Espacio vectorial y Transformaciones

lineales

Integrantes:Randy Hernández

C.I.19.728.287Aleandre Martínez

C.I.19.369.664

Profesor:Wilmer Colmenares

Ciudad Bolívar, julio de 2010

Vectores

Definición Representación grafica

Propiedades

 Un vector es todo segmento de recta dirigido en el espacio. Cada vector posee unas características que son:

Origen: O también denominado Punto de aplicación. Es el punto exacto sobre el que actúa el vector.

Módulo: Es la longitud o tamaño del vector. Para hallarla es preciso conocer el origen y el extremo del vector,.

Dirección: Viene dada por la orientación en el espacio de la recta que lo contiene.

Sentido: Se indica mediante una punta de flecha situada en el extremo del vector, indicando hacia qué lado de la línea de acción se dirige el vector.

Propiedades

Suma y resta

La suma y resta se hace componente a componente Consideremos los vectores y .

y

Multiplicación por un escalar

Un escalamiento de un vector, por un factor , se logra multiplicando

cada componente por el mismo número real

Consideremos el vector y el escalar

entonces

Gráficos y ejemplos:

 

Suma de vectores

EJEMPLO  1

Sea y

, entonces

 

Resta de vectores

EJEMPLO 3  

Sea

entonces

Multiplicación por un escalar

Los vectores en la ELECTRICIDAD

Gran parte del desarrollo matemático con señales eléctricas se hace con fasores y notación compleja. A efectos matemáticos un número complejo puede tratarse como un vector de dos dimensiones.

El mundo eléctrico es vectorial, y no podemos expresarlo sin recurrir a vectores. Un ejemplo que demostrará la necesidad de recurrir a vectores de dos o tres componentes, aunque este caso sólo es una aproximación de la realidad. Suponte que quieres encontrar una sub-estación eléctrica. Necesitarás saber dónde está, pero si solo sabes que se encuentra a 1 km de tí, no podrás encontrarla con esa única información. Necesitarás saber en que dirección has de empezar a andar, y en que sentido, es decir, un vector de dos dimensiones. En este caso hemos considerado que la Tierra es plana y sólo nos movemos por su superficie. Pero si al llegar exactamente al punto que te han indicado, y te encuentras un edificio con 10 plantas, aún te falta saber una tercera coordenada más, y eso te llevaría a un vector de tres dimensiones. Con el vector completo ya tienes la ubicación exacta del lugar.

Transformaciones

lineales

Definición

Propiedades

Son todas las aplicaciones cuyos dominio y codominio sean espacios vectoriales que cumpla la siguiente definición:

Sean V y W espacios vectoriales sobre el mismo espacio o campo K, y T una función de V en W. T es una transformación lineal si para todo par de vectores u y v pertenecientes a V y para todo escalar k perteneciente a K, se satisface que:

Donde k es un escalar

T(ku)= kT(u) T(u+v)=T(u)+T(v)

Definición

Propiedades de las transformaciones lineales

Sean V  y W espacios vectoriales sobre K (donde K  representa el cuerpo) se

satisface que:

Si T:V W es lineal, se define el núcleo y la imagen de T de la

siguiente manera:Ker(T) ={xE V:T(x)=0w

Es decir el núcleo de una

transformación lineal está formado por el conjunto de todos los vectores

del dominio que tienen por imagen al vector nulo del codominio

Dados u,v Є ker(T): T(u+v)= T(u)+T(v)=0w+0w=0w→

u+v Єker(T)

0v Є ker(T) Dado que T(0v)= 0w

un subespacio del dominio

El núcleo de toda transformación lineal

es

Dados u Є ker(T) Λ k Є R:T(ku)=Kt(u) Λ T(ku) =k0w=0w→ ku Є ker(T)

Se denomina nulidad a la dimensión del núcleo

null(T)= dim{ker(T)}

la imagen de una transformación lineal esta formada por el conjunto de todos los vectores del codominio

que son imágenes de al menos algún vector del dominio.

La imagen de toda transformación

lineal es un subespacio del codominio.

El rango de una transformación lineal es la dimensión de la imagen.

ran(T)= dim{Im(T)}

, 

Ejemplo:

Sea: Tal que

. Entonces T es lineal,  ya que

, y por otro lado,

Por lo tanto, vemos que

Esta transformación recibe el nombre de la transformación cero y se denota como

Aplicación de la transformación lineal en espacios vectoriales.

Un espacio vectorial sobre un cuerpo K (como el cuerpo de los números reales o los números complejos) es un conjunto V no

vacío, dotado de dos aplicaciones:

la relación entre dos espacios vectoriales se

expresa por las aplicaciones entre ellos.

Suma Producto

Aplicación

En el contexto de los espacios vectoriales, el concepto correspondiente

se denomina aplicación lineal o transformación lineal.

Se tratan de funciones f : V → W que son compatibles con la estructura relevante, i.e., preservan la suma de vectores y el

producto por un escalar:

f(v + w) = f(v) + f(w) y f(a · v) = a · f(v).

Ejemplos:

Operación interna tal que:1) tenga la propiedad conmutativa, es decir

2) tenga la propiedad asociativa, es decir

3) tenga elemento neutro 0, es decir

4) tenga elemento opuesto, es decir

Operación externa tal que:a) b)

c)

d)

Los elementos de K se llaman escalares.Los elementos de V se llaman vectores.

Método de Gauss-SeidelY Jacobi

La iteración de Gauss-Seidel se define al tomar Q como la parte triangular inferior de

A incluyendo los elementos de la diagonal

Si definimos la matriz R=A-Q

y la ecuación se puede escribir en la forma:

Qx(k) = -Rx(k-1) + b

Un elemento cualquiera, i, del

vector Qx(k) vendrá dado por la ecuación:

Si tenemos en cuenta la peculiar forma de las matrices Q y R,

resulta que todos los sumandos para los que j > i en la parte

izquierda son nulos, mientras que en la parte derecha son nulos

todos los sumandos para los que .

Podemos escribir entonces:

=

=

De donde despejando xi(k), obtenemos:

En el método de Gauss-Seidel los valores actualizados de xi sustituyen de inmediato a los valores anteriores, mientras que en el método de Jacobi todas las componentes nuevas del vector se calculan antes de llevar a cabo la sustitución. Por contra, en el método de Gauss-Seidel los cálculos deben llevarse a cabo por orden, ya que el nuevo valor xi depende de los valores actualizados de x1, x2, ..., xi-1.

incluyendo un algoritmo para la iteración de Gauss-Seidel

Algoritmo para la iteración de Gauss-Seidel.

Método de Jacobi

es un método iterativo, usado para resolver

sistemas de ecuaciones lineales del

tipo Ax = b

consiste en construir una sucesión convergente

definida iterativamente.

El límite de esta sucesión es precisamente la solución del

sistema.

A efectos prácticos si el algoritmo se detiene después de un número finito de

pasos se llega a una aproximación al

valor de x de la solución del sistema.

La sucesión se construye descomponiendo la matriz del

sistema en la forma siguiente:

A= D+L+U

donde

 D, es una matriz diagonal, L, es una matriz triangular inferior U, es una matriz triangular superior

Partiendo de Ax = b , podemos reescribir dicha ecuación como:

Luego,

Si aii ≠ 0 para cada i. Por la regla iterativa

El Método de Jacobi puede ser expresado de la forma:

k es el contador de iteración, Finalmente tenemos

Cabe destacar que al calcular xi(k+1) se necesitan todos los elementos en x(k), excepto el que tenga el mismo i. Por eso, al contrario que en el método Gauss-Seidel,

no se puede sobreescribir xi(k) con xi(k+1), ya que su valor será necesario para el resto de los cálculos. Esta es la diferencia más significativa entre los métodos de Jacobi y Gauss-Seidel.

La cantidad mínima de almacenamiento es de dos vectores de dimensión n, y será necesario realizar un copiado explícito.

Bibliografía

www.google.com http://es.wikipedia.org

http://www.uv.es http://www.ugr.es

Matemática de 8vo grado – E. Navarro