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ESCUELA TECNICA SUPERIOR DE INGENIERIAINFORMATICA

INGENIERIA TECNICA EN INFORMATICA DE GESTION

BOLETINES DE EXAMENES

DE

INTRODUCCION

A LA

MATEMATICA DISCRETA

Curso 2008/2009

DEPARTAMENTO DE

MATEMATICA APLICADA I

Examenes

6 de Septiembre de 2000

Ejercicio 1

Sea un una sucesion en la que u1 = 1, u2 = 3 y que verifica la relacion recursivaun+1 + un−1 = 2un + 1 para todo n ≥ 2.

a) (1 punto) Demostrar por induccion completa que un = (n2 + n)/2 para todo n.

b) (1 punto) Demostrar que no puede existir una recurrencia lineal homogenea dela forma un+2 = A · un + B · uu+1 que se cumpla para esta sucesion.

c) (1 punto) Demostrar que esta sucesion verifica un = un−1 + n para todo n ≥ 2.

Ejercicio 2

a) (1 punto) Demostrar que si a y b son enteros positivos y α, β y λ son enteroscon αa + βb = 1, entonces si α′ = α + λb y β′ = β− λa, entonces α′a + β′b = 1.Deducir de aquı que si a y b son primos entre sı siempre se pueden encontrarcoeficientes α y β con αa + βb = 1 y α > 0.

En los siguientes apartados k, m y r son enteros positivos con r < m, r⊥m y k⊥φ(m)(donde φ() es la funcion de Euler). Se describe el siguiente procedimiento para hallaruna raız k−esima de r en Zm: mediante el Algoritmo Extendido de Euclides y lacuestion anterior, hallamos enteros α, β con αk + βφ(m) = 1 y α > 0. Entonces rα

mod m es la raız buscada.

2. (1 punto) Comprobar que el procedimiento funciona realizandolo para k =17, m = 50 y r = 23 y verificando el resultado.

1

2 Introduccion a la Matematica Discreta

3. (1 punto) Demostrar que el procedimiento siempre funciona. ¿Son necesariastodas las condiciones sobre k,m y r?.

4. (0,5 puntos) Indicar y justificar razonadamente cuales son las dificultades practicaspara aplicar el procedimiento si nos dan los enteros positivos k,m y r cumplien-do las hipotesis anteriores.

Ejercicio 3

Se considera el algoritmo siguiente:

Entrada: a, b dos enteros positivos.

r = 0Mientras a > 0

Si a es impar, entonces r = r + ba = ba/2cb = 2 · b

Fin mientras

Retorna r

a) (0,5 puntos) Realizar un seguimiento del algoritmo para a = 26 y b = 41.

b) (1,5 puntos) Demostrar que el algoritmo es finito. Hallar en funcion de a elnumero de veces que se ejecuta el bucle.

c) (1,5 puntos) Demostrar que la expresion I = a · b + r es un invariante. Deducirque retorna el algoritmo.

Examenes 3

2 de febrero de 2001

Ejercicio 1

Responder a los siguientes apartados independientes:

a) [1 punto] Probar mediante congruencias que 32n+5 + 24n+1 es divisible por 7cualquiera que sea el entero n ≥ 1.

b) [2 puntos] Se sabe que el numero n = 10088821 factoriza en la forma n = pqcon p > q primos. Hallar p+q sin calcular p ni q, sabiendo que φ(n) = 10082272.Posteriormente, calcular p y q y hallar φ(n) utilizando el principio de inclusionexclusion.

c) [1 punto] Calcular el numero de naturales pares comprendidos entre 1000000y 5000000 que se pueden escribir con las cifras {1, 5, 6, 7, 8, 9}.

Solucion.

a) Sea n ∈ N cualquiera. Hay que demostrar que 32n+5 + 24n+1 ≡ 0 (mod 7). Paraello,

32n+5 + 24n+1 ≡ (32)n+13 + (24)n2 ≡ 2n+13 + 2n2 ≡ 2n(6 + 1) ≡ 0 (mod 7),

dado que 32 = 9 ≡ 2 (mod 7) y 24 = 16 ≡ 2 (mod 7).

b) Como n = pq con p > q primos, resulta que φ(n) = (p− 1)(q − 1), de donde

10082272 = φ(n) = (p−1)(q−1) = pq−(p+q)+1 = n−(p+q)+1 = 10088822−(p+q);

ası, se tiene que p + q = 10088822− 10082272 = 6550.

Para calcular ahora los valores de p y q, basta resolver el sistema de ecuaciones{pq = 10088821,p + q = 6550,

que da lugar a la ecuacion cuadratica x2−6550x+10088821 = 0 cuyas solucionesson p = 4073 y q = 2477.

A la hora de hallar φ(pq) mediante el principio de inclusion exclusion, se puedendefinir los conjuntos An = {m ∈ N : m < n primo con n}; de este modo, sitomamos como X = {1, . . . , pq}, resulta que X\Apq = (X\Ap) ∪ (X\Aq), porlo que

φ(n) = |Apq| = |X| − (|X\Ap|+ |X\Aq| − |(X\Ap) ∩ (X\Aq)|) =

= pq−(

[pq

p

]+

[pq

q

]−[pq

pq

]) = pq−(q+p)+1 = 10088821−6550+1 = 10082271.


c) Necesariamente, todos estos numeros poseen 7 cifras y han de comenzar por 1y terminar bien en 6, bien en 8. Basta multiplicar por dos, pues, el numerototal de naturales de cinco cifras que se pueden formar con los dıgitos dados (6en total), que se corresponden con las variaciones con repeticion de 6 elementostomados de 5 en 5. En total, hay pues 2 · 65 = 15552.

Ejercicio 2

La moneda oficial de Absurdia es el Surdo (Sd.), existiendo monedas de 9 y 19 Sd. ybilletes de 18, 125 y 232 Sd.

a) [2 puntos] ¿Puede cambiarse en monedas alguno de los billetes de mas de100 Sd. existentes? En caso afirmativo, ¿de cuantas formas diferentes puederealizarse el cambio?

b) [2 puntos] Se ha observado que la serie de billetes existentes verifica la relacionb1 = 18b2 = 125bn − 2bn−1 + bn−2 = 0, n ≥ 3

Se quiere ampliar a 20 el numero total de billetes distintos, sin perder la relacionexistente entre ellos. ¿De que valor sera el ultimo billete de la nueva emision?

Solucion.

a) Planteamos primero la ecuacion diofantica c = 9x + 19y, que tiene solucion porser 1 = m.c.d(9, 19). La solucion general de dicha ecuacion quedara determinadaconocida una particular. Una identidad de Bezout para 9 y 19 es 1 = (−2) · 9+1 · 19, por lo que la solucion general de los sistemas que nos plantean (c = 125y c = 232, respectivamente) sera:{

x = −250 + 19λ,y = 125− 9λ;

{x = −464 + 19µ,y = 232− 9µ.

En ambos casos, para que los cambios sean posibles, hemos de encontrar valoresde los parametros que hagan de x e y valores simultaneamente positivos. Esdecir, {

−250 + 19λ ≥ 0,125− 9λ ≥ 0;

{−464 + 19µ ≥ 0,232− 9µ ≥ 0;

que equivale a que 14 = d25019e ≤ λ ≤ [125

9] = 13 y 25 = d464

19e ≤ µ ≤ [232

9] = 25.

Examenes 5

En el primer caso no hay solucion, y en el segundo hay exactamente una, parael valor 25 del parametro µ, que se corresponde con la descomposicion 232 =9 · 11 + 19 · 7. De este modo, el billete de 232 Surdos se puede cambiar en11 monedas de 9 Surdos y 7 monedas de 19 Surdos, y este es el unico cambioposible en estas monedas.

b) Para resolver esta recurrencia lineal homogenea, planteamos la ecuacion carac-terıstica asociada, t2 − 2t + 1 = (t− 1)2, que tiene una unica raız, que es doble,a saber: t = 1.

De este modo, la solucion general de la recurrencia sera del tipo bn = P (n)·1n =P (n), donde P (n) = An+B es un polinomio en n de grado una unidad inferiora la multiplicidad de la raız correspondiente, en nuestro caso grado 1.

Para calcular el valor de las constantes A y B basta plantear y resolver el sistemade ecuaciones lineales asociados a los valores particulares conocidos, b1 = 18 yb2 = 125. De este modo, {

18 = A + B,125 = 2A + B,

de donde A = 107 y B = −89 y la expresion general buscada es bn = 107n−89.

El valor del ultimo billete de la emision sera por tanto b20 = 107·20−89 = 2051.

Ejercicio 3

Dados k numeros distintos a1, . . . , ak con 1 ≤ ai ≤ n para i = 1, . . . , k, se denota porσk a la permutacion σk = (a1, ak)(a1, ak−1) · · · (a1, a3)(a1, a2).

Se considera el algoritmo siguiente:

Entrada: k numeros distintos a1, . . . , ak, con 1 ≤ ai ≤ n para i = 1, . . . , k.

Sea l la lista ordenada de los n numeros 1, . . . , n.Para i desde 2 hasta k

Intercambiar en l el elemento a1 por el ai.

Fin Para

Retorna l.

a) [1 punto] Hacer un seguimiento del algoritmo para n = 8 con los numerosa1 = 2, a2 = 6, a3 = 3, a4 = 5, a5 = 1, a6 = 7.

b) [1 punto] Descomponiendo σk en la forma σk = (a1, ak) · σk−1, demostrar porinduccion que el algoritmo retorna (σk(1), . . . , σk(n)) para todo 1 ≤ k ≤ n.


Solucion.

a) Sean a1 = 2, a2 = 6, a3 = 3, a4 = 5, a5 = 1, a6 = 7 y n = 8. Sea l = {1, . . . , n}.Para i desde 2 hasta 6, hacemos las iteraciones correspondientes:

a.1) En la iteracion 1, la lista l se transforma a l = {1, 6, 3, 4, 5, 2, 7, 8}.a.2) En la iteracion 2, la lista l se transforma a l = {1, 6, 2, 4, 5, 3, 7, 8}.a.3) En la iteracion 3, la lista l se transforma a l = {1, 6, 5, 4, 2, 3, 7, 8}.a.4) En la iteracion 4, la lista l se transforma a l = {2, 6, 5, 4, 1, 3, 7, 8}.a.5) En la iteracion 5, la lista l se transforma a l = {7, 6, 5, 4, 1, 3, 2, 8}.

El algoritmo devuelve l = {7, 6, 5, 4, 1, 3, 2, 8}.

b) Efectivamente, en la salida del algoritmo anterior comprobamos que en la listadevuelta el elemento i coincide con σ(i).

Probemos que este es el caso en general, para 1 ≤ k ≤ n con n ∈ N dado. Sea,pues, un natural n fijo.

Para k = 1, se trata de la permutacion trivial de n elementos, σ1 = (a1, a1), demodo que el algoritmo no realiza ninguna iteracion y devuelve automaticamentela lista {1, . . . , n}, que se corresponde con la permutacion identidad.

Para k = 2, a partir de una trasposicion del tipo (a1, a2) para 1 ≤ a1, a2 ≤ ndistintos, el algoritmo ejecuta exactamente una iteracion, que intercambia am-bos elementos en la lista inicial. De este modo, la lista de salida se correspondeefectivamente con los transformados de 1, . . . , n.

Supuesto que se verifica esta propiedad para cualesquiera coleccion de 1 ≤ r < nnaturales distintos a1, . . . , ar con 1 ≤ ai ≤ n, demostremos que asimismo severifica para una coleccion similar de r + 1 naturales.

Dado que σr+1 = (a1, ar+1)·σr, en las r−1 primeras iteraciones el algoritmo hacelas transformaciones correspondientes a la permutacion σr. Luego, por hipotesisde induccion (se trata de r naturales), en este paso la lista l alberga de maneraordenada los transformados de los elementos 1, . . . , n por σr, de modo que eltransformado de ar es a1.

En la unica iteracion que resta por hacer en el algoritmo, se intercambian enesta lista los elementos a1 y ar+1. De este modo, el transformado de ar sera ar+1,y el de ar+1 sera a1. Los demas transformados permanecen invariantes, por loque esta lista final de hecho representa de manera ordenada los transformadospor σr+1 de los elementos 1, . . . , n.

De este modo, concluye la demostracion por induccion. Como n ∈ N eragenerico, queda probado que para cualesquiera n ∈ N y 1 ≤ k ≤ n, el algoritmodevuelve la lista {σ(1), . . . , σ(n)}.

Examenes 7


Ejercicio 1 [4 puntos]

Sean m y n dos enteros positivos, d = mcd(m, n) y m′ =m

d, n′ =

n

d.

Consideramos la lista de numeros l formada por los m numeros

0,n mod m, 2n mod m,..., (m-1)n mod m

Por ejemplo, si m = 12, n = 8 l = (0, 8, 4, 0, 8, 4, 0, 8, 4, 0, 8, 4)

a) Demostrar que

jn ≡ kn ( mod m ) ⇐⇒ jn′ ≡ kn′ ( mod m′ ) ⇐⇒ j ≡ k ( mod m′ )

b) Probar que en l estan exactamente los m′ numeros (en algun orden y posible-

mente repetidos)

0, d, 2d, ..., (m′ − 1)d

c) Demostrar que cada numero de l aparece exactamente d veces.


Sea an una sucesion de la que sabemos que a0 = α, a1 = β con α, β ∈ Z, y que cada

termino es el triple del siguiente menos el doble del anterior. Se pide:

a) Hallar en funcion de α y β el termino general de la sucesion.

b) Demostrar que 3n · an es siempre un entero.

c) ¿Que deben cumplir α y β para que la sucesionan+1

an

sea constante? ¿Cuanto

vale esa constante entonces?



Resolver las siguientes cuestiones independientes:

a) Probar por induccion en n la igualdad

(2n− 1) + (2n− 3) + · · ·+ 3 = n2 − 1

b) Demostrar que si p es primo entonces (p− 1)! +1 es multiplo de p.

c) Hallar todos los enteros n para los que φ(n) es impar.

d) Hallar el numero de secuencias binarias que contienen p ceros y q unos, con

q ≥ p− 1 y no tienen dos ceros consecutivos.

Examenes 9


Ejercicio 1

13 piratas han obtenido un botın de 1000 monedas de oro y destinan una parte

a comprar armas. Las monedas restantes, x, intentan repartırselas pero para que

el reparto sea exacto sobra 1 moneda; esto origina una pelea en la que mueren dos

piratas. Al intentar repartirlas entre los supervivientes les sobran 2 monedas y de

nuevo se pelean y mueren 2. Ahora al repartir les sobran 3 monedas. El objetivo del

problema es determinar cuanto costaron las armas que compraron.

a) Plantear el calculo de x como un sistema de congruencias.

b) Demostrar que el sistema solo tiene una solucion en el intervalo [0, 1000] y

hallarla. ¿Cuanto costaron las armas?

c) Si siempre que sobran monedas hay una pelea en la que mueren 2 piratas,

¿Cuantas monedas recibe cada uno de los supervivientes?

Solucion:

a) Sea x el numero de monedas que pretenden repartirse los piratas.

Como sobra 1 moneda al repartir entre 13, debe cumplir

x ≡ 1 (mod 13)

Tras la pelea quedan 11 piratas, pero ahora sobran 2 monedas y por tanto

x ≡ 2 (mod 11)

y del mismo modo, tras la siguiente pelea debe ser

x ≡ 3 (mod 9)

Ası pues, se debe cumplir el siguiente sistema de congruencias:

x ≡ 1 (mod 13)x ≡ 2 (mod 11)x ≡ 3 (mod 9)


b) Haciendo uso del teorema chino del resto, ya que 13, 11 y 9 son dos a dos

primos entre si, se garantiza que el sistema tiene solucion unica en Z1287, siendo

1287 = 13 · 11 · 9n1 = 13 c1 = 9 · 11 = 99 d1 es el inverso de 99 en Z13

n2 = 11 c2 = 9 · 13 = 117 d2 es el inverso de 117 en Z11

n3 = 9 c3 = 11 · 13 = 143 d3 es el inverso de 143 en Z9

el inverso de 99 en Z13 es igual al inverso de 8 en Z13, ya que 99 ≡ 8 (mod 13)

pues se verifica que 99 = 13 · 7 + 813 = 8 · 1 + 58 = 5 + 35 = 3 + 23 = 2 + 1

1 = 3− 2 == 3− (5− 3) = 2 · 3− 5 == 2(8− 5)− 5 = 2 · 8− 3 · 5 == 2 · 8− 3 · (13− 8) = 5 · 8− 3 · 13 =⇒ d1 = 5

el inverso de 117 en Z11 es igual al inverso de 7 en Z11, ya que 117 ≡ 7 (mod 11)

pues se verifica que 117 = 11 · 10 + 711 = 7 · 1 + 47 = 4 + 34 = 3 + 1

1 = 4− 3 = 4− (7− 4) == 2 · 4− 7 = 2 · (11− 7)− 7 == 2 · 11 + (−3) · 7 =⇒ d2 = 8

−3 ≡ 8 (mod 11)

Actuando del mismo modo para la tercera condicion resulta que d3 = 8.

Ası en Z1287 tendremos

x = 1 · 99 · 5 + 2 · 117 · 8 + 3 · 143 · 8 = 5799 = 651,

y todas las soluciones enteras seran: x = 651 + λ · 1287 con λ ∈ Z.

La unica solucion en el intervalo [1, 1000] se obtiene para λ = 0, con lo que

x = 651.

Las armas costaron 1000− 651 = 349 monedas de oro.

c) Se sabe que hay 651 monedas. Si en la tercera pelea mueren 2 piratas, quedaran

solo 7, al repartir 651 monedas entre 7 salen todos exactamente a 93 monedas.

Ejercicio 2

Se considera el siguiente algoritmo:

Examenes 11

Entrada: a, b enteros con 0 ≤ b ≤ aP1 n = 1, d = 1, α = a, β = bP2 si 2b > a entonces β = a− bP3 mientras β > 0P4 n = n · α, d = d · βP5 α = α− 1, β = β − 1P6 fin mientrasP7 retorna n/d. FIN

Se pide:

a) Demostrar que el valor de I =n

d·(

αβ

)no cambia en cada ejecucion

completa del bucle.

b) Deducir del apartado anterior que el valor retornado es

(ab

). ¿Para que sirve

el paso P2?

Solucion:

a) Sea Ik =nk

dk

·(

αk

βk

)el valor al final de la etapa k, y sea Ik+1 el valor al terminar

la ejecucion completa del bucle en la etapa siguiente.

Como nk+1 = nk · αk, dk+1 = dk · βk, αk+1 = αk − 1, βk+1 = βk − 1

resulta que Ik+1 =nk+1

dk+1

·(

αk+1

βk+1

)=

nk · αk

dk · βk

·(

αk − 1βk − 1

)Demostrar que Ik = Ik+1 equivale a demostrar que(

αk

βk

)=

αk

βk

·(

αk − 1βk − 1

)

Pero desarrollando llegamos a demostrarlo, puesto que

αk

βk

·(

αk − 1βk − 1

)=

αk

βk

· (αk − 1) · · · [αk − 1− (βk − 1) + 1]

(βk − 1) · · · 2 · 1=

αk(αk − 1) · · · (αk − βk + 1)

βk(βk − 1) · · · 2 · 1=

(αk

βk

)


b) Al inicio del algoritmo I0 =1

1·(

ab

)

Si b = a, β = 0 y directamente el algoritmo retorna 1 =

(aa

)

Si b < a, αF > 0 y como

(αF

0

)= 1, se tiene:

IF =nF

dF

·(

αF

0

)=

nF

dF

= I0 =

(ab

)

que es por tanto el valor retornado.

El paso P2 utiliza la simetrıa de los numeros combinatorios,

(ab

)=

(a

a− b

),

para garantizar que el numero de veces que se repite el bucle, mientras, siempre

sera menor o igual quea

2veces.

Ejercicio 3

Se considera la sucesion de numeros enteros definida por{u0 = 5, u1 = 12un = 5un−1 − 6un−2, ∀ n ≥ 2

Sea p primo y p > 3, definimos la sucesion an = un (mod p)

a) Demostrar que para ∀ n ≥ 0 un = 2 · 3n + 3 · 2n.

b) Usando el teorema de Fermat, obtener una demostracion de que existe un entero

k ≥ 0 tal que an+k = an para todo n (es decir, que an es periodica)

c) Considerando el conjunto de pares de elementos de Zp, {(a0, a1), (a1, a2), . . . , (ap2 , ap2+1)}demostrar que hay al menos dos iguales. Deducir una nueva demostracion de

que la sucesion an es periodica. ¿Se usa aquı que p es primo?

Solucion:

Examenes 13

a) Solucion Primera

La ecuacion caracterıstica asociada a la recurrencia es

t2 − 5t + 6 = 0

cuyas soluciones son t1 = 3 y t2 = 2. Como las raıces son distintas, la solucion

general de la recurrencia es

un = A · 3n + B · 2n

Haciendo uso de las condiciones iniciales se determinan las constantes A, B{u0 = 5 = A + Bu1 = 12 = 3A + 2B

A = 2, B = 3

Por tanto, ∀ n ≥ 0 un = 2 · 3n + 3 · 2n

Solucion segunda

Demostraremos por induccion que un = 2 · 3n + 3 · 2n{Para n = 0 u0 = 2 · 1 + 3 · 1 = 5Para n = 1 u1 = 2 · 3 + 3 · 2 = 12

se cumplen

(Hipotesis de Induccion) lo suponemos cierto para todos los valores 0, 1, . . . , n

y lo probaremos para n + 1

Por definicion un+1 = 5un − 6un−1 = (H.I.)

= 5 · (2 · 3n + 3 · 2n)− 6(2 · 3n−1 + 3 · 2n−1) =

= 10 · 3n − 12 · 3n−1 + 15 · 2n − 18 · 2n−1 =

= 3n−1(10 · 3− 12) + 2n−1(15 · 2− 18) =

= 18 · 3n−1 + 12 · 2n−1 =

= 2 · 32 · 3n−1 + 3 · 22 · 2n−1 =

= 2 · 3n+1 + 3 · 2n+1 con lo que queda demostrado.


b) Al ser p primo p > 3, 2⊥p, 3⊥p,

por el Teorema de Fermat se verifica que 2p−1 ≡ 1 (mod p) y 3p−1 ≡1 (mod p) con lo que

ap−1 = 2 · 3p−1 + 3 · 2p−1 = 5 (mod p)

Por otra parte, ap = 2 · 3p + 3 · 2p = 2 · 3 · 3p−1 + 3 · 2 · 2p−1 = 12 (mod p)

Ası en Zp ap−1 = a0, y ap = a1

Como el valor de cada termino solo depende de los dos anteriores tendremos

que

ap+1 = a2, ap+2 = a3, . . . , es decir que

si k = p− 1 entonces an+k = an ∀ n ≥ 0

c) En el conjunto de pares de Zp, {(a0, a1), . . . , (ap2 , ap2+1)} hay p2+1 elemen-

tos. Como en Zp hay p elementos, solo se pueden formar p2 parejas distintas y

por tanto en el conjunto anterior debe haber al menos 2 iguales: existen i, j

(podemos suponer i < j) con

(ai, ai+1) = (aj, aj+1)

De donde ai = aj , ai+1 = aj+1 (♦)

Pero del enunciado se tiene que un+2 = 5un+1 − 6un, ∀ n ≥ 0

un =1

6(5un+1 − un+2) ∀ n ≥ 0

con lo que de (♦) se tiene ai−1 = aj−1, ai−2 = aj−2, . . . y ası hasta

a1 = aj−i+1, a0 = aj−i

como cada valor an solo depende de los dos anteriores, si llamo k = j − i, se

tiene que

an+k = an ∀ n ≥ 0

En esta demostracion no es necesario que p sea primo, con lo que la propiedad

es cierta para cualquier entero p ≥ 2.

Calificacion:

Todos los ejercicios puntuan lo mismo y seran calificados sobre 10 puntos. La nota

del examen se obtendra haciendo la media aritmetica.

Examenes 15

3 de septiembre de 2003

Ejercicio 1

Un hombre reparte un rebano de V vacas entre sus hijos del modo siguiente:

al primero le da 1 vaca mas 1/7 de las restantes,

al segundo le da 2 vaca mas 1/7 de las restantes,

. . . ,

y ası hasta el ultimo.

Llamemos an al numero de vacas que quedan despues de repartir al hijo n y a0 = V .

Se pide:

a) [2 puntos] Demostrar que an =6

7(an−1 − n).

b) [2 puntos] Demostrar que la funcion generatriz de la sucesion an es

f(x) =V

1− 67x− 6

7

x

(1− 67x)(1− x)2

.

c) [3 puntos] Demostrar que an = (6/7)n (V − 36) + 36− 6n.

d) [3 puntos] Sabiendo que no sobro ninguna vaca, hallar cuantas vacas repartio,

cuantos hijos tenıa y cuantas vacas se llevo cada hijo.

Indicacion: justificar que en ese caso ha de ser 6n−1|(n− 6).

Concluir el resultado sabiendo que 6x > x para x ≥ 1.


Ejercicio 2

Se considera el siguiente algoritmo para resolver la ecuacion ax = b (mod m)

(a, b, m enteros positivos, m ≥ 2):

Entrada: m ≥ 2, 0 < a < m, 0 < b < mP1 e = mcd(a, m)P2 si e |/ b

P3 retorna “SIN SOLUCION”P4 en otro casoP5 mientras a > 1P6 d = mcd(a, b)P7 a = a/dP8 b = b/dP9 si a = 1P10 retorna bP11 en otro casoP12 b = b + mP13 fin siP14 fin mientrasP10 fin si

Se pide:

a) [1.5 puntos] Hacer un seguimiento del algoritmo para a = 6, b = 9, m = 15.

b) [1.5 puntos] Demostrar que si se sale por P3 entonces el sistema no tiene

solucion (es decir, en este caso el algoritmo funciona correctamente).

c) [1.5 puntos] Demostrar que si se llega a P5 entonces la ecuacion tiene al menos

una solucion.

d) [1.5 puntos] Demostrar que si existe una solucion x0 ∈ {0, . . . ,m−1} entonces

existe un entero k ≥ 0 verificando ax0 = b + km.

e) [1.5 puntos] Justificar que en P6 no puede darse siempre el caso d = 1. De-

ducir que el algoritmo es finito.

Indicacion: justificar que todos los b+km no pueden ser primos con

a, y hacer uso de esta condicion.

Examenes 17

f) [1.5 puntos] Demostrar que, en su caso, el valor b retornado es solucion de la

ecuacion.

g) [1 punto] ¿Que ocurre con el algoritmo si la ecuacion tiene mas de una solu-

cion? ¿Podrıa adaptarse el algoritmo para el calculo de inversos? Razonar las

respuestas.



Ejercicio 1 [3.5 puntos]

Sean α, d numeros reales, y sea an la sucesion definida por a0 = α, y para n ≥ 1,

an = an−1 + d

a) [1.75 puntos] Demostrar que la funcion generatriz asociada es

f(x) = α1

1− x+ d

x

(1− x)2

b) [1.75 puntos] Deducir el valor del termino general de la sucesion.

Solucion

Apartado 1

f(x) = a0 + a1x + · · ·+ anxn + · · ·

De la relacion an = an−1 +d tenemos que an−an−1 = d con lo que debemos restar

f(x) y desplazarla una posicion:

f(x) = a0+ a1x+ · · · +anxn+ · · ·

−xf(x) = −a0x− · · · −an−1xn− · · ·

(1− x)f(x) = a0+ dx+ · · · dxn+ · · · == α+ d(x + · · ·+ xn + · · ·)

Sabemos que (1− x)−1 = 1 + x + · · ·+ xn + · · ·con lo que x · (1− x)−1 = x + x2 + · · ·+ xn + · · ·Sustituyendo (1− x)f(x) = α + d

x

1− xy despejando

f(x) = α1

1− x+ d

x

(1− x)2

Apartado 2

f(x) = α(1− x)−1 + dx(1− x)−2

El coeficiente de xn en (1− x)−1 es 1

El coeficiente de xn en x(1− x)−2 es el de xn−1 en (1− x)−2, que es(−2

n− 1

)(−1)n−1 = (−1)n+1 · (−2)(−3) · · · (−2− (n− 1) + 1)

(n− 1)!=

Examenes 19

= (−1)n+1 · (−1)n−1 · n!

(n− 1)!= n

Ası, como an es el coeficiente de xn en f(x) se tiene

an = α · 1 + d · n = α + nd


Se han lanzado en un ordenador tres procesos que periodicamente acceden a un recurso

compartido. Si dos de ellos lo hacen a la vez no hay problema, pero si lo hacen los

tres a la vez se producira un bloqueo. Considerando para los procesos, los datos de

la siguiente tabla

Proceso accede por primera vez al recurso accede cada1 10:00 horas 5 min.2 10:02 horas 12 min.3 c minutos despues de las 10 h. 4 min.

Se pide:

a) [0.5 puntos] Llamando x al numero de minutos transcurridos desde las 10:00

hasta la ocurrencia de un bloqueo, razonar que x debe verificar el sistemax ≡ 0 (mod 5)x ≡ 2 (mod 12)x ≡ c (mod 4)

b) [1.25 puntos] Demostrar que se produce un bloqueo si y solo si c es el doble

de un numero impar.

c) [1.25 puntos] Si c = 6, encontrar la hora del primer bloqueo que se producira

entre las 10 y las 11. ¿Y para c = 10?

Solucion

Apartado 1

Al producirse un bloqueo en el minuto x es que en ese minuto estan accediendo los

tres procesos a la vez. Entonces para el proceso primero, que empezo cero minutos

despues de las 10, como se ejecuta cada 5 minutos, x debe ser multiplo de 5; de aquı

x ≡ 0 (mod 5)


El segundo proceso empezo 2 minutos despues de las 10 y accede cada 12 minutos;

entonces el numero de minutos transcurridos desde las 10:02 hasta x minutos despues

de las 10 debe ser multiplo de 12; es decir, x− 2 ≡ 0 (mod 12) y por tanto

x ≡ 2 (mod 12)

Analogamente, para el tercer proceso x−c debe ser multiplo de 4; x−c ≡ 0 (mod 4)

y por tanto

x ≡ c (mod 4)

De aquı que x debe verificar el sistema de estas tres ecuaciones en congruencias.

Apartado 2

Si se produce un bloqueo es que el sistema tiene solucion. Si x es una solucion,

entonces x ≡ 2 (mod 12), es decir x = 2+12k (siendo k entero) y por tanto, tomando

modulo 4 y considerando que 12 ≡ 0 (mod 4), se tiene x ≡ 2 (mod 4)

Como x tambien verifica la tercera ecuacion ha de ser c ≡ 2 (mod 4), lo cual puede

expresarse como c = 2 + 4λ, para λ entero. Es decir, c = 2(2λ + 1) que es doble de

un numero impar.

Reciprocamente, si c es doble de un numero impar, es de la forma c = 2(2λ+1) ≡2 (mod 4). Pero entonces, cualquier solucion de la segunda ecuacion verifica la tercera,

con lo que el sistema es equivalente al{x ≡ 0 (mod 5)x ≡ 2 (mod 12)

Como 5 y 12 son coprimos, por el Teorema Chino del Resto, este sistema tiene solucion

y se produce un bloqueo.

Apartado 3

Si c = 6 (o si c = 10), segun el resultado del apartado 2, la tercera ecuacion puede

eliminarse y el sistema queda {x ≡ 0 (mod 5)x ≡ 2 (mod 12)

Procedemos a resolverlo siguiendo dos procesos alternativos:

Procedimiento 1:

{x ≡ 0 (mod 5) ⇒ x = 5µx ≡ 2 (mod 12) ⇒ x = 2 + 12λ

Examenes 21

Igualando las x resulta 5µ − 12λ = 2. Resolvemos esta ecuacion diofantica:

m.c.d.(5, 12) = 1 y una posible igualdad de Bezout es

5 · 5 + (−2) · 12 = 1

multiplicando por 2, resulta 10 ·5+(−4) ·12 = 2 y una solucion particular es µ0 = 10,

λ0 = 4

La solucion general es entonces

{µ = 10 + 12αλ = 4 + 5α con α entero

Las soluciones para x son entonces x = 50 + 60α. Ası, el primer bloqueo aparece

50 minutos despues de las 10 horas, es decir, a las 10:50 horas.

Como esto es independiente de c, (siempre que c sea el doble de un impar) la

solucion es la misma para c = 6 y para c = 10

Procedimiento 2:

Usando el Teorema Chino del Resto y con la notacion de clase, n = 60

n1 = 5 a1 = 0 c1 = 12 d1 = c−11 en Z5

n2 = 12 a2 = 2 c2 = 5 d2 = c−12 en Z12

y la solucion general sera

x = a1c1d1 + a2c2d2 + λ · n (λ ∈ Z)

Como a1 = 0 solo necesitamos calcular d2

d2 = 5−1 en Z12. Como 5 · 5 = 25 = 1 en Z12, d2 = 5. Ası,

x = 2 · 5 · 5 + λ · 60

y el primer bloqueo es a las 10:50 horas.


a) [1 puntos] Demostrar que para todo entero n el valor de n(n2 + 2) es multiplo

de 3.

b) [1 puntos] Deducir de lo anterior que la suma de los cubos de tres enteros

consecutivos es siempre multiplo de 9.


c) [1.5 puntos] Utilizando el principio de inclusion-exclusion (cardinal de una

union), calcular φ(3000), donde φ es la funcion de Euler.

Solucion

Apartado 1

Procedimiento 1:

3|n(n2 + 2) ⇔ n(n2 + 2) = 0 en Z3

pero en Z3 n puede valer:n n(n2 + 2)0 01 1 · 3 = 02 2 · 6 = 0

Por tanto siempre se cumple.

Procedimiento 2: ( por induccion en n)

Como n2 es siempre positivo basta demostrarlo para n ≥ 0

Caso inicial: n = 0, 0 · (02 + 2) = 0 multiplo de 3

Hipotesis de induccion: Suponemos que para k = 0, 1, 2, . . . , n se verifica que

3|k(k2 + 2)

Lo demostraremos para k = n + 1:

(n + 1)((n + 1)2 + 2) = (n + 1)(n2 + 2n + 3) =

n3 + 3n2 + 5n + 3 ≡ n3 + 5n (mod 3) ≡ n3 + 2n (mod 3) = 0

ya que segun la hipotesis de induccion n(n2 + 2) es multiplo de 3.

Lo demostraremos para k = n + 1:(de otro modo)

(n + 1)((n + 1)2 + 2) = (n + 1)(n2 + 2n + 1 + 2) =

n(n2 + 2) + n(2n + 1) + n2 + 2n + 3 =

n(n2 + 2) + 2n2 + n + n2 + 2n + 3 =

n(n2 + 2) + 3n2 + 3n + 3

es multiplo de 3 ya que por la hipotesis de induccion n(n2 + 2) es multiplo de 3.

Apartado 2

Sean tres enteros consecutivos (n− 1), n, (n + 1) entonces

(n− 1)3 + n3 + (n + 1)3 = n3 − 3n2 + 3n− 1 + n3 + n3 + 3n2 + 3n + 1 =

Examenes 23

3n3 + 6n = 3n(n2 + 2)

Como segun el apartado anterior n(n2 + 2) es multiplo de 3, entonces 3n(n2 + 2)

es multiplo de 9.

Apartado 3

φ(3000) es el numero de enteros entre 1 y 3000 que son primos con 3000.

Para que un entero sea primo con 3000, debe ser primo con 2, 3 y 5. Por ello

los numeros que queremos contar son el complementario del conjunto de los enteros

entre 1 y 3000 que son multiplos de 2 o de 3 o de 5.

Si llamamos Mn = { enteros entre 1 y 3000 multiplos de n}, queremos contar cuantos

numeros enteros entre 1 y 3000 no estan en M2 ∪M3 ∪M5, es decir

3000− |M2 ∪M3 ∪M5|

Como de cada n numeros hay un multiplo de n se tendra:

|Mn| = b3000

nc

Por otra parte al ser 2,3 y 5 primos, es:

M2 ∩ M3 = M6, M2 ∩ M5 = M10, M3 ∩ M5 = M15, M2 ∩ M3 ∩ M5 = M30 y

entonces

|M2 ∪M3 ∪M5| = |M2|+ |M3|+ |M5| − |M6| − |M10| − |M15|+ |M30| =

=3000

2+

3000

3+

3000

5− 3000

6− 3000

10− 3000

15+

3000

30= 2200

Ası, φ(3000) = 3000− 2200 = 800.



Ejercicio 1

En un paıs se utilizan monedas de valor 17 y 5.

a) ¿De cuantas maneras se puede dar en monedas un importe de 100?

b) ¿Se puede dar cualquier importe en monedas?

Ejercicio 2

Sean p, q primos impares q > p y sea n = p · q y d =q − p

2

a) Demostrar que 4(n+d2) = (p+q)2 y deducir que n+d2 es un cuadrado perfecto.

b) Suponiendo conocido n y que 0 ≤ d < M Se considera el siguiente algoritmo:

P1 para d = 1 hasta M − 1P2 c = n + d2

P3 si c es cuadrado perfecto retorna |√

c−√

c− n |P4 fin de para

Aplıcalo a n = 187, M = 5

c) ¿Que es lo que devuelve el algoritmo? Indicar como se podrıa obtener p y q en

este caso. ¿Existe relacion con una posible debilidad de RSA? Justifıcalo.

Ejercicio 3

a) Demostrar que el producto de tres enteros consecutivos es siempre multiplo de

6.

b) Se considera la sucesion definida por u0 = 1, u1 = 3, un+2 = 6un+1 − 9un

Hallar el termino general.

c) Demostrar que en el desarrollo de (1− x)12 el coeficiente de xk es

1

4k·(

2kk

)

Examenes 25

3 de Diciembre de 2004

Ejercicio 1 [1,5 puntos]

Demostrar por induccion en n que 2(2n) ≡ 6 (mod 10) para todo n ≥ 2.

Solucion:

• Caso inicial n = 2: 2(22) = 24 = 16 ≡ 6 (mod 10)

• Hipotesis de induccion: suponemos que 2(2k) ≡ 6 (mod 10) para k = 2 hasta

n

• Lo probamos para n + 1:

2(2n+1) = 2(2n2) = (2(2n))2

y por hipotesis de induccion 2(2n) ≡ 6 (mod 10) con lo que

2(2n+1) ≡ 62 ≡ 6 (mod 10)


Demostrar que si a, b y k son enteros, entonces mcd (a, b) = mcd (a+kb, b). Utilizarlo

para demostrar que 4n− 11 y 3n− 8 son primos entre sı para todo entero n.

Solucion:

• Vamos a demostrar que los pares (a, b) y (a + kb, b) tienen los mismos divisores

comunes: Div(a, b) = Div(a + kb, b):

– Si d ∈ Div(a, b), entonces d | a y d | b ⇒ d | a y d | a + kb ⇒ d ∈Div(a + kb, b)

– Si d ∈ Div(a+kb, b), entonces d | a+kb y d | b ⇒ d | b y d | (a+kb)−kb ⇒d ∈ Div(a, b)

Como tienen los mismos divisores comunes mcd (a, b) = mcd (a + kb, b).

• Hallamos mcd (4n− 11, 3n− 8). Usando la propiedad anterior tenemos:

mcd (4n− 11, 3n− 8) = mcd (4n− 11 + (−1)(3n− 8), 3n− 8) =

= mcd (n− 3, 3n− 8) = mcd (3n− 8, n− 3) = mcd (n− 3, 1) = 1.

Ası 4n− 11 y 3n− 8 son primos entre sı.



En una pena hay mas de 10 y menos de 100 personas que desean jugar una competicion

dividiendose en equipos iguales, pero tienen un problema: les sobra siempre una

persona para poder formar equipos de 2, 3, 4, 5 o 6. Hallar el numero de personas de

la pena.

Solucion:

Sea x el numero de personas de la pena. Si sobra una persona al intentar formar

equipos de 2, 3, 4, 5 o 6 es porque al dividir x entre 2, 3, 4, 5 y 6 da siempre resto 1.

Esto equivale al sistema de ecuaciones en congruencias:

x ≡ 1 (mod 2)x ≡ 1 (mod 3)x ≡ 1 (mod 4)x ≡ 1 (mod 5)x ≡ 1 (mod 6)

Separamos la ultima ecuacion en dos equivalentes a ella:

x ≡ 1 (mod 2), x ≡ 1 (mod 3)

que coinciden con las dos primeras congruencias del sistema, con lo que la ultima se

puede quitar. Si una solucion verifica la tercera: x ≡ 1 (mod 4) entonces x = 1+4λ

y ası x ≡ 1 (mod 2) con lo que la tercera ecuacion implica la primera, y por tanto

la primera sobra. El sistema es por tanto equivalente al

x ≡ 1 (mod 3)x ≡ 1 (mod 4)x ≡ 1 (mod 5)

Procedemos a resolverlo aplicando el Teorema Chino del Resto ya que 3, 4 y 5 son

primos dos a dos. Usando las notaciones de clase:

c1 = 20, a1 = 1, d1 = 20−1en Z3

c2 = 15, a2 = 1, d2 = 15−1en Z4

c3 = 12, a3 = 1, d3 = 12−1en Z5

En Z3, d1 = 20−1 = 2−1 = 2; en Z4, d2 = 15−1 = 3−1 = 3 y en Z5, d3 = 12−1 = 2−1 = 3

Ası, la solucion general es:

x = 20 · 1 · 2 + 15 · 1 · 3 + 12 · 1 · 3 + λ · 60 = 121 + 60 · λ (λ ∈ Z)

Examenes 27

Como x > 10, ha de ser 60 · λ > −111 ⇒ λ > −11160

= −1.85 ⇒ λ ≥ −1. Como

x < 100, ha de ser 60 · λ < −21 ⇒ λ < −2160

= −0.35 ⇒ λ ≤ −1. Ası, λ = −1 y el

numero de personas es x = 61.


El franqueo de una carta es de 40 centimos y se dispone de sellos de 4 y 5 centimos.

¿De cuantas maneras se puede hacer?

Solucion:

Sea x el numero de sellos de 4 centimos e y el numero de sellos de 5 centimos. Debemos

resolver la ecuacion diofantica 4x + 5y = 40 y obtener todas las soluciones positivas

para x e y. Como mcd (4, 5) = 1, multiplicando por 40 la (evidente) igualdad de

Bezout

(−1) · 4 + 1 · 5 = 1

obtenemos

−40 · 4 + 40 · 5 = 1

lo que nos proporciona la solucion particular (x0 = −40, y0 = 40).

La solucion general es entonces (x = −40 + 5λ, y = 40− 4λ) con λ ∈ Z.

Para que x ≥ 0 debe cumplirse que −40 + 5λ ≥ 0, de donde λ ≥ 8. Para que y ≥ 0

debe cumplirse que 40 − 4λ ≥ 0, de donde λ ≤ 10. Ası las soluciones posibles se

obtienen para λ ∈ {8, 9, 10}: hay tres soluciones.

Ejercicio 5 [1,2 puntos] Sin hacer mas de 11 divisiones, demostrar que el numero

1213 es primo.

Solucion:

Si 1213 fuese compuesto deberıa ser divisible por algun primo menor o igual que

b√

1213c = 34, Basta entonces dividir 1213 entre 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29 y 31 y

en ningun caso da resto 0: es por tanto primo.


Usando el Teorema de Euler y sabiendo que 59437 es divisible por 49, calcular

550905 mod 59437.

Solucion:

Si dividimos 59437 entre 49 obtenemos que 59437 = 72 · 1213. Como 1213 es primo,

φ(59437) = φ(72) · φ(1213) = 7 · (7 − 1) · (1213 − 1) = 50904. Por el Teorema

de Euler, al ser 5 primo con 59437, tenemos que 550904 ≡ 1 (mod 59437) y ası


550905 ≡ 550904 · 5 ≡ 1 · 5 ≡ 5 (mod 59437). Ası 550905 mod 59437 = 5.

7 de Febrero de 2005


Demostrar que la suma de los cubos de tres numeros enteros consecu-tivos es siempre multiplo de 9.

Solucion:

Sean n− 1, n, n + 1 tres enteros consecutivos.

(n− 1)3 + n3 + (n + 1)3 = 3n3 + 2 · 3n = 3n(n2 + 2)

Por lo que es es suficiente demostrar que n(n2 + 2) es multiplo de 3.

Estrategia 1En Z3 se verifca que :

n n(n2 + 2)

0 01 02 0

Por lo que ∀n ∈ N se verifica la igualdad.

Estrategia 2Por induccion sobre n.

Caso inicial, n = 1 resulta 1 · 3 = 3

Hipotesis de induccion: lo suponemos cierto para n desde 1 hasta k

y demostramos el caso n = k + 1

(k + 1)((k + 1)2 + 2) = (k + 1)(k2 + 2k + 1 + 2) =

k(k2 + 2) + (2k2 + k + k2 + 2k + 3) = k(k2 + 2) + 3(k2 + k + 1)

Examenes 29

y por tanto es multiplo de 3.


Se han comprado 72 objetos iguales, cada uno de los cuales tiene unprecio en euros dado por un numero entero. La factura se ha encontra-do rota y solo se ha recuperado un fragmento del que se deduce que elimporte total fue x06y, donde x e y representan dıgitos decimales ile-gibles. Expresar el problema como una ecuacion diofantica y encontrarel precio de cada objeto.

Solucion:

Sea n el precio unitario. Debido a que se han comprado 72 objetos deigual precio, el precio total debe ser multiplo de 72.

Es decir, x06y ≡ 0 (mod 7)2 que en base 10 corresponde a x · 104 + 6 ·10 + y

Ası debe verificar que x · 104 + 6 · 10 + y ≡ 0 (mod 72)

Tenemos dos incognitas, x e y. Vamos a transformar la ecuacion ante-rior en un sistema de congruencias con modulos que sean divisores de72 primos entre si. x · 104 + 6 · 10 + y ≡ 0 (mod 8)

x · 104 + 6 · 10 + y ≡ 0 (mod 9)

Como 104 ≡ 0 (mod 8) y 60 ≡ 4 (mod 8) la primera de las ecuacionesresulta 4 + y ≡ 0 (mod 8) siendo y ≡ 4 (mod 8) Debido a que y es undıgito, se deduce que y = 4

Sustituyendo este valor en la segunda ecuacion y como 104 ≡ 1 (mod 9)y 60 ≡ 6 (mod 9) resulta x + 10 ≡ 0 (mod 9) es decir x ≡ 8 (mod 9)Debido a que x es un dıgito, se deduce que x = 8. Ası el precio totales 8064 euros, y el precio unitario 112 euros.


Demostrar por induccion en n que ∀n ≥ 4,

f(n) = 1! + 2! + · · ·+ n! ≡ 3 (mod 10)


Solucion:

Al ser la identidad para ∀n ≥ 4, comprobaremos el caso inicial paran = 4

f(n) = 1! + 2! + 3! + 4! = 1 + 2 + 6 + 24 = 33 ≡ 3 (mod 10)

Hipotesis de induccion: suponemos la identidad cierta desde n = 4hasta n = k y la demostramos para n = k + 1:

f(k + 1) = (1! + 2! + · · ·+ k!) + (k + 1)! = f(k) + (k + 1)!

Por ser el caso inicial n = 4, resulta que k + 1 ≥ 5, y por tanto(k + 1)! = 1 · 2 · 3 · 4 · 5 · · · k · (k + 1) ≡ 0 (mod 10). Por hipotesis deinduccion f(k) ≡ 3 (mod 10) y ası, f(k + 1) = f(k) + (k + 1)! ≡ 3 + 0(mod 10)


Sabiendo que n es el producto de dos primos y el valor de su funcionde Euler es φ(n) = 24, hallar n.

Solucion:

Al ser n = p · q, con p y q primos φ(n) = (p− 1)(q − 1) = 24. Solo haycuatro maneras de expresar 24 como un producto de dos enteros:

• 24 = 1 · 24, p− 1 = 1, q − 1 = 24, que no es posible ya que q debeser primo.

• 24 = 2 · 12, p − 1 = 2, q − 1 = 12, resultando p = 3, q = 13 yn = 39

• 24 = 3 · 8, p − 1 = 3, q − 1 = 8, que no es posible ya que p y q

deben ser primos.

• 24 = 4 · 6, p− 1 = 4, q − 1 = 6, resultando p = 5, q = 7 y n = 35.

Examenes 31

Hay por tantos dos posibles soluciones: 35 y 39.


Resolver el sistema de congruencias:x ≡ 1 (mod 6)x ≡ 1 (mod 12)x ≡ 1 (mod 15)

Solucion:

Si x ≡ 1 (mod 12) entonces queda garantizado que x ≡ 1 (mod 6),por lo que podemos reducir el sistema a las dos ultimas ecuaciones.

x ≡ 1 (mod 12)x ≡ 1 (mod 15)

Debido a que los modulos 12 y 15 no son primos entre si, vamosa descomponer en factores 12 = 3 · 4 y 15 = 3 · 5 para considerar elsistema equivalente.

x ≡ 1 (mod 3)x ≡ 1 (mod 4)x ≡ 1 (mod 5)x ≡ 1 (mod 3)

Eliminamos la ultima ecuacion por estar repetida y por tanto tenemosque resolver el sistema

x ≡ 1 (mod 3)x ≡ 1 (mod 4)x ≡ 1 (mod 5)

cuyos modulos son todos primos entre si.


Aplicando el Teorema Chino del Resto y usando las notaciones de clase:

c1 = 20, a1 = 1, d1 = 20−1en Z3

c2 = 15, a2 = 1, d2 = 15−1en Z4

c3 = 12, a3 = 1, d3 = 12−1en Z5

En Z3, d1 = 20−1 = 2−1 = 2; en Z4, d2 = 15−1 = 3−1 = 3 y enZ5, d3 = 12−1 = 2−1 = 3Ası, la solucion general es:

x = 20 · 1 · 2 + 15 · 1 · 3 + 12 · 1 · 3 + λ · 60 = 121 + 60 · λ (λ ∈ Z)

Examenes 33



Se quieren guardar tornillos en numero menor que 1000, en cajas gran-des y pequenas. En cada caja grande se colocan siempre doble numerode tornillos que en cada caja pequena. Si se reparten entre 7 cajaspequenas y 2 grandes sobran 6 tornillos. Si el reparto se hace entre7 cajas pequenas y 1 grande resulta ser exacto. Al repartirlo entre 6cajas pequenas y 2 grandes sobran 8 tornillos. ¿Cuantos tornillos hay?.¿Cuantos se introducen en una caja pequena y cuantos en una grande?


a) Demostrar por induccion sobre n, la igualdad valida para n ≥ 0

1 + a + a2 + · · ·+ an =an+1 − 1

a− 1donde a 6= 1

b) Enunciar el teorema de Fermat

c) Demostrar que si p es primo 1 + a + a2 + · · ·+ ap−1 ≡ 1 (mod p)


Dada la ecuacion diofanticax

13+

y

19=

230

247se pide:

a) Encontrar la solucion general de la ecuacion.

b) Hallar todas las soluciones no negativas.


Se ha interceptado el mensaje 27 y se sabe que esta cifrado con RSAcon clave publica modulo n = 713 y exponente e = 139. Encontrar el


texto en claro.


Los numeros del conjunto A = {1, 2, . . . , 60} se colocan en 10 filas y 6columnas.

a) ¿Se puede asegurar que alguna fila contiene al menos dos multiplosde 5?

b) ¿De cuantas maneras distintas se pueden colocar los 60 numeros?

c) ¿Cuantas columnas se pueden formar con los numeros del conjuntoA excluyendo los pares y los divisibles por 3?


Calcula el termino general de la sucesion definida por:

a0 = 2, a1 = 5, a2 = 11 y para n ≥ 3, an + 5an−2 = 2(2an−1 + an−3)

Examenes 35


Ejercicio 1 [1 punto]

Usar el principio de induccion para probar que para todo entero n ≥ 1,se verifica que n3 + 2n es divisible por 3.


Un distribuidor de equipos informaticos efectua un pedido de entre1000 y 1500 equipos a un fabricante. Este se los envıa en contenedorescompletos con capacidad para 68 equipos cada uno. El distribuidorlos reparte a los diferentes puntos de venta en furgonetas con capaci-dad para 20 equipos, quedando 32 equipos sin repartir en el almacen.¿Cuantos equipos pidio el distribuidor a la fabrica?


Se reparten cuatro bolsas iguales de caramelos entre tres grupos deninos. En el primer grupo, que consta de cinco ninos, se reparten dosbolsas y sobra un caramelo. En el segundo grupo, de seis ninos, sereparte una bolsa y sobran dos caramelos. En el tercer grupo, de sieteninos, se reparte una bolsa y sobran tres caramelos. Sabiendo que, entotal, el numero de caramelos no llegaba a 500, ¿cuantos habıa en cadabolsa?


Calcular tres enteros positivos n, tales que φ(n) = 16


¿Cuantas cadenas de 8 bits comienzan con 11 o bien termina en 0?


Calcula el termino general de la sucesion definida por:

a0 = 3, a1 = 11, a2 = 29 y para n ≥ 3, an + 16an−2 = 7an−1 + 12an−3


30 de enero de 2007


En una poblacion de entre 150 y 200 personas se quieren hacer grupos,si se juntan de 4 en 4 sobra una persona, si de 5 en 5 sobran dos, y de6 en 6 sobran tres. ¿Cuantas sobraran si se agrupan de 7 en 7?


Una empresa de distribucion dispone de camiones de 9 y 6 toneladas, ydebe repartir 75 toneladas de mercancıa. ¿De cuantas maneras puederepartirla de forma que todos los camiones utilizados queden comple-tamente llenos? Si para acceder a los almacenes de recipientes necesitarecorrer 30 kilometros para los de 6 toneladas y 40 kilometros para losde 9, ¿cual es la menor distancia que deberan recorrer los camiones?


Sea n un numero natural cuya descomposicion en factores primos esn = pa1

1 · pa22 · pa3

3

a) Calcular φ(n), siendo φ la funcion de Euler.

b) Sean ahora otros dos numeros enteros cuya descomposicion en fac-tores primos es α = pb1

1 y β = qc11 , con q1 6= pi ; calcular φ(α · n)

y φ(β · n)

c) Comparar los valores de φ(α · n)/φ(n) y φ(β · n)/φ(n), razonandola respuesta.


En la mesa de los novios hay 10 personas sentadas (incluidos los novios).El fotografo de boda va a escoger a 4 personas de la mesa para hacerles

Examenes 37

una foto. ¿De cuantas formas puede ordenar a 4 personas de entre lasdiez de la mesa si la novia debe salir en la foto en la primera o en lasegunda posicion a la izquierda?


Demostrar que

n

r − 1

+ 2

n

r

+

n

r + 1

=

n + 2r + 1


Resolver la recurrencia lineal an = 2an−1 + 4an−2 − 8an−3 con a0 = 5,a1 = 0, a2 = 28.



Ejercicio 1

Probar, por induccion en n, que

n∑i=0

(a + i · d) = (n + 1) · a +n · (n + 1)

2· d

Ejercicio 2

Probar que si m y n son primos entre sı, entonces mφ(n) + nφ(m) ≡1 (mod mn)

Ejercicio 3

A los enteros n no negativos y menores que 771 les asociamos la terna(n mod 5, n mod 7, n mod 11)

a) Demostrar que hay ternas que se repiten. ¿Cual es el mayornumero de veces que se repite una terna?

b) ¿Que valores de n tienen asociada la terna (3, 2, 5)?

Ejercicio 4

Una modista trabaja con 5 tejidos, 7 colores, 4 patrones y 3 ta-llas distintas. Calcular razonadamente cuantos trajes distintos puedeconfeccionar.

Ejercicio 5

De las 323 familias que viven en una calle, 24 no tienen vehıculo, 224tienen un coche tipo turismo, 85 todoterreno, 57 motocicleta y 18 tienen

Examenes 39

los tres tipos de vehıculo. ¿Cuantos tienen exactamente dos tipos devehıculos?

Ejercicio 6

Las directrices de un banco en los ultimos anos han sido: cada anocomprar bienes por valor de 6 veces su capital al inicio del ano anterior,y vender por 4 veces el valor de su capital al inicio del ano en curso.Denotando por an el capital al inicio del ano n, se pide: Escribir la rela-cion de recurrencia que se verifica. Calcular, encontrando previamenteuna formula para el ano n, el capital previsto con esta polıtica al iniciodel sexto ano, teniendo en cuenta que a0 = 1 y a1 = 4



Ejercicio 1

Se considera la sucesion de Fibonacci definida como f1 = 1, f2 = 1,y para n > 2 fn = fn−1 + fn−2. Demostrar que los terminos f4n sonmultiplos de 3 para todo n ≥ 1

Ejercicio 2

Queremos adquirir 7700 lapices en una tienda, que los sirve en paque-tes de 123 unidades y de 19 unidades. ¿De cuantas maneras distintaspodemos efectuar la compra si queremos comprar todos los lapices em-paquetados?.

Ejercicio 3

Sean a, n enteros positivos y coprimos. Sea x ≥ 1 el menor valor parael cual ax ≡ 1 (mod n) Demostrar que x siempre divide a φ(n)

Ejercicio 4

En un obrador de pastelerıa preparan pasteles con 3 bases distintas, 4tipos de relleno y 6 complementos para la terminacion.

a) ¿Cuantos pasteles distintos se pueden hacer utilizando para ellouna base, un relleno y un complemento?

b) ¿De cuantos modos se puede escoger una docena de pasteles dis-tintos si debe haber al menos 6 con relleno de trufa?

Ejercicio 5

Utilizando el principio de inclusion-exclusion, hallar cuantos enteros

Examenes 41

entre 1 y 1000 no son divisibles ni por 2, ni por 3, ni por 7.

Ejercicio 6

Resolver la recurrencia lineal an = 3an−1 − 4an−3 con a0 = 5, a1 = 3,a2 = 19.




Sea x = 121 la representacion de un numero escrita en base n, cuandon ≥ 3.

a) Demostrar que dicho numero no es multiplo de n (Demostrar quex ≡ 1 mod n)

b) Demostrar que dicho numero es multiplo de (n + 1)


En una parada de autobuses urbanos paran los autobuses de las lıneasA,B y C. Los autobuses de la lınea A paran cada 20 minutos, los de lalınea B cada 15 minutos y los de la lınea C cada 12 minutos. Sabiendoque el de la lınea A paro hace 7 minutos, el de la lınea B hace 5 minutosy el de la lınea C hace 3 minutos.

a) ¿Pueden coincidir los tres en la parada?

b) ¿Cada cuanto tiempo coincidiran los de las lıneas A y C?

c) ¿Cuanto tiempo queda para que coincidan la proxima vez?

Nota: Considera la hora actual como 0 y llama t el momento en quecoincidan.


Resolver la recurrencia an+1 = 3an−4an−2 con a0 = 4, a1 = 3 y a2 = 23.


Calcular, razonadamente, cuantos numeros de 4 cifras tienen exacta-mente una cifra repetida (como por ejemplo, 2131, 0307, 5788, etc.

Examenes 43

mientras que 4343 o 1113 no son validos)


Demostrar que si n ≡ 2 mod 4 entonces 9n + 8n es divisible por 5.

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