Introduccin: 1

MATEMTICA DISCRETA

Pedro Reyes

Orgenes de la Teora de Grafos

Knisberg (AT) (Ro Pregel)

Problema: Es posible, comenzando en cualquier punto de la ciudad de Konisberg, elegir un camino que nos permita pasar una nica vez por cada uno de los siete puentes sobre el ro Pregel?

Introduccin: 2

MATEMTICA DISCRETA

Pedro Reyes

Orgenes de la Teora de GrafosProblema: Es posible, comenzando en cualquier punto de la ciudad de Konisberg, elegir un camino que nos permita pasar una nica vez por cada uno de los siete puentes sobre el ro Pregel?

C

A

B

D

Introduccin: 3

MATEMTICA DISCRETA

Pedro Reyes

Orgenes de la Teora de GrafosProblema: Es posible, comenzando en cualquier punto de la ciudad de Konisberg, elegir un camino que nos permita pasar una nica vez por cada uno de los siete puentes sobre el ro Pregel?

C

A

B

D

vrtices

aristas

Introduccin: 4

MATEMTICA DISCRETA

Pedro Reyes

Orgenes de la Teora de GrafosProblema: Es posible, comenzando en cualquier punto de la ciudad de Konisberg, elegir un camino que nos permita pasar una nica vez por cada uno de los siete puentes sobre el ro Pregel?

C

A

B

D

vrtices

aristas

El primer grafo de la historia

Introduccin: 5

MATEMTICA DISCRETA

Pedro Reyes

Leonhard Euler

Solutio problematis ad geometriam situspertinentis, Commentarii AcademiaeScientiarum Imperialis Petropolitanae 8 (1736), 128--140

Orgenes de la Teora de Grafos

Introduccin: 6

MATEMTICA DISCRETA

Pedro Reyes

Orgenes de la Teora de Grafos

Redes elctricas (Kirchhoff, 1847)

Introduccin: 7

MATEMTICA DISCRETA

Pedro Reyes

Orgenes de la Teora de Grafos

Metano (CH4) Etano (C2H6) Propano (C3H8) Butano (C4H10)

Qumica orgnica (hidrocarburos saturados)

Ismeros qumicos (Cayley, 1874)

Ismeros del C4H10

Introduccin: 8

MATEMTICA DISCRETA

Pedro Reyes

Orgenes de la Teora de Grafos

Coloreado de mapas:

Introduccin: 9

MATEMTICA DISCRETA

Pedro Reyes

Orgenes de la Teora de Grafos

En 1850 Francis Guthrie se interesa por el coloreado de mapas.

El 23 de octubre de 1852, el matemtico ingls

Augustus de Morgan escribi a su colega Sir William R. Hamilton la siguiente carta:

Un estudiante mo me ha pedido una respuesta sobre una cuestin de la cual yo desconoca y desconozco la solucin. l dice que cualquier mapa ha de poder colorearse con cuatro colores...

CONJETURA DE LOS 4 COLORES

Introduccin: 10

MATEMTICA DISCRETA

Pedro Reyes

Orgenes de la Teora de Grafos

Introduccin: 11

MATEMTICA DISCRETA

Pedro Reyes

En 1878 Arthur Cayley present el problema a la London Mathematical Society.

Alfred Kempe publica el primer artculo referente a la demostracin de dicha conjetura.

CONJETURA DE LOS 4 COLORES

En 1890 Heawood encontr un error (demuestra su validez para cinco colores).

K. Appel y W. Haken, en 1976 demostraron con ayuda de tres ordenadores el Teorema de los Cuatro

Colores.

Orgenes de la Teora de Grafos

Introduccin: 12

MATEMTICA DISCRETA

Pedro Reyes

Aplicaciones de la Teora de Grafos

Problema 1: Se pretende realizar un calendario de exmenes de las asignaturas A, B, C, D, E y F. Debemos tener en cuenta que hay alumnos que se tienen que examinar de las asignaturas

A-B, A-D, A-F, B-F, C-E, D-E y E-F

Es posible en estas condiciones establecer un calendario de exmenes?

E

D

A

F

C

B

F4

E3

B y D2

A y C1

AsignaturasDa

Introduccin: 13

MATEMTICA DISCRETA

Pedro Reyes

Aplicaciones de la Teora de Grafos

A

F

E

D

C

B

C y F3

B y D2

A y E1

AsignaturasDa

Problema 1: Se pretende realizar un calendario de exmenes de las asignaturas A, B, C, D, E y F. Debemos tener en cuenta que hay alumnos que se tienen que examinar de las asignaturas

A-B, A-D, A-F, B-F, C-E, D-E y E-F

Es posible en estas condiciones establecer un calendario de exmenes?

Introduccin: 14

MATEMTICA DISCRETA

Pedro Reyes

Aplicaciones de la Teora de Grafos

Problema 2: Ramn y Mara asisten a una fiesta junto con otros cuatro matrimonios. Al encontrarse algunos se saludan con un apretn de manos y otros con un beso. Al acabar la fiesta, Ramn pregunta a los asistentes a cunta gente ha dado la mano al saludar y recibe nueve respuestas diferentes. A cuantas personas ha dado la mano Mara?

Respuestas: 0,1,2,3,4,5,6,7,8

Asistentes: {Ramn, 0,1,2,3,4,5,6,7,8}

Ramn 1

0

2

3

4

5

7

6

8

Introduccin: 15

MATEMTICA DISCRETA

Pedro Reyes

Aplicaciones de la Teora de Grafos

Problema 2: Ramn y Mara asisten a una fiesta junto con otros cuatro matrimonios. Al encontrarse algunos se saludan con un apretn de manos y otros con un beso. Al acabar la fiesta, Ramn pregunta a los asistentes a cunta gente ha dado la mano al saludar y recibe nueve respuestas diferentes. A cuantas personas ha dado la mano Mara?

Respuestas: 0,1,2,3,4,5,6,7,8

Asistentes: {Ramn, 0,1,2,3,4,5,6,7,8}

Ramn 1

0

2

3

4

5

7

6

8

Parejas:

8 con 0

Introduccin: 16

MATEMTICA DISCRETA

Pedro Reyes

Aplicaciones de la Teora de Grafos

Problema 2: Ramn y Mara asisten a una fiesta junto con otros cuatro matrimonios. Al encontrarse algunos se saludan con un apretn de manos y otros con un beso. Al acabar la fiesta, Ramn pregunta a los asistentes a cunta gente ha dado la mano al saludar y recibe nueve respuestas diferentes. A cuantas personas ha dado la mano Mara?

Respuestas: 0,1,2,3,4,5,6,7,8

Asistentes: {Ramn, 0,1,2,3,4,5,6,7,8}

Ramn 1

2

3

4

5

7

6

Parejas:

8 con 0

7 con 1

Introduccin: 17

MATEMTICA DISCRETA

Pedro Reyes

Aplicaciones de la Teora de Grafos

Problema 2: Ramn y Mara asisten a una fiesta junto con otros cuatro matrimonios. Al encontrarse algunos se saludan con un apretn de manos y otros con un beso. Al acabar la fiesta, Ramn pregunta a los asistentes a cunta gente ha dado la mano al saludar y recibe nueve respuestas diferentes. A cuantas personas ha dado la mano Mara?

Respuestas: 0,1,2,3,4,5,6,7,8

Asistentes: {Ramn, 0,1,2,3,4,5,6,7,8}

Ramn

2

3

4

5

6

Parejas:

8 con 0

7 con 1

6 con 2

Introduccin: 18

MATEMTICA DISCRETA

Pedro Reyes

Aplicaciones de la Teora de Grafos

Problema 2: Ramn y Mara asisten a una fiesta junto con otros cuatro matrimonios. Al encontrarse algunos se saludan con un apretn de manos y otros con un beso. Al acabar la fiesta, Ramn pregunta a los asistentes a cunta gente ha dado la mano al saludar y recibe nueve respuestas diferentes. A cuantas personas ha dado la mano Mara?

Respuestas: 0,1,2,3,4,5,6,7,8

Asistentes: {Ramn, 0,1,2,3,4,5,6,7,8}

Ramn

3

4

5

Parejas:

8 con 0

7 con 1

6 con 2

5 con 3

Introduccin: 19

MATEMTICA DISCRETA

Pedro Reyes

Aplicaciones de la Teora de Grafos

Problema 2: Ramn y Mara asisten a una fiesta junto con otros cuatro matrimonios. Al encontrarse algunos se saludan con un apretn de manos y otros con un beso. Al acabar la fiesta, Ramn pregunta a los asistentes a cunta gente ha dado la mano al saludar y recibe nueve respuestas diferentes. A cuantas personas ha dado la mano Mara?

Respuestas: 0,1,2,3,4,5,6,7,8

Asistentes: {Ramn, 0,1,2,3,4,5,6,7,8}

Ramn

4

Parejas:

8 con 0

7 con 1

6 con 2

5 con 3

4 es Mara

Introduccin: 20

MATEMTICA DISCRETA

Pedro Reyes

Aplicaciones de la Teora de Grafos

Problema 2: Ramn y Mara asisten a una fiesta junto con otros cuatro matrimonios. Al encontrarse algunos se saludan con un apretn de manos y otros con un beso. Al acabar la fiesta, Ramn pregunta a los asistentes a cunta gente ha dado la mano al saludar y recibe nueve respuestas diferentes. A cuantas personas ha dado la mano Mara?

Respuestas: 0,1,2,3,4,5,6,7,8

Asistentes: {Ramn, 0,1,2,3,4,5,6,7,8}

Parejas:

8 con 0

7 con 1

6 con 2

5 con 3

4 es Mara

Ramn 1

0

2

3

MARA5

7

6

8