tema 2: integración numérica - ma1.eii.us.esma1.eii.us.es/material/cal_num_itig_pres2.pdf ·...

Cál

culo

�u

mér

ico

Tema 2: Integración numérica

Integración numérica

Fórmulas de cuadratura.

Fórmulas de Newton-Cotes.

Fórmulas del trapecio y Simpson.

Errores.

Tema 2:

V.Álvarez

J.A. Armario

F. Muñoz

Cál

culo

�u

mér

ico


Problema

∫3

1dx

x

ex

Calcular la siguiente integral:

Cál

culo

�u

mér

ico


Usaremos la integración numérica cuando, por el motivo que

sea, no podamos o no queramos usar la Regla de Barrow

para calcular una integral definida dada.

I�TEGRACIÓ� �UMÉRICA.

)()( )( aFbFdxxf

b

a

−=∫

Motivos:

V.Álvarez

J.A. Armario

F. Muñoz

Cál

culo

�u

mér

ico


f(x) no admite primitiva expresable mediante funciones

elementales, como por ejemplo:

Motivos:

Cálculo de primitiva complicado.

Sólo disponemos de unos pocos valores de f(x), pero no

conocemos la función.

∫b

adx

x

xsen )(

Cál

culo

�u

mér

ico


Son bastantes las integrales que no admiten primitivas

expresables mediante composición de funciones elementales;

por ejemplo:


∫b

a

x

dxx

e ∫ +

b

adx

x

x

1

)log(

∫+

b

dx

sen2

1

∫b

V.Álvarez

J.A. Armario

F. Muñoz

Cál

culo

�u

mér

ico


∫+a

dxxsen

21 ∫

b

adxxsen )(

∫b

adx

xlog

1∫b

adxxsen )(

2

Entre otras muchas más.

Cál

culo

�u

mér

ico


La idea será aproximar el valor de una integral dada

sustituyendo el valor del integrando f(x) por otra función que

la aproxime de manera eficiente.


Procederemos sustituyendo f(x) por su polinomio

interpolador en el intervalo de integración [a,b].

V.Álvarez

J.A. Armario

F. Muñoz

Cál

culo

�u

mér

ico


∫∫ ≈b

a

n

b

a

dxxPdxxf )( )(

Cál

culo

�u

mér

ico


Indice:


Fórmulas de Newton-Cotes:

Fórmula del Trapecio.


V.Álvarez

J.A. Armario

F. Muñoz

Cál

culo

�u

mér

ico



Fórmula compuesta de los Trapecios.

Fórmula de Simpson.

Fórmula compuesta de Simpson.

Cál

culo

�u

mér

ico




Son fórmulas que permiten aproximar o calcular el valor de

una integral definida.

Si f(x) continua en un intervalo finito I = [a,b], podremos

encontrar formulaciones para aproximar el valor de una

V.Álvarez

J.A. Armario

F. Muñoz

Cál

culo

�u

mér

ico


)x(fc)x(fc)x(fc

)x(fcdx)x(f

nn1100

i

n

0i

i

b

a

++++++++++++====

≈≈≈≈∑∑∑∑∫∫∫∫====

LL

encontrar formulaciones para aproximar el valor de una

integral

Las fórmulas serán del tipo:

Cál

culo

�u

mér

ico




Consideramos una función f(x) continua en un intervalo

[a,b] de su dominio.

Consideramos el soporteTomaremos el soporte :

}..........,,,{210

bS xxxxa n== =

V.Álvarez

J.A. Armario

F. Muñoz

Cál

culo

�u

mér

ico


}..........,,,{210

bS xxxxa n== =

Sabemos que para estos (n+1) nodos existe un polinomio

interpolador de Lagrange, a lo sumo de grado n, de la forma:

Todos los puntos están ordenados de menor a mayor y

ninguno se repite.

)()()(0

xxLP ii

n

iin

fx ∑=

=

Cál

culo

�u

mér

ico




Consideramos el soporte

Si sustituimos la función f(x) por el polinomio de Lagrange ,

podemos escribir:

dxfdxxffI xxL ii

n

ii

b

a

b

a)()()()(

0

∑∫∫=

≈=

V.Álvarez

J.A. Armario

F. Muñoz

Cál

culo

�u

mér

ico


dxffb

a iii

n

iii

n

ii

b

a xLxxxL ∫∑∑∫==

= )()()()(00

Como los )(xif son constantes

AxxLx i

n

ii

b

a iii

n

i

fdxf ∑∫∑==

=00

)()()(

Haciendo: AxL i

b

a iidx =∫ )(

Cál

culo

�u

mér

ico




El error cometido será la integral del error de interpolación:

En definitiva:)()()(

0xA i

n

ii

b

afdxxffI ∑∫

=

≈=

fdxxf xAnb

)( )( =−= ∑∫ε

El error cometido será la integral del error de interpolación:

V.Álvarez

J.A. Armario

F. Muñoz

Cál

culo

�u

mér

ico


Ahora sólo falta determinar los coeficientes Ai

dxxxn

x

fdxxf

xxf

xA

n

b

a

n

ii

a

n

)).....(()!1(

)(

)( )(

0

1

0

−−+

=−=

∫

∑∫+

ε

Cál

culo

�u

mér

ico





Partimos de dxb

a iii xLA ∫= )(

Como los polinomios auxiliares de Lagrange sólo

dependen de los nodos del soporte [no dependen de la

función f(x) ], podemos usar para determinarlo cualquier

función, por ejemplo del tipo:

V.Álvarez

J.A. Armario

F. Muñoz

Cál

culo

�u

mér

ico


función, por ejemplo del tipo:

xn

xf =)(

Cál

culo

�u

mér

ico


Cálculo de los coeficientes.



:)( xn

xf =

.....

..... 1

22

10

++=−

⇒=

+++=−⇒=

xAxAab

AAA

xf

abfn

Formamos el sistema siguiente para calcular los coeficientes:

V.Álvarez

J.A. Armario

F. Muñoz

Cál

culo

�u

mér

ico


Sistema de Van der Monde.

......01

.................................................................

.....2

0

11

00

++=+

−⇒=

++=−

⇒=

++

xAxAab

x

xAxAab

nnf

xf

n

n

nnn

n

nn

Cál

culo

�u

mér

ico


Resolución del sistema.



Sistema siempre compatible determinado => solución única.

−

−

111 22

0

abA

abL

V.Álvarez

J.A. Armario

F. Muñoz

Cál

culo

�u

mér

ico


+

−

−

=

++

1

2

11

1

10

10

nA

A

xxx

xxx

ab

ab

nn

n

n

n

nn

n

MM

L

MMM

L

Cál

culo

�u

mér

ico


Cálculo del determinante



=

n

n

nn

n

xxx

xxxA

L

MMM

L

L

10

10

111

V.Álvarez

J.A. Armario

F. Muñoz

Cál

culo

�u

mér

ico


A cada fila le restamos la anterior multiplicada por x0

Iremos reduciendo el determinante hasta dar con:

) ( 0)(det 0

jicuandoxxqueyaxxA ji

nij

ji ≠≠≠−= ∏≤<≤

Cál

culo

�u

mér

ico


Fórmulas de �ewton-Cotes



Las fórmulas de newton-Cotes se obtienen por el procedimiento

descrito, integración del polinomio interpolador de Lagrange, pero

considerando soportes equiespaciados.

V.Álvarez

J.A. Armario

F. Muñoz

Cál

culo

�u

mér

ico


Si el intervalo de integración [a,b] lo partimos en n trozos iguales,

cada trozo medirá:

n

abh

−=

Cál

culo

�u

mér

ico





En estas condiciones, los coeficientes Ai

tienen la propiedad de que: AA knk −=

Lo que nos permitirá que solo tengamos que calcular la mitad de ellos.

V.Álvarez

J.A. Armario

F. Muñoz

Cál

culo

�u

mér

ico


Estos coeficientes sólo dependen del paso y no de los puntos

concretos del soporte, por lo que:

Cál

culo

�u

mér

ico




210

hAA ==⇒+= },{ haaSSi

Si ⇒++= }2,,{ hahaaS320

hAA ==

3

41

hA =

V.Álvarez

J.A. Armario

F. Muñoz

Cál

culo

�u

mér

ico


3AA

3A

Ejemplo: si h=1:

2

110== AA

En el soporte de dos puntos; n = 1.

. 3

120

== AA3

41=A En el de tres puntos; n = 2.

Cál

culo

�u

mér

ico





Es importante resaltar que los coeficientes Ai

al depender exclusivamente del soporte, los podremos usar

para el cálculo de cualquier integral siempre que se mantenga

V.Álvarez

J.A. Armario

F. Muñoz

Cál

culo

�u

mér

ico


el mencionado soporte.

Por ello, podemos concluir con las siguientes formulaciones:

Cál

culo

�u

mér

ico


Fórmula de �ewton-Cotes para n =1


210

hAA ==⇒+= },{ haaSSi

hhb

V.Álvarez

J.A. Armario

F. Muñoz

Cál

culo

�u

mér

ico


Esta es la llamada fórmula del Trapecio.

)]()([2

)]()([2

)(2

)(2

)(2

)(2

)()(

bfafab

bfafh

bfh

afh

hafh

afh

dxxffIb

a

+−

=

=+=+=

=++≈= ∫

Cál

culo

�u

mér

ico


Fórmula de �ewton-Cotes para n = 2


Si ⇒++= }2,,{ hahaaS 320

hAA ==

3

41

hA =

)2(3

)(3

4)(

3)( haf

hhaf

haf

hdxxf

b

a=++++≈∫

V.Álvarez

J.A. Armario

F. Muñoz

Cál

culo

�u

mér

ico


)]())2

((4)([3

)2(3

)(3

)(3

)(

bfba

fafh

hafhafafdxxfa

++

+=

=++++≈∫

Recuerda que

21

bax

+=

Esta es la llamada fórmula de Simpson.

Cál

culo

�u

mér

ico




( ) ( )( )bfafab

dxxfb

a+

−≈∫ 2

)(

V.Álvarez

J.A. Armario

F. Muñoz

Cál

culo

�u

mér

ico


f(x)

a b

h= b –a

Cál

culo

�u

mér

ico



f(a)

h = b-a

Interpretación geométrica de la fórmula del Trapecio.

V.Álvarez

J.A. Armario

F. Muñoz

Cál

culo

�u

mér

ico


Area de un trapecio.

).(2

))()((

2

))()((ab

bfafh

bfafA −

+=

+=

f(b)

Cál

culo

�u

mér

ico




( ) ( )( )bfafab

dxxfb

a+

−≈∫ 2

)(

Error.( ) ( )( ) ε++

−=∫ bfaf

abdxxf

b

a 2)(

V.Álvarez

J.A. Armario

F. Muñoz

Cál

culo

�u

mér

ico


Siendo

∫a 2

3

( )12

( ) ''b a fε ϑ= −−

)(2

2ϑfM ≥ en [ , ]a bϑ∀ ∈

Mab

2

3

12

)( −≤ε

Cál

culo

�u

mér

ico


Ejemplo. Calcular:


Aplicando la fórmula del Trapecio:

( ) ( )( )bfafab

I +−

≈2

( )( )4 2

2 (4) 64.2

f f−

= + =

∫ +−4

2

3)84( dxxx

V.Álvarez

J.A. Armario

F. Muñoz

Cál

culo

�u

mér

ico


2 2

Error:

M 2

3

12

)24( −≤ε

;6'' xf =como .242

=M

.162412

)24(3

=≤−

ε

Cál

culo

�u

mér

ico


Ejemplo. Calcular:


Solución exacta:

∫ +−4

2

3)84( dxxx

52)84(4

2

3=+−∫ dxxx

V.Álvarez

J.A. Armario

F. Muñoz

Cál

culo

�u

mér

ico


Error exacto:

2∫ x

.125264 =−=ε exacto

Cál

culo

�u

mér

ico



Interpretación geométrica de la fórmula de Simpson.

Sustituimos f(x) por la parábola que pasa por los puntos:

)](,[ afa )]2

(,2

[ba

fba ++ )](,[ bfb

V.Álvarez

J.A. Armario

F. Muñoz

Cál

culo

�u

mér

ico


Cál

culo

�u

mér

ico



f(x)

Parábola


( ) ( )

+

++

−≈∫ bf

bafaf

abdxxf

b

a)

2(4

6)(

V.Álvarez

J.A. Armario

F. Muñoz

Cál

culo

�u

mér

ico


f(x)

a b2

ba +

Cál

culo

�u

mér

ico




( ) ( )

+

++

−≈∫ bf

bafaf

abdxxf

b

a)

2(4

6)(

Error.

( ) ( ) ε+

++

+−

≈∫ bfba

fafab

dxxfb

)(4)(

V.Álvarez

J.A. Armario

F. Muñoz

Cál

culo

�u

mér

ico


Mab

fab

4

5

4

5

2880)(

2880

)()( −−≤−= ϑε

Siendo )(4

4ϑfM ≥ en ],[ ba

( ) ( ) ε+

++≈∫ bffafdxxf

a)

2(4

6)(

Cál

culo

�u

mér

ico


Ejemplo. Calcular:


Aplicando la fórmula de Simpson:

∫ +2

0

4)1( dxx

( ) ( )

++

+−

≈ bfba

fafab

I )(4

V.Álvarez

J.A. Armario

F. Muñoz

Cál

culo

�u

mér

ico


( )( ) ..666.83

26)2()1(40

6

02==++

−= fff

( ) ( )

++≈ bffafI )2

(46

Cál

culo

�u

mér

ico


Ejemplo. Calcular:


Acotación del error

∫ +2

0

4)1( dxx

Mab

fab

4

5

4

5

2880)(

2880

)()( −−≤−= ϑε

ab5

)( − 4

f

V.Álvarez

J.A. Armario

F. Muñoz

Cál

culo

�u

mér

ico


Mab

42880

)( −≤ε )(

4

4ϑfM ≥

24)(4

=ϑf Luego .244

=M

...2666.0242880

)02(5

=≤−

ε

Cál

culo

�u

mér

ico


- Tomamos siempre 2 puntos:

- recta que pasa por ellos:

f(x ) f(x )f(x3)

y=mx+n


h=(b-a)/n

V.Álvarez

J.A. Armario

F. Muñoz

Cál

culo

�u

mér

ico


x0 x1 x2 x3h h h

f(x0) f(x1) f(x2)

A1 A2 A3

Area = A1+A2+A3=

= h/2 (f(x0)+2f(x1)+2f(x2)+f(x3))

A1=h/2 (f(x0)+f(x1))

A2=h/2 (f(x1)+f(x2))

A3=h/2 (f(x2)+f(x3))

Cál

culo

�u

mér

ico




Siendo:

( ) ( )1

1

( ) 2 ( )2

nb

ia

b af x dx f a f f b

nx

−− ≈ + +

∑∫

;0xa = xnb =

V.Álvarez

J.A. Armario

F. Muñoz

Cál

culo

�u

mér

ico


Siendo: ;0xa = xnb =

Mn

ab22

3

12

)( −≤ε

Error:

)(''2 ϑfM ≥ en [a,b]

Cál

culo

�u

mér

ico


Fórmula compuesta de los Trapecios;estimación del error.



)](')('[

2)(

afbfab

−≈−

ε

Estimación

V.Álvarez

J.A. Armario

F. Muñoz

Cál

culo

�u

mér

ico


)](')('[12

2

)(afbf

n

ab−≈

−εción

del error:

)(' xfSiendo la derivada primera de la función.

Cál

culo

�u

mér

ico



f(x)

( ) ( )1

1

( ) 2 ( )2

nb

ia

b af x dx f a f f b

nx

−− ≈ + +

∑∫

Trapecios.

V.Álvarez

J.A. Armario

F. Muñoz

Cál

culo

�u

mér

ico


f(x)

x0 xnxi

Cál

culo

�u

mér

ico


Ejemplo. Calcular:


1º) Aplicando la fórmula compuesta de los Trapecios con n = 3.

2º) Acotar el error .

∫4

1

1dx

x

V.Álvarez

J.A. Armario

F. Muñoz

Cál

culo

�u

mér

ico


3º) Averiguar la partición necesaria para garantizar un error menor

que una centésima.

Cál

culo

�u

mér

ico


Ejemplo. Calcular:


1º) Aplicando la fórmula compuesta de los Trapecios con n = 3.

∫4

1

1dx

x

( ) ( )14

11

12 ( )

2

n

i

b adx f a f f bx n

x−−

≈ + +

∑∫

V.Álvarez

J.A. Armario

F. Muñoz

Cál

culo

�u

mér

ico


12x n

La partición será: {1, 2, 3, 4} y sus imágenes: { 1,1/2,1/3,1/4 }, por

Lo tanto:

..45833.124

35

4

1)

3

1

2

1(21

)3(2

1414

1==

+++

−≈∫ dx

x

Cál

culo

�u

mér

ico


Ejemplo. Calcular:



∫4

1

1dx

x

)(''2 ϑfM ≥

xxf

3

2)('' =

Claramente decreciente en el

intervalo de integración.

V.Álvarez

J.A. Armario

F. Muñoz

Cál

culo

�u

mér

ico


.2)1(''2 == fM

5.02)(12 3

)14(2

3

=≤−

ε

Cál

culo

�u

mér

ico


Ejemplo. Calcular:



que una centésima.

∫4

1

1dx

x

nn22

3

2

92

)(1201.0

)14(=≥

−

V.Álvarez

J.A. Armario

F. Muñoz

Cál

culo

�u

mér

ico


nn 2)(12

450)01.0(2

92=≥n Luego haciendo su raíz cuadrada:

Bastará con tomar n = 22 primer número natural que lo

cumple.

...2.21450 =≥n

Cál

culo

�u

mér

ico


x0 x1 x2

y0y1 y2

x

y

x3 x4 x5 x6 x7 x8

y3y4

y5y6

y7 y8

Fórmula compuesta de Simpson

h=(b-a)/n

V.Álvarez

J.A. Armario

F. Muñoz

Cál

culo

�u

mér

ico


)4242424(3

)4(3

)4(3

)4(3

)4(3

876543210

876654

432210

yyyyyyyyyh

yyyh

yyyh

yyyh

yyh

A y

++++++++=

++++++

+++++=

x0 x1 x2 x3 x4 x5 x6 x7 x8

)42...24(3

A 12210 nnn yyyyyyh

++++++= −−

Cál

culo

�u

mér

ico


Fórmula compuesta de Simpson.

)24(3

)( PIEn

abdxxf

b

a++

−≈∫

Donde E= suma de las imágenes de los puntos extremos.

I = suma de las imágenes de los puntos de subíndice impar

P = suma de las imágenes de los puntos de subíndice par.

V.Álvarez

J.A. Armario

F. Muñoz

Cál

culo

�u

mér

ico


x0x1

x2

x2 xn 2−xn 1− xn

f(x)

Cál

culo

�u

mér

ico


Fórmula compuesta de Simpson


Siendo:

( )PIEn

abdxxf

b

a24

3)( ++

−≈∫

;0xa = xnb =

V.Álvarez

J.A. Armario

F. Muñoz

Cál

culo

�u

mér

ico



Mn

ab44

5

180

)( −≤ε

Error:

)(4

4ϑfM ≥ en [a,b]

Cál

culo

�u

mér

ico


Fórmula compuesta de Simpson;estimación del error.



)]()([33

4

)(ab ff

ab−≈

−ε

Estimación

V.Álvarez

J.A. Armario

F. Muñoz

Cál

culo

�u

mér

ico


)]()([180

33

4

)(ab ff

n

ab−≈

−εción

del error:

)(3

xfSiendo la derivada tercera de la función.

Cál

culo

�u

mér

ico


Ejemplo. Calcular:


1º) Aplicando la fórmula compuesta de Simpson con n = 4.


∫ +

5

1 1

4dx

x

x

V.Álvarez

J.A. Armario

F. Muñoz

Cál

culo

�u

mér

ico



que una milésima.

Cál

culo

�u

mér

ico


Ejemplo. Calcular:


La partición será: {1, 2, 3, 4, 5} y sus imágenes: { 2, 8/3, 3, 16/3, 10/3 }


∫ +

5

1 1

4dx

x

x

( )PIEdxx

x24

)4(3

15

1

45

1++

−≈

+∫

V.Álvarez

J.A. Armario

F. Muñoz

Cál

culo

�u

mér

ico


La partición será: {1, 2, 3, 4, 5} y sus imágenes: { 2, 8/3, 3, 16/3, 10/3 }

Por lo tanto:

.3)(

15

88

5

16

3

8)()(

3

16

3

102)()(

2

31

40

==

=+=+=

=+=+=

x

xx

xx

fP

ffI

ffE

Cál

culo

�u

mér

ico


Ejemplo. Calcular:



∫ +

5

1 1

4dx

x

x

522881614 x

V.Álvarez

J.A. Armario

F. Muñoz

Cál

culo

�u

mér

ico


6.1145

522)3(2

15

884

3

16

3

1

1

45

1==

++≈

+∫ dxx

x

Cál

culo

�u

mér

ico


Ejemplo. Calcular:



∫ +

5

1 1

4dx

x

x

)(4

4ϑfM ≥

)1()1(55

4 9696)(

++=−=

xxf x

Y su derivada es: 5 480)(

−=f x negativa siempre =>

en [1,5]

V.Álvarez

J.A. Armario

F. Muñoz

Cál

culo

�u

mér

ico


Y su derivada es:)1(

6)(

+=x

f x negativa siempre =>

La derivada cuarta (en valor absoluto) es decreciente => el

máximo lo alcanzará en un extremo del intervalo de

integración.

)2(5

4 96)1( −=f

332

964

==M

Cál

culo

�u

mér

ico


Ejemplo. Calcular:


Cota del error.

∫ +

5

1 1

4dx

x

x

332

964

==M

V.Álvarez

J.A. Armario

F. Muñoz

Cál

culo

�u

mér

ico


..0666.03180 4

)15(4

5

=≤−

ε

Cál

culo

�u

mér

ico


Ejemplo. Calcular:



que una milésima.

∫ +

5

1 1

4dx

x

x

3180

001.04

5

)15(

n

−≥ ..66.170663

)001.0(180

)15(5

4=≥

−n

V.Álvarez

J.A. Armario

F. Muñoz

Cál

culo

�u

mér

ico


3180

001.04

n≥ ..66.170663

)001.0(180=≥n

....43.11≥n

Bastará con tomar el primer entero par mayor que dicha cantidad:

n = 12

Cál

culo

�u

mér

ico


Ejemplo. Calcular, con los datos proporcionados, el área

de la figura siguiente.


y

x

0 1 2 3 4 5 6

V.Álvarez

J.A. Armario

F. Muñoz

Cál

culo

�u

mér

ico


X 0 1 2 3 4

Y 0.4 12 21 22 20

5 6

10 6

Cál

culo

�u

mér

ico


♦ Podemos usar cualquiera de los métodos estudiados.

♦ Por los Trapecios:

( ) ( )

)6)1020222112(24.0(6

)(2

1

1

=++++++=

=

++

−≈ ∑

−

bffafn

abA

n

ix

V.Álvarez

J.A. Armario

F. Muñoz

Cál

culo

�u

mér

ico


2.88

)6)1020222112(24.0(12

6

=

=++++++=

Cál

culo

�u

mér

ico


♦ Por Simpson:

( )

))2021(2)102212(464.0(6

243

=++++++=

=++−

≈ PIEn

abA

V.Álvarez

J.A. Armario

F. Muñoz

Cál

culo

�u

mér

ico


..1333.88

))2021(2)102212(464.0(18

6

=

=++++++=

tema 2: integración numérica - ma1.eii.us.esma1.eii.us.es/material/cal_num_itig_pres2.pdf ·...

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