jordi villanueva · continu¨ıtat jordi villanueva departament de matematiques` universitat...

Continuıtat

Jordi Villanueva

Departament de MatematiquesUniversitat Politecnica de Catalunya

11 de juliol de 2019

Jordi Villanueva (MA1) Continuıtat 11 de juliol de 2019 1 / 52

Funcions d’una variable

Definicio (Notacions fonamental funcions reals d’una variable)

f : Df ⊂ Rx→7→

Rf (x)

Df = {x ∈ R : f esta ben definida en el punt x} domini de f .y = f (x) es la imatge de x ∈ Df per la funcio f .X ⊂ Df =⇒ f (X ) = {y ∈ R : ∃x ∈ X t.q. y = f (x)}Si X es un subconjunt del domini de f , llavors f (X ) es elconjunt imatge de X per f (conjunt format per les imatges deTOTS els punts que pertanyen al conjunt X ).Rf = rang(f ) = f (Df ) es el rang o recorregut de f (conjunt detots els valors que assoleix la funcio f per punts del seu domini).Y ⊂ R =⇒ f−1(Y ) = {x ∈ Df : f (x) ∈ Y} Si Y es unsubconjunt (qualsevol) de R, llavors f−1(Y ) es el conjuntanti-imatge de Y per f (conjunt format pels punts del domini def tals que quan calculem la seva imatge aquesta pertany a Y ).


Exemple ( f (x) =√

x +√

1− x )Domini de f : Si volem f (x) ben definit cal que x compleixi:

x ≥ 0 i a mes 1− x ≥ 0 ⇐⇒ 1 ≥ x ⇐⇒ x ≤ 1.

Per tant Df = [0,1] .La funcio f es simetrica respecte del punt 1

2 : Si agafem elspunts x1 = a i x2 = 1− a amb a ∈ [0,1] , un es a l’equerra il’altre a la dreta de 1

2 i el punt mig entre ambdo es x1+x22 = 1

2 .Llavors es te que f (x1) = f (x2) :

f (x2) = f (1− a) =√

1− a +√

1− (1− a) =√

1− a +√

a = f (x1)

En particular f (0) = f (1) = 1 i f (12) =

√2 .



x +√

1− x (continuacio) )

f ′(x) =1

2√

x− 1

2√

1− x=

√1− x −

√x

2√

x√

1− x

=

√1− x −

√x

2√

x√

1− x×√

1− x +√

x√1− x +

√x

=(√

1− x)2 − (√

x)2

2√

x√

1− x(√

1− x +√

x)

=(1− x)− (x)

2√

x√

1− x(√

1− x +√

x)

=1− 2x

2√

x√

1− x(√

1− x +√

x)

on usem: (A− B)× (A + B) = A2 − B2 amb A =√

1− x i B =√

x .

f ′(x) = 0 ⇐⇒ x = 12 on f hi te el seu maxim absolut en [0,1] .



x +√

1− x (continuacio))

El rang o recorregut de f es rang(f ) = f (Df ) = f ([0,1]) = [1,√

2] .En paraules: Si movem els valors de x en l’interval [0,1] llavorsf (x) es mou en l’interval [1,

√2] .

En general: Si f es una funcio contınua en l’interval [a,b] llavorsf [a,b] = [m,M] on m = minx∈[a,b] f (x) i M = maxx∈[a,b] f (x) .



x +√


Si A =[1

6 ,13

]llavors B = f (A) =

[f (1

6), f (13)]

=[

1+√

5√6, 1+

√2√

3

]es

la imatge de l’interval A =[1

6 ,13

]per la funcio f .

En cavi, f−1(B) = A ∪ C on C =[2

3 ,56

]: L’anti-imatge de l’interval

B es unio de dos intervals. Els punts x tal que quan apliquem fvan a parar dins de B son els que estan en A o be en C .



x +√

1− x (continuacio i fi))

Si D =[1

6 ,34

]llavors E = f (D) =

[f (1

6), f (12)]

=[

1+√

5√6,√

2]

es laimatge de D per la funcio f . (El valor mınim de f en D es en elpunt 1

6 pero el seu valor maxim es en 12 i no en 3

4 .)

L’anti-imatge per f de l’interval E es F = f−1(E) =[1

6 ,56

].


Definicio (Composicio de funcions)Siguin f : Df ⊂ R→ R i g : Dg ⊂ R→ R dues duncions donades.Definim la seva composicio g ◦ f ( g compost amb f ) per:

(g ◦ f )(x) = g(f (x)) (1er. actua f i despres g )El domini de g ◦ f es Dg◦f = {x ∈ R : x ∈ Df i f (x) ∈ Dg} .

Podem visualitzar g ◦ f com superposicio de dos processos en quedonada la materia prima x , llavors (g ◦ f )(x) ens dona el productefinal, pero no veiem els passos intermitjos del proces de produccio:

Rx

f−→7→

Rf (x)

g−→7→

−−−−−−−−→(g◦f )(x)

Rg(f (x))

Si volem que el proces f pugui actuar sobre x cal que x siguidel domini de f ( x ∈ Df ).Per tal que el proces g pugui actuar sobre f (x) cal que f (x)sigui del domini de g ( f (x) ∈ Dg ).


Exemple (Composicio de funcions)

f (x) =x + 1x − 1

, Df = R \ {1}, g(x) =x − 3x + 5

, Dg = R \ {−5}

(g ◦ f )(x) = g(f (x)) = g(

x + 1x − 1

)︸︷︷︸

cal x 6=1

=x+1x−1 − 3x+1x−1 + 5

=−x + 23x − 2︸︷︷︸cal x 6= 2

3

Dg◦f = R \ {1, 23} . Treiem x = 1 ja que 1 6∈ Df . Treiem x = 2

3 jaque si be 2

3 ∈ Df llavors f(2

3

)= −5 i per tant f

(23

)6∈ Dg .

(f ◦ g)(x) = f (g(x)) = f(

x − 3x + 5

)︸︷︷︸

cal x 6=−5

=x−3x+5 + 1x−3x+5 − 1

=−x − 1

4︸︷︷︸sempre O.K.

Df◦g = R \ {−5} . Treiem x = −5 ja que −5 6∈ Dg . En canvi, six 6= −5 llavors g(x) = x−3

x+5 esta ben definida i g(x) 6= 1 , ∀x , iper tant g(x) ∈ Df .Observeu, en particular, que (g ◦ f )(x) 6= (f ◦ g)(x).


Definicio (Funcio injectiva)f : Df ⊂ R→ R es una funcio injectiva en A ⊂ Df si ∀x1, x2 ∈ A t.q.x1 6= x2 llavors f (x1) 6= f (x2) . ( f es injectiva en A si f envia parellesde punts diferents de A a parelles de punts diferents de f (A) .)

ExempleTota funcio estrictament creixent o estrictament decreixent esinjectiva en tot el seu domini de definicio.f (x) = x2 no es injectiva en A = [−1,1] , ja que f (x) = f (−x)(les parelles de punts de signe oposat tenen la mateixa imatge).f (x) = x2 sı que es injectiva en A = [0,1] ja que f (x) = x2 esestrictament creixent en A = [0,1] .


Definicio (Funcio inversa)Si f : Df ⊂ R→ R es una funcio injectiva en A ⊂ Df i denotem perB = f (A) , llavors existeix f−1 : B → A funcio inversa de f (inversarespecte de la composicio) verificant:f−1( f (x) ) = x , ∀x ∈ A f ( f−1(y) ) = y , ∀y ∈ B

Comentari (Calcul explıcit de la funcio inversa)En general no es possible calcular explıcitament la inversa d’unafuncio f donada. En els casos en que sı que es possible ho fem aixı:Considerem la relacio f (x) = y . Si som capacos d’aıllar y en funciode x a partir d’aquesta relacio obtenim la inversa de f : y = f−1(x) .



x +√

1− x )f (x) no es invertible en tot el seu domini, Df = [0,1] , degut a laseva simetria respecte del punt 1

2 : f (a) = f (1− a) , ∀a ∈ [0,1] .

f (x) sı que es invertible en l’interval A =[0, 1

2

]ja que es una

funcio estrictament creixen en A .B = f (A) = [1,

√2] i la inversa f−1 esta definida entre els conjunts

f−1 : B → A .



x +√


Calculem explıcitament f−1 : [1,√

2]→[0, 1

2

]aıllant x en f (x) = y .

f (x) = y ⇐⇒√

x +√

1− x = y ⇐⇒√

1− x = y −√

x⇐⇒ 1− x = (y −

√x)2 = y2 − 2y

√x + x

⇐⇒ 2x − 2y√

x + y2 − 1 = 0.

Per tant l’expressio X =√

x es solucio d’una equacio de 2on grau.Jordi Villanueva (MA1) Continuıtat 11 de juliol de 2019 13 / 52


x +√

1− x (continuacio i fi))

Concretament X =√

x verifica:

2X 2 − 2yX + y2 − 1 = 0 =⇒ X =2y ±

√(2y)2 − 4 · 2 · (y2 − 1)

2 · 2

D’aquı obtenim:

√x = X =

y ±√

2− y2

2=⇒ x = f−1(y) =

(12

(y −

√2− y2

))2

.

Per definir f−1 triem − en ± perque y = 1 =⇒ x = f−1(y) = 0 .(Si triem + en ± obtenim f−1 : [1,

√2]→

[12 ,1]

.)

Exercici ( f (x) =√

x +√

1− x )

Considereu l’interval I = [a,b] ⊂ [1,√

2] . La seva anti-imatge per f esf−1(I) = [f−1(a), f−1(b)] ∪ [1− f−1(b),1− f−1(a)]

on f−1 : [1,√

2]→ [0,1/2] es la inversa que hem calculat.Jordi Villanueva (MA1) Continuıtat 11 de juliol de 2019 14 / 52

Exemple (Inversa i composicio de funcions)

f (x) =x + 1x − 1

, Df = R \ {1}, g(x) =x − 3x + 5

, Dg = R \ {−5}

Calculem g−1 trobant x en termes de y solucio de g(x) = y

g(x) =x − 3x + 5

= y ⇐⇒ x − 3 = (x + 5)y ⇐⇒ (1− y)x = 3 + 5y

Obtenim x = 3+5y1−y . Per tant, g−1(y) = 3+5y

1−y i Dg−1 = R \ {1} .

Calculem g−1 ◦ f i el seu domini:

(g−1 ◦ f )(x) = g−1(f (x)) = g−1(

x + 1x − 1

)︸︷︷︸

cal x 6=1

=3 + 5x+1

x−1

1− x+1x−1

= −4x − 1

Per tant, Dg−1◦f = R \ {1} .


Funcions elementalsLes funcions elementals simples son:

Polinomis.Exponencials i logarıtmes: ex i ln x .Tambe ax = ex ln a i loga x = ln x/ ln a , si a > 0 .Trigonometriques: sin x , cos x , tan x , cosec x , sec x , cotan x .Trigonometriques inverses: arcsin x , arccos x , arctan x .Hiperboliques i hiperboliques inverses:sinh x = ex−e−x

2 , cosh x = ex+e−x

2 , tanh x = sinh(x)cosh(x)

i les seves inverses argsinh x , argcosh x , argtanh x .• Usarem la terminologia funcions elementals per referir-nos a lescombinacions de funcions elementals simples definides mitjancantoperacions elementals ( +,−, ∗, / ) i composicions de funcions.• Tambe considerarem d’altres funcions no elementals que juguemun paper destacat en el calcul. P. ex.: |x | = +

√x2 (valor absolut),

sign(x) (signe), E(x) (part entera), D(x) (funcio de Dirichlet).


La funcio valor absolut

|x | =

{+x , si x ≥ 0−x , si x ≤ 0

}( |0| = 0 usant les dos definicions. )

La distancia entre dos punts x , y ∈ R ve donada per |x − y | .Exemple: A = {x ∈ R : |x − 1| < |x − 3|} son els punts x quedisten menys de 1 que de 3 . Com que el punt mig es 1+3

2 = 2 lasolucio es A = (−∞,2) .Si f (x) es una funcio qualsevol i calculem 1er (f (x))2 i despresfem l’arrel quadrada, el resultat es:

+√

(f (x))2 6= f (x), +√

(f (x))2 = |f (x)|.

Aquesta formula permet calcular d |f (x)|dx si f (x) 6= 0 i ∃f ′(x) . P. ex.:

f (x) = x2−1 =⇒ |f (x)| =√

(x2 − 1)2 =⇒ d |f (x)|dx

=2x(x2 − 1)√

(x2 − 1)2


Lımits de funcions

Definicio (Lımit d’una funcio en un punt)Sigui f : A ⊂ R→ R funcio definida en un interval obert A = (a,b) ic ∈ (a,b) un punt de l’interval i L ∈ R . Direm que:

limx→c

f (x) = L ⇐⇒ ∀ε > 0, ∃δ > 0 t.q., si 0 < |x − c| < δ, |f (x)− L| < ε

Comentari (Interpretacio definicio lımit)Sinteticament, la definicio diu: “x → c, x 6= c =⇒ f (x)→ L” .Quan x s’apropa o tendeix a c llavors f (x) s’apropa a L , peroho fa independentment del valor de f (c) . ( limx→c f (x) no dependel valor de f (c) . De fet no cal que f (x) estigui definida en x = c)En la definicio de lımit tant el punt c com el lımit L han de ser finits(no pas ±∞). Si el lımit L “dona” ±∞ hem de concloure que noexisteix. Podem definir el concepte de lımit infinit o a l’infinit,pero llavors cal adaptar la definicio (veure mes endavant).


Comentari (Interpretacio definicio lımit (continuacio) )

limx→c

f (x) = L ⇐⇒ ∀ε > 0, ∃δ > 0 t.q., si 0 < |x − c| < δ, |f (x)− L| < ε

ε es un nombre tant petit com volguem i que mesura quan granpot ser, com a molt, la distancia entre f (x) i el lımit L :dist(f (x),L) = |f (x)− L| .δ = δ(ε) es un nombre petit que depen del valor de ε triat i queens diu quan proper ha de ser x de c per tal que f (x) sigui adistancia menor que ε de L .δ = δ(ε) compleix δ(ε)→ 0+ quan ε→ 0+ .Trobar la formula concreta de la funcio δ(ε) es el que cal fer si enun exemple ens demanen que apliquem la definicio de lımit.


Comentari (Interpretacio definicio lımit (continuacio) )ε > 0 defineix un interval de radi ε centrat en el punt L de l’eix y .Si calculem l’anti-imatge de l’interval [L− ε,L + ε] per la funcio f(grafica en vermell) obtenim un interval entorn del punt c(pero que en general no esta centrat en c com el de la figura).El valor de δ = δ(ε) de la definicio es tal que l’interval[c − δ, c + δ] estigui contingut en l’anti-imatge f−1([L− ε,L + ε]) .


Exemple

Apliqueu la definicio de lımit i vegeu que limx→0

3√

x = 0 .

En aquest cas f (x) = 3√

x , c = 0 i L = 0 .Hem de respondre a la seguent questio: Qui es δ = δ(ε) tal que:

0 < |x − c| < δ =⇒ |f (x)− L| < ε.

Com que |x − c| = |x | el punt de partida es la condicio |x | < δ .Calculem |f (x)− L| i el relacionem amb δ via la condicio |x | < δ :

|f (x)− L| = | 3√

x − 0| = |x |1/3 < δ1/3.

Si ens fixem en l’expressio final, δ1/3 , volem que sigui ε . Es clarque aixo ho aconseguim triant δ1/3 = ε .Si aıllem δ d’aquesta relacio, obtenim δ(ε) = ε3 que es laformula que buscavem.


ComentariSi volem provar que 6 ∃ limx→c f (x) , llavors hem de trobar valors de xarbitrariament propers a c tals que . . .. . . o be f (x) tendeix a dos valors diferents de L quan x → c .. . . o be f (x) tendeix a ±∞ quan x → c .

Exemple (La funcio de Dirichlet)

f (x) = D(x) =

{0, si x ∈ Q (nombres racionals)1, si x ∈ R \Q (nombres irracionals)

}.

6 ∃ limx→c f (x) per a cap c ∈ R . La rao es que podem aproximar tantcom volguem c per nombres racionals i irracionals.

Tant a prop com volguem de c hi ha infints valors de x racionals.Si tendim a c per valors de x ∈ Q llavors f (x) = 0 . Per tant,Q 3 x → c =⇒ f (x)→ 0 i el lımit hauria de ser L = 0 .Tant a prop com volguem de c hi ha infints valors de x irrracionals.Si tendim a c per valors de x ∈ R \Q llavors f (x) = 1 . Per tant,R \Q 3 x → c =⇒ f (x)→ 1 i el lımit hauria de ser L = 1 .


Exemple ( 6 ∃ limx→0 sin(1/x) (Idem 6 ∃ limx→0 cos(1/x) ))f (x) = sin(1/x) es una funcio (no definida en x = 0 ) que quanx → 0 oscil·la infinit cops entre y = −1 i y = 1 . Aquestcaracter oscil·latori fa que el seu lımit en c = 0 no existeixi.Interpretacio grafica: calcular limx→0 f (x) vol dir que ens posemsobre la grafica y = f (x) , fem x → 0 i mirem si quan arribem azero ho fem amb una alcada y = L determinada. Llavors L es elvalor del lımit. Si la funcio oscil·la com en la figura, quan tendim azero aquesta alcada lımit no esta definida i el lımit no existeix.


Exemple ( 6 ∃ limx→0 sin(1/x) (continuacio i fi) )

Fem xn = 1nπ . Els valors de la successio xn compleixien xn → 0

quan n→∞ . Per aquests valors de xn → 0 tenim:

f (xn) = sin(1/xn) = sin(nπ) = 0→ 0 = L si n→∞.

Si triem els valors de x = xn tendint a zero ens estem aproximanta x = 0 sobre punts de la grafica y = f (x) a alcada L = 0 . Pertant, si el lımit existeix ha de ser L = 0 .Fem xn = 1

π2 +2nπ . Els valors de la successio xn compleixien

xn → 0 quan n→∞ . Per aquests valors de xn → 0 tenim:

f (xn) = sin(1/xn) = sin(π

2+ 2nπ) = 1→ 1 = L si n→∞.

Si triem els valors de x = xn tendint a zero ens estem aproximanta x = 0 sobre punts de la grafica y = f (x) a alcada L = 0 . Pertant, si el lımit existeix ha de ser L = 0 .


Definicio (Lımits laterals d’una funcio en un punt)lim

x→c+f (x) = L+ es el lımit de f (x) en x = c per la dreta:

f (x)→ L+ quan x → c pero considerant valors de x > c .lim

x→c−f (x) = L− es el lımit de f (x) en x = c per l’esquerra:

f (x)→ L− quan x → c pero considerant valors de x < c .

Proposicio (Relacio lımit / lımits laterals)

∃L = limx→c

f (x) ⇐⇒ ∃L+ = limx→c+

f (x), ∃L− = limx→c−

f (x), L = L+ = L−

(El lımit existeix sıı. els lımits laterals existeixen i coincideixen.)

Corol·lari (Criteris no existencia del lımit)Podem concloure que 6 ∃ limx→c f (x) si es dona un dels casos:6 ∃ limx→c+ f (x) o be 6 ∃ limx→c− f (x) .∃L+ = limx→c+ f (x) , ∃L− = limx→c− f (x) pero L+ 6= L− .


Exemple (La funcio signe)

sgn (x) =x|x |

=

{+1, si x > 0−1, si x < 0

}( sgn (0) no esta definit. )

L+ = limx→0+

sgn (x) = limx→0+

1 = 1.

L− = limx→0−

sgn (x) = limx→0−

−1 = −1.

L+ 6= L− =⇒ 6 ∃ limx→0 sgn (x).

Exemple ( f (x) = e1/x )

L− = limx→0−

e1/x = e1/0−= e−∞ =

1e+∞

=1

+∞= 0.

L+ = limx→0+

e1/x = e1/0+= e+∞ = +∞.

L+ = +∞ =⇒ 6 ∃ limx→0+ e1/x =⇒ 6 ∃ limx→0 e1/x .


Extensions del concepte de lımit. Quadre resum.

Segons la posicio de c respecte l’interval (a,b) :Normal Lateral esquerre Lateral dret

limx→c

f (x) = ? limx→c−

f (x) = ? limx→c+

f (x) = ?

(a,b) 3 c (a, c) (c,b)0 < |x − c| < δ c − δ < x < c c < x < c + δ

Segons si c es +∞ o −∞ :Normal en −∞ en +∞

limx→c

f (x) = ? limx→−∞

f (x) = ? limx→+∞

f (x) = ?

(a,b) 3 c (−∞,b) (a,∞)0 < |x − c| < δ x < −N x > N

Segons els possibles valors que pot tenir L :Finit +∞ −∞

limx→?

f (x) = L ∈ R limx→?

f (x) = −∞ limx→?

f (x) = +∞|f (x)− L| < ε f (x) < −M f (x) > M


Extensions del concepte de lımit. Comentaris.

• El quadre anterior permet escriure les 15 definicions de lımit. P. ex.:limx→c− f (x) = L ∈ R si i nomes si ∀ε > 0, ∃δ = δ(ε) > 0 tal quec − δ < x < c ⇒ |f (x)− L| < ε .limx→c+ f (x) = −∞ si i nomes si ∀M > 0, ∃δ = δ(M) > 0 tal quec < x < c + δ ⇒ f (x) < −M .(Que el lımit sigui −∞ vol dir que f (x) es fa “tant negatiu” comvolguem quan x tendeix a c per la dreta. Per tant, aqui entenemque M > 0 el podem agafar tant gran com volguem i δ(M) > 0es petit i tendeix a zero quan M tendeix a +∞) .limx→+∞ f (x) = L ∈ R si i nomes si ∀ε > 0, ∃N = N(ε) > 0 talque x > N ⇒ |f (x)− L| < ε .(Calcular lımit quan x → +∞ vol dir que ara es el valor de x elque podem agafar tant gran com volguem i per tant N(ε) > 0tendeix a +∞ quan ε tendeix a zero.)limx→−∞ f (x) = +∞ si i nomes si ∀M > 0, ∃N = N(M) > 0 talque x < −N ⇒ f (x) > M .


Calcul de lımits

• Recepta basica: El calcul del lımit en un punt d’una funcioelemental (combinacions de funcions elementals simples viaoperacions basiques i composicions de funcions) el fem avaluant lesfuncions involucrades en el punt corresponent, sempre queaquesta avaluacio es faci dins del domini de definicio d’aquestesfuncions i que no doni lloc a cap indeterminacio.(De fet, en tots aquests casos estem dient que la funcio f (x) escontınua i que lim

x→cf (x) = f (c).)

• Indeterminacions tıpiques:

00

∞∞

+∞−∞ 0 · ∞ 1∞ 00 ∞0

• No son indeterminacions:

a∞

= 0 0+∞ = 010

=∞ a+∞ =

{0, si 0 < a < 1+∞, si a > 1


Proposicio (Operacions elementals amb lımits)Suposem: lim

x→cf (x) = L ∈ R i lim

x→cg(x) = K ∈ R

Llavors:1 lim

x→cb · f (x) = b · L ∀b ∈ R

2 limx→c

(f (x)± g(x)) = L± K

3 limx→c

(f (x) · g(x)) = L · K

4 limx→c

f (x)

g(x)= L

K si K 6= 0

5 limx→c

f (x)n = Ln si n ∈ N

Exemple

Si p(x) i q(x) son dos polinomis i q(c) 6= 0, llavors limx→c

p(x)

q(x)=

p(c)

q(c)el calculem doncs per simple substitucio.


Proposicio (Lımit de la composicio de funcions)Suposem: lim

x→cg(x) = L i lim

x→Lf (x) = f (L)

Llavors: limx→c

f (g(x)) = f (L)

Comentari• De fet, lim

x→Lf (x) = f (L) vol dir que f es contınua en el punt L.

• El resultat diu que podem permutar funcions contınues i lımits:

Si limx→c

g(x) = L i f es contınua en el punt L llavors

limx→c

f (g(x) = f(

limx→c

g(x))

= f (L)

• El resultat NO es cert si f no es contınua en el punt L:

limx→c

g(x) = L i limx→L

f (x) = K 6=⇒ limx→c

f (g(x)) = K

Vegeu l’exemple que segueix.


Example ( limx→c

g(x) = L i limx→L

f (x) = K 6=⇒ limx→c

f (g(x)) = K )

Fem g(x) ≡ 0 i f (x) =

{0, si x = 01, si x 6= 0

}limx→c

g(x) = limx→c

0 = 0 = L

limx→L

f (x) = limx→0

f (x) = limx→0

1 = 1 = K 6= 0 = f (0) = f (L)

(f no contınua en L = 0)(f ◦ g)(x) = f (g(x)) = f (0) = 0, ∀x ∈ R =⇒ f ◦ g ≡ 0limx→c

f (g(x)) = limx→c

0 = 0 6= 1 = K


Proposicio (Teorema de l’encaix o de l’entrepa)h(x) ≤ f (x) ≤ g(x) ∀x prou proper a x = c(no cal que sigui cert per a x = c.)limx→c

h(x) = limx→c

g(x) = L.

Llavors: limx→c

f (x) = L

Corol·lari (del teorema de l’encaix)Suposem f (x) = m(x) · k(x) on:

limx→c

k(x) = 0 te lımit zero.

|m(x)| ≤ M esta acotada quan x es prou proper a x = c(pero no te perque existir lim

x→cm(x).)

Llavors: limx→c

f (x) = 0

El corol·lari surt de: −M · |k(x)|︸︷︷︸h(x)

≤ f (x) ≤ M · |k(x)|︸︷︷︸g(x)

.


Exemple ( limx→0

sin xx

= 1 )

Usant trigonometria elemental no costa pas gaire veure que:cos(x) sin(x) ≤ x ≤ tan(x) si 0 ≤ x <

π

2.

cos(x) sin(x) ≤ x =⇒ sin(x)

x≤ 1

cos(x)si 0 < x <

π

2

x ≤ tan(x) =sin(x)

cos(x)=⇒ cos(x) ≤ sin(x)

xsi 0 < x <

π

2Per les simetries del sinus i del cosinus les dues desigualtatstambe valen si −π

2< x < 0

cos(x) ≤ sin(x)

x≤ 1

cos(x)si x ∈

(−π

2,π

2

)\ {0}

limx→0

cos(x) = limx→0

1cos(x)

= 1 =⇒ limx→0

sin(x)

x= 1


Demostracio ( cos(x) sin(x) ≤ x ≤ tan(x) )Si x es l’angle de la figura (en radiants) l’area del tros de cerclede radi R = 1 determinat per OBC es ∆1 =

x2π× πR2 =

x2

.

(Si x = 2π ha de donar πR2 = π. )

Area triangle vertexs OAC: ∆2 =OA× AC

2=

cos(x)× sin(x)

2

Area triangle vertexs OBD: ∆3 =OB × BD

2=

1× tan(x)

2Es clar que ∆2 ≤ ∆1 ≤ ∆3


Comentari: Tambe podem abordar aquests exemples via la formulade L’Hopital, pero molts cops aplicar L’Hopital genera expressions“monstre” que podem evitar usant raonaments com els que segueixen.

Exemple (Tractament d’indeterminacions)limx→0 x sin(1/x) = 0 usant el lema de l’entrepa (vegeu-lo mesendavant com exemple discontinuıtat evitable).Usant que limx→0

sin xx = 1 tenim (multipliquem numerador i

denominador per 1 + cos x i usem 1− cos2 x = sin2 x ):

limx→0

1− cos xx2 = lim

x→0

1− cos xx2 × 1 + cos x

1 + cos x= lim

x→0

1− cos2 xx2(1 + cos x)

= limx→0

(sin x

x

)2 11 + cos x

=12.

Aplicant Ruffini tenim x3 − 1 = (x − 1)(x2 + x + 1) i ho podemusar per cancel·lar el zero del denominador:

limx→1x3 − 1x − 1

= limx→1

(x − 1)(x2 + x + 1)

x − 1= lim

x→1(x2 + x + 1) = 3.


Exemple (Tractament d’indeterminacions (continuacio))Podem racionalitzar l’expressio seguent multiplicant numerador idenominador per

√x + 1 + 1 per tal d’eliminar l’arrel (aquest truc,

(A− B)× (A + B) = A2 − B2 , ja l’hem usat anteriorment):

limx→0

√x + 1− 1

x= lim

x→0

√x + 1− 1

x×√

x + 1 + 1√x + 1 + 1

= limx→0

(√

x + 1)2 − (1)2

x(√

x + 1 + 1)= lim

x→0

1√x + 1 + 1

=12.

La defincio del nombre e via successions es limn→∞(1 + 1

n

)n= e

(o, mes en general limn→∞

(1 + A

n

)n= eA ). La versio en “variable

contınua” (per funcions) d’aquest lımit es:

limx→0

(1 + x)1/x = e, limx→0

ln(1 + x)

x= 1,

on el segon lımit surt del primer prenent logarıtme neperia.Jordi Villanueva (MA1) Continuıtat 11 de juliol de 2019 37 / 52

Continuıtat

Definicio (Funcio contınua en un punt)Direm que f : (a,b)→ R es contınua en el punt c ∈ (a,b) sıı.

∃L = limx→c

f (x) i L = f (c)

Comentari1 Si f no es contınua en c direm que f es discontınua en c.2 Si volem definir f : [a,b]→ R funcio contınua en els extrems de

l’interval cal modificar la definicio usant lımits laterals:

f es contınua en a sıı. ∃L = limx→a+

f (x) i L = f (a)

f es contınua en b sıı. ∃L = limx→b−

f (x) i L = f (b)

3 f es contınua en un conjunt si es contınua en tots els seus punts.


Proposicio (Propietats basiques de la continuıtat)1 Operacions elementals: f i g contınues en c. Llavors b · f

( ∀b ∈ R ), f ± g, f · g, f/g ( si g(c) 6= 0 ) son contınues en c.2 Composicio de funcions: f contınua en c , g contınua en f (c).

Llavors g ◦ f es contınua en c.3 Funcio inversa: f contınua en c i suposem que existeix f−1

funcio inversa de f . Llavors f−1 es contınua en f (c).

Corol·lari (Continuıtat per generacio)Totes les funcions elementals simples (polinomis, trigonometriques,exponencials,. . . ) i les seves combinacions (sumes, productes,composicions,. . . ) son contınues dins del seu domini de definicio.


Exemple (Continuıtat per generacio)

f (x) =ex sin x +

√ln(3 + x)− 1

x4 + sin2 xf es contınua si x compleix les seguents condicions:

1 ln(3 + x) ≥ 1 ⇐⇒ 3 + x ≥ e ⇐⇒ x ≥ e− 3 per tal que estiguiben definida l’arrel quadrada.

2 x 6= 0 per tal que no s’anul·li el denominador.Per tant, f es contınua en el seu domini:

x ∈ Df = [e− 3,+∞) \ {0}

(En x = 0 tenim limx→0

f (x) =

√ln(3)− 1

0+= +∞ i per tant 6 ∃ lim

x→0f (x)

i f te doncs una singularitat essencial en x = 0 .)


Tipus de discontinuıtats

Suposem que c es un punt de discontinuitat de f : (a,b)→ R.Llavors c ha de ser d’un dels seguents tres tipus:

(i) Discontinuıtat evitable: ∃ limx→c

f (x) = L ∈ R pero f (c) 6= L

Existeix el lımit L pero no coincideix amb el valor de f en c.Si re-definim el valor de f en el punt c per f (c) := L la novafuncio f sı que es contınua en c .

(ii) Discontinuıtat de salt:

∃ limx→c+

f (x) = L+ i ∃ limx→c−

f (x) = L− pero L+ 6= L−

Existeixen (i son finits!) els lımits laterals de f pero difereixen.(iii) Discontinuıtat asimptotica: 6 ∃ lim

x→c+f (x) o be 6 ∃ lim

x→c−f (x)

Quan no existeix almenys un dels dos lımits laterals. (Inclou elscasos en que algun dels dos lımits es ±∞ . Llavors direm que fte una asımptota vertical en x = c , que pot ser per la dreta,l’esquerra o pels dos costats.)


Exemple (Discontinuıtat evitable)

f (x) =

{x sin(1/x), si x 6= 01, si x = 0

}Escrivim f (x) = x︸︷︷︸

k(x)

sin(1/x)︸︷︷︸m(x)

on:

limx→0

k(x) = limx→0

x = 0, |m(x)| = | sin(1/x)| ≤ 1, ∀x 6= 0.

f (x) es el producte d’una funcio acotada m(x) per una k(x) quetendeix a zero quan x → 0 . Pel corol·lari del teorema de l’encaix:∃L = limx→0 f (x) = 0 . Com que f (0) = 1 6= 0 = L =⇒ f te unasinguaritat evitable en c = 0 .


Exemple (Discontinuıtat de salt: La funcio part entera E(x) )E(x) = bxc = max{n ∈ Z : n ≤ x} (La part entera de x es l’entermes proper a x entre tots els enters n mes petits o iguals que x .)P.ex. E(0) = 0 , E(3) = 3 , E(−2) = −2 , E(2.3) = 2 , E(−2.5) = −3 .• Si triem, p. ex., c = 2 :

∃L+ = limx→2+

E(x) = 2, ∃L− = limx→2−

E(x) = 1.

Per tant L+ 6= L− =⇒ E(x) te una discontinuıtat de salt en c = 2 .(Es clar que E(x) te una discontinuıtat de salt en c = n , ∀n ∈ Z. )


Exemple (Discontinuıtats asimptotiques)6 ∃ lim

x→0sin(1/x) =⇒ sin(1/x) te singularitat asimptotica en c = 0.

L− = limx→0−

1x3 = −∞, L+ = lim

x→0+

1x3 = +∞ =⇒ 1

x3 te una

singularitat asimptotica en c = 0.L− = lim

x→(π2 )−

tan(x) = +∞, L+ = limx→(π2 )

+tan(x) = −∞ =⇒

tan(x) te una singularitat asimptotica en c = π2 .

(De fet te singularitat asimptotica en c = π2 + nπ , ∀n ∈ Z .)

L− = limx→0−

e1/x = 0, L+ = limx→0+

e1/x = +∞ =⇒ e1/x te una

singularitat asimptotica en c = 0.


Teoremes valor intermedi i de Bolzano

Teorema (del valor intermedi)f : [a,b]→ R contınua i tal que f (a) 6= f (b).Llavors, per a qualsevol valor k ∈ R que estigui entre f (a) i f (b)existeix almenys un c ∈ (a,b) tal que f (c) = k.

Comentaric “existeix” pero el mes probable es que no sapiguem dir qui es.c no te perque ser unic. Si volem garantir que c es unic hemd’estudiar la grafica de f . Per exemple, si f es estrictamentcreixent o decreixen llavors segur que c es unic.

Corol·lari (Teorema de Bolzano)f : [a,b]→ R contınua i tal que f (a) · f (b) < 0 (aixo es, f tealmenys un canvi de signe en l’interval [a,b] ).Llavors, existeix almenys un c ∈ (a,b) tal que f (c) = 0 .


Exemple (Teorema valor intermedi)

En la figura de l’esquerra veiem que hi ha tres possibles valorsper c que en aplicar f van a parar al mateix k .En la figura de la dreta veiem que si f no es contınua llavors elresultat no te perque ser cert: no existeix cap valor per c ∈ (a,b)tal que f (c) = k .


Exemple (Tot polinomi de grau tres te almenys un zero real)

p(x) = x3 + ax2 + bx + c a,b, c ∈ R

(Normalitzem p(x) perque el seu coeficient dominant sigui 1.)p(x) es una funcio contınua en tot R

p(x) = x3 ·(

1 +ax

+bx2 +

cx3

)lim

x→+∞p(x) = +∞ =⇒ si x > 0 es prou gran p(x) > 0

limx→−∞

p(x) = −∞ =⇒ si x < 0 es prou “negatiu” p(x) < 0

p(x) te almenys un canvi de signe en RPer Bolzano p(x) te almenys un zero en R

ObservacioSi p(x) es un polinomi de grau senar qualsevol, llavors el mateixresultat tambe es cert.


Metode de la biseccio per aproximar zeros de funcions

• Configuracio inicial:f : [a,b]→ R funcio contınua verificant f (a) · f (b) < 0(per Bolzano f te almenys un zero α en l’interval (a,b))

• Un pas del metode de la biseccio:

Calculem c =a + b

2punt mig de l’interval [a,b] i avaluem f (c)

Cas 1: f (c) = 0 llavors α = c es un zero de f Fi!!!

Cas 2: sgn (f (c)) = sgn (f (a)) =⇒ f canvia de signe en [c,b]

Nova configuracio inicial: f : [c,b]→ R amb f (c) · f (b) < 0

Cas 3: sgn (f (c)) = sgn (f (b)) =⇒ f canvia de signe en [a, c]

Nova configuracio inicial: f : [a, c]→ R amb f (a) · f (c) < 0

• Apliquem un altre pas del metode a la nova configuracio inicial:Tant en el Cas 2 com en el Cas 3 α pertany al sub-interval triat.


ComentariDespres de cada pas del metode de la biseccio, es dividideix perdos el tamany de l’interval que conte el zero α.

Despres de n passos el tamany de l’interval esb − a

2n .

Avantatge: El metode de la biseccio funciona sempre.Inconvenient: Es un metode molt lent! Si volem calcular αamb un error mes petit que ε hem de fer n passos per tal que:

b − a2n < ε ⇐⇒ 2n >

b − aε

⇐⇒ n >ln((b − a)/ε)

ln(2)

Si volem p xifres decimals correctes cal triar ε = 10−p.Per tant, cal fer n passos del metode amb:

n >ln(10p × (b − a))

ln(2)


Exemple ( f (x) = 2 cos(x)− 3x )Useu el metode de la biseccio per calcular el zero de f (x) enl’interval [a,b] = [0,1] amb una precissio de dues xifes decimals.

f es contınua en tot R .f (0) = 2 > 0 & f (1) = 2 cos(1)− 3 ' −1.92 < 0f te almenys un canvi de signe en [0,1] i per Bolzano tealmenys un zero en [0,1] .(De fet, f ′(x) = −2 sin(x)− 3 ≤ −1 < 0 i f es decreixent en totR i per tant com a molt f pot tenir un zero.)Si volem calcular el zero amb el metode de la biseccio amb duesxifres decimals exactes cal fer n passos de manera quel’interval final tingui tamany menor que ε = 10−p = 10−2 .

n >ln(10p × (b − a))

ln(2)=

ln(102 × (1− 0))

ln(2)' 6.64

Cal fer almenys n = 7 passos. En fem nomes els dos primers.


• Pas 1 metode biseccio: L’interval inicial es [a,b] = [0,1]

a = 0 =⇒ f (a) = 2 > 0, b = 1 =⇒ f (1) ' −1.92 < 0

c1 =a + b

2=

0 + 12

= 0.5 =⇒ f (c1) ' 0.26 > 0

sgn (f (c1)) = sgn (f (a)) =⇒ el nou interval es [c1,b] = [0.5,1]


• Pas 2 metode biseccio: Ara l’interval es [c1,b] = [0.5,1]

c1 = 0.5 =⇒ f (c1) ' 0.26 > 0, b = 1 =⇒ f (1) ' −1.92 < 0

c2 =c1 + b

2=

0.5 + 12

= 0.75 =⇒ f (c2) ' −0.79 < 0

sgn (f (c2)) = sgn (f (b)) =⇒ nou interval [c1, c2] = [0.5,0.75]


jordi villanueva · continu¨ıtat jordi villanueva departament de matematiques` universitat...

Documents