1

Introducción: 1

MA

TE

MÁ

TIC

A D

ISC

RE

TA

Pedro Reyes

Orígenes de la Teoría de Grafos

Könisberg (AT) (Río Pregel)

Problema: ¿Es posible, comenzando en cualquier punto de la ciudad de Konisberg, elegir un camino que nos permita pasar una única vez por cada uno de los siete puentes sobre el río Pregel?

Introducción: 2

MA

TE

MÁ

TIC

A D

ISC

RE

TA

Pedro Reyes

Orígenes de la Teoría de GrafosProblema: ¿Es posible, comenzando en cualquier punto de la ciudad de Konisberg, elegir un camino que nos permita pasar una única vez por cada uno de los siete puentes sobre el río Pregel?

C

A

B

D

2

Introducción: 3

MA

TE

MÁ

TIC

A D

ISC

RE

TA

Pedro Reyes

Orígenes de la Teoría de GrafosProblema: ¿Es posible, comenzando en cualquier punto de la ciudad de Konisberg, elegir un camino que nos permita pasar una única vez por cada uno de los siete puentes sobre el río Pregel?

C

A

B

D

vérticesaristas

Introducción: 4

MA

TE

MÁ

TIC

A D

ISC

RE

TA

Pedro Reyes

Orígenes de la Teoría de GrafosProblema: ¿Es posible, comenzando en cualquier punto de la ciudad de Konisberg, elegir un camino que nos permita pasar una única vez por cada uno de los siete puentes sobre el río Pregel?

C

A

B

D

vérticesaristas

El primer grafo de la historia

3

Introducción: 5

MA

TE

MÁ

TIC

A D

ISC

RE

TA

Pedro Reyes

Leonhard Euler

Solutio problematis ad geometriam situspertinentis, Commentarii AcademiaeScientiarum Imperialis Petropolitanae 8 (1736), 128--140

Orígenes de la Teoría de Grafos

Introducción: 6

MA

TE

MÁ

TIC

A D

ISC

RE

TA

Pedro Reyes

Orígenes de la Teoría de Grafos

Redes eléctricas (Kirchhoff, 1847)

4

Introducción: 7

MA

TE

MÁ

TIC

A D

ISC

RE

TA

Pedro Reyes

Orígenes de la Teoría de Grafos

Metano (CH4) Etano (C2H6) Propano (C3H8) Butano (C4H10)

Química orgánica (hidrocarburos saturados)

Isómeros químicos (Cayley, 1874)

Isómeros del C4H10

Introducción: 8

MA

TE

MÁ

TIC

A D

ISC

RE

TA

Pedro Reyes

Orígenes de la Teoría de Grafos

Coloreado de mapas:

5

Introducción: 9

MA

TE

MÁ

TIC

A D

ISC

RE

TA

Pedro Reyes

Orígenes de la Teoría de Grafos

•En 1850 Francis Guthrie se interesa por el coloreado de mapas.

•El 23 de octubre de 1852, el matemático inglés Augustus de Morgan escribió a su colega Sir William R. Hamilton la siguiente carta:

“Un estudiante mío me ha pedido una respuesta sobre una cuestión de la cual yo desconocía y desconozco la solución. Él dice que cualquier mapa ha de poder colorearse con cuatro colores...’’

CONJETURA DE LOS 4 COLORESIntroducción: 10

MA

TE

MÁ

TIC

A D

ISC

RE

TA

Pedro Reyes

Orígenes de la Teoría de Grafos

6

Introducción: 11

MA

TE

MÁ

TIC

A D

ISC

RE

TA

Pedro Reyes

•En 1878 Arthur Cayley presentó el problema a la London Mathematical Society.

•Alfred Kempe publica el primer artículo referente a la demostración de dicha conjetura.

CONJETURA DE LOS 4 COLORES

•En 1890 Heawood encontró un error (demuestra su validez para cinco colores).

•K. Appel y W. Haken, en 1976 demostraron con ayuda de tres ordenadores el Teorema de los Cuatro Colores.

Orígenes de la Teoría de Grafos

Introducción: 12

MA

TE

MÁ

TIC

A D

ISC

RE

TA

Pedro Reyes

Aplicaciones de la Teoría de Grafos

Problema 1: Se pretende realizar un calendario de exámenes de las asignaturas A, B, C, D, E y F. Debemos tener en cuenta que hay alumnos que se tienen que examinar de las asignaturas

A-B, A-D, A-F, B-F, C-E, D-E y E-F

¿Es posible en estas condiciones establecer un calendario de exámenes?

E

D

A

F

C

B

F4º

E3º

B y D2º

A y C1º

AsignaturasDía

7

Introducción: 13

MA

TE

MÁ

TIC

A D

ISC

RE

TA

Pedro Reyes

Aplicaciones de la Teoría de Grafos

A

F

E

D

C

B

C y F3º

B y D2º

A y E1º

AsignaturasDía

Problema 1: Se pretende realizar un calendario de exámenes de las asignaturas A, B, C, D, E y F. Debemos tener en cuenta que hay alumnos que se tienen que examinar de las asignaturas

A-B, A-D, A-F, B-F, C-E, D-E y E-F

¿Es posible en estas condiciones establecer un calendario de exámenes?

Introducción: 14

MA

TE

MÁ

TIC

A D

ISC

RE

TA

Pedro Reyes

Aplicaciones de la Teoría de Grafos

Problema 2: Ramón y María asisten a una fiesta junto con otros cuatro matrimonios. Al encontrarse algunos se saludan con un apretón de manos y otros con un beso. Al acabar la fiesta, Ramón pregunta a los asistentes a cuánta gente ha dado la mano al saludar y recibe nueve respuestas diferentes. ¿A cuantas personas ha dado la mano María?

Respuestas: 0,1,2,3,4,5,6,7,8

Asistentes: {Ramón, 0,1,2,3,4,5,6,7,8}

Ramón 1

0

2

3

4

5

7

6

8

8

Introducción: 15

MA

TE

MÁ

TIC

A D

ISC

RE

TA

Pedro Reyes

Aplicaciones de la Teoría de Grafos

Problema 2: Ramón y María asisten a una fiesta junto con otros cuatro matrimonios. Al encontrarse algunos se saludan con un apretón de manos y otros con un beso. Al acabar la fiesta, Ramón pregunta a los asistentes a cuánta gente ha dado la mano al saludar y recibe nueve respuestas diferentes. ¿A cuantas personas ha dado la mano María?

Respuestas: 0,1,2,3,4,5,6,7,8

Asistentes: {Ramón, 0,1,2,3,4,5,6,7,8}

Ramón 1

0

2

3

4

5

7

6

8

Parejas:

8 con 0

Introducción: 16

MA

TE

MÁ

TIC

A D

ISC

RE

TA

Pedro Reyes

Aplicaciones de la Teoría de Grafos

Problema 2: Ramón y María asisten a una fiesta junto con otros cuatro matrimonios. Al encontrarse algunos se saludan con un apretón de manos y otros con un beso. Al acabar la fiesta, Ramón pregunta a los asistentes a cuánta gente ha dado la mano al saludar y recibe nueve respuestas diferentes. ¿A cuantas personas ha dado la mano María?

Respuestas: 0,1,2,3,4,5,6,7,8

Asistentes: {Ramón, 0,1,2,3,4,5,6,7,8}

Ramón 1

2

3

4

5

7

6

Parejas:

8 con 0

7 con 1

9

Introducción: 17

MA

TE

MÁ

TIC

A D

ISC

RE

TA

Pedro Reyes

Aplicaciones de la Teoría de Grafos

Problema 2: Ramón y María asisten a una fiesta junto con otros cuatro matrimonios. Al encontrarse algunos se saludan con un apretón de manos y otros con un beso. Al acabar la fiesta, Ramón pregunta a los asistentes a cuánta gente ha dado la mano al saludar y recibe nueve respuestas diferentes. ¿A cuantas personas ha dado la mano María?

Respuestas: 0,1,2,3,4,5,6,7,8

Asistentes: {Ramón, 0,1,2,3,4,5,6,7,8}

Ramón

2

3

4

56

Parejas:

8 con 0

7 con 1

6 con 2

Introducción: 18

MA

TE

MÁ

TIC

A D

ISC

RE

TA

Pedro Reyes

Aplicaciones de la Teoría de Grafos

Problema 2: Ramón y María asisten a una fiesta junto con otros cuatro matrimonios. Al encontrarse algunos se saludan con un apretón de manos y otros con un beso. Al acabar la fiesta, Ramón pregunta a los asistentes a cuánta gente ha dado la mano al saludar y recibe nueve respuestas diferentes. ¿A cuantas personas ha dado la mano María?

Respuestas: 0,1,2,3,4,5,6,7,8

Asistentes: {Ramón, 0,1,2,3,4,5,6,7,8}

Ramón

3

4

5

Parejas:

8 con 0

7 con 1

6 con 2

5 con 3

10

Introducción: 19

MA

TE

MÁ

TIC

A D

ISC

RE

TA

Pedro Reyes

Aplicaciones de la Teoría de Grafos

Problema 2: Ramón y María asisten a una fiesta junto con otros cuatro matrimonios. Al encontrarse algunos se saludan con un apretón de manos y otros con un beso. Al acabar la fiesta, Ramón pregunta a los asistentes a cuánta gente ha dado la mano al saludar y recibe nueve respuestas diferentes. ¿A cuantas personas ha dado la mano María?

Respuestas: 0,1,2,3,4,5,6,7,8

Asistentes: {Ramón, 0,1,2,3,4,5,6,7,8}

Ramón

4

Parejas:

8 con 0

7 con 1

6 con 2

5 con 3

4 es María

Introducción: 20

MA

TE

MÁ

TIC

A D

ISC

RE

TA

Pedro Reyes

Aplicaciones de la Teoría de Grafos

Problema 2: Ramón y María asisten a una fiesta junto con otros cuatro matrimonios. Al encontrarse algunos se saludan con un apretón de manos y otros con un beso. Al acabar la fiesta, Ramón pregunta a los asistentes a cuánta gente ha dado la mano al saludar y recibe nueve respuestas diferentes. ¿A cuantas personas ha dado la mano María?

Respuestas: 0,1,2,3,4,5,6,7,8

Asistentes: {Ramón, 0,1,2,3,4,5,6,7,8}

Parejas:

8 con 0

7 con 1

6 con 2

5 con 3

4 es María

Ramón 1

0

2

3

MARÍA5

7

6

8