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TECNOLOGICO DE ESTUDIOS SUPERIORES DEL ORIENTE DEL ESTADO DE MÉXICO Matemáticas I (Unidad I, II, III y IV) Autor: Luis Ignacio Sandoval Paéz Los Reyes la Paz, Edo. De México, a 4 de Julio del 2005

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INDICE UNDAD I Funciones 1.1 Introducción 1.1.1 Qué entendemos por Economía 1.2 Modelación matemática 1.3 Aplicación a las Ciencias Económicas 1.4 Expresión analítica de un modelo económico 1.5 Funciones lineales 1.6 Funciones Cuadráticas 1.6.1 Desplazamiento de la oferta 1.7 Ejercicios de ecuaciones cuadráticas y cúbicas 1.8 Construcción de ecuaciones no lineales 1.8.1 Ejercicios de construcción de funciones no lineales UNIDAD II Límites y Continuidad

2.1 Límite de una función en un punto. Propiedades.

2.2 Límites en el infinito. Asíntotas de una curva.

2.3 Cálculo de límites.

2.4 Función continúa en un punto y en un intervalo.

2.5 Operaciones con funciones continuas.

2.6 Discontinuidades.

2.7 El Teorema del valor medio de Bolzano y el teorema de existencia de extremos absolutos de Weierstrass.

2.8 Problemas.

UNIDAD III DERIADAS

Definiciones de la Derivada

DERIVADA DE UNA FUNCION EN UN PUNTO

Operaciones con funciones

REGLA DE LA CADENA

Derivada de un cociente de funciones

3 FUNCIONES TRIGONOM. INVERSAS Unidad IV

Aproximaciones polinomiales, sucesiones y series infinitas (en esta unidad se anexa, el archivo en HTML)

4.1 Introducción

4.2 Justificación y Objetivo

4.3 Aproximaciones polinomiales mediante la formula de Taylor

4.4 Sucesiones 4.5 Series infinitas de términos positivos 4.6 Series infinitas de términos positivos y negativos 4.7 Series de potencias

4.8 Diferenciación e integración de series de potencias

4.9 Series de Taylor

4.10 Serie de potencias para logaritmos naturales y serie binomial

4.11 Conclusiones

Anexo 1

Solución a los problemas propuestos.

Bibliografía

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FUNCIONES. El capítulo que se presta, de manera natural, para comenzar a presentar ejemplos relacionados con las materia de actuaría, economía, etc. es el de funciones, por lo que es el que aparece en primer lugar. UNIDAD I Funciones Económicas 1.1 INTRODUCCIÓN 1. Modelación matemática En esta sección trataremos de introducir al alumno en conceptos elementales de economía, para luego a partir de la definición de función, poder desarrollar los problemas de aplicación matemática a las ciencias económicas.

• 1.1.1 Qué entendemos por Economía?

En una sociedad, los individuos tomados tanto en forma aislada como en su conjunto, tienen necesidades materiales (vivienda, alimentación, etc.) y no materiales (salud, recreación, etc.).Pero, cómo las satisfacen si cuentan con recursos que son escasos o limitados?. El camino es el de realizar actividades productivas. En ese marco vamos a definir a la Economía como la ciencia que se encarga de distribuir en forma conveniente los recursos escasos de una sociedad, con el objeto de producir bienes que permitan satisfacer directa o indirectamente los deseos o necesidades de los individuos. Los economistas son los encargados de encontrar las respuestas al problema que surge entre deseos y necesidades ilimitadas, frente a recursos que son escasos. Para intentar entender como funcionan estas relaciones utilizaremos modelos matemáticos.

• 1.2 Modelación matemática Los antiguos griegos fueron los primeros en tratar de comprender la naturaleza a partir de un análisis lógico. Aristóteles desarrolló la teoría que el mundo no era plano sino esférico, la que fue demostrada por Eratóstenes sin moverse un solo paso de Alejandría. Pero, cómo lo hizo?. A través de suposiciones y simplificaciones creó el contexto matemático en el cual pudieron aplicarse los principios de la geometría que le permitieron encontrar una medida equivalente a la circunferencia de la tierra.

Actualmente científicos y técnicos buscan representar la realidad en términos matemáticos, y es a este proceso al que denominaremos "modelación matemática".

• 1.3 Aplicación a las Ciencias Económicas:

En relación a esta sección que estamos desarrollando, el objetivo no es el de formar economistas, sino que pretendemos sirva de ayuda para enseñar matemática desde una perspectiva de las ciencias económicas. En Economía se plantean los problemas de tal modo que puedan responderse matemáticamente, y que dichas respuestas puedan generalizarse.

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Entendemos por modelo a la simplificación y abstracción de la realidad, donde se identifican variables Económicas y parámetros, a partir de los cuales se postulan relaciones entre ellas en forma de leyes o teorías. Cuánto más sencillo sea el modelo económico propuesto, más fácil será usarlo para dar respuestas de tipo general. La validez del mismo dependerá de la validez de las consecuencias que de él se deducen Como no es posible controlar todas las variables, es frecuente introducir la condición de "ceteris paribus" , que nos permite suponer que todas las variables se mantienen constantes temporariamente, excepto la que estamos estudiando, y quiere decir: "Si todo lo demás no cambia". Por ejemplo, cuando analizamos como varía la demanda de la carne de vaca al variar su precio, estamos dejando de considerar otros factores que influyen en la toma de decisión del consumidor como son el precio de productos substitutos (carne de pollo o de pescado); el gusto o preferencia de los consumidores por otras carnes; y la renta del consumidor en el mismo período de tiempo. Ningún valor describe toda la información requerida, ya que la cantidad demandada de carne de vaca dependerá entre otras cosas de su precio.

• 1.4 Expresión analítica de un modelo económico

En este curso nos referiremos a los modelos económicos, que serán las herramientas para entender la realidad en forma simplificada, esquemática y aproximada. Su expresión analítica se realiza a través de una o varias funciones que nos indican las relaciones existentes entre las variables. En el desarrollo de este curso trataremos modelos económicos simples, formados en su mayoría por una sola función que relaciona dos variables. Así hablamos de la "Función Oferta" , donde las cantidades ofrecidas de un bien dependerán del precio del mismo, o de la "Función Demanda" , donde las cantidades demandadas de un bien también dependerán de su precio. Analicemos la Demanda de un determinado bien A:

Precio de A (p) Cantidad comprada de A (d) 20.000 1 10.000 3

Función Lineal de Demanda del bien A

q: Cantidad demandada del bien A

p: Precio del bien A

Cantidad demandada = f(precio del mercado)

La gráfica de la curva de demanda nos muestra las cantidades del bien A que serán demandadas durante un período de tiempo para cada posible precio. En

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el análisis no incluimos ni precio de los bienes substitutos de A, ni gusto de los consumidores, ni su renta.

Cada punto de la curva de coordenadas (qA,pA

• Funciones Económicas

), nos muestra como se relacionan las variables precio y cantidad bajo la condición de "ceteris paribus" .

Para expresar un modelo económico utilizaremos el concepto matemático de función, entendiendo por tal a la relación de dependencia entre variables económicas. En Economía las funciones pueden adoptar tanto formas teóricas muy complejas, como muy simples. En este curso trabajaremos con funciones económicas de una sola variable y principalmente de tipo lineal y cuadrática. Respecto del Dominio y del conjunto de las imágenes, haremos algunas consideraciones al definirlos, ya que los valores que asumen las variables deben tener sentido económico, y como tal estarán restringidos a números reales positivos. Si nos referimos a precios o cantidades no podremos hablar de valores negativos, por ejemplo producir (-5) autos, o vender un bien a (-100) pesos carece de sentido. Las funciones económicas se grafican en el primer cuadrante de un sistema de coordenadas cartesianas FUNCION ECONOMICA: f : R0

+ --> R0+ es una función contínua y biyectiva,

con dominio y codominio en los número reales no negativos, que representa a un modelo económico.

• 1.5 Funciones lineales

La función lineal es la más simple dentro de las formas que puede adoptar una relación entre variables económicas, pero desempeñan un importante papel en la formulación de los problemas económicos.

Una función lineal tiene la forma general

Donde a y b son números reales, el coeficiente a es la pendiente de la recta que representa a la función y siempre es distinta de cero, el término independiente b es la ordenada al origen, que gráficamente representa la intersección de la recta con el eje de las ordenadas en el punto de coordenadas (0,b).

La variable independiente es x, a la cual le asignamos valores para obtener y.

Estas funciones se caracterizan porque un cambio unitario en la variable independiente (x), provoca un cambio proporcional en la variable dependiente (y). La tasa de cambio está representada por la constante a.

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Analicemos la relación funcional que existe entre la venta domiciliaria de teléfonos celulares, y el sueldo del vendedor: (función ingreso)

donde "y" es el sueldo del vendedor, y "x" es la cantidad de teléfonos vendidos.

Estamos frente a una función lineal, cuya representación gráfica es:

Podemos observar:

1. Es función creciente

2. Al aumentar el número de teléfonos vendidos, aumenta el sueldo del vendedor.

3. D (f) = R0+ , Rango (f) =

En otras ramas de las ciencias también se utilizan las funciones lineales, Por ejemplo:

Distancia recorrida por un móvil sobre un camino recto a velocidad constante, en función del tiempo (Movimiento rectilíneo uniforme)

Ley de enfriamiento de Newton. La velocidad de enfriamiento de un cuerpo está en función de la temperatura del cuerpo, por encima de la temperatura ambiente.

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Longitud de la circunferencia en función del radio.

Unidad de riego en función de la superficie.

Veamos un ejemplo de función lineal aplicado al Comercio Exterior. Ejemplo

Según la Subsecretaría de Comercio Exterior de una región A, se exportaron (en miles de dólares), durante el período comprendido entre 1993 y 1997, los valores que se indican en la siguiente tabla: Año (x) 1993 1994 1995 1996 1997

Exportaciones (y) 1640 1763 1875 1987 2006 Gráfico 1: Graficamos los puntos en un sistema de coordenadas cartesianas:

Gráfico 2: En el siguiente gráfico mostramos la línea recta que se ajusta mejor (en cierto sentido) a la nube de puntos que aparecen en el gráfico anterior. La línea recta se denomina línea de regresión, y está dada por: Coeficiente de Correlación: 0.976168 Y = 94.4x -186474.99924

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La Comisión Ballenera Internacional formuló en 1960 la relación lineal que existe entre la longitud L (en pies) y el peso esperado W (en toneladas británicas) de las ballenas azules adultas.

Ejemplo 2

W = 3,15 L - 192 Si representamos gráficamente en un sistema de coordenadas cartesianas, obtenemos:

La representación gráfica de las funciones permite reconocer rápidamente la relación que existe entre las variables, detectar situaciones claves, formular distintos modelos y compararlos.

Representación gráfica

Se pueden realizar dos tipos de gráficos según la información que se vuelque en ellos: 1. Representar gráficamente la relación que liga a las variables en forma empírica. Retomando el ejemplo de las exportaciones (ejemplo 1), volcamos los datos de la tabla en un sistema de coordenadas cartesianas. Gráfico 1: Cada punto del gráfico representa un par ordenado (x, y), cuya primera componente corresponde al año en que se realizaron las exportaciones, y la segunda a los miles de dólares exportados en ese año. Gráfico 2: Luego se busca y se grafica la línea recta que se ajusta mejor (en cierto sentido) a la nube de puntos que aparecen en el gráfico. La línea recta se denomina línea de regresión, y está dada por: Y = 94.4x -186474.99924 Coeficiente de Correlación: 0.976168 2. Se grafica la relación teórica dada por la función Para un determinado valor de x, se obtiene el valor de y. Bastará graficar solo dos puntos, unirlos por medio de una curva continua, y obtenemos la recta que representa a la función lineal sobre la que se trabaja. En el ejemplo 2, que corresponde al peso y longitud de las ballenas, y tomamos el punto P (100; 113) y el punto Q (150; 270,5), los unimos y obtenemos la gráfica de la relación. 3. Otra forma de obtener la misma gráfica, es a través de la pendiente y la ordenada al origen. Para la función lineal

Y = La ordenada al origen (b) es 6, y gráficamente está representado por el punto en que la recta corta al eje de las ordenadas, punto de coordenadas ( 0,6). La pendiente de la recta (a) está dada por el valor 2.

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En cuanto a la representación gráfica, la inclinación que adopte la recta dependerá del valor de la pendiente, y de la escala a la que le representen las magnitudes utilizadas.

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Ejercicio 1 El gráfico muestra el precio de la hierba molida entre los años 1970 y 1990. Indique los períodos en los que la función crece, decrece o es constante.

a) ¿En qué período creció más rápidamente el precio de este producto? b) ¿En qué período disminuyó más rápidamente el precio del mismo? En ambos casos, fundamente su respuesta. Indique cuál es la variación del precio en cada caso: c) Entre 1977 y 1978. d) Entre 1972 y 1973. e) Entre 1989 y 1990. Solución:

La función crece: 1971-72; 1973-74; 1975-77; 1979-80; 1982-84; 1986-87; 1989-90.-

La función decrece: 1970-71; 1974-75; 1977-79; 1980-82; 1984-86; 1987-1989.-

Permanece constante sólo de 1972-73.-

a) El precio de la hierba molida creció más rápidamente en el período 1986-87.- Porque la pendiente es positiva (m > 0) y su valor numérico es aproximadamente 17.300.

b) El precio de la hierba molida disminuyó más rápidamente en el período 1988-89.- Porque la pendiente es negativa (m < 0) y su valor numérico es aproximadamente (-16.500).

c) De 17.400 a 16.000

d) No hubo variación.

e) De 8.500 a 10.000

Ejercicio 2 En el siguiente gráfico les mostramos cómo varía el precio por minuto de las llamadas de larga distancia en función de la distancia a partir del 1/01/98.

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Analice el gráfico y encuentre la regla de definición del precio de las llamadas en función de las distancias.

Solución: La función graficada es discontinua porque:

Ejercicio 3 Desde el comienzo del año, el precio de los bizcochos de grasa del mercado Santa Catalina, ha subido a una tasa constante de 2 centavos por mes. El 1 de Julio, el precio había alcanzado $1,20 el kg. Exprese el precio del bizcocho como una función del tiempo y determine el precio a principio de año. Solución: Teniendo en cuenta la ecuación de la recta que pasa por un punto y su pendiente es conocida, hacemos:

Al principio de año el precio era de 1,08.

Ejercicio 4 Los alumnos de los 8º años del Instituto Santa Rita organizaron una excursión a las Cataratas del Iguazú. La empresa ÑACANINÁ les cobra $100 por persona si viajan 50 alumnos; les hace una rebaja de $1 por persona por cada alumno que exceda de los 50. Además, acepta que viajen 90 alumnos como máximo y no lo organiza si viajan menos de 50. ¿Cuántos alumnos tienen que hacer la excursión para que la empresa de turismo realice el mejor negocio? Solución:

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Cantidad de alumnos

Precio por persona (en $)

Precio total (en $)

50 100 50 × 100 50+1 100-1 (50+1)(100-1) 50+2 100-2 (50+2)(100-2) 50+3 100-3 (50+3)(100-3) 50+x 100-x (50+x)(100-x)

La expresión recuadrada corresponde a una función cuadrática en la que x representa el número de alumnos que exceden los 50 previstos para realizar el viaje y que no debe exceder en 40; es decir, y como queremos averiguar el mayor precio total que puede cobrar la empresa de turismo por la excursión se busca el máximo valor de f.

Las raíces de la función serán halladas considerando (50+x)(100-x)=0 donde

x1=-50 y x2=100 por lo tanto y la ordenada del vértice

Por lo tanto, para que la empresa de turismo realice el mejor negocio, tienen que hacer la excursión 50 + 25 = 75 alumnos. 1.6 Funciones Cuadráticas

En un sondeo de opiniones, se les preguntó a los proveedores de un determinado producto sobre las cantidades que están dispuestos a ofrecer en relación a distintos precios.

Oferta

Los datos obtenidos se volcaron en la tabla siguiente:

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Precio (p) Cantidad ofrecida(q)

10 95

20 395

30 895

A partir de los datos recolectados se obtuvo la ecuación de la oferta

q = p2

- 5

Si consideramos los valores del dominio que tienen sentido económico,

definimos a la oferta como una función biyectiva con raíces . Descartamos x2, y el Dominio restringido de la función Demanda será

Los vendedores estarán dispuestos a colocar sus productos en el mercado a

precios superiores a ( ). Por debajo de dicho valor, no habrá productos en el mercado.

Para poder graficar buscamos su función inversa, representamos a la variable independiente precio en el eje vertical, y la variable dependiente cantidad en el eje horizontal como acuerdan los economistas.

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Para reflexionar:

1. Cuál es el Dominio de la función Oferta, y cuál el Dominio restringido ?. Compárelos.

2. Cuál es la cantidad ofrecida del bien a un precio p = 28 ? 3. Habrá oferentes para un precio de $2 por unidad? Justifique. 4. A partir de que precio los vendedores están dispuestos a colocar sus

productos en el mercado? 5. Es una función creciente o decreciente? Interprete este concepto desde

el punto de vista económico.

1. El dominio de la función Oferta es el conjunto formado por los números reales positivos incluidos el cero.

Dominio restringido, se refiere a los posibles valores que puede tomar la variable independiente con un sentido económico.

Para precios inferiores a , las cantidades ofrecidas son negativas, y la expresión no tiene sentido económico.

Si

Relación de inclusión:

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2. . Para un precio de $ 28, se ofrecerán 779 unidades del bien.

3. , y una cantidad negativa carece de sentido económico.

4. A partir de un precio p + los productores estarán dispuestos a colocar sus productos en el mercado.

5. La oferta es una función creciente en los rangos restringidos, a medida que aumenta el precio aumentan las cantidades ofrecidas por los productores en el mercado.

1.6.1 DESPLAZAMIENTO DE LA OFERTA Al igual que en la demanda, cuando se produce un cambio en el precio, se produce un movimiento a lo largo de la curva de oferta.

Pero cuando se cambian las otras variables o factores que consideramos constantes, cambia el parámetro y la oferta se desplaza a la derecha o a la izquierda. Las otras variables que influyen en la oferta son:

Tecnología

Un cambio tecnológico produce un desplazamiento de la oferta a la derecha, a los mismos precios se puede ofrecer más cantidad.

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El costo de producción

Si disminuye el costo de producción (p. ej. si baja el interés bancario que los productores pagan por los créditos bancarios o baja el salario de los trabajadores) a los mismos precios se ofrecerá más cantidad y la oferta se desplaza a la derecha. Si por el contrario, aumentan los costos, se ofrece menos cantidad y la oferta se desplaza a la izquierda.

El precio de otros bienes

Cuando aumenta el precio de la hierba, disminuye la oferta de té, debido a que son productos de oferta rival porque compiten por los mismos factores de producción: la tierra. Así también, si aumenta el precio de la carne, aumenta la oferta de cueros ya que los dos productos son de oferta conjunta; derivan del mismo proceso productivo.

Pueden influir otros factores que hay que analizar en cada caso particular.

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Ejercicio 1

Con las encuestas realizadas en la Provincia de Misiones, que fueron administradas a los proveedores de cubrecamas de primera calidad, se llegó a la conclusión que la función oferta tiene la siguiente forma cuadrática: O = 1/2 p

2 - 200

Interpretar el significado de las intersecciones con los ejes

siendo O: cantidades ofrecidas (en miles) y p es el precio en pesos.

x e

¿Cuál sería el dominio restringido de la función oferta?

y (

primer cuadrante)..

Si el precio de los cubrecamas es de $40, ¿cuál sería la cantidad ofrecida?

Graficar.

a) La gráfica de la función corta al eje "x" en p = 20 y p = -20, se descarta p =-20 (porque no existen precios negativos); corta al eje "y" en el punto (0;-200). Este punto no tiene sentido económico porque "q" tiene que ser mayor o igual que cero.

b) c)

d)

Ejercicio 2

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La función Oferta de bolsos deportivos marca "Yaguareté" está dada por:

,

a) Trazar la curva.

donde p representa el precio (en pesos) de cada bolso y q la cantidad que el fabricante ofrecerá. semanalmente (en cientos).

b) a partir de qué precio el fabricante ofrecerá su producto? c) ¿Cuál es la cantidad ofrecida por el fabricante cuando el precio del bolso es de $40?

a)

b) $18. c) 331 bolsos. 1.7 EJERCICIOS DE ECUACIONES CUADRÁTICAS y CÚBICAS Primero hay que acostumbrar a los alumnos en el manejo de expresiones cuadráticas y cúbicas mediante ejemplos que han manejado desde la infancia. 1. Calcula el área y volumen de una caja de medicamento, si el largo es de 9.5 cm., el ancho de 4.3 cm y la altura de 1.5 cm.

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2. Calcula el área y el volumen de una caja de dulces sin tapa, si el largo es de 12 cm, el ancho de 10 cm y la altura de 2.5 cm.

3. Calcula el área de un cilindro recto, si su volumen es de 450 cm3 y tiene como diámetro 10 cm.

4. Una lata de conservas para alimento tiene la forma cilíndrica de 14 cm2 de altura y 8 cm de diámetro. Calcula el área y el volumen.

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5. El volumen de una lata de verduras en conserva de forma cilíndrica es de 530 , si la altura es de 10.5 cm, calcula el radio (R) y diámetro (D) de la base.

6. Calcula el área (A) y volumen (V) de la esfera, si tiene como radio 25 cm.

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7. Encuentra el valor del radio en una esfera, si el volumen es 160.

1.8 CONSTRUCCIÓN DE ECUACIONES NO LINEALES

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EJEMPLOS: 1. Se desea construir un tanque horizontal de acero para almacenar gas propano, que tenga forma de cilindro circular recto de 10m de largo con una semiesfera en cada extremo. El radio r no esta aun determinado. Construir una ecuación no lineal que determine el volumen del depósito de gas, donde la variable independiente (incógnita) es la r.

SOLUCION: En la figura se tiene un croquis del tanque. El volumen de la parte cilíndrica del tanque puede calcularse multiplicando la longitud del cilindro por el área pi r2

de la base del cilindro. Esto da:

Volumen del cilindro = 10(Pi r2) = 10pi r2

.

Los dos extremos semiesféricos forman juntos una esfera de radio r. Usando la formula para el volumen de una esfera, obtenemos: Volumen de los dos extremos = 4/3 pi r3

.

Por lo tanto, el volumen V del tanque es: V = 4/3 pi r3 + 10pi r2

.

Esta formula expresa V como una función de r. Se puede factorizar y escribir: V = 1/3 pir2

(4r + 30).

10 r

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2. Dos barcos zarpan al mismo tiempo del puerto. Uno viaja al oeste a 17 mi/h y el otro hacia el sur a 12 mi/h. sea t el tiempo (en horas) después de la salida. Expresar la distancia d entre las embarcaciones como una función t (t es la incógnita).

SOLUCION: Para visualizar el problema, se traza un diagrama como en

el de la figura y se asignan literales a las distancias. Por el teorema de Pitágoras,

d2 = a2 + b2 o bien d = a2 + b

2

Como distancia = (velocidad) (tiempo) y las velocidades son 17 y 12, respectivamente, a = 17t y b = 12t.

Sustituyendo en d = a2 + b2

obtenemos:

d = (17t)2 + (12t)2 = 433t2

o bien d = 433 t

La ecuación anterior expresa aproximadamente d como función de t.

1.8.1 EJRCICIOS DE CONSTRUCCIÓN DE FUNCIONES NO LINEALES INSTRUCCIÓN: Escribe la ecuación cuadrática con una incógnita que resuelve cada uno de los siguientes problemas. La ecuación no debe resolverse, solamente es preciso obtener el modelo matemático. 1. Si se desea construir una caja sin tapa a partir de una hoja de cartón rectangular que tiene dimensiones 20cm x 30cm. Para ello se recortaran cuatro cuadros idénticos de are x2, uno en cada esquina se doblaran hacia arriba los

d

a

b

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lados resultantes (véase la figura). Construir la ecuación que exprese el volumen V de la caja como una función de x.

2. Un pequeño edificio de oficinas esta construido sobre un área de 46m2

. el plano del piso se muestra en la figura.

a) Exprese la longitud y del área del edificio como una función del ancho x.

b) Suponiendo que el costo de las paredes es de $100 (dólares), el metro lineal, exprese el costo C de las paredes como una función del ancho x. (Desprecie la porción de pared sobre las puertas.)

3. Un globo de aire caliente se suelta a la 1 p.m. y se eleva verticalmente a razón de 2 m/s. un punto de observación esta situado a 100m del punto en el suelo que se encuentra ubicado directamente abajo del globo. Sea t el tiempo (en segundos) transcurrido a partir de la 1 p.m. Exprese la distancia d del globo al punto de observación como una función de t.

20

?

?

?

?

x

30

x

x

x x

3 90cm.

Sala de espera Oficina

y

x

26

4. La figura muestra las instalaciones de un equilibrista en el alambre. La distancia entre los postes es de 16m, pero aun no se ha determinado la altura del punto de amarre P.

a) Exprese la longitud L como una función de la altura x del punto P. b) Determine la altura del punto de amarre P suponiendo que el alambre

o cuerda tiene una longitud de 24m.

4. Desde un punto exterior P que se encuentra a h unidades de una circunferencia de radio r, se traza una tangente a la circunferencia (véase la figura). Sea y la distancia del punto P al punto de tangencia T.

a) Exprese y como una función de h. (sugerencia: si C es el

centro de la circunferencia, entonces PT es perpendicular a CT.)

b) Sea r el radio de la tierra y h la altitud de un trasbordador espacial. Se puede deducir una formula para la distancia máxima y (desde la tierra) a la que un astronauta puede ver desde el trasbordador. Calcule y aproximadamente suponiendo que h = 200 millas y r = 4000 millas.

Punto de observación 20

x

16 m.

P

Alambre

60 cm.

T

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5. Un hombre se encuentra en un bote a 2 millas del punto mas cercano A de la costa, que es recta, y desea llegar a una casa que se encuentra en un punto B de la citada costa, a 6 millas (mi) de A (véase la figura). El hombre piensa remar hasta un punto P entre A y B que se encuentra a x millas de la casa y luego caminar a 5 mi/h, exprese el tiempo total de T que le tomara llegar a la casa, como una función de x.

6. En al figura se muestran las posiciones relativas de un avión una torre de control de 20 pies de alto. El principio de la pista se encuentra a una distancia de 300 pie de la base de la torre, sobre la perpendicular. Exprese la distancia d de la aeronave a la torre de control como una función de la distancia x que el avión ha recorrido sobre la pista.

C h r

P

y

6 mi

x

B P

A 2 mi

20

d

x

300

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7. Un cilindro circular recto de radio r y altura h esta inscrito en un cono de altura 12 y radio de la base 4, como se ilustra en la figura.

a) Exprese h como una función de r (sugerencia: use triángulos semejantes.)

b) Exprese el volumen V del cilindro como una función de r.

INSTRUCCIÓN: Escribe la ecuación cuadrática con una incógnita que resuelve cada uno de los siguientes problemas. La ecuación no debe resolverse, solamente es preciso obtener el modelo matemático. 1. La base de un rectángulo equivale al triple de su ancho. Calcula las dimensiones del rectángulo si se sabe que su área es de 675 cm. 2. 2. El producto de dos números es 70 y sumados dan 17. Determina cuáles son esos dos números. 3. Juan es 6 años mayor que Víctor. Si se multiplican sus edades el resultado es 160. ¿Cuál es la edad de cada uno si x es la edad de Víctor? 4. Una persona parte de la ciudad A hacia el sur caminando a una velocidad de 3 Km./h. Al mismo tiempo otra persona parte de B, que dista de A 26 Km., con una velocidad de 2 km/h y en dirección hacia A (dirección de Este a Oeste). ¿En qué tiempo se encontrará una persona a 26 km de la otra? 5. José hace un trabajo en 7 horas menos que las que requiere Antonio para realizarlo. ¿Cuánto tiempo tardaría cada uno de ellos si juntos lo pueden hacer en 12 horas? (Sea x el tiempo de Antonio.) Una compañía constructora quiere pintar la barda que delimita a la unidad recién construida, si dada litro

r

4

12

h

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INSTRUCCIÓN: Traza las gráficas de las cinco ecuaciones que determinaste anteriormente y localiza en ellas los valores que se piden en cada inciso. Después calcula los valores exactos algebraicamente para constatar los dos resultados, el gráfico y el algebraico. a)Si x = - 2, calcula y b)Si y = 9, calcula x

Límites y Continuidad

1. Límite de una función en un punto. Propiedades. 2. Límites en el infinito. Asíntotas de una curva. 3. Cálculo de límites. 4. Función continua en un punto y en un intervalo. 5. Operaciones con funciones continuas. 6. Discontinuidades. 7. El Teorema del valor medio de Bolzano y el teorema de existencia de

extremos absolutos de Weierstrass.

Objetivos Mínimos

• Conocer los conceptos de límite de una función en un punto (tanto finito como infinito) y de límite en el ± .

• Saber calcular límites de cocientes de polinomios. • Saber determinar las asíntotas verticales, horizontales y oblicuas de una

función. • Conocer el concepto de límite lateral y su relación con el de límite. • Conocer las propiedades algebraicas del cálculo de límites, los tipos

principales de indeterminación que pueden darse y las técnicas para resolverlas.

• Conocer el concepto de continuidad de una función en un punto, incluida la continuidad lateral, y, como consecuencias elementales, la conservación del signo y la acotación de la función en un entorno del punto.

• Saber donde son continuas las funciones elementales. • Conocer los distintos comportamientos de discontinuidad que pueden

aparecer y saber reconocerlos usando los límites laterales. • Saber determinar la continuidad de las funciones definidas a trozos. • Conocer el concepto de continuidad de una función en un intervalo y qué

significa eso en los extremos del intervalo. • Conocer el teorema del valor intermedio de Bolzano y su aplicación a la

localización de ceros de una función y al dibujo de gráficas de funciones que se cortan.

• Conocer el teorema de existencia de extremos absolutos de Weierstrass y, como consecuencia, que toda función continua en un intervalo cerrado y acotado está acotada y alcanza sus extremos.

2.1. Límite de una función en un punto. Propiedades.

30

LÍMITES El concepto de límite es la base fundamental con la que se construye el cálculo infinitesimal (diferencial e integral). Informalmente hablando se dice que el límite es el valor al que tiende una función cuando la variable independiente tiende a un número determinado o al infinito.

Definición de límite Antes de establecer la definición formal del límite de una función en general vamos a observar qué sucede con una función particular cuando la variable independiente tiende (se aproxima) a un valor determinado. Ejemplo:

En la tabla adjunta escribimos algunos valores para la variable independiente x, en el entorno de 2, y calculamos los valores correspondientes de la función f (x):

x f (x) Cuando x se aproxima a 2, tanto por la izquierda como por la derecha, tomando valores menores o mayores que 2, f (x) se aproxima, tiende, cada vez más a 3; y cuanto más cerca está x de 2, o lo que es lo mismo, cuando la diferencia en valor absoluto entre x y 2 es más pequeña asimismo la diferencia, en valor absoluto, entre f (x) y 3 se hace cada vez más pequeña. (Estas diferencias se muestran en la tabla inferior derecha). O sea, la función se acerca a un valor constante, 3, cuando la variable independiente se aproxima también a un valor constante.

1.9 1.99 1.999 1.9999 2.0001 2.001 2.01 2.1

2.61 2.9601 2.996001 2.99960001 3.00040001 3.004001 3.0401 3.41

|x - 2| | f (x) - 3|

|1.9-2| = 0.1 |1.99-2| = 0.01 |1.999-2| = 0.001 |1.9999-2| = 0.0001 |2.0001-2| = 0.0001 |2.001-2| = 0.001 |2.01-2| = 0.01 |2.1-2| = 0.1

|2.61-3| = 0.39 |2.9601-3| = 0.0399 |2.996001-3| = 0.003999 |2.99960001-3| = 0.00039999 |3.00040001-3| = 0.00040001 |3.004001-3| = 0.004001 |3.0401-3| = 0.0401 |3.41-3| = 0.41

De lo anterior se deduce intuitivamente que el límite de la función f (x) cuando x tiende a 2, es 3.

A) LIMITE EN UN PUNTO. A1) Límite finito: Se dice que la función y = f(x) tiene por límite l cuando x tiende hacia a, y se

representa por

(Es decir, que si fijamos un entorno de l de radio , podemos encontrar un entorno de a de radio , que depende de , de modo que para cualquier valor

31

de x que esté en el entorno E(a, ) exceptuando el propio a, se tiene que su imagen f(a) está en el entorno E(l, ).) A2) Límite infinito: (A partir de ahora usaremos la notación matemática para hacer más corta la definición).

B) PROPIEDADES DE LOS LÍMITES.

B1) siempre que no aparezca la indeterminación .

B2) con .

B3) siempre y cuando no aparezca la indeterminación .

B4) siempre y cuando no aparezcan las indeterminaciones

e .

B5) con , siempre y cuando tengan sentido las potencias que aparecen.

B6) siempre y cuando tengan sentido las potencias que aparecen y no nos encontremos con indeterminaciones de los

tipos . C) LIMITES LATERALES. C1) Límite por la izquierda:

C2) Límite por la derecha:

TEOREMA: Existe el límite si y solo si existen los limites laterales (por la derecha y por la izquierda) y ambos coinciden. (Demostración inmediata). TEOREMA: Si existe el límite, éste es único. (Demostración inmediata). Todo lo dicho anteriormente es también válido si consideramos que el límite vale en lugar de l.

2.2. Límites en el infinito. Asíntotas de una curva.

A) LIMITES EN EL INFINITO. A1) Límite finito.

A2) Límite infinito.

32

Todo lo referente a las propiedades de los límites vistas en la pregunta anterior es válido si escribimos en lugar de a. Hay casos que parecen indeterminaciones y no lo son realmente. B) ASÍNTOTAS DE UNA CURVA. B1) Asíntotas verticales.

Se dice que y = f(x) tiene una asíntota vertical en x=a si o alguno (o ambos) de los límites laterales vale . Es decir, puede haber asíntota vertical por la derecha, por la izquierda o por ambos lados. La posición de la curva respecto a la asíntota dependerá del signo de los límites laterales. Como ejemplo, determinar la asíntota vertical y su posición con respecto a la gráfica de la función

B2) Asíntotas horizontales.

Se dice que y = f(x) tiene una asíntota horizontal en y=b si . La asíntota puede aparecer cuando La posición de la gráfica de la función respecto a la asíntota vertical se determina estudiando si el signo de f(x) - b es positivo o negativo cuando . Como ejemplo, determinar la asíntota horizontal y su posición con respecto a la gráfica de la función

B3) Asíntotas oblicuas. Dada la función y = f(x), si se verifica que

a) b) c) entonces se dice que y = mx + h es una asíntota oblicua de dicha función para

. La asíntota puede aparecer cuando Para estudiar la posición de la gráfica de la función con respecto a la asíntota basta estudiar el signo de f(x)-(mx + h). Como ejemplo, determinar la asíntota oblicua y su posición con respecto a la gráfica de la función

2.3. Cálculo de límites.

A) INDETERMINACIÓN En la mayoría de los casos basta con efectuar las operaciones indicadas. Ejemplo.-

33

En otros casos, sobre todo en aquellos en que aparecen radicales, basta con multiplicar y dividir por la expresión radical conjugada. Ejemplo.-

B) INDETERMINACIÓN En la mayoría de los casos basta con efectuar las operaciones indicadas. Ejemplo.-

C) INDETERMINACIÓN Cuando solo aparecen funciones racionales, basta con descomponer factorialmente el numerador y el denominador. Ejemplo.-

En aquellos casos en que aparecen funciones irracionales (radicales), basta con multiplicar y dividir por la expresión radical conjugada. Ejemplo.-

D) INDETERMINACIÓN En la mayoría de los casos basta con dividir el numerador y denominador por la mayor potencia de x del denominador. Ejemplos.-

E) INDETERMINACIONES - - Para determinar estos límites tendremos en cuenta que:

de donde resulta que:

pudiendo aparecer otras indeterminaciones, que resolveremos por los métodos anteriores o por métodos que aprenderemos en temas posteriores. En el caso de la indeterminación podemos aplicar con mayor facilidad la siguiente igualdad:

Aplicar la igualdad anterior a la resolución del siguiente límite:

34

F) LIMITES DE FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS. En algunos casos podemos utilizar un límite muy conocido, que es:

Aplica lo anterior para resolver los siguientes límites:

(Usa la fórmula del sen(x/2)) En los casos anteriores puede ocurrir que aplicando lo dicho anteriormente no podamos resolver la indeterminación. Estos casos, al igual que en el apartado E), se resolverán en los temas siguientes aplicando la Regla de L'Hôpital.

2.4. Función continua en un punto y en un intervalo.

Diremos que la función y = f(x) es continua en x = a si:

a. Existe f(a), es decir, f(x) está definida en x=a.

b. Existe el .

c. Ambos valores coinciden, es decir .

Si tenemos en cuenta la definición de límite, podemos obtener la siguiente definición equivalente:

Diremos que y = f(x) es continua en el (a,b) si es continua en cada uno de los puntos del intervalo abierto (a,b).

Diremos que y = f(x) es continua por la derecha en x=a si .

Diremos que y = f(x) es continua por la izquierda en x=a si . Diremos que y = f(x) es continua en el [a,b] si:

a. y = f(x) es continua en el intervalo abierto (a,b). b. y = f(x) es continua por la derecha en x=a. c. y = f(x) es continua por la izquierda en x=b.

TEOREMA: Si y = f(x) es continua en x = a existe el . (La demostración es inmediata) Sin embargo, el teorema recíproco no es cierto en general. Como ejemplo comprobarlo para:

TEOREMA DE CONSERVACIÓN DEL SIGNO Sea y=f(x) una función continua en x=a siendo f(a) distinto de 0 existe un entorno de x=a en el que los valores de f(x) tienen el mismo signo que f(a). Demostración: Supongamos que f(a)>0 (si fuese negativo, se razonaría de modo similar).

Tomemos . Por la continuidad de y=f(x) en x=a se tiene que:

Es decir:

35

Por lo tanto: f(x)>0. (Como se quería demostrar) TEOREMA DE ACOTACIÓN DE LA FUNCIÓN Si y = f(x) es continua en x = a y = f(x) está acotada en un cierto entorno de x = a. Demostración: Tomemos . Por la continuidad de y = f(x) en x = a se tiene que:

de modo que es un intervalo acotado, por lo tanto y=f(x) está acotada en el entorno de x=a.

2.5. Operaciones con funciones continuas.

Sean f(x) y g(x) dos funciones continuas en x=a, se tiene entonces que:

a. es continua en x=a. b. es continua en x=a.

c. es continua en x=a si .

d. es continua en x=a suponiendo que f(a)>0 (para que tenga sentido la potencia).

TEOREMA: Si f(x) es continua en x=a y g(x) es continua en y=f(a) es continua en x=a. Demostración:

De lo dicho anteriormente resulta que:

2.6. Discontinuidades.

Se dice que una función y = f(x) es discontinua en x = a si no es continua en dicho valor de x, es decir, no cumple alguna de las tres condiciones de continuidad. TIPOS DE DISCONTINUIDADES

A) Evitable: Cuando existe el pero no coincide con el valor de f(a) por una de estas dos razones, son distintos los valores o no existe f(a). B) De salto: Cuando existe el límite por la derecha y por la izquierda (siendo ambos finitos) pero no coinciden. C) Asintótica: Cuando alguno de los límites laterales (o ambos) no es finito. Puede ser asintótica por la derecha, por la izquierda o por ambos lados.

36

D) Esencial: Cuando no existe alguno de los límites laterales (o ambos). Puede serlo por la derecha, por la izquierda o por ambos lados. Si y = f(x) tiene una discontinuidad evitable en x = a, llamaremos verdadero

valor de la función en x=a al . Dicho valor es el que convierte a la función en continua. Si y = f(x) tiene una discontinuidad de salto en x=a, llamaremos salto de la

función en x=a al valor . Estudiar, como aplicación de lo anterior, la continuidad y discontinuidades de las funciones elementales vistas en el capítulo anterior y de las funciones definidas a trozos.

2.7. El Teorema del valor intermedio de Bolzano y el Teorema de existencia de extremos absolutos de Weierstrass.

TEOREMA DE BOLZANO Si y = f(x) es una función continua en el [a,b] siendo distintos los signos de

dicha función en los extremos del intervalo, es decir, tal que f(c)=0.

Demostración: Supongamos que f(a)<0 y f(b)>0 (Se razona de forma análoga si ocurre lo contrario).

Si el teorema está demostrado. En caso contrario, la función tomará en dicho punto un valor del mismo signo que f(a) o que f(b).

Sea el nuevo intervalo donde hay cambio de signo.

Si el teorema está demostrado. En caso contrario, repetimos el

proceso anterior, obteniéndose una sucesión de intervalos encajados tales que cada uno es la mitad del anterior y la función toma valores opuestos en los extremos de cada intervalo. Dicha sucesión define un número real . Demostremos que f(c)=0. Supongamos que por el TEOREMA DE CONSERVACIÓN DEL SIGNO, existirá un entorno de c donde se mantendrá el mismo signo que en c. Sin embargo, por la construcción anterior, dicho entorno contendrá uno al

menos de los , donde la función tomaba valores opuestos. Llegamos pues a una contradicción f(c)=0. Consecuencia: Si y = f(x) es continua en a,b y k es un valor comprendido entre los valores de f(a) y f(b) (o al revés) (Basta aplicar el Teorema de Bolzano a g(x)=f(x)-k.) TEOREMA DE WEIERSTRASS: Si y = f(x) es continua en [a,b] f(x) alcanza el máximo y el mínimo absoluto en dicho intervalo [a,b]. Demostración: A) Veamos, en primer lugar, que f(x) está acotada en [a,b].

37

Supongamos que no lo está. Consideremos el punto medio y los

subintervalos y f(x) no está acotada en uno de ellos, al menos,

que llamaremos . Dividamos en dos mitades y llamemos a aquella parte de las dos (al menos) en la que f(x) no está acotada. Repitamos el proceso

indefinidamente, obteniendo una sucesión de intervalos encajados, cada uno la mitad del anterior, donde f(x) no está acotada. Sea c el número real que define esta sucesión. Como f es continua en [a,b] f es continua en c por el TEOREMA DE ACOTACIÓN DE LA FUNCIÓN, existirá un entorno de c en el que la función está acotada. Pero en dicho

entorno y por construcción estarán incluidos a partir de uno todos los , donde la función no estaba acotada. Llegamos a una contradicción, luego f(x) está acotada en [a,b]. B) Veamos, a continuación, que f(x) alcanza el máximo en [a,b]. (Análogamente se demuestra que alcanza el mínimo). Si f(x) está acotada en [a,b] siendo m el ínfimo o extremo inferior y M el supremo o extremo superior. Si en algún punto de [a,b] resulta que f(x)=M, el teorema estará demostrado.

g(x) está acotada en [a,b] M no es el extremo superior de f, en contra de lo supuesto. Luego

necesariamente ha de existir un f(x) alcanza un máximo absoluto en [a,b]. Consecuencia (Teorema de Darboux): Si y=f(x) es continua en [a,b] f(x) toma en dicho intervalo todos los valores comprendidos entre el máximo y el mínimo. ( Su demostración es inmediata a partir de la consecuencia del teorema de Bolzano y del teorema de Weierstrass. 2.8. Problemas Ejemplos . Solución:

38

2. Solución:

3. Solución:

39

4. Solución:

5. Solución:

40

41

42

43

44

45

46

47

48

49

50

Problemas Misceláneos 2

51

UNIDAD III DERIADAS

Definiciones de la Derivada: df / dx = lim (dx -> 0) (f(x+dx) - f(x)) / dx (derecho) df / dx = lim (dx -> 0) (f(x) - f(x-dx)) / dx (izquierdo) df / dx = lim (dx -> 0) (f(x+dx) - f(x-dx)) / (2dx) (ambos lados)

f(t) dt = f(x) (Teorema Fundamental para Derivadas)

c f(x) = c f(x) (c es una constante)

(f(x) + g(x)) = f(x) + g(x)

f(g(x)) = f(g) * g(x) (regla de la cadena)

f(x)g(x) = f '(x)g(x) + f(x)g '(x) (regla de producto)

f(x)/g(x) = ( f '(x)g(x) - f(x)g '(x) ) / g^2(x) (regla de cociente)

Identidades de Diferenciación Parcial

si f( x(r,s), y(r,s) )

df / dr = df / dx * dx / dr + df / dy * dy / dr

df / ds = df / dx * dx / ds + df / dy * dy / ds

si f( x(r,s) )

df / dr = df / dx * dx / dr

df / ds = df / dx * dx / ds

Derivadas Orientables

df(x,y) / d(Xi sub a) = f1(x,y) cos(a) + f2(x,y) sin(a)

(Xi sub a) = ángulo en opuesto de las agujas del reloj desde el eje positivo x.

52

Los problemas de derivadas son muy fáciles. Casi se puede garantizar que se resuelven todos. No ocurre lo mismo con las integrales.

Ejemplos

Problema 1:

Problema 2.

Problema 3.

53

Problema 4.

Problema 5.

Problema 6.

54

Problema 7.

Problema 8.

Problema 9.

55

Problema 10.

Problema 11.

56

DERIVADA DE UNA FUNCION EN UN PUNTO

Sea una función y = f(x) y x0 un punto del eje X. Si se toma un punto x0 + h muy próximo a x0 (h es un número infinitamente pequeño), a medida que se hace tender h a cero, la recta secante (en rojo de la figura) que une los puntos ( x0, f(x0 ) ) y ( x0 + h, f(x0 + h) ), tiende a confundirse con la tangente (en azul de la figura) a la curva en el punto (x0,f(x0 )).

que determina la tangente con ese mismo eje, en el triángulo rectángulo de vértices

(x0,f(x0 )), (x0 + h,f(x0 + h)) y (x0 + h,f(x0

)), se verifica:

57

Al hacer tender h a cero, y puesto que la secante tiende a confundirse con un segmento de la tangente, es decir, si miras la figura, al hacer que h tienda a cero la línea roja se acerca a la línea azul por lo que: tg ah tiende a tg a, es decir, a la pendiente de la tangente a la curva en el punto (x0,f(x0

)). Esto se expresa matemáticamente así:

Dada una función y = f(x), se llama derivada de la función f en un punto x0 al

f '(x0 ) (efe prima de equis sub-cero) o por D(f(x0 )):

Cuando este límite existe (y es finito) se dice que la función f(x) es derivable en el punto x0

Significado de la derivada

.

Puesto que

la derivada de la función en un punto x0 no es otra cosa que la pendiente de la tangente a la curva (gráfica de la función) en (x0, f(x0

)).

Estudiar la derivabilidad de la función f (x) = |x| (valor absoluto de x) definida

por

Resolución:

58

Al no coincidir los límites a derecha e izquierda de 0, la función f (x) = |x| no es derivable en dicho punto.

¿Cuándo hay que considerar límites a derecha e izquierda al calcular la derivada de una función en un punto?

Si al dibujar la curva se observa que en el punto considerado ésta cambia bruscamente de dirección, es necesario considerar límites a derecha e izquierda, puesto que, en este caso, la tangente no se comporta de igual modo y se «quiebra».

Consecuencias de la definición de derivada en un punto

1. Si existe la derivada de una función f(x) en un punto (x0, f(x0)), existen las derivadas a derecha e izquierda de x0 y tienen que ser iguales; de lo contrario no existiría f'(x0

Puede ocurrir, no obstante, que existiendo las derivadas a derecha e izquierda éstas sean distintas. En este caso no existe la tangente en (x

).

0, f(x0

Los puntos x

)), sino dos semirrectas, cada una tangente a uno de los arcos en que el citado punto divide a la curva. Los puntos en que esto ocurre se llaman puntos angulosos.

1 de la primera figura y x0

No es difícil, consecuentemente, imaginar la gráfica de una función que no sea derivable en muchos e, incluso, infinitos puntos.

de la segunda que hemos estudiado son puntos angulosos: la curva cambia bruscamente de dirección en ellos. La función correspondiente no es derivable en las abscisas de dichos puntos.

Problemas 1.- Calcular la derivada de la función f(x) = 3x + 5 en el punto de abscisa x = 1.

2.- Calcular la derivada de la función

59

f(x) = en el punto 2.

3.- cálculo de la ecuación de la tangente a una función en un punto

Calcular la ecuación de la tangente a la curva f(x) = x2

en el punto de abscisa 2.

4.- estudio de la derivabilidad de una función en un punto

Estudiar la derivabilidad de la función f(x) definida por

Tangente a una curva en un punto

El concepto de derivada facilita la definición de tangente a una curva en un punto como el límite de una secante que pasa por él y por otro punto cualquiera de la curva cuando éste último, recorriendo la curva, tiende a coincidir con el primero.

Propiedad

Si una función es derivable en un punto, necesariamente es continua en él.

Demostración:

Sea una función y = f(x) derivable en un punto x0. Para probar que la función es continua en él, es preciso demostrar que

o lo que es equivalente, que

Veamos, si la expresión f(x0 + h) - f(x0) la multiplicamos y dividimos por h

60

aqui vemos que el primer término del producto anterior es precisamente la derivada de f(x) en el punto x0, ( recordar que partímos de la tesis que f(x) es derivable) es decir vale f ' (x0) y el segundo término vale 0 pues es el límite de h cuando h tiende a cero.- Así pues tenemos que:

Esta propiedad evita el trabajo de estudiar la derivabilidad de una función en un punto donde ésta no sea continua.

Por el contrario, puede darse el caso de una función continua en todos los puntos y no ser derivable en alguno, e incluso infinitos puntos. Valga como ejemplo la función |x|, que siendo continua en todos los puntos de la recta real, no es derivable, como ya se ha comprobado, en el origen.

Derivada de una función constante

Sea una función constante f(x) = C.

Su gráfica es, como se sabe, una recta paralela al eje de abscisas. Puesto que para cualquier valor de la abscisa su ordenada correspondiente es, constantemente, igual a C, si a es un punto cualquiera del campo de definición de f(x),

f(a + h) - f(a) = C - C = 0, por lo que

Luego la derivada de una constante es siempre cero.

Derivada de la función lineal mx + b

Sea una función lineal cualquiera f(x) = mx + b. Para un punto cualquiera x,

lo cual significa que la derivada de una recta coincide con la pendiente de ella misma y, en consecuencia, la tangente en un punto a una recta es la propia recta.

Derivada de una constante por una función, k · f(x)

Si k es una constante y f(x) una función, la derivada de la nueva función k · f(x) será:

Se ha demostrado que (k · f(x))' = k · f'(x) Así, para derivar una expresión de la forma k · f(x), basta derivar la función f(x) y multiplicar después por la constante k.

61 Derivada de la función potencia xm

Para calcular la derivada de la función f(x) = x (m un número natural)

m, m > 0, hay que evaluar el cociente

Tomando límites cuando h --> 0,

sumandos tiende a cero (su límite es cero). Se concluye que

Ejercicio: cálculo de derivadas

Calcular la derivada de f(x) = x2

Resolución:

en el punto de abscisa - 1.

f '(x) = 2 · x2 - 1

f '(- 1) = 2 · (- 1) = - 2

= 2 x

Entonces, la pendiente de la tangente a la parábola y = x2

Derivadas de las funciones trigonométricas sen x y cos x

en x = - 1 es - 2.

La derivada de la función f(x) = sen x es f '(x) = cos x La derivada de la función g(x) = cos x es g '(x) = - sen x Derivada de la función logaritmo neperiano ln |x|

Puesto que el logaritmo está definido sólo para valores positivos y distintos de cero, es necesario considerar el logaritmo del valor absoluto de x.

Para calcular la derivada de esta función se han de considerar dos casos, x > 0 y x < 0:

a) Si x es positivo, aun tomando h negativo, x + h es positivo si se toman valores de h suficientemente pequeños, lo cual es posible pues se va a calcular el límite cuando h

tiende a cero. En estas condiciones

62

Por tanto, si x > 0

b) Si x es negativo, aun tomando h positivo y suficientemente pequeño, x + h sigue siendo negativo y |x + h| = - (x + h) y |x| = - x.

Como se aprecia, se llega a la misma expresión que en el caso anterior y la demostración se continuaría de forma idéntica.

Derivadas de las funciónes exponenciales ax y ex

Sea la función y = a

x, siendo a una constante positiva distinta de 1. La derivada de esta función en un punto x es:

y se toman logaritmos neperianos:

Luego:

63

En particular, cuando la constante a es el número e, la derivada de la función ex

(e

es

x )' = ex · ln e = ex · 1 = ex

Hasta el momento se saben derivar algunas funciones elementales pero no hay nada que permita encontrar las derivadas de una suma, un producto o un cociente de estas derivadas; se requiere, por consiguiente, seguir avanzando en la obtención de propiedades encaminadas a este fin. Operaciones con funciones

Hay que recordar cómo se definen la suma, el producto y el cociente de funciones. Si f y g son dos funciones definidas en un mismo intervalo (en caso contrario, alguna de estas operaciones podría no estar definida),

Función suma de f y g como la nueva función f + g: [a,b] ---> R,

(f + g) (x) = f(x) + g(x)

Función producto de f y g como la función f ·g: [a,b] ---> R,

(f · g) (x) = f(x) · g(x)

siempre que g(x) distinto de 0 para todo x del intervalo.

Derivada de una suma de funciones Si f y g son dos funciones derivables en un mismo punto x de un intervalo, la derivada de la función suma en dicho punto se obtiene calculando

La derivada de una suma es igual a la suma de las derivadas. [f(x) + g(x)] ' = f '(x) + g '(x)

Derivada de una diferencia de funciones f - g = f + (- g), por lo que [f(x) + (- g(x))]' = f'(x) + (- g(x))' Pero - g(x) = (- 1) · g(x) y la derivada de una constante por una función es igual al producto de la constante por la derivada de la función: [- g(x)]' = [(- 1) · g(x)]' = (- 1) · g'(x) = - g'(x) En consecuencia, [f(x) - g(x)]' = f'(x) - g'(x) Derivada de un producto de funciones

64 Sean f y g dos funciones definidas y derivables en un mismo punto x.

Si se suma y se resta en el numerador f(x) · g(x + h), la fracción anterior no varía,

Sacando g(x + h) factor común en los dos primeros sumandos, y f(x) en los otros

dos,

Si ahora se toman límites cuando h tiende a cero,

Derivada de un cociente de funciones

Considérense, como en los casos precedentes, dos funciones f y g definidas y derivables en un punto x. Además, en este caso, se tiene que imponer la condición de que la función g no se anule en x.

Si en la segunda fracción se suma y se resta al numerador f(x) · g(x), se obtiene:

Sacando factor común g(x) en los dos primeros sumandos de la segunda fracción, y f(x) en los dos últimos,

Por último, se toman límites cuando h tiende a cero notando que:

65

En definitiva,

Derivada de la función tg x

si f(x) = sen x, f ' (x) = cos x si g(x) = cos x, g ' (x) = - sen x

Aplicando la fórmula de la derivada de un cociente,

Por tanto,

Derivada de la función sec x

Si f(x) = 1, f ' (x) = 0 Si g(x) = cos x, g ' (x) = - sen x

Por la fórmula de la derivada de un cociente,

(sec x)' = sec x · tg x

66 Derivada de la función cosec x

Si f(x) = 1, f ' (x) = 0 Si g(x) = sen x, g ' (x) = cos x Por la derivada de un cociente,

(cosec x)' = - cosec x · cotg x

Derivada de la función cotg x

Si f(x) = cos x, f ' (x) = - sen x Si g(x) = sen x, g ' (x) = cos x

Por tanto,

Ejercicio: cálculo de derivadas

1.- Calcular la derivada de la función f(x) = x - cos x

2.- Calcular la derivada de f(x) = x3 - sen x + ln|x| en el punto x = -p/3.

3.- Hallar la derivada de h(x) = x · ln x para cualquier x positivo.

4.-

5.-

6.-

67

7.-

A pesar de contar ya con un número estimable de propiedades para el cálculo de derivadas, hay funciones elementales, como , para las que no se conoce ningún procedimiento para la obtención de su derivada. Para seguir avanzando por este camino se hace imprescindible conocer una de las propiedades más fundamentales y útiles de la derivación, aunque no se hará su demostración. Se la conoce como derivada de una función compuesta o regla de la cadena.

REGLA DE LA CADENA Esta propiedad asegura que si y = f(x) es una función derivable en un cierto intervalo I,

y z = g(y) es otra función derivable y definida en otro intervalo que contiene a todos los valores (imágenes) de la función f,

entonces la función compuesta

definida por (g o f) (x) = g[f(x)], es derivable en todo punto x de I y se obtiene

Ejemplo: cálculo de derivadas Calcular la derivada de la función h(x) = sen x2

Resolución: .

La función sen x2 es una función compuesta de otras dos f(x) = x2 y g(x) = sen x.

Al ser g(x) = sen x, g ' (x) = cos x, por tanto g ' [ f(x) ] = cos f(x) = cos x2

Por la regla de la cadena,

h ' (x) = g ' [ f(x) ] · f ' (x) = 2x cos x

2

Resolución:

68

De g(x) = x3, se deduce g ' (x) = 3x2

. En consecuencia,

Por la regla de la cadena,

Regla de la cadena para la función potencial Se sabe que la derivada de una función f(x) = xm es f'(x) = m · xm - 1

Si en lugar de x se tuviese una función u(x), la derivada de u(x)

. m

aplicando la regla de la cadena, será: [u(x)m] ' = m · u(x)m - 1

Para simplificar la notación, y a partir de ahora, se escribirá simplemente u en lugar de u(x). · u'(x)

Así, Ejercicio: cálculo de derivadas Calcular la derivada de f(x) = (x2 + 1)3

Resolución: .

Si u = x2

En este caso m = 3 + 1, u' = 2x

f '(x) = 3 (x2 + 1)2 · 2x = 6x (x2 + 1)2

Regla de la cadena para la función logaritmo neperiano

Si en la derivada de logaritmo neperiano se sustituye x por una función de x, u(x), en virtud de la regla de la cadena se tiene que

Ejercicio: cálculo de derivadas

Resolución:

Se calcula u' aplicando la derivada de un cociente:

69 Se aplica la regla de la cadena:

2.- Hallar la derivada de f(x) = ln |sen x | Resolución: u = sen x; u' = cos x

Regla de la cadena para las funciones exponenciales Si en lugar de x se tuviese una función u(x), por la regla de la cadena se tiene que para una función f(x) = au y para otra g(x) = eu

f'(x) = (a,

u ) ' = u' · au

g'(x) = (e · ln a

u ) ' = u' · eu

Ejercicio: cálculo de derivadas

1 Calcular la derivada de f(x) = 4x sen x

Resolución:

Llamando u = x · sen x, u' = 1 · sen x + x cos x f '(x) = (4x sen x ) ' = (sen x + x cos x) · 4x sen x · ln 4

Resolución:

Regla de la cadena para las funciones trigonométricas

Ejercicio: cálcular la derivada Calcular la derivada de f(x) = sen(sen x) Resolución: Si u = sen x, u' = cos x f '(x) = (sen(sen x))' = u' · cos u = cos x · cos(sen x) Hallar la derivada de g(x) = sec (x2

Resolución: - 1)

u = x2

g '(x) = (sec(x - 1; u' = 2x

2

2x · sec(x

- 1))' = u' · sec u · tg u =

2 - 1) · tg(x2

Calcular la derivada de h(x) = sen

- 1)

3x2

Resolución:

Llamando u = sen x2, hay que derivar sen3x2 = u3

Por la regla de la cadena, la derivada de u.

3 es (u3 )' = 3 · u2

Llamando v = x · u'

2

u' = v' · cos v = 2x · cos x; u = sen v.

2

Finalmente, h'(x) = (sen

3x2)' = 3u2 · u' = 3 · sen2x2 · 2x · cos x2 = = 6x · sen2x2 · cos x2

Para calcular la derivada de una función que es inversa de otra, es necesario conocer un importante resultado, aunque se evita hacer su demostración.

70 Derivada de la función inversa Si una función y = f(x) admite una función inversa ƒ- 1 y la función f(x) es derivable en un punto x0, entonces la función ƒ- 1 es derivable en el punto f(x0En virtud de este teorema, la función x

). 1/n es derivable por ser la función inversa de xn:

Como consecuencia, al ser la función xm derivable para cualquier número entero m, como ya se ha visto, la función xm/n es derivable por ser composición de dos funciones derivables:

Derivada de la función x1/n

Sea u = x

1/n; elevando a n, un

Derivando ambos miembros se observa que = x.

Despejando u',

Derivada de la función xm/n

Sea f(x) = x

m/n Se eleva a n, f(x)n = xm Se deriva:

Pero f(x)n - 1 = (xm/n )n - 1

Regla de la cadena para las funciones u1/n y um/n

Si en las dos funciones anteriores se tiene una función dependiente de la variable x, u(x), en lugar de la función x, se obtienen las siguientes derivadas:

Para obtener estas igualdades, basta aplicar la regla de la cadena. Ejercicio: cálculo de derivadas

Resolución:

Se trata de calcular una derivada de la forma u1/2

Si u = x.

2

Obsérvese que en este caso n = 2

+ sen x, u' = 2x + cos x

71

Resolución:

FUNCIONES TRIGONOM. INVERSAS

distintos en [- 1, 1].

la función seno. En estas condiciones se puede definir la aplicación inversa de f(x) = sen x, llamada «arco-seno» y que se simboliza por arc sen x.

x ---> f (x) = sen x ---> f-1 [f (x)] = f-1

Derivada de la función arc sen x (sen x) = arc sen (sen x) = x

Si y = arc sen x = f - 1(x), aplicando f, f(y) = f ( f - 1(x)) = x, es decir, sen y = x.

De la conocida fórmula sen2 y + cos2 y = 1, cos2 y = 1 - sen2 y --->

72

Derivada de la función arc cos x Análogamente, la función cos x tiene una función inversa llamada «arco-coseno» y se simboliza por arc cos x. De y = arc cos x se deduce x = cos y. Derivando por la regla de la cadena,

Derivada de la función arc tg x La inversa de la función tg x se llama «arco-tangente» y se simboliza por arc tg x. y = arc tg x, x = tg y. Derivando por la regla de la cadena,

Derivada de la función arc cotg x La inversa de la función cotg x se llama «arco-cotangente» y se simboliza por arc cotg x. Si y = arc cotg x, x = cotg y. Derivando esta igualdad por la regla de la cadena,

Derivada de la función arc sec x Análogamente a los casos anteriores, sec x tiene una función inversa llamada «arco secante» y simbolizada por arc sec x. y = arc sec x, x = sec y. Derivando por la regla de la cadena, 1 = y' · sec y · tg y = y' · x · tg y (1)

Derivada de la función arc cosec x Siguiendo los mismos pasos que en el caso anterior, y = arc cosec x, x = cosec y Derivando: 1 = - y' · cosec y · cotg y = - y' · x · cotg y (1)

73

REGL. CADENA TRIG. INVERSAS Si en cada una de las funciones anteriores se tuviese una función de x, u(x), en lugar de la función x, las derivadas de las nuevas funciones compuestas se convierten, por la regla de la cadena en:

Problemas

1.-

2.-

3.-

4.- Unidad IV

Aproximaciones polinomiales,sucesiones y series infinitas

5 Introducción 6 Justificación y Objetivo 7 Aproximaciones polinomiales mediante la formula de Taylor 8 Sucesiones 9 Series infinitas de términos positivos 10 Series infinitas de términos positivos y negativos 11 Series de potencias 12 Diferenciación e integración de series de potencias 13 Series de Taylor 14 Serie de potencias para logaritmos naturales y serie binomial 15 Conclusiones

74 16 Bibliografía

Introducción

El objetivo primordial de este tema es aproximar funciones mediante series de potencias. Sin embargo, antes del estudio de las series de potencias se prepara el terreno.

Mientras que los valores de funciones polinomiales pueden determinarse efectuando un numero finito de adiciones y multiplicaciones, otras funciones, entre ellas las funciones logarítmicas, exponenciales y trigonometricas, no pueden evaluarse tan fácilmente. En esta sección se mostrara que muchas funciones pueden aproximarse mediante polinomios y que el polinomio, en lugar de la función original, puede emplearse para realizar cálculos cuando la diferencia entre el valor real de la función y la aproximación polinomial es suficientemente pequeña.

Varios métodos pueden emplearse para aproximar una función dada mediante polinomios. Uno de los mas ampliamente utilizados hace uso de la formula de Taylor, llamada así en honor del matemático ingles brook Taylor (1685-1731). El teorema siguiente, el cual puede considerarse como una generalización del teorema del valor medio, proporciona la formula de Taylor.

Justificación

Este es el segundo trabajo del curso de calculo diferencial e integral, en donde el cual aprenderemos como las aproximaciones polinomiales, sucesiones y series infinitas, forman parte importante dentro del calculo diferencial e integral, tal es así que este trabajo es parte de una evaluación y esta diseñado de tal manera dirigido a estudiantes del mismo nivel con una redacción sencilla y explicada del tema mismo.

Objetivo

Uno de los objetivos primordiales es aprender como funcionan las aproximaciones polinomiales, sucesiones y series infinitas, ya que es de gran importancia para poder así calcular las unciones logarítmicas, exponenciales y trigonometricas. También como mencionaba así darle una visión mas amplia al lector sobre este tema, llevando un lenguaje no tan extenso y mas centrado en lo practico y lo necesario para llevarse acabo este tipo de cálculos matemáticos, tanto en el calculo diferencial e integral, encontramos infinidad de temas que a veces no nos llaman la atención de practicar, en las aproximaciones polinomiales veremos lo sencillo que es hacer una aproximación por medo de teoremas.

1. Aproximaciones polinomiales mediante la formula de Taylor

Existen infinidad de métodos para aproximar una función dada mediante polinomios, unos de los mas importantes que se usan es la fórmula de Taylor.

El teorema siguiente, el cual puede considerarse como una generalización del teorema del valor medio, proporciona la fórmula de Taylor.

Teorema 1

Sea ƒ una función tal que ƒ y sus primeras n derivadas son continuas en el intervalo cerrado [a, b]. Además

, considere que ƒ (x) existe para toda x del intervalo abierto (a, b). Entonces existe un número z en el intervalo abierto (a, b). Tal que

75

(1)

La ecuación (1) también se cumple si b < a; en tal caso [a, b] se reemplaza por [b, a], y (a, b) se sustituye por (b, a).

Observe que cuando n = 0, (1) se convierte en

Donde z esta entre a y b. esta es la conclusión del teorema del valor medio.

La demostración del teorema 1 se presentara mas adelante.

Si en (1) se reemplaza b por x, se obtiene la fórmula de Taylor:

(2)

Donde z esta entre a y x.

La condición en la que se cumple (2) es que ƒ y sus primeras n derivadas sean continuas en un intervalo cerrado que contenga a a y x, y la (n + 1 )-esima derivada de ƒ exista en todos los puntos del intervalo abierto correspondiente. La formula (2) puede escribirse como:

Continua….

(3)

Donde

(4)

Y

Donde z esta entre a y x (5)

Pn(x) se denomina polinomio de Taylor de n-ésimo grado de la función ƒ en el numero a, y Rn(x) se llama residuo. El termino Rn(x), dado en (5), se denomina forma de

76 lagrange del residuo, llamada así en honor al matemático francés joseph l. lagrange (1736-1813).

El caso especial de la fórmula de Taylor que se obtiene al considerar a = 0 en (2) es

Donde z esta entre 0 y x. esta fórmula recibe el nombre de fórmula de maclaurin, en honor al matemático escocés colin maclaurin (1698-1746).

Sin embargo, la fórmula fue obtenida por Taylor y por otro matemático inglés, james stirling (1692-1770). El polinomio de maclaurin de n-esimo grado para una función ƒ, obtenido a partir de (4) con a = 0, es

(6)

De este modo, una función puede aproximarse por medio de un polinomio de Taylor en un número a o por un polinomio de maclaurin.

Ejemplos:

Ilustrativo 1

Se calculara el polinomio de maclaurin de n-esimo grado para la función exponencial natural.

Si ƒ(x) = , entonces todas las derivadas de ƒ en x son iguales a y las derivadas evaluadas en cero son 1. Por tanto, de (6),

Así, los primeros cuatro polinomios de maclaurion de la función exponencial natural son

Las figuras 1 a 4 muestran la grafica de ƒ(x) = junto con las graficas de P0(x), P1(x), P2(x) y P3(x), respectivamente, trazadas en el rectángulo de inspección de [-3, 3] por [0, 4].

77 En la figura 5 se muestran las gráficas de los cuatro polinomios de maclaurin y la grafica de

ƒ(x) = en el mismo sistema coordenado. Observe como los polinomios aproximan

para valores de x cercarnos a cero, y note que conforme n se incrementa, la

aproximación mejora. Las tablas 1 y 2 proporcionan los valores de , Pn(x) (cuando

n es igual a 0, 1, 2 y 3) y - Pn(x) para x = 0.4 y x = 0.2, respectivamente. Observe que con estos dos valores de x, a medida que x esta mas cerca de 0, es mejor la aproximación para un Pn(x) especifico.

n e0.4 Pn(0.4) e0.4 – Pn(0.4)

0 1.4918 1 0.4918

1 1.4918 1.4 0.0918

2 1.4918 1.48 0.0118

3 1.4918 1.4907 0.0011

n e0.2 Pn(0.2) e0.2 – Pn(0.2)

0 1.2214 1 0.2214

1 1.2214 1.2 0.0214

2 1.2214 1.22 0.0014

3 1.2214 1.2213 0.0001

De (5), la forma de lagrange del residuo, cuando Pn(x) es el polinomio de maclaurin de n-esimo grado para la función exponencial natural, es

Continua..

donde z esta entre 0 y x (8)

en particular, si P (x) se emplea para aproximar , entonces

donde z esta entre 0 y x

y

figuras del 1 al 4 muestran Graficas.

78

2. sucesiones

Una sucesión(o progresión): es una lista de números en un orden específico.

Por ejemplo:

2, 4, 6, 8, 10

forman una sucesión. Esta sucesión se denomina finita por que tiene un ultimo numero. Si un conjunto de números que forman una sucesión no tiene ultimo numero, se dice que la sucesión es infinita. Por ejemplo:

en una sucesión infinita; los tres últimos puntos indican que no hay último número en la sucesión. Como el cálculo trata con sucesiones infinitas, la palabra sucesión en este

79 texto significará sucesión infinita. Se iniciara el estudio de esta sección con la definición de función sucesión.

Definición de función sucesión

Una función sucesión es una función cuyo dominio es el conjunto

{ 1, 2, 3, 4, ….., n, ….}

de todos los números enteros positivos.

Los números del contradominio de na función sucesión se denominan elementos. Una sucesión consiste de los elementos de una función sucesión listados en orden.

Ejemplo:

Sea ƒ la función definida por

n e {1, 2, 3, 4,…}

entonces ƒ es una función sucesión, y

continua..

y así sucesivamente. Los elementos de la sucesión definida por ƒ son

etcétera: y la sucesión es la (1). Algunos de los pares ordenados de la función sucesión

ƒ son (1, ), (2, ), (3, ), (4, ), y (5, ).

Por lo general, cuando los elementos se listan en orden se indica el n-ésimo elemento ƒ(n) de la sucesión. De este modo, los elementos de la sucesión (1) pueden escribirse como

,….

Puesto que el dominio de cada función sucesión es el mismo, puede emplearse la notación { ƒ(n) } para denotar una sucesión. Así, la sucesión (1) puede denotarse por {

n/(2n + 1) }. También se utiliza la notación de subíndice { } para expresar una sucesión para la cual

ƒ(n) =

grafica

80

3. series infinitas de términos constantes

una parte importante del estudio del cálculo trata sobre la representación de funciones como sumas infinitas.

Suponga que la asociada a la sucesión

se tiene una suma infinita denotada por

se forma una nueva sucesión sumando sucesivamente elementos de :

la sucesión obtenida de esta manera apartir de la sucesión es una sucesión de sumas parciales llamada serie infinita.

Definición de serie infinita

Si es una sucesión y

entonces es una sucesión de sumas parciales denominada serie infinita y se denota por

81

los números son los términos de la serie infinita.

Continua…

Ejemplo:

sea la serie infinita

a. obtenga los primeros cuatro elementos de la sucesión de sumas parciales y

b. determine una fórmula para en términos de n.

solución

(a) como

c. como

se tiene, mediante fracciones parciales.

Para ver la fórmula seleccione la opción ¨Bajar trabajo¨ del menú superior

por tanto,

82

de esta forma, como

continua…

Al eliminar los paréntesis y reducir los términos semejantes se obtiene:

si se considera n como 1, 2, 3 y 4 en esta ecuación, se verá que los resultados anteriores son correctos.

El método empleado en la solución del ejemplo anterior se aplica sólo un caso

especial. En general, no es posible obtener una expresión de este tipo para s .

1. series infinitas de términos positivos

las series infinitas, cuyos términos son positivos, tiene propiedades especiales.

En particular, la sucesión de sumas parciales de dichas series es creciente y tiene una cota inferior 0. si la sucesión es monótona y acotada. Como el acotamiento y la convergencia de u na sucesión monótona son propiedades equivalentes, entonces, la series es convergente. De este modo, se tiene el teorema siguiente.

Teorema

Una serie infinita de términos positivos es convergente si y sólo si su sucesión de sumas parciales tiene una cota superior.

En si mismo, este criterio no es muy útil: decidir si el conjunto es o no acotado es precisamente lo que no sabemos hacer. Por otra parte, si se dispone de algunas series convergentes para comparación se peude utilizar este criterio para obtener un resultado cuya sencillez encubre su importancia (constituye la base para casi todas las demás pruebas).

Ejemplo:

Demuestre que la serie es convergente:

solución:

83 se debe obtener una cota superior para la sucesión de sumas parciales de la serie

continua….

ahora se consideran los primeros n términos de la serie geométrica con a = 1 y r = :

la serie geométrica con a=1 y r= tiene la suma a/(1-r)=2. en consecuencia, la suma de la ecuación anterior es menor que 2. observe que cada término de la suma primera es menor que o igual al término correspondiente de la suma siguiente; esto es,

esto es cierto por que k¡ = 1 · 2 · 3 ·….· k, que , además del factor 1.

Contiene k – 1 factores cada uno mayor que o igual a 2. en consecuencia.

de lo anterior, tiene la cota superior 2. por tanto, por el teorema de la serie infinita la serie dada es convergente.

2. series infinitas de términos positivos y negativos

Un tipo de series infinitas que constan de términos positivos y negativos es el de las series alternantes, cuyos términos son, alternadamente, positivos y negativos.

Definición de serie alternante

Si para todos los números enteros positivos n, entonces la serie

84 y la serie

se denominan series alternantes.

Ejemplo:

Un ejemplo de serie alternante de la forma de la primera ecuación , donde el primer termino es positivo, es

una serie alternante de la segunda ecuación, donde el primer termino es negativo, es

el teorema siguiente, denominado criterio de las series alternantes, establece que una serie alternante es convergente si los valores absolutos de sus términos decrecen y el limite del n-ésimo término es cero. El criterio también se conoce como el criterio de leibniz para series alternantes debido a que leibniz lo formuló en 1705.

3. series de potencias

Son series de la forma S an (x - x0)n ; loss números reales a0, a1, .... , an, ... son los coeficientes de la serie. Si x0 = 0 se obtiene la serie S an . xn

Como toda serie S a

.

n (x - x0)n puede llevarse a la forma S an .x¢ n haciendo x¢ = x - x0

Se presentan tres situaciones posibles: series que convergen solamente para x = 0; series que convergen para cualquier número real x y series que convergen para algunos valores de x y divergen para otros. Esto conduce al siguiente:

; solo estudiaremos series de potencias de este último tipo.

teorema:

Si la serie de potencias S an .xn converge para el valor x0 ¹ 0, entonces converge en valor absoluto para cualquier x / ô xô < ô x0ô .

Demostración:

Si S an .x0n . < ¥ , entonces

Tomando x = 1 $ n0 Î N / " n ³ n0 : ô an x0n - 0ô = ô an x0

nô

Luego:

< 1

Para ver la fórmula seleccione la opción ¨Bajar trabajo¨ del menú superior

ô an xnô =

85 Si x es tal que ô xô < ô x0ô

Para ver la fórmula seleccione la opción ¨Bajar trabajo¨ del menú superior

Þ

Luego " n ³ n0 : ô an xnô < qn y la serie S ô an xnô converge por comparación con la serie geométrica S qn. Por lo tanto S an xn

teorema:

converge absolutamente.

Si una serie de potencias S an xn no converge para x0 entonces tampoco converge para un número x si ô xô > ô x0ô.

Continua….

radio e intervalo de convergencia

Si una serie de potencias S an xn

Veamos como se calcula el radio de convergencia

converge para valores de x / ô xô < R y diverge para ô xô > R, al valor de R se llama radio de convergencia de la serie y al conjunto -R < x < R se llama intervalo de convergencia; el intervalo de convergencia puede o no incluir los extremos.

Consideremos la serie S an xn / S ô an xnô

Para ver la fórmula seleccione la opción ¨Bajar trabajo¨ del menú superior

< ¥ .

Si existe, para cada x es:

Aplicando el criterio de D¢ Alembert para cada x resulta;

1.ô xô < 1 Þ S an xn

1.ô xô > 1 Þ S a

converge y

n xn

Para ver la fórmula seleccione la opción ¨Bajar trabajo¨ del menú superior

diverge

Es decir, para ¹ 0 , la serie S an xn converge si ô xô < 1 / l = R y diverge si ô xô >1/l =

Si l = 0 la serie converge para cualquier valor de x.

R.

En efecto " x : l . ô xô = 0 < 1; en este caso el radio de convergencia R = ¥

Si l = ¥ , el radio de convergencia R = 0, es decir la serie solo converge para x = 0.

7. diferenciación e integración de series de potencias

apartir de series de potencias se pueden obtener otras series de potencias mediante la diferenciación e integración.

Se establecerán los dos teoremas fundamentales.

Teorema

Si es una serie de potencias cuyo radio de convergencia es

R > 0, entonces tambien tiene a R como su radio de convergencia.

86 Este teorema, cuya demostración se presenta en el suplemento de esta sección. Establece que la serie, obtenida al diferenciar cada término de una serie de potencias término a término, tendrá el mismo radio de convergencia que la serie dada. En el ejemplo ilustrativo siguiente se verifica el teorema para una serie de potencias particular.

Ejemplo:

Considere la serie de potencias.

el radio de convergencia se determina aplicando el critero de la razón.

en consecuencia, la serie de potencias es convergente cuando ; de modo que su radio de convergencia es R = 1.

Continua….

La serie que se obtiene al diferenciar término a término la serie anterior es :

si se aplica el criterio de la razón a esta serie de potencias se tiene

esta serie es convergente cuando < 1, así, su radio de convergencia es R´ = 1. como R = R´, se ha verificado este teorema para esta serie.

87 Teorema

Si el radio de convergencia de la serie de potencias es R > 0 entonces R tambien es el radio de convergencia de la serie:

Demostración

El resultado deseado se deduce cuando el teorema primero se aplica a la serie

8. series de taylor

en este tema se mostrará cómo obtener representaciones en series de potencias de funciones que tienen derivadas de todos los órdenes, es decir, funciones que son infinitamente diferenciables.

esta serie se denomina serie de Taylor de f en a. el caso especial , es cuando a = 0, es :

y se llama serie de maclaurin.

ejemplos:

calcule la serie de maclaurin para .

Solución

Si para toda x, por tanto, para toda n. así, de la ecuación de maclaurin se tiene la serie de maclaurin:

obtenga la serie te Taylor para sen x en a.

si ƒ(x) = sen x, entonces ƒ`(x) = cos x, ƒ``(x) = -sen x, ƒ````(x) = -cos x, (x) = sen x, y así sucesivamente. De este modo, de la fórmula de Taylor,

la serie de Taylor requerida se obtiene del teorema serie de Taylor.

9. series de potencias para logaritmos naturales y serie binominal

se concluye el estudio de series infinitas en esta sección al considerar y aplicar dos seriers básicas: la serie para calcular logaritmos naturales y la serie binominal.

A fin de obtener la serie para calcular logaritmos naturales, primero se determinará una representación en serie de potencias de ln(1+x).

88 Ejemplo:

Considere la función ƒ definida por

ƒ(t) =

una representación en serie de potencias para esta función está dada por la serie la cual es:

si < 1

al integrar término a término se obtiene

si < 1

por tanto,

si < 1

si < 1

10 preguntas

1. ¿Qué son las aproximaciones polinomiales? 2. ¿Qué son sucesiones? 3. ¿Qué son series? 4. ¿Cuáles son las series infinitas de términos constantes? 5. ¿Cuáles son las series infinitas de términos positivos? 6. ¿Cuáles son las series infinitas de términos positivos y negativos? 7. ¿que son los criterios de convergencia y divergencia de series infinitas? 8. ¿Qué son las series de potencias? 9. ¿Qué son las series de Taylor? 10. ¿Cuáles son las series de potencias para logaritmos naturales?

10 Respuestas

1. son valores de funciones polinomiales que pueden determinarse efectuando un número finito de adiciones y multiplicaciones, otras funciones, entre ellas las funciones logarítmicas, exponenciales y trigonometricas, no pueden evaluarse tan fácilmente.

Muchas funciones pueden aproximarse mediante polinomios y que el polinomio, en lugar de la función original, puede emplearse para realizar cálculos cuando la diferencia entre el valor real de la función y la aproximación polinomial es suficiente pequeña.

2. Una sucesión(o progresión): es una lista de números en un orden específico.

Por ejemplo:

2, 4, 6, 8, 10 forman una sucesión

89 es la suma de una sucesión obtenida a la que se le llama sucesión de sumas parciales llamada serie infinita.

3. es la sucesión de sumas parciales denominada serie infinita. 4. son las que tienen propiedades especiales, en particular, la sucesión de sumas

parciales de dichas series es creciente y tiene una cota inferior 0. si la sucesión de sumas parciales también tiene una cota superior, entonces la sucesión es monótoma y acotada.

5. son las que se llaman series alternantes, cuyos términos son, altamente, positivos y negativos.

6. son teoremas para determinar la convergencia y divergencia de una serie finita de números constantes.

7. son las series de términos variables , las cuales pueden considerarse como una generalización de una función polinomial. Con la cual se puede calcular valores de función tales como se x, ex, ln x. las cuales no se pueden evaluar mediante las operaciones aritméticas conocidas y empleadas para determinar valores de funciones racionales.

8. son de las que se obtienen representaciones en series de potencias de funciones que tienen derivadas de todos los órdenes, es decir, funciones que son infinitamente diferenciables.

9. son series para calcular logaritmos naturales , el cual primero se determina una representación en serie de potencias.

10 ejercicios 10 soluciones

Ejercicio: representaciones gráficas (función logarítmica)

Representar gráficamente la función y = log2 x.

Resolución:Name=3; HotwordStyle=BookDefault;

Para determinar por qué puntos pasa la función se elabora una tabla de valores:

x y

1/8 -3

1/4 -2

1/2 -1

1 0

2 1

4 2

8 3

Representar gráficamente la función y = log1 / 2 x.

Resolución:Name=4; HotwordStyle=BookDefault;

Para determinar por qué puntos pasa la función se elabora una tabla de valores:

x y

90 1/8 3

1/4 2

1/2 1

1 0

2 -1

4 -2

8 -3

Representar en unos mismos ejes de coordenadas las funciones

y = log2 x y = ln x y=log10 x.

Ejercicio: resolución de ecuaciones logarítmicas

Resolver la ecuación 2 log x = 1 + log (x - 0,9).

Resolución:

log x2 = log 10 + log ( x - 0' 9)

log x2 = log [10 (x - 0' 9)] x2 = 10 (x - 0' 9)

x2 = 10x - 9 x2 - 10x + 9 = 0

Hay dos soluciones: x = 9 y x = 1

Resolución:

x no puede ser cero pues no existe log 0

La solución x = -4 no es válida puesto que los números negativos no tienen logaritmo. Por lo tanto, x = 4.

Ejercicio: ecuaciones exponenciales que se resuelven utilizando logaritmos

91 Resolver la ecuación 2x = 57.

Resolución:

Tomando logaritmos en ambos miembros, log 2x = log 57

Resolución:

Tomando logaritmos en ambos miembros,

Resolver 43x = 8x + 6.

Resolución:

Expresando 4 y 8 como potencias de dos (22)3x = (23)x + 6.

Esta ecuación puede escribirse como (23x)2 = 23x + 6.

Haciendo el cambio 23x = y, la ecuación se escribe y2 = y + 6.

Ahora basta con resolver esta ecuación de segundo grado y deshacer el cambio de variable para obtener el valor de x.

continua..

Las dos soluciones son y1 = 3; y2 = -2

Para y1 = 3, 23x = 3. Tomando logaritmos en ambos miembros,

Para y2 = -2, 23x = -2. No existe un número x que verifique esto ya que 23x es siempre positivo.

92

Ejercicio: resolución de sistemas de ecuaciones logarítmicas

Resolución:

10 y4 = 105 y4 = 104 y = 10 (El resultado y = -10 no tiene sentido.)

Como x = 10y x = 10·10 = 100

Resolución:

(20 + y) y 20= 100 y + y2 = 100

Sabiendo que log2 8 = 3, calcular log16 8

Resolución:

Sabiendo que log3 27 = 3, calcular log9 27

Resolución:

Sabiendo que log 2 = 0,301030 y log 7 = 0,845098, calcular log7 2.

93 Resolución:

conclusiones

en este trabajo se llega a la conclusión de que las aproximaciones polinomiales, sucesiones y series infinitas, son parte importante del calculo, ya que con ellas se pueden llegar a resultados precisos en cuanto con operaciones aritmeticas no se pueden llegar, hablando de aproximaciones polinomiales vemos que son una forma de saber como determinar las funciones logarítmicas, exponenciales y trigonometricas, ya que algunas veces no pueden evaluarse fácilmente dentro del contexto de la aritmetica, tanto así que es necesario tener la mente abierta y receptiva a nuevos conceptos de poder calcular determinado resultado que buscamos. En las sucesiones vemos que son conceptos vistos anteriormente en el álgebra, ya que con las sucesiones podemos enlistar un determinado conjunto de numeros en orden logico, y así poder encontrar el resultado que buscamos, en las series infinitas vemos que son las sumas parciales de las sucesiones ya que con la cual tambien son parte esencial en la búsqueda de dicho resultado parametrito establecido con anterioridad en un orden lógico.

Gracias.

Anexo 1 Misceláneo

S o l u c i o n e s

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Anexo 2

Calcular la derivada de la función f(x) = 3x + 5 en el punto de abscisa x = 1. Resolución: Se pide el valor de f '(1) (en este caso, x0 = 1).

Por tanto, f '(1) = 3.

Calcular la derivada de la función

f(x) = en el punto 2.

Resolución:

99

(conjugado del numerador)

Recordando que suma por diferencia es igual a la diferencia de los cuadrados:

Ejercicio: cálculo de la ecuación de la tangente a una función en un punto

Calcular la ecuación de la tangente a la curva f(x) = x2

Resolución:

en el punto de abscisa 2.

La tangente pasa por el punto (2, f(2)) = (2,4).

La pendiente (m) de la tangente a la curva en el punto de abscisa 2 es, por definición, f '(2), luego la ecuación de la recta es de la forma y - y0 = m (x - x0) y - 4 = f '(2) (x - 2).

La ecuación de la tangente es entonces y - 4 = 4(x - 2) y - 4 = 4x - 8

4x - y - 4 = 0.

Ejercicio: estudio de la derivabilidad de una función en un punto

100 Estudiar la derivabilidad de la función f(x) definida por

Resolución:

a) Derivabilidad en x1 = 1. Se han de considerar dos casos: 1º Lo que pasa a la derecha de este punto, para ello consideraremos h>0 Si h > 0, lógicamente (x1 + h) = 1 + h > 1 y en este caso estamos muy cerca del punto azul del figura pero a la derecha, por lo que la función es la línea recta roja f(x) = x. Por tanto: f (1) = 1 y f (1+h) = 1 + h

Este límite es el «límite por la derecha» e indica que la tangente a la derecha de 1 tiene por pendiente 1. 2º Lo que pasa a la izquierda de este punto, para ello consideraremos h<0

Si h < 0, lógicamente (x1 + h) = < 1 y en este caso estamos muy cerca del punto azul del figura pero a la izquierda, (por lo que la función es la línea azul f(x) = x2. Por tanto: f (1) = 1 y f (1+h) = (1 + h)2 = 1 + 2h + h2

Este límite es el «límite por la izquierda» e indica que la tangente a la izquierda de 1 tiene por pendiente 2.

Al no coincidir los límites a derecha e izquierda de 1, no existe tal límite y, por tanto, la función f(x) no es derivable en x = 1.

b) Derivabilidad en x = 0.

En este caso no es necesario considerar h > 0 y h < 0 ya que en las proximidades de cero (h es muy pequeño) la función es f(x) = x2.

101

El límite existe y es cero, luego f(x) es derivable en x0

= 0 y la pendiente de la tangente es cero (paralela al eje de abcisas).

Calcular la derivada de la función f(x) = x - cos x

Resolución:

Calcular la derivada de f(x) = x3 - sen x + ln|x| en el punto x = -p/3. Resolución:

Derivada de un producto de funciones Sean f y g dos funciones definidas y derivables en un mismo punto x.

Si se suma y se resta en el numerador f(x) · g(x + h), la fracción anterior no varía,

Sacando g(x + h) factor común en los dos primeros sumandos, y f(x) en los otros

dos,

Si ahora se toman límites cuando h tiende a cero,

102

Ejercicio: cálculo de derivadas

Hallar la derivada de h(x) = x · ln x para cualquier x positivo.

Resolución:

Resolución:

Resolución:

Llamando f(x) = x cos x - 2, f ' (x) = 1 · cos x + x · (- sen x) = cos x - x sen x (la derivada de 2 es cero por ser una constante)

Si g(x) = x2, g ' (x) = 2 x

Resolución:

Si f(x) = x tg x - cos x, f ' (x) = 1 · tg x + x (1 + tg2x) - (- sen x) = = tg x + x (1 + tg2x) + sen x

103

Resolución:

Resolución:

Resolución:

Resolución:

104

Bibliografía

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CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL. Piskunov

CÁLCULO SUPERIOR. Murray R. Spiegel

CÁLCULO. F. Granero Rodríguez.

PROBLEMAS DE CALCULO INTEGRAL. R.A.E.C.

CALCULO Y GEOMETRÍA ANALÍTICA. Larson

CALCULO Y GEOMETRÍA ANALÍTICA. Stein.

CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL. Granville.

CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL. Ayres

CALCULO PURCELL E.

CALCULUS LARSON R

CALCULO STEINS

CALCULO THOMAS

CALCULUS SMITH E.

CALCULO ZILL D.

CALCULO BOYLE W.

CALCULO GRANVILLE N

CALCULO EDWARDS

CALCULO HOFFMANN

Matemáticas y Cálculo Diferencial Autor: Fuenlabrado, Mc Graw Hill, 1995 Cálculo diferencial e Integral Autor: U. Piskunov, Limusa, 2001 Cálculo Diferencial e Integral con Geometría Analítica Autor:Suvoruv, IPN, 2001 Cálculo Diferencial e Integral Autor: William Anthony Granville, Limusa, 1980.