Suma de Funciones, hacia una estructura de Espacio Vectorial”

ÁLGEBRA IIIProf. Laura Brizuela

SEGUNDA PARTE:

ESPACIO VECTORIAL

INTEGRANTES DEL GRUPO:

Stefanía Montivero, Andrea Pérez,Romina

Herrera y Patricia Maldonado

La Rioja, Abril 2013

ESPACIO VECTORIAL DE FUNCIONES

En kx definimos la suma de funciones (ya vista anteriormente y verificados sus axiomas) y el producto de escalares por funciones mediante:

AXIOMAS

AXIOMAS

AXIOMAS

AXIOMAS

VERIFICACIÓN ANALÍTICA Y GRÁFICAVerificación de los axiomas a partir de las siguientes funciones dadas:

A6 Ley de cierre respecto a la multiplicación de un escalar por una función

A7 Propiedad asociativa

VERIFICACIÓN ANALÍTICA Y GRÁFICAVerificación de los axiomas a partir de las siguientes funciones dadas:

A8 Propiedad distributiva con respecto a la suma de escalares

h (x) = -2x +4

VERIFICACIÓN ANALÍTICA Y GRÁFICAVerificación de los axiomas a partir de las siguientes funciones dadas:

A9 Distributividad del producto respecto de la suma en K

VERIFICACIÓN ANALÍTICA Y GRÁFICAVerificación de los axiomas a partir de las siguientes funciones dadas:

A 10 Neutro

f(x) = x - 2

VERIFICACIÓN ANALÍTICA Y GRÁFICAVerificación de los axiomas a partir de las siguientes funciones dadas:

1) El producto escalar 0 por cualquier función es la función nula.

2) El producto de cualquier escalar por la función nula es la función nula.

3) Si el producto de un escalar por una función es la función nula, entonces el escalar es 0 o la función es nula.

4) El opuesto de cualquier escalar por una función es igual al opuesto de su producto.

PROPIEDADES DE LOS ESPACIOS VECTORIALES

S es un subespacio de (Kx,+,K, . ) si y solo si (S,+,K, . ) es un espacio vectorial.

Condición suficiente:1) 2) 3) 4)

SUBESPACIO VECTORIAL

Definición: Combinación lineal de la familia A

incluida en kx es toda función del tipo:

COMBINACIÓN LINEAL

Sea A un conjunto no vacío de funciones del espacio (kx, +, k, .). A expensas de A podemos formar el subconjunto de kx cuyos elementos sean todas las combinaciones lineales de las funciones de A.

A este conjunto lo denotaremos con el símbolo: Si A = { f1, f2, … fn}

SUBESPACIO GENERADO

Teorema: el conjunto de las combinaciones lineales de toda familia no vacía de un espacio vectorial es un subespacio del mismo.

DEPENDENCIA E INDEPENDENCIA LINEAL

• Conjunto linealmente independiente:La familia de A que está incluida en kx es linealmente independiente sí y solo sí, la única combinación lineal de dicha familia, cuyo resultado sea el vector nulo, es la trivial.

En símbolos:

Conjunto linealmente dependiente:

La familia de A que está incluida en kx es linealmente

dependiente sí y solo sí, existe una combinación lineal no trivial (es decir que los escalares no sean ceros) de dicha familia, cuyo resultado sea el vector nulo.

En símbolos:

PROPIEDADES

Toda función no nula de un espacio vectorial constituye un conjunto LI.

La función nula de cualquier espacio vectorial constituye un

conjunto LD. En efecto, cualquier escalar, nulo o no, satisface la relación .

Todo conjunto al que pertenezca la función nula es LD.

Un conjunto finito y no vacío de vectores es LD sí y solo sí, alguna función es combinación lineal de los demás.

SISTEMA GENERADOR

La familia A = es un sistema de generadores de Kx si y sólo si toda función de Kx puede generarse como combinación lineal de las funciones de A. O bien, A es un sistema de generadores de Kx si y sólo si el subespacio generado por A es Kx.

Simbólicamente

O bien

BASE DE UN ESPACIO VECTORIAL

Se dice que un conjunto ordenado B es base de un espacio vectorial V si se cumplen las siguientes condiciones:

Todos los elementos de B pertenecen al espacio vectorial V. Los elementos de B forman un sistema linealmente

independiente. Todo elemento de V se puede escribir como combinación lineal

de los elementos de la base B (es decir, B es un sistema de generadores de V).

BASE DE UN ESPACIO VECTORIALObservaciones adicionales

Las bases son conjuntos ordenados. Es decir que si bien {a,b,c} y {b,a,c} generan el mismo espacio vectorial, las bases no son iguales.

Dado un vector v y una base B de un espacio vectorial V, existe una única manera de escribir a v como combinación lineal de los elementos de la base B. Es decir, la representación de un vector en una base es única.

De la observación anterior se desprende que las bases no son únicas. En general, suele haber infinitas bases distintas para un mismo espacio vectorial. Por ejemplo, si , una base muy sencilla de V es:

la cual es conocida como base canónica de . Otras bases de son: Cuando el espacio vectorial en sí mismo es un conjunto finito entonces

el número de bases distintas es finito.

DIMENSIÓN DE UN ESPACIO VECTORIAL

Dimensión de un espacio vectorial Kx es el número cardinal de cualquiera de sus bases. Si Kx consiste únicamente en la función nula, diremos que su dimensión es 0. En ambos casos, V es un espacio de dimensión finita.

Si es una base de (Kx, +, K, . ), escribiremos Kx

Dimensión

Dado un espacio vectorial sobre :

·Si tiene base finita, diremos dimensión al número de elementos de dicha base.· Si tiene base no finita, diremos que es de dimensión infinita.

El ejemplo dado de F(I), C (I), C1(I), Ck (I) son de dimensión infinita.