Universidad Rafael Urdaneta

Escuela de Ingeniería

Cátedra: “Álgebra Lineal”

Prof.: Ginés Alarcón.

Transformaciones Lineales

·Integrantes:

Andrés Hugas

Aldixon Maldonado

César Gutiérrez

Maracaibo, 10/12/10

Esquema

1. Transformaciones Lineales.

2. Propiedades de las Transformaciones Lineales: Imagen y Núcleo.

3. Rango y Nulidad de una matriz.

4. Representación matricial de una transformación.

5. Isomorfitos.

6. Isometría.

1. Transformaciones lineales

Se denomina transformación lineal a toda aplicación cuyo dominio y codominio

sean espacios vectoriales que cumpla la siguiente definición:

Sean V y W espacios vectoriales sobre el mismo espacio o campo K, y T una función

de V en W. T es una transformación lineal si para todo par de

vectores u y v pertenecientes a V y para todo escalar perteneciente a K, se satisface

que:

1.

2. donde k es un escalar.

Ejemplo:

Transformación lineal identidad

2. Propiedades de las transformaciones lineales: imagen y núcleo.

-teoremas: 3; definiciones: 2; ejemplos: 3

Teorema 1:

Sea T: V W una transformación lineal. Entonces para todos los vectores u, v, v1,…, vn

en V y todos los escalares α, α1, α2,…, αn.

i. T(0) = 0

ii. T(u – v) = Tu – Tv

iii. (α α α ) α α α

Nota: En la parte i) el 0 de la izquierda es el vector cero en V, mientras que el 0 de la

derecha es el vector cero de W.

Teorema 2:

Sea V un espacio vectorial de dimensión finita con base B = {v1, v2,…, vn}. Sean w1,

w2,…, wn, n vectores en W. supongamos que T1 y T2 son dos transformaciones lineales

de V en W tales que T1 vi = T2 vi = wi para i = 1, 2,…, n. Entonces para cualquiera vector

v ; es decir, T1=T2.

Teorema 3:

Sea V un espacio vectorial de dimensión finita con base B = {v1, v2,…, vn}. Sea W un

espacio vectorial que contiene los vectores w1, w2,…, wn. Entonces existe una

transformación lineal única T: V , tal que Tvi = wi para i = 1, 2,…, n.

Definición 1: Núcleo e Imagen en una transformación lineal.

Sean V y W dos espacios vectoriales y sea T: V una transformación lineal,

entonces:

i. El núcleo de T, denotado por nu T, está dado por:

* +

ii. La imagen de T, denotado por imagen T, está dado por:

* +

Definición 2: Nulidad y Rango.

Si T es una transformación lineal de V en W, entonces se define:

Nulidad de T = v(T) = dim nu T

Rango de T = p(T) = dim imagen T

Ejemplo # 1:

Si se conoce el efecto de una transformación lineal sobre los vectores de la base,

entonces se conoce el efecto sobre cualquier otro vector. Sea T una transformación

lineal de y supongan que:

T ( ) = (

) , T (

) (

) (

) = (

). Calcule (

)

Solución:

Se tiene ( ) = (

) (

) (

) Entonces: (

) = (

)

( ) (

) = (

) (

) (

) = (

) (

) (

) = (

).

Ejemplo # 2:

Definición de una transformación lineal de en un subespacio

Encuentre una transformación lineal de .

{( ) }

Solución:

(

) (

)

Ejemplo # 3:

Nácelo e Imagen de un operador de proyección.

Sea ( ) (

) , T es el operador de proyección de en

el plano xy. Si ( ) (

) (

) ,

Entonces x = y = 0. Así, nu T = *( ) + =eje z, e imagen T =

*( ) + = plano xy. Observe que dim nu T = 1 y dim

imagen T = 2.

3. Rango y Nulidad de una matriz.

-Definiciones (2, 1 c/u); Ejemplos (2, 1 c/u).

Definición 1: La dimensión común del espacio renglón y del espacio columna

de una matriz A se denomina rango y se denota rango (A).

Definición 2: La dimensión del espacio nulo de A se llama nulidad y se denota

nulidad (A).

Propiedad: Rango (A)= Rango (AT)

Teorema de la dimensión: Si es una matriz A con n columnas,

Entonces:

Rango (A) + nulidad (A) = n

El procedimiento para calcular el rango de una matriz es el siguiente

Se utiliza los procesos elementales por filas para transformar A en una matriz B en

forma escalonada.

El rango de A es igual al número de filas no nulas (aquellas que se lograron escalonar).

Ejemplo

Sea A. determinar su rango y nulidad

Por procesos elementales

–f1+f2→f2 ^ –f1+f3→f3 f2+f3→f3

rango (A)= 2

Ejemplo # 1: Rango de una Matriz.

Ejemplo # 2: Nulidad de una Matriz.

Sea A una matriz racional de orden 4 y determinante 2.

Calcula el valor del determinante de:

Q3(2/5)A AP23 P12(t)A t Q .

Solución

det(Q3(2/5)A) = 2/5 det(A) = 4/5

det(AP23) = −det(A) = −2

det(P12(t)A) = det(A) = 2

4. Representación matricial de una transformación.

-Teoremas: 4; Definición: 1; Ejemplos: 5

Definición 1:

Matriz de transformación. La matriz AT en el teorema 1 se llama matriz de

transformación correspondiente a T o representación matricial de T. Nota: La matriz

de transformación AT está definida usando las bases estándar tanto en Rn como en

Rm. Si se usan otras bases, se obtendrá una matriz de transformación diferente.

Si A es una matriz de m x n y T: Rn → Rm está definida por Tx= Ax.

Ahora se verá que para toda transformación lineal de Rn en Rm existe una matriz A de

m x n tal que Tx= Ax para todo x € Rn. este hecho es sumamente útil. Si Tx=Ax,

entonces un T= NA e imagen T=RA. Más aún, v (T) = dim un T =v(A) y ρ (T) = dim

imagen T= ρ(A). Así se puede determinar núcleo, imagen, nulidad y rango de una

transformación lineal de Rn Rm determinando el espacio nulo y la imagen de la matriz

correspondiente. Todavía más, una vez que se sabe que Tx= Ax, se puede evaluar Tx

para cualquier x en Rn mediante una simple multiplicación de matrices.

Como se verá, cualquier transformación lineal entre espacios vectoriales de dimensión

finita se puede representar por una matriz.

Teorema 1:

Sea T: Rn → Rm una transformación lineal. Entonces existe una matriz única de m x n,

AT tal que.

Tx = AT x para toda x € Rn.

Demostración:

Sea W1 = Te1, W2= Te2,…Wn = Ten. Sea AT la matriz cuyas columnas son W1, W2,…,

Wn y hagamos que AT denote también a la transformación de Rn → Rm, que

premultiplica un vector en Rn por AT.

Así AT ei= Wi para i=1,2,…, n.

Ahora se puede demostrar que AT es única. Suponga que Tx= AT x y que Tx= BT x para

todo x € Rn. Entonces, AT x = BT x o estableciendo CT = AT - BT, se tiene que CT x =0

para todo x € Rn. En particular, CT ei es la columna i de CT. Así, cada una de las n

columnas de CT es el m- vector cero y CT=0, la matriz cero de m x n. Esto muestra que

AT = BT y el teorema queda demostrado.

Observación 1:

En este teorema se supone que todo vector en Rn y Rm está expresado en términos de

los vectores de la base estándar en esos espacios. Si se eligen otras bases para Rn y

Rm, por supuesto, se obtendrá una matriz AT diferente.

Observación 2:

La demostración del teorema muestra que es sencillo obtener AT como la matriz

cuyas columnas son vectores Tei.

Teorema 2:

Sea AT la matriz de transformación correspondiente a la transformación lineal T.

Entonces:

i. Imagen T= Imagen A = C AT

ii. Ρ (T) = ρ (AT)

iii. Un T = N AT

iv. v (T) = v(AT)

Teorema 3:

Sean V un espacio vectorial de dimensión n, W un espacio vectorial de dimensión m y

T: V→W una transformación lineal. Sea B1 {v1, v2,…, vn} una base para V y base B2 =

{w1, w2,…, wm} una base para W. entonces existe una matriz única AT de m x n tal

que (Tx)B2 = AT (x) B1.

Teorema 4:

Sean V y W espacios vectoriales de dimensión finita con dim V=n. Sea T:V W una

transformación lineal y sea AT una representación matricial de T respecto a las bases

B1 en V y B2 en W. Entonces:

i. ρ(T) = ρ (AT)

ii. v(T) = v(AT)

iii. v(T) + ρ(T) =n

Nota: i) y ii) implican que ρ (AT) y v(AT) son independientes de las bases B1 y B2.

Ejemplos: Representación matricial de una transformación.

5. Isomorfitos.

- Teoremas: 6; Definición: 3; Ejemplos: 2

Definición 1:

Se puede definir concisamente como: un isomorfismo es un homomorfismo biyectivo

tal que su inversa es también homomorfismo.1

Definición 2:

El descubrimiento de Platón de que la forma es lo que importa se recoge en

matemáticas con el concepto de isomorfismo. Una aplicación f:X→Y entre dos

conjuntos dotados del mismo tipo de estructura es un isomorfismo cuando cada

elemento de Y proviene de un único elemento de X y f transforma las operaciones,

relaciones, etc. que hay en X en las que hay en Y. Cuando entre dos estructuras hay un

isomorfismo, ambas son indistinguibles, tienen las mismas propiedades, y cualquier

enunciado es simultáneamente cierto o falso. Por eso en matemáticas las estructuras

deben clasificarse salvo los isomorfismos.

Definición 3:

El descubrimiento de un isomorfismo entre dos estructuras significa esencialmente

que el estudio de cada una puede reducirse al de la otra, lo que nos da dos puntos de

vista diferentes sobre cada cuestión y suele ser esencial en su adecuada comprensión.

También significa una analogía como una forma de inferencia lógica basada en la

asunción de que dos cosas son la misma en algunos aspectos, aquellos sobre los que

está hecha la comparación. En ciencias sociales, un isomorfismo consiste en la

aplicación de una ley análoga por no existir una específica o también la comparación

de un sistema biológico con un sistema social, cuando se trata de definir la palabra

"sistema". Lo es igualmente la imitación o copia de una estructura tribal en un hábitat

con estructura urbana.

Teorema 1:

Si G y H son los grupos y f es a homomorfismo de G a H, entonces núcleo K de f es a

subgrupo normal de G, imagen de f es a subgrupo de H, y grupo del cociente G /K es

isomorfo a imagen de f.

Teorema 2:

Dejado H y K sea subgrupos del grupo G, y asuma H es un subgrupo de normalizador

de K. Entonces ensamble HK de H y K es un subgrupo de G, K es un subgrupo normal

de HK, H ∩K es un subgrupo normal de H, y HK /K es isomorfo a H /(H ∩K).

Teorema 3:

Si M y N son los subgrupos normales de G tales que M se contiene adentro N, entonces

M es un subgrupo normal de N, N /M es un subgrupo normal de G /M, y (G /M) /(N

/M) es isomorfo a G /N.

Teorema 4:

Si A y B son las álgebra, y f es a homomorfismo de A a B, entonces la relación de

equivalencia Φ encendido A definido cerca a~b si y solamente si f(a)=f(b) está una

congruencia encendido A, y la álgebra AΦ es isomorfo a la imagen de f, de que es un

subalgebra B.

Teorema 5:

Dado una álgebra A, un subalgebra B de A, y una congruencia Φ en A, dejamos [B]Φ

sea el subconjunto de AΦ determinado por todas las clases de la congruencia de las

cuales contenga un elemento B, y dejamos ΦB sea la intersección de Φ (considerado

como subconjunto de Un x A) con B x B. Entonces [B]Φ es un subalgebra de AΦ, ΦB

está una congruencia encendido B, y la álgebra [B]Φ es isomorfo a la álgebra BΦB.

Teorema 6:

Dejado A sea una álgebra, y deje Φ y Ψ sea dos relaciones de la congruencia encendido

A, con Ψ contenido adentro Φ. Entonces Φ determina una congruencia Θ en AΨ

definido cerca ~ [a] [b] si y solamente si a y b es el modulo equivalente Φ (donde [a]

representa Ψ- clase de equivalencia de a), y AΦ es isomorfo a (AΨ)/Θ.

Ejemplo # 1:

Si X es un número real positivo con el producto e Y es un número real con la suma, el

logaritmo ln:X→Y es un isomorfismo, porque ln(ab) = ln(a) + ln(b) y cada número real

es el logaritmo de un único número real positivo. Esto significa que cada enunciado

sobre el producto de números reales positivos tiene (sin más que sustituir cada

número por su logaritmo) un enunciado equivalente en términos de la suma de

números reales, que suele ser más simple.

Ejemplo # 2:

Si en el espacio E elegimos una unidad de longitud y tres ejes mutuamente

perpendiculares que concurren en un punto, entonces a cada punto del espacio

podemos asociarles sus tres coordenadas cartesianas, obteniendo así una aplicación

f:E→R³ en el conjunto de las sucesiones de tres números reales. Cuando en E

consideramos la distancia que define la unidad de longitud fijada y en R³

consideramos la distancia que define la raíz cuadrada de la suma de los cuadrados de

las diferencias, f es un isomorfismo. Este descubrimiento fundamental de Descartes

permite enunciar cualquier problema de la geometría del espacio en términos de

sucesiones de tres números reales, y este método de abordar los problemas

geométricos es el corazón de la llamada geometría analítica.

6. Isometría.

- Teoremas: 4; Definición: 3; Ejemplos: 2

Definición 1:

El término "isométrico" deriva del griego; "igual medida", y proviene del prefijo “isos”

que significa “igual” y de la palabra “métrico” que expresa o significa "medida"; ya que

la escala de medición es la misma a lo largo de cada eje. Esta particularidad no se

cumple en otras formas de proyección gráfica.

Definición 2:

Isométrico se refiere a aquel dibujo tridimensional que se ha realizado con los ejes

inclinados formando un ángulo de 30° con la horizontal

Definición 3:

La isometría es una de las formas de proyección utilizadas en dibujo técnico que tiene

la ventaja de permitir la representación a escala, y la desventaja de no reflejar la

disminución aparente de tamaño -proporcional a la distancia- que percibe el ojo

humano.

Ejemplo # 1:

Una rotación en el espacio euclídeo es una isometría del espacio euclídeo

tridimensional.

Ejemplo # 2:

El operador de evolución temporal , que describe el movimiento de un sólido rígido S

es un grupo uniparamétrico de isometrías del espacio euclídeo tridimensional. Cada

operador unitario que da la evolución de un sistema cuántico cuyo hamiltoniano es

una isometría sobre un espacio de Hilbert de dimensión infinita.

Teorema 1: una isometría es una función biyectiva.

Recordemos que una función es biyectiva si es sobreyectiva e inyectiva. Como por

definición una isometría es sobreyectiva, alcanza con probar que también es inyectiva.

Para esto, probaremos que las imágenes de puntos distintos deben ser

necesariamente distintas.

Teorema 2: La congruencia es una relación de equivalencia.

La congruencia cumple la propiedad de identidad: F=F

Existe la isometría Id tal que Id(A) = A ∀ A F ⇒ Id(F) = F.

Teorema 3:

Si una isometría en un plano dado tiene por lo menos tres puntos fijos no colineales,

entonces esta isometría es I, es decir, la identidad en ese plano.

Teorema 4:

Si una isometría F en un plano tiene por lo menos dos puntos fijos, A1, A2.