tema 4: sistemas de ecuaciones lineales -...

Cál

culo

�u

mér

ico

Tema 2: Resolución de sistemas lineales

Sistemas de ecuaciones linealesTema 4:

A) Condicionamiento del problema.

B) Métodos iterados: Jacobi, Gauss-Seidel y Relajación

C) Métodos directos: Factorización LU y Factorización QR

D) Sistemas superdeterminados.

V.Álvarez

J.A. Armario

F. Muñoz

Cál

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Problema Encontrar una solución del sistema, de manera aproximada:

=+

−=−≡

−=

⋅

−

43

12

4

1

13

21

21

21

2

1

xx

xx

x

x

Cál

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mér

ico


Un sistema de m ecuaciones lineales con n incógnitas

consiste en una colección de ecuaciones del tipo A· x = b,

para una matriz rectangular A de m filas y n columnas y un

vector b de términos independientes de m componentes.

Resolución de sistemas de ecuaciones lineales Ax=b.

=

⋅

n b

x

xaa

M

MM

MM

MM

L 1

1

111

V.Álvarez

J.A. Armario

F. Muñoz

Cál

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m

n

mnm bx

aa L1

Teorema de Rouché-Frobenius: un sistema de ec. lineales A· x=b

es compatible (i.e. tiene solución) si y sólo si rg(A)=rg(A|b), en

cuyo caso es determinado (i.e. tiene solución única) si y sólo si

rg(A)=rg(A|b)=n.

A continuación estudiaremos cómo resolver numéricamente sistemas

compatibles de rango máximo (i.e. rg(A)=rg(A|b)=n).

Cál

culo

�u

mér

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A) Condicionamiento del problema:

B) Métodos iterados:

Normas matriciales: || ||1, || ||2, || ||∞

Número de condición: κ(A)=||A||·||A-1||

Jacobi

Estabilidad de la solución por errores

Resolución de sistemas de ecuaciones lineales Ax=b. ESQUEMA:

V.Álvarez

J.A. Armario

F. Muñoz

Cál

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Gauss-Seidel

C) Métodos directos:

Factorización LU: Doolittle, Crout, Cholesky

Factorización QR

Relajación o SOR

D) Sistemas superdeterminados: seudosolución

Cál

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mér

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Sería deseable que las soluciones de los sistemas siguientes

fueran parecidas

=

⋅

2

2

01.199.0

99.001.1

y

x

=

1

1

y

x

Resolución de sistemas de ecuaciones lineales Ax=b.

V.Álvarez

J.A. Armario

F. Muñoz

Cál

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=

⋅

98.1

02.2

01.199.0

99.001.1

y

x

=

⋅

02.2

98.1

01.199.0

99.001.1

y

x

=

0

2

y

x

=

2

0

y

x

El problema está mal condicionado, ya que pequeños errores en

los datos de entrada tienen un reflejo notorio en las soluciones

que se ofrecen como salida.

Cál

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Asimismo, sería deseable que fueran diferentes los vectores b y

c de los sistemas Ax=b y Ax=c de soluciones x(1) y x(2),

−−

−

−

=

47.154.083.0

78.156.033.4

53.205.102.3

A

−

=

1

2

1)1(x

Resolución de sistemas de ecuaciones lineales Ax=b

−

−=

66.2

34.2

88.0)2(x

V.Álvarez

J.A. Armario

F. Muñoz

Cál

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−− 47.154.083.0

−1

El problema está mal condicionado, en tanto en cuanto

pequeños errores en los datos de entrada tienen un reflejo

notorio en las soluciones que se ofrecen como salida.

− 66.2

−

−

=⋅

38.3

23.7

61.1)1(xA

−

−

=⋅

3716.3

2348.7

6047.1)2(xA

Cál

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�ormas matriciales y número de condición

El número de condición del sistema es κ(A)=||A||·||A-1||, para

alguna norma matricial. Siempre es mayor o igual que 1.


Las normas matriciales que nosotros utilizaremos serán estas tres:

El sistema estará tanto mejor condicionado cuanto

más próximo a 1 sea su número de condición.

V.Álvarez

J.A. Armario

F. Muñoz

Cál

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)(||max||||}0|| |:{|

2 AAA T

AAI Tρλ

λλ==

=−

Las normas matriciales que nosotros utilizaremos serán estas tres:

�orma 1 ó columna:

�orma 2, euclídea ó espectral:

�orma ∞ ó fila:

∑=

≤≤=

n

i

ijnj

aA1

11 ||max||||

∑=

≤≤∞ =

n

j

ijni

aA1

1||max||||

Cál

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)(||max||||}0|| |:{|

2 AAA T

AAI Tρλ

λλ==

=−




∑=

≤≤=

n

i

ijnj

aA1

11 ||max||||

∑=

≤≤∞ =

n

ijni

aA1

||max||||

V.Álvarez

J.A. Armario

F. Muñoz

Cál

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2|||||||||||| 21 === ∞AAA 50|||||||||||| 1

2

1

1

1 === ∞−−− AAA

=

⋅

2

2

01.199.0

99.001.1

y

xκ(A)=||A||·||A-1||

−

−=

=

−

−

25.2575.24

75.2425.25

01.199.0

99.001.11

1A 100)( =Aκ

∑=

≤≤j

ni1

1

Cál

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)(||max||||}0|| |:{|

2 AAA T

AAI Tρλ

λλ==

=−




∑=

≤≤=

n

i

ijnj

aA1

11 ||max||||

∑=

≤≤∞ =

n

ijni

aA1

||max||||

V.Álvarez

J.A. Armario

F. Muñoz

Cál

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κ(A)=||A||·||A-1||

6.67||||9,5.35313993||||8.18,|||| 21 === ∞AAA

1138.6758||||802.058621||||944.349181|||| 1

2

1

1

1 === ∞−−− AAA

7594.96759)( ,4293.53204)( 7724.7763,)( 21 === ∞ AAA κκκ

−−

−

−

=

47.154.083.0

78.156.033.4

53.205.102.3

A

∑=

≤≤j

ni1

1

Cál

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�u

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Resolver el siguiente sistema utilizando aritmética exacta

=

⋅

− 78.46

17.59

13.6291.5

14.59003.0

y

x

=

1

10

y

x

298.11)(2 ≈Aκ

V.Álvarez

J.A. Armario

F. Muñoz

Cál

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Resolver el mismo sistema utilizando aritmética de 3 cifras

decimales exactas mediante el método de reducción por filas

=

⋅

− 78.46

17.59

13.6291.5

14.59003.0

y

x

=

1

1

y

x

8

2 10347.0)( •≈Bκ

−=

⋅

− 104309.396

17.59

104309.3960

14.59003.0

y

x

Cál

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B) Métodos iterados: Suponemos que A es regular (|A|≠0).


cxx +⋅=+ )()1( kk K

Un método iterado consiste en establecer una sucesión de vectores

en la forma

El método converge para cualquier elección inicial x(0) si y sólo si

{ } 1 deautovalor es :||max)( <= KK λλρ

( )I K− invertible y

V.Álvarez

J.A. Armario

F. Muñoz

Cál

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{ } 1 deautovalor es :||max)( <= KK λλρ

De ser éste el caso, cotas para medir el error vienen dadas por:

|||||||||||| )0()( xxxx −⋅≤− kk K

||||||||1

|||||||| )1()()( −−⋅

−≤− kkk

K

Kxxxx

Además, converge a la única solución de Ax=b si:1( )I K A−= − ⋅ ⋅c b

Cál

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B) Métodos iterados: Buscamos K tal que


bxx 1)(1)1( −−+ +⋅= M�M kk

Por descomposición, A=M-�=L+D+U

( )I K− invertible y1( )I K A−= − ⋅ ⋅c b

c,xx +⋅=+ )()1( kk K

V.Álvarez

J.A. Armario

F. Muñoz

Cál

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Jacobi: UL�DM −−== ,

Gauss-Seidel: U�LDM −=+= ,

Relajación: UD�LDM −−

=+=ω

ω

ω

1,

1

Cál

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bxx 1)(1)1( )( −−+ +⋅−−= DULD kk

Jacobi: UL�DM +== ,

Consiste en utilizar la i-ésima ecuación de Ax=b para obtener el

V.Álvarez

J.A. Armario

F. Muñoz

Cál

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valor de xi(k+1) en función de x(k)

( )i

k

nin

k

iii

k

iii

k

i

ii

k

i bxaxaxaxaa

x +−−−−−−= ++−−

+ )()(

11

)(

11

)(

11

)1( 1LL

Cál

culo

�u

mér

ico




=+

−=−≡

−=

⋅

−

43

12

4

1

13

21

21

21

2

1

xx

xx

x

x

Jacobi:

( )i

k

nin

k

iii

k

iii

k

i

k

i bxaxaxaxaa

x +−−−−−−= ++−−

+ )()(

11

)(

11

)(

11

)1( 1LL

V.Álvarez

J.A. Armario

F. Muñoz

Cál

culo

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mér

ico


−+

−=

≡

+−=

−=+

+

+

+

4

1

03

20

43

12)(

2

)(

1

)1(

2

)1(

1

)(

1

)1(

2

)(

2

)1(

1

k

k

k

k

kk

kk

x

x

x

x

xx

xx

( )ininiiiiiii

ii

i bxaxaxaxaa

x +−−−−−−= ++−− 111111 LL

Cál

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mér

ico




bxx 1)(1)1( )()()( −−+ ++⋅−+= LDULD kk


Gauss-Seidel: U�LDM =−= ,

V.Álvarez

J.A. Armario

F. Muñoz

Cál

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valor de xi(k+1) en función de x(k) y de las componentes ya calculadas

( )i

k

nin

k

iii

k

iii

k

i

ii

k

i bxaxaxaxaa

x +−−−−−−= ++

+

−−

++ )()(

11

)1(

11

)1(

11

)1( 1LL

Cál

culo

�u

mér

ico




=+

−=−≡

−=

⋅

−

43

12

4

1

13

21

21

21

2

1

xx

xx

x

x

Gauss-Seidel:

( )i

k

nin

k

iii

k

iii

k

i

k

i bxaxaxaxax +−−−−−−= ++

+

−−

++ )()(

11

)1(

11

)1(

11

)1( 1LL

V.Álvarez

J.A. Armario

F. Muñoz

Cál

culo

�u

mér

ico


−+

−=

≡

+−=

−=+

+

++

+

7

1

60

20

43

12)(

2

)(

1

)1(

2

)1(

1

)1(

1

)1(

2

)(

2

)1(

1

k

k

k

k

kk

kk

x

x

x

x

xx

xx

( )ininiiiiiii

ii

i bxaxaxaxaa

x +−−−−−−= ++−− 111111 LL

Cál

culo

�u

mér

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valor de x (k+1) en función de x(k) y de las componentes ya calculadas

Relajación: UD�LDM +−

=−=ω

ω

ω

1,

1

bxx1

)(

1

)1( 111−−

+

++⋅

−

−

+= LDUDLD kk

ωω

ω

ω

V.Álvarez

J.A. Armario

F. Muñoz

Cál

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�u

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valor de xi(k+1) en función de x(k) y de las componentes ya calculadas

modificadas por un peso ω.

( )i

k

nin

k

iii

k

iii

k

i

ii

k

i

k

i

bxaxaxaxaa

xx

+−−−−−−+

−=

++

+

−−

+

+

)()(

11

)1(

11

)1(

11

)()1(

1

)1(

LLω

ω

Cál

culo

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=+

−=−≡

−=

⋅

−

43

12

4

1

13

21

21

21

2

1

xx

xx

x

x

Relajación, ω=0.75

k

i

k

i xx −=+ )()1(

)1( ω

V.Álvarez

J.A. Armario

F. Muñoz

Cál

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−

+

−−

=

≡

+−=

−+=

+

+

++

+

16

754

3

8

25

16

92

3

4

1

34

9

4

14

3

2

3

4

1

)(

2

)(

1

)1(

2

)1(

1

)1(

1

)(

2

)1(

2

)(

2

)(

1

)1(

1

k

k

k

k

kkk

kkk

x

x

x

x

xxx

xxx

( )i

k

nin

k

iii

k

iii

k

i

ii

ii

bxaxaxaxaa

xx

+−−−−−−+

−=

++

+

−−

+ )()(

11

)1(

11

)1(

11

1

)1(

LLω

ω

Cál

culo

�u

mér

ico




=+

−=−≡

−=

⋅

−

43

12

4

1

13

21

21

21

2

1

xx

xx

x

x

Jacobi

−+

−=

+

+

4

1

03

20)(

2

)(

1

)1(

2

)1(

1

k

k

k

k

x

x

x

x

V.Álvarez

J.A. Armario

F. Muñoz

Cál

culo

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mér

ico


Gauss-Seidel

Relajación, ω=0.75

22 xx

−+

−=

+

+

7

1

60

20)(

2

)(

1

)1(

2

)1(

1

k

k

k

k

x

x

x

x

−

+

−−

=

+

+

16

754

3

8

25

16

92

3

4

1

)(

2

)(

1

)1(

2

)1(

1

k

k

k

k

x

x

x

x

Cál

culo

�u

mér

ico


B) Métodos iterados: convergencia de los métodos.


Métodos de Jacobi y Gauss-Seidel:

o Convergen para matrices A diagonal dominantes (i.e. el

valor absoluto de los elementos de la diagonal mayoran

la suma de los valores absolutos de los restantes

.1 que cumplirse debe converja,

)()1( iterado métodoun que para general,En

<

+⋅=+

ρ(K)

kK

k cxx

CASOS PARTICULARES:

V.Álvarez

J.A. Armario

F. Muñoz

Cál

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mér

ico


la suma de los valores absolutos de los restantes

elementos de su fila).

Método de Relajación:

o Diverge para ω fuera del intervalo (0,2).

o Para A simétrica definida positiva (es decir, AT=A y los

determinantes de las matrices principales son todos positivos),

el método de relajación converge si y sólo si ω pertenece al

intervalo (0,2).

o Para A diagonal dominante, el método de relajación converge

si ω pertenece a (0,1], teniendo incertidumbre en otro caso.

Cál

culo

�u

mér

ico




=+

−=−≡

−=

⋅

−

43

12

4

1

13

21

21

21

2

1

xx

xx

x

x

Jacobi:

−+

−=

≡

+−=

−=+

+

+

+

4

1

03

20

43

12)(

2

)(

1

)1(

2

)1(

1

)(

1

)1(

2

)(

2

)1(

1

k

k

k

k

kk

kk

x

x

x

x

xx

xx

16)( >=Jρ El método de Jacobi no converge.

V.Álvarez

J.A. Armario

F. Muñoz

Cál

culo

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ico


G.-S.:

Relaj., ω=0.75:

−+

−=

≡

+−=

−=+

+

++

+

7

1

60

20

43

12)(

2

)(

1

)1(

2

)1(

1

)1(

1

)1(

2

)(

2

)1(

1

k

k

k

k

kk

kk

x

x

x

x

xx

xx

16)( >=GSρ

−

+

−−

=

≡

+−=

−+=

+

+

++

+

16

754

3

8

25

16

92

3

4

1

34

9

4

14

3

2

3

4

1

)(

2

)(

1

)1(

2

)1(

1

)1(

1

)(

2

)1(

2

)(

2

)(

1

)1(

1

k

k

k

k

kkk

kkk

x

x

x

x

xxx

xxx

12.85)( >=Rρ El método de Relaj. no converge.

El método de G.-S. no converge.

Cál

culo

�u

mér

ico




−=−

=+≡

−=

⋅

− 12

43

1

4

21

13

21

21

2

1

xx

xx

x

x

Jacobi

Si A es diagonal dominante

1.408248290)( <≈Jρ

+

−=

≡

+=

+−=+

+

+

+

2134

21

31

21

21

33

1

)(

2

)(

1

)1(

2

)1(

1

)(

1

)1(

2

4)(

2

)1(

1

0

0k

k

k

k

kk

kk

x

x

x

x

xx

xx

V.Álvarez

J.A. Armario

F. Muñoz

Cál

culo

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Gauss-Seidel

Relajación, ω=0.75 ( ) 0.25 1Rρ = <

116666.0)( <=GSρ

+

−

−=

≡

+=

+−=+

+

++

+

6734

6

131

21

2

134

31

)(

2

)(

1

)1(

2

)1(

1

)1(

1

)1(

2

)(

2

)1(

1

0

0k

k

k

k

kk

kk

x

x

x

x

xx

xx

]1,0(∈

Cál

culo

�u

mér

ico





Se trata de descomponer la matriz de coeficientes A en la forma A=LUpara ciertas matrices triangulares inferior y superior. Las matrices

L y U son únicas, prefijadas una de sus diagonales.

Esto será posible si y sólo si los determinantes de las matricesprincipales son todos no nulos.

Si la matriz A es regular, entonces siempre existe una

V.Álvarez

J.A. Armario

F. Muñoz

Cál

culo

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mér

ico


Si la matriz A es regular, entonces siempre existe una

reordenación de filas y columnas que facilitan esta condición.

Si la matriz A es diagonal dominante, entonces los determinantes

de las matrices principales son todos no nulos

En estas condiciones, resolver el sistema Ax=b se reduce a resolverdos sistemas triangulares: primero, Ly=b, de solución c; después,

Ux=c, cuya solución es la solución del sistema original.

Gran inconveniente: puede empeorar el condicionamiento delsistema original.

Cál

culo

�u

mér

ico





Dependiendo de cómo se tomen L y U podemos distinguir:

Factorización de Doolittle: L con diagonal de unos.

Si los determinantes de las matrices principales son todos nonulos.

V.Álvarez

J.A. Armario

F. Muñoz

Cál

culo

�u

mér

ico


Factorización de Crout: U con diagonal de unos.

Factorización de Cholesky: U=LT

Aquí, adicionalmente A ha de ser simétrica y definida positiva. Es

decir, A=AT y los determinantes de las matrices principales son

todos positivos.

Cál

culo

�u

mér

ico






−

−=

=

10

10

0

121520

152030

203060

bA

0100152030

203060

,03003060

,060 ≠==∆≠==∆≠=∆

00

0

1

01

001

33

2322

131211

3231

21

=

=

u

uu

uuu

U

ll

lL

V.Álvarez

J.A. Armario

F. Muñoz

Cál

culo

�u

mér

ico


0100

121520

152030,03002030

3060,060 321 ≠==∆≠==∆≠=∆

A

uululululul

uuluulul

uuu

LU =

=

+++

++=

121520

152030

203060

3323321331223212311131

2313212212211121

131211

20,30,60 131211 === uuu3

1,

2

13121 == ll

5,5 2322 == uu132 =l

3

133 =u

Cál

culo

�u

mér

ico






−

−=

=

10

10

0

121520

152030

203060

bA

3

100

550

203060

113

1

012

1

001

=

= UL

0001

x

V.Álvarez

J.A. Armario

F. Muñoz

Cál

culo

�u

mér

ico


−

−=

≡=

10

10

0

113

1

012

1

z

y

x

L by T)0,10,0( −=c

−=

≡=

0

10

0

3

100

550

203060

z

y

x

U cx T)0,2,1( −=x

Cál

culo

�u

mér

ico






−

−=

=

10

10

0

121520

152030

203060

bA

0100152030

203060

,03003060

,060 ≠==∆≠==∆≠=∆

100

10

1

0

00

23

1312

333231

2221

11

=

= u

uu

U

lll

ll

l

L

V.Álvarez

J.A. Armario

F. Muñoz

Cál

culo

�u

mér

ico


0100

121520

152030,03002030

3060,060 321 ≠==∆≠==∆≠=∆

A

lulullull

ulullull

ulull

LU =

=

+++

++=

121520

152030

203060

332332133132123131

2322132122122121

1311121111

3

1,

2

11312 == uu 20,30,60 312111 === lll

123 =u5,5 3222 == ll

3

133 =l

Cál

culo

�u

mér

ico






−

−=

=

10

10

0

121520

152030

203060

bA

100

1103

1

2

11

3

1520

0530

0060

=

= UL

00060

x

V.Álvarez

J.A. Armario

F. Muñoz

Cál

culo

�u

mér

ico


−

−=

≡=

10

10

0

3

1520

0530

z

y

x

L by T)0,2,0( −=c

−=

≡=

0

2

0

100

110

3

1

2

11

z

y

x

U cx T)0,2,1( −=x

Cál

culo

�u

mér

ico





Factorización de Cholesky: LT=U.

−

−=

=

10

10

0

121520

152030

203060

bA

0100152030

203060

,03003060

,060 , >==∆>==∆>=∆= AAT

00

0 0

00

33

3222

312111

333231

2221

11

=

=

l

ll

lll

U

lll

ll

l

L

V.Álvarez

J.A. Armario

F. Muñoz

Cál

culo

�u

mér

ico


0100

121520

152030,03002030

3060,060 , 321 >==∆>==∆>=∆= AAT

A

lllllllll

llllllll

lllll

LU =

=

+++

++=

121520

152030

203060

2

33

2

32

2

31223221311131

32223121

2

22

2

211121

31112111

2

11

603

1,15,60 312111 === lll 5,5 3222 == ll 3

3

133 =l

Cál

culo

�u

mér

ico





−

−=

=

10

10

0

121520

152030

203060

bA

00060

x

Factorización de Cholesky: LT=U.

3

35

3

60

0515

0060

== TUL

V.Álvarez

J.A. Armario

F. Muñoz

Cál

culo

�u

mér

ico


−

−=

≡=

10

10

0

35

3

60

0515

z

y

x

L

3

by T)0,52,0( −=c

−=

≡=

0

52

0

3

300

550

3

601560

z

y

x

U cx T)0,2,1( −=x

Cál

culo

�u

mér

ico




Factorización QR: Gram Schmidt, Householder

Se trata de descomponer la matriz de coeficientes A en la forma A=QRpara R triangular superior y Q unitaria (QTQ=I).

En estas condiciones, resolver el sistema Ax=b se reduce a resolver el

sistema triangular Rx=QTb.

Aunque esta factorización es más costosa que la LU, presenta la

V.Álvarez

J.A. Armario

F. Muñoz

Cál

culo

�u

mér

ico


ventaja de que preserva el condicionamiento del sistema original.

Gram Schmidt:

Consiste en encontrar una base ortonormal de las columnas de A.

La columna k+1 de Q se genera como una combinación lineal de la

columna k+1 de A y las primeras k columnas ya construidas de Q,

tal que los coeficientes de la combinación lineal favorezcan que

dicho vector sea ortogonal a los anteriormente construidos.

Cál

culo

�u

mér

ico





−

=

−

−−

≡=

7

4

0

172

102

111

z

y

x

A bx

=

2-

2

1

3

1Q

3

2-

2

1

=

=⇒

2-

2

1

3

1)1(q

V.Álvarez

J.A. Armario

F. Muñoz

Cál

culo

�u

mér

ico


Gram Schmidt:

2- 2-






Cál

culo

�u

mér

ico


=

2-

2

1

3

1Q




−

=

−

−−

≡=

7

4

0

172

102

111

z

y

x

A bx

=

2-

2

1

3

1Q

)1()2(1)2( ,2

1

30

1-

qyy ⊥

+

=λ

==⇒ 10

2

15

15 )2(

1 q,λ

)2(

)2()2(

y

yq =

=

1110-

1010

25

15

1Q

V.Álvarez

J.A. Armario

F. Muñoz

Cál

culo

�u

mér

ico


Gram Schmidt:

2-3

7

1115

1






Cál

culo

�u

mér

ico





−

=

−

−−

≡=

7

4

0

172

102

111

z

y

x

A bx

)2()1()3(21)3( , ,10

2

152

1

31

1-

qqyy ⊥

+

+

=λλ

=

−=

=⇒ 5

14-

15

1

193

1

)3(1

q,λ

λ

)3(

)3()3(

y

yq =

=

1110-

1010

25

15

1Q

−

−

=

21110-

51010

1425

15

1Q

V.Álvarez

J.A. Armario

F. Muñoz

Cál

culo

�u

mér

ico


Gram Schmidt:

1115

2-3

1

−= 2-

15

15

192λ






Cál

culo

�u

mér

ico


−

−

=

21110-

51010

1425

15

1Q




−

=

−

−−

≡=

7

4

0

172

102

111

z

y

x

A bx

−=

−−

≡=≡=

34

37

110

15

1

1700

19750

57545

15

1

z

y

x

QAQA TT bxbx

V.Álvarez

J.A. Armario

F. Muñoz

Cál

culo

�u

mér

ico


Gram Schmidt:

341700 z

T)2,1,1( −=x






Cál

culo

�u

mér

ico





Householder:

Consiste en realizar una sucesión de simetrías para llevar las

columnas de A a una forma triangular superior.

V.Álvarez

J.A. Armario

F. Muñoz

Cál

culo

�u

mér

ico


Para llevar x en y basta realizar Hx-y, siempre que ||x||=||y||.

vvv

xvxxx v

><

><−=

,

,2)(Ha

Cál

culo

�u

mér

ico





Householder:



−

=

−

−−

≡=

7

4

0

172

102

111

z

y

x

A bx

V.Álvarez

J.A. Armario

F. Muñoz

Cál

culo

�u

mér

ico



vvv

xvxxx v

><

><−=

,

,2)(Ha

2-

2

2-

,

0

0

3

,3

2-

2

1)1()1()1()1(

=−=

=⇒=

yxvy

Cál

culo

�u

mér

ico





Householder:



−

=

−

−−

≡=

7

4

0

172

102

111

z

y

x

A bx

2-

2

2-

)1(

=v

V.Álvarez

J.A. Armario

F. Muñoz

Cál

culo

�u

mér

ico



vvv

xvxxx v

><

><−=

,

,2)(Ha

=

0

0

3

2-

2

1

)1(vH

=

3

4

5-

7

0

1-

)1(vH

=

5/3

1/3

1/3-

1

1

1-

)1(vH

=

1/3

10/3-

22/3

7-

4

0

)1(vH

2-

Cál

culo

�u

mér

ico





Householder:



−=

−−

≡=

1

10

22

3

1

590

1120

1159

3

1)1()1(

z

y

x

HAH bxvv

V.Álvarez

J.A. Armario

F. Muñoz

Cál

culo

�u

mér

ico



vvv

xvxxx v

><

><−=

,

,2)(Ha

159

12=

=−=

=⇒

9

3- ,

0

15)2()2()2()2( yxvy

Cál

culo

�u

mér

ico





Householder:



−=

−−

≡=

1

10

22

3

1

590

1120

1159

3

1)1()1(

z

y

x

HAH bxvv

=

9

3- )2(v

V.Álvarez

J.A. Armario

F. Muñoz

Cál

culo

�u

mér

ico



vvv

xvxxx v

><

><−=

,

,2)(Ha

=

0

15

9

12)2(

vH

=

17/5-

19/5

5

1)2(

vH

=

34/5-

37/5-

1

10-)2(

vH

Cál

culo

�u

mér

ico





Householder:



≡= bxvvvv )1()2()1()2( HHAHH

−

−=

−

−−

34

37

110

15

1

1700

19750

57545

15

1

z

y

x

V.Álvarez

J.A. Armario

F. Muñoz

Cál

culo

�u

mér

ico


2

1-

1

=x)1()2( vv

HHQT =

−

− 341700 z

Cál

culo

�u

mér

ico


D) Sistemas superdeterminados:


Consisten en sistemas incompatibles, con más ecuaciones que

incógnitas. Se trata de encontrar aquellos vectores x que

aproximen mejor a la solución, en tanto en cuanto hacen que el

módulo del vector diferencia Ax-b sea mínimo. Se habla de

soluciones en mínimos cuadrados. De entre ellas, la que menor

módulo tiene recibe el nombre de seudosolución.

Una manera de determinar las soluciones en mínimos

V.Álvarez

J.A. Armario

F. Muñoz

Cál

culo

�u

mér

ico


Una manera de determinar las soluciones en mínimos

cuadrados es mediante el uso de las ecuaciones normales,

ATAx=ATb.

Otra forma es utilizar una factorización QR de A, de manera

que las soluciones en mínimos cuadrados provienen de la

solución del sistema triangular superior que determinan las

ecuaciones no nulas de Rx=QTb. La norma del error viene dada

por la norma del vector de términos independientes que

corresponde a las ecuaciones nulas desechadas.

Cál

culo

�u

mér

ico




=

−−

1

2

1

22

11

11

2

1

x

x

Ecuaciones normales:

111

V.Álvarez

J.A. Armario

F. Muñoz

Cál

culo

�u

mér

ico


=

≡

−

−=

−−

−

−

1

1

66

66

1

2

1

211

211

22

11

11

211

211

2

1

2

1

x

x

x

x

Soluciones en mínimos cuadrados:

− t

t

6

1

Seudosolución:3

14)('

36

1

32

6

1)( 2

2

−=⇒+−=

−= ttf

tt

t

ttf

=

12

112

1

x

6

210=−= bAxε

Cál

culo

�u

mér

ico




=

−−

1

2

1

22

11

11

2

1

x

x

Householder:

1

+

−=

⇒

62

162

1

6

1

00

00

66

2

1

x

x

6

210

62

162

6

1=

+

−=ε

V.Álvarez

J.A. Armario

F. Muñoz

Cál

culo

�u

mér

ico


Soluciones en mínimos cuadrados:

− t

t

6

1

Seudosolución:3

14)('

36

1

32

6

1)( 2

2

−=⇒+−=

−= ttf

tt

t

ttf

=

12

112

1

x

6

210=−= bAxε

6

2

1-

1

=

=−=

=⇒

2

1-

6-1

,

0

0

6)1()1()1()1( yxvy

tema 4: sistemas de ecuaciones lineales -...

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