Revista Espacio Vectorial Edición No. 1

Vectores

Editores y Escritores:

-Grupo No. 4-

Pablo Díaz 13203 Angel Morales 13332

Mario Barrientos 13039 William Fuentes 13324

Álgebra Lineal

Universidad del Valle de Guatemala Facultad de Ingeniería

1. Vectores

Tomando en cuenta un plano cartesiano en dos dimensiones (o R2) como se acostumbra, cualquier segmento de recta dirigido que representa un desplazamiento desde un punto inicial a un punto final, es considerado un vector. Características de un vector:

Magnitud: longitud de la flecha o también conocida como norma

Dirección: ángulo que forma la representación de la flecha tomando como referencia el eje positivo de “x”, este ángulo se trabajará en la mayoría de los casos en radianes.

(Imagen 1.1 Representación de un vector)

Forma de Escritura de un Vector: Se puede escribir de dos maneras distintas: Vector renglón [x, y]

Vector Columna

Vector en Posición Estándar: Hace referencia a aquellos vectores que inician en el origen. Notación: Un vector se representa mediante una letra minúscula con flecha

encima o en negrita. Ejemplo: ⃗⃗⃗⃗ ⃗ ó . Para poder observar un ejemplo gráfico de un vector en la Imagen 1 está el vector estándar con sus componentes en ambos ejes del plano cartesiano R2.

(Imagen 1.2: Vector en posición estándar)

Producto punto o escalar: El producto punto o producto escalar de dos vectores está dado por la siguiente fórmula:

u ∙v =u1v1+u2v2+…vnun

Esta operación no da como resultado un vector, sino solo únicamente un número. Si el producto escalar como resultado da 0, quiere decir que ambos vectores son paralelos.

Ángulo entre dos vectores:

θ= cos-1 (u∙v / ‖u‖∙‖v‖)

(Imagen 1.3: Ángulo entre vectores)

Distancia entre vectores:

La distancia que hay entre dos vectores en el espacio está dada por la siguiente fórmula:

d(u, v)= ‖u-v‖

Dos vectores son iguales si tienen misma dirección y magnitud

Dos vectores son paralelos si tienen la misma pendiente, es decir, si los

vectores son múltiplos escalares mutuos.

Dos vectores son perpendiculares u ortogonales en Rn si el producto

punto entre ellos es 0

Vectores iguales:

misma dirección

misma magnitud

Vectores paralelos:

Esto se cumple cuando los vectores son múltiplos escalares mutuos.

Vectores perpendiculares:

También conocidos como ortogonales.

se sabe que dos vectores son ortogonales cuando su producto punto entre ellos es igual a 0.

Proyección de v sobre u

Se traza una línea perpendicular desde la terminal de un vector hasta el otro vector. La sombra o proyección es la línea que se forma entre el vector A a la perpendicular. La proyección es un vector. Si el ángulo entre ambos vectores es menor a 90, la proyección va a la misma dirección sobre el vector en donde se proyectó.

(Imagen 1.4 Proyección entre dos vectores, en este caso de v sobre u)

Consulta el siguiente enlace para practicar los vectores

paralelos y perpendiculares.

http://www.youtube.com/watch?v=QQSa3cuaPBo

Combinación lineal de vectores

Sean v1,… vk vectores en Rn y sea v un elemento cualquiera de Rn. Entonces decimos que v es una combinación lineal de los vectores v1,… vk si existen escalares c1,… ck tal que:

v= c1v1+…+ckvk

Si S={v1,… vk} es un conjunto de vectores, entonces el conjunto de todas las combinaciones lineales de los vectores de S, se denomina el espacio generado de S.

Desigualdad de Cauchy-Schwarz en Rn

|u∙v|≤‖u‖∙‖v‖

Desigualdad del triángulo en Rn

‖u+v‖≤‖u‖+‖v‖

Propiedades de los vectores en Rn

Sean u, v y w vectores en Rn

i. u+v= v+u

ii. (u+v)+ w =(w + u) + v

iii. C(u+v)= cu+cv

iv. (C + D) u = Cu+Du

v. C(Du)=CDu

Vector unitario/Normalizar un vector

Algo muy importante que se debe recordar es el concepto de un vector unitario. Un vector unitario, como su nombre lo indica es un vector con magnitud 1. El hecho de normalizar un vector sirve para convertir el vector que se va a normalizar para que sea unitario. Este vector tendrá la misma dirección que el anterior, y está dado por la siguiente fórmula:

u=1/⟦u⟧ * u

Producto vectorial o producto cruz (sólo está definido para R3) Al hacer producto cruz entre dos vectores, el vector resultante es ortogonal a ambos.

Propiedades del producto vectorial:

i. u x v= -(v x u) ii. u x u= 0 iii. u x 0=0 iv. Ku x v=k(u x v) v. (u x v) ∙u = 0 vi. (u x v) ∙v = 0

(Imagen 1.5 Producto Cruz entre vectores en R3)

Es posible calcular el área de un triángulo en r3 haciendo producto cruz entre dos vectores que comparten vértice y después sacar la norma del producto cruz por un medio.

Para que puedas observar gráficamente lo que representa el producto cruz, puedes ver la siguiente imagen:

(Imagen 1.6 Producto Cruz entre vectores en R3, gráficamente)

2. Rectas y planos en R3

Forma Normal de la ecuación de una recta L en en R2

nx = np

Forma general de la ecuación de L

ax+by=c

donde [a, b] es un vector normal para L

Forma vectorial de la ecuación de una recta L en en R2 o en R3

x=p+td

Aunque esté en R3 solo es necesario un vector dirección.

Forma general de la ecuación de un plano P en en R3

Esta es una forma de generalizar la ecuación de la recta en en R3.

ax+by+cz=d

Donde n = [a, b, c] es un vector normal para P.

Forma vectorial de la ecuación de un plano P en R3

p es un punto sobre P, u y v son vectores dirección distintos de cero y no paralelos mutuamente.

x=p+su+tv

En caso de que no hayan dos vectores dirección es necesario escribirla en su forma normal y luego pasarla a forma general.

Para una explicación más detallada de lo visto anteriormente, acá puedes

consultar dos enlaces sobre ecuaciones de la recta en R3:

http://www.youtube.com/watch?v=fgcH6K6109c

así como la ecuación del plano en R3:

http://www.youtube.com/watch?v=ajmQQJquosY

Distancia desde un punto B hasta una recta L

d(B,L)=‖v-proy d (v)‖

En el caso que la recta L está en R2 y su ecuación tiene la forma general ax + by =c, la distancia d (B, L) desde B = (x0, y0)

d(B,L)=|a∙x0+b∙y0-c|a2+b2

Distancia desde un punto B hasta un plano P

d(B, P)= ‖proy n (v)‖

En general, la distancia d(B,P) desde el punto B= (x0, y0, z0) hasta el plano cuya ecuación general es ax +by+ cz=d

d(B,P)=|a∙x0+b∙y0+c∙z0-d|a2+b2+c2

Es posible calcular la distancia desde un plano a otro plano, sacando un punto de un plano hasta el otro plano.

3. Aritmética Modular

Los vectores utilizados en el estudio de los códigos no son familiares en vectores de ℝn , si no vectores con únicamente un número finito de selecciones para los componentes y dependen de un tipo diferente de aritmética, llamada: la aritmética módulo n

El inverso aditivo y el inverso multiplicativo varían dependiendo en qué módulo se esté operando.

Los vectores m-arios (con componentes en Zm) de longitud n se denotan por Zmn y los códigos que utilizan estos vectores se llaman códigos m-arios.

Para una explicación más detallada de lo visto anteriormente, acá puedes

consultar dos enlaces sobre ecuaciones de la recta en R3:

http://www.youtube.com/watch?v=fgcH6K6109c

así como la ecuación del plano en R3:

http://www.youtube.com/watch?v=ajmQQJquosY

El código de verificación de paridad ha sido creado al agregar una componente extra a cada vector binario, llamada dígito verificador de tal manera que el número total de “unos” sea par.

El Código Universal del producto (UPC) es un código asociado con los códigos de barras encontrados en muchos tipos de mercancías. Las barras en blanco y negro, exploradas por un láser corresponden a un vector.

u = [u1, u2, . . ., u11, d] en Z1012.

c = [3, 1, 3, 1, 3,. . ., 1].

d es un dígito verificador seleccionado de tal modo que c • u = 0

El Número Estándar Internacional de Libros (ISBN) es otro código de dígito verificador muy útil.

Para este código, el vector de verificación es c = [10, 9, 8, 7, 6, 5, 4, 3, 2, 1] si el ISBN consta de 10 dígitos y se requiere que c • b = 0 en Z11, donde b es el ISBN escrito como vector

Si el ISBN consta de 13 dígitos, se utiliza el mismo vector de verificación correspondiente al UPC y se requiere que c • b = 0 en Z10

(Imagen 1.7 ISBN de lbros)

4. Sistema de Ecuaciones lineales

Una ecuación lineal de n variables x1, x2…, xn es una ecuación que puede escribirse a1x1 + a2x2 +…+ anxn = b. Donde a son coeficientes y b son constantes.

Un sistema de ecuaciones lineales se llama consistente si tiene al menos una solución. Un sistema sin soluciones se llama inconsistente.

5. Métodos directos para resolver matrices

En cada renglón distinto de cero, la primera entrada distinta de cero se llama entrada principal

Una matriz está en forma escalonada por renglones si satisface las siguientes propiedades:

i. Cualquier renglón que consiste completamente cero está en la parte baja ii. En cada renglón distinto de cero, el primer elemento distinto de cero, está

en una columna a la izquierda de cualquier elemento pivote bajo él.

Las operaciones elementales con renglones pueden realizarse sobre una matriz

i. Intercambiar dos renglones ii. Multiplicar un renglón por una constante distinta de cero iii. Sumar un múltiplo de un renglón a otro renglón (renglón = fila) iv. Si se convierte una matriz A a una B por medio de operaciones elementales

se dice que las matrices son equivalentes.

A. Reducción de una matriz

El proceso de aplicar operaciones elementales de renglón para llevar a una

matriz a la forma escalonada, se denomina reducción de renglón. Se trabaja columna por columna, de izquierda a derecha y de arriba

hacia abajo. La estrategia es crear una entrada principal en una columna y luego

utilizarla para crear ceros por debajo de ella. La entrada seleccionada para llegar a ser una entrada principal se conoce

como un pivote.

B. El rank de una matriz es el número de renglones distintos de cero en su

forma escalonada por renglones.

C. Una matriz se encuentra en forma reducida de renglón escalonado o en

forma escalonada reducida, si satisface las propiedades siguientes: Cualquier renglón conformado completamente por ceros se encuentra en

la parte inferior. La entrada principal en cada renglón distinto de cero es un uno

(denominado uno principal). Cada columna que contiene un uno principal tiene ceros en cualquier otro

sitio (es decir, encima y debajo de él).

Importante: La forma reducida de renglón escalonado de una matriz es única.

D. Sistema homogéneo

Un sistema de ecuaciones lineales se denomina homogéneo si el término constante en cada ecuación es cero. Es decir, el sistema tiene una matriz aumentada de la forma [A|O]. Un sistema lineal homogéneo siempre tiene solución.

E. Así como los sistemas de ecuaciones lineales en dos variables

corresponden a rectas en R2, del mismo modo las ecuaciones lineales en tres variables corresponden a planos en R3

F. Si [A| O] es un sistema homogéneo de m ecuaciones lineales con

n variables, donde m < n (es decir, hay menos ecuaciones que variables), entonces el sistema tiene un número infinito de soluciones.

G. Para sistemas lineales sobre Zp , no puede haber un número infinito de

soluciones porque en el caso que se tuviera que parametrizar, el parámetro sólo puede tomar valores desde 0 hasta p-1.

Puedes consultar el siguiente enlace para una explicación extra sobre la

resolución de matrices y sistemas de ecuaciones:

http://www.youtube.com/watch?v=Vjog0WkI934

Además encuentra en el siguiente enlace varios ejercicios para resolver:

http://www.youtube.com/watch?v=s77H8-9yU9M

Horizontales:

1. Su ecuación tiene 1 punto conocido, 2 parámetros y 2 vectores dirección que no son paralelos.

2. Matriz de … que contiene los coeficientes de las variables.

3. Utilizado para disfrazar un mensaje.

4. Número Estándar Internacional de Libros.

5. Segmento de recta dirigido que representa el desplazamiento desde un punto A a un punto B.

6. Proceso de convertir un código en mensaje.

7. Vectores con misma dirección y misma magnitud.

8. Forma de escribir un vector verticalmente.

9. Forma ax + by = 0 de una recta.

10. Vector que contiene ‘1’ solamente.

11. Código Universal del Producto.

12. Vector que inician en el origen.

13. Matriz que contiene los coeficientes y en una columna adicional contiene los términos constantes.

14. Proceso de encontrar un vector unitario en la misma dirección que el original.

15. Forma de escribir un vector horizontalmente.

16. Devuelve el número de renglones distintos de cero.

17. Aritmética que trabaja operaciones de suma y multiplicación.

Verticales:

18. Sistema de ecuaciones lineales que contienen su término constante distinto a cero en cada ecuación.

19. Combinación de vectores en la cual estos son multiplicados por escalares y se relacionan entre sí.

20. Formado por un punto cualquiera que es equivalente a un punto conocido más el producto entre un escalar y un vector dirección.

21. Proceso de convertir un mensaje en código.

22. Formato de recta que se obtiene al separar en componentes la vectorial.

23. Vector de longitud 1.

24. Método para resolver sistemas de ecuaciones al tener pivotes en las matrices.

25. Término que acompaña a la variable dependiente o independiente.

26. Forma … de la matriz que contiene ceros en la parte inferior.

27. Vectores con múltiplos escalares mutuos.

Bibliografía Consultada: Poole, David. 2011. Álgebra Lineal: Una introducción moderna. 3ª Edición. Editorial Cenage Learning. México. Pp. 1-109.