UNIVERSIDAD POLITÉCNICA MESOAMERICANA

“EDUCAR PARA PRODUCIR”

Carrera: INGENIERÍA PETROLERA

Tema:

Espacio vectorial, Teorema Moivre

Profesora:

Ing. Rolando Rustrían Martínez

ASIGNATURA:

Algebra Lineal

ALUMNO:

Jorge Luis Uscanga Sánchez

La idea de vector está tomada de la Física, donde sirven para representar magnitudes vectoriales como fuerzas, velocidades o aceleraciones. Para ello se emplean vectores de dos componentes en el plano, de tres componentes en el espacio...

Se supone conocida la representación gráfica y manejo de los vectores de ℜ 2 y de ℜ 3.

En Matemáticas, tratamos de abstraer las propiedades que caracterizan a los vectores para extenderlas también a otro tipo de objetos diferentes de los vectores de la Física. Esencialmente, el comportamiento que caracteriza a los vectores es el siguiente:

• Podemos sumar dos vectores y obtenemos otro vector;

• Podemos multiplicar un vector por un número (escalar) y obtenemos otro vector.

Además estas operaciones cumplen ciertas propiedades, que observamos en los vectores de ℜ 2 y de ℜ 3 :

En lo sucesivo, utilizaremos habitualmente la siguiente notación: u,v,w (u otras letras latinas) para vectores, mientras que las letras griegas designarán escalares.

Propiedades de la suma de vectores.

• Asociativa: (u+v)+w = u+(v+w)

• Conmutativa: v+u=u+v.

• Existe un elemento neutro, el vector Ō, tal que Ō + v = v para cualquier vector v.

• Para cada vector v existe un elemento opuesto, –v, que sumado con él da Ō .

Propiedades del producto de un vector por un escalar.

• Asociativa: β (α v) = ( β α ) v

• Distributivas: Respecto de la suma de escalares: (α + β ) v = α v + β v Respecto de la suma de vectores: α (u + v) = α u +α v

• Existe un elemento unidad: el escalar 1, tal que 1· v = v para cualquier vector v.

Espacio Vectorial

Cualquier conjunto que posea unas operaciones suma y producto por escalares, cumpliendo todas las propiedades anteriores, diremos que es un espacio vectorial. Los elementos de tal conjunto se llamarán vectores (aunque pueda tratarse de objetos diferentes a los vectores de la Física.)

Diremos que el espacio vectorial es real o complejo, según sean los escalares.

• Otras propiedades de los espacios vectoriales pueden deducirse de las anteriores propiedades básicas. Por ejemplo:

Si αv = Ō (α escalar, v vector) entonces o bien es α=0 o bien es v = Ō .

1. Propiedad asociativa (+): (u + v) + w = u + (v + w), ∀u,v,w ∈ V .

2. Propiedad conmutativa: u + v = v + u, ∀u,v,∈ V .

3. Existencia de elemento neutro: ∃0 ∈ V |0 + v = v, ∀v ∈ V .

4. Existencia de elemento opuesto: ∀v ∈ V ∃-v ∈ V |v + (-v) = 0.

5. Propiedad distributiva I: a · (u + v) = a · u + a · v, ∀a ∈ R, ∀u,v ∈ V .

6. Propiedad distributiva II: (a + b) · v = a · v + b · v, ∀a,b ∈ R, ∀v ∈ V .

7. Propiedad asociativa (·): a · (b · v) = (ab) · v, ∀a,b ∈ R, ∀v ∈ V .

8. Elemento unidad: 1 · v = v, ∀v ∈ V .

Los ejemplos clásicos de espacios vectoriales reales son:

• Dado cualquier n ∈ N el conjunto

Rn = {(x1,...xn) : x1,...,xn ∈ R}

dotado de las operaciones suma y producto por escalares usuales.

• El conjunto Mm×n(R) de las matrices con coeficientes reales de orden m × n dotados de la suma y el producto por escalares usuales.

• El conjunto P(R) de los polinomios de variable real con coeficientes reales con la suma y el producto por escalares usuales.

• El conjunto Pn(R) de los polinomios de grado a lo sumo n con coeficientes reales con la suma y el producto por escalares usuales.

• El conjunto Co(R) de las funciones continuas en R con la suma y el producto por escalares usuales.

• El conjunto Co([a,b]) de las funciones continuas en un intervalo cerrado [a,b] con la suma y el producto por escalares usuales.

Axiomas de un espacio vectorial

1- Si X pertenece a V y Y pertenece a V, entonces X+Y pertenece a V.

2- Para todo X, Y y Z en V, (x+y)+z = x(y+z).

3- Existe un vector |0 pertenece V tal que para todo X pertenece a V, X+0=0+X=X.

4- Si x pertenece a V, existe un vector –x en V tal que x+(-x)=0.

5- Si X y Y están en V, entonces x+y=y+x.

6- Si x pertenece a V y a es un escalar, entonces ax pertenece a V.

7- Si X y Y están en V y a es un ecalar, entonces a(x+y)= ax + ay

8- Si X pertenece a V y a y b son escalares, entonces (a+b) x = ax+ by.

9- Si X pertenece a V y a y b son escalares, entonces a(bx) = (ab)x.

10- Para cada vector X pertenece a V, 1x = x.

SUBESPACIOS VECTORIALES

Dado un espacio vectorial V, podemos considerar una parte S de él que funcione como un espacio vectorial “más pequeño”, incluido en V.

Como V es un espacio vectorial, posee unas operaciones (suma, producto por un escalar) que en particular se pueden efectuar en S. Sólo necesitaremos que, al efectuarlas, su resultado quede dentro de S.

Definición: Subespacio.

Dado un espacio vectorial V, se dice que un subconjunto S de V es un subespacio vectorial si contiene al vector Ō , y si al efectuar las operaciones de suma y producto por escalar entre vectores de S, el resultado permanece en S.

(Se puede decir que S es “cerrado” para las operaciones suma y producto por escalar.) Es decir:

• Ō ∈ S .

• Si v, w ∈ S entonces v + w ∈ S.

• Si v ∈ S y λ es un escalar, entonces λv ∈ S.

Ya no hace falta comprobar que se cumplen las propiedades asociativa, conmutativa, etc. puesto que sabemos que se cumplen en V, y por tanto también en S (se dice que S “hereda” las propiedades de las operaciones en V).

Por supuesto si para V utilizamos escalares reales, también para S; si para V utilizamos complejos, también para S.

Ejemplos de subespacios.

1) La recta x=y es un subespacio de ℜ2. Está formado por los vectores de la forma (a,a).

Contiene al vector (0,0).

Además, es cerrado para la suma y producto por escalar:

• Suma: (a,a) + (b,b) = (a+b, a+b) que también es un elemento de la recta.

• Producto por un escalar: λ∈ℜ , λ(a,a) = (λa, λa) que también es un elemento de la recta.

2) El plano XY es un subespacio de ℜ3. Está formado por los vectores de la forma (x,y,0).

Contiene al vector (0,0,0).

Además, es cerrado para la suma y producto por escalar:

• Suma: (x,y,0) + (x’,y’,0) = (x+x’, y+y’, 0) que también es un elemento del plano.

• Producto por un escalar: λ∈ℜ , λ(x,y,0)=(λx, λy, 0) que también es un elemento del plano.

Podemos decir que este plano “es como ℜ2” pero incluido en ℜ .3

3) ¿Es un subespacio de ℜ2 el conjunto de los vectores de la forma (a,1)? No, puesto que no contiene al (0,0).

O también: porque no se puede sumar dentro de este conjunto, por ejemplo

(a,1)+(b,1)=(a+b,2) que no pertenece al conjunto. }}

4) En el espacio P2 = { polinomios de grado ≤ 2 }, el conjunto de los polinomios de grado ≤1 forma un subespacio. En efecto, contiene al polinomio cero, y podemos sumar y multiplicar por un escalar sin salir del conjunto:

• Suma: (ax+b) + (a’x+b’) = (a+a’)x + (b+b’) que también es un polinomio de grado ≤1.

• Producto por escalar: λ∈ℜ , λ(ax+b)= λax+λb que también es un polinomio de grado ≤1.

6) Geométricamente, los subespacios vectoriales de ℜ2 y ℜ3son rectas, planos, y sólo uno de ellos es un punto, el { Ō }.

Las curvas o las superficies curvas no son subespacios; tampoco las figuras geométricas finitas, como círculos o polígonos en el plano, esferas o poliedros en el espacio.

(Comprobar gráficamente que no pueden sumarse vectores dentro de este tipo de conjuntos)

7) En todo espacio vectorial existen el subespacio cero, formado solamente por el vector {Ō }, y el subespacio total, formado por todos los vectores del espacio.

Ejercicios de

espacio vectoria

l

Teorema de Moivre, Potencias y raíces de números complejos            “Fórmula de De Moivre se aplica para cualquier número complejo z = r

(cosθ + isenθ) y para cualquier n∈

Z: z = rn(cosnθ + isennθ).

            “La "raíz n-ésima" de un valor dado, cuando se multiplica n veces da el valor  inicial              " n-ésima " .

1ª, 2ª, 3ª, 10ª (décima), 20ª (vigésima),... n-ésima ...

En vez de hablar de la "4ª (cuarta)", "16ª (decimosexta)", etc., si queremos hablar en general decimos la "n-ésima".

Así como la raíz cuadrada es lo que se multiplica dos veces para tener el valor original...

... y la raiz cubica es lo que se multiplica tres veces para tener el valor original...

... la raíz n-ésima es lo que se multiplica n veces para tener el

valor original.

 Uso

Se podría usar la raíz n-ésima en una pregunta así:

Pregunta:

, ¿cuánto es "n"?

Respuesta: 5 × 5 × 5 × 5 = 625, así que n=4 (es decir 5 se usa 4 en la multiplicación).

O podríamos usar "n" porque queremos hablar de algo en general:

Ejemplo: Si n es impar entonces

                                                                                                          

Propiedades

Multiplicación y división

Puedes "separar" así multiplicaciones dentro de la raíz:

(Suponemos que a y b son ≥ 0)

Esto te ayudará a simplificar ecuaciones en álgebra, y también algunos cálculos:

Ejemplo: 

También funciona con la división:

(b no puede ser cero porque no se puede dividir entre cero)

Ejemplo: 

Suma y restas

No se puede hacer lo mismo con sumas y restas

Ejercicio 1

Ejercicio 2

Ejercicios propuestos

la aplicación directa de este Teorema es calcular la potencia enésima de cualquier Numero complejo; es por ello que a continuación se plantean diversos ejercicios que permitirán aplicarlo