t4icisis0506.ppt [modo de...

Intr

oducc

ión a

l C

álc

ulo

Infinites

imal

Tema 4: Diferenciabilidad de funciones

reales de varias variables reales.

Tema 4

1. Derivadas parciales2. Plano tangente y recta normal3. Derivadas parciales sucesivas (o de orden superior)4. Diferenciabilidad (para una y dos variables)5. Plano tangente y diferenciabilidad

José R. �arro

Intr

oducc

ión a

l C

álc

ulo

Infinites

imal



José R. �arro

1

5. Plano tangente y diferenciabilidad6. Derivada de la función compuesta (Regla de la cadena)7. Derivación en forma implicita8. Derivada según un vector9. Derivada direccional10.Vector gradiente11.Fórmula de Taylor para funciones de dos variables

Intr

oducc

ión a

l C

álc

ulo

Infinites

imal



Sea z = f(x, y) una función de dos variables con dominio D. Si mantenemos la va-

riable y fija: y = b, siendo b una constante, y suponemos que solo la x varía, la fun-

ción f se convierte entonces en función de solo la variable x: g(x) = f(x, b). Si g tiene

derivada en a, entonces esta se llama derivada parcial de f respecto de x en(a, b),

que denotamos por fx(a, b). Luego por definición se tiene:

fx(a, b) = g´(a) = 0

g(a+h)-g(a)lim

hh→→→→, por tanto

f (a, b) = f(a+h, b)-f(a, b)

lim

Derivadas parciales

José R. �arro

Intr

oducc

ión a

l C

álc

ulo

Infinites

imal



José R. �arro

2

fx(a, b) = 0

f(a+h, b)-f(a, b)lim

hh→→→→

Análogamente se define la derivada parcial de f respecta de y en (a, b), y que deno-

tamos por fy(a, b), que se obtiene fijando x = a, y obteniendo la derivada en b de la

función h(y) = f(a, y)

0

y

f(a, b+h)-f(a, b)f (a, b) lim

hh→→→→====

Intr

oducc

ión a

l C

álc

ulo

Infinites

imal



z

Corte de z = f(x, y) con y = bProyección del corte de z=f(x, y) con y = b

sobre el plano ZX

Si consideramos la superficie que tiene por ecuación z = f(x, y), el plano y = b, corta

a la superficie en la curva z = f(x, b), que tiene por pendiente en el punto x = a, el

valor de su derivada en dicho punto, que es precisamente:

fx(a, b) = 0

f(a+h, b)-f(a, b)lim

hh→→→→

Interpretación geométrica de la derivada parcial

José R. �arro

Intr

oducc

ión a

l C

álc

ulo

Infinites

imal



José R. �arro

3

y=b

z=f(x, y)

y

x

z=f(x, b)

P(a, b, f(a, b))

x = a

x

z

z=f(x, b)

tg = fx(a, b)

Intr

oducc

ión a

l C

álc

ulo

Infinites

imal



Análogamente, si cortamos la superficie por el plano x = a, se obtiene la curva z

=f(a,y), que tiene por pendiente en el punto y = b, el valor de su derivada en dicho

punto:

0

y

f(a, b+h)-f(a, b)f (a, b) lim

hh→→→→==== .

Interpretación geométrica de la derivada parcial

Proyección del corte de z = f(x, y)

con x = a sobre el plano ZY

José R. �arro

Intr

oducc

ión a

l C

álc

ulo

Infinites

imal



José R. �arro

4

z

y

fy (a, b)=tg

y=b

Intr

oducc

ión a

l C

álc

ulo

Infinites

imal



Suponiendo que el plano tangente a la superficie z = f(x, y) en el punto P(a, b, f(a,

b)) existe obtengamos su ecuación. Dicho plano debe contener a las rectas tangen-

tes a la curvas contenidas en la superficie y que pasan por P(a, b, f(a, b)); en parti-

cular contendrá a las rectas tangentes a las curvas que resultan de cortar a la su-

perficie por los planos x = a, y = b.

Al cortar por x = a, se obtiene la curva z = f(a, y) en el plano ZY, y cuya recta tan-

Plano tangente

José R. �arro

Intr

oducc

ión a

l C

álc

ulo

Infinites

imal



José R. �arro

5

Al cortar por x = a, se obtiene la curva z = f(a, y) en el plano ZY, y cuya recta tan-

gente en el punto P(a ,b, f(a, b)) tiene por pendiente fy(a, b), luego un vector direc-

tor de esta recta será de la forma (0, u, v) , siendo y

v=f (a, b)

u, tomando u = 1, se

obtiene: v = fy(a, b)

es decir, un vector en la dirección de la recta tangente es (0, 1, fy(a, b)).

Intr

oducc

ión a

l C

álc

ulo

Infinites

imal



z=f(x,y)

z

Corte de z=f(x, y) con x=a

Vector director = (1, fy(a, b))

Plano tangente

José R. �arro

Intr

oducc

ión a

l C

álc

ulo

Infinites

imal



José R. �arro

6

x=a

y=b

z=f(a, y)

x

y

P(a, b, f(a,b))

Vector director = (0, 1, fy(a, b))

tg = fy(a, b)

Intr

oducc

ión a

l C

álc

ulo

Infinites

imal



Plano tangente

Análogamente, al cortar por y = b, se obtiene la curva z = f(x, b) en el plano ZX, y

cuya recta tangente en el punto P(a ,b, f(a, b)) tiene por pendiente fx(a, b), luego un

vector director de esta recta será de la forma (u, 0, v), siendo x

v=f (a, b)

u, tomando

u = 1, se obtiene v = fx(a, b), es decir, un vector en la dirección de la recta tangente

es (1, 0, fx(a, b)).

José R. �arro

Intr

oducc

ión a

l C

álc

ulo

Infinites

imal



José R. �arro

7

Intr

oducc

ión a

l C

álc

ulo

Infinites

imal



Plano tangente y recta normal

En consecuencia dos vectores directores del plano tangente en el punto :

P(a ,b, f(a, b)) son p�

= (0, 1, fy(a, b)) y q�

= (1, 0, fx(a, b), luego un vector perpendicu-

lar al plano se obtendrá multiplicándolos vectorialmente

p×q� �

= 0 1

1 0

y

x

f (a, b)

f (a, b)

i j k� � ��

= x y

f (a, b)i+f (a, b)j-k� � ��

Por lo tanto el plano tangente queda definido por el punto P(a ,b, f(a, b)) y tiene

por vector característico x y

(f (a, b),f (a, b),-1) , por lo que su ecuación será:

José R. �arro

Intr

oducc

ión a

l C

álc

ulo

Infinites

imal



José R. �arro

8

por vector característico x y

(f (a, b),f (a, b),-1) , por lo que su ecuación será:

fx(a, b)(x - a) + fy(a, b)(y - b) – (z – f(a, b)) = 0.

La recta perpendicular al plano tangente en el punto P(a ,b, f(a, b)) se llama recta

normal a la superficie en dicho punto, por lo que su ecuación, en forma paramétri-

ca, será

x

y

x=a+tf (a, b)

y=b+tf (a, b)

z=f(a, b)-t

Intr

oducc

ión a

l C

álc

ulo

Infinites

imal



Ejemplo

Obtener la ecuación del plano tangente a la superficie z = 3x2-y

2, en el punto

P(1, 1, 2),así como la ecuación de la recta normal en dicho punto.

En este caso:

fx(x, y) = 6x, fy(x, y) = -2y, (a, b) = (1, 1) ⇒⇒⇒⇒ fx(1, 1) = 6, fy(1, 1) = -2, f(1, 1) = 2.


José R. �arro

Intr

oducc

ión a

l C

álc

ulo

Infinites

imal



José R. �arro

9

fx(x, y) = 6x, fy(x, y) = -2y, (a, b) = (1, 1) ⇒⇒⇒⇒ fx(1, 1) = 6, fy(1, 1) = -2, f(1, 1) = 2.

Luego la ecuación del plano tangente es:

6(x-1)-2(y-1)-(z-2) = 0 ⇒⇒⇒⇒ 6x-2y –z = 2.

La recta normal tiene por ecuación:

x=1+6t

y=1-2t

z=2-t

Intr

oducc

ión a

l C

álc

ulo

Infinites

imal



Plano tangente

en P(a, b, f(a, b))

Recta normal

P(a, b, f(a, b))


José R. �arro

Intr

oducc

ión a

l C

álc

ulo

Infinites

imal



José R. �arro

10

x = a

y = b

Intr

oducc

ión a

l C

álc

ulo

Infinites

imal




José R. �arro

Intr

oducc

ión a

l C

álc

ulo

Infinites

imal



José R. �arro

11

Intr

oducc

ión a

l C

álc

ulo

Infinites

imal



Si (a, b), es un punto variable lo representaremos por (x, y) y obtendremos el con-

cepto de funciones derivadas parciales:

La derivada parcial de f con respecto de x, la denotamos por fx, y se define así

0

x

f(x+h, y)-f(x, y)f (x, y) lim

hh→→→→====

para todos los puntos (x, y) donde este límite exista.

La derivada parcial de f con respecto de y, la denotamos por fy, y se define así

0

y

f(x, y+h)-f(x, y)f (x, y) lim

hh→→→→====

Función derivada parcial

José R. �arro

Intr

oducc

ión a

l C

álc

ulo

Infinites

imal



José R. �arro

12

0

yf (x, y) lim

hh→→→→====

para todos los puntos (x, y) donde este límite exista.

Si z = f(x, y), otras notaciones usuales para las derivadas parciales son

fx(x, y) = zx = f z

(x, y)=x x

∂ ∂∂ ∂∂ ∂∂ ∂

∂ ∂∂ ∂∂ ∂∂ ∂

fy(x, y) = zy = f z

(x, y)=y y

∂ ∂∂ ∂∂ ∂∂ ∂

∂ ∂∂ ∂∂ ∂∂ ∂

Intr

oducc

ión a

l C

álc

ulo

Infinites

imal



Como en el cálculo de derivadas parciales una de las variables se mantiene cons-

tante, se podrán aplicar las reglas de derivación para funciones de una variable,

siempre que esté clara la existencia de esta derivada.

Ejemplo

Siendo f(x, y) = (x2 + y)e

xy, calcular sus derivadas parciales y evaluarlas en el punto

(1,1):

Derivadas parciales

José R. �arro

Intr

oducc

ión a

l C

álc

ulo

Infinites

imal



José R. �arro

13

(1,1):

fx(x, y) = 2xexy + (x

2 + y)ye

xy ⇒⇒⇒⇒ fx(1, 1) = 2e + 2e = 4e

fy(x, y) = exy + (x

2 + y)xe

xy ⇒⇒⇒⇒ fy(1, 1) = e + 2e = 3e

Se han aplicado directamente las reglas de derivación de funciones de una varia-

ble, ya que al fijar una variable la función se convierte en una función derivable

por ser el resultado de operar funciones derivables. Esta función admite derivadas

parciales en todo punto de R2.

Intr

oducc

ión a

l C

álc

ulo

Infinites

imal



Ejemplo

Estudiar la existencia de derivadas parciales, para cualquier punto, de la función

f(x, y) = |x+y|= x+y si x+y>0

-x-y si x+y 0

≤≤≤≤ calculándolas en su caso

Si x+y ≠≠≠≠ 0, existen ambas derivadas parciales, ya que al fijar una variable se obtie-

ne un polinomio que siempre es derivable, siendo

fx(x, y) = 1, fy(x, y) = 1, si x+y>0

Derivadas parciales

José R. �arro

Intr

oducc

ión a

l C

álc

ulo

Infinites

imal



José R. �arro

14

fx(x, y) = 1, fy(x, y) = 1, si x+y>0

fx(x, y) = -1, fy(x, y) = -1, si x+y ≤≤≤≤ 0

Queda por estudiar cuando el punto P(a, b) si x+y = 0, es decir, b = -a ⇒⇒⇒⇒ P(a, -a)

0 0x

f(a+h, -a)-f(a, -a) |h|f (a, -a) lim lim

h hh h→ →→ →→ →→ →= == == == = , que no existe, ya que vale 1 o -1

según que h tienda acero por la derecha o por la izquierda.

0 0y

f(a, -a+h)-f(a, -a) |h|f (a, -a) lim lim

h hh h→ →→ →→ →→ →= == == == = , que no existe, ya que vale 1 o -1

según que h tienda acero por la derecha o por la izquierda.

Luego la función admite derivadas parciales en todos los puntos, salvo en la recta

x + y = 0.

Intr

oducc

ión a

l C

álc

ulo

Infinites

imal



Ejercicio

Estudiar la existencia de derivadas parciales, para cualquier punto, de la fun-

ción:

2 2

xysi (x, y) (0, 0)

( , ) x +y

0 si (x, y)=(0, 0)

f x y

≠≠≠≠

====

Derivadas parciales

José R. �arro

Intr

oducc

ión a

l C

álc

ulo

Infinites

imal



José R. �arro

15

Intr

oducc

ión a

l C

álc

ulo

Infinites

imal



Al calcular las derivadas parciales de una función de dos variables se obtienen

también funciones de dos variables, a las que se les puede calcular sus derivadas

parciales, a las que llamamos derivadas parciales segundas. Este proceso puede

seguir obteniéndose las derivadas sucesivas (o de orden superior). Las notaciones

mas usuales son:

Derivadas parciales segundas:

1) derivando dos veces respecto de x

2

xx2

f f( )= =f

x x x

∂ ∂ ∂∂ ∂ ∂∂ ∂ ∂∂ ∂ ∂

∂ ∂ ∂∂ ∂ ∂∂ ∂ ∂∂ ∂ ∂

2) derivando dos veces respecto d e y

2f f

( )= =f∂ ∂ ∂∂ ∂ ∂∂ ∂ ∂∂ ∂ ∂

Derivadas parciales sucesivas

José R. �arro

Intr

oducc

ión a

l C

álc

ulo

Infinites

imal



José R. �arro

16

yy2

( )= =fy y y∂ ∂ ∂∂ ∂ ∂∂ ∂ ∂∂ ∂ ∂

3) derivando primero respecto de x y luego respecto de y 2

xy

f f( )= =fy x y x

∂ ∂ ∂∂ ∂ ∂∂ ∂ ∂∂ ∂ ∂

∂ ∂ ∂ ∂∂ ∂ ∂ ∂∂ ∂ ∂ ∂∂ ∂ ∂ ∂

4) derivando primero respecto de y y luego respecto de x

2

yx

f f( )= =fx y x y

∂ ∂ ∂∂ ∂ ∂∂ ∂ ∂∂ ∂ ∂

∂ ∂ ∂ ∂∂ ∂ ∂ ∂∂ ∂ ∂ ∂∂ ∂ ∂ ∂

En las dos notaciones utilizadas se deriva primero respecto a la variable más cer-

cana a f.

Intr

oducc

ión a

l C

álc

ulo

Infinites

imal



Ejemplo

Calcular las derivadas parciales segundas de:

f(x, y) = 2 x xy e +cos(xy)+

y

• 2 x 1

f (x, y)=y e -ysen(xy)+


José R. �arro

Intr

oducc

ión a

l C

álc

ulo

Infinites

imal



José R. �arro

17

• 2 x

xf (x, y)=y e -ysen(xy)+

y

• x

y 2

xf (x, y)=2ye -xsen(xy)-

y

• x

xy 2

1f (x, y)=2ye -sen(xy)-yxcos(xy)-

y

• x

yx 2

1f (x, y)=2ye -sen(xy)-xycos(xy)-

y

• 2 x 2

xxf (x, y)=y e -y cos(xy)

• x 2

yy 3

2xf (x, y)=2e -x cos(xy)+

y

Intr

oducc

ión a

l C

álc

ulo

Infinites

imal



Ejercicio

Calcular las derivadas parciales segundas de:

3 2 2 2 2y

f(x, y)=x y - x + x tg( ) + x +yx

.


José R. �arro

Intr

oducc

ión a

l C

álc

ulo

Infinites

imal



José R. �arro

18

Intr

oducc

ión a

l C

álc

ulo

Infinites

imal



En el último ejemplo se verificaba que xy yx

f =f , igualdad que en general no es cier-

ta, aunque si lo será para la mayoría de funciones que manejemos.

Una condición suficiente para que xy yx

f =f , la da el:

Teorema (de Schwarz, sobre la permutabilidad de orden de derivación)

Si f está definida en un entorno U de (a, b), y si existen las derivadas parciales fx, fy,

fxy en el mismo U, siendo también fxy continua en (a, b) , entonces existe fyx(a, b) y

se cumple xy yx

f (a, b)=f (a, b) .


José R. �arro

Intr

oducc

ión a

l C

álc

ulo

Infinites

imal



José R. �arro

19

Para más de dos variables el concepto de derivada parcial es análogo. Veamos un

ejemplo para tres variables

Ejemplo

Calcular la derivadas parciales primeras de

f(x, y, z) = x2+y

2+z

2+e

xyz

xyz

x

xyz

y

xyz

z

f (x,y,z)=2x+yze

f (x,y,z)=2y+xze

f (x,y,z)=2z+xye

Intr

oducc

ión a

l C

álc

ulo

Infinites

imal



Diferenciabilidad. Diferencial.

Recordemos el concepto para una función de una variable:

Sea y = f(x),una tal función, y a un punto de su dominio, se quiere establecer una

relación entre el incremento de la variable x, al tomar valores próximos a a, y que

representamos por ∆x = x-a, con el correspondiente incremento de la función , y

que simbolizamos por ∆y=f(a+∆x)-f(a) .

Supongamos que f está definida en un cierto intervalo I, si a es un punto fijo de I,

decimos que f es diferenciable en a, si su incremento en a, es decir, si

∆y=f(a+∆x)-f(a), siendo a+∆x I∈∈∈∈ ,

se puede escribir en la forma:

Diferenciabilidad

José R. �arro

Intr

oducc

ión a

l C

álc

ulo

Infinites

imal



José R. �arro

20

se puede escribir en la forma:

0∆x

∆y=k∆x+ε(∆x)∆x siendo k R y lim ε(∆x)=0→→→→

∈∈∈∈ .

Si esto se verifica, entonces se llama diferencial de f en a, a la función de ∆x , que

representamos por dy(∆x)=k∆x , y que abreviadamente ponemos dy=k∆x . Luego

se tiene:

∆y=dy+o(∆x) , donde o(∆x)=ε(∆x)∆x, siendo o(∆x ) un infinité-

simo de orden superior a ∆x cuando ∆x 0→→→→ .

Intr

oducc

ión a

l C

álc

ulo

Infinites

imal



Ejemplo

Comprobar que la función f(x) = x2+3x-1 es diferenciable en cualquier punto x = a.

Calculemos el incremento de la función en dicho punto:

2 2 2 2

2

∆y=f(a+∆x)-f(a)=(a+∆x) +3(a+∆x)-1-f(a)=a +∆x +2a∆x+3a+3∆x-1-a -3a+1=

∆x +2a∆x+3∆x=(2a+3)∆x+∆x∆x

Luego se cumple la definición de diferenciabilidad tomando k = 2a+3, ε(∆x)=∆x .

Diferenciabilidad

José R. �arro

Intr

oducc

ión a

l C

álc

ulo

Infinites

imal



José R. �arro

21

Luego se cumple la definición de diferenciabilidad tomando k = 2a+3, ε(∆x)=∆x .

�ótese que k = f´(a), veremos que esto es un resultado cierto en general.

Intr

oducc

ión a

l C

álc

ulo

Infinites

imal



Para una función de una variable los conceptos de diferenciabilidad y deriva-

bilidad en un punto son equivalentes. Precisando, se verifica el:

Teorema

La función f es derivable en a si y solo si es diferenciable en a.

Demostrémoslo en un sentido:

Suponiendo que f es derivable en a ⇒⇒⇒⇒

existe ∆y ∆y ∆y

lim =f´(a) lim ( -f´(a))=0, llamando ε(∆x)= -f´(a)⇒ ⇒⇒ ⇒⇒ ⇒⇒ ⇒

Diferenciabilidad

José R. �arro

Intr

oducc

ión a

l C

álc

ulo

Infinites

imal



José R. �arro

22

existe 0 0∆x ∆x

∆y ∆y ∆ylim =f´(a) lim ( -f´(a))=0, llamando ε(∆x)= -f´(a)

∆x ∆x ∆x→ →→ →→ →→ →⇒ ⇒⇒ ⇒⇒ ⇒⇒ ⇒

ε(∆x) es un infinitésimo para ∆x 0→→→→ , luego ∆y=f´(a)∆x+ε(∆x)∆x , por tanto f

es diferenciable en a, siendo k = f´(a).

En sentido contrario la demostración es análoga.

Si consideramos la función y = x dy=∆x dy=dx=∆x⇒ ⇒⇒ ⇒⇒ ⇒⇒ ⇒ , por lo que la dife-

rencial de f se suele escribir dy = f´(a)dx,dy

f´(a)=dx

⇒⇒⇒⇒ , que es otra notación pa-

ra la derivada.

Intr

oducc

ión a

l C

álc

ulo

Infinites

imal



Interpretación geometrica de la diferencial

José R. �arro

Intr

oducc

ión a

l C

álc

ulo

Infinites

imal



José R. �arro

23

∆x

∆ x

M�

PM⇒⇒⇒⇒

Intr

oducc

ión a

l C

álc

ulo

Infinites

imal



Ejemplo

Calcular la diferencial de f(x) = x3-x

2, en un punto arbitrario x, y luego en

el punto x = 1:

Se tiene f´(x) = 3x2-2x, luego dy = (3x

2-2x)dx.

Tomando x = 1⇒⇒⇒⇒ dy = dx.

Diferenciabilidad

José R. �arro

Intr

oducc

ión a

l C

álc

ulo

Infinites

imal



José R. �arro

24

Ejercicio

Estudiar la diferenciabilidad de la función f(x) = log (x2+x), calculando su

diferencial para todos los valores posibles.

Intr

oducc

ión a

l C

álc

ulo

Infinites

imal



Estudiemos ahora la diferenciabilidad para una función de dos variables.

Sea z = f(x, y) definida en un cierto entorno del punto P(a , b); si incrementamos la

abscisa en ∆x , y la ordenada en ∆y , se obtiene el punto Q(a +∆x , b + ∆y ), a la

diferencia entre el valor de la función en Q y el valor de la función en P le llama-

mos incremento de la función al pasar del punto P al Q, que puede ser positivo o

negativo y que representamos por ∆z=f(a+∆x, b+∆y)-f(a, b) .

Se quiere establecer una relación entre los incrementos de las variables x, y en los

valores a y b, con el incremento de la función.

Diferenciabilidad

José R. �arro

Intr

oducc

ión a

l C

álc

ulo

Infinites

imal



José R. �arro

25

Si P y Q pertenecen al dominio de f, la función se dice diferenciable en P(a, b), si

existen dos números M y �, tales que

1 2

∆z=M ∆x+�∆y+ε (∆x, ∆y)∆x+ε (∆x, ∆y)∆y,

siendo 1 2

ε y ε , dos funciones de las variables ∆x e ∆y , e infinitésimos cuando

(∆x ,∆y ) (0, 0)→→→→ , es decir se cumple

1

0 0(∆x,∆y) ( , )lim ( , )x yε

→→→→∆ ∆ =∆ ∆ =∆ ∆ =∆ ∆ =

20 0(∆x,∆y) ( , )

lim ( , )x yε→→→→

∆ ∆ =∆ ∆ =∆ ∆ =∆ ∆ = 0

Intr

oducc

ión a

l C

álc

ulo

Infinites

imal



Se puede demostrar que la anterior definición de diferenciabilidad es equiva-

lente a esta otra:

La función se dice diferenciable en P(a, b), si existen dos números M y �, ta-

les que

2 2∆z=M∆x+�∆y+ε (∆x, ∆y) ∆x +∆y

Diferenciabilidad

José R. �arro

Intr

oducc

ión a

l C

álc

ulo

Infinites

imal



José R. �arro

26

siendo ε , función de las variables ∆x e ∆y , e infinitésimo cuando

(∆x ,∆y ) (0, 0)→→→→ ,

es decir se cumple 0 0(∆x,∆y) ( , )

lim ( , )x yε→→→→

∆ ∆ =∆ ∆ =∆ ∆ =∆ ∆ = 0

En el caso en que f sea diferenciable en (a, b), se llama diferencial de f en el

punto (a, b) a la función lineal respecto de las variables ∆x e ∆y : M∆x+�∆y ,

que se designa así: dz = M∆x+�∆y .

Intr

oducc

ión a

l C

álc

ulo

Infinites

imal



Ejemplo

Dada la función z = f(x, y) = x2-xy+y, y el punto (a, b), calculemos su incre-

mento, para incrementos ∆x e ∆y de a y b:

∆z=f(a+∆x, b+∆y)-f(a, b)= 2 2(a+∆x) -(a+∆x)(b+∆y)+b+∆y-a +ab-b =

= 2 2 2a +∆x +2a∆x-ab-a∆y-b∆x-∆x∆y+b+∆y-a +ab-b ====

= (-b+2a)∆x+(-a+1)∆y+∆x∆x-∆x∆y .

Como f (x, y)=2x-y, f (x, y)=-x+1 f (a, b)=2a-b, f (a, b)=-a+1⇒⇒⇒⇒ ,

Diferenciabilidad

José R. �arro

Intr

oducc

ión a

l C

álc

ulo

Infinites

imal



José R. �arro

27

Como x y x y

f (x, y)=2x-y, f (x, y)=-x+1 f (a, b)=2a-b, f (a, b)=-a+1⇒⇒⇒⇒ ,

luego ∆z = x y 1 2

f (a, b)∆x+f (a, b)∆y+ε ∆x+ε ∆y , siendo 1

ε =∆x , y 2

ε =-∆x ,

cumpliéndose que:

1

0 0(∆x,∆y) ( , )lim ( , )x yε

→→→→∆ ∆ =∆ ∆ =∆ ∆ =∆ ∆ =

20 0(∆x,∆y) ( , )

lim ( , )x yε→→→→

∆ ∆ =∆ ∆ =∆ ∆ =∆ ∆ = 0.

Como consecuencia se cumple la definición de diferenciabilidad en el punto

(a, b), poniendo M = fx(a, b) y � = fy(a, b). Las relaciones obtenidas en el

ejemplo, para M y �, son ciertas en general, aunque el procedimiento aquí

empleado, de cálculo directo, se hace complicado en la mayoría de los casos.

Intr

oducc

ión a

l C

álc

ulo

Infinites

imal



Se verifica el siguiente:

Teorema

Si f es diferenciable en (a, b) y dz=M∆x+�∆y es su diferencial en ese punto, en-

tonces existen la derivadas parciales zx(a, b), zy(a, b) y coinciden con M y � respec-

tivamente:

Diferenciabilidad

José R. �arro

Intr

oducc

ión a

l C

álc

ulo

Infinites

imal



José R. �arro

28

M = zx(a, b), � = zy(a, b)

Considerando la función z = x x y

f =1, f =0 dz=dx=1∆x dx=∆x⇒ ⇒ ⇒⇒ ⇒ ⇒⇒ ⇒ ⇒⇒ ⇒ ⇒ .

Análogamente si z = y x y

f =0, f =1 dz=dy=1∆y dy=∆y⇒ ⇒ ⇒⇒ ⇒ ⇒⇒ ⇒ ⇒⇒ ⇒ ⇒ .

Por lo tanto dz se puede escribir en la forma

dz = x y

f (a, b)dx+f (a, b)dy

Intr

oducc

ión a

l C

álc

ulo

Infinites

imal



Ejercicio

Obtener la diferencial de la función z = f(x, y) = x2y

2+xy-3y en el punto (a,

b), por dos procedimientos:

1) Aplicando la fórmula anterior.

2) Calculando el incremento de la función

Diferenciabilidad

José R. �arro

Intr

oducc

ión a

l C

álc

ulo

Infinites

imal



José R. �arro

29

2) Calculando el incremento de la función

Intr

oducc

ión a

l C

álc

ulo

Infinites

imal



Como en el caso de una variable: diferenciabilidad implica continuidad.

Teorema

Si f es diferenciable en (a, b) entonces es continua en (a, b).

Para una variable los conceptos de derivabilidad y diferenciabilidad son

equivalentes.

Diferenciabilidad

José R. �arro

Intr

oducc

ión a

l C

álc

ulo

Infinites

imal



José R. �arro

30

equivalentes.

Para más de una variable esto, en general no es cierto.

Intr

oducc

ión a

l C

álc

ulo

Infinites

imal



Ejemplo

La función

2 2

2 2

2 2

xysi x +y 0

x +yf(x, y)=

0 si x +y =0

≠≠≠≠

Estudiemos sus derivadas parciales en (0, 0)

2

xh 0 h 0 h 0

h0-0

f(h, 0)-f(0, 0) 0hf (0, 0)= lim = lim = lim =0h h h→ → →→ → →→ → →→ → →

Diferenciabilidad

José R. �arro

Intr

oducc

ión a

l C

álc

ulo

Infinites

imal



José R. �arro

31

2

yh 0 h 0 h 0

h0-0

f(0, )-f(0, 0) 0hf (0, 0)= lim = lim = lim =0h h h

h

→ → →→ → →→ → →→ → →

Luego las dos derivadas parciales existen y valen 0. ¿ Que ocurre para el resto de

los puntos ?

Estudiemos la continuidad en (0, 0):

0 0 0 0

2

2 2 2 2 2( , ) ( , )y=mx

mx m mlim f(x, y) lim lim =

x +m x 1+m 1+mx y x x→ → →→ → →→ → →→ → →= == == == =

Como los límites direccionales calculados dependen de m, se deduce que no existe

el límite en el origen, luego la función no es continua en (0, 0).

Intr

oducc

ión a

l C

álc

ulo

Infinites

imal



Ejemplo

La función

es continua en R2 (¿por qué ?)

Estudiemos la diferenciabilidad en (0, 0).

Calculamos las derivadas parciales

0 0 0x

h h h

0-0

f(h, 0)-f(0, 0) 0|h|f (0, 0) lim lim lim =0

h h h→ → →→ → →→ → →→ → →= = == = == = == = =

2 2

xysi (x,y) (0,0)

f(x, y)= x +y

0 si (x,y)=(0,0)

≠≠≠≠

Diferenciabilidad

José R. �arro

Intr

oducc

ión a

l C

álc

ulo

Infinites

imal



José R. �arro

32

h h h

0 0 0y

h h h

0-0

f(0, h)-f(0, 0) 0|h|f (0, 0) lim lim lim =0

h h h→ → →→ → →→ → →→ → →= = == = == = == = =

Si fuese diferenciable se tendria

2 2f(0+∆x, 0+∆y)-f(0, 0)=0∆x+0∆y+ε ∆x +∆y ⇒⇒⇒⇒2 2

f(∆x, ∆y)ε=

∆x +∆y====

Comprobemos si ( , )x yε ∆ ∆∆ ∆∆ ∆∆ ∆ es un infinitésimo

2 2

2 22 2(∆x,∆y) (0,0) (∆x,∆y) (0,0)

∆x∆y

∆x +∆y ∆x∆ylim = lim

∆x +∆y∆x +∆y→ →→ →→ →→ →, este límite no existe (ya visto en un ejem-

plo anterior, poniendo x ,y en lugar de ∆x, ∆y ).

Luego ε(∆x, ∆y) no es un infinitésimo y, por lo tanto la función no es diferenciable.

Intr

oducc

ión a

l C

álc

ulo

Infinites

imal



Con estos ejemplos se ha comprobado que la continuidad o la existencia de deriva-

das parciales no son condiciones suficientes para la diferenciabilidad (aunque los

resultados teóricos confirman que si son condiciones necesarias).

Ejemplo

Estudiar la continuidad y diferenciabilidad en el origen de la función 2 2xylog(x +y ) si (x, y) (0, 0)

f(x, y)0 si (x, y)=(0, 0)

≠≠≠≠====

Diferenciabilidad

José R. �arro

Intr

oducc

ión a

l C

álc

ulo

Infinites

imal



José R. �arro

33

0 si (x, y)=(0, 0)Estudiemos la existencia de derivadas parciales

0 0 0

2

xh h h

f(h, 0)-f(0,0) h0log(h )-0 0f (0, 0) lim lim lim =0

h h h→ → →→ → →→ → →→ → →= = == = == = == = =

0 0 0

2

yh h h

f(0, )-f(0,0) h0log(h )-0 0f (0, 0) lim lim lim =0

h h h

h

→ → →→ → →→ → →→ → →= = == = == = == = =

Por existir las derivadas parciales es posible que sea diferenciable. Intentamos de-

mostrarlo aplicando la definición. Despejando ε de la condición de diferenciabili-

dad 2 2f(∆x,∆y)-f(0,0)=0∆x+0∆y ∆x +∆yε++++

Intr

oducc

ión a

l C

álc

ulo

Infinites

imal



0 0(∆x,∆y) ( , )lim

→→→→ε =

0 0 0 0

2 2

2 2 2 2(∆x,∆y) ( , ) (∆x,∆y) ( , )

f(∆x,∆y)-f(0,0)-0∆x-0∆y ∆x∆ylog(∆x +∆y )lim lim

∆x +∆y ∆x +∆y→ →→ →→ →→ →==== , para

ver si existe este límite calculemos los límites según las direcciones ∆y=m∆x

0 0

2 2 2 2 2 2 2

2 2 2 2∆x ∆x

m∆x log(∆x +m ∆x ) m∆x log(∆x (1+m ))lim lim

∆x +m ∆x |∆x| 1+m→ →→ →→ →→ →= == == == =

0 0 0

2 2 2 2

2 2∆x ∆x ∆x

m mlim |∆x|(log∆x +log(1+m )) [ lim |∆x|log∆x lim |∆x|log(1+m )]

1+m 1+m→ → →→ → →→ → →→ → →= = += = += = += = +

Diferenciabilidad

José R. �arro

Intr

oducc

ión a

l C

álc

ulo

Infinites

imal



José R. �arro

34

Se tiene evidentemente0

2

∆xlim |∆x|log(1+m )=0

→→→→.

El otro límite es una indeterminación de la forma 0∞∞∞∞ , para calcularlo, y como in-

terviene un valor absoluto, se debe estudiar, por separado, a la izquierda y a la

derecha de 0.

+ + + +

2 22 2

∆x 0 ∆x 0 ∆x 0 ∆x 0

2

2∆x

log∆x ∆xlim |∆x|log∆x lim lim lim -2∆x =01 -1

∆x ∆x

→ → → →→ → → →→ → → →→ → → →= = == = == = == = = , analogamente se obten-

dría el mismo resultado para -∆x 0→→→→ , luego los límites direccionales existen y va-

len todos 0, por tanto es posible que el límite que estudiamos valga 0.

Intr

oducc

ión a

l C

álc

ulo

Infinites

imal



Intentemos probarlo aplicando el criterio de la función mayorante, para lo

cual pasamos a polares

2 2 2 2 2 2 2

2 2

∆x∆ylog(∆x +∆y ) ρcos θ ρsenθlog(ρ (cos θ+sen θ)) ρ cosθ senθlog(ρ )| -0|=| =| |

ρ ρ∆x +∆y≤≤≤≤

ρ2|logρ|≤≤≤≤ , llamando F( ) = ρ2|logρ| , queda por probar que lim F(ρ)=0

Diferenciabilidad

José R. �arro

Intr

oducc

ión a

l C

álc

ulo

Infinites

imal



José R. �arro

35

ρ2|logρ|≤≤≤≤ , llamando F(ρ ) = ρ2|logρ| , queda por probar que +

ρ 0lim F(ρ)=0→→→→

+ + +ρ 0 ρ 0 ρ 0

2

1

logρ ρ2 lim ρ|logρ| 0( ) -2 lim =-2 lim =-2.0=0

1 -1

ρ ρ

→ → →→ → →→ → →→ → →= −∞ == −∞ == −∞ == −∞ = .

Se ha probado que ε es un infinitésimo, por tanto la función estudiada es dife-

renciable en el origen y, como consecuencia continua en el mismo punto.

Intr

oducc

ión a

l C

álc

ulo

Infinites

imal



Ejercicio

Estudiar la diferenciabilidad en el origen de la función:

2 2

-1

2 2x +y

2 2

e si x +y 0f(x,y)

0 si x +y =0

≠≠≠≠====

Diferenciabilidad

José R. �arro

Intr

oducc

ión a

l C

álc

ulo

Infinites

imal



José R. �arro

36

2 20 si x +y =0

Intr

oducc

ión a

l C

álc

ulo

Infinites

imal


reales de varias variables reales. El comprobar la diferenciabilidad de una función a partir de la defini-

ción es, en general, complicado, sin embargo existen condiciones suficien-

tes que garantizan la diferenciabilidad y pueden simplificar el trabajo.

La más usual la da el siguiente

Condición suficiente de diferenciabilidad

José R. �arro

Intr

oducc

ión a

l C

álc

ulo

Infinites

imal



José R. �arro

37

Teorema

Sea z = f(x, y) definida en un cierto entorno del punto (a, b) y, al menos

una de sus derivadas parciales: zx o zy es continua en (a, b), entonces la

función es diferenciable en (a,b)

Intr

oducc

ión a

l C

álc

ulo

Infinites

imal



Ejemplo.

Estudiar la continuidad y diferenciabilidad en cualquier punto de la fun-

ción

2 2

xylog(x +y ) si (x, y) (0, 0)f(x, y)

0 si (x, y)=(0, 0)

≠≠≠≠====

En el ejemplo anterior se comprobó que esta función es diferenciable en (0,

0).

Para los puntos (x, y) distintos del (0, 0), se pueden calcular las derivadas

parciales utilizando las formulas de derivación para una variable, pues al

Condición suficiente de diferenciabilidad

José R. �arro

Intr

oducc

ión a

l C

álc

ulo

Infinites

imal



José R. �arro

38

parciales utilizando las formulas de derivación para una variable, pues al

fijar una variable resulta una función de una variable que es derivable por

estar compuesta de funciones derivables.

2

2 2 2 2

x 2 2 2 2

2x 2x yf (x,y)=ylog(x +y )+xy =ylog(x +y )+

x +y x +y

22 2 2 2

y 2 2 2 2

2y 2xyf (x,y)=xlog(x +y )+xy =xlog(x +y )+

x +y x +y

Estas derivadas parciales son continuas para cualquier (x, y) ≠≠≠≠ (0, 0), por

estar compuestas de funciones continuas.

Concluimos que la función estudiada es diferenciable en todo punto de R2

y, por lo tanto continua en R2.

Intr

oducc

ión a

l C

álc

ulo

Infinites

imal



Para una variable, la existencia de derivada en un punto, equivale a la

existencia de recta tangente en el mismo punto.

Veremos que para dos variables, la diferenciabilidad en un punto, equiva-

le a la existencia de plano tangente, a la superficie que representa la fun-

ción, en el mismo punto.

En general, la existencia de derivadas parciales no garantiza la existencia

Plano tangente y diferenciabilidad

José R. �arro

Intr

oducc

ión a

l C

álc

ulo

Infinites

imal



José R. �arro

39

En general, la existencia de derivadas parciales no garantiza la existencia

de plano tangente.

Se tiene el siguiente resultado fundamental:

Teorema

La superficie z = f(x, y) admite plano tangente en el punto P(a, b, f(a, b)) si

y solo si la función f es diferenciable en el punto (a, b), y en este caso su

ecuación es

fx(a, b)(x - a) + fy(a, b)(y - b) – (z – f(a, b)) = 0

Intr

oducc

ión a

l C

álc

ulo

Infinites

imal



Supongamos ahora que f es diferenciable en el punto P(a, b), y llamemos

x = a+∆ x, y = b+∆ y, c = f(a, b) por lo que debe verificarse, por definición de dife-

renciabilidad:

f(x,y) = c + fx(a, b)(x - a) + fy(a, b)(y - b) + 2 2ε (x-a) +(y-b)

El plano que tiene por ecuación z = c + fx(a, b)(x - a) + fy(a, b)(y - b) , tiene la pro-

piedad de que la diferencia entre la “z” de la función y la “z” del plano es un infini-

tésimo de orden superior a 2 2(x-a) +(y-b) cuando (∆ x, ∆ y) →→→→ (0, 0), ya que se

tiene

Plano tangente y diferenciabilidad

José R. �arro

Intr

oducc

ión a

l C

álc

ulo

Infinites

imal



José R. �arro

40

tiene

f(x,y) –( c + fx(a, b)(x - a) + fy(a, b)(y - b)) = 2 2ε (x-a) +(y-b)

luego z(de la función)-z(del plano) = 2 2

ε (x-a) +(y-b) , además se cumple:

2 2

z(de la función)-z(del plano)=ε

(x-a) +(y-b), siendo

0 0(∆x,∆y) ( , )lim ε=0

→→→→, con lo que se prueba lo afir-

mado anteriormente.

El plano considerado antes es el plano tangente a la superficie z = f(x, y) en el pun-

to P(a ,b, f(a, b)), y la condición que verifica se toma como definición de plano tan-

gente a una superficie en un punto.

Intr

oducc

ión a

l C

álc

ulo

Infinites

imal



N

Q

dz

z = f(x, y)

Interpretación geométrica de la diferencial

José R. �arro

Intr

oducc

ión a

l C

álc

ulo

Infinites

imal



José R. �arro

41

P

(a, b)

M

(x, y)

MN = z( del plano) - f(a, b) = fx(a, b)(x-a) + fy(a, b)(y-b)=dz

dz

z

x

y

MQ = z

Intr

oducc

ión a

l C

álc

ulo

Infinites

imal



Regla de la cadena

Estudiemos ahora la regla de la cadena o la derivada de la función compuesta para

funciones de dos variables.

Regla de la cadena para el caso: z = f(x, y), x = g(t), y = h(t).

Teorema

Sea z = f(x, y) diferenciable en (x, y). Si x = g(t), y = h(t), siendo g y h funciones de-

rivables en t, entonces f es derivable en t, y su derivada es

z´(t) = zxx´(t) + zyy´(t).

José R. �arro

Intr

oducc

ión a

l C

álc

ulo

Infinites

imal



José R. �arro

42

z´(t) = zxx´(t) + zyy´(t).

Ejemplo

Siendo z = xy2 – x

2, con x = cos t, y = sen t verificamos el resultado anterior calcu-

lando z´(t) de dos formas distintas: directamente sustituyendo x, y en función de t

y, aplicando el teorema anterior:

z = cos t sen2 t – cos

2 t ⇒⇒⇒⇒ z

´ = -sen t sen

2 t + 2cos t cos t sen t + 2sen t cos t =

= -sen3 t + 2cos

2 t sen t + 2sen t cos t

z´(t) = zxx´(t) + zyy´(t) = (y2 – 2x)(- sen t) + 2xy cos t = (sen

2 t – 2 cos t)(- sen t) +

+ 2 cos2 t sen t, que coincide con el resultado anterior.

Intr

oducc

ión a

l C

álc

ulo

Infinites

imal


reales de varias variables reales. z

zxzy

Regla de la cadena

z = f(x, y), x = g(t), y = h(t).

José R. �arro

Intr

oducc

ión a

l C

álc

ulo

Infinites

imal



José R. �arro

43

x y

t t

x´(t) y´(t)

z´(t) = zxx´(t) + zyy´(t)

Intr

oducc

ión a

l C

álc

ulo

Infinites

imal



Regla de la cadena

Regla de la cadena para el caso: z = f(x, y), x = g(u, v), y = h(u, v)):

Teorema

Si f es diferenciable en (x, y), existen las derivadas parciales xu, xv, yu, yv en (u, v),

entonces existen zu, zv en (u, v) y se verifica:

zu = zxxu + zyyu

zv = zxxv + zyyv

José R. �arro

Intr

oducc

ión a

l C

álc

ulo

Infinites

imal



José R. �arro

44

zv = zxxv + zyyv

Para funciones de mas de dos variables se obtienen resultados análogos.

Ejercicio

Siendo 2 2x y

z=2

, x = u + v, y = u-v, calcular zu, zv de dos formas distintas:

a) Sustituyendo x e y en función de u y v.

b) Aplicando el teorema anterior.

Intr

oducc

ión a

l C

álc

ulo

Infinites

imal



z

zx zy

Regla de la cadena

z = f(x, y), x = g(u, v), y = h(u, v))

José R. �arro

Intr

oducc

ión a

l C

álc

ulo

Infinites

imal



José R. �arro

45

x y

u v u v

xu xv yu yv

zu = zxxu + zyyu

zv = zxxv + zyyv

Intr

oducc

ión a

l C

álc

ulo

Infinites

imal



Derivación en forma implicita

El modo de escribir la función de dos variables, hasta ahora, ha sido z = f(x,

y), y decimos que z está dada en forma explicita, es decir, despejada en fun-

ción de x, y.

Otra forma, mas general, de definir z como función de x, y es F(x, y, z) = 0,

que se llama forma implícita de definir z como función de x, y (la z no está

despejada).

José R. �arro

Intr

oducc

ión a

l C

álc

ulo

Infinites

imal



José R. �arro

46

despejada).

El pasar de la forma explicita a la implcita es inmediato:

z = f(x, y) ⇒⇒⇒⇒ z – f(x, y) = 0, llamando F(x, y, z) = z – f(x, y) ⇒⇒⇒⇒ F(x, y, z) = 0

El pasar de la forma implícita a la explicita, en general, es mas complicado, y

a veces, es imposible como se ve con el ejemplo z5x

2 + z

3y – sen xy = 0.

Intr

oducc

ión a

l C

álc

ulo

Infinites

imal



Supongamos que z está definida implícitamente como función de x e y:

F(x, y, z) = 0, considerando F como una función de tres variables: x, y, z, si

aplicamos la regla de la cadena a la igualdad F(x, y, z) = 0 , se obtiene:

derivando respecto de x :

Fxxx+Fyyx+Fzzx = 0, siendo xx=1, yx=0 x

x

z

-Fz =

F

derivando respecto de y :

Fxxy+Fyyy+Fzzy = 0, siendo yy=1, xy=0 y

-Fz =


José R. �arro

Intr

oducc

ión a

l C

álc

ulo

Infinites

imal



José R. �arro

47

Fxxy+Fyyy+Fzzy = 0, siendo yy=1, xy=0 y

z

z =F

Ejemplo

Siendo z3sen x + ze

xy – xy = 0, obtener zx, zy aplicando el resultado anterior.

En este caso F(x, y, z) = z3sen x + ze

xy – xy, luego

Fx = z3cos x + zye

xy – y, Fy = zxe

xy – x, Fz = 3z

2sen x + e

xy.

Por lo que sustituyendo queda:

3 xy

x 2 xy

-z cosx-zye +yz =

3z sen x+e,

xy

y 2 xy

-xze +xz =

3z sen x+e

Intr

oducc

ión a

l C

álc

ulo

Infinites

imal



Ejercicio

Con el mismo dato del ejemplo anterior, obtener zx, zy derivando

directamente la igualdad z3sen x + ze

xy – xy = 0 , y considerando que

z es función de x e y. Comprobar que el resultado obtenido coincide


José R. �arro

Intr

oducc

ión a

l C

álc

ulo

Infinites

imal



José R. �arro

48

z es función de x e y. Comprobar que el resultado obtenido coincide

con el anterior.

Intr

oducc

ión a

l C

álc

ulo

Infinites

imal



Como otra aplicación de la derivación implícita, obtengamos la ecuación de plano

tangente a al superficie z = f(x, y) en el punto P(a, b, c) cuando esta viene dada en

forma implícita F(x, y, z) = 0.

Se obtuvo que esta es:

zx(a, b)(x-a)+zy(a, b)(y-b)-(z-c) = 0

y siendo x

x

z

-Fz =

F,

y

y

z

-Fz =

F sustituyendo queda:


José R. �arro

Intr

oducc

ión a

l C

álc

ulo

Infinites

imal



José R. �arro

49

yx

z z

x y z

F (a,b,c)-F (a,b,c)(x-a)- (y-b)-(z-c)=0

F (a,b,c) F (a,b,c)

F (a,b,c)(x-a)+F (a,b,c)(y-b)+F (a,b,c)(z-c)=0

⇒⇒⇒⇒

Luego la recta normal en el punto P(a, b, c) tiene como vector director

(Fx(a, b, c), Fy(a, b, c), Fz(a, b, c)), por lo que su ecuación en forma paramétrica es

x

y

z

x=a+tF (a,b,c)

y=b+tF (a,b,c)

z=c+tF (a,b,c)

Intr

oducc

ión a

l C

álc

ulo

Infinites

imal



Ejemplo

Obtener la ecuación del plano tangente y de la normal a la superficie

x y

z z2 +2 =8 ,

en el punto P(2, 2, 1).

En este caso es F(x, y, z) =

x y

z z2 +2 - 8 , calculamos las derivadas parciales:

x y x y

z z z zx y z 2 2

1 1 x yF =log2 2 , F =log2 2 , F =-log2 2 -log2 2

z z z z.


José R. �arro

Intr

oducc

ión a

l C

álc

ulo

Infinites

imal



José R. �arro

50

Tomando valores en P:

x y zF (2,2,1)=4log2, F (2,2,1)=4log2, F (2,2,1)=-8log2-8log2=-16log2 .

Como consecuencia la ecuación del plano tangente en P es

4log2(x-2)+4log2(y-2)-16log2(z-1) = 0 ⇒⇒⇒⇒ x-2+y-2-4z+4 = 0 ⇒⇒⇒⇒ x+y-4z = 0.

La ecuación de la recta normal es

x=2+t

y=2+t

z=1-4t

Intr

oducc

ión a

l C

álc

ulo

Infinites

imal



Ejercicio

Obtener las ecuaciones del plano tangente y de la recta normal a la

superficie:

z2+4z+x

2 = 0, en los puntos de intersección con el eje OZ.

Derivación en forma implícita

José R. �arro

Intr

oducc

ión a

l C

álc

ulo

Infinites

imal



José R. �arro

51

Intr

oducc

ión a

l C

álc

ulo

Infinites

imal



Estudiemos ahora un concepto más general que el de derivada parcial: la deri-

vada según un vector.

Al definir la derivada parcial en un punto una coordenada permanece fija y la

otra varía siguiendo la dirección de uno de los ejes coordenados, con el nuevo

concepto podrán variar las dos coordenadas siguiendo una dirección arbitra-

ria.

Consideremos la función z = f(x, y), cuyo dominio es una región abierta y P(a,

b) un punto de su dominio.

Sea u�

1 2(u ,u )==== , un vector arbitrario no nulo, se define la derivada según el

Derivada según un vector

José R. �arro

Intr

oducc

ión a

l C

álc

ulo

Infinites

imal



José R. �arro

52

Sea u 1 2(u ,u )==== , un vector arbitrario no nulo, se define la derivada según el

vector u�

, en el punto (a, b), de la función f, como el siguiente límite, si existe y

es finito

0 0

1 2 1 2

u h h

f((a,b)+h(u ,u ))-f(a,b) f(a+hu ,b+hu )-f(a,b)D f(a,b) lim lim

h h→ →→ →→ →→ →= == == == =�

�ótese que Q(a+hu1, b+hu2) es un punto de la recta que pasa por el punto P, y

tiene como dirección el vector u�

.

Intr

oducc

ión a

l C

álc

ulo

Infinites

imal



Ejemplo

Obtener la derivada de z = f(x, y) = x+2xy-3y2 en el punto (1, 2) según el vector

(-1, 1).

f((1,2)+h(-1,1))-f(1,2) f(1-h,2+h)-f(1,2)D f(1,2) lim lim= == == == =

Derivada según un vector

José R. �arro

Intr

oducc

ión a

l C

álc

ulo

Infinites

imal



José R. �arro

53

0 0(-1,1)

h hD f(1,2) lim lim

h h→ →→ →→ →→ →= == == == =

2 2f(1-h,2+h)=1-h+2(1-h)(2+h)-3(2+h) =...=-5h -15h-7

f(1,2)=1+4-12=-7

Sustituyendo queda 0 0

2

(-1,1)h h

-5h -15h-7+7D f(1,2)= lim lim(-5h-15)=-15

h→ →→ →→ →→ →==== .

Intr

oducc

ión a

l C

álc

ulo

Infinites

imal



En el caso en que u�

sea unitario, |u�

|=1, la derivada se llama direccional, y tiene

particular interés teórico.

Las derivadas parciales son casos particulares de derivadas direccionales:

fx se obtiene tomando u�

= (1, 0).

fy se obtiene tomando u�

= (0, 1).

Derivada direccional

José R. �arro

Intr

oducc

ión a

l C

álc

ulo

Infinites

imal



José R. �arro

54

fy se obtiene tomando u = (0, 1).

Para dar un significado geométrico a la derivada direccional, definimos prime-

ro el concepto de pendiente en un punto de una superficie según la dirección

definida por un vector unitario u�

.

Intr

oducc

ión a

l C

álc

ulo

Infinites

imal



1 2 1 2 1 2

2 2 2 2 2

1 2 1 2

1 2

f(a+tu ,b+tu )-f(a,b) f(a+tu ,b+tu )-f(a,b) f(a+tu ,b+tu )-f(a,b)= =

PQ (a+tu -a) +(b+tu -b) t (u +u )

f(a+tu ,b+tu )-f(a,b)

t

A�tg

AMβ = = == = == = == = =

====

Interpretación geométrica de la derivada direccional

José R. �arro

Intr

oducc

ión a

l C

álc

ulo

Infinites

imal



José R. �arro

55

u�

α

β

π

0u

tg α=D f(a,b)= limttg β

→→→→�

Intr

oducc

ión a

l C

álc

ulo

Infinites

imal



Consideremos la superficie z = f(x, y), P(a, b) un punto del dominio de f y u�

un

vector unitario; tomemos un plano vertical p que pase por P y sea paralelo a u�

,

que cortará a la superficie en una curva C, que contendrá al punto M(a, b, f(a, b))

cuya proyección sobre el plano OXY es P; entonces definimos la pendiente en el

punto M, según la dirección u�

, como la pendiente de la curva C en M, es decir co-

mo la pendiente de la tangente a la curva en M según la dirección u�

.

El plano p corta al plano OXY según una recta r cuyas ecuaciones paramétricas

son:

1

x=a+tu

Interpretación geométrica de la derivada direccional

José R. �arro

Intr

oducc

ión a

l C

álc

ulo

Infinites

imal



José R. �arro

56

1

2y=b+tu

Si Q es un punto arbitrario de la recta r tendrá la forma Q(a+tu1, b+tu2), que es la

proyección del punto �(a+tu1, b+tu2, f(a+tu1, b+tu2)) de la superficie sobre el plano

OXY. La recta M� es una secante a la curva C, cuya pendiente según la dirección

u�

es:

1 2 1 2 1 2

2 2 2 2 2

1 2 1 2

1 2

f(a+tu ,b+tu )-f(a,b) f(a+tu ,b+tu )-f(a,b) f(a+tu ,b+tu )-f(a,b)= =

PQ (a+tu -a) +(b+tu -b) t (u +u )

f(a+tu ,b+tu )-f(a,b)

t

====

====

Intr

oducc

ión a

l C

álc

ulo

Infinites

imal



Cuando t tiende a 0, el punto � tiende al punto M, por lo que la secante tien-

de a la recta tangente en M, que tiene por pendiente, según la dirección u�

:

0

1 2

t

f(a+tu ,b+tu )-f(a,b)lim

t→→→→, que es precisamente la derivada direccional de la

función f, en el punto P(a, b), según el vector u�

.

Interpretación geometrica de la derivada direccional

José R. �arro

Intr

oducc

ión a

l C

álc

ulo

Infinites

imal



José R. �arro

57

función f, en el punto P(a, b), según el vector u .

La expresión 1 2f(a+tu ,b+tu )-f(a,b)

tse puede interpretar como el cociente

entre el incremento de la función f al pasar del punto P al punto Q, y la dis-

tancia entre dichos puntos; que también se suele expresar como la razón del

cambio de la función respecto a la distancia entre los puntos; por este motivo

a la derivada direccional se le llama también razón o ritmo instantáneo del

cambio.

Intr

oducc

ión a

l C

álc

ulo

Infinites

imal



Si f es diferenciable en (a, b) existe una forma alternativa para calcular la deri-

vada direccional, pues se verifica el:

Teorema

Si f es diferenciable en (a,b) y u�

= 1 2

(u ,u ) un vector unitario cualquiera, enton-


José R. �arro

Intr

oducc

ión a

l C

álc

ulo

Infinites

imal



José R. �arro

58

Si f es diferenciable en (a,b) y u = 1 2

(u ,u ) un vector unitario cualquiera, enton-

ces existe la derivada direccional en el punto (a, b) según el vector u�

y se verifi-

ca

u x 1 y 2

D f(a,b)=f (a,b)u +f (a,b)u�

El anterior teorema permite, si f es diferenciable, el cálculo de la derivada di-

reccional a partir de las derivadas parciales.

Intr

oducc

ión a

l C

álc

ulo

Infinites

imal



Comprobemos el resultado anterior con un:

Ejemplo

Obtener la derivada direccional de 2 2f(x,y)=log x +y en el punto (1, 0) según la

dirección (1, 1), aplicando la definición. Estudiar si es posible la aplicación del teo-

rema anterior, aplicándolo en su caso.

Como el vector (1, 1) no es unitario, hay que covertirlo en unitario conservando el

sentido y la dirección, es decir, hay que dividirlo por su módulo: |(1, 1)| =

2 21 +1 2==== ,obteniéndose u�

= 1 1

( , ) .


José R. �arro

Intr

oducc

ión a

l C

álc

ulo

Infinites

imal



José R. �arro

59

1 +1 2==== ,obteniéndose u = ( , )2, 2

.

Apliquemos la definición

0 0

0 0

20

2 2

1 2

2 2

uh h

22

h h 2

h

h hh hlog (1+ ) +( ) -log1f(1+ , )-f(1,0)

2 22 2D f(1,0) lim lim

h h

log 1+h + 2h 1 2h+ 2... lim lim : 1+h + 2h

h 2 1+h + 2h

1 1 1lim 2=

2 2 2

h

h h

→ →→ →→ →→ →

→ →→ →→ →→ →

→→→→

= = == = == = == = =

= = = == = = == = = == = = =

++++= == == == =

+ ++ ++ ++ +

�

Intr

oducc

ión a

l C

álc

ulo

Infinites

imal


reales de varias variables reales. Las derivadas parciales de

2 2f(x,y)=log x +y son:

2 2x y2 2

x yf (x,y)= , f (x,y)=

x xy y+ ++ ++ ++ +

que son continuas en (1, 0), por ser cociente de funciones continuas y no anu-


José R. �arro

Intr

oducc

ión a

l C

álc

ulo

Infinites

imal



José R. �arro

60

que son continuas en (1, 0), por ser cociente de funciones continuas y no anu-

larse el denominador en el punto; luego f es diferenciable en (1, 0).

Se puede aplicar, por tanto, el teorema anterior:

u x y

1 1 1 1 1D f(1,0)=f (1,0) +f (1,0) =1 +0 =

2 2 2 2 2� .

Intr

oducc

ión a

l C

álc

ulo

Infinites

imal



Ejercicio

Estudiar la existencia de derivadas direccionales en el punto (0, 0), en los

casos:

a) 2 2

xysi (x,y) (0,0)

f(x,y)= x +y

≠≠≠≠


José R. �arro

Intr

oducc

ión a

l C

álc

ulo

Infinites

imal



José R. �arro

61

0 si (x,y)=(0,0)

b)

2

2 2

x ysi (x,y) (0,0)

g(x,y)= x +y

0 si (x,y)=(0,0)

≠≠≠≠

Intr

oducc

ión a

l C

álc

ulo

Infinites

imal


reales de varias variables reales. Según el teorema anterior, si f es diferenciable en (a, b), tiene infinitas derivadas

direccionales en (a, b), es decir, una derivada direccional para cada vector unitario

u�

= (u1, u2), y su valor es u x 1 y 2

D =f (a,b)u +f (a,b)u� , que se puede escribir como un

producto escalar de dos vectores:

u x y 1 2

D f(a,b)=(f (a,b),f (a,b)).(u ,u )� .


Vector gradiente

José R. �arro

Intr

oducc

ión a

l C

álc

ulo

Infinites

imal



José R. �arro

62

u x y 1 2

D f(a,b)=(f (a,b),f (a,b)).(u ,u ) .

Al vector cuyas componentes son las derivadas parciales de f en el punto (a, b) se le

llama vector gradiente de f en (a, b) y se simboliza por f(a,b)∇∇∇∇�

= x y

(f (a,b),f (a,b)) .

Por lo tanto se verifica el siguiente:

Teorema

Si f es diferenciable en (x, y), y u�

= (u1, u2) es un vector unitario cualquiera, enton-

ces

u

D f(x,y) f(x,y).u= ∇= ∇= ∇= ∇�

�

�

Intr

oducc

ión a

l C

álc

ulo

Infinites

imal



Fijando un punto (x, y), y haciendo variar el vector unitario u�

, se obtienen valores

distintos para la derivada direccional, verificándose el siguiente

Teorema

Si f es una función, diferenciable en (a,b), entonces:

1) La derivada direccional (también llamada velocidad o ritmo de cambio) de f


José R. �arro

Intr

oducc

ión a

l C

álc

ulo

Infinites

imal



José R. �arro

63


en (a, b), toma el valor máximo en la dirección del gradiente, siendo su va-

lor | f(a,b)|∇∇∇∇�

, y el vector u=� f(a,b)

| f(a,b)|

∇∇∇∇

∇∇∇∇

�

� .


en (a, b), toma el valor mínimo en la dirección opuesta a la del gradiente,

siendo su valor - | f(a,b)|∇∇∇∇�

, y el vector u=� f(a,b)

| f(a,b)|

−∇−∇−∇−∇

∇∇∇∇

�

� .

La demostración se basa en la expresión del producto escalar de dos vectores

como el producto de sus módulos por el coseno del ángulo que forman, y se

propone como ejercicio.

Intr

oducc

ión a

l C

álc

ulo

Infinites

imal



Ejemplo

Obtener las direcciones de máximo ritmo de crecimiento y de decrecimiento, y

sus valores respectivos, para la función f(x, y) = x2+y

2-3, en el punto P(1, 2).

Calculemos el gradiente en el punto P:

fx = 2x, fy = 2y ⇒⇒⇒⇒ x yf(1,2)=(f (1,2),f (1,2))=(2,4)∇∇∇∇�

Lo que se pide son las direcciones donde la derivada direccional toma los

valores máximos o mínimos.


José R. �arro

Intr

oducc

ión a

l C

álc

ulo

Infinites

imal



José R. �arro

64

valores máximos o mínimos.

Luego para el valor máximo se tiene

u=� f(1,2) (2,4) (2,4) 2 4 1 2

= =( , )=( , )|(2,4)|| f(1,2)| 20 2 5 2 5 5 5

∇∇∇∇====

∇∇∇∇

�

� , siendo el valor máximo

en esta dirección | f(1,2)|∇∇∇∇�

|(2,4)|=2 5==== .

La dirección de mayor ritmo de decrecimiento será la opuesta, es decir

-1 -2( , )

5 5, siendo su valor - 2 5 .

Intr

oducc

ión a

l C

álc

ulo

Infinites

imal



Estudiemos ahora la fórmula de Taylor para funciones de dos variables.

Se verifica el siguiente

Teorema

Sea z = f(x, y) definida en un entorno de P(a, b), con derivadas parciales conti-

nuas hasta el orden n en el mismo entorno y, existiendo todas las derivadas

parciales de orden n+1 en dicho entorno. Entonces f(x, y) se puede escribir en

la forma

f(x, y) = Pn(x, y) + Rn(x, y), (fórmula de Taylor)

Fórmula de Taylor para funciones de dos variables

José R. �arro

Intr

oducc

ión a

l C

álc

ulo

Infinites

imal



José R. �arro

65

f(x, y) = Pn(x, y) + Rn(x, y), (fórmula de Taylor)

siendo Pn(x, y) un polinomio de grado n en (x-a) e (y-b). Rn(x, y) representa un

infinitésimo de orden superior a 2 2 n( (x-a) +(y-b) ) cuando (x, y) →→→→ (a, b).

La expresión concreta de Pn(x, y) es

n

k

n

k=1

1P (x,y)=f(a,b)+ ((x-a) +(y-b) ) f(a,b)

k! x y

∂ ∂∂ ∂∂ ∂∂ ∂

∂ ∂∂ ∂∂ ∂∂ ∂∑∑∑∑

donde las potencias se entienden de manera simbólica, es decir, al actuar el ex-

ponente sobre los símbolos de derivada parcial representarán derivación suce-

siva, y al actuar sobre (x-a) o (y-b) representarán potencias.

Intr

oducc

ión a

l C

álc

ulo

Infinites

imal



Aclaremos esto obteniendo Pn(x, y) para algunos valores de n:

n = 1, P1(x,y) = f(a, b)+(x-a)fx(a, b)+(y-b)fy(a, b)

n = 2, P2(x, y) = f(a, b)+(x-a)fx(a, b)+(y-b)fy(a, b)+ 1

2((x-a)

2fxx(a, b)+


José R. �arro

Intr

oducc

ión a

l C

álc

ulo

Infinites

imal



José R. �arro

66

+2(x-a)(y-b)fxy(a, b)+(y-b)2fyy(a, b))

n = 3, P3(x, y) = f(a, b)+(x-a)fx(a, b)+(y-b)fy(a, b)+ 1

2((x-a)

2fxx(a, b)+

+2(x-a)(y-b)fxy(a, b)+(y-b)2fyy(a, b))+

1

6((x-a)

3fxxx(a, b)+3(x-a)

2(y-b)fxxy(a, b)+

+3(x-a)(y-b)2fxyy(a, b)+(y-b)

3fyyy(a, b)).

Pn(x, y) recibe el nombre de polinomio de Taylor de la función f, de grado n, en

el punto (a, b).

Cuando a=b=0, la fórmula de Taylor se llama de McLaurin.

Intr

oducc

ión a

l C

álc

ulo

Infinites

imal


reales de varias variables reales. Ejemplo

Obtener la fórmula de McLaurin de orden dos para la función f(x, y) = excos y.

En este caso a = b = 0. �ecesitamos calcular las derivadas parciales primeras y

segundas:

fx(x, y) = excos y, fy(x, y) = -e

xsen y, fxx(x, y) = e

xcos y, fyy(x, y) = -e

xcos y

fxy(x, y) = -exsen y. Sus valores en el punto (0, 0) son:


José R. �arro

Intr

oducc

ión a

l C

álc

ulo

Infinites

imal



José R. �arro

67

fxy(x, y) = -exsen y. Sus valores en el punto (0, 0) son:

fx(0, 0) = 1, fy(0,0) = 0, fxx(0, 0) = 1, fyy(0, 0) = -1, fxy(0, 0) = 0, f(0, 0) = 1.

Por lo tanto

excos y = 1+x+

1

2(x

2-y

2)+R2(x, y)

donde R2(x, y) es un infinitésimo de orden superior a 2 2 2

( )x y++++ , para

(x, y) →→→→ (a, b).

Intr

oducc

ión a

l C

álc

ulo

Infinites

imal




Ejemplo

Obtener el desarrollo de Taylor de orden dos de la función f(x, y) = yx, en un

entorno del punto (1,1).

Calculemos las derivadas parciales de primer y segundo orden. x x-1 x x 2 x-2

x y xx yy

x-1 x x-1 x-1 x-1

xy

f (x,y)=y lny, f (x,y)=xy , f (x,y)=lnyy lny=y ln y, f (x,y)=x(x-1)y

1f (x,y)=xy lny+y =xy lny+y =y (xlny+1)

y

Sus valores en el punto (1, 1) son

f (1,1)=0, f (1,1)=1, f (1,1)=0, f (1,1)=0, f (1,1)=1 .Además f(1,1) = 1 .

José R. �arro

Intr

oducc

ión a

l C

álc

ulo

Infinites

imal



José R. �arro

68

x y xx yy xyf (1,1)=0, f (1,1)=1, f (1,1)=0, f (1,1)=0, f (1,1)=1 .Además f(1,1) = 1 .

Luego se tiene

x

2

1y =1+(y-1)+ 2(x-1)(y-1)+R (x,y)

2⇒⇒⇒⇒

x

2y =1+(y-1)+(x-1)(y-1)+R (x,y)

Donde R2(x, y) es un infinitésimo de orden superior a 2 2 2( (x-1) +(y-1) )

t4icisis0506.ppt [modo de...

Documents