e-mail tel - mwitdainu/pla/sciac04-ma1.pdf · 2010-05-11 · เซต สอนโดย...

เซต สอนโดย วรภาส บญทอง (ปลา)

E-mail : [email protected] Tel : 089-113-7437 เนอหา

การเขยนเซต ประเภทของเซต การเปรยบเทยบเซต สบเซต และเพาเวอรเซต เอกภพสมพทธ แผนภาพเวนน-ออยเลอร การดาเนนการระหวางเซต ในชวตประจาวน เรามกพบวามกลมของคน สตว สงของ หรออน ๆ ทมสมบตบางอยางเหมอนกน เชน นกเรยนท

เรยนหองเดยวกน แมวทมขนสเดยวกน ในทางคณตศาสตร เราใชคาวาเซตในความหมายวา กลม หม เหลา กอง ฝง ชด ของสงทมลกษณะอยางใดอยางหนงเหมอนกน โดยจะตองมเกณฑทระบไดอยางชดเจนวาในเซตนนมอะไรบาง1 โดยเรยกสงทอยในเซตวา สมาชก (Elements / Members) ของเซตนน

ในการกลาวถงเซต มกตองอางถงชอของเซต ซงชอเซตนจะตงอยางไรกได (ตวอกษร รปภาพ ฯลฯ) หรอไมตองตงชอเลยกได (เรยกเปน “เซตของ...” แทนทจะเรยกชอเซต) แตในทางปฏบตนยมใชอกษรภาษาองกฤษตวพมพใหญ เชน A, B, X, R เปนตน

มชอเซตบางเซตทใชกนเปนมาตรฐาน ไดแก แทน เซตของจานวนจรง (Real number) แทน เซตของจานวนตรรกยะ (Rational number) แทน เซตของจานวนเตม (Integer number) บางครงใช แทนกได แทน เซตของจานวนนบ (Natural number)

แทน เซตของจานวนเชงซอน (Complex number) แทน เซตของจานวนเฉพาะ (Prime number)

การบอกวาสงใดเปนสมาชกของเซต ใชสญลกษณ แทนการเขยนวา “เปนสมาชกของ” ∈

∉ แทนการเขยนวา “ไมเปนสมาชกของ” เชน 3 ∈ เมอ คอ เซตของจานวนจรง หมายถง “3 เปนสมาชกของเซตของจานวนจรง”

1 การ “ระบไดอยางชดเจน” ภาษาคณตศาสตรใชคาวา well defined (แปลวานยามไวเปนอยางด) ซงหมายความวา ถาใครกตามทไมเคยรจกสงนมากอน มาอาน “ขอความทระบไวอยางชดเจน”นแลวสามารถเขาใจตรงกนหมดทกคน ในทางคณตศาสตรแลว ทกสงทกอยางจะตอง well defined เชนในเรองการเปนสมาชกของเซต well defined หมายถงถาหยบสงใดสงหนงขนมา จะตองบอกไดวา สงนอยในเซต หรอไมอยในเซต อยางใดอยางหนงเทานน ไมใชจะอยหรอไมอยในเซตกได

SET หนา 1 วรภาส บญทอง

1.การเขยนเซต 1.1) วธแจกแจงสมาชก (Tubular form) เหมาะสาหรบเซตทมจานวนสมาชกไมมาก หรอเขยนแบบบอกเงอนไขของสมาชกไดยาก มหลกการเขยน ดงน

1. เขยนสมาชกทงหมดในวงเลบปกกา {} 2. สมาชกแตละตวคนดวยเครองหมายจลภาค (,) 3. สมาชกทซากนใหเขยนเพยงตวเดยว 4. ในกรณทจานวนสมาชกมาก ๆ ใหเขยนสมาชกอยางนอย 3 ตวแรก แลวใชจด 3 จด (Triple dot) เพอละสมาชกบาง

ตวไวในฐานทเขาใจ แลวจงเขยนสมาชกตวสดทาย เชน C = {1, 2, 3, … , 25} 5. สามารถสลบทสมาชกในเซตได โดยความหมายไมเปลยนแปลง

เชน B = {-2, -1, 0, 1, 2} หรอ B = {0, -1, 2, -2, 1} มความหมายอยางเดยวกน 1.2) วธบอกเงอนไขของสมาชก (Set builder form) มหลกการเขยน ดงน

1. เขยนเซตดวยวงเลบปกกา 2. กาหนดตวแปรอะไรกได (ตวแปรหน2) แทนสมาชกทงหมด ตามดวยเครองหมาย | หรอ : ใชแทน คาวา “โดยท”

(such that) แลวตามดวยเงอนไขของตวแปรนน มรปแบบคอ {x | เงอนไขของ x} (ในทนใช x เปนตวแปรหน) ตวอยางเซตทเขยนแบบแจกแจงสมาชกและแบบบอกเงอนไข

เซต แบบแจกแจงสมาชก แบบบอกเงอนไข A เปนเซตของจานวนเตมบวกทมคานอยกวา 6 A = {1, 2, 3, 4, 5} A = {x | x เปนจานวนเตมบวกทมคานอยกวา 6} C เปนเซตของตวอกษรในภาษาองกฤษ C = {a, b, c, ... ,z} C = {y | y เปนตวอกษรในภาษาองกฤษ}

2. ประเภทของเซต ประเภทของเซต แบงตามจานวนสมาชกในเซต

จานวนสมาชกในเซต A ใชสญลกษณ n(A) เชน ถา A = {1,2,5} จะได n(A) = 3 คอ เซต A มสมาชก 3 ตว เซตจากด (Finite Set) คอ เซตทมจานวนสมาชกเทากบจานวนเตมบวก หรอ ศนย เชน

A = {1, 2, 3, ...,100} มจานวนสมาชก n(A) = 100 {จานวนนบ} มจานวนสมาชก n(A) = 1 คอคาวา “จานวนนบ”

เซตอนนต (Infinite Set) คอ เซตทไมใชเซตจากด มจานวนสมาชกมากมาย เชน เซตของจานวนเตมบวก {1, 2, 3, ...} เซตจานวนเฉพาะ

เซตวาง (Empty Set) คอ เซตทมจานวนสมาชกเปน 0 หรอไมมสมาชกเลย มสญลกษณคอ {} หรอ ∅

2 ตวแปรหน (Dummy variable) คอตวแปรทใชเพออางถงซาในการพดประโยคทางคณตศาสตร โดยสามารถเปลยนชอไดโดยไมเปลยนความหมาย เชน ถาเราพดวา “55 เทากบผลรวมของจานวนเตมตงแต 1 ถง 10” เราพดประโยคนไดใหมเปน “55 เทากบผลรวมของ k โดยท k มคาตงแต 1 ถง 10” ซงเราสามารถเปลยนตวแปร k เปน i, x, y, ก, ข หรอตวแปรอน ๆ ไดโดยความหมายไมเปลยนแปลง


:: Exercise I :: จงอธบายวาเซตตอไปน เปนเซตจากด หรอเซตอนนต เพราะเหตใด 1. {x | x ∈ และ 0 < x < 6} 2. {x | x ∈ และ 0 < x < 6} 3. {x | x ∈ และ 0 x 6} 4. {x | x = ชะนในสวนสตวเขาดน} 5. {x | x เปนชะนในสวนสตวเขาดน} 6. {ชะนกบอแอบ} 7. ∅ 8. เซตของเดอนในหนงป

≤ ≤

3. การเปรยบเทยบเซต

3.1) เซตทเทากน (Equal Set) คอ เซตสองเซตทมสมาชกเหมอนกนทกตว สญลกษณ เซต A เทากบ เซต B แทนดวย A = B 3.2) เซตทเทยบเทากน (Equivalent Set) คอ เซตทมจานวนสมาชกเทากน[n(A)=n(B)] และสมาชกของเซตจบคกนไดพอดแบบหนงตอหนง สญลกษณ เซต A เทยบเทากบ เซต B แทนดวย A ↔B A = {1, 2, 3, 4, 5} B = {1, 2, 3, 4, 3, 2, 5, 5, 5}

เซต A มสมาชกเหมอนกบเซต B A = B

C = {a, e, i, o, u} D = {i, o, u, e, a}

เซต C มสมาชกเหมอนกบเซต D C = D

E = {0, 1, 3, 5} F = {x | x ∈ I+, x < 6}

เซต E มสมาชก 4 ตว คอ 0, 1, 3, 5 แตเซต F มสมาชก 5 ตว คอ 1, 2, 3, 4, 5

E ≠ F

G = {สแดง, สนาเงน, สขาว} H = {สแดง, สนาเงน, สเหลอง}

สขาว∈G แต สขาว∉H และ สเหลอง∈H แต สเหลอง∉G แตทง A และ B ตางกมสมาชก 3 ตว n(A)=n(B)=3

G ≠ H G↔H

:: Exercise II ::จงอธบายวาเซตตอไปน เปนเซตทเทากน หรอเซตทเทยบเทากน หรอทงสอง เพราะเหตใด 1. A={x | x = ชะนในสวนสตวเขาดน} B={x | x เปนชะนในสวนสตวเขาดน} 2. A={x | x ∈ และ 23 < x < 29} B={23, 29} 3. A= B={∅ ∅} 4. A={ ,{∅}, {∅ , { }}} B={{∅ ∅ ∅ , ∅}, {{∅}, ∅}, } ∅

5. A={1, {2, 3, {4, 5}, 6}, 7} B={{1, {2}, {3, 4},5}, {6}, 7} 6. A={x | x ∈ } B={x | x ∈ และ x>0}


4. สบเซต (Subset) และ เพาเวอรเซต (Power set) เซต A เปนสบเซตของเซต B กตอเมอ สมาชกทกตวของเซต A เปนสมาชกของเซต B นนคอ เซต A ไมเปนสบเซตของเซต B ถามสมาชกอยางนอยหนงตวของ A ทไมเปนสมาชกของ B

สญลกษณ เซต A เปนสบเซตของเซต B เขยนแทนดวย A ⊂ B เซต A ไมเปนสบเซตของเซต B เขยนแทนดวย A ⊄B

เชน A = {1, 2} B = {2, 3} และ C = {1, 2, 3} A B เพราะม 1 อยใน A แตไมม 1 อยใน B ⊄

A C เพราะสมาชกทกตวใน A คอ 1 และ 2 ตางกอยใน C ดวย ⊂

สงสาคญควรร 1. เซตทกเซตเปนสบเซตของตวมนเอง (A⊂ A) 2. เซตวาง เปนสบเซตของทกเซต (∅ A) ⊂

3. ถา A แลว A = ∅ ⊂ ∅

4. ถา A B และ B C แลว A ⊂ C ⊂ ⊂

5. A = B กตอเมอ A B และ B A ⊂ ⊂

6. ถา A B และ A B แลวจะเรยก A วาเปนสบเซตแท (Proper Subset) ของ B ⊂ ≠

ทฤษฎบททสาคญเกยวกบสบเซต ถาเซตหนงมจานวนสมาชกเทากบ n แลว

จานวนสบเซตทงหมดของเซตนนมจานวน สบเซต 2n

สบเซตทงหมดทมสมาชก m ตว มอยเปนจานวน สบเซตเทากบ nm⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

!( )!

nn m m− !

สบเซต

(หมายถงเลอกสมาชก m ตวจากทมอย n ตว โดยไมคานงถงลาดบการเรยง) จานวนสบเซตแททงหมด เทากบ จานวนสบเซตทงหมดลบดวยหนง

เพาเวอรเซต (Power set) เพาเวอรเซตของเซต A คอ เซตทมสมาชกเปนสบเซตทงหมดของเซต A ใชสญลกษณ P(A) เชน A={1,2,5} สบเซตทงหมดของ A คอ {},{1},{2},{5},{1,2},{1,5},{2,5},{1,2,5}

ฉะนนจะได P(A) = {{},{1},{2},{5},{1,2},{1,5},{2,5},{1,2,5}} เพาเวอรเซตของเซตใด ๆ มจานวนสมาชกเทากบจานวนสบเซตทงหมดของเซตนน คอ ตว 2n

สมบตของเพาเวอรเซต 1. P(A)≠ สาหรบทกๆ เซต A 2. ∅ ∅∈P(A) 3. ∅ P(A) 4. A⊂ ∈P(A) เสมอ 5. A B กตอเมอ P(A)⊂ P(B) ⊂

6. P(A)∩ P(B) = P(A∩ B) รไวกอน แลวเดยวจะเขาใจวามนคออะไรในตอนตอไป 7. P(A)∪ P(B)⊂ P(A∪ B)


:: Exercise III :: 1. จงวเคราะหความสมพนธทงหมดระหวาง A, B, C, D และ E A={ก, ข, ค} B={ก, ข, ค, ง} C={ข, ค, ง} D={ก, ข} E={ข, ค} 2. จงหาสบเซตทงหมด และเพาเวอรเซต ของเซตตอไปน A={1, 2, 1, 2, 3, 1, 2, 1, 2, 1} B={x | x ∈ และ 0 < x < 6} C={จานวนนบทนอยกวา 4} D=∅ E={∅ , {∅}, {{}}, {{∅}}} F={{e, #, 1, ψ , ☺}} 3. จงใหเหตผลวา ขอความตอไปนถกตองหรอไม เพราะเหตใด 3.1 3.2 ∅ ⊂ ∅ ∅ ⊂ {∅} 3.3 3.4 ∅∈∅ ∅∈{∅} 3.5 {a} {a, b, c} 3.6 {a}⊂ ∈{a, b, c} 3.7 ถา A B แลว B A 3.8 ถา A⊂ B และ a∈B แลว a∈A ⊂ ⊂

3.9 {1, 2, 3, 4, 5} ม 32 สบเซตแท 3.10 ∅ ม 2 สบเซต 3.11 เซต A มสบเซตทงหมด 64 สบเซต แสดงวาเซต A มสมาชกทงหมด 6 ตว

5. เอกภพสมพทธ (Universe)

เอกภพสมพทธ คอ เซตทถกกาหนดขนโดยมขอตกลงวา ในการพจารณาสงใด ๆ ตอไป จะกลาวถงสงทเปนสมาชกของเซตนเทานน โดยทวไปใชสญลกษณ แทนเอกภพสมพทธ U

A เปนเซตของจานวนนบทนอยกวา 5 สมาชกในเซต A ตองเลอกมาจากเซตของจานวนนบเทานน ซงไดแก 1, 2, 3, 4 ดงนน เซตของจานวนนบเปนเอกภพสมพทธ หรอ U คอ เซตของจานวนนบ

B เปนเซตของจานวนเตมทเปนคาตอบ ของสมการ (2x-1)(x+4)=0

สมาชกในเซต B ตองเลอกมาจากเซตของจานวนเตมเทานน ซงไดแก -4 ดงนน เซตของจานวนเตมเปนเอกภพสมพทธ หรอ คอ Uเซตของจานวนเตม

หมายเหต ในเรองทเกยวของกบระบบจานวนจรง ถาไมระบแนชดวาเซตใดเปนเอกภพสมพทธ โดยสวนมากมกใหเซตของจานวนจรงเปนเอกภพสมพทธเสมอ

6. แผนภาพเวนน - ออยเลอร การพจารณาเกยวกบเซตจะงายขน ถาเราใชแผนภาพของเวนน-ออยเลอร เขามาชวย หลกการเขยนแผนภาพเวนน-ออยเลอรมดงน 1. สรางขอบเขตรอบนอกสด (มกใชรปสเหลยมผนผาหรอสเหลยมมมฉาก) แทนเอกภพสมพทธ U 2. สรางวงกลมหรอวงรหรอรปปดใดๆ แทนเซตตาง ๆ ทเปนสบเซตของ ภายในสเหลยมในขอ 1

U


เปนเอกภพสมพทธ U

A เปนสบเซตของ U

เซต A และ B เปนสบเซตของ

โดยท A และ B ไมมสมาชกรวมกน (disjoint sets) U

เซต A และ B เปนสบเซตของ

โดยท A และ B มสมาชกบางตวรวมกน U

เซต A เปนสบเซตของเซต B

เซต A เทากบเซต B

7. การดาเนนการระหวางเซต (Operations on Set)

การดาเนนการระหวางเซต คอ การสรางเซตใหมโดยใชเซตทมอยมากระทาการบางอยางตอกน ยเนยน (Union) ของเซต A และ B คอเซตทประกอบดวยสมาชกของเซต A หรอ สมาชกของเซต B เขยนแทนดวย A ∪ B

อนเตอรเซคชน (Intersection) ของเซต A และ B คอเซตทประกอบดวยสมาชกของเซต A และ สมาชกของเซต B เขยนแทนดวย A ∩ B

คอมพลเมนต (Complement) ของเซต A คอเซตทประกอบดวยสมาชกทเปนสมาชกของ เอกภพสมพทธ แตไมเปนสมาชกของ A เขยนแทนดวย A'

ผลตาง (Difference) ของเซต A และ B คอเซตทประกอบดวยสมาชกทเปนสมาชกของเซต A แตไมเปนสมาชกของเซต B เขยนแทนดวย A - B หรอ A \ B


A-B=A B-A=B A…B=¯ A»B กรณ 1

B-A A-B A…B A»B กรณ 2

B-A=¯ A-B=¯ A…B=A=B A»B=A=B กรณ 3

A-B=¯ B-A A…B=A A»B=B กรณ 4

A-B B-A=¯

AA»B=A A…B=B กรณ 5

B

กาหนดให = {1, 2, 3, ..., 20}, A = {1, 2, 3, 4, 5, 6}, B = {2, 4, 6, 8, 10, 12}

A B = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 10, 12} ∪

A ∩ B = {2, 4, 6}

A' = {7, 8, 9, ..., 20}

B' = {1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 14, 15, ...,20}

(A B)' = {7, 9, 11, 13, 14, 15, ..., 20} ∪

(A ∩ B)' = {1, 3, 5, 7, 8, 9, ..., 20}


A - B = {1, 3, 5}

B - A = {8, 10, 12}

สมบตบางประการเกยวกบการดาเนนการระหวางเซต สาหรบเซต A, B, C ใดๆ

กฎการสลบท A B = B A ∪ ∪

A∩ B = B∩ A กฎการเปลยนกลม

(A∪ B) C = A∪ (B∪ C) ∪

(A∩ B) C = A∩ (B∩ ∩ C) กฎการแจกแจง

A∪ (B∩ C) = (A∪ B)∩ (A∪ C) A∩ (B∪ C) = (A∩ B) (A∩ C) ∪

กฎเอกลกษณ A∪ = A ∅

A∩ =∅ ∅

A∪ U = U A∩ U = A

กฎการซา A∪ A = A∩ A = A

กฎของคอมพลเมนต A∪ A′= U A∩ A′= ∅ ∅′= U U′= ∅ (A′) ′= A A–B= A∩ B′

กฎของเดอรมอรแกน (A∪ B)′= A′∩ B′ (A∩ B) ′= A′ B′ ∪

8. หลกการเพมเขาและตดออก

ใชในการพจารณาจานวนสมาชกของเซตทมการดาเนนการกนแบบยเนยน ตงแตสองเซตขนไป เมอ A, B และ C เปนเซตใดๆ

สาหรบสองเซต ถา A และ B ไมมสมาชกรวมกน (เปน disjoint sets) จะไดวา n( ) = A B∪ ( ) ( )n A n B+

ถา A และ B มสมาชกรวมกน จะได n( A B∪ ) = ( ) ( ) ( )n A n B n A B+ − ∩ สาหรบสามเซต

ถา A, B และ C ไมมสมาชกรวมกน ใหนาจานวนสมาชกของสามเซตมาบวกกน ถา A, B และ C มสมาชกรวมกน จะได n( ) =

A B C∪ ∪

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )n A n B n C n A B n A C n B C n A B C+ + − ∩ − ∩ − ∩ + ∩ ∩ทตองทาการเพมเขา และลบบางสมาชกออกในการนบจานวนสมาชก เนองจากเราจะไมนบสมาชกในเซตซา

มากกวาหนงครง ถาทาการบวกสมาชกสามเซตเขาไปตรง ๆ จะมสมาชกทซากนถกนบมากกวาหนงครง หากลองวาดรป หรอตดกระดาษมาซอนทบกน จะทาความเขาใจไดดขน SET หนา 8 วรภาส บญทอง

สาหรบจานวนเซตทมากกวาสามเซต จานวนสมาชกของเซตทเกดจากการยเนยนกน n เซต เทากบ (ผลรวมของจานวนสมาชกทกเซต) - (ผลรวมของจานวนสมาชกของ เซตทเกดจากการอนเตอรเซคชนของสองเซต) + (ผลรวมของจานวนสมาชกของ เซตทเกดจากการอนเตอรเซคชนของสามเซต) - (ผลรวมของจานวนสมาชกของ เซตทเกดจากการอนเตอรเซคชนของสเซต) ทาไปเรอยๆจนถงผลรวมสมาชกของเซตทเกดจากอนเตอรเซคชนของ n เซต

U B A

C

(A ∩ B) − C A ∩ B ∩ C′

B − (A ∪ C) B ∩ (A′ ∩ C′)

(B ∩ C) − A B ∩ C ∩ A′

C − (A ∪ B) C ∩ A′ ∩ B′

(A ∩ C) − B A ∩ C ∩ B′

A − (B ∪ C) A ∩ B′ ∩ C′

A ∩ B ∩ C

:: Exercise IV :: 1. จงเขยนเซตตอไปนใหอยในรปทสนทสด

1.1 (A-B)∪(B-A)∪(A∩B) 1.2 [A∩(A′∪B)]∪[B∩(B′∪A′)] 1.3 ([(A-B)∪(B-A)]-A′)∪(A′-[(A-B)∪(B-A)]) 1.4 [(A∪B)′∩(B-C′)]∪([(D-E)∩(C′-E′)]∪(A-E′))′ 2. ขอความตอไปนถกหรอผด 2.1 (A∩B∩C)∪(A′∩B∩C)∪(B′∪C′) = U 2.2 (A∩B∩C∩D′)∪(A′∩C)∪(B′∩C)∪(C∩D) = C 2.3 P(A∩B) P(A∪B) ⊂

2.4 P(A-B)∩P(B-A) ={∅ } 2.5 ถา A B แลว P(A∪B) = P(A)∪P(B) ⊂

3. ให A ={1, 3, 5, 7, 9} และ Sk ={B A| n(B) = k} จงหาคา n(S) เมอ S = S⊂ 1∪S2∪S3∪S4∪S5


4. กาหนดเซต A, B เปนสบเซตของ U หาก n(U)=100, n(A′)=40, n(B)=55, n(A∩B′)=32 แลวคาของ n(A′∩B′) เปนเทาใด 5. นกเรยนหองหนงม 20 คน เรยนฝรงเศสหรอคณตศาสตร (หากเรยนฝรงเศสแลวตองไมเรยนคณตศาสตร) ม

17 คน ไมเรยนคณตศาสตร และม 15 คน ไมเรยนฝรงเศส แลวมกคนทไมเรยนทงสองวชานเลย 6. จากผดมกาแฟ 20 คน พบวามผใสครมนอยกวาสองเทาของผใสนาตาลอย 7 คน และมผใสทงครมและนาตาล เทากบผไมใสทงครมและนาตาล ดงนนมผใสครมทงหมดกคน

7. นกเรยนคนหนงไปพกผอนทพทยา ตลอดชวงเวลานนเขาสงเกตไดวามฝนตก 7 วน ในชวงเชาหรอเยน โดยถาวนใดฝนตกชวงเชาแลวจะไมตกในชวงเยน, ม 6 วนทฝนไมตกในชวงเชา และม 5 วนทฝนไมตกในชวงเยน ถามวานกเรยนคนนไปพกผอนทพทยากวน

8. จากการสารวจผฟงเพลง 180 คน พบวามผชอบเพลงไทยสากล 95 คน เพลงไทยเดม 92 คน และลกทง 125 คน โดยแบงเปน ผชอบเพลงไทยสากลและไทยเดม 52 คน เพลงไทยสากลและลกทง 43 คน เพลงไทยเดมและลกทง 57 คน และทกคนจะชอบฟงเพลงอยางนอยหนงในสามประเภท จงหาจานวนผทชอบเพลงไทยสากลเพยงอยางเดยว

9. จากการสารวจความนยมของผไปเทยวสวนสตว 100 คน พบวา 50 คนชอบชาง, 35 คนชอบลง, 25 คนชอบหม, 32 คนชอบแตชาง, 20 คนชอบหมแตไมชอบลง, 10 คนชอบชางและลง แตไมชอบหม, ใหหาจานวนคนทไมชอบสตวทงสามชนดนเลย

10. จานวนเตมตงแต 0 ถง 100 มกจานวนทหาร 2 และ 3 และ 5 ไมลงตว

!! Answer Key !! :: Exercise I (Key) :: 1. จากด เพราะ มสมาชก 3 ตว คอ 2, 3, 5

2. อนนต เพราะ มสมาชกมากมาย จนไมสามารถนบจานวนได 3. อนนต เพราะ มสมาชกมากมาย จนไมสามารถนบจานวนได

4. จากด เพราะ มสมาชก 1 ตว คอ คาวา “ชะนในสวนสตวเขาดน” 5. จากด เพราะ เราสามารถทราบไดวา ในเขาดนมชะนกตว (ไมมากถงขนนบไมได) 6. จากด เพราะ มสมาชก 1 ตว คอ คาวา “ชะนกบอแอบ” 7. จากด เพราะ เซตวางมสมาชก 0 ตว สามารถนบได 8. จากด เพราะ มสมาชก 12 ตว คอ ม.ค., ก.พ., ม.ค., ..., ธ.ค.

:: Exercise II (Key) :: 1. ไมทงสอง เพราะ A มสมาชก 1 ตว คอ คาวา “ชะนในสวนสตวเขาดน” แต B มสมาชกเทากบจานวนชะนในสวนสตวเขาดน 2. ไมทงสอง เพราะ A คอ เซตวาง มสมาชก 0 ตว แต B มสมาชก 2 ตว คอ 23, 29 3. ไมทงสอง เพราะ A คอ เซตวาง มสมาชก 0 ตว แต B มสมาชก 1 ตว คอ ∅


:: Exercise II (Key) :: 4. เปนทงสอง เพราะ เมอจดรปเซตทงสอง พบวาเปนเซตเดยวกน คอ {∅ ,{∅ }, { , { }}} ∅ ∅

5. เปนเซตทเทยบเทากน เพราะ A มสมาชก 3 ตว คอ 1, {2, 3, {4, 5}, 6} และ 7 สวน B มสมาชก 3 ตว คอ{1, {2}, {3, 4},5}, {6} และ 7 แตสมาชกของ A และ B ตางกน 6. ขอนขนกบนยามของ วารวม 0 ดวยหรอไม หากไมรวม จะพบวา ทง A และ B เปนเซตเดยวกน คอ {1, 2, 3, …} นนคอ A เทากบ B และ A เทยบเทากบ B :: Exercise III (Key) :: 1. A, B, C, ∅ D และ ∅ ⊂ ∅ ⊂ ∅ ⊂ ⊂ ∅ ⊂ E เพราะ ∅ เปนสบเซตของทกเซต A⊂A, B B, C C, D⊂D และ E E เพราะ ทกเซตเปนสบเซตของตวเอง ⊂ ⊂ ⊂

A⊂B, C⊂B, D A, D B, E A, E B และ E⊂C เพราะสมาชกทกตวของเซต ⊂ ⊂ ⊂ ⊂

ดานหนา เปนสมาชกของเซตดานหลง A⊄C, A D, A E, B⊄A, B⊄ ⊄ ⊄C, B⊄D, B⊄ E, C⊄A, C⊄D, C⊄ E, D⊄C, D E ⊄

และ E⊄D เนองจากมสมาชกบางตวของเซตดานหนาทไมเปนสมาชกของเซตดานหลง 2. P(A)={{}, {1}, {2}, {3}, {1, 2}, {1, 3}, {2, 3}, {1, 2, 3}} P(B)={{}, {5}, {2}, {3}, {5, 2}, {5, 3}, {2, 3}, {5, 2, 3}} P(C)={{}, {จานวนนบทนอยกวา 4}}

P(D)={{}} P(E)={{}, {{}}, {{{}}}, {{{{}}}}, {{}, {{}}}, {{}, {{{}}}}, {{{}}, {{{}}}}, {{}, {{}}, {{{}}}}} P(F)={{}, {{e, #, 1, ψ , ☺}}} สาหรบสบเซตทงหมดของแตละขอ กคอสมาชกทงหมดของเพาเวอรเซตนนนนเอง 3. 3.1 ถกตอง เพราะ เซตวางเปนสบเซตของทกเซต

3.2 ถกตอง เพราะ เซตวางเปนสบเซตของทกเซต 3.3 ไมถกตอง เพราะ เซตวางไมมสมาชก 3.4 ถกตอง เพราะ {∅ } มสมาชก 1 ตว คอ ∅ 3.5 ถกตอง เพราะ {a} {a, b, c} ⊂

3.6 ไมถกตอง เพราะ {a, b, c} มสมาชก 3 ตว คอ a, b และ c 3.7 ไมถกตอง เพราะ ถา A B แลว ถง A B แต B≠ ⊂ ⊄A 3.8 ไมถกตอง เพราะ ม A={b} และ B={a, b} ซง A⊂B และ a∈B แต a∉A 3.9 ไมถกตอง เพราะ{1, 2, 3, 4, 5} มสมาชก 5 ตว คอม 25-1= 31 สบเซตแท

3.10 ไมถกตอง เพราะ มเพยงสบเซตเดยว คอ ∅ ∅ 3.11 ถกตอง เพราะ 64=26 นนคอ เซต A มสมาชก 6 ตว


:: Exercise IV (Key) :: 1. 1.1 A∪B 1.2 B 1.3 B′ 1.4 (A∩E)′ 2. ถกทกขอ

3. เนองจาก n(A)=5 และ S1={B|B A, n(B)=1}, S⊂ 2 ={B|B A, n(B)=2}, ... ไปจนถง ⊂

S5 ={B|B A, n(B)=5} จะไดวา S =S⊂ 1∪S2∪S3∪S4∪S5= เซตของสบเซตของ A ทกแบบ ยกเวน [n(B)=0] ∴ n(S) = 2∅ 5-1=31 4. จากโจทยกาหนด n(A∩B′) = n(A-B) = 32 = ก และn(B) = ข+ค = 55 สามารถเขยนแผนภาพไดดงแสดง ตองการหา n(A′∩B′) คอ n(A∪B)′= ง หาไดจาก n(U)=100=ก+(ข+ค)+ง นนคอ ง = 100-55-32 = 13 ∴ n(A′∩B′) = 13

5. ขอนเซตทงสองเปนอสระตอกน เพราะเรยนฝรงเศสแลวตอง ไมเรยนคณตศาสตร สามารถเขยนแผนภาพดงแสดง และจากโจทยไดวา 20 = ก+ข, 17 = ก+ค และ 15 = ข+ค รวมกนได 2(ก+ข+ค)=20+17+15 คอ ก+ข+ค = 26 ตองการหา ค = (ก+ข+ค)-(ก+ข) = 26-20 = 6 ∴มนกเรยน 6 คนทไมเรยนทงสองวชา

6. จากโจทยสามารถเขยนแผนภาพไดดงแสดง และเขยนไดวา ก+ข+ค+ง = 20, ก+ข = 2(ข+ค)-7 และ ข = ง แกระบบสมการแลวจะไดวา ก+ข=11 ∴มผใสครมทงหมด 11 คน 7. ขอนเซตทงสองเปนอสระตอกน เพราะเมอฝนตกตอนเชาจะ ไมตกตอนเยนสามารถเขยนแผนภาพดงแสดง และจากโจทยวา ก + ข = 7, ข + ค = 6 และ ก + ค = 5 รวมกนได 2(ก+ข+ค) = 18 คอ ก + ข + ค = 9 ∴นกเรยนคนนไปพกผอนทพทยา 9 วน

8. ขอนตรงตามสตร n(A∪B ∪C) = 180=95+92+125-52-43-57+x ได x=20 คน และ y=n(A∩C)-20=43-20=23 Z = n(A∩B)-20=52-20=32 ∴ ผชอบเพลงไทยสากลเพยงอยางเดยว ม 95-20-23-32=20 คน

9. พจารณาขอความ 35 คนชอบลง, 32 คนชอบแตชาง และ 20 คนชอบหม แตไมชอบลง สามารถเขยนแผนภาพไดดงแสดง ตองการหา n(A∪B∪C)′=100-n(A∪B∪C) ∴คนทไมชอบสตวทงสามชนดม 100-(32+35+20) = 13 คน


10. ให U={0, 1, 2, ..., 100}, A={x|x หารดวย 2 ลงตว}, B={x|x หารดวย 3 ลงตว} และ C={x|x หารดวย 5 ลงตว} ตองการหาคา n(A′∩B′∩C′) กคอ n(A∪B∪C)′ หาโดย n(U)-n(A∪B∪C) n(A∪B∪C)=n(A)+n(B)+n(C)-n(A∩B)-n(A∩C))-n(B∩C)+n(A∩B∩C) n(A) => หาร 2 ลงตว ม 51 จานวน n(B) => หาร 3 ลงตว ม 34 จานวน n(C) => หาร 5 ลงตว ม 21 จานวน n(A∩B) => หาร 2 และ 3 ลงตว คอหาร 6 ลงตว ม 17 จานวน n(A∩C) => หาร 2 และ 5 ลงตว คอหาร 10 ลงตว ม 11 จานวน n(B∩C) => หาร 3 และ 5 ลงตว คอหาร 15 ลงตว ม 7 จานวน n(A∩B ∩C) => หาร 2 และ 3 และ 5 ลงตว คอหาร 30 ลงตว ม 4 จานวน n(A′∩B′∩C′)=101-(51+34+21-17-11-7+4)= 26 ∴จานวนเตมตงแต 0 ถง 100 ทหาร 2 และ 3 และ 5 ไมลงตว ม 26 จานวน

ขอพดมงนะ ! อานมาถงตรงนแลว กจบไปแลวหนงบททงายมากทสด แตวาเปนพนฐานท

สาคญมากดวยเชนเดยวกน จะละเลยเสยมได ขอใหจาไววา อยากทาคณตศาสตรใหไดด ตองหมนฝกฝนทาโจทยใหมาก ฉะนนอยาลมลองไปทบทวนในเอกสารชดตะลยโจทยด วาทาไดแคไหน หากมปญหาอะไรสามารถตดตอมาไดเสมอ ยนดตอบทกคาถาม (หากตอบได) และขอใหทกคนโชคด ประสมความสาเรจตามตองการ


ความสมพนธและฟงกชน สอนโดย ชวลต ตงคบร (กอลฟ)


คอนดบ โดเมน และเรนจ ฟงกชน ฟงกชนประกอบ พชคณตของฟงกชน

ความสมพนธ อนเวอรสของความสมพนธ ชนดของฟงกชน อนเวอรสของฟงกชน

คอนดบ (Ordered pairs)

กาหนดให เปน คอนดบ โดยท เปนสมาชกตวหนา และ เปนสมาชกตวหลง และสองคอนดบจะเทากน กตอเมอ

( , )a b ,a b a b( , ) ( , )a b c d= a c= และ b d=

ผลคณคารทเซยน (Cartesian product)

ผลคณคารทเซยนของเซต A กบเซต B คอเซตของคอนดบ ( , )x y ทงหมด ซง เปนสมาชกของเซต

xA และ y เปนสมาชกของเซต B หรอเขยนเปนสญลกษณไดวา

{ }( , )A B x y x A y B× = ∈ ∧ ∈ และเรยก A B× วา A cross B เชน ใหเซต A={1,2,3} B={4,5} ผลคณคารทเซยนของเซต A และ B คอ

A B× ={(1,4),(1,5),(2,4),(2,5),(3,4),(3,5)}

ความสมพนธ (Relations) ความสมพนธจากเซต A ไปเซต B คอ เซตทมสมาชกเปนคอนดบ โดยคอนดบนนเปนสมาชกของ

A B× (หรออาจกลาววา ความสมพนธจากเซต A ไปเซต B คอสบเซตของ A B× กได) และเรยก

ความสมพนธจากเซต A ไป A วา ความสมพนธในเซต A เชน จากตวอยางขางตน ให A={1,2,3} B={4,5} r = {(1,4),(1,5)} s = {(1,5),(3,4),(2,4)} t = {}(เซตวาง) ทง r, s และ t เปนความสมพนธจากเซต A ไปเซต B เพราะทกตวเปนสบเซตของ A B×

x = {(1,1),(3,5)} ไมเปนความสมพนธจากเซต A ไปเซต B เพราะไมเปนสบเซตของ A B×

RELATION & FUNCTION หนา 14 ชวลต ตงคบร

ตวอยางความสมพนธใน (ความสมพนธทเปนสบเซตของ × ) ทมกพบบอยๆ เชน

2 2 2{( , ) | }x y x y r+ = (เซตของจดบนวงกลมรศม r หนวย), {( , ) | }x y y x= (เซตของจดบนเสนตรง y

= x) เปนตน

โดเมน (Domain) และเรนจ (Range) ของความสมพนธ กาหนดให เปนความสมพนธจาก r A ไป B โดเมนของ คอ เซตของสมาชกตวหนาของคอนดบใน เขยนแทนดวย r r { }( , )rD x x y r= ∈ เรนจของ r คอ เซตของสมาชกตวหลงของคอนดบใน เขยนแทนดวย r { }( , )rR y x y r= ∈ หลกทวไปในการหาโดเมนและเรนจของความสมพนธ เมอตองการหาโดเมน ใหเขยน ใหอยในรปของ แลวพจารณาวาคา ใดบางททาใหหาคา ไมได จะไดวา โดเมน คอ เซตของคา ทงหมด ททาใหหาคา

y x x yx y ได

เมอตองการหาเรนจ ใหเขยน ใหอยในรปของ แลวพจารณาวาคา ใดบางททาใหหาคา ไมได จะไดวา โดเมน คอ เซตของคา

x y y xy ทงหมด ททาใหหาคา ได x

อนเวอรส (Inverse) ของความสมพนธ

ถา เปนความสมพนธจาก r A ไป B แลว อนเวอรสของ เขยนแทนดวย r 1r− คอ ความสมพนธจาก B ไป A มสมาชกเปนคอนดบ โดยท ( ,( , )y x )x y เปนสมาชกของ r

หลกทวไปในการหาอนเวอรสของความสมพนธคอ สลบท x กบ y (หรอตวแปรอนตามแตทใชในคอนดบ)ในสมการของ จะไดอนเวอรสของความสมพนธ นอกจากนนจะไดวา r r 1 rr

D R− = และ

1 rrR D− = นนคอโดเมนและเรนจกจะสลบกนกบของ r ดวย

ขอสงเกต คอ เมอเราเขยนกราฟของความสมพนธ และอนเวอรสของความสมพนธเปรยบเทยบกน จะพบวากราฟทงสองมสมมาตรรอบกราฟ y x=

ฟงกชน (Functions) ฟงกชน คอ ความสมพนธทสมาชกตวหนาแตละตว จบคกบสมาชกตวหลงไดเพยงตวเดยว (นนคอในคอนดบในเซตของความสมพนธนนไมมสมาชกตวหนาซากนเลย ) ใชสญลกษณ ( )y f x= แทนความหมายวา

เปนฟงกชนของ y x


วธการพจารณาวาความสมพนธใดๆ จะเปนฟงกชนหรอไม วธหนงคอ ใหวาดกราฟของความสมพนธนน แลวลากเสนตรงขนานกบแกน y ถาความสมพนธใดไมเปนฟงกชน จะมเสนตรงบางเสนทตดกราฟของความสมพนธนนมากกวา 1 จด เชน ความสมพนธ เปนฟงกชนเพราะทกๆคา x ใหคา y ไดคาเดยว ไมม x ทใหคา y สองตว 2y x=

แตความสมพนธ จะพบวาม x บางคาทให y สองคา เชน x = 1 จะได y = 2 2 25x y+ = 24± ชนดของฟงกชน

ฟงกชนจาก A ไป B (from A into B) เขยนแทนดวย ซง :f A B→ fD A= และ fR B⊂ ฟงกชนจาก A ไปทวถง B (from A onto B) เขยนแทนดวย : ontof A B⎯⎯⎯→ ซง และ fD = A

fR B= หมายถงสมาชกทกตวในเซต A และ B มการจบคทงหมด

ฟงกชนหนงตอหนงจาก A ไป B (one-to-one) เขยนแทนดวย 1 1:f A B−⎯⎯→ ซง และ fD = A

fR B⊂ และ สาหรบ แตละตว จะคกบ เพยงตวเดยวเทานน y x

ฟงกชนหนงตอหนงจาก A ไปทวถง B (one-to-one correspondence) เขยนแทนดวย 1 1: ontof A B−⎯⎯⎯→ ซง และ fD = A fR B= และ สาหรบ y แตละตว จะคกบ เพยงตวเดยวเทานน x

เรามวธพจารณาวาฟงกชน เปนฟงกชนหนงตอหนงหรอไม โดยใชวธคลายๆกบการทดสอบความเปนฟงกชนคอ วาดกราฟของฟงกชน แลวลากเสนตรงขนานกบแกน จะไดวา เปนฟงกชนหนงตอหนง เมอไมมเสนตรงใดทตดกราฟของฟงกชนมากกวา 1 จด

( )y f x=

x ( )y f x=

3siny x= เปนฟงกชนใน ไมเปนฟงกชนทวถงใน ไมเปนฟงกชนหนงตอหนง

3 2y x x= + เปนฟงกชนใน เปนฟงกชนทวถงใน ไมเปนฟงกชนหนงตอหนง


3 / 2y x= เปนฟงกชนใน เปนฟงกชนทวถงใน เปนฟงกชนหนงตอหนง

ฟงกชนทควรรจก • ฟงกชนคงตว (Constant Function) ( )f x a= (กราฟเสนตรงแนวนอน)

• ฟงกชนเชงเสน (Linear Function) ( )f x ax b= + (กราฟเสนตรงแนวนอนหรอเฉยง) • ฟงกชนกาลงสอง (Quadratic Function) 2( )f x ax bx c= + + (กราฟพาราโบลา) • ฟงกชนพหนาม (Polynomial Function) 1 2

1 2( ) ...n n nn n n 0f x a x a x a x a− −

− −= + + + + • ฟงกชนตรรกยะ(Rational Function) ( )( )

( )p xf xq x

= เมอ เปนฟงกชนพหนาม ( ), ( )p x q x

• ฟงกชนคาสมบรณ (Absolute Value Function) ( )f x ax b c= + + (กราฟรปตวว) • ฟงกชนเพม (Increasing function) และฟงกชนลด(Decreasing function) พจารณา

ในชวงปด [ , ]a b สาหรบทกๆ [ ]1 2, ,x x a b∈ ฟงกชน จะเปนฟงกชนเพมในชวง f [ ],a b กตอเมอ ถา 2 1x x> แลว 2 1( ) ( )f x f x> สาหรบทกๆ [ ]1 2, ,x x a b∈ ฟงกชน จะเปนฟงกชนลดในชวง f [ ],a b กตอเมอ ถา 2 1x x> แลว 2 1( ) ( )f x f x<

ฟงกชนประกอบ (Composite function) เปนฟงกชนประกอบระหวางฟงกชน และ เขยนแทนดวย ซงจะหาได กตอเมอ เรนจของ มาอยในโดเมนของ นนคอ

( ( ))g f x f g ( )(g f x)f g f gR D∩ ≠ ∅

อนเวอรสของฟงกชน

เราทราบวาความสมพนธ r ใดๆ สามารถหาอนเวอรส 1r− ไดเสมอ เชนเดยวกน ฟงกชน ใดๆ กจะหาอนเวอรส

f1f − ไดเสมอ(เรยกวาอนเวอรสของฟงกชน ) แต f 1f − อาจเปนหรอไมเปนฟงกชนกได ถา

1f − เปนฟงกชน จะเรยกวา ฟงกชนอนเวอรส หรอ ฟงกชนผกผน และเขยนเปน 1( )f x− ได อนเวอรสของฟงกชน จะเปนฟงกชน กตอเมอ เปนฟงกชนหนงตอหนงเทานน และ f f

1( )f y− = x มความหมายเดยวกบ ( )f x y= สมบตของอนเวอรส ไดแก 1 1( ) 1f g g f− −= − และ 1 1( )f f− − =


พชคณตของฟงกชน (Algebra of function) ฟงกชนสามารถนามาบวกลบคณหารกนได แตะจะทาไดเฉพาะสวนทโดเมนซากนเทานน

ถา และ เปนฟงกชน แลว f g ( )( ) ( ) ( )f g x f x g x∗ = ∗ กจะเปนฟงกชนดวย โดยท ∗ แทนเครองหมาย หรอ และ , ,+ − × ÷ f g fD D∗ gD= ∩ และในกรณการหาร ตองมเงอนไข ดวย ( ) 0g x ≠

Reference

คณต มงคลพทกษสข Math E-Book release2.2.03


ตรรกศาสตรเบองตน สอนโดย ศรรตน เจนวรพจน (ตาย)


ประพจนและประโยคเปด การเชอมประพจน รปแบบของประพจนทสมมลกน สจนรนดร การอางเหตผล

ตารางคาความจรง นเสธ การหาคาความจรงของประพจนรปแบบตางๆ ตวบงปรมาณ

1. ประพจน (Statement) และประโยคเปด (Open Sentence)

ประพจน คอขอความทเปนจรงหรอเปนเทจเพยงอยางใดอยางหนง(คลายกบตวแปร คอแทนทจะมคาเปนจานวน

ประพจนจะมคาเปน “คาความจรง” ซงมไดสองอยางคอจรง หรอเทจ) เรามกใชตวอกษรภาษาองกฤษตวพมพเลกแทนชอประพจนเพอใหงายตอการอางถง เชน p, q, r เปนตน

คาวา “จรง” หรอ ”เทจ” เรยกวา คาความจรงของประพจน (Truth) มกใช “T” แทนจรง และ “F” แทนเทจ ประโยคเปด คอขอความทมตวแปรเสร(Free Variable)อย แตเมอแทนคาตวแปรเสรแตละตวใหครบดวย

สมาชกใดๆกตามในเอกภพสมพทธแลว ประโยคนนจะกลายเปนประพจน 2. ตารางคาความจรง (Truth Table)

คอตารางทแสดงรปแบบของคาความจรงทเปนไปไดทงหมดของประพจน 1. ถามประพจน 1 ประพจน จะเปนไปได 2 กรณ ดงน

p T F

2. ถามประพจน 2 ประพจน จะเปนไปได 4 กรณ ดงน p q T T F F

T F T F

3. ถามประพจน 3 ประพจน จะเปนไปได 8 กรณ ดงน

LOGIC หนา 19 ศรรตน เจนวรพจน

p q r T T T T F F F F

T T F F T T F F

T F T F T F T F

สรปไดวา ถามประพจน n ประพจน จะมคาความจรงทเปนไปได 2n กรณ 3. การเชอมประพจน

3.1. การเชอมประพจนดวยตวเชอม “หรอ” ( ) ∨

ประพจน p∨ q มตารางคาความจรง ดงน p q p q ∨

T T F F

T F T F

T T T F

ประพจน p∨ q จะเปนเทจเพยงกรณเดยวคอ ทง p และ q เปนเทจ เชนคาความจรงของประพจนตอไปน ก ) 2+3 = 5 หรอ 3+8 < 7 เปนจรงเพราะ 2+3 = 5 เปนจรง

ข ) ปารสอยในประเทศลาว หรอ โลกมดวงจนทร 2 ดวง เปนเทจเพราะทงสองประโยคยอยเปนเทจ 3.2. การเชอมประพจนดวยตวเชอม “และ” (∧ ) ประพจน p q มตารางคาความจรง ดงน ∧

p q p∧ q T T F F

T F T F

T F F F

ประพจน p q จะเปน T เพยงกรณเดยวคอ ทง p และ q เปนจรง เชนคาความจรงของประพจนตอไปน ∧


ก ) 2+3 = 5 และ 3+8 < 7 เปนเทจ เพราะประโยคยอย 3+8 < 7เปนเทจ ข ) ปารสอยในประเทศฝรงเศส และ โลกมดวงจนทร 1 ดวง เปนจรงเพราะทงสองประโยคเปนจรง

3.3. การเชอมประพจนดวยตวเชอม “ถา…แลว” (→→

) ประพจน p→q มตารางคาความจรง ดงน

p q p q →

T T F F

T F T F

T F T T

ประพจน p→q จะเปนเทจเพยงกรณเดยว คอ p เปนจรงและ q เปนเทจ ประพจน p→q ถาประพจนหนา (p) เปนเทจแลว p q จะเปนจรงเสมอ →

เชนคาความจรงของประพจนตอไปน ก ) ถา 2+3 = 5 แลว 3+8 < 7 เปนเทจ

ข ) ถาปารสอยในประเทศลาว แลว โลกมดวงจนทร 1 ดวง เปนจรง 3.4. การเชอมประพจนดวยตวเชอม “กตอเมอ” (↔

↔

) ประพจน p q มตารางคาความจรง ดงน ↔

p q p↔q T T F F

T F T F

T F F T

ประพจน p q จะเปนจรงในกรณท p และ q มคาความจรงเหมอนกน เชนคาความจรงของประพจนตอไปน ↔

ก ) 2+3 = 5 กตอเมอ 3+8 < 7 เปนเทจ ข ) ปารสอยในประเทศฝรงเศส กตอเมอ โลกมดวงจนทร 1 ดวง เปนจรง

4. นเสธ “~” (Negation) นเสธของประพจน p คอ ประพจนทขดแยงกบประพจน p ซงมคาความจรงตรงขามกบประพจน p เขยนแทนดวย ~p (แตประพจนทมคาความจรงตรงขามกบ pไมจาเปนตองเปนนเสธของ p เสมอไป)


พจารณาประโยค p และ q 1) p : 1+2 = 3

q : 1+2 ≠ 3 2) p : 2+3 = 5 q : 2+3 = 4 ขอ 1 จะเหนวา q เปนประโยคทปฏเสธประโยค p (p บอกวาเทา แต q บอกวาไมเทา) p กบ q จงเปนนเสธกน สวนขอ 2 จะเหนวาประโยคทปฏเสธ p คอ ซงประโยค q เปนเพยงกรณหนงทอยในนเสธของ p เทานน p และ q จงไมเปนนเสธกน

2 3 5+ ≠

5. รปแบบของประพจนทสมมลกน ในหวขอนจะกลาวถง “รปแบบของประพจน” ซงหมายถงการนาประพจนมาเชอมกนโดยไมไดระบวาแตละ

ประพจนทมาเชอมกนนนคอประพจนอะไรบาง ไมใชพจารณา“ประพจนใดประพจนหนง”แบบเฉพาะเจาะจง (เชน

เปนรปแบบประพจนเพราะไมไดระบวา p กบ q คออะไรบาง แต ประโยค ถาp q∧ 2 5≠ แลว 1 เปนประพจนเฉยๆ ไมใชรปแบบประพจน แมจะมตวเชอม ถา...แลว... อยดวย)

4≠

รปแบบประพจนสองรปแบบทมคาความจรงเหมอนกนทกกรณไมวาจะนาประพจนอะไรมาแทนทลงไป เรยกวารปแบบประพจนสองรปแบบนนวา สมมลกน (Equivalent) ใชสญลกษณ ≡ สามารถนามาใชแทนทกนได วธพจารณารปแบบประพจนทสมมลกน 1) การใชตารางคาความจรง ตองการตรวจสอบวา ~(p q) สมมลกบ ~p ∨ ∧ ~q หรอไม

p q p q ∨ ~(p ∨ q) ~p ~q ~p ∧ ~q T T T F F F F T F T F F T F F T T F T F F F F F T T T T

จะไดวา ~(p q) ≡ ~p ~q ∨ ∧

2) โดยการใชการยบ / ขยายประพจน ตองการตรวจสอบวา p →

→

~q สมมลกบ q ~p หรอไม →

จาก x y ~x y จะไดวา → ≡ ∨

p ~q ~p ~q → ≡ ∨


≡ ~q ∨ ~p ≡ q → ~p ∴ p → ~q q → ~p ≡

สมบตของนเสธ1. ~(~p) p ≡

2. ~(p q) ~p ~q ∧ ≡ ∨

3. ~(p ∨ q) ~p ~q ≡ ∧

4. ~(p → q) p ∧ ~q ≡

5. ~(p q) (~(p q)) (~(q → p)) ↔ ≡ → ∨

เชน นเสธของประพจน 1+1 = 2 และ 2+2 = 4 คอ 1 1 2+ ≠ หรอ 2 2 4+ ≠ นเสธของประพจน ถา 1+1 = 2 แลว 2+2 = 4 คอ 1 1 2+ = และ 2 2 4+ ≠

6. การหาคาความจรงของประพจนรปแบบตางๆ การหาคาความจรงของประพจนผสมเมอรคาความจรงของประพจนยอย เราจะใชวธการโยงคาความจรงในการหา

1) จงหาคาความจรงของประพจน p q เมอ ∨

p : 1+1 = 2 q : 2+2 = 4 ∴p ∨ q มคาความจรงเปน 2) จงหาคาความจรงของประพจน (p ⇒ q) r เมอ ∨

p : 1-1 = 2


∴ (p ⇒ q) ∨ r มคาความจรงเปน

การหาคาความจรงของประพจนยอยเมอรคาความจรงของประพจนผสม 1) จงหาคาความจรงของประพจนยอยของประพจน p q เมอ p q เปน F ∨ ∨

∴p มคาความจรงเปน q มคาความจรงเปน 2) จงหาคาความจรงของประพจนยอยของประพจน [p ∧ (q ⇔ r)] ⇒ (s ∨ r)

เมอ [p (q ⇔ r)] ⇒ (s r) เปน F ∧ ∨

∴p มคาความจรงเปน q มคาความจรงเปน

r มคาความจรงเปน s มคาความจรงเปน 7. สจนรนดร (Tautology)

คอรปแบบประพจนทมคาความจรงเปนจรงเสมอไมวาจะนาประพจนอะไรมาใสแทนลงไป วธการพจารณาสจนรนดร


1. โดยการใชตารางคาความจรง เชน ตองการทราบวา (p → q) ↔ (~p q) เปนสจนรนดรหรอไม ∨

p q ~p p q → ~p q ∨ (p → q) (~p q) ↔ ∨

T T F T T T T F F F F T F T T T T T F F T T T T

จากตารางเหนไดวาคาความจรงของประพจน (p q) → ↔ (~p q) เปนจรงไมวา p กบ q จะเปนอะไรกตาม ดงนน

∨

(p q) (~p q) เปนสจนรนดร → ↔ ∨

2) โดยการใชรปแบบของประพจนทสมมลกน ตวอยาง p (p q) เปนสจนรนดรหรอไม → ∨

จาก x y ~x y จะไดวา → ≡ ∨

p (p q) → ∨ ≡

≡

≡ เนองจาก ~p p เปน เสมอ จะไดวา (~p p) q เปน เสมอ ∨ ∨ ∨

∴ p → (p ∨ q) จงเปนสจนรนดร 2. โดยการสมมตคาความจรงแลวดความขดแยง

วธทาคอ สมมตใหประพจนทตองการพจารณาเปนเทจ แลวดคาความจรงของประพจนยอย ถาเกดขอขดแยง(เชน ประพจนใดประพจนหนงเปนทงจรงและเทจพรอมกน) แสดงวาประพจนทพจารณาไมสามารถเปนเทจได นนคอ ประพจนนนเปนสจนรนดร ตวอยาง (p q) → p เปนสจนรนดรหรอไม ∧

(p q) → p ∧

F ∴ (p q) → p เปนสจนรนดร ∧

3. โดยการใชความสมพนธของประพจนทสมมลกน หลกการคอ ถามประพจน 2 ประพจนทสมมลกน แลวเชอมกนดวย ⇔ ประพจนผสมทเกดขนจะเปนสจนรนดร

LOGIC หนา 25 ศรรตน เจนวรพจน ตวอยาง จาก ~(p ∨ q) ≡ ~p ~q ∧

จะไดวา ~(p ∨ q) ~p ∧ ~q เปนสจนรนดร 8. ตวบงปรมาณ (Quantifier)

ตวบงปรมาณ (Quantifier) ม 2 ชนด คอ 1) (for all) หมายถง สาหรบทกตว ∀

2) (there exists) หมายถง มบางตว ∃

ประพจนทมตวบงปรมาณจะเขยนในรป ∀ x∈U [P(x)] หรอ∃x∈U [P(x)] ∀ x∈U [P(x)] จะมคาความจรงเปนจรงกตอเมอ ทกๆสมาชกใน U ทาให P(x) เปนจรง x∈U [P(x)] จะมคาความจรงเปนจรงกตอเมอ มบางสมาชกใน U ททาให P(x) เปนจรง ∃

ตวอยาง 1) x∈ [x < 2] หมายถง ”สาหรบจานวนจรง x ทกตว x < 2” ∀

ประพจนนมคาความจรงเปน T กตอเมอ จานวนจรงทกตวมคานอยกวา 2 ดงนน ประพจนนจงมคาความจรงเปนเทจ 2) ∃x∈ [x < 2] หมายถง ”มจานวนจรง x ท x <2” ประพจนนมคาความจรงเปน T กตอเมอ มจานวนจรงบางตวทมคานอยกวา 2 ดงนน ประพจนนจงมคาความจรงเปนจรง คาความจรงของประพจนทมตวบงปรมาณ 2 ตว x∈U ∀ y∈U [P(x,y)] จะเปนจรงกตอเมอ ทกๆคอนดบ (x,y) ใน U ทาให P(x,y) เปนจรง ∀

x∈U ∃y∈U [P(x,y)] จะเปนจรงกตอเมอ มบางคอนดบ (x,y) ใน U ทาให P(x,y) เปนจรง ∃

x∈U y∈U [P(x,y)] จะเปนจรงกตอเมอ ทกๆคาx ใน U จะม y ใน U ททาให P(x,y) เปนจรง ∀ ∃

x∈U ∀ y∈U [P(x,y)] จะเปนจรงกตอเมอ สาหรบ x บางตวใน U ทเมอจบคกบ y ทกตวใน U แลว

P(x,y) เปนจรง ∃

ขอควรจา : 1) ∀ x y[P(x,y)] กบ ∃y x[P(x,y)] ไมสมมลกน เชนประพจน สาหรบทกๆคนในโลก จะมผหญงทเปนแมของตนเสมอ แตถากลบสวน y ขนกอน จะไดวามผหญงบางคนในโลกทเปนแมของทกคน

∃ ∀

∃

2) ∀ x y[P(x,y)] ≡ y∀ x[P(x,y)] ∀ ∀

3) x y[P(x,y)] y∃x[P(x,y)] ∃ ∃ ≡ ∃

นเสธของประพจนทมตวบงปรมาณ ~∀ x∈U [P(x)] ∃x∈U [~P(x)] ≡

~∃ x∈U [P(x)] x∈U [~P(x)] ≡ ∀

~∀ x∈U y∈U [P(x,y)] ∀ ≡ ∃x∈U ∃y∈U [~P(x,y)] ~∃ x∈U y∈U [P(x,y)] ≡∃ ∀ x∈U ∀ y∈U [~P(x,y)] ~∀ x∈U y∈U [P(x,y)] ∃ ≡ ∃x∈U ∀ y∈U [~P(x,y)]


~∃x∈U y∈U [P(x,y)] ∀ ≡ ∀ x∈U ∃y∈U [~P(x,y)] ขอสงเกต : นเสธของประพจนทมตวบงปรมาณหาไดโดยสลบตวบงปรมาณระหวาง ∀ กบ∃ และหานเสธของประพจน P(x) เชน นเสธของ คอ2 [ 2] x y x y∃ ∀ < + 2[ 2]x y x y∀ ∃ ≥ +

ขอควรจา 1) ∀ x [P(x) ∧ Q(x)] ∀ x [P(x)] ≡ ∧ ∀ x [Q(x)] 2) x [P(x) ∨ Q(x)] ไมสมมลกบ ∀ ∀ x [P(x)] ∨ ∀ x [Q(x)] 3) x [P(x) Q(x)] x [P(x)] ∃ ∨ ≡ ∃ ∨ ∃x [Q(x)] 4) x [P(x) ∃ ∧ Q(x)] ไมสมมลกบ ∃x [P(x)] ∧ ∃x [Q(x)] 5) x [P(x) ⇒ Q(x)] ไมสมมลกบ ∀ ∀ x [P(x)] ⇒ ∀ x [Q(x)]

9. การอางเหตผล (Argument) ประกอบไปดวย - เหต (premise) คอ สงทถกกาหนดให มคาความจรงเปนจรงเสมอ - ผลสรป (conclusion) ซงเปนผลจากเหต

วธพจารณาการอางเหตผลวาสมเหตสมผล (valid) หรอไมสมเหตสมผล (invalid) 1) โดยการสมมตคาความจรงแลวหาขอขดแยง (เหมอนกบการพจารณาสจนรนดร) วธทา คอ นาเหตทงหมดมาเชอมกนดวย ∧ แลวนามาเชอมกบผลดวย จากนนสมมตคาความจรงของประพจนผสมเปน F แลวดคาความจรงของประพจนยอย ถาขดกนแสดงวาไมสามารถเปนเทจได นนคอสมเหตสมผลนนเอง

→

ตวอยาง พจารณาวาจากเหตและผลตอไปน สมเหตสมผลหรอไม เหต 1. p q ∨

2. ~p ผล q วธทา รวมประพจน จะได [(p q) ∨ ∧ ~p] q →

F จะไดวา [(p q) ~p] → q เปนสจนรนดร เหตและผลในขอนจงสมเหตสมผล ∨ ∧


2) โดยการสมมตใหเหตเปนจรงแลวดวาผลเปนจรงหรอไม ตวอยาง พจารณาวาจากเหตและผลตอไปน สมเหตสมผลหรอไม เหต 1. p q →

2. p ผล q จากเหตขอ 2 คอ p จะไดวา p เปน จากเหตขอ 1 คอ p q จะไดวา p q เปน T และเนองจาก p เปน T จะไดวา q เปน → →

เนองจาก q เปน T ทาใหขอนสมเหตสมผล

Reference จกรนทร วรรณโพธกลาง คมอรวมสดยอดเทคนคคณตศาสตร Entrance



ฟงกชนตรโกณมตและการประยกต สอนโดย ศรรตน เจนวรพจน (ตาย)

E-mail : [email protected] Tel : 081-381-3793

เนอหา ระบบมมแบบเรเดยน ฟงกชนตรโกณมตของสามเหลยมมมฉาก ฟงกชนตรโกณมตโดยวงกลมรศม 1 หนวย คาฟงกชนตรโกณมตของมมทอยในควอดรนตอน

กราฟของฟงกชนตรโกณมต การคานวณเกยวกบฟงกชนตรโกณมต อนเวอรสของฟงกชนตรโกณมต สมการของฟงกชนตรโกณมต เอกลกษณของฟงกชนตรโกณมต กฎของ sine และกฎของ cosine

1. ระบบมมแบบเรเดยน (Radian)

เปนการวดมมจากอตราสวนความยาวสวนโคงตอรศม โดยกาหนดวา 1 เรเดยนเทากบขนาดของมมทรองรบสวนโคงทยาวเทากบรศมของวงกลมนน ทาใหมม 1 เรเดยนมขนาดประมาณ 57.3 องศา และมม π เรเดยนมขนาด 180 องศา สวนมมอนๆใชการเทยบอตราสวนกบ π เรเดยน เชน 2π เรเดยน เทากบ 360 องศา เปนตน

2. ฟงกชนตรโกณมตของสามเหลยมมมฉาก

sin bc

θ = 1cscsin

cb

θθ

= =

cos ac

θ = 1seccos

ca

θθ

= =

tan ba

θ = 1cottan

ab

θθ

= =

3. ฟงกชนตรโกณมตโดยวงกลมรศม 1 หนวย

sin 0 0= cos 0 1= 1sin 302

= 3cos302

= 1sin 452

= 1cos 452

=

3sin 602

= 1cos 602

=

sin 90 1= cos90 0=

TRIGONOMETRY หนา 29 ศรรตน เจนวรพจน

นอกจากนยงมคามมทนาสนใจเพมเตมไดแก 3 1 6 2sin15 cos 75

42 2− −

= = =

3 1 6 2cos15 sin 7542 2

+ += = =

3 1tan153 1−

=+

3 1tan 753 1+

=−

3sin 37 cos535

= ≈ 4sin 53 cos375

= ≈ 3tan 374

≈ 4tan 533

≈

หมายเหต คามม 37 และ 53 เปนคาประมาณ คามมทใหคาฟงกชนดงกลาวจรงๆคอ 36.86989…และ 53.13010…องศา แตมกใชคาประมาณใกลเคยงเปน และ เพอสะดวกตอการคานวณ 37 53

4. คาฟงกชนตรโกณมตของมมทอยในควอดรนตอน sin( ดง+ θ ) = +cosθ csc( ดง+ θ ) = +secθ cos( ดง+ θ ) = +sinθ sec( ดง+ θ ) = +cscθ tan( ดง+ θ ) = +cotθ cot( ดง+ θ ) = +tanθ

*ดงหมายถงคามมทอยบนแกนดง ไดแก 2

3,2

ππ

sin ( ราบ± θ ) = cosθ± (ราบcsc ± θ ) = secθ± cos (ราบ ± θ ) = sinθ± (ราบsec ± θ ) = cscθ± tan (ราบ± θ ) = cotθ± (ราบcot ± θ ) = tanθ± *ราบหมายถงคามมทอยบนแกนราบ ไดแก 0,π

เครองหมายของฟงกชนตรโกณมตใหมทไดขนอยกบควอดรนตทมมตกอยโดย ควอดรนตท 1 ทกฟงกชนมคาเปน + ควอดรนตท 2 ฟงกชน sin และ csc มคาเปน + ทเหลอเปน -

ควอดรนตท 3 ฟงกชน tan และ cot มคาเปน + ทเหลอเปน -

ควอดรนตท 4 ฟงกชน cos และ sec มคาเปน + ทเหลอเปน -

ตงอยาง 1) sin = sin( + ) 210 180 30

=

2) cos = cos( + ) 120 90 30

=


5. กราฟของฟงกชนตรโกณมต

siny A Bx=

แอมพลจด = A คาบ = 2Bπ

cosy A Bx= แอมพลจด = A คาบ = 2

Bπ

tany A Bx=

คาบ = Bπ

coty A Bx= คาบ =

Bπ

secy A Bx=

คาบ = 2Bπ

cscy A Bx= คาบ = 2

Bπ


6. การคานวณเกยวกบฟงกชนตรโกณมต

5.1. ฟงกชนตรโกณมตของผลบวกและผลตางมม sin( ) sin cos cos sinA B A B A± = ± B cos( ) cos cos sin sinA B A B A± = ∓ B

tan tantan( )1 tan tan

A BA BA B±

± =∓

5.2. ผลคณของฟงกชนตรโกณมต ไดจากการนาสตรผลบวกและผลตางมมมาบวกลบกน

2sin cos sin( ) sin( )A B A B A= + + − B 2cos sin sin( ) sin( )A B A B A= + − − B 2cos cos cos( ) cos( )A B A B A= + + − B 2sin sin cos( ) cos( )A B A B A= − − + B

5.3. ผลบวกและผลตางของฟงกชนตรโกณมต sin sin 2sin( ) cos( )

2 2A B AA B + −

+ =B

sin sin 2cos( )sin( )2 2

A B A BA B + −− =

cos cos 2cos( )cos( )2 2

A B AA B + −+ =

B

cos cos 2sin( )sin( )2 2

A B A BA B + −− = −

5.4. ฟงกชนตรโกณมตของมม 2 เทา 3 เทา และมมครงเทา การหามมสองเทา จากฟงกชนตรโกณมตของผลบวกของมม ถาเปลยน B เปน A จะไดดงน

sin 2 sin( )A A A= + = 2s in cosA A

cos 2 cos( )A A A= + = 2 2cos sinA A− เมอใชเอกลกษณ แทนคาไปมาจะได 2 2sin cos 1A A+ =

= 22 cos 1A− = 21 2sin A−

tan 2 tan( )A A A= + = 2

2 tan1 tan

AA−

ฟงกชนตรโกณมตของมม 3 เทา

3sin 3 3sin 4sinA A A= − 3cos3 4cos 3cosA A A= −


3

2

3 tan tantan 31 3tan

A AAA

−=

−

สวนมมครงเทา เรมตนจากสตรของ cos 2A

1 cossin2 2A A−= ±

1 coscos2

AA += ±

1 costan2 1 cosA A

A−

= ±+

7. อนเวอรสของฟงกชนตรโกณมต

ฟงกชนตรโกณมตทกฟงกชนลวนแตไมเปนฟงกชนหนงตอหนง ดงนนอนเวอรสของฟงกชนตรโกณมตจงไมเปนฟงกชน แตนกคณตศาสตรไดใหนยามบนชวงทเหมาะสมทาใหเกดฟงกชนอนเวอรสตรโกณมตดงตอไปน

arcsin Aคอคามม x ททาให sin x A= โดยท 2 2

xπ π− ≤ ≤

arccos A คอคามม x ททาให cos x A= โดยท 0 x π≤ ≤ arctan Aคอคามม x ททาให tan x A= โดยท x เปนจานวนจรง

ฟงกชนอนเวอรสตรโกณมตเชน อาจเขยนแทนดวย arcsin A 1sin A− แต 1sin A− 1sin A

≠ สมบตทสาคญของฟงกชนอนเวอรสตรโกณมต

1) arcsinx + arccosx = 2π

2) arctanx + arccotx = 2π

3) arcsecx + arccscx = 2π

4) arcsin(-x) = -arcsinx 5) arccos(-x) = π - arccosx 6) arctan(-x) = -arctanx 7) arcsinx = arccsc

x1 10) arccscx = arcsin

x1

8) arccosx = arcsecx1 11) arcsecx = arccos

x1

9) arctanx = arccotx1 12) arccotx = arctan

x1

13) sin(arcsin x) = x เมอ x∈[-1,1]


14) cos(arcos x) = x เมอ x∈[-1,1] 15) tan(arctan x) = x เมอ x∈ R 16) arcsin(sin x) = x เมอ x∈ [-

2π ,

2π ]

17) arccos(cos x) = x เมอ x∈[0,π ] 18) arctan(tan x) = x เมอ x∈[-

2π ,

2π ]

เชน sin(arcsin 1314 ) =

1314 ผด เพราะ

1314 >1

arcsin(sin120 ) = 120 ผด เพราะ 120 >90 8. สมการของฟงกชนตรโกณมต

อาจอยในรปฟงกชนพหนาม เอกซโพเนนเชยล ลอการทม หรออนๆ โดยแทนทจะใชตวแปรปกต กจะใชตวแปรอยในรปฟงกชนตรโกณมตแทน เชน 24 sin x + 11cos x -1 = 0

2csc 2sin 2 cotx x− = x เปนตน สวนใหญสมการของฟงกชนตรโกณมตมกกาหนดชวงของคาตอบมาใหดวยเชน0 2x π≤ < แตถาไมกาหนดกสามารถตอบในรปทวไปได หลกการแกสมการตรโกณมต

1. พยายามเปลยนฟงกชนตรโกณทอยในสมการใหเปนฟงกชนเดยวกนทงหมด เชนเปนเปน หรอเปน ใหหมด เพอใหมองฟงกชนนนเปนตวแปรตวเดยวกนได

sincot

2. แกสมการของฟงกชนนนๆตามปกต (อาจเปลยนตวแปรทเปนตรโกณมตเปนตวแปรเดยวๆเพอใหจดรปงายขน)

3. นาคาตอบทไดมาแทนคาเพอตรวจคาตอบทกครง เพราะอาจมคาตอบเกน หรอคาตอบทไมอยในชวงทกาหนดซงใชไมได

ตวอยาง ให arcs = จงหา in x arccos x x

จาก = arccos x2π - arcsin x

จะได

ตรวจคาตอบ arcsin2

1 =

arccos 2

1 =

∴arcsin2

1 = arccos2

1

ซงสอดคลองกบสมการ ดงนน เซตคาคอบของสมการคอ {2

1 ) 9. เอกลกษณของฟงกชนตรโกณมต


หมายถงสมการตรโกณมตทเปนจรงเสมอ ไมวาจะแทนคาตวแปรอยางไรกตาม ซงการแทนคาตวแปรจะตองทาใหแตละพจนมความหมายดวย ตวอยางเอกลกษณของฟงกชนตรโกณมตไดแกสตรคานวณตางๆทกลาวไปแลว เชน หรอ 2 2sin cos 1A A+ = 2sin cos sin( ) sin( )A B A B A B= + + − เปนตน หลกการพสจนเอกลกษณตรโกณมต

1. ควรพสจนจากดานทยงยากกวาไปหาดานทงายกวา 2. ควรเปลยนฟงกชนตรโกณมตทโจทยใหมาใหอยในรปฟงกชน sin หรอ cos เพอใหงายขน ตวอยาง จงพสจนวา cos A + cos (60 +A)+cos (60 -A) = 2 2 2

23

cos A + cos (60 +A)+cos (60 -A) 2 2 2

ดงนน cos A + cos (60 +A)+cos (60 -A) = 2 2 2

23

10. กฎของ sine และกฎของ cosine

กฎของ sine

sin sin sinA B Ca b c

= = กฎของ cosine

2 2 2 2 cosa b c bc= + − A 2 2 2 2 cosb a c ac B= + − 2 2 2 2 cosc a b ab C= + −

การหาพนทสามเหลยม พนทสามเหลยม = ABC 1 sin

2ab C = 1 sin

2bc A = 1 sin

2ac B

Reference จกรนทร วรรณโพธกลาง คมอรวมสดยอดเทคนคคณตศาสตร Entrance

คณต มงคลพทกษสข Math E-Book Release 2.2.01


ฟงกชนเอกซโพเนนเชยล และฟงกชนลอการทม สอนโดย สาธต เทพประทานกจ (ปอ)

Email : [email protected] Tel. 089-799-6196 เนอหา

นยามฟงกชนเอกซโพเนนเชยล สมบตของเลขยกกาลง การแกสมการและอสมการของฟงกชนเอกซโพเนนเชยล นยามฟงกชนลอการทม สมบตของฟงกชนลอการทม แอนตลอการทม การหาลอการทมสามญโดยใชตาราง แมนทสซา และคาแรกเทอรสตก การหาแอนตลอการทมสามญโดยใชตาราง การแกสมการและอสมการลอการทม

ปรากฏการณบางอยางในธรรมชาตมการเปลยนแปลงทไมเปนเชงเสน และไมเปนฟงกชนพหนาม หรอฟงกชน

ตรโกณมต เชน อตราการเกดปฏกรยาเคมบางอยาง การสลายตวของสารกมมนตรงส การเกดปฏกรยานวเคลยรแบบลกโซ เปนตน สงเหลานสามารถอธบายไดดวยฟงกชนเอกซโพเนนเชยล และฟงกชนลอการทม

1.ฟงกชนเอกซโพเนนเชยล (Exponential Function) นยาม ฟงกชนเอกซโพเนนเชยล กาหนดดวย {( , ) | , 0, 1}xf x y y a a a+= ∈ × = > ≠ หรอนยมเขยนวา ( ) xf x a= โดยท a มากกวา 0 และไมเทากบ 1 โดยเรยก a วา ฐานของเอกซโพเนนเชยล ตวอยาง

- เปน Exponential Function 12( ) 2 xf x =

- 2( ) xf x π= เปน Exponential Function - ( ) ( 1)f x π= − ไมเปนเปน Exponential Function เพราะ 1 0− < -

13( ) (0.00001)

xf x = เปน Exponential Function

2. สมบตของเลขยกกาลง และฟงกชนเอกซโพเนนเชยล

ให a, x และ y เปนจานวนจรง โดยท a และ x หรอ a และ y ไมเปน 0 พรอมกน

1. ( และ ( )( ) x y xa a a += y y ) /( ) x y xa a a −=

2. และ ( / ( ) ( )( )x xab a b= x ) ( ) /( )x x xa b a b=

3. และ ( )x y xya a= / yx y xa a=

4. 1/x xa a− =

5. ถา 0a ≠ แลว 0 1a =

จากขอ 3 ถา / 1/x y 2= จะได 1/ 2a = a หมายถง รากทสองทเปนบวก เชน 124 4= = 2

ตางจากคาวา รากทสอง ซงหมายถงทงคาทเปนบวกและลบ เชน รากทสองของ 4 2= ±

EXPONENTIAL & LOGARITHM หนา 36 สาธต เทพประทานกจ

• ฟงกชนเอกซโพเนนเชยลในรป ( ) xf x a= โดยท a มากกวา 0 และไมเทากบ 1 แบงออกเปนสองประเภท ตาม

ชวงของฐาน a

y=(1/2)^x

y=(1/8)^x

ถา a อยในชวง (0,1) แลว ( ) xf x a= จะเปนฟงกชนลด

y=2^xy=5^x

ถา a อยในชวง (1,∞ ) แลว ( ) xf x a= จะเปนฟงกชนเพม

• ฟงกชนเอกซโพเนนเชยล มโดเมน คอ เซตของจานวนจรง fD = เรนจ คอ เซตของจานวนจรงบวก fR +=

กราฟของฟงกชน จะตดแกน y ทจด (0,1) เสมอ เพราะ 0 1a =

• ฟงกชนเอกซโพเนนเชยล เปนฟงกชน 1 – 1 จาก ไปทวถง + นนคอ xa a y= กตอเมอ x = y ซงเปนสมบตทสาคญในการแกสมการเอกซโพเนนเชยล

3. การแกสมการและอสมการของฟงกชนเอกซโพเนนเชยล

• ใชสมบตการเปนฟงกชน 1-1 ของเอกซโพเนนเชยล โดยการเขยนสมการ(หรออสมการ) ใหมใหมฐานเหมอนกนทงหมด

• ถาเปนสมการ สามารถนาฐานออกได แลวจดเฉพาะสวนทเปนเลขชกาลงเปนสมการใหมแลวแกสมการนนตามปกต (อาจเปนสมการพหนาม ตรโกณมต คาสมบรณ ฯลฯ) เชน ( ) ( )f x ga a= x สามารถเขยนเปนสมการ

ไดทนท ( ) ( )f x g x=

เชน 210( 2) ( 2)x= จะไดวา 210 10 10x x x= → = → = ±


• ถาเปนอสมการ การจะเขยนใหเหลอเฉพาะสวนเลขชกาลง ตองพจารณาฐานดวย เชน ถาม ( ) ( )f x ga a> x

1

จะตองดวาฐาน a เปนเลขอะไร ถา จะไดอสมการ 1a > ( ) ( )f x g x>

สวนถา 0 กจะไดอสมการa< < ( ) ( )f x g x< ตามสมบตการเปนฟงกชนเพมหรอฟงกชนลด ตวอยาง - จะไดวา 10 3 82 2 x+<

210 3 83

x x< + → >

- 10 3 81 1( ) ( )2 2

x+< จะไดวา 210 3 83

x x> + → <

ในกรณทอสมการมฐานเปนกลมของพจนทไมทราบคา ใหกาหนดใหฐานอยใน 3 กรณ คอ กรณทฐาน

อยในชวง (0, 1), กรณทฐานเทากบ 1 และกรณทฐานอยในชวง (1, ∞ ) โดยใหนาคาตอบของแตละชวงมา intersect กบชวงทแบงโดยเงอนไขของฐานทกาหนดไวขางตน และนาชวงคาตอบจากทงสามกรณมา union กน เชน 223 3x xx x− > ตองแบงเปน ชวง

0 3 1x< < 3 1x = 3 1x > อสมการทได 22x x− < 22x x− = 22x x− >

แลวพจารณาทละชวง

4. ฟงกชนลอการทม (Logarithm Function) “Logarithm means a number that indicates a ratio: λόγος (logos) meaning

proportion and ἀριθµός (arithmos) meaning number” เนองจากฟงกชนเอกซโพเนนเชยลเปนฟงกชน 1-1 จากความรเรองฟงกชน ทาใหทราบวาอนเวอรสของฟงกชน

เอกซโพเนนเชยลกยงคงเปนฟงกชนดวย ซงนยามดงน นยาม

{( , ) | , 0, 1}yf x y x a a a+= ∈ × = > ≠ (สลบตาแหนง x และ y จาก xy a= เปน yx a= ) โดยทวไปนยามสญลกษณ logay x= อานวา ลอการทม x ฐาน a แทนความหมายวา yx a= ตวอยาง

102A = จะเขยนในรปลอการทมไดดงน 210 log A= (ลอการทม A ฐาน 2) นนคอ 2log2 AA =


• ถาฟงกชนลอการทมมฐานเปน 10 เรยกวา ลอการทมสามญ (Common logarithm) นยมเขยน log x โดยไมเขยนฐาน

• ถาฟงกชนลอการทมมฐานเปน เรยกวาลอการทมธรรมชาต (Natural logarithm / Napierian logarithm) ใชสญลกษณ แทน

2.718...e ≈

ln x loge x

ลกษณะกราฟของฟงกชนลอการทม ขนอยกบคาฐาน a เชนเดยวกบฟงกชนเอกซโพเนนเชยล

y=log(3/2,x)

y=log(e,x)

y=log(10,x)

1

ถา a อยในชวง (1,∞ ) แลว ( ) logaf x x= จะเปนฟงกชนเพม

y=log(2/3,x)

y=log(1/10,x)

ถา a อยในชวง (0,1) แลว ( ) logaf x x= จะเปนฟงกชนลด

• ฟงกชนลอการทม ม โดเมน คอ เซตของจานวนจรง fD += เรนจ คอ เซตของจานวนจรงบวก fR =

1

log(10, )x เปนสญลกษณในการใชงานโปรแกรมวาดกราฟ Winplot หมายถง 10log x


กราฟของฟงกชน จะตดแกน x ทจด (1,0) เสมอ

• ฟงกชนลอการทม เปนฟงกชน 1 – 1 จาก + ไปทวถง นนคอ log loga ax y= กตอเมอ x = y

5. สมบตของฟงกชน Logarithm 1. log 1a a =

2. lo g 1 0a =

3. log log loga a axy x= + y

a

4. log ( / ) log loga ax y x= − y 5. log logy

a ax y x=

6. log log / loga b bx x= a เปนการเปลยนฐานลอการทมเปนจานวนบวก b ใดๆทไมใช 1 Note

1. 1log logy aax x

y=

2. loga xa x=

ตวอยาง - 100(log 10)(log )x x มคาเทากบเทาไหร

100log10 log log10 log10 1 1(log 10)(log )log log100 log100 log10 10 log10 log10 2x

xxx

= × = = = =× +

- 122

4 2

1 1log 144log 144 log 1442 22 2 2 (144) 144 12= = = = = *คา logarithm ทนาสนใจ

1. 10 10log 2 1 log 5 0.3013= − =

2. ( เพราะ 10 10log 5 1 log 2 0.69895= − = 10 10 10 101 log 10 log 2 5 log 2 log 5= = × = + ) 3. 10log 3 0.47711=


6. แอนตลอการทม (Antilogarithm) ถามคาลอการทมมาใหหนงจานวน เราสามารถหาไดวาเลขจานวนนนเปนลอการทมของเลขอะไร(คอกาหนด

log x มา ใหหาคาของ x) โดยใชการยกกาลง (exponent) เรยกวาการหาแอนตลอการทม (antilogarithm) เชนถาใหลอการทมสามญ lo สามารถหาคา x ไดเปน g 2.1x = 2.110

( ) ซงในทางปฏบตแลวการนาเลขทไมใชจานวนเตมมายกกาลงทาไดยากถาไมมเครองคานวณ ดงนนวธทนยมใชกนคอ การใชตารางคาลอการทม

2.1log(2.1) 10anti =

7. การหาลอการทมสามญโดยใชตาราง

จากสมบตของจานวนจรงทวา จานวนจรง x ใดๆสามารถเขยนอยในรป โดยท 1 และ n เปนจานวนเตมไดเสมอ ดงนนในการหาลอการทมสามญ

10na× 1a≤ < 0

log x log( 10 )na= × logn a= + โดยท มคาอยในชวง [0,1) เสมอ การทาตารางคาลอการทมของจานวนจรงใดๆจงมเฉพาะสวนทเปน a เทานนเพอเปดหาคา

สวนคา n ใชพจารณาจากจานวนหลกเลข เชน

log a

log a

ตองการหา ทาไดโดยแยก 365 = จะเหนวา n คอ 2 แลวเปดตารางเฉพาะ

ไดเทากบ 0.562 นามารวมกบ n จงได = 2.562 log 365 23.65 10× log 3.65

log 365

เพราะ 2 2log 365 log(3.65 10 ) log3.65 log10 log3.65 2log10 0.562 2(1) 2.562= × = + = + = + =

8. แมนทสซา (Mantissa) และคาแรกเทอรสตก (Characteristic)

สวนทเปนจานวนเตมในคาลอการทมสามญของจานวนจรงใดๆ เรยกวาคาแรกเทอรสตก (Characteristic) และสวนทเปนเลขทศนยมเรยกวา แมนทสซา (Mantissa) เชน lo มคาแรกเทอรสตก 2 และ แมนทสซา 0.562 g 365

ทงสองคานมประโยชนในการพจารณาวาตวเลขทกาหนดใหมกหลก และมคาประมาณคราวๆเปนเทาใด เชน การหาคาโดยตรงจะเสยเวลามาก เราใชการประมาณหลกเลขโดยหาคาลอการทมสามญ แลวพจารณาหลกเลขจากคาแรกเทอรสตก

583

58log3 = มคาประมาณ 58log 3 58 0.4771× = 27.6718 27 0.6718= + คาแรกเทอรสตก เทากบ 27 ดงนนเลขนม 28 หลก (เพราะเลข 10 จะม n+1 หลก เชน =100 มสามหลก) n 210

แมนทสซา(ประมาณ) เทากบ 0.6718 จาก และ 58 27 0.67183 10 += 0.671810 log(0.6718) 4.697anti= =

จะไดวา มคาประมาณ ซงเรวกวาการคานวณโดยตรงมาก 583 274.697 10×

9. การหาแอนตลอการทมสามญโดยใชตาราง เราตองเขยนคาทอยในแอนตลอการทมใหอยในรปของ คาแรกเทอรสตก + แมนทสซา เสยกอนแลวจงคอยเปดตาราง เชน ตองการหาคาของ A เมอ นนกคอตองการหา นนเอง log 2.1A = log(2.1)antiพจารณา นนคอ lo ซงจะไดวา จากนนเปดตารางหาคา ซงมคาประมาณ 1.258925 ดงนน

log 2.1A = g 2 0.1A = + 2 0.110 10 log(0.1) 10A anti= × = × 2

log(0.1)anti 21.258925 10 125.89A ≈ × =


10. การแกสมการและอสมการลอการทม ใชหลกการเดยวกบสมการเอกซโพเนนเชยล คอปรบฐานของลอการทมใหเทากน แลวใชสมบตทวาlog loga ax y= กตอเมอ x = y จดสมการใหมใหไมมลอการทมแลวแกสมการตามปรกต ขอแตกตางทเพมเตมจากสมการ(หรออสมการ)เอกซโพเนนเชยลคอ เนองจากโดเมนของฟงกชนลอการทมเปนจานวนจรงบวก ดงนนจานวนทอยใน log จะตองมากกวา 0 เชน จะตองกาหนดไวกอนวา

และ ตองมากกวา 0 แลวจงหาคาตอบของอสมการ 3log 2 log( 2)x x> − 2x

3 2x −

Reference



เรขาคณตวเคราะห สอนโดย ชวลต ตงคบร (กอลฟ)


ระยะทางระหวางจด 2 จด จดกงกลางระหวางจด 2 จด จดแบงของเสนตรง เสนมธยฐานและจดตดของเสนมธยฐาน การหาพนทของรปหลายเหลยม ความชนของเสนตรง เสนตรงขนานกนและตงฉากกน มมระหวางเสนตรง 2 เสน สมการเสนตรง ระยะทางระหวางจดถงเสนตรง ระยะทางระหวางเสนคขนาน

ระยะทางระหวางจด 2 จด ใหจด และ เปนจดปลายของสวนของเสนตรง ( )11, yxP ( 22 , yxQ )

จากทฤษฎบทของพธากอรส จะได ( ) ( ) 2

212

21 yyxxPQ −+−=

จดกงกลางระหวางจด 2 จด ใหจด P ( , )x y เปนจดกงกลางระหวาง ( )11, yxA กบ ( )22 , yxB

จะได ( ) ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ ++

=2

,2

, 2121 yyxxyxP

จดแบงสวนของเสนตรง ให เปนจดบนสวนของเสนตรง ( yxP , ) ( )11, yxA กบ ( )22 , yxB โดย nmPBAP :: =

( ) ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

++

++

=mnmyny

mnmxnxyxP 2121 ,,

ANALYTIC GEOMETRY หนา 43 ชวลต ตงคบร

เสนมธยฐานและจดตดของเสนมธยฐาน เสนมธยฐาน คอ สวนของเสนตรงทลากจากจดยอดของสามเหลยมมาแบงครงฐาน การหาจดตดของเสนมธยฐาน

ให , ( )11, yxA ( )22 , yxB และ ( )33 , yxC เปนจดยอดของสามเหลยม ม เปนจดตดของเสนมธยฐาน

ABC ( yxP , )

( ) ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ ++++

=3

,3

, 321321 yyyxxxyxP

โดย 21

===PF

CP

PE

BP

PD

AP

การหาพนทของรปหลายเหลยม

วธทา 1. นาจดยอดของรปเหลยมมาเขยนเรยงในแนวตงในทศทวนเขมนาฬกา 2. ปดทายดวยจดยอดแรก 3. พนทของรปเหลยมจะเทากบครงหนงของผลบวกของผลคณทแยงลง ลบดวยผลบวกของผลคณ

ทแยงขน

พนทสามเหลยม ABC =

1 1

2 2

3 3

4 4

12

x yx yx yx y

= 1 2 2 3 3 1 2 1 3 2 1 31 (( ) ( ))2

x y x y x y x y x y x y+ + − + +


ความชนของเสนตรง ให l เปนเสนตรงทผานจด และ ( )111 , yxP ( )222 , yxP โดยท 21 xx ≠ ความชนของเสนตรง คอ

lm

โดยท 21

21

xxyym

−−

= หรอ 12

12

xxyym

−−

= , 21 xx ≠

เสนตรงขนานกนและตงฉากกน

ถา มความชนเทากบ และ มความชนเทากบ โดยท และ ไมเทากบ 0 แลวจะไดวา

1l 1m 2l 2m 1m 2m

1. ถา ขนานกบ แลว 1l 2l 21 mm = 2. ถา ตงฉากกบ แลว 1l 2l 121 −=⋅mm

มมระหวางเสนตรง 2 เสน

21

21

1tan

mmmm

+−

=θ

สมการเสนตรง

- รปทวไป เมอ คอ ความชน b คอ คาตดแกน bmxy += m y- รปมาตรฐาน 0=++ CByAx

จะได BAm −= ,

BCb −=

- จะเขยนสมการเสนตรงจะตองรจด 1 จด และความชน จะได ( )11 xxmyy −=−


ระยะทางจากจดถงเสนตรง ให เปนระยะทางระหวางจด d ( )11, yx ถาเสนตรง 0=++ CByAx

22

11

BA

CByAxd

+

++=

ระยะทางระหวางเสนคขนาน

ให เปนระยะทางระหวางเสนคขนาน d : 1L 01 =++ CByAx : 2L 02 =++ CByAx

22

21

BA

CCd

+

−=

Reference



ภาคตดกรวย สอนโดย ชวลต ตงคบร (กอลฟ)


การเลอนแกนทางขนาน วงกลม วงร พาราโบลา ไฮเพอรโบลา

การเลอนแกนทางขนาน

ในบทตอไปนจะเปนการศกษาเกยวกบรปเรขาคณตแบบตางๆ ซงสมการอยางงายของแตละรปจะกาหนดจดศนยกลางของรปนนไวทจดกาเนด ทาใหงายตอการศกษาและจดจา แตหากยายจดศนยกลางรปไปไวทตาแหนงอน สมการจะซบซอนขนมาก การเลอนแกนทางขนานมบทบาทสาคญในการจดรปสมการทซบซอนเหลานนใหงายขน

(0,0)

เมอมสมการของกราฟใดทอยในรปตวแปร X และ y (หรออาจม z ดวยถาเปนกราฟในสามมต) ถาแทนทตวแปร x ดวย (x-h) และแทนท y ดวย (y-k) หลงจากแทนทแลว กราฟจะมรปรางคงเดม แตเปลยนตาแหนงไป คอเลอนไปทางขวา h หนวย และเลอนขนขางบน k หนวย (ถา h หรอ k เปนลบ การเลอนกจะกลบทศกน) สมมตวาพจารณาจดเพยงจดเดยว เชน ( , )x y มพกด (2 สมการของจดนคอ ,3) 2x = และ ถาแทนท x ดวย x-1 และแทนท y ดวย y+2 จะไดวา สมการใหมคอ และ

3y =1 2x − = 2 3y + = ซงจะไดจดใหมทเลอนไปจากเดมแลวคอ ซง

เลอนไปทางขวา 1 หนวย( ) และเลอนลงจากเดม 2 หนวย((3,1)

1h = 2k = − )

หากสมการไมไดมเพยงจดเดยวและเปนรปวงกลมหรอรปอนๆ จะพบวาทกจดมการเลอนเหมอนๆกนหมด จงไดรปใหมทเลอนจากเดมเปนระยะ h และ k ดงกลาว

วงกลม (Circle) วงกลม คอ เซตของจดบนระนาบ ซงอยหางจากจดคงทจดหนงเปนระยะทางเทากนเสมอ โดยจดคงทนนเรยกวา จดศนยกลาง ของวงกลม และระยะคงทเรยกวา รศม ของวงกลม Concept เกยวกบวงกลม

CONIC SECTION หนา 47 ชวลต ตงคบร

1. สมการของวงกลมทมจดศนยกลางทจดกาเนด และมรศมเทากบ r คอ 222 ryx =+

2. สมการของวงกลมทมจดศนยกลางท และมรศมเทากบ ( kh, ) r คอ ( ) ( ) 222 rkyhx =−+− 3. มกเขยนกระจายเปนรปทวไปคอ เมอ 022 =++++ CByAxyx A , B , C ซงจะไดวา จด

ศนยกลางของวงกลม คอ

∈

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −−

2,

2BA และ

22

22⎟⎠⎞

⎜⎝⎛+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛+−=

BACr

4. ระยะทางสนทสดและระยะทางยาวทสดจากจดคงทจดหนงไปยงวงกลม o ระยะทางสนทสดคอระยะจากจด P ถงจดศนยกลาง ลบดวยรศมวงกลม o ระยะทางยาวทสดคอระยะจากจด p ถงจดศนยกลาง บวกดวยรศมวงกลม

จากรป ระยะทางสนทสด OQPOPQ −== ( ) ( ) rkbha −−+−= 22 และระยะทางยาวทสด ORPOPR +== ( ) ( ) rkbha +−+−= 22 5. คณสมบตทนาสนใจเกยวกบเสนสมผสวงกลม

- เสนสมผส คอ เสนตรงทตดกราฟเพยงจดเดยว ซงจดนเรยกวา ” จดสมผส ” - เสนสมผสของวงกลม จะตงฉากกบเสนตรงทลากจากจดศนยกลางวงกลมไปยงจดสมผสเสมอ

6. กาหนดจด กบวงกลม สมการ ( 11, yxP ) C 2 2 0x y Ax By C+ + + + =

ระยะทางระหวางจด ถงจดสมผสวงกลม คอ P Q

CByAxyxPQ ++++= 1121

21


พาราโบลา (Parabola)

พาราโบลา คอ เซตของจดทกจดบนระนาบ ซงทกจดในเซตอยหางจากจดคงทจดหนงเทากบระยะหางจาก เสนตรงคงทเสนหนงเสมอ

Concept เกยวกบพาราโบลา

จดคงท เรยกวา จดโฟกส (Focus) เสนตรงคงท เรยกวา เสนไดเรกตรกซ เสนลาตสเรกตม (Latus rectum) คอ เสนตรงทลากผานจด Focus และตงฉากกบแกนของรป แกนของรปหรอแกนสมมาตร คอ เสนตรงทลากผานจดยอดและผานจด Focus

รปแบบของพาราโบลาทมจดยอดอยทจด ( )0,0


สรป

cyx 42 = รปสมการ cxy 42 = ( )0,0V ( )cF ,0

cy −= c4

รปหงาย (เปดบน) รปควา (เปดลาง) ( ) ( cccc ,2,,2− )

จดยอด จดโฟกส

สมการเสนไดเรกตรกซ ความยาวเสนลาตสเรกตม

ถา 0>c

0<c จดปลายเสนลาตสเรกตม

( )0,0V ( )0,cF

cx −= c4

รปตะแคงขวา (เปดขวา) รปตะแคงซาย (เปดซาย) ( ) ( )cccc 2,,2, −

จากหลกการเลอนแกนทางขนานจงไดวา ถาพาราโบลามจดยอดทจด ( )kh, ใด ๆ แลวจะมรปสมการดงน

- พาราโบลาหงาย ( ) ( )kychx −=− 42 เมอ 0>c- พาราโบลาควา ( ) ( )kychx −=− 42 เมอ 0<c- พาราโบลาตะแคงขวา ( ) ( )hxcky −=− 42 เมอ 0>c- พาราโบลาตะแคงซาย ( ) ( )hxcky −=− 42 เมอ 0<c

วงร (Ellipse)

วงร คอ ทางเดนของจดทกจดบนระนาบซงผลบวกของระยะทางจากจดเหลานไปยงจดคงทสองจดมคาคงทเสมอ Concept เกยวกบวงร

จด A และ A’ เรยกวา จดยอด ของวงร จด F และ F’ เรยกวา จดโฟกส ของวงร สวนของเสนตรง AA’ ซงลากผานจดโฟกส และจดยอดทงสองของวงร เรยกวา แกนเอก ยาว a2 จด O ซงอยตรงกลางของ AA’ เรยกวา จดศนยกลาง ของวงร สวนของเสนตรง BB’ ซงลากผานจดศนยกลางของวงร และตงฉากกบแกนเอก เรยกวา แกนโท ยาว b2 = ความยาวครงแกนเอก a b = ความยาวครงแกนโท c = ความยาวครงหนงของระยะระหวางจดโฟกสทงสองของวงร โดย , , c มความสมพนธ คอ a b 222 cba +=


วงรทมจดศนยกลางอยทจดกาเนด จะมรปกราฟทเปนไปไดทงหมด 2 แบบ ดงน

วงรนอน มรปสมการ คอ 12

2

2

2

=+by

ax

วงรตง มรปสมการ คอ 12

2

2

2

=+ay

bx

จากหลกการเลอนแกนทางขนานจงไดวา ถาวงรมจดศนยกลางทจด ( )kh, ใด ๆ แลวจะมรปสมการดงน

- วงรนอน ( ) ( ) 12

2

2

2

=−

+−

bky

ahx

- วงรตง ( ) ( ) 12

2

2

2

=−

+−

aky

bhx

ขอสงเกต - ถาแกนเอกและแกนโทมความยาวใกลเคยงกนมากขนเรอยๆ c (ครงหนงของระยะหางระหวางจดโฟกส)จะมคานอยลง และเมอ

ทงสองแกนยาวเทากน จดโฟกสสองจดจะกลายเปนจดเดยวกน และจะไดรปวงกลม - จดโฟกสทงสองจะอยบนแกนทยาวกวาเสมอ

ไฮเพอรโบลา (Hyperbola) ไฮเพอรโบลา คอ เซตของจดบนระนาบ ซงผลตางของระยะทางจากจดใด ๆ ในเซตนไปยงจดคงทสองจดมคาคงตวเสมอ โดยจดคงท เรยกวา จดโฟกส ของไฮเพอรโบลา และคาคงตวนมคาเทากบ a2


ผลตางของระยะทางจากจดใด ๆ ไปยงจดโฟกสทงสองของไฮเพอรโบลา aPEPF 2' =−=

Concept เกยวกบไฮเพอรโบลา จด A และ A’ เรยกวา จดยอด ของไฮเพอรโบลา จด F และ F’ เรยกวา จดโฟกส ของไฮเพอรโบลา

- สวนของเสนตรง AA’ ซงลากผานจดโฟกส และจดยอดทงสองของไฮเพอรโบลา เรยกวา แกนตามขวาง ยาว a2- จด O ซงอยตรงกลางของ AA’ เรยกวา จดศนยกลาง ของไฮเพอรโบลา - สวนของเสนตรง BB’ ซงลากผานจดศนยกลางของไฮเพอรโบลา และตงฉากกบแกนตามขวาง เรยกวา แกนสงยค ยาว b2

= ความยาวครงแกนตามขวาง a = ความยาวครงแกนสงยค b = ความยาวครงหนงของระยะระหวางจดโฟกสทงสองของไฮเพอรโบลา c

โดย , , c มความสมพนธกน คอ a b 222 bac +=

ไฮเพอรโบลาทมจดศนยกลางอยทจดกาเนด จะมรปกราฟทเปนไปไดทงหมด 2 แบบ ดงน


ไฮเพอรโบลานอน มรปสมการ คอ 12

2

2

2

=−by

ax

มสมการเสนกากบ คอ xaby ±=

ไฮเพอรโบลานอน มรปสมการ คอ 12

2

2

2

=−bx

ay

มสมการเสนกากบ คอ xbay ±=

จากหลกการเลอนแกนทางขนานจงไดวา ถาไฮเพอรโบลามจดศนยกลางทจด ( )kh, ใด ๆ แลว จะมรปสมการ ดงน

- ไฮเพอรโบลานอน ( ) ( ) 12

2

2

2

=−

−−

bky

ahx

ซงมสมการเสนกากบ คอ ( ) ( )hxabky −±=−

- ไฮเพอรโบลาตง ( ) ( ) 12

2

2

2

=−

−−

bhx

aky

ซงมสมการเสนกากบ คอ ( ) ( )hxbaky −±=−

Reference



แคลคลส สอนโดย สธรกษ ฤกษด (รกษ)


ลมต ความตอเนอง อนพนธ ความชนของกราฟ กฎลกโซ อนพนธอนดบสอง คาสงสด-คาตาสดสมพทธ ความเวาของเสนโคง ปรพนธไมจากดเขต ปรพนธจากดเขต การหาพนทใตกราฟ

1. ลมต (Limits) ลมตของฟงกชน เมอ x เขาใกล a จากทางซาย คอ L ถา มคาเขาใกล L เมอ x มคาเขาใกล a โดยท x นอยกวา a

(เขยนแทนดวยสญลกษณ f ( )f x

lim ( )x a

f x−→

= L) ทานองเดยวกน lim ( )x a

f x+→

= M เปนลมตจากทางขวา ลมตของฟงกชน เมอ x มคาเขาใกล a จะหาคาได และมคาเทากบ L เมอ f lim ( ) lim ( )

x a x af x f x

− +→ →L= =

คณสมบตเกยวกบลมต กาหนด f(x) หาคาไดเทากบ L, g(x) = M และ

ax→lim

ax→lim Rk ∈ จะไดวา

1. li (x a

kf = k lim )x→

m ( )x a

f x→

= kL 2. l ( )

x aim( = lim ( )

x af x

→ ± = L lim ( )

x ag x

→± M ( ))f x g x

→±

3. li (x a

m ) ( )f x g x→

= [lim ( )]x a

f x→

[lim ( )]x a

g x→

= LM

4. limax→

( )( )

f xg x

= lim ( )

lim ( )x a

x a

f x

g x→

→

= LM

เมอ 0≠m

ถา เปนฟงกชนพหนาม จะไดวา ( )f x lim ( )x a

f x→

= ( )f a

ถา และ เปนฟงกชนพหนาม และ ( )f x ( )g x ( )g a 0≠ จะไดวา ax→

lim)()(

xgxf =

)()(

agaf

ถา lim ( )x a

f x→

หาคาไดเทากบ L จะไดวา ax→

lim n xf )( = nax

xf )(lim→

= n L

2. ความตอเนอง (Continuity) ฟงกชน จะตอเนอง ทจด (Continuous at a) กตอเมอ f x a=

1. หาคาได ( )f a2. lim ( )

x af x

→ หาคาได

3. lim ( ) ( )x a

f x f a→

=

CALCULUS หนา 54 สธรกษ ฤกษด

3. อนพนธของฟงกชน (Derivative)

อตราการเปลยนแปลงเฉลย (Rate of Change) อตราการเปลยนแปลงเฉลยในชวง x ถง x +h เมอ h 0≠ คอ

hxfhxf )()( −+

อนพนธของฟงกชน ทตาแหนง x ใด ๆ คอ อตราการเปลยนแปลงของ y เทยบกบ x ณ ตาแหนงนน ซงเทากบอตราการเปลยนแปลงเฉลยของ y เทยบกบ x ในชวงสนๆระหวางตาแหนง x กบตาแหนงถดจาก x ไปเลกนอย ( )

( )y f x=

x x+∆

0lim→∆x x

xfxxf∆

−∆+ )()(

อนพนธของฟงกชน y = f(x) เขยนแทนดวยสญลกษณ y ′ หรอ )(xf ′ หรอ dxdy

∴dxdy = = = y′ )(xf ′

0lim→∆x x

xfxxf∆

−∆+ )()(

ทฤษฎบทเกยวกบการหาอนพนธของฟงกชน ให u, v และ w เปนฟงกชนของ x และ c เปนคาคงท จะไดวา

1. dxdc = 0 อนพนธของคาคงท เทากบ 0

2. dxdx = 1 อนพนธของ x เทากบ 1

3.dx

udc )( = cdxdu

4. dx

wvud )( −+ = dxdu +

dxdv -

dxdw

5. dxud n )( = n 1−nu

dxdu อนพนธของฟงกชนพหนาม เรยกวา (Power Rule)

6. dxuvd )( = u

dxdv + v

dxdu อนพนธของฟงกชนทเปนผลคณ (Product Rule)

7. dxvud ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

= 2vdxdvu

dxduv ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −

อนพนธของฟงกชนทเปนผลหาร (Quotient Rule)

4. ความชนของกราฟของฟงกชน (Slope)

ความชนของเสนโคง ณ จด P กคอความชนของเสนสมผสเสนโคงนน ทจด P มคาเทากบอนพนธของฟงกชน ณ ตาแหนง

P หาไดจาก x p

dydx =

ซงหมายถงการนาคา P แทนลงในอนพนธของ y


5. กฎลกโซ (Chain Rule)

ถา y เปนฟงกชนของ t ( y = f(t)) และ t เปนฟงกชนของ x ( t = g(x)) เราหา dxdy ไดโดย

dxdy = ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

dxdt

dtdy

6. อนพนธอนดบสอง (Second Derivative)

คอการนาอนพนธของฟงกชนไปหาอนพนธอกครงหนง

เขยนแทนดวย ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛2

2

dxyd หรอ y ′′ หรอ หรอ )(xf ′′

dxd

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

dxdy

7. คาสงสดและคาตาสดสมพทธ (Relative Minimum - Maximum)

บทนยาม เราจะกลาววาฟงกชน มคาสงสดสมพทธทจด a ถา มคามากกวาจดใกลเคยงทงทางซายและทางขวาเรยกจด a วาเปนจดสงสดสมพทธ และเรยก f(a) วาคาสงสดสมพทธ

( )y f x= ( )f a

บทนยาม เราจะกลาววาฟงกชน มคาตาสดสมพทธทจด a ถา มคามากกวาจดใกลเคยงทงทางซายและทางขวาเรยกจด a วาเปนจดตาสดสมพทธ และเรยก f(a) วาคาตาสดสมพทธ

( )y f x= ( )f a

7.1 วธการหาคาสงสดและคาตาสดของฟงกชน y = f(x) 1. หาอนพนธของ y เทยบกบ x,

dxdy = )(xf ′

2. ให dxdy = 0 แลวแกสมการหาคาของ x คาทหาไดเรยกวา จดวกฤต (Critical Point)

3. ทดสอบคาวกฤตททาให f(x) มคาสงสดหรอตาสด 7.2 การทดสอบคาสงสดหรอตาสด วธท 1 ทดสอบโดยใชอนพนธอนดบ 1 ทาไดดงน สมมตวา a เปนจดวกฤต

1. จะเปนคาสงสดเมอ ( )f a

แทนคา x โดยท x > a ลงใน )(xf ′ แลวได )(xf ′ < 0 แทนคา x โดยท x < a ลงใน )(xf ′ แลวได )(xf ′ > 0

2. จะเปนคาตาสดเมอ ( )f a


แทนคา x โดยท x > a ลงใน )(xf ′ แลวได )(xf ′ > 0 แทนคา x โดยท x < a ลงใน )(xf ′ แลวได )(xf ′ < 0

วธท 2 ทดสอบโดยใชอนพนธอนดบสอง ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡′′ )(2

2

xfordx

yd

มวธการดงน หา dxdy แลวจบให

dxdy = 0 เพอหาคาวกฤต

สมมตวาไดคาวกฤต x = a ทาการตอดงน 1. หาคา )(xf ′′

2. แทนคา x = a ใน )(xf ′′ โดยพจารณาดงน ถา > 0 → เปนคาตาสดสมพทธ )(af ′′ ( )f a

ถา < 0 → เปนคาสงสดสมพทธ )(af ′′ ( )f aถา = 0 จะใชวธนทดสอบไมได คออาจเปนอยางใดอยางหนง หรอไมใชทงคาตาสดและสงสดกได

)(af ′′

8. ความเวาของเสนโคง (Concavity) ให เปนฟงกชนทหาอนพนธไดบนชวง (a,b) ถา ( )f x )(xf ′ เปนฟงกชนเพมบนชวง (a,b) แลว จะเวาแบบหงาย

(Concave Upward) และ มคาเปนบวก บนชวง (a,b) แตถา f

"( )f x )(xf ′ เปนฟงกชนลดบนชวง (a,b) แลว จะเวาแบบควา (Concave Downward) บนชวง (a,b) และ มคาเปนลบ

f

"( )f x ความหมายของการเวาแบบหงายคอ ความชนกราฟของฟงกชนกาลงเพมขน (โดยอาจเปนฟงกชนเพมหรอลดกได) สวนการเวาแบบควาคอ ความชนกราฟของฟงกชนกาลงลดลง (โดยอาจเปนฟงกชนเพมหรอลดกได) ซงเปนเหตผลวาเราสามารถตรวจสอบจดวกฤตวาเปนจดสงสดหรอตาสดสมพทธไดโดยใชอนพนธอนดบสอง

กราฟของฟงกชนเวาแบบหงาย กราฟของฟงกชนเวาแบบควา การหาปรพนธและการประยกต (Integration with Application)

9. ปรพนธไมจากดเขต (Indefinite Integral) บทนยาม 1. สมการทมอนพนธของฟงกชนรวมอยดวย เรยกวา สมการเชงอนพนธ (Differential Equation) เชน

dxdy = 2x,

dxdy = 3x2y

2. ฟงกชน y = F(x) เปนคาตอบของสมการเชงอนพนธ dxdy = f(x) ถา

dxxdF )( = f(x) หรอกลาววา F(x) เปนปรพนธของ f(x)

เทยบกบ x เชน y = x2 เปนคาตอบของ 2dy xdx

= หรอ 2y x= เปนปรพนธของ 2x เทยบกบ x


ทฤษฎบทเกยวกบการหาปรพนธเมอ a และ c เปนคาคงท 1. = u + c ดงนน ∫ du ∫ du0 = c 2. = a ∫ adu ∫ du

3. = ( )∫ ± dvdu ∫ du ± ∫ dv

4. = + - ( )∫ −+ dxwvu ∫ du ∫ dv ∫ dw

5. = ∫ dxxn

1

1

+

+

nxn

+ c ; n -1 ≠

10. ปรพนธจากดเขต (Definite Integral)

ปรพนธจากดเขตของฟงกชน จาก x = a ถง x = b ใชสญลกษณ ซงถามฟงกชน ทอนพนธของ คอฟงกชน

แลว =

f ∫b

adxxf )( F F

f ∫b

adxxf )( ( ) ( )F b F a−

โดยท a เรยกวาลมตลาง (Lower Limit) และ b เรยกวาลมตบน (Upper Limit) สมบตของปรพนธจากดเขต

1. = - ∫b

adxxf )( ∫

a

bdxxf )(

2. = 0 ∫a

adxxf )(

3. = + ∫b

adxxf )( ∫

c

adxxf )( ∫

b

cdxxf )(

4. ถา k เปนคาคงท และ f เปนฟงกชนหาปรพนธไดบนชวง bxa ≤≤ แลว = k ∫b

adxxkf )( ∫

b

adxxf )(

5. ถา f และ g เปนฟงกชนทหาปรพนธไดบนชวง bxa ≤≤ แลว [ ]∫ ≤ + ∫ +

b

adxxgxf )()( ∫

b

adxxf )(

b

adxxg )(

6. ถา f(x) g(x) บนชวง และถา f และ g เปนฟงกชนทหาปรพนธไดบนชวงนแลว ≤ bxa ≤≤

∫ b

adxxf )( ≤ ∫

b

adxxg )(

7. ถา f(x) = c สาหรบทก ๆคาของ x บนชวง bxa ≤≤ แลว = ∫b

adxxf )( ( )abc −

11. การหาพนทใตกราฟ


พนทภายใตเสนโคง หมายถง พนทซงอยระหวางเสนโคง ( )y f x= และแกน x ซงปดดานซายดวยเสนตรง x a=

และปดดานขวาดวยเสนตรง โดยท dA คอพนทยอยในบรเวณเลก ๆ x b=

∫ dA = ∫ ydx

A = b

aydx∫

จงกลาวไดวาปรพนธจากดเขตจาก a ถง b เทากบ ( )b

af x dx∫ คอ พนททอยใตเสนโคง y = f(x) ซงอยเหนอแกน x

จาก x = a ถง x = b ซงถา ( )b

af x dx∫ มคาตดลบ แสดงวากราฟของฟงกชน อยใตแกน x f

Reference



ระบบจานวนจรง สอนโดย เอกวจน เชาววชารตน (เอก)


สมบตของจานวนจรง ทฤษฎเกยวกบการแยกตวประกอบพหนาม และสมการพหนาม อสมการ คาสมบรณ

เซตของจานวนจรงประกอบดวยโครงสรางดงน - เซตของจานวนตรรกยะ คอเซตของจานวนทสามารถเขยนเปนเศษสวน(ทมเศษและสวนเปนจานวนเตม)ได

ประกอบดวยจานวนเตม (บวก ศนย ลบ) ทศนยมซา - เซตของจานวนอตรรกยะ คอจานวนทไมสามารถเขยนอยในรปเศษสวนทมเศษและสวนเปนจานวนเตมได

1. สมบตของจานวนจรง ให a, b และ c เปนจานวนจรง

- สมบตการเทากน ไดแก 1. สมบตสะทอน คอจานวนจรงทกตวจะเทากบตวมนเอง a = a 2. สมบตสมมาตร a = b กตอเมอ b = a 3. สมบตถายทอด ถา a = b และ b = c แลว a = c 4. สมบตการบวกและคณดวยจานวนทเทากน ถา a = b แลว c + a = c + b และ ca = cb

- สมบตการบวกและการคณ ไดแก 1. การมเอกลกษณ (Identity) มเลข 0 เปนเอกลกษณการบวก และเลข 1 เปนเอกลกษณการคณ 2. การมอนเวอรส (Inverse)

สาหรบจานวนจรง a จะม –a (อนเวอรสการบวก: Additive inverse) ซงบวกกบ a แลวไดเอกลกษณการบวกคอ 0

ถา a 0 จะม ≠ 1a (หรอ 1a− )(อนเวอรสการคณ: multiplicative inverse) ซงคณ

กบ a แลวไดเอกลกษณการคณคอ 1 เรยกการบวกดวยอนเวอรสการบวกวา การลบ และเรยกการคณดวยอนเวอรสการ

คณกวา การหาร (ตอไปเมอกลาวถงการบวกและการคณ จะรวมถงการลบและการหารดวย)

3. สมบตปด (Closure property )เมอนาจานวนจรงมาบวกหรอคณกน จะไดผลลพธเปนจานวนจรงเสมอ

4. สมบตสลบท (Commutative property) การบวกและการคณสามารถสลบตาแหนงกนได ซงไดผลลพธเทากน

REAL NUMBER หนา 60 เอกวจน เชาววชารตน

5. สมบตการเปลยนกลมได (Associative property) เมอมการบวก(หรอคณ)กนมากกวาสองจานวน สามารถบวก(หรอคณ)จานวนคใดกอนกได

( ) ( )a b c a b c+ + = + + ( ) ( )a bc ab c=

6. สมบตการแจกแจง ( )a b c ab ac+ = +

สบเซตบางเซตของจานวนจรงมสมบตบางขอเทานน เชน เซตของจานวนจรงบวก มสมบตปดของการบวกและการคณและมเอกลกษณและอนเวอรสของการคณเทานน แตไมมเอกลกษณและอนเวอรสของการบวก

2. ทฤษฎเกยวกบการแยกตวประกอบพหนาม และสมการพหนาม ทฤษฎบทเศษเหลอ (Remainder Theorem)

ถามพหนามตวแปรเดยว (เชน ( )P x 4 3 25 6 4 8x x x x+ − + − ) หารดวย (เชน หมายถงคา c เทากบ 5) จะไดวา เศษจากการหารมคาเทากบ (คอการเอาตวเลข c เขาไปแทนคาในตวแปร

x) นนคอ เศษจากการหาร

x c− 5x −

( )P c4 3 25 6 4 8x x x x+ − + − ดวย 5x − มคาเทากบ คอ

นนเอง (5)P

4 3 25(5) 6(5) 4(5) (5) 8+ − + −

ทฤษฎบทตวประกอบ (Factor Theorem) ถาเศษจากการหาร ดวย มคาเทากบ 0 แลว เรยกวา ( )P x x c− หาร ลงตว หรอกลาววา

เปนตวประกอบหนงของพหนาม และเรยก c วาเปนคาตอบ (หรอราก: Root) ของสมการพหนาม

( )P x x c−

( )P x

( ) 0P x =

ถาตองการแยกตวประกอบของ วธหนงทจะทาใหไดตวประกอบทงหมดกคอ หาคา c ททาให ออกมาใหไดตวหนง แลวเอา

( )P x( ) 0P c = x c− ตวนนหารออกจาก พหนามทเหลอกนามาทาแบบนซาๆ

จนได c ตวอนๆอกจนครบ อยางไรกตามในกรณทพหนามไมสามารถหาคาตอบทเปนจานวนจรงไดกไมสามารถ

หาคา c ออกมาได

( )P x

ทฤษฎบทตวประกอบจานวนตรรกยะ (Rational root theorem) ถา kx

m− (ซงกคอ เมอ เปนจานวนตรรกยะ)เปนตวประกอบของพหนาม

ซงม สมประสทธ ax c− c

1 11 1( ) ...n n

n nP x a x a x a x a−−= + + + + 0 0 ถง an เปนจานวนเตม แลว k เปนตว

ประกอบของ และ m เปนตวประกอบของ 0a na

แตถาทาคา km

เหลานมาทดสอบดวยทฤษฎบทตวประกอบหมดทกตวแลวไมมตวใดทใหคา

แสดงวาพหนามดงกลาวไมมรากทเปนจานวนตรรกยะ (แตอาจเปนจานวนอตรรกยะหรอจานวน

เชงซอนได) เชน

( ) 0P c =

3 2( ) 4 8 6 3P x x x x= − + − จะไดวา คาราก c ในรปของเศษสวน km

ทเปนไปไดคอ 3 3 1 1, , , , 1,2 4 4 2

± ± ± ± ± ±3 (เศษ k เปนตวประกอบของ 3 และตวสวน m เปนตวประกอบของ 4) แตเมอ


ทดสอบดพบวาไมมตวใดททาให เลย ดงนนพหนาม ( ) 0P c = 3 2( ) 4 8 6 3P x x x x= − + − จงไมมรากทเปนจานวนตรรกยะ การหารสงเคราะห (Synthetic division) เปนการหารพหนาม ดวย( )P x x c− อยางรวดเรว มวธการดงน

1. ตงสมประสทธของ เรยงกน พจนไหนทไมม(เลขชกาลงกระโดดขามไป)ใหใสคาเปน 0 และตวหารทเปน เขยนเฉพาะคา c เทานน เชน ตองการหาร

( )P x

x c− 5 4 24 3 3x x x x− + − + ดวย ใหเขยนเปน

2x −

2 ) 4 -3 0 1 -1 3

2. ดงสมประสทธตวแรกของตวตงลงมาในบรรทดผลหาร(ลางสด) คณจานวนนนดวยคา c ใสในบรรทด

ตวบวก(บรรทดทสอง)เปนตวถดไป แลวหาผลบวกตวทสอง ใสในบรรทดผลหาร ทาแบบนไปเรอยๆจนครบ ผลบวกตวสดทายคอเศษของการหาร สวนตวเลขขางหนาทงหมดคอสมประสทธของพหนามทเปนผลหาร

ในทนผลหารคอ และเศษคอ 85 4 3 24 5 10 21 41x x x x+ + + +

การแกสมการพหนาม สมการพหนามคอสมการทมรปแบบเปน =0 การหาคาตอบของสมการพหนามคอหาคา x ททา

ให =0 ( )P x

( )P xหลกการแกสมการพหนามคอแยกตวประกอบทงหมดของพหนามออกมากอน เชนไดวา

ดงนน ตวเลขททาให =0 กคอ หรอ ซงสามารถหาคา C ตางๆดงกลาวไดโดยใชทฤษฎบทเศษเหลอและตวประกอบ

1 2 3, , ,...c c c( )P x 1 2 3, , ,...c c c nc

3. อสมการ (Inequality) สมบตของการไมเทากน ให a, b และ c เปนจานวนจรง

นยามการมากกวา นอยกวา 1. เมอ b - a เปนจานวนจรงบวก a b<2. เมอ a - b เปนจานวนจรงบวก a b>3. เมอ a ไมนอยกวา b a b≥4. เมอ a ไมมากกวา b a b≤

สมบตถายทอด (ของการมากกวา / นอยกวา) ถา a > b และ b > c แลว a > c

สมบตการบวก และการคณดวยจานวนทเทากน ถา a > b แลว a + c > b + c


เมอ c > 0 จะได ac > bc เมอ c < 0 จะได ac < bc

สมบตไตรวภาค ถา a และ b เปนจานวนจรง จะไดวา a > b หรอ a = b หรอ a < b อยางใดอยางหนง

ชวง (Interval) ชวง คอเซตของจานวนจรงทบอกสมาชกดวยขอบเขต (สมาชกในเซตจะอยระหวางเลขสองตวทเปนขอบเขต) ชวงปด คอชวงทรวมจานวนทเปนขอบเขตอยในเซตดวย ใชสญลกษณ [a,b] แทนชวงปด a, b หมายถงเซตของจานวนทมากกวาหรอเทากบ a และนอยกวาหรอเทากบ b เขยนเปนเซตแบบบอกเงอนไขไดวา

[a,b] = {x | a x b≤ ≤ } ชวงเปด คอชวงทไมรวมจานวนทเปนขอบเขต ใชสญลกษณ (a,b) แทนชวงเปด a, b หมายถงเซตของจานวนทมากกวา a และนอยกวา b เขยนเปนเซตแบบบอกเงอนไขไดวา (a,b) = {x | a x b< < }

จดปลายสองขางของชวงอาจเปนคนละชนดกนได เชน ชวงปด 3 เปด 5 เขยนวา [3,5) หมายถงจานวนทมากกวาหรอเทากบ 3 แตนอยกวา 5 เปนตน

ถาตองการบอกสมาชกจนถงจานวนอนนต ใชสญลกษณ ∞ เชน [0, )∞ หมายถงเซตของจานวนจรงทมากกวาหรอเทากบ 0 หรอ หมายถงเซตของจานวนจรงทนอยกวา 6 ( ,6−∞ ) อสมการพหนาม (Polynomial Inequality)

การหาชวงคาตอบของอสมการ ทาไดโดยแยกตวประกอบพหนาม โดยจดรปใหเปน หรอ (หรออาจเปน > หรอ < แลวแตโจทยกาหนด) สมมตวาแยกตวประกอบแลวไดอสมการเปน

( ) 0P x ≥

( ) 0P x ≤

1 2

1 2

( )( )...( ) 0( )( )...( )

n

n

x c x c x cx d x d x d− − −

≥− − −

นา c และ d ทกตวมาเขยนเรยงลาดบมากนอยบนเสนจานวน ถาม c หรอ d

ทซากน ใหเขยนครบตามจานวนทม เชน มพจน ( 2x )+ ซากนอย 3 ครง ใหเขยน -2 เรยงกน 3 ตว จากนนใสเครองหมาย +,-,+,… สลบกนบนชวงทถกแบงโดย c และ d ตางๆ (รวมทงระหวางตวเลขทซา

กนดวย จากนนรวมคา c และ d ทเทากนใหเปนจดเดยว ขนสดทาย ใสจดปลายชวงตามเครองหมายของอสมการ ถาเปนชวงปดใหใสจดทบ ชวงเปดใหใสจด

กลวง นอกจากนนพจารณาดวยวา ถาเปนชวงปดแลว ตวเลขใดทาใหตวสวนเปนศนยหรอไม ถามตองลบจดนนออกจากชวงคาตอบดวย สจพจนความบรบรณ (Completeness axiom)

ขอบเขตบนของเซตคอคาตวเลขทไมนอยกวาสมาชกใดๆในเซตทกาหนดให (โดยเลขทเปนขอบเขตบนอาจเปนสมาชกเซตนนหรอไมเปนกได)

ถาเซตมขอบเขตบนแลวจะตองมขอบเขตบนนอยทสด ซงหมายถงจานวนทนอยทสด ทมากกวาหรอเทากบสมาชกใดๆในเซตทกาหนด เชนเซต { }1,2,3,4,5 มขอบเขตบนคอเลขทกตวทไมนอยกวา 5 เชน 5, 5.001, 6, 20 เปนตน แตขอบเขตบนนอยทสดคอ 5

สจพจนความบรบรณกลาววา สบเซตใดๆในเซตของจานวนจรง ถามขอบเขตบนแลว คาขอบเขตบนนอยทสดจะเปนจานวนจรงดวย


4. คาสมบรณ (Absolute value)

ความหมายทางเรขาคณต คาสมบรณของจานวนจรง a (เขยนวา a ) คอระยะหางระหวางจด 0 กบจด a ดงนนคาสมบรณจะมสมบตดงน เมอ a เปนจานวนจรงใดๆ

1. a 0≥

2. a = a−

3. ab = a b และ ab

= ab

4. 22 2a a a= = 5. a b a b+ ≤ + และ a b a b− ≥ −

6. ; n is odd ; n is even

n n aa

a⎧

= ⎨⎩

7. สมการ x b= มความหมายเหมอน 2 2x b= และความหมายเหมอนประโยค “ หรอ”

x b=

x b= −

8. เมอ b เปนจานวนจรงบวก x b> มความหมายเหมอน หรอ x b> x b< − x b< มความหมายเหมอน b x b− < <

การแกสมการ / อสมการคาสมบรณ หาคาเลขททาใหคาสมบรณแตละตวมคาเปน 0 ใสลงในเสนจานวน เพอแบงเสนจานวนเปนชวงๆ

จากนนพจารณาแตละชวงทถกแบง เพอเขยนสมการ(หรออสมการ)ใหมโดยไมตดคาสมบรณ ชวงใดนาเลขไปใสในคาสมบรณแลวตดลบ ใหใสลบไวขางหนา ถาไดคาเปนบวกใหคงไวอยางเดม

หาคาตอบเหมอนการแกสมการ(หรออสมการ)ทวไป แลวนาคาตอบมาพจารณา คาตอบทไดตองอยในชวงทแบงไวในขอ 1 เทานน แตถาแกแลวไดเปนประโยคทเปนจรงเสมอ เชน 2 = 2 แสดงวาคาตอบคอทกๆจานวนจรงในแตละชวงทแบงไว แตถาแกแลวไดประโยคทเปนเทจเสมอ เชน 1x x= + Reference



ทฤษฎจานวนเบองตน สอนโดย นายเอกวจน เชาววชารตน (เอก)


การหารลงตว จานวนค จานวนค จานวนเฉพาะ

ขนตอนวธการหาร ห.ร.ม. และ ค.ร.น. ขนตอนวธการหา ห.ร.ม. ของยคลด

ในเรองทฤษฎจานวนเบองตนน เราจะศกษาถงสมบตตางๆของจานวนเตม ซงเปนสวนหนงของระบบจานวนจรง

ทนกคณตศาสตรจานวนมากสนใจศกษา มประเดนปญหาจานวนมากในเรองทฤษฎจานวนทนาสนใจและเปนทรจกกนด เชน ทฤษฎบทสดทายของแฟรมาต (Fermat’s Last Theorem) ซงกลาววา ถา n เปนจานวนเตมมคาตงแต 3 เปนตนไป จะไมสามารถหาจานวนเตม x y และ z ททาใหสมการ m m mx y z+ = ไดเลย หรอปญหาในการหาสตรทวไปของจานวนเฉพาะ เปนตน ซงทฤษฎจานวนมบทบาทสาคญในการประยกตใชงานเกยวกบการสรางรหสรกษาความปลอดภย

1. การหารลงตว (Divisibility)

สาหรบจานวนเตม m และ n ใดๆ n หาร m ลงตว (ใชสญลกษณ ) กตอเมอ มจานวนเตม q ซงทาให |n m m nq=

การหารลงตวมสมบตดงน ถา และ แลว |a b |b c |a c

ถา และ แลว จะทาให |a b |a c | ( )a bx cy+ เมอ x และ y เปนจานวนเตมใดๆ (อาจเปนบวก ศนย หรอลบก

ได) ซงbx เรยกวาผลรวมเชงเสน( linear combination) ของตวแปร b และ c cy+

2. ขนตอนวธการหาร (Division Algorithm) สาหรบจานวนเตม m และ n ใดๆ จะมจานวนเตม q และ r ททาให m nq r= + โดยท 0 r n≤ < โดยทสาหรบ m และ n แตละค จะไดคา q และ r เพยงชดเดยวเทานน

เรยก m วาตวตง เรยก n วาตวหาร

เรยก q วาผลหาร และเรยก r วาเศษจากการหาร ขอสงเกต ตวตงและตวหาร m และ n ไมจาเปนตองเปนจานวนเตมบวก ผลหารกไมจาเปนตองเปนจานวนเตมบวก อาจ

เปนลบไดดวย แตเศษ r ตองเปนศนยหรอจานวนเตมบวกเทานน เชน -5 หาร 2 ได -3 เศษ 1 เพราะ − = 5 (2)( 3) 1− +

-5 หาร -3 ได 2 เศษ 1 เพราะ 5 ( 3)(2) 1− = − +

10 หาร -4 ได -2 เศษ 2 เพราะ 10 ( 4)( 2) 2= − − +

เพราะถาไมกาหนดวาเศษตองมากกวาหรอเทากบ 0 จะเกดปญหาวามผลหารและเศษไดหลายชด

NUMBER THEORY หนา 65 เอกวจน เชาววชารตน

สาหรบตวตงและตวหารชดเดยว 3. จานวนค จานวนค

จานวนค (Even Number) คอจานวนเตมทสามารถเขยนอยในรป 2n เมอ n เปนจานวนเตมได จานวนค (Odd Number) คอจานวนเตมทสามารถเขยนอยในรป 2n+1 เมอ n เปนจานวนเตมได

4. ตวหารรวมทมากทสด : ห.ร.ม. (Greatest Common Divisor: G.C.D.) และตวคณรวมทนอยทสด : ค.ร.น. (Least Common Multiply: L.C.M.)

จานวนเตม d เปนตวหารรวมทมากทสด (ห.ร.ม.) ของ a กบ b กตอเมอ และ และทกๆจานวนเตม n ถา และ แลว ใชสญลกษณ

|d a |d b

|n a |n b |n d ( , )a b

จานวนเตม c เปนตวคณรวมทนอยทสด (ค.ร.น.) ของ a กบ b กตอเมอ และ และทกๆจานวนเตม n ถา และ แลว ใชสญลกษณ [ ,

|a c |b c

|a n |b n |c n ]a bสมบตของ ห.ร.ม. และ ค.ร.น. ผลคณของ ห.ร.ม. กบ ค.ร.น.มคาเทากบผลคณของสองจานวนทนามาหา ห.ร.ม.และ ค.ร.น.นน

( , ) [ , ]a b a b ab⋅ = ถา ห.ร.ม. ของ a และ b คอ d แลว ( , )a b

d d=1 นนคอ a

d และ b

d จะเปนจานวนเฉพาะสมพทธกน (ดหวขอถดไป)

5. จานวนเฉพาะ (Prime Number) จานวนเตม p เปนจานวนเฉพาะเมอ p เปนจานวนทไมใช 0,1หรอ -1 และมจานวนเตมทหารลงตวเพยง

และ เทานน โดยสวนมากแลวเรามกกลาวถง จานวนเฉพาะทเปนบวก และใหความหมายวา p เปนจานวนเตมบวกท

ไมใช 1 และมแต 1 กบ p เทานนทหาร p ไดลงตว p±

1±

ตวประกอบเฉพาะ ของจานวนเตมใดๆคอ ตวประกอบของเลขนน ทเปนจานวนเฉพาะ เชน 18 มตวประกอบ คอ 1, 2, 3, 6, 9 และ 18 ในจานวนนม 2 และ 3 ทเปนจานวนเฉพาะ จงเรยก 2 และ 3 วาเปนตวประกอบเฉพาะของ 18 จานวนเตมบวกใดๆจะสามารถเขยนอยในรปผลคณของตวประกอบเฉพาะไดเพยงแบบเดยวเทานน เชน

หรอ เปนตน 18 2 3 3= × × 7128 2 2 2 2 2 2 2 2= × × × × × × =

จานวนเฉพาะสมพทธ จานวนเตม a และ b จะเปนจานวนเฉพาะสมพทธกน เมอ ห.ร.ม. ของ a และ b เทากบ 1 หมายความวา เมอแยกตวประกอบเฉพาะของ a และ b ออกมาแลว จะไมมตวประกอบใดของ a และ b ทซากนเลย เชน 35 กบ 24 ซงจะได และ ซงมมตวประกอบใดซากน 35 กบ 24 จงเปนจานวนเฉพาะสมพทธกน 35 5 7= × 24 2 2 2 3= × × ×

ถาจานวนเตม a และ b เปนจานวนเฉพาะสมพทธกนแลว ค.ร.น.ของทงสองจานวนจะเทากบ ab (เนองจาก ห.ร.ม.ของ a และ b = 1)


6. ขนตอนวธการหา ห.ร.ม. ของยคลด (Euclidean Algorithm) เมอตองการหาห.ร.ม. ของ a และ b เมอ b นอยกวา a ทาไดดงน

- นา a ตง หารดวย b - จะสามารถเขยนไดวา โดย และ เปนผลหารและเศษตามลาดบ 1a bq r= + 1

3

nq

1q 1r

- นาเศษทได ( ) ไปหารตวหารในบรรทดบน ทาเชนนตอไปเรอยๆ จนกวาจะหารลงตว 1r

1 2 2b rq r= + 1 2 3r r q r= +

เมอหารลงตวจะไดวา จากบรรทดนจะไดวา 2 1n nr r− −= 1nr − เปน ห.ร.ม. ของ a และ b เชน จะหา ห.ร.ม.ของ 50 กบ 74 74=50(1)+24 50=24(2)+2 24=2(12) จะไดวา 2 เปน ห.ร.ม.ของ 50 และ 74 Reference



เวกเตอรใน 3 มต สอนโดย ศนสนย เตมธนาสมบต (แพรว)


เนอหา การศกษาเวกเตอร การบวกลบเวกเตอร เวกเตอรหนงหนวย และเวกเตอรศนย เวกเตอรกบการคณ การขนาน ตงฉาก และทามมกนของเวกเตอร ภาพฉายของเวกเตอร

ปรมาณเวกเตอร(Vector) คอ ปรมาณทบอกรายละเอยดขอมลทงขนาดและทศทาง เชน ความเรว ความเรง แรง โมเมนตม ซงมประโยชนอยางมากในวชาฟสกสและวศวกรรม

การระบถงเวกเตอรทาไดหลายวธ อาจะใชเปนคาพด เชน นายแดงเดนทางทศตะวนออกดวยความเรว 1.5 เมตรตอวนาท หรอวาดรปลกศรแลวเขยนตวเลขกากบ หรออาจเขยนดวยระบบเวกเตอรหนงหนวย หรอวธอนๆกได ˆˆ ˆi j k

หากมการตงชอใหเวกเตอร สามารถเขยนสญลกษณไดหลายแบบ เชน A A A A (ตวหนา) ขนาดของเวกเตอรเขยนแทนดวย | (เครองหมายคาสมบรณ เรยกวา Length หรอ Norm บางครงใชสญลกษณ|A A ) ซงหมายถงความยาวของเวกเตอรนน

1. การศกษาเวกเตอร การศกษาเวกเตอร มกพจารณาใน 2 ระบบ คอ พกดเชงขว (Polar) และพกดฉาก (Rectangular) เวกเตอรในระบบพกดเชงขว คอ การบอกเวกเตอรโดยบอกขนาดของเวกเตอรและมมทเวกเตอรทากบแกน X ( α ) มมทเวกเตอรทากบแกน Y( β ) และมมทเวกเตอรทากบแกน Z ( γ ) มโคไซนแสดงทศทาง (Direction Cosines) คอ

cos ,cos ,cosα β γ

เวกเตอรในระบบพกดฉาก คอ การพจารณาระยะหางตามแนวแกน X

แกน Y และแกน Z ของจดเรมตนและจดปลายของเวกเตอร เขยนเปน เมทรกซ

ทมหลกเดยว หรอแถวเดยว[ ]a b c หรอ หรอ < a , b , c > กได

โดยทตวเลขแตละตว แทนความยาวของเวกเตอรวดตามแกนพกด X ,Y และ Z ตามลาดบ เรยกตวเลขเหลาน ( คาa , b และ c ) วาองคประกอบ (Components) ของเวกเตอร ซงเวกเตอรมขนาดเทากบ

abc

⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

2 2a b c2+ + 2. การบวกลบเวกเตอร

VECTOR หนา 68 ศนสนย เตมธนาสมบต

- ถากาหนดเวกเตอรมาเปนคอนดบ การบวกลบกนสามารถทาไดโดยนาตวเลขในคอนดบทอยตาแหนงเดยวกนมาบวกลบกนโดยตรง เชน < 1 , 2 , 3 > + < 2 , 0 , 5 > = < 3 , 2 , 8 >

- ถามรปลกศรมาให สาหรบการบวกใหเอาเวกเตอรตงไว 1 ตว แลวนาหางเวกเตอรของตวทเหลอมาตอกบหวเวกเตอรตวแรก แลวทาตอไปเรอยๆ จนครบทกตว ผลลพธของการบวกเวกเตอรจะไดจากการลากเวกเตอรจากหางเวกเตอรของตวแรกไปยงหวเวกเตอรตวสดทาย

- หรอเขยนแบบหางตอหาง (ทละ 2 ตว) แลววาดรปสเหลยมดานขนาน ผลลพธคอเวกเตอรทเปนเสนทแยงมม

การลบเวกเตอร คอ การบวกดวยเวกเตอรทมขนาดเทากบเวกเตอรทเปนตวลบ แตมทศทางตรงกนขาม

- ถาใหขนาดของเวกเตอรและมมทเวกเตอร 2 ตวทาตอกน เราสามารถคานวณขนาดของเวกเตอรลพธจากการบวกลบ

กนไดโดยใชกฎของโคไซน มมระหวาง 2 เวกเตอร คอ มมทเกดจากการเอาหางเวกเตอรมาตอกน

2 2

2 2

2 cos

2 cos

u v u v u v

u v u v u v

θ

θ

+ = + +

− = + −


3. เวกเตอรหนงหนวย (Unit vector) และเวกเตอรศนย (Zero vector)

เวกเตอร 1 หนวย (Unit vector) คอ เวกเตอรทมขนาดเทากบ 1 หนวย ซงเวกเตอร 1 หนวยของเวกเตอรใดๆ คอ

เวกเตอรทมทศทางเดยวกบเวกเตอรนน แตมขนาด 1 หนวย เชน เวกเตอร 1 หนวยของเวกเตอร หาไดจาก A| |AA

มกใช

สญลกษณ A (อานวา A hat หรอ A cap) แทนเวกเตอร 1 หนวยของ A เวกเตอร 1 หนวยทสาคญคอ ˆˆ ˆi j k

เวกเตอรศนย (Zero vector) เขยนวา คอ เวกเตอรทมขนาดเทากบ 0 หนวย ไดจากการคณ 0 เขากบเวกเตอรใดๆ 0

4. เวกเตอรกบการคณ

การคณเวกเตอรมไดหลายแบบ ทงการคณเวกเตอรดวยสเกลารและการคณระหวางเวกเตอร ซงผลคณระหวางสองเวกเตอรม 2 แบบ คอ ผลคณแบบสเกลารและผลคณแบบเวกเตอร ผลคณของสเกลาร (จานวนจรง) กบเวกเตอร ไดผลลพธเปนเวกเตอรซงมทศทางเดยวกบเวกเตอรกอนทจะคณ แตขนาดของเวกเตอรอาจเปลยนแปลงไป ถาจานวนจรงนนมากกวา 0 จะไดเวกเตอรทมทศทางเดม ถาจานวนจรงนนเปน 0 จะไดเวกเตอรศนย ถาจานวนจรงนนนอยกวา 0 จะไดเวกเตอรทมทศทางตรงกนขามกบเวกเตอรเดม

4.1 ผลคณแบบสเกลาร (Dot Product) ผลคณแบบสเกลารของสองเวกเตอร ทาไดโดยนาองคประกอบในตาแหนงเดยวกนมาคณกน แลวบวกกนหมดทกค

จะไดคาตอบออกมาเปนสเกลาร a db e ad be cfc f

⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥ = + +⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦

i

หรอถารมมระหวางสองเวกเตอรวาเปน θ จะได cosu v u v θ⋅ = การหาผลคณทงสองแบบจะไดคาเทากนเสมอ ซงเรามกจะใชเทคนคหาผลคณแบบสเกลารทง 2 แบบ เพอหามม

ระหวาง 2 เวกเตอร เมอกาหนดเวกเตอรสองตวมาแบบบอกองคประกอบ (ดหวขอ การทามมกน) สมบตของการคณแบบสเกลาร เมอ และ u v เปนเวกเตอรใดๆ

- u v v u⋅ = ⋅- ( )u v w u v u w⋅ + = ⋅ + ⋅

- ( )a u v au v⋅ = ⋅

- 0u v⋅ = กตอเมอ และ vu ตงฉากกนหรอเวกเตอรใดเวกเตอรหนงเปนเวกเตอรศนย 4.2 ผลคณแบบเวกเตอร (Cross Product)

ˆˆ ˆa d i j k

b e a b cc f d e f

⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥× =⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦

(หาดเทอรมแนนต) ⊥u v× u⊥u v× v

เมอ และ เปนเวกเตอรหนงหนวยทมทศตามแกน x y และ z ตามลาดบ i j kหรอถารมมระหวาง 2 เวกเตอร จะได sinu v u v θ× = (เปนขนาดของเวกเตอรลพธ ไมใชตวเวกเตอร)


ถาวาดรปสเหลยมดานขนานจากทง 2 เวกเตอร ขนาดของผลคณแบบเวกเตอรจะเทากบพนทของรปสเหลยมนน และ (Scalar Triple Product) จะเทากบปรมาตรของรปทรงสเหลยมดานขนานทมดานประกอบเปน , v และ (u v w⋅ × ) u w

สมบตของการคณแบบเวกเตอร เมอ u , v และw เปนเวกเตอรใดๆไดแก ( )

( )( )

u v v uu v w u v u wa u v au v

× = − ×

× + = × + ×

× = ×

00u v× = กตอเมอ โดยทuu v และ v // ≠

สมบตเพมเตม เมอ เปนเวกเตอรใดๆ , ,a b c( ) (( )

( ) ( )a b c c a b a c ba b c a c b⋅ × = ⋅ × = ⋅ ×

⋅ × = − ⋅ ×

)

จงหาปรมาตรของทรงสเหลยมดานขนานทม

ตวอยาง

ปรมาตร = ลกบาศกหนวย 1 1 2

2,3, 4 , 1, 1,1 , 1,1, 2u v w=< − > =< − > =< >2 3 41 1 1 4 3 4 6 4 2 17

−− = − + − − − − =

5. การขนาน ตงฉาก และทามมกนของเวกเตอร

เราสามารถพจารณาเวกเตอรสองเวกเตอรวามทศทางสมพทธกนเปนอยางไรไดเปน 3 กรณ คอขนานกน ตงฉากกน และทามมอนๆทไมใชมมฉาก ดงน

5.1 การขนานกนของเวกเตอร เวกเตอร u และ v ทไมเปนเวกเตอร 0 จะขนานกนเมอมสเกลาร t ทไมเทากบ 0 ททาให u นนคอ สามารถยดหดเวกเตอรตวใดตวหนงใหเทากบอกตวหนงไดนนเอง

vt=

5.2 การตงฉากกนของเวกเตอร เวกเตอร u และ v ทไมเปนเวกเตอรศนย จะตงฉากกนเมอ 0u v⋅ = (จากสมบตการคณแบบ dot) 5.3 การทามมกนของเวกเตอร เวกเตอรททามมอนๆกน สามารถหามมระหวางเวกเตอร (ซงพจารณามมทมคาไมเกน 180 องศาเทานน) ได

จาก cos u vu v

θ ⋅= โดยดดแปลงจากวธการหาผลคณแบบ dot

ตวอยาง าเวกเตอรทงสองทามมกนกองศา 1,2u =< > v =< > จงหาว

จาก cos u vu v

θ ⋅= จะตองหา และขนาดของเวกเตอรทงสอง u v⋅

= 1·0 + 2·3 + 1·4 = 10 u v⋅ 2 2 21 2 1 5u = + + = 2 23 4 25v = + = = 5

10 2 5cos55 5

u vu v

θ ⋅= = =

1 2 5cos5

θ − ⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎜ ⎟

⎝ ⎠ ดงนนเวกเตอรทงสองทามมกน 1 2 5cos องศา

5− ⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

0,3,4,1


6. ภาพฉายของเวกเตอร (Projection of vector)

ภาพฉายของเวกเตอร u บน v คอ 2| |v

u vproj u vv

⎛ ⎞⋅= ⎜ ⎟⎝ ⎠

Ex ให 1, 2,1u =< > , 0,3, 4v =< > จงหา vproj u

22

10 6 80, 3, 4 0, ,5 5| |v

u vproj u vv

⎛ ⎞⋅ ⎛ ⎞= = < >=<⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠ 5

>

ขนาดของ vproj u คอ | |v

u vproj u

v

⋅=

vvproj u

θ

u

ถา θ เปนมมระหวาง u , แลว v cosvproj u u θ= ---- คลายๆการแตกเวกเตอรในฟสกส

Reference คณต มงคลพทกษสข Math E-Book release2.2.01 http://em-ntserver.unl.edu/Math/mathweb/vectors/vectors.html


เมทรกซ สอนโดย ศนสนย เตมธนาสมบต (แพรว)


ความรพนฐานเกยวกบเมทรกซ การบวกและการคณเมทรกซ เมทรกซสลบเปลยน(Transpose of a matrix) ดเทอรมแนนต (Determinant)

เมทรกซผกพน (Adjoint matrix) อนเวอรสการคณของเมทรกซ (Inverse) กฎของคราเมอร (Cramer’s rule) การดาเนนการตามแถว (Row operation)

เมทรกซ (Matrix) คอการเขยนจานวน (หรอตวเลข ตวแปร ฟงกชน ฯลฯ) ใหเรยงกนเปนสเหลยมภายในเครองหมายวงเลบ [ ] หรอ ( ) โดยทแตละจานวนจะมพกด (เรยกวา แถวและหลก) กากบอย แตละจานวนในเมทรกซเรยกวาสมาชก (Entry) โดยทแตละสมาชกไมสามารถสลบตาแหนงกนได

1. ความรพนฐานเกยวกบเมทรกซ 1.1. เมทรกซ หมายถง เมทรกซทมมต [ ]ij m nA a += nm× คอ ม m แถว และ หลก มสมาชกอยในแถวท i และหลกท เปน

n

j ija

⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

mnmjmm

inijii

nj

nj

aaaaaaaa

aaaaaaaa

A

…

21

21

222221

111211

จะเหนวา จานวนสมาชกในแตละแถวเทากบจานวนหลก = n จานวนสมาชกในแตละหลกเทากบจานวนแถว = m

1.2. เมทรกซจตรส (Square matrix) คอ เมทรกซทมจานวนแถวเทากบจานวนหลก เชน

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=×

2221

121122 aa

aaA

1.3. เมทรกซศนย (Zero matrix) คอ เมทรกซทมสมาชกทกตวเปนศนย 1.4. เสนทแยงมมหลก (Diagonal line) หมายถง แนวทผานสมาชก เมอ ija ji =

1.5. เมทรกซทแยงมม (Diagonal matrix) คอ เมทรกซทมสมาชกทกตวบนเสนทแยงมมหลกเทากนหมด สวนสมาชกตวอนเปนศนย

1.6. เมทรกซเอกลกษณ (Identity matrix)

MATRIX หนา 73 ศนสนย เตมธนาสมบต

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡=×

100010001

33I

1.7. การเทากนของเมทรกซ เมทรกซ 2 เมทรกซจะเทากนเมอมมตเดยวกน และสมาชกทอยในตาแหนงเดยวกนเทากนทกตว

2. การบวกและการคณเมทรกซ 2.1. การบวกของเมทรกซ

เมทรกซ 2 เมทรกซจะบวกหรอลบกนไดเมอเมทรกซทงสองมมตเดยวกน , [ ]ij m nA a ×= [ ]ij m nB b ×= [ ] [ ] [ ]ij m n ij m n ij ij m nA B a b a b× ×+ = + = + ×

×

⎤⎥⎦

[ ] [ ] [ ]ij m n ij m n ij ij m nA B a b a b× ×− = − = −

ตวอยาง 1 3 5 0 2 3 1 5 82 4 6 1 0 3 1 4 3⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡

+ =⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢− −⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣

ใหเอกภพสมพทธเปนเซตของเมทรกซทมมต nm× 1. มสมบตปดสาหรบการบวก nmnmnm CBA ××× =+ โดยท m nC × ยงมมต nm×

2. มสมบตเปลยนกลม ( ) ( )CBACBA ++=++ 3. มสมบตสลบท ABBA +=+ 4. เอกลกษณการบวก คอ [ ] nm×0 (เมทรกซศนยมต nm× )

[ ] [ ] nmnmnmnmnm AAA ××××× =+=+ 00 5. ทกเมทรกซ ใด ๆ จะม nmA × ( ) nmnm AA ×× −=− 1 (อนเวอรสการบวก)

( ) ( ) [ ] nmnmnmnmnm AAAA ××××× =+−=−+ 0

2.2. การคณเมทรกซดวยคาคงท ถา ij m n

A a×

⎡ ⎤= ⎣ ⎦ และ c เปนคาคงทแลว

เชน ij m ncA ca

×⎡ ⎤= ⎣ ⎦

( ) ( )( ) ( ) ⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡211563

73532313

7521

3

ถา b , เปนคาคงท c A , B เปนเมทรกซทมมตเดยวกน จะได 1. สมบตเปลยนกลม ( ) ( )cAbAbc = 2. สมบตการแจกแจงคาคงท ( ) bBbABAb +=+ 3. สมบตการแจกแจงเมทรกซ ( ) cAbAAcb +=+ 2.3. การคณเมทรกซดวยเมทรกซ เมทรกซ 2 เมทรกซจะคณกนไดกตอเมอจานวนหลกของตวหนา ตองเทากบจานวนแถวของตวหลง เชนเมทรกซ m n n p m pA B C× × ×= หลงจากคณแลวมตของผลลพธจะเทากบจานวนแถวของตวหนา คณกบหลกของตวหลง


ตวอยาง

สมบตเกยวกบการคณเมทรกซดวยเมทรกซ ใหเอกภพสมพทธเปนเซตของเมทรกซจตรสทมมตเดยวกน ( ) nn×

1. มสมบตปดการคณ nnnnnn CBA ××× = 2. มสมบตเปลยนกลมได ( ) ( )BCACAB = 3. ไมมสมบตสลบท นนคอ AB ไมจาเปนตองเทากบ BA โดยสวนใหญแลว BAAB ≠

4. มเอกลกษณการคณ

1 0 00 1 0

0 0

n nI ×

1

⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥=⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

ซงทาให AIAAI ==

จะเหนวาเมทรกซ n nI × มสมบตสลบทของการคณ 5. , ( ) ACABCBA +=+ ( ) CABAACB +=+ มสมบตการแจกแจง 6. ( )( )A B A B AA AB BA BB+ − = − + − 2A AB BA B2= − + − ซงไมจาเปนตองเทากบ

2 2A B−7. ( )2 2 2A B A AB BA B+ = + + + ไมเปนเปนตองเทากบ 2 22A AB B+ + 8. ถา [ ]0=AB แลวไมจาเปนท [ ]0=A หรอ [ ]0=B 9. ถาม AB AC= แลวไมจาเปนท CB =

3. เมทรกซสลบเปลยน (Transpose of a matrix) เมทรกซสลบเปลยน (Transpose of a matrix) A ใชสญลกษณ คอเมทรกซทไดจากการสลบเมทรกซ A จากแถวเปนหลก

หลกเปนแถว เชน ,

tA

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=

2221

1211

aaaa

A ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=

2212

2111

aaaa

At

สมบตของเมทรกซสลบเปลยน 1. ( ) AA tt =

2. ( ) tt cAcA =

3. ( ) ttt BABA ±=±

4. ( ) ttt ABAB =

4. ดเทอรมแนนต (Determinant) ดเทอรมแนนต (Determinant) เปนสมบตของเมทรกซจตรส ซงสามารถหาตวเลขตวหนงทใชบอกสมบตบางประการของ เมทรกซนนๆได


การหาดเทอรมแนนตของเมทรกซ A ใดๆ ไมเนอร (minor) ของ ใชสญลกษณ ija ijM คอ ดเทอรมแนนตของสบเมทรกซ(sub matrix)ของ A ทเกดจากการตดแถวท

และหลกท i

j ของ A ออก โคแฟคเตอร (cofactor) ของ ใชสญลกษณ คอคา ija ijC ( )1 i j+− คณกบไมเนอร ijM นนคอ = ( )ijC 1 i j+− ijM

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡=

333231

232221

131211

aaaaaaaaa

A

Cofactor ของ = C21a 21= ( )2 1 12 13

32 33

1 deta aa a

+ ⎡ ⎤− ⎢ ⎥

⎣ ⎦

= 32133312 aaaa − ดเทอรมแนนตของเมทรกซ A ใชสญลกษณ | |A เทากบ ผลรวมของ ( คณกบ ) ของแถวใดแถวหนงเพยงแถวเดยว (หรอหลกใดหลกหนงเพยงหลกเดยว)

ija ijC

คณสมบตเกยวกบดเทอรมแนนต เมอ เปนเมทรกซจตรสทมมตเดยวกน BA,

1. ( ) BAAB detdetdet ⋅=2. ( ) ( )AAt detdet =

3. ( ) ( )AA

det1det 1 =−

4. ( ) 1det =I


5. ( ) ( )( )nn AA detdet =

6. เมทรกซทมแถวใดแถวหนง หรอหลกใดหลกหนงเปน 0 ทงหมด จะมดเทอรมแนนตเปน 0

7. เมอนาคาคงท k มาคณทกๆสมาชกใน A แลว ( ) ( )AkkA n

nn detdet =× 8. เมอนาคาคงท k มาคณแถวใดแถวหนง(หรอหลกใดหลกหนง)ใน A ดเทอรมแนนตจะมคาเปน k เทาของ

เมทรกซเดม 333231

232221

131211

333231

232221

131211

aaaaaaaaa

kaaakakakaaaa

=

9. เมทรกซทมสองแถว(หรอสองหลก)ใดๆทเปนอตราสวนกนทกๆสมาชกในแถวหรอในหลก จะม

ดเทอมแนนตเปน 0 เชน 0

21

33231

11211

11211

=

nnnn

n

n

n

aaa

aaakakakaaaa

10. เมทรกซทเกดจากการสลบแถว(หรอสลบหลก)คใดๆหนงค ดเทอรมแนนตจะมคาตดลบจากเมทรกซเดม

nnnn

n

n

nnnn

n

n

nnnn

n

n

aaa

aaaaaa

aaa

aaaaaa

aaa

aaaaaa

12

22122

11112

21

11211

22221

21

22221

11211

−=−=

11. เมทรกซทมสองแถว(หรอสองหลก)เหมอนกน สวนทเหลอตางกน เมอหาดเทอรมแนนตมาบวกกนจะเทากบ

ดเทอรมแนนตของเมทรกซตามรป( )( )( ) mki

hgedca

mjihfedba

mkjihgfedcba

+=+++

12. ถานาคาคงทมาคณเขากบแถวใดแถวหนงแลวบวกเขากบแถวอน ดเทอรมแนนตจะมคาเทาเดม

( ) ( ) ( )333231

132312221121

131211

333231

232221

131211

aaakaakaakaa

aaa

aaaaaaaaa

+++=

5. เมทรกซผกพน (Adjoint matrix)

ให ( )

11 12 1

21 22 2

1 2

n

nn n

n n nn

C C CC C C

cof A

C C C

×

⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥=⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦


นยามเมทรกซผกพน (Adjoint matrix)ของ ใชสญลกษณ nnA × ( )adj A คอ ( )( )tnnAcof ×

( )

11 21 1

12 22 2

1 2

n

n

n n nn

C C CC C C

adj A

C C C

⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥=⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

6. อนเวอรสการคณของเมทรกซ (Inverse)

ให A เปนเมทรกซ ถา แลว( ) 0det ≠A A จะมอนเวอรสการคณ ( )( )AAadjA

det1 =−

สาหรบเมทรกซ 2 2× เชน อนเวอรสคอ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=

dcba

A ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−

−−

=−

acbd

bcadA 11

ตวอยาง 1cos 1 sin 111 sin 1 coscos sin

A Aθ θ

θ θθ θ− −⎡ ⎤ ⎡ ⎤

= =⎢ ⎥ ⎢ ⎥−⎣ ⎦ ⎣ ⎦

สมบตของอนเวอรสการคณ เมอ เปนเมทรกซจตรส BA,1. IAAAA == −− 11 2. ( ) 111 −−− = ABAB

3. ( ) AA =−− 11

4. ( ) ( )tt AA 11 −−=

5. ( ) ( )nn AA 11 −−=

7. กฎของคราเมอร (Cramer’s rule)

กฎของคราเมอร (Cramer’s rule) ใชหาคาตอบของระบบสมการเชงเสนหลายตวแปร (คอชดของสมการทอยในรปผลบวกของคาคงทคณกบตวแปรยกกาลง 1 ซงมหลายสมการ และทกสมการใชตวแปรชดเดยวกน) 1. ในระบบสมการเชงเสน 2 สมการ 2 ตวแปร 11211 byaxa =+

22221 byaxa =+

เขยนอยในรปผลคณของเมทรกซไดเปน 11 12 1 1

21 22 2 2

a a x ba a x b⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤

=⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦

เรยก วาเมทรกซสมประสทธ และเรยก 11 12

21 22

a aa a⎡⎢⎣ ⎦

⎤⎥

1

2

bb⎡ ⎤⎢ ⎥⎣ ⎦

วาเมทรกซผลลพธ

ให คอเมทรกซทนาเมทรกซผลลพธไปแทนทลงในหลกท 1 ของเมทรกซสมประสทธจะไดวา 1A

1A = และทาเชนเดยวกนกบ จนถง ในกรณทม n สมการ (ในทนม 2 สมการ) 1 12

2 22

b ab a⎡⎢⎣ ⎦

⎤⎥ 2A 3A nA

กฎของคราเมอร (Cramer’s rule) กลาววา คาตอบตวท i จะมคาเทากบ det( )det( )

iAA


จะได ,

333231

232221

131211

33331

23221

13111

aaaaaaaaaabaabaaba

y = ,

333231

232221

131211

33231

22221

11211

aaaaaaaaabaabaabaa

z = เมอ 11 12 13

21 22 23

31 32 33

0a a aa a aa a a

≠

จะได 1 12

2 221

11 12

21 22

b ab a

xa aa a

= , 11 1

21 22

11 12

21 22

a ba b

xa aa a

= เมอ 02221

1211 ≠aaaa

2. ในระบบสมการเชงเสน 3 สมการ 3 ตวแปร

เขยนในรปการคณของเมทรกซเปน11 12 13 1

21 22 23 2

31 32 33 3

a x a y a z ba x a y a z ba x a y a z b

+ + =+ + =+ + =

11 12 13 1

21 22 23 2

31 32 33 3

a a a x ba a a y ba a a z b

⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥=⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦

333231

232221

131211

3332

2322

1312

aaaaaaaaaaaaaaa

x = 3

2

1

bbb

ตวอยาง จงแกระบบสมการโดยใชกฎของคราเมอร


−x

=+−=++

zyzyxzyx

024

=−

จะได

4 1 12 1 10 1 1 4 2 4 2 8 21 1 1 1 1 1 1 1 1 41 1 11 1 1

x

−− − − + +

= = =+ − + + +

−− −

=

1 4 11 2 11 0 1 2 4 2 4 4 11 1 1 1 1 1 1 1 1 41 1 11 1 1

y− − + − +

= = = =+ − + + +

−− −

1 1 41 1 21 1 0 2 4 4 2 4 11 1 1 1 1 1 1 1 1 41 1 11 1 1

z

−− − + +

= = = =+ − + + +

−− −

สรป x = 2 y = 1 z = 1

8. การดาเนนการตามแถว (Row operation) การดาเนนการตามแถว (Row Operation) ใชหาคาตอบของระบบสมการเชงเสนหลายตวแปรได ซงการดาเนนการตามแถวนน สามารถกระทาได 3 ลกษณะ คอ 1) นาคาคงท k (ทไมใช 0) ไปคณแถวท i ใชสญลกษณ kRi

2) เปลยนแถวท i โดยนาคาคงท k ไปคณแถวอนคอแถวท j แลวเอาไปบวกแถวท i ใชสญลกษณ Ri + kRj

3) สลบแถวท i กบ j ใชสญลกษณ Rij

เราใชเครองหมาย ~ แทนการดาเนนการแตละขนตอน และเขยนวธกากบไว ในระบบสมการเชงเสน 3 สมการ 3 ตวแปร

เขยนในรปการคณของเมทรกซเปน11 12 13 1

21 22 23 2

31 32 33 3

a x a y a z ba x a y a z ba x a y a z b

+ + =+ + =+ + =

11 12 13 1

21 22 23 2

31 32 33 3

a a a x ba a a y ba a a z b

⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥=⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦

หรอเขยนใหอยในรปเมตรกซแตงเตม(Augmented Matrix) A จะได

A = ⎢⎢

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎣

⎡

3

2

1

333231

232221

131211

bbb

aaaaaaaaa

จะใชการดาเนนการตามแถวทาเมตรกซ A ใหอยในรปเมตรกซขนบนไดลดรปแบบแถว (Row-reduced echelon form) B B = ซง A สมมลกบ B เขยนแทนดวย A ~ B ⎥

⎥

จะไดคาตอบของระบบสมการน คอ ⎥⎦⎢⎣ 10 k 1 2, , 3x k y k z k= = =

⎤

⎢⎢⎡

3

2

1

0010001

kk

ระบบสมการเชงเสน n สมการ n ตวแปร กทาลกษณะเดยวกน ตวอยาง จงแกระบบสมการ

024

=−−=+−=++

zyxzyxzyx

เขยนใหอยในรปเมตรกซแตงเตม(Augmented Matrix) A จะได

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−−

024

111111111

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−− 024

111200111

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−− 014

111100111

221 R~

32 )1( RR −+~ A =

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

− 114

011100111

23 RR +

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

− 113

011100120

31 )1( RR −+

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

− 112

011100020

21 )1( RR −+~ ~ ~

121 R~

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

211

001100010

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

112

100010001

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

− 111

011100010

23~12R

R13 RR +~

จะไดคาตอบของระบบสมการน คอ 1,1,2 === zyx

Reference



จานวนเชงซอน สอนโดย เอกวจน เชาววชารตน (เอก)


สมบตของจานวนเชงซอน คาสมบรณของจานวนเชงซอน ทฤษฎเกยวกบสมการพหนาม

สงยคของจานวนเชงซอน จานวนเชงซอนในระบบพกดเชงขว

1. สมบตของจานวนเชงซอน

การคานวณในระบบจานวนจรงยงมขอจากดบางประการ เชนสมการพหนามบางแบบไมสามารถหาคาตอบทเปนจานวนจรงได(เชน ) จงมการพฒนาระบบจานวนเชงซอนขนเพอเปนเครองมอในการศกษาคณตศาสตรใหมขอบเขตกวางขน 2 1 0x + =

นยามจานวนจนตภาพ คอจานวนทเขยนอยในรป bi โดยท b เปนจานวนจรงและ 1i = − ได

จานวนเชงซอน คอ จานวนทเขยนในรป a bi+ หรอคอนดบ (a,b) โดยท a และ b เปนจานวนจรงใด ๆ จานวนจรง a เรยกวา สวนจรง (Real part)

จานวนจรง b เรยกวา สวนจนตภาพ (Imaginary part)

1) สมบตของ i 1. 2 1,i = − 3 2 ,i i i i= × − 4 1i =

2. 14 =ni

3. ii n =+14

4. 124 −=+ni

5. ii n −=+34

7. 0321 =+++ +++ nnnn iiii

2) การเทากนของจานวนเชงซอน ถา = a + bi และ = c + di 1z 2z

21 zz = กตอเมอ a = c และ c = d 3) การคานวณจานวนเชงซอน

1. การบวกและลบทาไดโดยการนาสวนจรงมาบวกลบกน และสวนจนตภาพบวกลบกน ถา = a และ =c d 1z bi+ 2z i+

COMPLEX NUMBER หนา 81 เอกวจน เชาววชารตน

21 zz + = ( ) + ( ) = (a bi+ c di+ a c+ ) + (b d+ )i 21 zz − = ( ) - ( ) = (a bi+ c di+ a c− ) + (b d− )i

2. การคณ ทาไดโดยคณแจกแจงธรรมดา พจนใดทม คณอย จะเทากบคณดวย -1 2i

1 2z z = ( )(c ) =a bi+ di+ ( ) (ac bd ad bc i)− + + 2. สงยค (Conjugate) ของจานวนเชงซอน

ถา z = a + bi แลว สงยคของ ใชสญลกษณ z z a bi= − สมบตของสงยค

1. ถา z = a + bi จะได zz ⋅ = (a + bi) (a - bi) = a2 - b2i2 = a2 + b2 = 2z

2. ( )z = z 3. )( 21 zz ± = 21 zz ±

4. ( )21zz = 21zz

5. ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

2

1

zz =

2

1

zz

6. ( ) ( )54

321

54

321

zzzzz

zzzzz

−+

=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−+

3. คาสมบรณของจานวนเชงซอน ถา z a bi= + จะได 22 babiaz +=+= สมบตคาสมบรณของจานวนเชงซอน

1) 2zzz = และไดคาเปนจานวนจรงเสมอ (มความสาคญในการหาคาตอบสมการพหนาม) 2) 2

212212

12

21 zzzzzzzz ±±±=± 3) 2

22

12

212

21 22 zzzzzz +=−++ 4) 1221

221

221 22 zzzzzzzz +=−−+

5) 2121 zzzz = 6)

2

1

2

1

zz

zz

=

7) 2121 zzzz +≤+ 8) 2121 zzzz −≥−


4. จานวนเชงซอนในระบบพกดเชงขว

จานวนเชงซอน z a bi= + เขยนอยในรปคอนดบในระบบพกดฉากไดเปน (a,b) ถาเขยนระบบพกดเชงขวจะเขยนไดเปน

( , )r θ โดย cosa r θ= , sinb r θ= , tan b

aθ =

เรยก r วา โมดลส (Modulus : ระยะหางจากจดกาเนด) ของจานวนเชงซอน เรยก θ วาอารกวเมนต (Argument: ทศทาง) ของจานวนเชงซอน หาคา r ไดจากสตร 22 bar += หา θ ไดจากสตร tan b

aθ =

การหารากท 2 ของ z = a + bi a. หาโดยสตรสาเรจ

รากท 2 ของ a + bi เมอ b > 0 คอ 2 2

r a r a i⎛ ⎞⎛ ⎞+ −

± +⎜ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎝ ⎠⎝ ⎠⎟⎟

รากท 2 ของ a + bi เมอ b < 0 คอ 2 2

r a r a i⎛ ⎞⎛ ⎞+ −

± + −⎜ ⎜⎜⎜ ⎝ ⎠⎝ ⎠⎟⎟⎟ ⎟

b. จดรป Z ใหอยในพกดเชงขว แลวใชวธการหารากท n แบบเชงขว (หวขอ 4.3) 4.1 การคณ-หารของจานวนเชงซอนระบบพกดเชงขว

ใชการคณแจกแจงธรรมดา แตเนองจากอยในรปฟงกชนตรโกณมตจงจดรปใหงายขนได ถา ( )1111 sincos θθ irz += , ( )2222 sincos θθ irz +=

[ ])sin()cos( 21212121 θθθθ +++= irrzz [ ])sin()cos( 2121

2

1

2

1 θθθθ −+−= irr

zz

4.2 การยกกาลงของจานวนเชงซอนในระบบพกดเชงขว จากทฤษฎบทของเดอ มวฟ (De Moivre’s Theorem) ถา ( )θθ sincos irz += จะได ( )θθ ninrz nn sincos += เชน 3(cos sin )

2 2z iπ π= + จะได 3 3 33(cos sin )

2 2z iπ π= +


4.3 การหารากท n ของจานวนเชงซอนในระบบพกดเชงขว ถา (cos sin )z r iθ θ= + รากท n ของ z จะม n คา ⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +

+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +

=n

kin

kr nπθπθ 2sin2cos1

เมอ k = 0, 1, 2, … , (n-1) นนคอ เมอหารากท n ตวแรกไดแลว รากทเหลอจะม θ เพมจากเดมทละ 2nπ จนครบ n ตว

เชน 3(cos sin )2

z i2

π π= + จะไดรากทสามของ z ตวแรกคอ 3 3(cos sin )

6 6iπ π

+ ,

อกสองตวไดจากการบวกมม 6π เพมไปอกทละ 2

3π คอ 3 5 53(cos sin )

6 6iπ π

+ และ 3 9 93(cos sin )6 6

iπ π+

5. ทฤษฎเกยวกบสมการพหนาม

การแกสมการพหนามทมสมประสทธเปนจานวนจรง อาจไดคาตอบเปนจานวนเชงซอนได ซงในกรณทคาตอบเปนจานวนเชงซอน เรายงสามารถใชทฤษฎบทเศษเหลอ ทฤษฎบทตวประกอบ และการหารสงเคราะหทเคยใชในระบบจานวนจรงไดเหมอนเดม วธการทดอนหนงคอแยกตวประกอบพหนามทเปนจานวนจรงใหหมดกอน แลวเมอเหลอพหนามกาลงสอง (ในกรณทม

ตวประกอบเชงซอนสองตว) จงใชสตรการหารากทสอง คอ 2 4

2b b acx

a− ± −

= ในการแยกตวประกอบคสดทาย 1. สมการพหนาม โดย 0... 01

11 =++++ −− axaxaxa n

nn

n 0≠na และ สมประสทธ ทกตวเปนจานวนจรง ถา เปนคาตอบของสมการ จะไดวา

naaa ,...,, 10

a bi+ a bi− (สงยคของa bi+ )เปนคาตอบของสมการดวย ดงนนคาตอบทเปนจานวนเชงซอนจงมเปนคเสมอ

2. ถา 21,αα เปนคาตอบของสมการ 02 =++ cbxax

จะได ab−

=+ 21 αα และ ac

=21αα 3. ถา 321 ,, ααα เปนคาตอบของสมการ 023 =+++ dcxbxax

จะได ab−

=++ 321 ααα

ac

=++ 323121 αααααα

1 2 3da

α α α −=

Reference



ลาดบและอนกรม สอนโดย สาธต เทพประทานกจ (ปอ)


ลาดบ ลาดบเรขาคณต อนกรม

ลาดบเลขคณต ลมตของลาดบอนนต การตรวจสอบอนกรมคอนเวอรเจนต และไดเวอรเจนต

1. ลาดบ (Sequences)

ลาดบคอฟงกชนทมโดเมนเปนสบเซตของจานวนนบ โดยมากมกเขยนเฉพาะเรนจซงเปนจานวนจรง เรยงตอกน และเรยกแตละจานวนวาพจน (term) เชนลาดบ 2, 4, 6, 2, 3, … พจนท 1 คอ 2 พจนท 2คอ 4 ... ถาจานวนพจนทงหมดมคาทแนนอนเรยกวา ลาดบจากด (Finite Sequence) แตถามจานวนพจนไมรจบ เรยกวา ลาดบอนนต (Infinite Sequence)

1.1 ลาดบเลขคณต (Arithmetic Sequence) เปนลาดบทมลกษณะพเศษคอ ผลตางระหวางพจนใดๆ กบพจนกอนหนานนมคาคงท เชนลาดบ 3, 4, 5,…(ผลตางเทากบ 1) ลาดบ 1.2, 1.7, 2.2, 2.7, 3.3,…(ผลตางเทากบ 0.5) เปนตน ผลตางระหวางพจนทอยตดกนเรยกวา ผลตางรวม (Common Difference)

ลาดบเลขคณตซงมพจนท 1 เปน และผลตางรวมเปน d เขยนไดดงน 1a

, + d, + 2d,…, + (n-1)d,… 1a 1a 1a 1a

โดยพจนท n (พจนทวไป : General terms)ของลาดบนคอ = + (n-1)d na 1a

ผลบวก n พจนแรก (ผลบวกยอย : Partial Sum) คอ [ ]dnanSn )1(2

2 1 −+= และ

[ ]nn aanS += 12

SEQUENCES & SERIES หนา 85 สาธต เทพประทานกจ

1.2 ลาดบเรขาคณต (Geometric Sequence) เปนลาดบทอตราสวนระหวางพจนใดๆตอพจนกอนหนามคาคงท เรยกวาอตราสวนรวม(Common Ratio) เชนลาดบ 2, 4, 8, 16,… มอตราสวนรวมคอ 2

ลาดบเรขาคณตซงมพจนท 1 เปน และอตราสวนรวมเปน r เขยนไดดงน 1a

1a , r, 1a 1a 2r ,…, 1a 1−nr โดยพจนท n ของลาดบนคอ 1

1−= n

n raa

ผลบวก n พจนแรกคอ 1naSn = เมอ r = 1 นนคอทกๆพจนมคาเทากบพจนแรกทงหมด ( )

rraS

n

n −−

=111 เมอ r ≠ 1

หรอ ( )1

11

−−

=rraS

n

n

2.ลมตของลาดบอนนต (Limit of Sequence) กาหนดลาดบ naaaa ,...,,, 321

2.1. ลาดบนเปนลาดบลเขา (ลาดบคอนเวอรเจนต : Convergent Sequence) กตอเมอมจานวนจรง ซง

= l นนคอสามารถระบจานวนใดจานวนหนงทลาดบนนมคาเขาใกลได และตองมเพยงจานวนเดยวเทานน เชน

l

∞→nlim na 1

nan

=

ลเขาส 0 เชน

11 1 1 11, , , ,..., ,...2 4 8 2

n−⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

จะเหนวา 1

12n na −= ซงมคาเขาใกล 0 เมอ n มคามาก

2.2. ลาดบนเปนลาดบลออก (ลาดบไดเวอรเจนต : Divergent Sequence) กตอเมอลาดบนไมเปนลาดบลเขา

ประเภทของลาดบไดเวอรเจนต 1. ลาดบของไดเวอรเจนตซงมคาเขาใกล Infinity ใชสญลกษณ ∞=

∞→ nnalim

เชน 1 มคาเขาใกล Infinity เมอ n มคามาก , 2,3, 4,..., ,...n

2. ลาดบของไดเวอรเจนตซงมคาเขาใกลลบ Infinity ใชสญลกษณ −∞=∞→ nn

alim เชน มคาเขาใกลลบ Infinity เมอ n มคามาก 1, 2, 3, 4,..., ,...n− − − − −

3. ลาดบแกวงกวด (Oscillating sequence) คอเมอ n มคามากๆ พจนท n เขาใกลหลายจานวนเชน มคาเปน

1 และ -1 สลบกนไป ( 1)n

na = −


3. อนกรม (Series) อนกรม คอผลบวกของลาดบ แบงเปนอนกรมจากด(ไดจากการบวกลาดบจากด) และอนกรมอนนต(ไดจากการบวก

อนกรมอนนต) ในทางคณตศาสตร การบวกหลายจานวนมสญลกษณ ∑ อานวา Summation และการบวกมกเขยนในรป

(ในการบวก n พจน) (ในการบวกถงอนนต) หรอโดยท คอพจนท ของลาดบ สาหรบลาดบอนนต เรยก

= วาผลบวกยอย (Partial Sum) n พจนแรกของลาดบ และเรยก

∑=

n

iia

1 1i

i

a∞

=∑ ia i

nS ∑=

n

iia

1S∞ =

1i

i

a∞

=∑ วาอนกรมอนนตของลาดบ

สมบตเกยวกบ∑ 1. ถา = k (k เปนคาคงท)ทก ๆพจนจะไดวา ∑ = k ia

=

n

iia

1× n

2. = เมอ k เปนคาคงทใดๆ ∑=

n

iika

1∑=

n

iiak

1

3. 1 1

( )n n

i i ii i

a b a b= =

± = ±∑ ∑1

n

ii=∑

ผลบวกทควรทราบ 1) ∑

=

+=++++=

n

i

nnni1 2

)1(...321

2) ∑=

++=++++=

n

i

nnnni1

22222

6)12)(1(...321

3) ∑=

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ +

=++++=n

i

nnni1

233333

2)1(...321

4. วธตรวจสอบอนกรมคอนเวอรเจนตและไดเวอรเจนต ทฤษฎบท 1 กาหนดอนกรม ...1...

31

211 +++++ ppp n

(1) อนกรมนเปนอนกรมคอนเวอรเจนตกตอเมอ p>1

เมอ p>1 แลว 1lim lim( ) 0n pn na

n→∞ →∞= =

(2) อนกรมนเปนอนกรมไดเวอรเจนตกตอเมอ p<1 เมอ p<1 แลว 1lim lim( )n pn n

an→∞ →∞

= = ∞ หรอ −∞

ทฤษฎบท 2 ถา∑ เปนอนกรมคอนเวอรเจนตแลว = 0 ∞

=1iia nn

a∞→

lim

ทฤษฎบท 3 (1) ถา = โดยท nna

∞→lim 0≠ แลว เปนอนกรมไดเวอรเจนต ∑

∞

=1iia

(2) ถา หาคาไมไดแลว เปนอนกรมไดเวอรเจนต nna

∞→lim ∑

∞

=1iia

Reference คณต มงคลพทกษสข Math E-Book release2.2.01


ทฤษฎเบองตนของความนาจะเปน สอนโดย เอกวจน เชาววชารตน (เอก)


หลกมลฐานเกยวกบการนบ การเรยงสบเปลยน และการจดหม ความนาจะเปนของเหตการณ

แฟกทอเรยล เทคนคการนบแบบตางๆ

หลกมลฐานเกยวกบการนบ (Fundamental Principle of Counting) ถามการทางาน k อยาง โดยทงานอยางแรกมทางเลอกทาได แบบ และในแตละแบบสามารถ 1n

เลอกทางานอยางทสองได แบบ และมทางเลอกแบบนไปเรอยๆจนครบ k ขนตอน จะมจานวนวธเลอกทางานจน 2n

เสรจทกขนตอน เทากบ วธ 1 2 3 ... kn n n n× × × ×

เชนการเลอกเครองแตงตว ถามเสอเชต 5 ตว กางเกงขายาว 4 ตว ถงเทา 6 คทแตกตางกนทงหมด จะสามารถแตงตวไดทงหมด 5 4 6 แบบ 120× × =

แตถามทางเลอกอนทสามารถทางานจนเสรจไดโดยมขนตอนทไมเกยวของกบการทางานแบบแรก จะตองนาวธเลอกทางานชดทสองมาบวกกบชดแรก

เชนถาสามารถเลอกไดวาจะไปทางานหรอไปเทยว ถาทางานกแตงตวแบบขางตน แตถาไปเทยวกเลอกชดไปเทยวซงมเสออย 3 ตว กางเกงอย 5 ตว จานวนวธทสามารถแตงตวออกจากบานเทากบจานวนวธเลอกชดทางาน + จานวนวธเลอกชดไปเทยว เทากบ 12 =135แบบ เปนตน 0 (3 5)+ ×

แฟกทอเรยล (Factorial) ให n เปนจานวนเตมบวกหรอ 0 แฟกทอเรยลของ n หมายถงผลคณของจานวนเตมตงแต 1 ถง n มนยามดงน เชน 1 ,

!( 1)!,

nn

n n n=⎧

= ⎨ − >⎩

00

5! 5 4 3 2 1 120= ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ =

1) จานวนวธในการจดเรยงของ n ชน(แบบไมเปนวง คอมตาแหนงเรมตนและตาแหนงสดทาย) จะเทากบคา !n

เชนจดคน 4 เรยงเปนแถวจะได = 24 วธ 4!

2) จานวนวธเรยงสบเปลยนเปนวง (ไมมตาแหนงเรมตนและตาแหนงสดทาย) จะเทากบ ( )1 !n−

เชนคน 4 คนยนลอมเปนวงกลมได (4-1)! = 6 วธ ถาในจานวนสงของทนามาเรยง มของซากน k ชนด ชนดละ m1 m2 จนถง mk ชน จะตองหารออกดวย

เชน จานวนเรยงตวอกษร a a b b b c d e เทากบ 1 2! ! ... km m m⋅ ⋅ ⋅ !

8!2!3!

เพราะตว a ซากน 2 ครง และ b ซากน 3 ครง

COUNTING & PROBABILITY หนา 88 เอกวจน เชาววชารตน

การเรยงสบเปลยน (Permutation) และการจดหม (Combination) การเรยงสบเปลยน (Permutation) คอการเลอกสงของมาจดเรยง โดยถอลาดบทของสงของเปนสาคญ (สงของชดเดยวกนทเรยงลาดบตางกนถอวาเปนวธเรยงสบเปลยนทตางกน) จานวนวธเรยงสบเปลยนของ r สงจากทงหมด n ชนเทากบ !

(n

n r− )!อาจเขยนแทนดวย , , , n

rP ( , )n rP ,n rP n rP

เชน จานวนวธจดเรยงหนงสอ 3 เลมบนชน จากทม 5 เลม เทากบ =53P

( )5! 5! 60

5 3 ! 2!= =

−วธ

การจดหม (Combination) คอการเลอกสงของมาจดเปนกลมโดยไมถอวาการเรยงลาดบทตางกนเปนคนละวธ กาหนด n และ r เปนจานวนเตมบวกใดๆโดยท แลว n r≥

จานวนวธจดหมของ r ชน จากทงหมด n ชนเทากบ !!( )!

nr n r−

อาจเขยนแทนดวย , , , , nrC ( , )n rC ,n rC n rC

nr⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

เชน จานวนวธเลอกคน 2 คน จาก 4 คนเทากบ 4 4! 4 3 2 1 62 2!2! 2 1 2 1⎛ ⎞ × × ×

= = =⎜ ⎟ × × ×⎝ ⎠ วธ

สมบตของการเรยงสบเปลยนและการจดหม

1) ( , ) ( , ) !n r n rP C= r

2) ( ,0) 1nP =

3) ( ,1)nP n=

4) ( , ) !n nP n=

5) 10n⎛ ⎞

=⎜ ⎟⎝ ⎠

6) 1n

n⎛ ⎞=⎜ ⎟

⎝ ⎠

7) 1nn⎛ ⎞

=⎜ ⎟⎝ ⎠

8) n np q

⎛ ⎞ ⎛ ⎞=⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠ p q n+ = ถา

9) 11

n n nr r r

+⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟−⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠


10) ... 20 1 2 1

nn n n n nn n

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ + + + + =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟−⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

เทคนคการนบแบบตางๆ กฎการแบงกลม มสงของจานวน n ชน ตองการแบงเปน k กลมกลมละ , ,…, โดยท 1n 2n kn 1 2 ... kn n n n+ + + = ใชหลกการจดหม โดยครงแรกเลอก n1 ชนจาก n ชน ครงตอมาเลอก n2 ชนจากทเหลอในครงแรก n-n1 ทาเชนนไปเรอยๆจนครบ k กลม ถา

มกลมใดทจานวนสมาชกเทากน r กลม ถอวาไมแตกตางกน ใหหารออกดวย ซงสามารถจดรปเปน !r1 2

!! ! ... ! !k

nn n n r⋅ ⋅ ⋅

ได

เชน มของ 12 ชน จะแบงเปน 4 กลม ขนาด 1 , 3, 3, 5 ชน จานวนวธจดกลมทาไดดงน 12 12 1 11 3 8 31 3 3 5

2!

− − −⎛ ⎞⎛ ⎞⎛ ⎞⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠⎝ ⎠⎝ ⎠ = 12!

1!3!3!5!2!ทตองหารดวย 2! เพราะมกลมทจานวนสมาชกเทากนอย 2 กลม

การจดหมสงของทเหมอนกนหมดดวยหลกการ Star & Bar: ไมเทาและดวงดาว ใชหลกการวา ถามสงของ n ชนวางเรยงกน ถานาไม k-1 อนไปวางคนในจานวนสงของนน กจะเปนการแบงของ n

ชนออกเปน k กอง (โดยแตละกองคอสงของทอยระหวางไมสองอน) เชนมลกอม 10 เมด จะแบงใหเดก 4 คนทาไดโดยนาลกอม 10 เมดมาวางเรยงกน จะเกดชองวาง 9 ชองระหวางลกอม

แลวใชไม 3 อนเลอกวางคนระหวาง 9 ชองน ไดจานวนวธทงหมดเปน ซงการแบงโดยวธน เดกแตละคนจะไดลกอมอยาง

นอยคนละ 1 เมด และไดอยางมากทสดคนละ n-k+1 = 10-4+1= 7 เมด

93⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

แตถาอาจมเดกบางคนทไมไดลกอมเลย จะใชวธการเพมจานวนลกอมลงไปเทากบจานวนเดกก

k

อน แลวทาการแบง

แบบเดม หลงจากแบงแลวจงเกบลกอมคนคนละ 1 เมด ทาใหจานวนลกอมทใชมเทาเดม จานวนวธแบงจะเปน วธน

สามารถแบงไดตงแต 0 จนถง n ชน

133

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

การนบจานวนตวประกอบของจานวนเตม ใชหลกการวา จานวนเตมใดๆสามารถเขยนในรปผลคณของตวประกอบเฉพาะไดแบบเดยว ถาเลอกตวประกอบเฉพาะของจานวนเตม n มาบางตว ผลคณของตวประกอบเฉพาะนน จะเปนตวประกอบของ n ดวย เชน 12 มตวประกอบเฉพาะเปน

2, 2 และ 3 ถาเลอกมาเพยง 2 กบ 3 จะได 6 ซงเปนตวประกอบของ 12 ตวประกอบเฉพาะทซากน k ตว มวธเลอกได k+1 วธ (ตงแตไมเลอกเลย จนถงเลอกทง k ตว) ดงนนถาจานวนเตม n เขยนในรปตวประกอบเฉพาะ แลว จานวนตวประกอบของ n จะเทากบ 31 2

1 2 3 ... mkk kmp p p p⋅ ⋅ ⋅ ⋅

( ) ( )( ) ( )1 2 31 1 1 ... 1mk k k k+ + + + เชน 3 1 1120 2 3 5= ⋅ ⋅ มจานวนตวประกอบ 4 2 2 16× × = ตว


ความนาจะเปนของเหตการณ การทดลองสม (Random Experiments) คอการทดลองทไมสามารถคาดเดาไดแนนอนวาผลลพธในแตละครง

จะออกมาเปนอะไร เชนการสมหยบไพจากสารบ การทอดลกเตา ในการหาความนาจะเปนของเหตการณทเราสนใจจากการทดลองสม จะตองกลาวถงเซตสองเซต คอเซตของ

เหตการณนน (Event : E) กบเซตของเหตการณทงหมดทอาจเกดขนได (Sample Space : S) n(S) แทนจานวนสมาชกของแซมเปลสเปซ S ซงประกอบดวยสมาชกทมโอกาสเกดขนไดเทาๆกน

n(E) แทนจานวนสมาชกของเหตการณ E ซงเปนสบเซตของ S

P(E) แทนความนาจะเปนของเหตการณ E ดงนน ( )( )

( )n EP En S

=

P(E) = 0 หมายความวาเหตการณ E ไมมโอกาสเกดขนเลย

P(E) = 1 หมายความวาเหตการณ E เกดขนอยางแนนอน

P(E) = 0.5 หมายความวาเหตการณ E มโอกาสเกดหรอไมเกดขนเทากน

ขอควรจา 1) ( ) 0P ∅ =

2) ( ) 1P S =

3) ถา แลว 1 2E E⊆ ( ) ( )1 2P E P E≤

4) 0 ( )P E≤ ≤1

ตวอยาง ทอดลกเตา 1 ลกจงหาความนาจะเปนทจะไดแตมนอยกวา 4 S = {1, 2, 3, 4, 5, 6} E = {1, 2, 3} ( ) 3 1( )

( ) 6 2n EP En S

= = =

Reference เจรญ - ศรลดดา ภภทรพงศ คมอและเทคนคคดลดโจทยคณตศาสตร ม.6 เลม6 ค016 ค046 จกรนทร วรรณโพธกลาง คมอรวมสดยอดเทคนคคณตศาสตร Entrance คณต มงคลพทกษสข Math E-Book release2.2.01


สถตเบองตน สอนโดย เอกวจน เชาววชารตน (พเอก)


การนาเสนอขอมล ตาแหนงสมพทธของขอมล คามาตรฐาน

คากลางขอมล การกระจายของขอมล ความสมพนธเชงฟงกชนระหวางขอมล

การนาเสนอขอมล

การนาเสนอขอมลทาไดหลายวธ เชน บทความ ตาราง แผนภม กราฟ ฯลฯ วธหนงทนยมใชจดระเบยบขอมลอยางคราวๆเพอนามาคานวณทางสถตตอ คอการใชตารางแจกแจงความถ ตารางแจกแจงความถ (Frequency Distribution Table) เปนการนาขอมลมาจดเปนกลม โดยใสตารางซงแบงเปนชวงๆและบอกจานวนขอมลทอยในแตละชวงไว ตวอยางตารางแจกแจงความถของนาหนกนกเรยนหองหนง นาหนก (กโลกรม) จานวนนกเรยน

40-44 3 45-49 6 50-54 7 55-59 12 60-64 9 65-69 3 รวม 40

อตรภาคชน (Class Interval) คอการแบงขอมลเปนชวงๆ อาจมความกวางเทาหรอไมเทากนกได ขอบบน (Upper Bound) และขอบลาง (Lower Bound) ของอนตรภาคชน คอคาของขอมลทมากทสดและนอยทสดทสามารถอยในชนนนได ตามลาดบ ความกวางอนตรภาคชน หาไดจาก ขอบบน – ขอบลาง คากงกลางอนตรภาคชน หาไดจาก (ขอบบน + ขอบลาง)/2

STATISTIC หนา 92 เอกวจน เชาววชารตน

แผนภาพตน-ใบ (Stem-and-Leaf Diagram) เปนการนาเสนอขอมลโดยทไมเสยรายละเอยดของขอมล อนทจรงคอการเขยนขอมลครบทกตว แตจดรปแบบใหเปนระเบยบมากขน มวธทาคลายการเขยนอนตรภาคชน แตแทนทจะแบงขอมลเปนชวงคาตางๆ การแบงชวงในแผนภาพแบบนแบงตามหลกเลข ตวอยางเชน มขอมล 10, 12, 17, 19, 23, 24, 24, 36 เขยนแผนภาพไดโดยการเขยนเฉพาะหลกสบของขอมลเรยงกนเปนแถวตง แลวจงใสหลกหนวยของขอมลทมตามแนวนอนโดยปกตมกจะเขยนเรยงจากนอยไปมาก(หรอมากไปนอย) เพอใหอานงาย ดงน

1 0 2 7 9 2 3 4 4 3 6

เลข 1, 2, 3 ทางฝงซายของเสนเรยกวา ตน (Stem) และตวเลขทางฝงขวาของเสนเรยกวา ใบ (Leaf) การอานคาจากแผนภาพตน- ใบชวยใหมองคากลางขอมลเชนมธยฐานและฐานนยมไดสะดวกขนกวาการอานขอมลดบ

2. คากลางขอมล

คากลางขอมลคอตวเลขทใชเปนตวแทนขอมลทงหมดเพอนบอกลกษณะคราวๆของขอมล คากลางทนยมใชกนไดแก คาเฉลย เลขคณต มธยฐาน และฐานนยม 2.1คาเฉลยเลขคณต (arithmatic mean , x ) คอตวเลขทไดจากการนาขอมลทกตวมารวมกน แลวหารดวยจานวนขอมล

ขอมลทยงไมแจกแจงความถ x = 1

n

ii

x

n=∑

ขอมลทแจกแจงความถแลว x = 1

1

k

i ii

k

ii

f x

f

=

=

∑

∑

k คอจานวนอนตรภาคชน, if คอความถชนท i ix คอจดกงกลางชนท i

มสตรลดทอนคอ x = 1

1

k

i ii

k

ii

f da I

f

=

=

⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟+⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

∑

∑

k เปนจานวนอนตรภาคชน,


if เปนความถชนท i, I เปนความกวางแตละชน (ตองเทาๆกนทกชน), a เปนคากงกลางชนใดชนหนง (ชนไหนกได ),

ให d ของชนทเลอกไวเปน 0 ชนสงกวานน d เพมขนเปน 1,2,3,… และชนตาลงมา d ลดลงเปน -1,-2,-3,… ตามลาดบ

รปแสดงทมาของ “สตรลดทอน”ในการหาคาเฉลยเลขคณต

สมบตของคาเฉลยเลขคณต

1

( )n

ii

x x=

− =∑ 0

)

ผลรวมของคาเบยงเบนทงหมดเทากบ 0 2

1(

n

ii

x a=

−∑ มคานอยทสดเมอ a x= ซง 2

1(

n

ii

)x a=

−∑ จะมคาเทากบความแปรปรวน

2.2 มธยฐาน ( median, Med) เปนคาขอมลทอยตาแหนงกลางเมอเรยงขอมลจากนอยไปมาก ขอมลทยงไมแจกแจงความถ ใหจดเรยงจากนอยไปหามาก มธยฐานคอขอมลในตาแหนงท 1

2N +

ขอมลทแจกแจงความถ

Med = 2 L

Med

N fL I

f

⎛ ⎞−⎜ ⎟

⎜ ⎟+⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

∑

L คอคาขอบลางของชนทมมธยฐานอย I คอความกวางของแตละชน N คอจานวนขอมลทงหมด

Lf∑ คอความถสะสมของชนทตากวา Medf คอความถของชนทมมธยฐานอย


สมบตของมธยฐาน

1|

n

ii

|x a=

−∑ มคานอยทสดเมอ a Med=

2.3 ฐานนยม (mode, Mo) ฐานนยมคอคาของขอมลทปรากฏบอยครงทสด ขอมลทยงไมแจกแจงความถ ฐานนยมคอขอมลตวทมความถสงทสด ขอมลทแจกแจงความถแลว ฐานนยมอยในชนทมความถสงทสด คาของฐานนยมหาไดจาก Mo = L

L U

dL Id d

⎛ ⎞+ ⎜ ⎟+⎝ ⎠

Ld คอผลตางความถระหวางชนนนกบชนทตากวา Ud คอผลตางความถระหวางชนนนกบชนทสงกวา

ความหมายของสตรนคอ ฐานนยมคอตวเลขทอยในชนทมความถสงสด แตอย “คอน” ไปใกลชนทมความถสงรองลงมาดงรป แตถาชนทอยขนาบสองขางมความถเทากน ฐานนยมจะอยกงกลางชนทมความถสงสด

2.4 คากลางขอมลชนดอนๆ

- คาเฉลยเรขาคณต G.M. = 1 2 3...N

Nx x x x = 1

NN i

i

x=∏

- คาเฉลยฮารโมนก

H.M. = 1 2

1 1 1...N

N

x x x+ + +

=

1

1

i

N

i

N

x=

⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

∑

- กงกลางพสย Midrange = min max

2X X+

3. ตาแหนงสมพทธของขอมล (Relative Standing) มธยฐานเปนคาทบอกวา มขอมลอยประมาณครงหนงของขอมลทงหมด ทนอยกวาคาน ซงยงมการบอกคาของตาแหนงขอมลแบบอนอกไดแก ควอรไทล เดไซล และเปอรเซนไทล


- ควอรไทล (Quartile) เปนการบอกคาของขอมล ณ ตาแหนงทถกแบงเปน 4 สวน - เดไซล (Decile) เปนการบอกคาของขอมล ณ ตาแหนงทถกแบงเปน 10 สวน - เปอรเซนไทล (Percentile) เปนการบอกคาของขอมล ณ ตาแหนงทถกแบงเปน 100 สวน

การหา “ตาแหนง” และ “คา” ของขอมลของควอรไทล เดไซล และเปอรเซนไทล มวธคลายกนคอ ขอมลทยงไมแจกแจงความถ คอขอมลตาแหนงท rQ ( 1

4r N + )

rD คอขอมลตาแหนงท ( 110r N )+

rP คอขอมลตาแหนงท ( 1100

r N )+ ขอมลทแจกแจงความถแลว

คาของ = rQ 4

r

L

Q

r fL I

f

⎛ ⎞−⎜ ⎟⎜ ⎟+⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

∑

คาของ = rD 10

r

L

D

r fL I

f

⎛ ⎞−⎜ ⎟⎜ ⎟+⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

∑

คาของ =rP 100

r

L

P

r fL I

f

⎛ ⎞−⎜ ⎟⎜ ⎟+⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

∑

ขอควรระวง สาหรบขอมลทยงไมแจกแจงความถ สตรทคานวณไดนน ใหคา ตาแหนงขอมล คอบอกวาอยเปนอนดบทเทาใดของขอมลทงหมด สวนสตรของขอมลทแจกแจงความถแลว ให คา ของขอมลทเปนควอรไทล เดไซล และเปอรเซนไทล ตามลาดบ

4. การกระจายของขอมล (Variation) การกระจายของขอมลเปนตวบอกวา ขอมลเกาะกลมหรอกระจายกนมากนอยเพยงใด ม 2 ประเภทคอ การกระจายสมบรณ และการกระจายสมพทธ 4.1 การกระจายสมบรณ (Absolute Variation)ใชบอกการกระจายของขอมลชดหนงๆโดยตรง นยมใชกน

4 แบบ ไดแก o พสย (Range)

ไมแจกแจง Range = max minX X− แจกแจง Range = ขอบบนชนสงสด- ขอบลางชนตาสด


o สวนเบยงเบนควอรไทล (Quartile Deviation) Q.D. = 3

2Q Q− 1 ทงขอมลแจกแจงและไมแจกแจงความถ

o สวนเบยงเบนเฉลย (Mean Deviation)

ไมแจกแจง M.D. = 1

N

ii

x x

N=

−∑

แจกแจง M.D. = 1

N

i ii

f x x

N=

−∑

o สวนเบยงเบนมาตรฐาน (Standard Deviation)

ไมแจกแจง S = 2

1( )

N

ii

x x

N=

−∑

แจกแจง S = 2

1( )

N

i ii

f x x

N=

−∑

4.2 การกระจายสมพทธ (Relative Variation) ใชเปรยบเทยบการกระจายตวระหวางขอมลหลายๆชดการ

กระจายสมพทธ ใชเปรยบเทยบการกระจายตวระหวางขอมลหลายๆชด เชน ถาจะเปรยบเทยบการกระจายของความสงระหวางนกเรยนสองหอง จะไมสามารถนาตวเลขการกระจายสมบรณไปเปรยบเทยบกนไดโดยตรง จะตองปรบใหเปนการกระจายสมพทธกอน ไดแก

สมประสทธพสย = max min

max min

x xx x

−+

สมประสทธสวนเบยงเบนควอรไทล = 3 1

3 1

Q QQ Q

−+

สมประสทธสวนเบยงเบนเฉลย = . .M Dx

สมประสทธสวนเบยงเบนมาตรฐาน = Sx

5. คามาตรฐาน (Standard Score)

การแจกแจงขอมลหลายๆชดทมคาเฉลยและสวนเบยงเบนมาตรฐานไมเทากน จะนามาเปรยบเทยบกนไดยาก เชน การไดคะแนนวชาเคมมากกวาคณตศาสตร ไมไดแปลเราเกงเคมมากกวา เพราะตองนาไปเปรยบเทยบกบคะแนนของคนอนๆทงหมดวาคะแนนของเราอยอนดบใด การนาไปเปรยบเทยบกนตองปรบคาขอมลใหเปนคาทเรยกวา “คามาตรฐาน” กอน ซงคอการทาใหคาเฉลยเปน 0 และสวนเบยงเบนมาตรฐานเปน 1 ดงน

คามาตรฐาน iZ = ix xs−


5.1 การแจกแจงขอมลแบบปกตมาตรฐาน (Standard Normal Distribution)

เสนโคงของความถเปนกราฟแสดงการแจกแจงของขอมล มไดหลายรปแบบ เชนเสนโคงปกต เสนโคงเบลาดทางซาย เสนโคงเบลาดทางขวา (ดงรป ตามลาดบ) ซงโคงปกต(รปแรก) เปนลกษณะทพบไดมากทสดใน

การแจกแจงขอมลจากธรรมชาต เชนนาหนก สวนสง ฯลฯ เมอปรบใหการแจกแจงปกตมคาเฉลย 0 และสวนเบยงเบนมาตรฐาน 1 เรยกวา การแจกแจงปกตมาตรฐาน (Standard Normal Distribution) พนทใตกราฟ

ตงแต x = a ถง x = b บอกความนาจะเปนทขอมลจะตกอยในชวง a และ b โดยเสนโคงปกตมาตรฐานจะมตารางพนทใตกราฟทตาแหนงตางๆเพอสะดวกแกการนาไปใชงาน

6. ความสมพนธเชงฟงกชนระหวางขอมล ถามคอนดบ (x,y) ทมแนวโนมจะมความสมพนธอยางใดอยางหนง เราสามารถประมาณคา y ณ จดอนๆทไมมขอมลได โดยการหาความสมพนธเชงฟงกชนระหวางขอมล แลวนามาทานายคาทตาแหนงอนๆได อยางไรกตามการหาความสมพนธเชงฟงกชนนตองสงเกตรปรางความสมพนธจากจดทมแลวตดสนใจเลอกวาจะจดเปนฟงกชนแบบใด 6.1 ฟงกชนเสนตรง สมการทวไปคอ y= mx + c การหา m และ c ทาไดโดยแกระบบสมการตอไปน

2

y m x cN

xy m x c x

= +

= +∑ ∑∑ ∑ ∑

6.2 ฟงกชนพาราโบลา

สมการทวไปคอ 2y ax bx c= + + ตองแกระบบสมการหาคา a, b และ c

2

3 2

2 4 3

y a x b x cN

2

xy a x b x c x

x y a x b x c x

= + +

= + +

= + +

∑ ∑ ∑∑ ∑ ∑ ∑∑ ∑ ∑ ∑


6.3 ฟงกชนเอกซโพเนนเชยล

สมการทวไปคอ xy ab=

log log logy a x b= + หาคา a และ b

2

(log ) log log

( log ) log log

y N a b x

x y a x b

= +

= +∑ ∑∑ ∑ x∑

Reference



ทฤษฎกราฟเบองตน สอนโดย วรภาส บญทอง (พปลา)


เนอหา แนวคดเกยวกบกราฟ กราฟเชงเดยว และกราฟหลายเชง กราฟเดยวกนและกราฟถอดแบบกน กราฟยอย ระดบขนของจดยอด กราฟเชอมโยง กราฟออยเลอร การประยกตกราฟออยเลอร กราฟถวงนาหนก วถทสนทสด ตนไม และตนไมแผทว การประยกตของกราฟ

ในชวตประจาวน กจกรรมทคนเราทาอยเปนประจานน กเพอแกปญหาทเกดขนจรงในการดาเนนชวต หลายปญหา

สามารถสรางแบบจาลองทเหมาะสมแทนปญหา ซงทาใหปญหาเขาใจไดงายขน แลวแกปญหาโดยการหาคาตอบจากแบบจาลอง จากนนจงนาคาตอบทไดจากแบบจาลองมาอธบายผลทเกดขนจากปญหาจรง ซงปญหาทเราสามารถจาลองปญหาโดยการใชจดและเสน ชวยในการแกปญหาใหงายขน เปนทมาของทฤษฎกราฟนนเอง และตอจากนเราจะมาพดกนถงทฤษฎทวาดวยจดและเสน แตเนองดวยเรองนเปนเรองทใหม จงจาเปนทจะตองทาความเขาใจกบนยามตาง ๆ

1. แนวคดเกยวกบกราฟ

บทนยาม กราฟ G ประกอบดวย เซตจากด 2 เซต คอ 1. เซตทไมเปนเซตวางของจดยอด (Vertex) แทนดวยสญลกษณ V(G) 2. เซตของเสนเชอม (Edge) ทเชอมระหวางจดยอด แทนดวยสญลกษณ E(G)

จากบทนยามใหสงเกตวา กราฟ นนจะตองประกอบดวยจดเสมอ แตเสนจะมหรอไมกได นนคอ V(G) เสมอ แต E(G) สามารถเปนเซตวางได

≠ ∅

การเรยกชอของจดยอดนน ใหเรยกจากสญลกษณทกากบจดนนไดเลย สวนการเรยกชอของเสนเชอม สามารถเรยกได 2 ลกษณะ คอ เรยกจากสญลกษณทกากบเสนเชอมนนไดเลย หรอกรณทเสนเชอมนนไมมสญลกษณกากบ ใหเรยกจากจดยอดทงสองของเสนเชอมนน ดงแสดงในตวอยาง ตวอยางท 1 จงพจารณาวารป A, B และ C เปนกราฟหรอไม เพราะเหตใด A เปนกราฟเนองจากเซตของจดยอดไมเปนเซตวาง V1A B ไมเปนกราฟเนองจากเซตของจดยอดเปนเซตวาง

GRAPH THEORY หนา 100 วรภาส บญทอง

C เปนกราฟเนองจากเซตของจดยอดไมเปนเซตวาง

B V1V2

C

ตวอยางท 2 กาหนดกราฟ G1 และ G2 ดงรป จงหาเซตของจดยอด และเสนเชอมของกราฟ จากกราฟทกาหนดให

GRAPH THEORY หนา วรภาส บญทอง

จากกราฟ G1 ทกาหนดให จะไดวา V(G)={A, B, C, D} E(G)={e1, e2, e3, e4}={AB, BC, AC, CD}

จากกราฟ G2 ทกาหนดให จะไดวา V(G)={A, B, C, D} E(G)={ e1, e2, e3, e4, e5} จากตวอยางท 2 จะสงเกตเหนไดวา เสนเชอม e1 และ e2 เปนเสนเชอมทเชอมระหวางจดยอดคเดยวกน คอ จดยอด A และ C หากเราเรยกเสนเชอม e1 และ e2 โดยอาศยจดยอดของเสนเชอม จะพบวาทงเสนเชอม e1 และ e2 มชอ AC เหมอนกน ทาใหไมสามารถแยกเสนเชอมทงสองออกจากกนได จงสรปไดวา การเรยกชอเสนเชอมจากจดยอดทงสองของเสนเชอมนน ทาไดในกรณท จดยอดทงสองมเสนเชอมเพยงเสนเดยวเทานน

D e4

e2 e1

A C e3

G1

G2

e4

e3

e2e1

C D

B A

B

e5

บทนยาม จดยอด u และ v ของกราฟเปน จดยอดประชด (Adjacent Vertices) กตอเมอ มเสนเชอมระหวางจดทงสอง และเราเรยกจดยอด u และ v วา จดปลาย (End Point) ของเสนเชอมนน

เสนเชอม e ของกราฟ เกดกบ (Incident) จดยอด v ถาจดยอด v เปนจดปลายจดหนงของเสนเชอม e ตวอยางท 3 จงแสดงวาจดยอดใดเปนจดยอดประชด และเสนเชอมแตละเสนเกดกบจดยอดใด จดยอด A และจดยอด B เปนจดยอดประชด จดยอด A และจดยอด C เปนจดยอดประชด จดยอด A และจดยอด D ไมเปนจดยอดประชด จดยอด B และจดยอด C เปนจดยอดประชด จดยอด B และจดยอด D ไมเปนจดยอดประชด จดยอด C และจดยอด D เปนจดยอดประชด

D e4

e3

G1

e2 e1

C A

B

เสนเชอม e1 เกดกบ จดยอด A และ จดยอด B เสนเชอม e2 เกดกบ จดยอด B และ จดยอด C เสนเชอม e3 เกดกบ จดยอด A และ จดยอด C เสนเชอม e4 เกดกบ จดยอด C และ จดยอด D

บทนยาม เสนเชอมตงแต 2 เสนทเชอมระหวางจดยอดคเดยวกน เรยกวา เสนเชอมขนาน (Parallel Edges) เสนเชอมทเชอมจดยอดเพยงจดเดยว เรยกวา วงวน (Loop)

101


จากภาพจะพบวา เสนเชอม e1 และ e2 เชอมระหวางจดยอดคเดยวกน คอ จดยอด A และ C ดงนนจะไดวา e1 และ e2 เปนเสนเชอมขนานทเกดกบจดยอด A และ C นอกจากนจะพบอกวา e5 เปนเสนเชอมทเชอมจดยอด B เพยงจดเดยว จงเรยก e5 วา วงวน

หมายเหต

G2

e4

e3

e2e1

C D

B A e5

ในการเขยนแผนภาพของกราฟนน จะกาหนดตาแหนงของจดยอด ณ ตาแหนงใดกได และจะลากเสนเชอมของกราฟเปนเสนตรง หรอเสนโคง มความยาวเปนเทาใดกได โดยทเสนทลากจะไมตดกบตวมนเอง และไมลากผานจดยอดทไมใชจดยอดของเสนเชอมนน เชน กราฟ G1 และ G2 ถอวาเปนกราฟเดยวกน (จะกลาวถงกราฟเดยวกนในหวขอถดไป) เสนเชอมสองเสนของกราฟ อาจลากตดกนได โดยทจดตดของเสนทงสองไมถอวาเปนจดยอดของกราฟ เชน กราฟ G3 และ G4 ถอวาเปนกราฟเดยวกน

e2 e3

e4e5

e1 B

C G1

A e4 e3A

B e2e5

e1

D

D C

G2

2. กราฟเชงเดยว และกราฟหลายเชง

บทนยาม กราฟเชงเดยว (Simple Graph) คอ กราฟทไมมวงวน และไมมเสนเชอมขนาน กราฟหลายเชง (Multigraph) คอ กราฟทมวงวน หรอมเสนเชอมขนาน

ตวอยางท 4 พจารณากราฟตอไปนวาเปนกราฟเชงเดยว หรอกราฟหลายเชง เพราะเหตใด

กราฟ G1 เปนกราฟเชงเดยว เพราะ ไมมทงวงวน และเสนเชอมขนาน

กราฟ G2 เปนกราฟหลายเชง เพราะ มวงวน

กราฟ G3 เปนกราฟหลายเชง เพราะ มเสนเชอมขนาน

กราฟ G4 เปนกราฟหลายเชง เพราะ มทงวงวน และเสนเชอมขนาน

G1

A G3

B C B

D G4

C

D A

G2

G4G3

3. กราฟเดยวกน และกราฟถอดแบบกน

บทนยาม เรากลาววา กราฟ G1 และกราฟ G2 เปน กราฟเดยวกน (Identical) กตอเมอ V(G1)=V(G2) และ E(G1)=E(G2) เรากลาววา กราฟ G1 และกราฟ G2 เปน กราฟถอดแบบกน (Isomorphic) กตอเมอมฟงกชน ซงเปนฟงกชนหนงตอหนงจาก V(G

Φ

1) ไปทวถง V(G2) โดยท uv∈E(G1) กตอเมอΦ (u)Φ (v) ∈E(G2) สาหรบทก ๆ จดยอด u และ จดยอด v ใน G1

อยาพงตกตะลง วานคอนยามอะไรกน เพราะจรง ๆ แลวไมมอะไรยาก มาลองทาความเขาใจกนด กราฟเดยวกน กคอกราฟทมจดยอดทกจด และเสนเชอมทกเสนเหมอนกน อกทงยงใชชอเหมอนกนอกดวย สวนกราฟถอดแบบกน กคอกราฟเดยวกนทมการเปลยนชอจดยอด และชอเสนเชอมนนเอง ลองดตวอยาง ตวอยางท 5 พจารณากราฟตอไปนวาเปนกราฟเดยวกน หรอกราฟถอดแบบกน เพราะเหตใด

e2 e3

e4e5

e1 B

C G1

A

e4 e3A

B e2e5

e1

D D C

G2 จะเหนไดวากราฟ G1 และกราฟ G2 มเซตของจดยอดเหมอนกน คอ V(G1)=V(G2)={A, B, C, D} และมเซตของ

เสนเชอมเหมอนกน คอ E(G1)=E(G2)={e1, e2, e3, e4, e5} โดยท เสนเชอม e1 เกดกบ จดยอด A และจดยอด B เสนเชอม e2 เกดกบ จดยอด A และจดยอด C เสนเชอม e3 เกดกบ จดยอด C และจดยอด D เสนเชอม e4 เกดกบ จดยอด B และจดยอด D เสนเชอม e5 เกดกบ จดยอด B และจดยอด C เหมอนกนทงหมด แมนวาจะมลกษณะการวางตาแหนง และลกษณะเสนเชอมทแตกตางกนกตาม ดงนนกราฟ G1 และกราฟ G2 จงเปนกราฟเดยวกน ตวอยางท 6 พจารณากราฟตอไปนวาเปนกราฟเดยวกน หรอกราฟถอดแบบกน เพราะเหตใด

u6

G1

u3u2

u1

v6

G2

v3v2

v1

u4 v4

u5 v5 จะเหนไดวากราฟ G1 และกราฟ G2 ดผาน ๆ เหมอนจะเปนกราฟเดยวกน มจดทแตกตางกนเพยงชอของจดยอด ซงมฟงกชน ซงนยามวา (uΦ Φ i)=vi โดยท i=1, 2, 3, 4, 5, 6 เปนฟงกชนหนงตอหนงจาก V(G1) ไปทวถง V(G2) โดยท โดยท uiuj∈E(G1) กตอเมอ vivj∈E(G2) ดงนน กราฟ G1 และกราฟ G2 จงเปนกราฟถอดแบบกน (เราใชสญลกษณ G1≅ G2 แทน G1 และ G2 เปนกราฟถอดแบบกน)

GRAPH THEORY หนา วรภาส บญทอง 103

4. กราฟยอย (Subgraph)

บทนยาม กราฟยอย (Subgraph) ของกราฟ G คอ กราฟทประกอบดวยจดยอดและเสนเชอมใน G กลาวคอ G2 เปนกราฟยอยของกราฟ G1 ถา V(G2) V(G⊂ 1) และ E(G2) E(G⊂ 1)

ตวอยางท 7 กราฟตอไปน กราฟใดเปนกราฟยอยของกราฟ G บาง


Q R

P S G5

A D

B

C

e1

e3

e4

e5

e2

G

A C

B

D e3

e2

D

e5 e1

e6

e4

G

C B A

D E F

G e4

e5 e2

e6 e1

e3

a

b

d

c

f

g

e

h

G

a b c

h d

g f e H

e b

c a

d

G d c

e b

a

:: Exercise I :: 1. จากกราฟ G ทกาหนดใหแตละขอ ใหเขยน V(G), E(G), deg A, deg D และตอบวาจดยอด D ประชดกบ จดยอดใด และเสนเชอม e3 เกดกบจดยอดใด 1.1 1.2 1.3

2. พจารณาวากราฟ G และกราฟ H ในแตละขอตอไปน วาเปนกราฟเดยวกนหรอไม จงใหเหตผลประกอบ 2.1 2.2

3. จงเขยนกราฟทมเงอนไขดงน 3.1 จดยอด คอ a, b, c, d และ e เสนเชอม คอ ab, ad, bc, bd, cd, ce และ de 3.2 กราฟหลายเชงทมจดยอด 6 จด และเสนเชอมรวม 13 เสน

H

V(G)={A, B, C, D} E(G)={AB, BC, CD, AD, BD} V(G1)={A, B, C, D} E(G1)={AB, BC, CD } V(G1)⊂V(G) E(G1)⊂ E(G) V(G2)={A, B, C, D} E(G2)={AB, BC, CD, AD, AC} V(G1)⊂V(G) E(G1)⊄ E(G) V(G3)={A, B, C, D} E(G3)={BC, AD, BD} V(G1)⊂V(G) E(G1)⊂ E(G) V(G4)={A, B, C, D} E(G4)={AB, BC, CD, AD, BD} V(G1)⊂V(G) E(G1)⊂ E(G) V(G5)={P, Q, R, S} E(G5)={AB, BC, CD, AD, BD} V(G1)⊄V(G) E(G1)⊄ E(G) ∴ กราฟ G1, G3 และ G4 เปนกราฟยอยของกราฟ G เพราะประกอบดวยจดยอดและเสนเชอมใน G

B C

A G

B C

A D A D

B C

GA D

B C

GG1 2 3

A B

D C

G4

104

5. ระดบขนของจดยอด (Degree)

บทนยาม ให u เปนจดยอดในกราฟ G ระดบขนของจดยอด (Degree) ของจดยอด u ในกราฟ G คอ จานวนครงทงหมดทเสนเชอมเกดกบจดยอด u เขยนแทนดวย degG(u) หรอ deg u 1. เรยกจดยอดทมระดบขนเปน 0 วา จดยอดเอกเทศ (Isolated Vertex) 2. เรยกจดยอดทมระดบขนเปน 1 วา จดยอดปลาย (End Vertex) 3. เรยกจดยอดทมระดบขนเปนจานวนค วา จดยอดค (Even Vertex) 4. เรยกจดยอดทมระดบขนเปนจานวนค วา จดยอดค (Odd Vertex) ระดบขนตาสด (Minimum Degree) เขยนแทนดวย δ (G) ระดบขนสงสด (Maximum Degree) เขยนแทนดวย ∆ (G)

ตวอยางท 8 จงพจารณาวาจดยอดแตละจดยอดในกราฟมระดบขนของจดยอดเปนเทาใด และเปนจดยอดชนดใด


G1

B A e3 พรอมทงระบระดบขนตาสด และระดบขนสงสด

จะเหนไดวา เสนเชอมทเกดกบจด A ไดแก เสนเชอม e1, e2 และ e3 รวม 3 เสน นนคอ จานวนครงทงหมดทเสนเชอมเกดกบจดยอด A เปน 3 สรปไดวา ระดบขนของจดยอด A เปน 3

e5 e1 e2

ในทานองเดยวกน เราสามารถหาระดบขนของจดยอด C และ D ดวยวธการเดยวกนน ไดผลเปน 3 และ 1 ตามลาดบ

e4 C D

สาหรบจดยอด B นน เมอสงเกตใหดจะพบวามวงวนปรากฏอย ซงการนบระดบขนของจดยอดทมวงวนอยดวยนน ใหนบวงวนนนวามจานวนครงทเสนเชอมเกดกบจดยอดเปน 2 เนองจากเสนเชอม e5 มจดยอดทปลายทงสองดาน คอ จด B ทงค ดงนนกราฟน มจานวนครงทงหมดทเสนเชอมเกดกบจดยอด B เปน 3 โดยนบจาก e5 วาเปน 2 และนบจาก e3 วาเปน 1

จดยอด จานวนครงทงหมดทเสนเชอมเกดกบจดยอด ระดบขนของจดยอด ประเภทของจดยอด A 3 3 จดยอดค B 3 3 จดยอดค C 3 3 จดยอดค D 1 1 จดยอดปลาย (ค) ม δ (G)=1 และ (G)=3 ∆

ลองพจารณาตวอยางท 8 ใหละเอยดถถวน แลวจะคนพบความสมพนธระหวางผลรวมของระดบขนของจดยอดทกจดในกราฟ กบจานวนเสนเชอมของกราฟ เปนไปตามทฤษฎบทตอไปน

ทฤษฎบทท 1 ให u1, u2, u3, …, u|V(G)| เปนจดยอดทงหมดในกราฟ G จะไดวา = 2|E(G)| |V(G)|

ii 1

deg u=∑

นนคอ ผลรวมของดกรของจดยอดทกจดในกราฟมคาเทากบ 2 เทาของจานวนเสนเชอมในกราฟนน ทฤษฎบทท 2 กราฟทกกราฟมจดยอดคเปนจานวนค

105

สงเกตวา เสนเชอมแตละเสนในกราฟเกดกบจดยอดเปนจานวนสองครง ทจดยอดทงสองของเสนเชอมนน ดงนนในการนบระดบขนของจดยอด เสนเชอมแตละเสนจะถกนบทจดยอดละ 1 ครง รวมเปน 2 ครง นนคอ ผลรวมของระดบขนของจดยอดทกจดในกราฟเทากบสองเทาของจานวนเสนเชอมในกราฟนน เพราะ 1 เสนเชอม ตองถกนบ 2 ครงเสมอ เมอผลรวมของระดบขนของจดยอดทกจดในกราฟเปนสองเทาของจานวนเสนเชอมในกราฟ นนหมายความวาผลรวมของระดบขนของจดยอดยอมเปนจานวนคเสมอ ดงนน หากในกราฟทสนใจประกอบดวยจดยอดคแลว จดยอดคนนยอมตองมเปนจานวนคเสมอ ถงจะทาใหผลรวมของระดบขนของจดยอดเปนจานวนคได ฉะนนหากใครมาบอกเราวากราฟทเขาเขยนนน มจดยอดคเปนจานวนคจด พงรไวในใจเลยวา เขาโกหกเรา ตวอยางท 9 จงพจารณาวาจดยอดแตละจดยอดในกราฟมระดบขนของจดยอดเปนเทาใด และเปนจดยอดชนดใด พรอมทงตรวจดวากราฟนมลกษณะเปนไปตามทฤษฎบททงสองหรอไม


G

A B

D C

e1

e2

e3 e4 E

= degA + degB + degC + degD + degE = 2+1+2+3+0 = 8 = 2(4) = 2|E(G)| ตรงตามทฤษฎบทท 1 |V(G)|

ii 1

deg u=∑

จดยอด ระดบขนของจดยอด ประเภทของจดยอด A 2 จดยอดค B 1 จดยอดปลาย (ค) C 2 จดยอดค D 3 จดยอดค E 0 จดยอดเอกเทศ

จดยอด B และจดยอด D เปนจดยอดค นนคอ มจดยอดค 2 จด เปนจานวนค ตรงตามทฤษฎบทท 2 ตวอยางท 10 จงหาจานวนเสนเชอมของกราฟ ทมผลรวมของระดบขนของจดยอดทกจดในกราฟเทากบ 38 จากทฤษฎบทท 1 คอ ผลรวมของดกรของจดยอดทกจดในกราฟมคาเทากบ 2 เทาของจานวนเสนเชอมในกราฟนน ให n เปนจานวนเสนเชอมทงหมดของกราฟ สามารถแปลงโจทยเปนสมการไดดงน 38 = 2n n = 19 ∴ กราฟมเสนเชอม 19 เสน ตวอยางท 11 จงหาจานวนจดยอดของกราฟทมเสนเชอม 20 เสน และมจดยอด 4 จด ทมระดบขนของจดยอด 3 สวนจดยอด ทเหลอมระดบขนของจดยอด 4 ให n เปนจานวนจดยอดทงหมดของกราฟ ไดจานวนจดยอดทมระดบขนของจดยอด 4 เปน n-4 จากทฤษฎบทท 1 คอ ผลรวมของดกรของจดยอดทกจดในกราฟมคาเทากบ 2 เทาของจานวนเสนเชอมในกราฟนน สามารถแปลงโจทยเปนสมการไดดงน (4)(3)+(n-4)(4) = 2(20) 12+4n-16 = 40 4n = 44 n = 11 ∴จานวนจดยอดทงหมดของกราฟน คอ 11 จด

106

ตวอยางท 12 จะสามารถลากสวนของเสนตรง 17 เสนบนระนาบ โดยมเงอนไขวา แตละเสนจะตองตดกบสวนของเสนตรง อน 7 ครงพอด ไดหรอไม โจทยขอนแปลงเปนกราฟได โดย ใหจดยอดแทนสวนของเสนตรง และเสนเชอมแทนการตดกนของสวนของเสนตรง จะไดวา กราฟนมจดยอด 17 จด โดยทจะเปนไปตามเงอนไขเมอทกจดยอดมระดบขนของจดยอดเปน 7 นนหมายความวากราฟนมจดยอดค (จดยอดทมระดบขนของจดยอดเปน 7) อยเปนจานวนคจด (17 จด) ขดแยงกบทฤษฎบทท 2 ∴ ไมสามารถลากสวนของเสนตรง 17 เสนบนระนาบ ตามเงอนไขทโจทยระบได


C B A

D E F

G e b

c a B D Y d X

:: Exercise II :: 1. โรงเรยนอนบาลหมนอยมนกเรยนทงสน 375 คน เปนไปไดหรอไมทนกเรยนทกคนจะรจกเพอน 75 คนพอด

2. ในกฬาอะตอมเกมส มมหาวทยาลยรวมแขงเปากบ 21 แหง จะมการแขงขนกนด หากแขงแบบพบกบหมด 3. เปนไปไดหรอไมทจดยอด 4 จดของกราฟจะมระดบนนของจดยอดเปน 15, 12, 13, 8 ตามลาดบ 4. จงพจารณาวาจดยอดแตละจดยอดในกราฟมระดบขนของจดยอดเปนเทาใด และเปนจดยอดชนดใด พรอมทงระบระดบขนตาสด และระดบขนสงสด 4.1 4.2 4.3

G A C

G

6. กราฟเชอมโยง (Connected Graph)

บทนยาม ให G เปนกราฟใด ๆ ทมจดยอดตงแต 2 จดขนไป u, v เปนจดยอดทแตกตางกนใน G และใช สญลกษณ uv แทนเสนเชอมระหวาง u กบ v แนวเดน u-v (u-v Walk) คอ ลาดบจากดของจดยอดและเสนเชอมสลบกน โดยเรมตนทจดยอด u และสนสดทจดยอด v และแตละเสนเชอม ei เกดกบจดยอด ui-1 และ ui เมอ i∉{1, 2 ,3, …, n} เขยนเปนสมการได ดงน u = u0, e1, u1, e2, u2, …, en-1, un-1, en, un = v กรณทกราฟเปนกราฟเชงเดยว สามารถเขยนแนวเดนดวยลาดบของจดยอด รอยเดน (Trail) คอ แนวเดนในกราฟ ทเสนเชอมทงหมดแตกตางกน วถ (Path) คอ แนวเดนในกราฟ ทจดยอดทงหมดแตกตางกน วงจร (Circuit) คอ แนวเดนทเสนเชอมทงหมดแตกตางกน โดยมจดเรมตนและจดสดทาย เปนจดยอดเดยวกน วฏจกร (Cycle) วงจรทไมมจดยอดซากน ยกเวนจดเรมตน และจดสดทาย กราฟ G เปน กราฟเชอมโยง (Connected Graph) กตอเมอ สาหรบทกจดยอด u และ v ใด ๆ ทเปน

107

จดยอดตางกนในกราฟ G มแนวเดน u-v

กราฟทไมเชอมโยง จะสามารถแบงออกเปนสวน ๆ ซงแตละสวนยอยเปนกราฟเชอมโยง แตละสวนยอยนเรยกวา องคประกอบเชอมโยง (Connected Component) หรอเรยกสน ๆ วา องคประกอบ (Component) ของกราฟ บางครงเมอพจารณากราฟทไมเชอมโยง เราอาจจะพจารณาแตละองคประกอบ ซงจะเปนกราฟเชอมโยง

V1 V4 V8

ตวอยางท 13 V1, V2, V3, V4 เปน แนวเดน V1-V4

V1, V2, V3, V4, V5, V6, V3, V4 เปน แนวเดน V1-V4

V3 V5 V7

V1, V3, V6, V5, V4 เปน แนวเดน V1-V4

V1, V2, V3, V4 เปน รอยเดน

V2 V6 V9 G

V1, V3, V6, V5, V4 เปน รอยเดน V1, V2, V3, V4 เปน วถ V1, V3, V6, V5, V4 เปน วถ V1, V2, V3, V6, V5, V7, V9 เปน วถ V1, V2, V3, V1 เปน วงจร V1, V3, V4, V5, V6, V3, V2, V1 เปน วงจร V1, V2, V3, V1 เปน วฏจกร ตวอยางท 14 จงอธบายวา กราฟตอไปน เปนกราฟเชอมโยงหรอไม เพราะเหตใด

D C

A

A, B เปน แนวเดน A-B B, C, D เปน แนวเดน B-D A, C เปน แนวเดน A-C B, C, D, E เปน แนวเดน B-E

B E A, C, D เปน แนวเดน A-D C, D เปน แนวเดน C-D G1 A, C, D, E เปน แนวเดน A-E C, D, E เปน แนวเดน C-E

B B, C เปน แนวเดน B-C D, E เปน แนวเดน D-E A ∴ กราฟ G1 เปนกราฟเชอมโยง เนองจากทกคของจดยอดสามารถหาแนวเดนได

G2

สวนกราฟ G2 พจารณาเพยงแคจดยอด A และ B กจะเหนแลววา เราไมสามารถหาแนวเดน A-B ได ∴ กราฟ G2 ไมเปนกราฟเชอมโยง

7. กราฟออยเลอร (Eulerian Graph) กราฟออยเลอร (Eulerian Graph) มตนกาเนดมาจากการตอบปญหาปรศนาสะพานเคอรนกสเบอรก ซงเปนปญหาการเดนผานสะพานทก ๆ สะพาน สะพานละ 1 ครง แลวกลบมาทจดเดม อนเสมอนกบปญหาการลากดนสอไปในกราฟ โดยใหผานเสนทงหมด เสนละ 1 ครง และกลบมาทจดเดม

บทนยาม รอยเดนออยเลอร (Eulerian Trail) คอ รอยเดนซงผานจดยอดทกจด และเสนเชอมทกเสนของกราฟ วงจรออยเลอร (Eulerian Circuit) คอ วงจรซงผานจดยอดทกจด และเสนเชอมทกเสนของกราฟ กราฟซงมวงจรออยเลอร จะเรยกวา กราฟออยเลอร (Eulerian Graph)

GRAPH THEORY หนา วรภาส บญทอง 108

สงเกตวา กราฟออยเลอรจะเปนกราฟเชอมโยงเสมอ เพราะผานจดยอดทกจด ลกษณะเฉพาะของกราฟออยเลอร และรอยเดนออยเลอร

ให G เปนกราฟเชอมโยง จะไดวา G เปนกราฟออยเลอร กตอเมอ จดยอดทกจดของ G เปนจดยอดค ให G เปนกราฟเชอมโยง จะไดวา G มรอยเดนออยเลอร กตอเมอ G มจดทเปนจดคไมเกน 2 จด ยงไปกวานน จดคเหลานจะเปนจดเรมตนและจดปลายของรอยเดนออยเลอร

*** หากอยากรวาเปนเพราะอะไร เลอกเขาเรยนตอภาควชาคณตศาสตร มหาวทยาลยมหดล นะครบ รบรอง รแนนอน ลองสงเกตจะพบวา แนวเดนทเปนวงจรออยเลอรตองมสมบตสามประการดงน

1. แนวเดนนนผานเสนเชอมทกเสนของกราฟ 2. แนวเดนนนไมผานเสนเชอมใดเกนหนงครง


B เปนจดยอดค แตกราฟ G ในโจทย แมนวาจะเปนกราฟเชอมโยง แตจดยอด C C

ตวอยางท 15 จงพจารณาวากราฟ G ตอไปน เปนกราฟออยเลอร หรอไม กราฟ G จะเปนกราฟออยเลอร เมอกราฟ G เปนกราฟเชอมโยง และทกจดยอด

3. มจดเรมตนและจดสนสดเปนจดเดยวกน

E D และจดยอด E เปนจดยอดค A G ∴กราฟ G ไมเปนกราฟออยเลอร

บทนยาม ให G เปนกราฟใด ๆ วฏจกรใน G ทผานครบทกจดยอดของ G เรยกวา วฏจกรแฮมลตน (Harmiltonian Cycle) กราฟซงมวฏจกรแฮมลตน จะเรยกวา กราฟแฮมลตน (Harmiltonian Graph)

ความแตกตางระหวางวงจรออยเลอร และวฏจกรแฮมลตน

วงจรออยเลอรผานเสนเชอมครบทกเสน เสนละ 1 ครง แตอาจผานจดยอดใดเกนหนงครงได วฏจกรแฮมลตน ผานจดยอดครบทกจดยอด แตอาจไมผานเสนเชอมบางเสนเลยกได

V1 V4

ตวอยางท 16 จงพจารณาวากราฟ G ตอไปน เปนกราฟออยเลอร หรอกราฟแฮมลตน V1, V3, V4, V5, V6, V3, V2, V1 เปนวงจรออยเลอร แสดงวากราฟ G มวงจรออยเลอร

V3 V5

∴กราฟ G เปนกราฟออยเลอร V1, V2, V3, V4, V5, V6 เปนวฏจกรแฮมลตน

V2 V6 แสดงวากราฟ G มวฏจกรแฮมลตน

G ∴กราฟ G เปนกราฟแฮมลตน

8. การประยกตกราฟออยเลอร หากเราไปเทยวมหกรรมพชสวนโลก แลวตองการเดนใหทวงานอยางไมเหนอยมากภายในวนเดยว เราควรเดนใหผานทกเสนทาง โดยทไมซาเสนทางเดม แลวกลบมายงจดทเราเขา หรอถงทางออกพอด ปญหานแกไดไมยาก เพยงแคเราวาง

109

แผนการเดนลวงหนา โดยเดนเปนรอยเดนออยเลอร หรอวงจรออยเลอร ปญหากจะหมดไป แลวทนเราจะสามารถหาวงจรออยเลอร ไดอยางไรโดยไมตองเดาสม ขนตอนวธของฟลรยชวยเราได ลองตามไปดกน

ขนตอนวธของฟลรย (Fleury’s Algorithm) ให G เปนกราฟออยเลอร แลววงจรออยเลอรสามารถหาได ดงนน 1. เรมทจดใด ๆ ในกราฟ จากนนเดนตามเสนเชอมใน G ไปเรอย ๆ เมอเดนผานเสนใดกใหลบเสนนนออกจากกราฟ 2. ในการเลอกเสนทผานนน มเงอนไขดงน 2.1 เลอกเสนเชอมทเชอมกบจดกอนหนา 2.2 ไมเลอกเสนเชอมทจะทาใหกราฟทเหลอไมเปนกราฟเชอมโยง นอกจากไมมทางเลอกอน 3. ไดวงจรออยเลอรตามลาดบของเสนเชอมทลบทงไป

ตวอยางท 17 จงหาวงจรออยเลอรของกราฟ G ทกาหนดให โดยใชขนตอนวธของฟลรย b d เนองจากจดยอดทกจดในกราฟ G เปนจดค ดงนนสามารถหาวงจรออยเลอรได

ขนท 1 เลอกจดยอดใดกไดในกราฟ สมมตเลอกจดยอด d ขนท 2 เลอกเสนเชอมใดกไดทเชอมกบจดยอด d ในทนเลอกเสนเชอม dc แลวลบ dc

e a c G

ออกจากกราฟ


b d

a c e G

b d

a c e G-{dc}

b d

a c e G-{dc, cb}

b d

a c e

G-{dc, cb, ba} ขนท 3 เลอกเสนเชอมทยงไมถกเลอกและเชอมกบจดยอด c ในทนเลอกเสนเชอม cb (ตามเงอนไข 2.2) แลวลบ cb ออก ขนท 4 ทาเชนนเรอยไปจนกวาจะครบทกเสน โดยในทนเรยงลาดบดงน ba, ac, ae และ ed ตามลาดบ

a c e

b d

G-{dc, cb, ba, ac, ce, ed} a c e

b d

G-{dc, cb, ba, ac, ce}

b d

a c e

G-{dc, cb, ba, ac} ∴ ได dc, cb, ba, ac, ce, ed หรอ d, c, b, a, c, e, d เปนวฏจกรออยเลอร

a f

b c

e d G

c

b

d c b a e e d

i f h f g a G G

:: Exercise III :: 1. จงหาวงจรแบบออยเลอรจากกราฟ G ตอไปน ดวยขนตอนวธของฟลรย

1.1 1.2 1.3

2. ยกตวอยางกราฟทเปนกราฟแฮมลตนแตไมเปนกราฟออยเลอร และเปนกราฟออยเลอรแตไมเปนกราฟแฮมลตน

110

9. กราฟถวงนาหนก (Weighted Graph) 9. กราฟถวงนาหนก (Weighted Graph) สถานการณทเกดขนจรงบางสถานการณ เราสามารถแกปญหาโดยใชกราฟทมตวเลขกากบบนเสนเชอมแตละเสนในกราฟ ซงโดยทวไปตวเลขทกากบบนเสนเชอมในกราฟ อาจใชแทนคาใชจาย ระยะทาง เวลา ฯลฯ เชน แผนทมหกรรมพชสวนโลก ซงเราใชกราฟเปนแบบจาลอง โดยใชจดยอดแทนตาแหนงของโซนตนไม และเสนเชอมระหวางจดยอดสองจด ซงมตวเลขกากบไวบนเสนแตละเสนในกราฟ แทน ระยะทางระหวางโซนตนไม เราเรยกตวเลขกากบบนเสนในกราฟ วา คานาหนก (Weight) ของเสนเชอม และเรยกกราฟทมลกษณะดงกลาวนวา กราฟถวงนาหนก (Weighted Graph)

บทนยาม คานาหนก (Weight) ของเสนเชอม e ในกราฟ คอจานวนจรงทไมเปนลบ ทกาหนดไวบนเสนเชอม e นาหนกของเสนเชอม e เขยนแทนดวย W(e) กราฟถวงนาหนก (Weighted Graph) คอ กราฟททกเสนเชอมมคานาหนก ความยาวของวถในกราฟถวงนาหนก G คอ ผลรวมของนาหนกของทก ๆ เสนในวถนน เขยนแทนดวย W(G) ให G เปนกราฟเชอมโยงทมนาหนก u และ v เปนจดใน G ระยะทาง d(u,v) คอ ความยาวของ วถ u-v ทนอยทสด

b


a c e

b d

G1

27 19

12 25 17 8

fตวอยางท 18 จงหาคานาหนกของเสนเชอม bc และ cd รวมทงหาความยาวของวถในกราฟถวงนาหนก G1 และ G2

11 17 11 17 14 14 W(bc)=25 W(bc)=11

a d G +8+27+19=108 +21+9+23=107 c

2

e

1 W(G)=12+25+17 W(G)=12+11+17+14 12 W(cd)=17 W(cd)=9

2 9 23 23

10. วถทสนทสด (Shortest Path)

ขนตอนวธของไดคสตรา (Dijkstra Algorithm) ให G เปนกราฟเชอมโยงทมนาหนก และ u0 เปนจดใด ๆ ใน G ให d(u) คอ ระยะทางทสนทสดจากจดเรมตนถง u ให w(uv) คอ ระยะทางจากจด u ถง v ให V(G) คอ จานวนจดใน G 1. ให i=0, S0={u0}, d(u0)=0 และ d(v)=∞สาหรบทก ๆ จดยอด v≠ u0

ขนตอนวธนจะจบลง เมอ V(G)=1 ถา V(G)≠ 1 ในดาเนนตอไปในขนตอนท 2 2. สาหรบแตละ v∈ iS ใหแทนคา d(v) ดวย min{d(v), d(ui)+w(uiv)} ถาคาทนอยทสดนกอใหเกดคาใหของ d(v) ขนแลว ใหกาหนดคาให v เสยใหมดวยคลาดบ (d(v), ui)

3. ใหพจารณาแทนคา min

iSv∈ {d(v)} และเรยกจดทกอใหเกดคานอยทสดนวา ui+1

4. กาหนดให Si+1=Si∪ {ui+1} แลวแทนคา i ดวย i+1 ถา i=V(G)-1 ขนตอนวธจบ แตถา i V(G)-1 ใหกลบไปทขนตอนท 2 แลวทาตอไป ≠

111

หลายคนอานขนตอนวธของไดคสตราแลวเกดอาการงงเปนอยางยง ใครทมอาการดงกลาวใหลองทาความเขาใจจากคาอธบายนด “ใหเราตงตนทจดยอดเรมตนทโจทยกาหนด จากนนใหพจารณากบจดยอดทประชดกบจดยอดเรมตนนน วาระหวางจดยอดคใดทเสนเชอมมคานาหนกนอยทสด ใหเราเลอกลากเสนตามเสนเชอมนน ถงตอนนเราจะไดจดยอด 2 จด กบเสนเชอม 1 เสน ใหเราพจารณาจดยอดทง 2 จด โดยอาศยหลกการเดม คอดวาเสนเชอมระหวางจดยอดประชดคใด(จดหนงเปนจดหนงในสองจดตอนแรก)มคานาหนกนอยทสด กใหลากตามเสนเชอมนน คราวนกจะไดจดยอดเพมเปน 3 จด ทาเชนนเรอยไป จนไดจดยอดทเกดจากการลากเปนจดยอดปลายทางทเราตองการ แลวเราจะไดวถทสนทสดเปนแนวเดนทไปสนสดทจดยอดปลายทางทเราตองการ” ลองดประกอบกบตวอยาง จะชวยใหเขาใจมากขน


B จง C สน2

ตวอยางท 18 หาระยะทางท ทสดของกราฟทกาหนดจาก A ไป H โดยใชขนตอนวธของไดคสตรา โจทยกาหนดใหหาระยะทางทสนทสดจาก A ไป H ดงนนเราจะตงตนทจดยอด A เขยนคอนดบกากบจดยอดทกจด โดยใหตาแหนงหนาเปน คานาหนกรวมของเสนเชอมทลากผาน และตาแหนงหลงเปน จดยอดกอนหนาทจะลากมา เชน A(0,-) คอ ตอนนเรายงไมเรมลาก ฉะนนคานาหนกรวมของเสนเชอมทลากผานจงเปน 0 และจดยอด กอนหนาทจะลากมาไมม จากนนเราพจารณาจดยอดประชด เหนวา มสองจด คอ B(2,A) คอหางจาก A อย 2 และ F(1,A) คอหางจาก A อย 1 สวนจดอนไมประชด A ถอวาหางจาก A อย เขยน (∞ ∞ ,-) พจารณาจดยอดทหางจาก A นอยทสดคอ F(1,A) หางจาก A อย 1 จงลากเสนเชอม AF ตอนนเรามจดยอดทตองพจารณาเพมเปน 2 จด คอ A และ F พบวา จาก A ไป B ตองเดน 2, ไป D ตองเดน 4 และไป G ตองเดน 6 ทางทสนทสดคอ ไป B จงลากเสนเชอม AB คราวนพจารณา 3 จดยอด คอ A, F และ B พบวา จาก A ไป C, D, E และ G ตองเดน 4, 4, 6 และ 6 ตามลาดบ ปรากฏวามทางท สนทสด 2 ทาง ซงเราสามารถเลอกทางใดกได ในทนเลอก C จงลากเสนเชอม BC ทานองเดยวกน พจารณาจากจดยอดทง 4 คอ A, F, B และ C พบวา จาก A ไป D, E, G และ H ตองเดน 4, 6, 6 และ 5 ตามลาดบ จงเลอก D และลากเสนเชอม FD พจารณาตอทจดยอด A, F, B, C และ D พบวาจาก A ไป E, G และ H ตองเดน 6, 6 และ 5 ตามลาดบ จงเลอก H และลากเสนเชอม CH ทาใหเรามาถงจด H อนเปนเปาหมายของเรา ∴ วถทสนทสด คอ A, B, C, H และไดระยะทางทสนทสด จาก Aไป H คอ w(AB)+w(BC)+w(CH) = 2+2+1 = 5

1 2 4 3 2 D A HE 4 3 7 1 F

B(2,A) G C( ,-) ∞

6 5 2

1 2 A(0,-) D ( ,-)∞

4 3 2 H( ,-) ∞E ( ,-) ∞4 3 7 1 F(1,A) G( ,-) ∞

6 5

C( ,-) ∞B(2,A) 2 1 2 4 3 2 D(4,F) H( ,-) ∞A(0,-) E ( ,-) ∞4 3 7 1

F(1,A) G(6,F) 6

5 C(4,B) B(2,A) 2

1 2 4 3 2 D(4,F) H( ,-) ∞A(0,-) 4 E (6,B) 3 7 1 F(1,A)B(2,A) G(6,F) C(4,B)

6 5 2

1 2 4 3 2 D(4,F) A(0,-) H(5,C) 4 E (6,B) 3 7 1 F(1,A)B(2,A) G(6,F) C(4,B)

6 5 2

1 2 4 3 2 D(4,F) A(0,-) H(5,C) 4 E (6,B) 3 7 1 F(1,A) G(6,F)

C(4,B

6 5

) B(2,A) 2 1 2 4 3 2 D(4,F) A(0,-) H(5,C) 4 E (6,B) 3 7 1

F(1,A) G(6,F) 6

5

11. ตนไม (Tree)

บทนยาม ตนไม (Tree) คอ กราฟเชอมโยงทไมมวฏจกร ตนไมแผทว (Spanning Tree) คอ ตนไมซงเปนกราฟยอยเชอมโยงของกราฟ G ทบรรจจดยอดทงหมดของกราฟ G เอาไว ตนไมแผทวทนอยทสด (Minimum Spanning Tree) คอ ตนไมแผทวทมผลรวมของคานาหนกของแตละเสนเชอมนอยทสด

ลกษณะเฉพาะของตนไม

ถากราฟ G มวงวน หรอเสนเชอมขนานแลว กราฟ G ไมเปนตนไม (ตนไมตองเปนกราฟเชงเดยว) ถากราฟ G เปนตนไมแลว จด 2 จด ใด ๆ ใน G มเสนเชอมเพยงเสนเดยว ถากราฟ G เปนตนไมทมจดยอด n จด แลวกราฟ G มเสนเชอม n-1 เสน ถากราฟ G เปนไมทมจดยอดมากกวา 1 จด แลว กราฟ G จะมจดยอดทมดกรของจดยอดเปน 1 อยางนอย 1 จด


G3 G2

ตวอยางท 19 จงพจารณาวากราฟตอไปนวาเปนตนไมหรอไม

กราฟ G1 เปนตนไม (ไมมวฏจกร) กราฟ G2 ไมเปนตนไม (มวฏจกร) กราฟ G3 ไมเปนตนไม (มวงวน)

G1 สมมตวาเราตองการสรางถนนเชอมตอระหวางเมองตาง ๆ โดยททราบคาใชจายในการกอสรางถนนทเชอมเมอง 2 เมองใด ๆ ปญหาทเกดขนคอ เราควรสรางถนนเชอมระหวางเมองใดบาง เพอใหเมองใด ๆ สามารถตดตอกนไดทางรถยนต และเสยคาใชจายในการกอสรางนอยทสด จากปญหาดงกลาวเราอาจสรางกราฟทมนาหนกทสมนยกบปญหานได โดยใหเมองแตละเมองแทนดวยจดยอด ถนนแทนดวยเสนเชอม และคาใชจายในการกอสรางถนนแทนคานาหนกของเสนเชอม คาตอบของปญหานคอ การหาสบกราฟแผทวทเปนกราฟเชอมโยงและมคานาหนกนอยทสด ขนตอนวธในการหามอยดวยกนหลายวธ ในทนขอนาเสนอเพยง 2 แบบ คอ ขนตอนวธของครสกาวล (Kruskal’s Algorithm) และขนตอนวธของพรม (Prim’s Algorithm) ซงจดวาเปนขนตอนวธทมชอเสยงมากทสด

ขนตอนวธของครสกาวล (Kruskal’s Algorithm) ใหเลอกเสนเชอมทมนาหนกนอยทสดจากกราฟเชอมโยงถวงนาหนก ตดตอกนไปเพอสรางกราฟเชอมโยงถวงนาหนก และการเลอกเสนดงกลาวตองไมกอใหเกดวฏจกร การเลอกนจะสนสดลงเมอไดตนไมแผทวแลวตามตองการ (ถากราฟม n จดแลว เมอเลอกเสนเชอมท n-1 จะไดตนไมแผทวพอด) ขนตอนวธของพรม (Prim’s Algorithm) ใหแทนตนไม T ทมอยในการเชอมโยงทมนาหนกตนไมอนใหมทเกดจากการเพมเสนทมนาหนกนอยทสดลงไปใน T โดยทเสนเสนนเปนเสนเชอมจดยอดทอยใน T กบจดยอดทไมอยใน T

113

ตวอยางท 20 จงหา Minimum Spanning Tree ของกราฟทกาหนดใหโดยใชขนตอนวธของครสกาวล และของพรม ขนตอนวธของครสกาวล


ขนตอนวธของพรม

จากตวอยางนแสดงใหเหนวา Minimum Spanning Tree ของกราฟ อาจมไดมากกวา 1 แบบ

12. การประยกตของกราฟ ความรเรองกราฟนนสามารถนามาประยกตใชเพอไขปญหาตาง ๆ ไดมากมาย ทงทไดเหนมาแลว เชน ปญหาทางเดนในงานพชสวนโลก และปญหาการสรางถนน เปนตน แตการประยกตของกราฟไมไดมเพยงเทาน อาท ปญหาแผนทสส, ปญหาหอคอยฮานอย, ปญหาบรษไปรษณยจน, ปญหามาหมากรก และอกมากมาย แมนกระทงโครงสรางขอมลและขนตอนวธทใชในกระบวนการประมวลผลของโปรแกรมคอมพวเตอร กลวนแลวแตสามารถใชทฤษฎกราฟไขปญหาได เมอเหนถงประโยชนเชนนแลว อยาพลาดทจะมาศกษาเรองนอยางลกซงดวยกน ท ภาควชาคณตศาสตร มหาวทยาลยมหดล

a

d e

b

c

1 2 2 3 4 5 5 2

6

a a

d e

b

c

1 2 2 3 4 5 5 2 5 b 2

6

d e

c 6

1 2 2

4 5

3

a

d e

b

c

1 2 2 3 4 5 5 2

6

a

5 2

d e

b

c

1 2 2

4 5

3 6

a

d e

b

c

1 2 2 3 4 5 5 2

6

a

d e

b

c

1 2 2 3 4 5 5 2

6

a

5 b 2

d e

c 6

1 2 2 3 4

5

a

d e

b

c

1 2 2 3 4 5 5 2

6

a

5 2

d e

b

c

1 2 2

4 5

3 6

114

B 21 C 1 2 A

2


X

A

C

B

Y

4 2 3 5

2 3 8

H

B

A

X D

C Y

2

2 1

3

4

7

1 4

1

H

E

X Y F

D G

3 8

2 1

2 1 1

H

:: Exercise IV :: 1. จงหาวถ X-Y ทสนทสด และ Minimum Spanning Tree ของกราฟถวงนาหนกตอไปน

1.1 1.2 1.3

2. ประเทศหนงมเมอง 25 เมอง แตละเมองมถนนเชอมกบเมองอน ๆ ทกเมอง เมองละ 1 สาย จงหาวา จะสามารถ ปดถนนในประเทศนเพอซอมแซมไดพรอมกนมากทสดกสาย โดยทยงแตละเมองยงไปหากนได

a

b e

c d a b c

d e

f

!! Answer Key !! :: Exercise I (Key) :: 1. V(G) E(G) deg A deg D D ประชด e3 เกดกบ

1.1 {A, B, C, D} {e1, e2, e3, e4, e5} 2 2 B, C A, C 1.2 {A, B, C, D} {e1, e2, e3, e4, e5, e6} 2 4 A, B, C D, C 1.3 {A, B, C, D, E, F} {e1, e2, e3, e4, e5, e6} 4 0 - A

2. พจารณาวากราฟ G และกราฟ H ในแตละขอตอไปน วาเปนกราฟเดยวกนหรอไม จงใหเหตผลประกอบ 2.1 เปนกราฟเดยวกบ เพราะ V(G)=V(H) และ E(G)=E(H) 2.2 เปนกราฟเดยวกบ เพราะ V(G)=V(H) และ E(G)=E(H)

3. 3.1 3.2 ขอ 3.2 สามารถเขยนไดหลายแบบ หากใครเขยนไมเหมอนไมตองตกใจ นเปนเพยงตวอยางหนงเทานน :: Exercise II (Key) :: 1. ใหจดยอดแทนนกเรยน ไดวาจานวนเพอนทแตละคนรจกคอดกรของจดยอดแตละจด จงไดวาขอนมจดยอดค (ดกร 75) เปนจานวนคจด (375 จด) ดงนนจงเปนไปไมได

2. ใหจดยอดแทนมหาวทยาลยจะมจดยอด 21 จด และการแขงเปนแบบพบกนหมด ทาใหแตละจดยอด มดกร 20 ไดดกรรวมเปน 21×20 = 420 = 2×จานวนเสนเชอม ไดเสนเชอม 210 เสน

นนคอมการแขงขนทงหมด 210 นด 3. เปนไปได เพราะมจดยอดค (ดกร 15, 13) จานวนคจด (2 จด) 4. 4.1 deg A=4, deg B=2, deg C=2, deg D=0, deg E=3, deg F=1, δ (G)=0 และ∆ (G)=4 A, B, C เปนจดยอดค, D เปนจดยอดเอกเทศ, E, F เปนจดยอดค และ F เปนจดยอดปลาย 4.1 deg a=3, deg b=2, deg c=2, deg d=3, deg e=2, δ (G)=2 และ∆ (G)=3 b, c, e เปนจดยอดค และ a, d เปนจดยอดค 4.2 deg X=2, deg A=4, deg B=4, deg C=2, deg D=3, deg Y=3, δ (G)=2 และ∆ (G)=4

X, A, B, C เปนจดยอดค และ D, Y เปนจดยอดค

115

B C

A


D G

B C 1 A 1

X

A

C

B

Y

4 2

2 3

H A

X D

C

B Y 2

1

3 1

1

H

E

X Y F

D G

3

2 1

2 1 1

H

:: Exercise III (Key) :: 1. ทาความเขาใจกอนวา ในการเขยนนนอาจเขยนไดหลายแบบ หากเขยนแลวไมเหมอนไมตองตกใจ หากอยากรวาถกหรอไม สามารถสอบถามไดทาง E-Mail และ โทรศพท

1.1 a, b, c, d, e, f, b, e, a 1.2 a, b, c, d, e, f, a, d, b, d, e, f, a 1.3 a, b, c, d, e, f, d, b, h, d, g, h, i, a

2. ขอนสามารถเขยนไดหลายแบบเชนกน นเปนเพยงตวอยางหนงเทานน ตวอยางกราฟทเปนกราฟแฮมลตนแตไมเปนกราฟออยเลอร : G ตวอยางกราฟทเปนกราฟออยเลอรแตไมเปนกราฟแฮมลตน : ไมม เนองจากกราฟออยเลอรผานเสนเชอมทกเสน แสดงวาตองผานจดยอดทกจดดวย จงเปนกราฟแฮมลตนเสมอ :: Exercise IV (Key) :: 1. จงหาวถ X-Y ทสนทสด และ Minimum Spanning Tree ของกราฟถวงนาหนกตอไปน

1.1 X, B, C, Y 1.2 X, D, B, C, Y 1.3 X, Y หรอ X, E, F, G, Y

1.1 1.2 1.3

2. ใหจดยอดแทนเมอง เสนเชอมแทนถนน สามารถจาลองปญหาในรปของกราฟได กราฟนจะมจดยอด 25 จด แตละจดมดกร 24 ดกรรวมเปน 25×24 = 600 = 2 จานวนเสนเชอม ×

กราฟนมเสนเชอม 600/2 = 300 เสน นนคอประเทศนมถนนทงหมด 300 เสน การทปดถนนมากทสด กคอการเหลอถนนนอยทสด นนคอตองใหเหลอถนนในลกษณะตนไมนนเอง ตนไมมจานวนเสนเชอม = จานวนจดยอด-1 = 25-1 = 24 นนคอตองเหลอถนน 24 เสน ดงนนสามารถปดถนนในประเทศนเพอซอมแซมไดพรอมกนมากทสด 300-24 = 276 สาย

ขอพดมงอกหน !

หลายคนมองวาคณตศาสตรเรยนไปแลวไดแตคานวณ ไมสามารถนามาใชไดจรง ใครทมองอยางนนคงตองเปลยนความคดใหมเสยแลว เพราะทฤษฎกราฟเปนตวอยางทเหนไดอยางชดเจนวา เราสามารถนาคณตศาสตรมาใชแกปญหาตาง ๆ ได ไมเพยงเทาน ทฤษฎกราฟยงมการคดคนและศกษากนอยในปจจบน มทฤษฎบทใหม ออกมามากมาย และมการพฒนาอยางตอเนอง

^_^ อยาลม ภาควชาคณตศาสตร คณะวทยาศาสตร มหาวทยาลยมหดล ^_^

116

e-mail tel - mwitdainu/pla/sciac04-ma1.pdf · 2010-05-11 · เซต สอนโดย...

Documents