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T10. RELATIVIDAD GENERAL (II):

GRAVEDAD Y ESPACIOTIEMPO

1. Relatividad de las medidas del tiempo

2. Relatividad de las medidas espaciales

3. Métrica, curvatura y geodésicas

3.1 Concepto de métrica

3.2 Geometría euclídea

3.3 Geometría de Minkowski

3.4 Geometrías no euclídeas

4. Las ecuaciones de campo de Einstein

5. Volviendo al principio de equivalencia

Descubre la relatividad T10. Gravedad y espaciotiempo 1

Relatividad de las medidas de tiempo

Dilatación temporal gravitatoria

• reloj en movimiento ⇔ dilatación cinemática• reloj en campo gravitatorio + principio de equivalencia ⇔ dilatación gravitatoria

foton

m

,

h

(2)

(1) Experimento imaginario (Einstein)

E1 = mc2 = hν1

↓ ↑E2 = mc2 + mgh = hν2

⇒ E1

E2=

hν1

hν2=

mc2

mc2 + mgh

ν1

ν2= 1− gh

c2 o bienν2 − ν1

ν2=

ghc2 (> 0)

desplazamiento gravitatorio al rojo

Experimento de la torre de Harvard (Pound y Rebka, 1960) h = 22.6 m, transición atómicaν2 − ν1

ν2= 2.46× 10−15 (medible por efecto Mossbauer)


Periodo T =1ν⇒ ν1

ν2=

t0

t= 1− gh

c2 , es decir t = t0

(1 +

ghc2

)> t0

reloj más lento a mayor campo gravitatorio

Experimento de Hafele y Keating (1971)

Dilatación cinemática + dilatación gravitatoria: vE = 713 km/h tE = 41.2 h hE = 8900 m

vW = 440 km/h tW = 48.6 h hW = 9400 m

t

t0

h

Diferencia de tiempos Hacia el este Hacia el oeste

Dilatación cinemática −184± 18 ns 96± 10 ns

Dilatación gravitatoria 144± 14 ns 179± 18 ns

Efecto total −40± 23 ns 275± 21 ns

Efecto observado −59± 10 ns 273± 21 ns

Experimento del Smithsonian A.O. (Vessot et al., 1976) h=10000 km, maser en cohete

∆tt

=GN M⊕h

c2R⊕(R⊕ + h)= 4.25× 10−10


Sobre la validez de las fórmulas:

• Para h >∼ R⊕

cambiar gh porGN M⊕

R⊕− GN M⊕

R⊕ + h

• Para campo gravitatorio intenso (no es el caso de la Tierra)

t = t0

[1− 2GN M

(R + h)c2

]1/2 [1− 2GN M

Rc2

]−1/2

→ t0

(1 +

ghc2

), g =

GN MR2 (si el campo es débil)


Relatividad de las medidas espaciales

Principio de equivalencia: campo gravitatorio ⇒ cambio en las reglas de la geometría

Métrica, curvatura y geodésicas

Concepto de métrica

El cuadrado de la longitud del vector ~a de coordenadas ~a = (a1, a2, . . . , an) es

|~a|2 = ∑i,j=1,n

gijaiaj, g = métrica (tensor métrico) ⇒ distancias

Las distancias independientes del sistema de coordenadas, varían con la geometría (métrica)

Geometría euclídea (a la que estamos acostumbrados)

La del espacio plano (postulados de Euclides, particularmente el de las rectas paralelas)

Geodésicas ≡ el camino más corto entre dos puntos (líneas rectas en geometría euclídea)


Ejemplo A: Espacio euclídeo bidimensional

(superfice plana)

• Geodésicas = líneas rectas

• Métrica en . . .

– coordenadas cartesianas: (x, y, z)

~a = (ax, ay). Tomemos el vector elemento de línea: d~̀ = (dx, dy),

d`2 = dx2 + dy2 ⇒ gxx = gyy = 1, gxy = gyx = 0 o bien g =

1 0

0 1

– coordenadas polares: (r, ϕ)

~a = (ar, aϕ), donde x = r cos ϕ, y = r sin ϕ. Por tanto

d`2 = dr2 + r2dϕ2 ⇒ grr = 1, gϕϕ = r2, grϕ = gϕr = 0

• Longitud de una circunferencia: dr = 0 ⇒ C = 2πr


Ejemplo B: Superficie de una esfera en 3D (geometría no euclídea)

• Geodésicas = círculos máximos• Métrica en . . .

– coordenadas esféricas: (Rc, ϑ, ϕ)

d~̀ = (dx, dy, dz), x = Rc cos ϕ sin ϑ, y = Rc sin ϕ sin ϑ, z = Rc cos ϑ [Rc const]

d`2 = R2c(dϑ2 + sin2 ϑdϕ2) ⇒ gϕϕ = R2

c , gϕϕ = R2c sin2 ϑ, gϑϕ = gϕϑ = 0

– coordenadas polares: (r, ϕ)

Cambio de variables: r = Rcϑ,

d`2 = dr2 + R2c sin2

(r

Rc

)dϕ2 , comparar con espacio euclídeo: d`2 = dr2 + r2dϕ2

• Longitud circunferencia:

dr = 0 ⇒ C = 2πRc sin(

rRc

)< 2πr [C → 2πr si r � Rc]


Geometría de Minkowski

La del espaciotiempo plano (geometría de la relatividad especial)

• Geodésicas = líneas rectas

• 4D: Punto ≡ suceso (ct, x, y, z) = (x0, x1, x2, x3). Distancia ≡ intervalo

• Métrica en . . .

– coordenadas cartesianas: (ct, x, y, z)

ds2 = (cdt)2 − dx2 − dy2 − dz2 = (dx0)2 − (dx1)2 − (dx2)2 − (dx3)2

g = η ≡

1 0 0 0

0 −1 0 0

0 0 −1 0

0 0 0 −1

(no definida positiva)

– coordenadas esféricas: (ct, r, θ, ϕ)

ds2 = (cdt)2 − dr2 − r2(dθ2 + sin2 θdϕ2) .


Geometrías no euclídeas

• Elíptica: curvatura positiva constante

– Suma de los ángulos de cualquier triángulo mayor que 180◦

– Longitud de cualquier circunferencia menor que 2πr

• Hiperbólica: curvatura negativa constante

– Suma de los ángulos de cualquier triángulo menor que 180◦

– Longitud de cualquier circunferencia mayor que 2πr

• General: geometría de Riemann: curvatura variable de un punto a otro

En 4D es la geometría general del espaciotiempo


Las ecuaciones de campo de Einstein

Determinan la métrica del espaciotiempo a partir de la distribución de materia:

Rµν − 12R gµν −Λ gµν =

8πGN

c4 Tµν µ, ν = 0, 1, 2, 3

– tensor métrico gµν

– tensor de Ricci Rµν: tensor curvatura (a partir de segundas derivadas de gµν)

– curvatura escalar R: a partir del tensor curvatura

– tensor de energía-impulso Tµν: describe configuración de masa y energía en cada punto xµ

– constante cosmológica Λ (¿el error de Einstein?)


Salar de Uyuni, Bolivia


• Soluciones de especial relevancia:

– campo estático e isótropo (Ej. el creado por un planeta o una estrella)⇒ Métrica de Schwarzschild:

ds2 =

(1− 2GN M

rc2

)c2dt2 −

(1− 2GN M

rc2

)−1

dr2 − r2(dθ2 + sin2 θdϕ2)

– campo homogéneo e isótropo (el universo a gran escala según el principio cosmológico)⇒ Métrica de Robertson-Walker:

ds2 = c2dt2 − R2(t)(

dr′2

1− kr′2+ r′2(dθ2 + sin2 θdϕ2)

)• Otras:

– Métrica de Kerr (masas en rotación)

– Cuerdas cósmicas (hilos de materia)

– Paredes de dominio (planos de materia)


Volviendo al principio de equivalencia

B

A ¿B fijo o móvil?Pruebas para distinguir reposo de movimiento:

1. ¿Algo empuja a B hacia el borde exterior? SI

A: Fuerza centrífuga

B: Estático en un campo gravitatorio



B


2. Medir el intervalo ∆t entre dos sucesos: ∆tA > ∆tB

A: Dilatación temporal cinemática: ∆tA = γ∆tB > ∆tB, γ = 1/√

1− v2/c2

B: Dilatación temporal gravitatoria: el reloj de B debe ir más lento



B


3. Medir la longitud C de una circuferencia centrada en A y radio AB: CA < CB

A: Contracción de Lorentz: 2πr = CA = CB/γ < CB

B: Curvatura negativa: 2r < CB/π



B


4. ¿Observa B deflexión de la luz transversal a AB? SI

A: Debida a la rotación de los ejes de B

B: Debida a la curvatura (geodésica)


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