transformaciones algebraicas y ecuaciones lineales
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Para alumnos de bachillerato de segundo semestre tranformaciones algebraicas y ecuaciones linealesTRANSCRIPT
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TRANSFORMACIONES ALGEBRAICAS Y ECUACIONES LINEALES
1 OBJETIVO
El presente trabajo tiene como finalidad de conocer y reconozcerlos principios y teorías del álgebra
2 INTRODUCCION
El Álgebra dentro del a ciencia delas matemáticas busca desarrollar los principios fundamentales
necesarios para resolver problemas en todoslos campos del saber.
Este trabajo trata sobre los principios, propiedades,definiciones y aplicaciones del álgebra. Cada
temática se desrrollará en forma metódica, ilustrativa y didáctica, con el propóstio de que el
lector active sus conocimientos previos, que exploren y desarrollen nuevos conocimientos, de tal
forma que los puedan comprender e interiorirzar para utilizarlos cuando sea necesario.
La parte correspondiente de álgebra contempla las ecuaciones algebraicas, suscaracterísticas, su
definición según el tipo de relación y según el tipo de expresión que la representa. Se hace énfasis
en las características de cada una, sus parámetros y sus aplicaciones.
Por otra parte se habla tambien de uno de los conceptos más importantes en matemáticas como
es el de FUNCION y se cree que el gran matemático alemán Leibinz la introdujo a finales del siglo
XVII. El concepto proviene de la palabra latina functio, que quiere decir Acto de Realizar. Todas
las áreas de las matemáticas tienen que ver con funciones, diferentes fenómenos. En Biología,
en crecimiento de organismos, en Economía, para describir el costo o utilidad de un artículo, en
Física para describir la distancia como función del tiempo y muchos otros más.
.
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3 DESARROLLO
TRANSFORMACIONES ALGEBRAICAS
Factorización de trinomios
Trinomio del tipo x2+bx+c
Los trinomios que se factorizarán son los de la forma ax2 + bx + c
Este trinomio proviene del producto de dos binomios.
A este trinomio se le conoce como expresión cuadrática, donde:
ax2 es el término de segundo grado o cuadrático
bx es el término lineal
c es el término independiente
Primero se abordará el caso en donde a = 1
Trinomios de la forma x 2 + bx + c
Analizando los siguientes ejemplos se desarrollará la técnica para factorizar este tipo de
trinomios.
Ejemplo
Siguiendo la regla en el producto de (x + 3)(x + 4), se obtiene:
Para encontrar el proceso inverso (Factorización), se requiere encontrar dos números que
multiplicados den el término independiente y sumados o restados proporcionen el coeficiente
del término lineal.
Para factorizar x2 + 7x +12 se debe hallar dos números que multiplicados den 12 y sumados den 7.
Para expresar la Factorización, se acomodan en los factores el término igual, que en este caso
es x, y los números encontrados, como se muestra a continuación:
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Ejemplo
Ahora se factorizará la expresión x2 −10x + 24
Se tiene que encontrar dos números que multiplicados den 24 y que sumados den –10
Por lo que la Factorización resulta:
También se podría expresar como,
Esto debido a la propiedad conmutativa de la multiplicación, que en otras palabras se le conoce
como “el orden de los factores no altera el producto”.
A medida que practiques las factorizaciones de este tipo, visualizarás con mayor rapidez los
números que cumplen con las dos condiciones, posiblemente los encuentres antes de buscar los
números probables.
Trinomios de la forma ax2 + bx + c, con a ≠ 0,1
Este tipo de polinomios son generados al multiplicar binomios de diferentes términos, como:
Analizando los coeficientes obtenidos,
12 se obtuvo de multiplicar (3)(4)
7 se obtuvo de sumar los productos (3)(5) + (− 2)(4)
−10 se obtuvo de multiplicar (2)(− 5)
Todo con base en los coeficientes de los binomios.
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A continuación se generaliza el trinomio para obtener la técnica que se utilizará en este tipo de
factorizaciones.
ax2 + bx + c = (d x + e)(f x + g)
a = (d)(f )
b = (d)(g) + (e)(f )
c = (e)(g)
Ejemplo
Para factorizar 5x2 −13x − 6 se requiere encontrar los coeficientes d, e, f y g , los cuales se obtienen
con los posibles factores de los coeficientes conocidos del trinomio, como se muestra a
continuación.
Dos números que multiplicados den 5 da como opciones:
Ambas opciones con el mismo signo.
Dos números que multiplicados den −6 da como opciones:
El término de en medio sirve para comprobar las posibles asignaciones que se le den a d, e, f y g .
Ahora se asignarán 4 opciones para realizar la Factorización.
Si d = 5, f = 1, e = 3 y g = −2 los factores se expresan,
Como se ve en la operación anterior, resultó −4 y debía de ser −13 , por lo que la asignación
propuesta para los coeficientes de los binomios es incorrecta, debe de probarse con otra
asignación.
Ahora se probará con la siguiente asignación.
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Si d = 5, f = 1, e = 2 y g = −3 los factores se expresan
Como cumple con que la suma de los productos de los extremos y medios es −13 ,
entonces se encontró la asignación correcta. Por lo que se puede expresar la
Factorización.
5x 2 − 13 x − 6 = (5 x + 2)(x − 3)
Simplificación de fracciones algebraicas
Fracción algebraica. Es un cociente que posee expresiones algebraicas, tanto en el numerador
como en el denominador.
Debido a que en planteamientos posteriores de problemas cotidianos se encontrarán múltiples
expresiones tan complejas como lo son las fracciones algebraicas, es muy importante
simplificarlas.
Para poder simplificar las expresiones algebraicas, en la mayoría de los casos, se requiere de la
Factorización.
El principio fundamental de una fracción es:
Si cada miembro de una fracción se multiplica o se divide por una cantidad diferente de cero, el
valor de la fracción no se altera.
También en las fracciones se tienen que considerar los signos, tanto de la fracción, del numerador
y denominador. A continuación se visualizan las diferentes formas de presentar a los signos.
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Multiplicación de fracciones.
Recordando, las fracciones se multiplican multiplicando numerador con numerador y
denominador con denominador.
Ejemplo
Para simplificar la fracción: , es necesario expresarla como producto, y esto se
logrará mediante la Factorización.
Una de las condiciones para poder eliminar el término igual, tanto en el numerador como en el
denominador, es que sea una cantidad diferente de cero, debido a eso:
Si x ≠ 5 entonces se puede llevar a cabo la eliminación.
Ejemplo
Ahora al simplificar las fracciones es necesario convertirlas a sus factores.
, para poder eliminar los términos iguales en el
numerador y denominador, tiene que considerarse que x ≠ 5, 3, − 3, puesto que estos valores
hacen el denominador cero. El valor de x = −2 también convierte el denominador en cero, lo
cual provoca que la fracción no exista, pero no sería un condicionante para la eliminación.
Así que tomando en cuenta estos valores, se puede hacer la eliminación.
Ejemplo
En este caso, el denominador es un monomio por lo que habrá que factorizar sólo el
numerador
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La condición es x ≠ 0 , por lo que eliminando el término queda:
División de fracciones.
Para dividir las fracciones, se multiplica como se muestra a continuación.
Para poder eliminar términos iguales es necesario efectuar la división y las factorizaciones, o si
se desea primero factorizar y posteriormente hacer la división. El punto es que sólo cuando todos
los términos están expresados como multiplicación se puede llevar a cabo la eliminación.
Ejemplo
Para simplificar la expresión , se llevará a cabo la división.
Ahora se realizan las factorizaciones correspondientes.
La condición para hacer la eliminación:
ECUACIONES
Elementos de una ecuación
Ecuación. Es una igualdad que se cumple para algunos valores o letras. Como por ejemplo:
x + 5 = 8
8
Para que sea verdadera esta ecuación el único valor que puede tomar x es 3, entonces decimos
que la solución a esta ecuación es x = 3.
Se dice que la solución «satisface» a la ecuación, cuando se sustituye su valor y se verifica la
igualdad.
3 + 5 = 8
8 = 8
Los elementos de una ecuación son:
Los elementos de una ecuación son:
1. Miembros.
2. Términos.
3. Incógnitas.
4. Grado.
5. Solución
1. Miembros. Son cada una de las expresiones que aparecen en ambos lados del símbolo igual.
2. Términos. Son los sumandos que forman a cada uno de los miembros de la ecuación.
3. Incógnita(s). Es el valor desconocido que se pretende encontrar, y puede haber una o más de
ellas, también conocidas como variables o literales.
Dependiendo del número de letras distintas se dice que es de una, dos, tres, o más incógnitas.
4. Grado. Es el mayor grado de los monomios que forman a sus miembros.
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En este caso es de primer grado, porque ambos miembros poseen al 1 como exponente, sólo que
por convencionalismo no se escribe.
5. Solución. Es el valor que puede tomar la incógnita para que la igualdad se establezca,
dependiendo del grado y del número de las incógnitas, pueden ser varias soluciones.
5x + 2 = 3x + 16
La solución para esta ecuación es:
x = 7
Puesto que al sustituir el valor encontrado en la incógnita de la ecuación se cumple la igualdad.
5(7) + 2 = 3(7) + 16 35 + 2 = 21+ 16
37 = 37
Ecuaciones lineales
A las ecuaciones de primer grado se les conoce como ecuaciones lineales. Las siguientes
ecuaciones son ejemplos de ecuaciones lineales.
Las tres primeras son ejemplos de ecuaciones lineales con una incógnita y los últimos tres son
ejemplos de ecuaciones lineales con dos incógnitas.
La representación general de una ecuación lineal es: Ax + B = 0 con la condición de que A ≠ 0.
Por supuesto que ésta es la representación más simplificada que se puede tener en una ecuación;
como observaste en los ejemplos anteriores, la(s) incógnita(s) pueden estar en ambos miembros
de la ecuación y además, poseer paréntesis y denominadores.
Resolución de ecuaciones lineales
Para resolver las ecuaciones lineales con una incógnita, es recomendable seguir los siguientes
pasos.
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1. Quitar paréntesis.
2. Quitar denominadores.
3. Agrupar los términos que posean la incógnita en un miembro y los términos independientes
en el otro.
4. Reducir los términos semejantes.
Para llevar a cabo estos pasos, se requiere de las propiedades de los números reales que
manejaste en el segundo bloque, a continuación se justificará paso a paso el despeje de una
ecuación utilizando las propiedades de los números reales y posteriormente se explicará la
técnica que se utiliza en el despeje sin necesidad de utilizar las propiedades.
Utilizaremos la ecuación que nos sirvió de modelo para explicar los elementos de una ecuación.
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El proceso anterior es extenso, pero es necesario que lo conozcas para que comprendas por qué
se despeja en forma reducida sólo utilizando algunos de los pasos del cuadro anterior, de hecho,
los pasos que se requieren para un despeje corto son los que están sombreados, y aún así se
pueden reducir más.
A continuación se muestra la forma de simplificación corta.
Ejemplo
Entre Said y Raymundo van a comprar una bolsa de canicas que cuesta $56, pero Said tiene $12
menos que Raymundo. ¿Cuánto tiene cada uno?
Para resolver este problema es necesario asignar la variable.
x : Es el dinero que tiene Raymundo
x −12: Es el dinero que tiene Said
Entre los dos comprarán una bolsa de canicas que cuesta $56, entonces el planteamiento del
problema con la variable asignada se expresa de la siguiente forma:
x + x −12 = 56
Esta es una de las ecuaciones más sencillas, no posee paréntesis ni denominadores, por lo que
procederemos a despejarla.
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Al sustituir el valor encontrado en la asignación de la variable, se obtiene que: Raymundo tiene
$34 y Said tiene $22.
Ejemplo
La edad de Carolina es la mitad de la de Emily; la de Valeria es el triple que la de Carolina y la
edad de Angélica es el doble de la de Valeria. Si las cuatro edades suman 60, ¿qué edad tiene
cada una?
y: Edad de Carolina
2y: Edad de Emily
3y: Edad de Valeria
2(3y): Edad de Angélica
Dado que la suma de las edades es de 60, entonces, el planteamiento del problema se expresa
así:
y + 2 y + 3 y + 6 y = 60
Resolviendo la ecuación lineal
Del resultado tenemos que:
Carolina tiene 5 años de edad, Emily tiene 10 años, Valeria tiene 15 años y Angélica tiene 30
años.
Funciones lineales
El concepto de función implica la relación que existe entre los elementos de dos conjuntos; esta
relación se establece mediante una regla de asociación que puede ser verbal o matemática.
Ejemplo
Si se tiene la ecuación 2 x − 3 y + 6 = 0 , al despejarla se puede encontrar mejor la relación que
existe entre las variables.
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Se puede decir que la variable “y” está en función de “x” porque existe una relación o asociación
entre ellas, si a cada valor de “x” que asignes, lo multiplicas por 2/3 y le sumas 2, vas a obtener
un único valor de “y”.
De aquí se puede visualizar la definición de función, la cual es: Función. Es la regla de asociación
o correspondencia entre los conjuntos X y Y, de tal forma que cada elemento de un conjunto X
se asocia con exactamente un elemento del conjunto Y.
Con esto decimos que los elementos “y” del conjunto Y, están en función de los elementos “x”
del conjunto X, esto queda más claro en esta notación.
y = f( x )
Así que la función y=2
3x +2 se puede reescribir como:
Este tipo de formas de expresar una función lineal, además su nombre es dado por las gráficas
que presenta, la cual es una línea recta no vertical, además su ecuación es de primer grado.
Sea F(x)= ax+b ; donde a y b son constantes y a ≠ 0 , se define como una función lineal. Si
observamos la ecuación que distingue la función lineal, vemos que corresponde a una ecuación
lineal. A el valor a se le conoce como pendiente y a b como el intercepto o corte en el eje y.
Por la teoría Euclidiana, para obtener una recta, sólo se requieren dos puntos P1 (x1,y1) y P2
(x2,y2). la pendiente se puede obtener así:
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El intercepto se pueden obtener conociendo la ecuación, reemplazar un punto que esté sobre la
recta y despejar b.
Ejemplo:
Sea la función f (x) =ax + b ; por la cual pasan los puntos P1 (2,4) y P2 (- 2,- 3) . Hallar la
pendiente y el intercepto.
Solución: primero calculamos a; o sea, la pendiente.
Ahora reemplazando el valor de a en la ecuación, obtenemos:
para hallar b, reemplazamos cualquiera de los dos puntos en la ecuación, tomemos P1, luego:
La función quedará definida por la ecuación:
Representación gráfica de una función lineal
Ejemplo
Graficar la función y = −3 x + 6
m= −3
b = 6
Primero se ubica b en el eje vertical.
Para graficar una recta sólo se necesitan dos puntos para trazar la línea, por lo que el otro punto
se grafica a partir del punto encontrado utilizando la pendiente, o sea “m”.
b
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esto significa que por cada 3 unidades que va hacia abajo en el eje vertical avanza 1
unidad hacia la derecha en el eje horizontal.
Por lo tanto se ubica a m en el punto x=1, y=3, por ultimo se une a m con b con una recta.
b
m
b
m
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3 BIBLIOGRAFIA
Jorge Eliécer Rondón Durán. (2006). Algebra, trigonometría y geometría analítica. Bogotá.
Editorial UNAD
Colegio de bachilleres del estado de sonora. (2009). Matemáticas 1. Sonora,Mexico. Dirección
Académica del Colegio de Bachilleres del Estado de Sonora