tema 3: resolución de ecuaciones no linealesma1.eii.us.es/material/cal_num_itig_pres3.pdfcálculo...

Cál

culo

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mér

ico

Tema 1: Resolución de ecuaciones no lineales

Resolución de ecuaciones no lineales

Acotación y separación de raíces.

Ecuaciones polinómicas. Método de Sturm.

Método y algoritmo de la bisección: análisis de errores.

Método de Newton: convergencia del método.

Regla de Fourier.

Caso de raíces múltiples: aceleración de la convergencia

Tema 3:

V.Álvarez

J.A. Armario

F. Muñoz

Cál

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�u

mér

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Problema Calcular todas las raíces de xex-1=0 .

Cál

culo

�u

mér

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Una ecuación no lineal es una ecuación del tipo f(x)=0,

donde f(x) es una función no lineal.

Solución de una ecuación no lineal

Un número es solución o raíz de la ecuación si f( )=0. A

un tal se le denomina también cero de la función f(x).

x xx

Una raíz de la ecuación f(x)=0 tiene multiplicidad n six

0)(y 0)()(')( ))1 ≠==== − xfxfxfxf nnL

V.Álvarez

J.A. Armario

F. Muñoz

Cál

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0)(y 0)()(')( ))1 ≠==== − xfxfxfxf nnL

Cuando n=1 se habla de raíz simple, en otro caso, múltiple.

Ejemplo: La parábola y=(x-1)2 tiene un cero doble (i.e. de

multiplicidad 2) en la abscisa x=1, mientras que la recta y=x-1

tiene un cero simple en dicho punto.

Cál

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mér

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Método gráfico: a modo de orientación

Analíticamente:

Crecimiento: signo f ’(x)

Bolzano: f continua en [a,b], f(a)·f(b)<0

Sucesiones de Sturm: caso de polinomios

A) Localización y separación de las raíces

Pasos a seguir para resolver f(x)=0

V.Álvarez

J.A. Armario

F. Muñoz

Cál

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B) Aproximación numérica de cada una de las raíces


Bisección: si se satisface Bolzano

�ewton: si se satisface Fourier

Cál

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xeex x

xx 1

010

=⇔=−⋅≠



V.Álvarez

J.A. Armario

F. Muñoz

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Cál

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Analíticamente:


xexxf )1()(' +=



V.Álvarez

J.A. Armario

F. Muñoz

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exxf )1()(' +=

010)1(0)('0

=+⇔=+⇔=>

xexxf

xex

-1

)1,(en ,01

)2('2

−−∞↓<−=− fe

f

-

),1(en ,01)0(' ∞−↑>= ff

+

Cál

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Analíticamente:





V.Álvarez

J.A. Armario

F. Muñoz

Cál

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01)(lim <−=−∞→

xfx

-

0)(lim >+∞=∞→

xfx

+

-1

011

)1( <−−−e

f

-↓ ↑

0)()1(

0)1()(

<+∞⋅−•

>−⋅−∞•

ff

ff

Por tanto:

Cál

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Analíticamente:



( )( )


V.Álvarez

J.A. Armario

F. Muñoz

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1.- La función f(x) es continua en (-∞, ∞),

01)0( <−=f2.-

3.- 01)1( >−= ef

Conclusión: existe un cero de f(x) en (0,1)

Además, es único, pues f es continua y monótona en (0,1)

( )+∞−↑ ,1f( )1,−∞−↓f

Cál

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A) Localización y separación de las raíces: funciones polinómicas

V.Álvarez

J.A. Armario

F. Muñoz

Cál

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4 3 2

0 ( ) 2 4 3 1.g x x x x x= − − + +

Ejemplo: Los ceros de la función

cumplen que: 32

41||

1

41

1

5

1=+<<

+= x

por tanto:

∪

−−∈ 3,

5

1

5

1,3x

Cál

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mér

ico



A) Localización y separación de las raíces: funciones polinómicas

Regla de Laguerre:

Dado un número real positivo, c, tal que

Entonces c es una cota superior para las raíces positivas.

0b,b,,b,bien o0b,b,,b,

)bb(b )()(

1-n2-n01-n2-n0

1-n2-n

1

0

≤≥

++++−= −

LL

L

rr

rxxcxxP n

V.Álvarez

J.A. Armario

F. Muñoz

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Entonces c es una cota superior para las raíces positivas.

=

xRxxP n 1

)(

Además:

• Si , c=cota superior de las raíces positivas de R(x)

entonces, 1/c = cota inferior de las raíces positivas de P(x)

• Si c=cota superior (inferior) de las raíces positivas de P(-x), entonces

-c = cota inferior (superior) de las raíces negativas de P(x).

Cál

culo

�u

mér

ico


Definición

Una sucesión de Sturm para una función f(x) en [a,b] es un

conjunto f0(x)=f(x), f1(x), f2(x),…,fn(x) de funciones continuas en

dicho intervalo que satisfacen:

( ) 0f x ≠ cualquiera que sea [ , ]x ab∈


A) Localización y separación de las raíces: Método de Sturm

V.Álvarez

J.A. Armario

F. Muñoz

Cál

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( ) 0nf x ≠ cualquiera que sea [ , ]x ab∈

•1 1( ) 0 ( ) ( ) 0i i if c f c f c− += ⇒ ⋅ <

• 00

1

( )( ) 0

( )

f xf c

f x= ⇒ Pasa de negativa a

positiva en c.

•

Cál

culo

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mér

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Teorema de Sturm

Sea f0(x), f1(x), f2(x),…,fn(x) una sucesión de Sturm para f(x)=f0(x)

en [a,b] y consideremos las sucesiones siguientes:

1. sig[f0(a)], sig[f1(a)],…, sig[fn(a)]

2. sig[f (b)], sig[f (b)],…, sig[f (b)]



V.Álvarez

J.A. Armario

F. Muñoz

Cál

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2. sig[f0(b)], sig[f1 (b)],…, sig[fn(b)]

Sea +1= número de cambios de signo en la sucesión 1.

Sea +2= número de cambios de signo en la sucesión 2.

Entonces, el número de raíces existentes en intervalo [a,b] de la

ecuación f(x)=0 viene dado por +1-+2.

en las que sig(d) denota el signo de d (indistintamente +/- cuando

d=0).

Cál

culo

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mér

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Método para generar una sucesión de Sturm para

f0(x)=P(x)

,

f1(x)=P´(x),

f2(x)=-r1(x) donde r1(x) denota el resto de dividir f0(x) entre f1(x).

f (x)=-r (x) donde r (x) denota el resto de dividir f (x) entre f (x).

1

0 1 1 0( ) n n

nP x a x a x a x a−−= + + + +L o un polinomio equivalente.

Pasos:

En general:



V.Álvarez

J.A. Armario

F. Muñoz

Cál

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fi+1(x)=-ri(x) donde ri(x) denota el resto de dividir fi-1(x) entre fi(x).

• Si rk(x)=l≠0, entonces {fk(x)}0≤i≤k+1 es una sucesión de Sturm para P(x).

• Si rk(x)=0, entonces P(x) tiene ceros múltiples y fk(x)=m.c.d(P,P´)

( )( )

( )k

P xQ x

f x= es equivalente a P(x) con todos su ceros simples.

0

( )

( )

i

k i k

f x

f x≤ ≤

es una sucesión de Sturm para Q(x).

¿Cuándo se termina?

Cál

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Paso 1:6 5 4 3 2

0 ( ) 2 6 8 4 1f x x x x x x x= − + + − − −



Ejemplo: Localizar y separar los ceros de

14862)( 23456 −−−++−= xxxxxxxP

V.Álvarez

J.A. Armario

F. Muñoz

Cál

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5 4 3 2

1( ) 6 15 2 12 2f x x x x x x= − + + − −

Paso 2:

5 4 3 2

0 (́ ) 12 30 4 24 2 4f x x x x x x= − + + − −

Siempre podemos

multiplicar o dividir por

un número positivo

Cál

culo

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Paso 3:

14862 23456 −−−++− xxxxxx 2122156 2345 −−++− xxxxx

Cálculo de f2(x)

x 1−

4 3 213 26 8 21 8x x x x= − − + +

Multiplicamos por 3




14862)( 23456 −−−++−= xxxxxxxP

V.Álvarez

J.A. Armario

F. Muñoz

Cál

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6 5 4 3 26 18 3 24 3 12 3x x x x x x− + + − − −

x

6 5 4 3 26 15 2 12 2x x x x x x− + − − + +

5 4 3 23 12 2 10 3x x x x x− + + − − −

5 4 3 26 2 24 4 20 6x x x x x− + + − − −

Multiplicamos por 2

1−

5 4 3 26 15 2 12 2x x x x x− + + − −

4 3 213 26 8 21 8x x x x− + + − −

Siempre podemos

multiplicar o dividir por

un número positivo

Multiplicamos por 3

Cál

culo

�u

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Paso 4: Cálculo de f3(x)

Multiplicamos por 13

2122156 2345 −−++− xxxxx 4 3 213 26 8 21 8x x x x− − + +

6x 3−

3 22 3 1x x x= − − +




14862)( 23456 −−−++−= xxxxxxxP

V.Álvarez

J.A. Armario

F. Muñoz

Cál

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Multiplicamos por 13

5 4 3 278 195 26 156 13 26x x x x x− + + − −6x

5 4 3 278 156 48 126 48x x x x x− + + − −

4 3 239 74 30 61 26x x x x− + + − −

3−

3 24 6 2 2x x x− + + −

2463247839 234 ++−− xxxx

Cál

culo

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ico



Multiplicamos por 2

13x 13−

4 3 213 26 8 21 8x x x x− − + + 3 22 3 1x x x− − +

2 1x x= − −




14862)( 23456 −−−++−= xxxxxxxP

V.Álvarez

J.A. Armario

F. Muñoz

Cál

culo

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Multiplicamos por 2

4 3 226 52 16 42 16x x x x− − + +13x

4 3 226 39 13 13x x x x− + + −

3 213 3 29 16x x x− − + +

13−

3 226 6 58 32x x x− − + +

245 45 45x x− + +

Multiplicamos por 2

3 226 39 13 13x x x− − +

Cál

culo

�u

mér

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3 22 3 1x x x− − + 2 1x x− −

PARAR r4(x)=0




14862)( 23456 −−−++−= xxxxxxxP

V.Álvarez

J.A. Armario

F. Muñoz

Cál

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2x 1−

2 3 1x x x− − + 1x x− −3 22 2 2x x x− + +

2 1x x− + +2 1x x+ − −

0

Cál

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2

4. . ( , ') ( ) 1.m c d P P f x x x= = − −

Al ser el r4(x)=0, se tiene:

• P(x) tiene ceros múltiples.

•




14862)( 23456 −−−++−= xxxxxxxP

V.Álvarez

J.A. Armario

F. Muñoz

Cál

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En consecuencia4

( )( )

( )

P xQ x

f x= tiene los mismo ceros que P(x)

pero todos simples.

Además, una sucesión de Sturm para Q(x) es: 0 ( ) ( ),g x Q x=

11

4

( )( ) ,

( )

f xg x

f x= 2

2

4

( )( ) ,

( )

f xg x

f x= 4

3

4

( )( ) ,

( )

f xg x

f x= 4

4

4

( )( ) .

( )

f xg x

f x=

Cál

culo

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ico


4 3 2( ) 2 4 3 1.g x x x x x= − − + +




14862)( 23456 −−−++−= xxxxxxxP

Sucesión de Sturm:

V.Álvarez

J.A. Armario

F. Muñoz

Cál

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4 3 2

0 ( ) 2 4 3 1.g x x x x x= − − + +3 2

1( ) 6 9 2.g x x x x= − − +2

2 ( ) 13 13 8.g x x x= − −

3( ) 2 1.g x x= −

4 ( ) 1.g x =

Cál

culo

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g0(x)

g1(x)

g2(x)

∞− ∞

+

+

+++

−

0

+

−+

5.0−

−

+−

5.1

−

++

+

+−

1,2,3 −−− 3,2

+++




14862)( 23456 −−−++−= xxxxxxxP

1

+−−

V.Álvarez

J.A. Armario

F. Muñoz

Cál

culo

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g2(x)

g3(x)

g4(x)=1

Cambios de

signo

4 3 2

0 ( ) 2 4 3 1.g x x x x x= − − + +3 2

1( ) 6 9 2.g x x x x= − − +

2

2 ( ) 13 13 8.g x x x= − −

3( ) 2 1.g x x= −

+

+

+++

−

4 0

−

+−

2

4 ceros 2 ceros2 ceros

+

+−

3

1 cero1 cero

+

++

1

1 cero1 cero

+

+−

4

+++

0

++−

2

Cál

culo

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mér

ico





Analíticamente:




V.Álvarez

J.A. Armario

F. Muñoz

Cál

culo

�u

mér

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Cál

culo

�u

mér

ico



Bisección: si f(x) continua en [a,b], f(a)·f(b)<0

y f’(x) no cambia de signo en [a,b].

f(x)= xex-1 continua y creciente en [0,1]

f(0)=-1<0, f(1)=e-1>0.

Paso 0:

B) Aproximación numérica de cada raíz: método de la bisección

Entonces:

V.Álvarez

J.A. Armario

F. Muñoz

Cál

culo

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I0=[a0,, b0] donde a0=0 y b0=1

x0=0.5

ε0=0.5

0 1

f(0)<0f(1)>0

Cál

culo

�u

mér

ico


Paso 1:

I1=[a1,, b1] donde a1=0.5 y b1=1



V.Álvarez

J.A. Armario

F. Muñoz

Cál

culo

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mér

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0 1

x0=0.5

f(0)<0 f(1)>0f(0.5)<0

La raíz se encuentra aquí

x1=0.75

ε1

Cál

culo

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mér

ico


•El método de bisección nos genera una sucesión en [a,b]:

x0 , x1 , x2 ,…, xn ,…

Conclusión: si f(x) continua en [a,b], f(a)·f(b)<0

y f’(x) no cambia de signo en [a,b].



V.Álvarez

J.A. Armario

F. Muñoz

Cál

culo

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mér

ico


que converge a la raíz de la ecuación.

Una cota del error es:

Entonces: nn εε2

11 =+

12||

+

−≤−=

nnn

abxxε

Cál

culo

�u

mér

ico





Analíticamente:




V.Álvarez

J.A. Armario

F. Muñoz

Cál

culo

�u

mér

ico






Cál

culo

�u

mér

ico


Gráfica de f(x)=xex-1 en [0,1]


B) Aproximación numérica de cada raíz: método de Newton

Interpretación geométrica:

V.Álvarez

J.A. Armario

F. Muñoz

Cál

culo

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mér

ico


Cál

culo

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mér

ico






V.Álvarez

J.A. Armario

F. Muñoz

Cál

culo

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mér

ico


x0x1=x0-f(x0)/f’(x0)

Cál

culo

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mér

ico






V.Álvarez

J.A. Armario

F. Muñoz

Cál

culo

�u

mér

ico


Cál

culo

�u

mér

ico


1

0

( )

'( )

nn n

n

f xx x

f x

x

+

= −

Fórmula de Newton-Raphson



V.Álvarez

J.A. Armario

F. Muñoz

Cál

culo

�u

mér

ico


Fórmula de N-R para f(x)=xex-1. Comenzando en x0=1.

Primera iteración:

01 0

0

( ) (1)1 0.683940...

'( ) '(1)

f x fx x

f x f= − = − =

Cál

culo

�u

mér

ico


Fórmula de N-R para f(x)=xex-1. Comenzando en x0=1.

Segunda iteración:

( )f x= − =



V.Álvarez

J.A. Armario

F. Muñoz

Cál

culo

�u

mér

ico


12 1

1

( )0.577455...

'( )

f xx x

f x= − =

Tercera iteración:

23 2

2

( )0.567228...

'( )

f xx x

f x= − =

Cál

culo

�u

mér

ico


•¿La sucesión x0, x1, x2,… converge a la raíz de la ecuación?

Condición suficiente: Regla de Fourier

Método de �ewton

Cuestiones:



V.Álvarez

J.A. Armario

F. Muñoz

Cál

culo

�u

mér

ico


•¿Podemos dar una cota del error que se comete en cada iteración?

Condición suficiente: Regla de Fourier

Cota del error

•¿Importa el valor que se dé a x0? Sí

Cál

culo

�u

mér

ico

Tema 1: Resolución de ecuaciones no lineales Regla de Fourier:

Dada una ecuación f(x)=0, f continua y derivable en [a,b].

Si cumple que:

1. En [a,b] hay una raíz. 2. f´(x) y f´´(x) no se anula en [a,b].



Entonces:

V.Álvarez

J.A. Armario

F. Muñoz

Cál

culo

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mér

ico


La sucesión

x0, x1,…,xn,…

generada por el método

de Newton converge a

la única raíz de f(x)=0

en [a,b]. Además

[ , ]nx a b∈ para todo n.

Si se toma x0 según la regla:

0

( ) ''( ) 0

( ) ''( ) 0

a si f a f ax

b si f b f b

⋅ >=

⋅ >

Cál

culo

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mér

ico


¿Se satisface la Regla de Fourier para xex-1=0 en [0,1]?

1. Hay una raíz en [0,1].

2. f´(x)=(x+1)ex y f´´(x)=(x+2)ex no se anulan en [0,1].

Regla de Fourier:



V.Álvarez

J.A. Armario

F. Muñoz

Cál

culo

�u

mér

ico


2. f´(x)=(x+1)ex y f´´(x)=(x+2)ex no se anulan en [0,1].

Como f(1)* f´´(1)>0, si tomamos x0=1 se tiene que la sucesión

x0,x1,…,xn,…

generada por la fórmula de Newton converge a la raíz de la

ecuación que se encuentra en [0,1].

Cál

culo

�u

mér

ico


Cota del error:

Sea una raíz de la ecuación f(x)=0. Si se cumple que:x

x y [ , ]nx a b∈



V.Álvarez

J.A. Armario

F. Muñoz

Cál

culo

�u

mér

ico


2

1 nn C εε ⋅≤+

A partir del desarrollo de Taylor de grado 2, obtenemos que:

( convergencia cuadrática)

A partir del Teorema del Valor Medio, obtenemos que:

Cál

culo

�u

mér

ico


Análisis del error por iteración:

( )

min '( )

n

n n

f xx x

f xε = − ≤

'( ) ( 1) xf x x e= +

Cota del error:



V.Álvarez

J.A. Armario

F. Muñoz

Cál

culo

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mér

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[0,1]min '( )n n

x f x∈'( ) ( 1)f x x e= +

'( ) ( 1) 0[0,1]

''( ) ( 2) 0

x

x

f x x ex

f x x e

= + >∈ ⇒

= + >

[0,1]¿min '( ) ?x f x∈

Al cumplirse la regla de Fourier:

1)0(')}1('),0('min{|)('|min ]1,0[ ===∈ fffxfx

Cál

culo

�u

mér

ico


[0,1]

( )( )

min '( )

n

n n n

x

f xx x f x

f xε

∈

= − ≤ =

Análisis del error por iteración:

Cota del error:



V.Álvarez

J.A. Armario

F. Muñoz

Cál

culo

�u

mér

ico


1 0.683940...x =

2 0.577455...x =

3 0.567228...x =

1 0.35534...ε =

-3

3 0.00023...<10ε =

2 0.02874...ε =

Si tomamos 0.567 como valor aproximado de la raíz , tenemos que

-3

[0,1]

(0.567)0.567 (0.567) 0.000395...<10

min '( )x

fx f

f xε

∈

= − ≤ = =

Cál

culo

�u

mér

ico


Sea f(x)=0 una ecuación que posee una única raíz en [a,b] y que

no cumple las hipótesis de Fourier en [a,b].

Para determinados valores de x0, puede ocurrir que la fórmula

de Newton-Raphson, , comenzando en x genere ( )nf x

x x= −



V.Álvarez

J.A. Armario

F. Muñoz

Cál

culo

�u

mér

ico


¿Converge a la raíz la sucesión x0,x1,…,xn,…?

Depende de cada caso.

de Newton-Raphson, , comenzando en x0 genere

una sucesión x0,x1,…,xn,…

1

( )

'( )

nn n

n

f xx x

f x+ = −

Cál

culo

�u

mér

ico


2

0xxe− = tiene a 0 como única raíz.

Veamos qué sucede si intentamos hallar su raíz tomando x0=0.5.





Ejemplo: La ecuación

V.Álvarez

J.A. Armario

F. Muñoz

Cál

culo

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mér

ico


01 0

0

( ) (0.5)0.5 0.5,

'( ) '(0.5)

f x fx x

f x f= − = − = −

12 1

1

( )0.5

'( )

f xx x

f x= − =

Es claro que la sucesión no va a converger.

Cál

culo

�u

mér

ico


Gráficamente:





Ejemplo: La ecuación2



V.Álvarez

J.A. Armario

F. Muñoz

Cál

culo

�u

mér

ico


Gráficamente:

Cál

culo

�u

mér

ico









V.Álvarez

J.A. Armario

F. Muñoz

Cál

culo

�u

mér

ico


2

( ) xf x xe−=

n 1

( )

'( )

nn n

n

f xx x

f x+ = −

1 -1.542857143…

2 -1.953102422…

3 -2.247722750…

4 -2.494602756…

5 -2.712546496…

… …

Cál

culo

�u

mér

ico








Gráficamente:


V.Álvarez

J.A. Armario

F. Muñoz

Cál

culo

�u

mér

ico


Gráficamente:

Cál

culo

�u

mér

ico









V.Álvarez

J.A. Armario

F. Muñoz

Cál

culo

�u

mér

ico


1 -0.1882352940…

2 0.0143566916…

3 -0.0000592069…

4 10-15

5 0

… …

n 1

( )

'( )

nn n

n

f xx x

f x+ = −

Cál

culo

�u

mér

ico








Gráficamente:


V.Álvarez

J.A. Armario

F. Muñoz

Cál

culo

�u

mér

ico


Gráficamente:

Cál

culo

�u

mér

ico



es multiple, por tanto, no cumple las hipótesis de Fourier en [a,b].

Ejemplo: La ecuación x-sen x = 0 posee una única raíz real triple, 0.x =



V.Álvarez

J.A. Armario

F. Muñoz

Cál

culo

�u

mér

ico


¿Cómo podremos detectar que se trata de una raíz triple,

al intentar aproximarla por el método de Newton?

Cál

culo

�u

mér

ico


Veamos qué sucede si intentamos hallar la raíz de x - sen x = 0

por el método de Newton tomando como x0=1.

n 1

( )

'( )

nn n

n

f xx x

f x+ = −

!!Extremadamente lenta la convergencia!!

Raíz de multiplicidad 3




V.Álvarez

J.A. Armario

F. Muñoz

Cál

culo

�u

mér

ico


0.000019…20

0.016822…10

0.310290…1

M M

M M

M M10

10

10

'( ) 0.0001...

''( ) 0 '016...

'''( ) 0 '9998...

f x

f x

f x

=

=

=

20

20

20

'( ) 0.00000001...

''( ) 0 '0019...

'''( ) 0 '9999...

f x

f x

f x

=

=

=

f(xn) tiende a 0

f’(xn) tiende a 0

f’’(xn) tiende a 0

f’’’(xn) no tiende a 0

Cál

culo

�u

mér

ico

Tema 1: Resolución de ecuaciones no lineales Sea f(x)=0 una ecuación que posee una única raíz en [a,b] y que

es múltiple, con multiplicidad k.

Supongamos que la fórmula de Newton-Raphson comenzando

en un cierto valor de x0 (conocido) converge a la raíz.

1

( )nn n

f xx x+

= −



V.Álvarez

J.A. Armario

F. Muñoz

Cál

culo

�u

mér

ico


¿Cómo acelerar la convergencia de la fórmula de Newton

para hallar la raíz múltiple de f(x)=0 en [a,b]?

1

0

'( )n n

n

x xf x

x

+ = −

1

0

( )

'( )

nn n

n

f xx x k

f x

x

+

= −

Cál

culo

�u

mér

ico


( )f x

Veamos qué sucede si intentamos hallar la raíz de x-sen x=0

por el método de Newton mejorado tomando como x0=1.



B) Aproximación numérica de cada raíz: método de Newton mejorado

V.Álvarez

J.A. Armario

F. Muñoz

Cál

culo

�u

mér

ico


1 -0.034…

2 0.0000013…

3 0.00000000000009…

n1

( )3

'( )

nn n

n

f xx x

f x+ = −

Podemos observar que en la tercera iteración obtenemos una aproximación

de la raíz mucho mejor que la que obteníamos antes con 20 iteraciones.

Cál

culo

�u

mér

ico


Gráficamente:






V.Álvarez

J.A. Armario

F. Muñoz

Cál

culo

�u

mér

ico


Método Newton Método Newton mejorado

Cál

culo

�u

mér

ico







Gráficamente:

V.Álvarez

J.A. Armario

F. Muñoz

Cál

culo

�u

mér

ico


Método Newton Método Newton mejorado

tema 3: resolución de ecuaciones no linealesma1.eii.us.es/material/cal_num_itig_pres3.pdfcálculo...

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