1

Derivadas

1. () = log5

Solucin:

Por la propiedad de cambio de base, la funcin () es igual a:

() = ()

(5)

Se saca una parte constante:

() =1

(5)

()

Comenzamos a derivar, derivando la funcin raz cuadrada del

logaritmo neperiano, por la regla de la cadena:

=

1

(5)

1

2()

1

Donde el trmino 1

, representa a la derivada interna.

Representando todo en forma ordenada, separamos lo que es

constante de la parte variable:

=

1

2(5)

1

()

2

2. () =1

+3

Solucin:

En esta funcin, derivamos directamente utilizando la derivada de

una divisin:

Llamemos:

= 1 = 1

= + 3 = 1

Con () =

. Si derivamos la expresin anterior, sabemos que nos

queda:

=

2

Debido que ya tenemos los datos anteriores, que coinciden con los

rojos, el problema se convierte en sustituir datos:

=(1) ( + 3) ( 1)(1)

( + 3)2

Simplificando la expresin del numerador, nos queda:

= + 3 + 1

( + 3)2

=

4

( + 3)2

3

3. () = (3 ())

Solucin:

Utilizando las propiedades para argumentos del Logaritmo

Neperiano, sabemos que la funcin (), se puede reescribir como:

() = (3) + (())

Adems:

() = 3() + (())

Hecho este arreglo de la funcin, podemos comenzar a derivar:

= 3

1

+

1

() ()

Si realizamos un arreglo, la derivada de la funcin () se puede

reescribir de la siguiente forma:

=3

+()

()

Y utilizando la funcin trigonomtrica de la Cotangente, tenemos:

=3

+ ()

4

4. () = (2 + 2 + 1)

Solucin:

Observando la expresin, podemos ver que el argumento del

Logaritmo Neperiano es un cuadrado perfecto:

() = (( + 1)2)

Utilizando propiedades para el argumento del Logaritmo Neperiano,

podemos reescribir la funcin () de la siguiente forma:

() = 2( + 1)

Ahora podemos comenzar a derivar el Logaritmo Neperiano por

medio de la Regla de la Cadena, de manera que obtendremos:

= 2

1

+ 1 (1)

Donde el numero uno de color rojo representa la derivada interna.

Y simplificando un poco la derivada de la funcin (), nos queda:

=

2

+ 1

5

5. () =+

()

Solucin:

Realizando el mismo procedimiento que en el ejercicio nmero 2,

podemos derivar directamente la funcin:

=

()1

( + )1

1

2() (())

(())2

Debido a que esta derivada requiere de un uso extensivo de la Regla

de la Cadena, tambien se vuelve larga y requiere de una

simplificacin bastante considerable:

=

()1 +

( + )1

()

2()

()

Simplificando an ms la expresin del numerador, que tiene

incluido a s misma un denominador:

=

2 () + ( + ) ()

2()

()

Y por la regla de doble C, tenemos que:

=2 () + ( + ) ()

2[()]32

6

Ecuaciones:

Observacin: Debido a que no se distingue si la Raz cuadrada

abarca o no todos los trminos del lado izquierdo de la igualdad, yo

asumir que la Raz abarca todos los trminos:

a) 3 + 9 = 4 (10 3)

Solucin:

Por medio de la propiedad distributiva:

3 + 9 = 40 4 3

Agrupando todos los trminos que poseen a la incgnita y

agrupando los nmeros que no multiplican a la incgnita, tenemos lo

siguiente:

3 + 4 3 = 40 9

5 3 = 31

Dividiendo:

3 =31

5

Y sacando la raz cubica a ambos lados de la igualdad, obtenemos el

valor buscado de la incgnita

= 31

5

3

7

b) 3 8 = 6

Solucin:

Como dije anteriormente, asumir que la raz cuadrada abarca todos

los trminos del lado izquierdo de la igualdad, y elevando ambos de

la igualdad al cuadrado:

3 8 = 62

3 8 = 36

Sumando 8 a ambos lados de la igualdad, podemos despejar la

incgnita elevada al cubo:

3 = 36 + 8

3 = 44

Y al igual que en el procedimiento anterior, podemos sacar la raz

cubica para despejar a la incgnita :

= 443

8

c) 5 + 1 =3

7

Solucin:

Elevaremos ambos miembros de la igualdad al cuadrado:

5 + 1 =32

72

5 + 1 =9

49

En segundo lugar, restaremos a ambos lados de la igualdad 1:

5 =9

49 1

5 =9 49

49

5 = 40

49

Ahora, para terminar, dividiremos a ambos lados de la igualdad entre

5:

= 40

(5) 49

Simplificando:

= 8

49