio vectorial de R3?

a) b)

c) d)

Sol: Cualquier subespacio vectorial ha de contener al elemento neutro. La a) no lo cumple

96.- Dados los subespacios vectoriales de R3:

F1 = R(1, 1, 1) y .

Determinar qu vector de los siguientes no pertenece a F1 + F2a) (3, 2, 4) b) (2, 1, 3) c) (1, 1, 1) d) (3, 2, 1)

Sol: = =

= R( 2, 1,3)

Sabemos que el subespacio F1 + F2 est generado por los vectores que generan F1 y los que generan F2 es decir ( 1, 1, 1) y ( 2, 1, 3). Es evidente que las respuestas b y c) no son ya que son los vectores que lo generan. Si observamos la a) es la suma de los vectores generadores. Nos quedara como respuesta, la d). Tambin se puede ver intentndolo expresar como combinacin lineal y comprobar que no es posible97.- Sea ( v1, v2, v3) una base de un espacio vectorial sobre R y sea (

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3 ) su

base dual . Si w = 3v2 v1, entonces es igual a:

a) 3 b) 1 c) 0 d) 3v2Sol: Sabemos que una base dual cumple que. si i = j y 0 si i

En este caso =

EMBED Equation.3 que es la a)98.-Consideremos el siguiente subconjunto de R3:

A = donde a , b y c R. Se verifica.

a) A no es subespacio vectorial de R3 para algunos valores de a , b y c

b) A es un subespacio vectorial de R3 solo si a = b = c = 0

c) Si a = b = c = 0 entonces A = R3d) Si a = b = c = 0 entonces A =

Sol:

Si se cumple: a = b = c = 0, todo vector de R3 cumple la ecuacin del subconjunto. Es la c)99.- Cul de los siguientes subconjuntos de R3 NO es subespacio vectorial de R3?

a) {(0, 0, 0)} b) R3 c) R(1, , 0) d) {(0, 1, 1)}

Sol: La respuesta d) indica que el subconjunto dado est formado nicamente por ese vector.



(b , 5, 3) (6, 10, 6) y (3, 5, b) es igual a 1 si:

a) b = 3 b) b 0 c) b

EMBED Equation.3 3 d) Ninguna de las anteriores

Sol: Si la dimensin ha de ser 1, los vectores sern L.D. y su determinante ser 0.

Lo calculamos: que se anula para b = 3. Para este valor los

vectores son: (3 , 5, 3) (6, 10, 6) y ( 3, 5, 3) cuya dimensin es 1 al ser los tres proporcionales. Pero esta respuesta no es ninguna de ellas. Es la d)101.- Si A = entonces:

a) A es un subespacio vectorial de R3 b) (0, 0, 0) A

c) (1, 0, 2) A d) (2, 1, 3) A

Sol: La a) y la b) no son ciertas porque el neutro no la cumple. La d) tampoco. Es la c) 102.- Los vectores (1, a, 0) (0, a, 0) y (1, 2, 1) NO generan R3 si el parmetro real a

verifica:

a) a = 1 b) a = 2 c) a = 0 d) a = 2

Sol: Para que no generen R3, los tres vectores no han de formar base y el determinante ha de

ser 0. Lo calculamos que se anula si vale 0. La respuesta es la c) 103.- Dados los subespacios vectoriales de R3:

F1 = R( 0, 2, 2) y F2 = R( 1, 1, 0) + R( 0, 1, 1).

Determinar qu vector NO pertenece a F1 + F2:

a) (0, 0, 0) b) (4, 8, 3) c) (1, 1, 1) d) Ninguna de las anteriores

Sol: El subespacioF1 + F2 est generado por los vectores que generan F1 y los que generan F2, es decir: {(0, 2, 2) (1, 1, 0) (0, 1, 1)}. Como son L.I. , forman una base ( se puede comprobar por determinantes)de R3 y por lo tanto cualquier vector est generado por ellos. La respuesta es la d)104.- La dimensin del subespacio vectorial de R3 generado por los vectores:

(1,1, 0), (0,3, a) y (1, 2, 1) es:

a) 2 si a = 1 b) 2 si a = 1 c) 2 si a = 0 d) 2 si a = 3

Sol: Calculamos el rango que se anula para a = 1.

Para este valor hay dos columnas L.I.. La respuesta es la b)

105.- Considrese el siguiente sistema de vectores: {(1, 1, 0) (0, 2, 1)( 1, 0, )}





Sol: Calculamos que se anula para

Si los vectores son L.I y por tanto base. La respuesta es la c)106.- Dados los vectores de R3: v1 = ( 1, 1, 1) , v2 = ( 0, 1, 1) y v3 = (1, 2, 2),

determinar cul de los siguientes vectores NO es combinacin lineal de ellos:

a) ( 0, 0, 0) b) ( 4, 15, 15) c) ( 2, 4, 7) d) Ninguna de las anteriores

Sol: El neutro es C. L. de cualquier vector. Si probamos con la b) y la c) vemos que en la c) el

Vector: (2, 4, 7) = a(1, 1, 1) + b(0, 1, 1) + c(1, 2, 2) obtenemos el sistema:

Como las dos ltimas ecuaciones no se pueden cumplir simultneamente el sistema no tiene solucin y por tanto no es C.L. que es la c)

107.- Considrese la base {(2, 1) (2, 1)} de R2.

Las coordenadas del vector en esta base son:

a) 0 y 3 b) y c) y d) y

Sol: Escribimos = a( 2, 1) + b(2, 1) de aqu el sistema y de aqu a = y b = que es la b)108.- Cul de los siguientes sistemas de vectores NO es una base de R2?

a) {(1, 1) (1, 1)} b) {(1, 0) (1, 1)} c) {(1, 0) (2, 8)} d) {(1, 1) (1, 1)}

Sol: En R2, dos vectores L.I. son base. Para que sean L.I. no pueden ser proporcionales.

En la respuesta d) , vemos que el segundo vector es el primero multiplicado por 1. Estos no son base.109.- Dados los vectores de R3 v1 = (1, 2, 0) ; v2 = (0, 1, 1) y v3 = (2, 2, 3) se verifica:

a) Todo vector de R3 es combinacin lineal de ellos

b) (0, 0, 0) no es combinacin lineal de ellos

c) Los vectores v1 y v3 generan R2d) Ninguna de las anteriores

Sol: Calculamos el determinante lo que indica que son L.I. y por lo tanto al ser 3 forman una base. Todo vector de R3 es combinacin lineal de ellos que es la a)110.- Considere los subespacios vectoriales de R3:

y . Se verifica:

a) (2, 2, 1) b) F1 y F2 son independientes

c) (1, 1, 2) d) F1 + F2 = F1Sol: Como el vector (2, 2, 1) de la respuesta a) cumple las ecuaciones cartesianas de los dos subespacios, pertenece a ellos y por lo tanto est en su interseccin.111.- Dados los vectores de R3: v1 = (1, 1, 0) ; v2 = (2, 2, 2) y v3 = (1, 0, a) donde a es

un parmetro real, se verifica:

a) v1 es combinacin lineal de v2 y v3

b) (1, 2, 4) es combinacin lineal de v1 , v2 , v3 para todo a

c) (1, 1, 1) no es combinacin lineal de v1 , v2 , v3 si a = 0

d) v2 es combinacin lineal de v1 y v3para todo a

Sol: Calculamos el determinante . Luego los vectores son L.I. para cualquier

valor de a, lo que indica que son una base y entonces cualquier vector es C. L. de ellos.

La respuesta es la b)

112.- Considere los tres vectores de R3 siguientes: (2, 2, 1) (a, 1, a) y (2, 0, 2).

De ellos se puede afirmar:

a) Si a = son L.D. b) Si a 0, son L.I. c) Si a = 0 son L.D. d) Ninguna de ellas

Sol: Calculamos el determinante .

Luego los vectores son L.I. para cualquier valor de a. La b) la cumplira

113.- El rango de los vectores de R3 : ( 1, 3, 2) , ( 5, 1, 3) y (3, 7, a) es:

a) 2 si a = 7 b) 3 si a = 7 c) 2 si a 7 d) 2 si a = 3

Sol: Calculamos el determinante . Que se anula para a = 7

Entonces si a = 7 el rango no es 3, y como las dos primeras columnas por ejemplo son L.I. el

rango sera 2 que es la a)114.- Dados los subespacios de R3 : y

. Se verifica:

a) y son subespacios vectoriales independientes b)

c) y son subespacios vectoriales suplementarios en R3 d)

Sol: = = R (0, 1, 0)

= = R( 1, 1, 1)

Como los vectores (0, 1, 0) y (1, 1, 1) son L.I. , los subespacios que generan tambin lo son

que es la a)115.- Cul de los siguientes subconjuntos de R2 NO es subespacio vectorial de R2?

a) {(0, 0)} b) R2 c) R(1, 0) d) {(1, 1)}

Sol: La respuesta d) indica que el subconjunto dado est formado nicamente por ese vector.


116.- Consideremos el siguiente sistema detectores de R3:

{(1, 3, 4) (0, 1, 3) (1, 1, 2) ( 4, 7, a) }. Con a R. La dimensin del subespacio vectorial

de R3 generado por el sistema es igual a:

a) 4 si a 1 b) 3 si y solo si a 1

c) 3 si y solo si a

EMBED Equation.3 1 d) 3 para cualquier valor de aSol: Como los dos primeros no son proporcionales el rango de ellos es 2. Al aadir el tercero y calcular el determinante, vemos que nos da distinto de 0. Con lo cual el rango ya es 3. Por otra parte como son vectores de R3, a lo sumo puede haber 3 L.I. lo que indica que el cuarto es una combinacin lineal de los tres primeros y por lo tanto no aumenta el rango. La respuesta es la d)117.- Considere los vectores (1, 1, 1) (2, 3, 4) y (5, 0, 1) de R3. Se verifica:

a) Forman una base de R3 b) No generan R3c) Son linealmente dependientes d) Ninguna de las anteriores

Sol: Como el determinante formado por ellos es distinto de 0, los vectores son L.I. y en R3,

tres vectores L.I. son base. La respuesta es la a)

118.- Los vectores (3, 0, 6) (1, 1, 2) y (1, 0, a) donde a es un parmetro real,

verifican:

a) Son L.I. si a = 4 b) Son L.D. si a = 3 c) Son L.I. si a = 2 d) Son L.D. si a = 6

Sol: Calculamos el determinante que se anula si a = 2. En este caso los vectores son L.D. En caso contrario es decir si a no es 2 son L.I.. La respuesta es la a)119.- Sean v1 , v2 , y v3 tres vectores de R2 . Si entre ellos solamente hay un par de

vectores L.I., entonces el otro vector verifica:

a) No es combinacin lineal de los otros tres

b) Es el vector nulo

c) Es suma de los otros dos

d) Ninguna de las anteriores

Sol: Lo que se puede deducir es que si hay dos L.I. son base y en ese caso el tercer vector es

C. L. de ellos. La respuesta es la d)

120.- Considrese el siguiente sistema de vectores de R3: (1, 1, 0) (1, 0, 2) (0, 2, b). El

sistema verifica:

a) Es una base de R3 solamente para b = 4

b) Es una base de R3 para todo b 4

c) Es una base de R3 para todo b R

d) Es una base de R3 para todo b

EMBED Equation.3 4

Sol: Sabemos que en R3, tres vectores linealmente independientes son base y si el

determinante es distinto de 0 lo son. Lo calculamos

que se anula para b = 4. Luego si b

EMBED Equation.3 4 son L.I. y por lo tanto son base que es la d)

121.- Considere los siguientes subespacios vectoriales: F1 = R( 1, 1, 0) ; F2 = R(

tema i. espacio vectorial uned

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