T10. Elementos placa

10.1. Teoría de placas: ecuaciones de equilibrio y relaciones momento-curvatura 10.1.1. Placas delgadas: teoría de Kirchhoff 10.1.2. Placas gruesas: teoría de Reissner-Mindlin 10.1.3. Consideraciones generales 10.2. Aplicación del PTV y formulación de los elementos 10.2.1. Placas delgadas 10.2.2. Placas gruesas 10.3. Elementos finitos para placas delgadas 10.3.1. Elemento rectangular MZC 10.3.2. Otros elementos rectangulares 10.3.3. Elementos triangulares: elemento DKT 10.4. Elementos finitos para placas gruesas 10.4.1. Matriz de deformación y rigidez 10.4.2. Cuadraturas de integración y bloqueo de la solución 10.5. Cálculo de esfuerzos y tensiones 10.5. Efecto del esviaje 10.6. Ejemplos de aplicación

Estructura laminar: una de las dimensiones (espesor t) es mucho menor que las otras dos, lo quepermite trabajar únicamente con su superficie media

La distinción entre placas y láminas es artificial, el comportamiento puro como placa solo existe en teoría lineal y casos especiales de geometría

T10. Elementos placa: introducción

���

���

�

���

��

��

Placa delgada: t/L < 0.05

Placa gruesa: t/L > 0.1

Placas trabajan sólo a flexión y cortanteLáminas se añade el trabajo de membrana al de placa

Las placas son una generalización de los elementos viga a 2D, con un acoplamiento de la flexión enlas dos direcciones ortogonales del plano

Teorías de placas:Placas delgadas Teoría de Kirchhoff (Euler-Bernuilli en barras)Placas gruesas Teoría de Reissner-Mindlin (Timoshenko en barras)

En las placas delgadas se desprecia la deformación por cortante transversal, mientras que las placasgruesas la incluyen

Placa homogénea, isótropa y teoría elástica lineal

Se trata de obtener las ecuaciones de equilibrio diferencial, las relaciones entre esfuerzos y tensiones, las deformaciones y las relaciones momento – curvatura en placas delgadas y gruesas

En la superficie media u = v = 0, w no nuloσx = σy = τxy = 0

Todos los puntos contenidos en una normal a la superficie media tienen la misma flecha wLa tensión normal σz se considera despreciable frente a σx, σy y τxy

T10. Elementos placa: Teoría de placas

�

�

�

����

�

�

�

��� ��

���

������

��

Carga y tensiones

Esfuerzos en un elemento diferencial

�

�

�����

�� �����������

����

�� �����������

�

�

�

�����

��� ������������

�����

��� ������������

�

�

�

�����

��� ������������

�����

��� ������������

Relación entre esfuerzos y tensiones

T10. Elementos placa: Teoría de placas

Los esfuerzos son por unidad de longitudLos valores máximos de las tensiones son

∫∫

∫∫∫

−−

−−−

τ=τ=

τ=σ=σ=

2t

2tyzy

2t

2txzx

2t

2txyxy

2t

2tyy

2t

2txx

dzVdzV

dzzMdzzMdzzM

/

/

/

/

/

/

/

/

/

/

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−=τ⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−=τ 2

2y

yz2

2x

xz tz41

t2V3

tz41

t2V3

tV51

tV51

tM6

tM6

tM6 y

yzx

xz2xy

xy2y

y2x

x

..=τ=τ=τ=σ=σ

qy

Vx

V0F yxz −=

∂∂

+∂∂

⇒=∑

yxyy

x Vx

My

M0M =

∂∂

+∂∂

⇒=∑

xxyx

y Vy

Mx

M0M =∂

∂+

∂∂

⇒=∑

qyM

yxM

xM yxyx −=

∂∂

+∂∂

∂+

∂∂

2

22

2

2

2

( )

4 4 4

4 2 2 4

3

2

2

12 1

qx x y y D

E tD

ω ω ω

ν

∂ ∂ ∂+ + =

∂ ∂ ∂ ∂

=−

Ecuaciones de equilibrio en el elemento diferencial

D = rigidez a flexión de la placa

Placas delgadas: Teoría de Kirchhoff

T10. Elementos placa: Teoría de placas delgadas

• Campo de movimientos

Se desprecia la deformación por cortante ( )

( )yy

xx

wzdy

yxdwzzvyzEn

wzdx

yxdwzzbbu

,

,

,:

,'''

−=−=θ−=

−=−=θ−==

( )( )( )

{ }Tyxy

x

www

yxw

yxwzyxwz

zyxwzyxvzyxu

,,,

,

u

),(

),(),(

,,,,,,

u =⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

−

−

=⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧=

• Campo de deformaciones y tensiones

⎪⎪

⎩

⎪⎪

⎨

⎧

=γ=γ≈ε

−=+=γ

−==ε

−==ε

0;0

wz2vu

wzvwzu

yzxzz

xyxyxy

yyyy

xxxx

,,,

,,

,, { } { }Txyyyxx

Txyyx w2wwz ,,,−=γεε=ε

{ }Txyyx τσσ=σ

Las tensiones tangenciales τxz y τyz se calculan a posteriori a partir de las ecuaciones de equilibrioentre flectores y cortantes.La tensión σz es nula, respecto a εz su valor se puede calcular a posteriori como: )(

E yxz σ+σν

−=ε

�

�

��

��

�

��

��� ��

�

�

��

Placas delgadas: Teoría de Kirchhoff

T10. Elementos placa: Teoría de placas delgadas

• Relación tensión-deformación

• Relación momento-curvatura

Coincide con la ecuación constitutiva de tensión planaEn el caso de material isótropo y deformaciones iniciales térmicas:

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧∆α=

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

ν−ν

ν

ν−=−=

011

Ty

2100

0101

1Econ 2 00 εεεσ KK D)(D

( )

{ }

{ }⎪⎪

⎩

⎪⎪

⎨

⎧

−=

=

=

−=

Txyyyxx

3

Txyyx

w2ww12t

MMM

con

,,,

KXKXK DD

M

DM

χ

χχ 0

Siendo DXK la matriz constitutiva de flexión en la teoría de Kirchhoff.

∫ ∫ ∫− − −

ν+ν−

−=νε+εν−

=σ=2t

2t

2t

2t

2t

2tyyxx2

2yx2xx dzww

1Ezdz

1EzdzzM

/

/

/

/

/

/,, )()(

)()( ,, yyxx2

3

x ww112

EtM ν+ν−

−=

En el caso del momento flector en x:

Placas gruesas: Teoría de Reissner-Mindlin

T10. Elementos placa: Teoría de placas gruesas

• Campo de movimientos

Se considera de forma simplificada la deformación por cortante

• Campo de deformaciones y tensiones

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛φ+

∂ω∂

−=θ−=

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ φ+∂ω∂

−=θ−=

yy

xx

yzzv

xzzu

( )( )( )

{ }, , ( , ) ( , ), , ( , ) /

/( , ), ,

x

y x x y

y

u x y z z x y w x yv x y z z x y w x w

w yw x yw x y z

θθ φ θ θ

φ

⎧ ⎫ ⎧ ⎫⎧ ⎫−⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪= = − → ∂ ∂ + =⎨ ⎬ ⎨ ⎬ ⎨ ⎬⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪∂ ∂ +⎩ ⎭ ⎩ ⎭⎩ ⎭

u u

Los giros y la flecha de cada punto del plano medio pasan a ser variables independientes

⎪⎩

⎪⎨

⎧

φ−=θ−=+=γ

φ−=θ−=+=γ

θ+θ−=+=γ

⎪⎩

⎪⎨

⎧

≈ε

θ−==ε

θ−==ε

yyyyzyz

xxxzxxz

xyyxxyxy

z

yyyy

xxxx

wwvwuw

zvu

0

zvzu

,,,

,,,

,,,,

,,

,, )(

{ }Tyzxzxyyx γγγεε=ε

{ }Tyzxzxyyx τττσσ=σ

�

�

�

��

�

�������

�����

T10. Elementos placa: Teoría de placas gruesas

• Relación momento-curvatura

( )

{ }

{ }⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪

⎨

⎧

−θ−θθ+θθθ−=

⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎣

⎡=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡=

=

−=

Tyyxxxyyxyyxx

3

Tyxxyyx

)w()w()(

t12t

t

VVMMM

con

,,,,,,

C

K

C

XKXRMXRM

D0

0DD0

0DD

M

DM

χ

χχ 0

• Relación tensión-deformación

En el caso de material homogéneo e isótropo, a partir de las expresiones de elasticidad 3D y aplicandoque σz = 0

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡=−=

1001

Gycon cc

KRMRM D

D00D

D)(D 0εεσ

Con DK la matriz constitutiva de Kirchhoff asociada a la flexión, y DC la de cortadura.

Coeficientes de distorsión transversal:

En el caso de placas de espesor constante e isótropas se toma:

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡α

αν+

=2

1

00

12E

)(Dc

α1 = α2 = 5/6

Placas gruesas: Teoría de Reissner-Mindlin

El comportamiento a flexión de las placas esta acoplado en las direcciones x e y, incluso en las placas isótropas

En el caso de una flexión cilindrica:

T10. Elementos placa: Consideraciones generales

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

ν−ν

ν

ν−−=

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

xy

yy

xx

2

3

xy

y

x

w2

ww

2100

0101

112Et

M

MM

,

,

,

)(

�

��

��

��

�

� w,yy = constante y w,xx = w,xy = 0Pero el flector en x ya no es nulo dentro de la placa

Mx = -(νt3E/12(1-ν2)) w,yy

Las tensiones σx originadas se llaman anticlasticas

La torsión si que esta desacoplada de las flexiones, siendo posible alcanzar estados de torsión pura

Con w = xy, que produce w,xx = w,yy = 0 y w,xy = 1 , las flexiones son nulas y el torsor es constante

Los GDL en los elementos finitos placa delgada son (w, w,x, w,y) y los elementos son de clase C1, mientras que en los de placa gruesa son (w, θx, θy) , y los elementos son de clase C0

Se considera un elemento placa en equilibrio bajo la acción de la carga distribuida q, las cargas nodales de equilibrio Pzi y los momentos nodales de equilibrio Mxi y Myi

T10. Elementos placa: PTV y formulación de los elementos finitos

• Placas delgadas

Elementos de clase C1

�

�

�

�����

���������

)MM(PwdAwqdV yiyii

xixii

zii

AV

T

ee

δθ+δθ+δ+δ=δ ∑∑∫∫ σε

dAMw2MwMwdAWLuego

dAdAdzzdVzdVW

ee

eeee

Axyxyyyyxxx

A

ΤF

A

Τ2t

2tA

Τ

V

Τ

V

TF

∫∫∫∫

∫∫∫∫∫∫∫++−=δ=

δ=δ=δ=δ=−

)(:

)(

,,,

/

/

Μχ

Μχσχσχσε

int

int

Para asegurar la continuidad nodal de flechas y giros se toman como variables nodalesla flecha y los dos giros en cada nudo

{ } { } { }yixiziyixii1 MMPw =θθ== iin raaaa K

T10. Elementos placa: PTV y formulación de los elementos finitos

• Placas delgadasEn un elemento de n nudos habrá 3n términos en el polinomio de aproximación de la flecha

K+α+α+α+α+α= xyxyxw 52

4321

Calculándose los 3n coeficientes mediante la flecha y los giros en cada nudo

n1iyw

xwww iyiixiii ,...,)()()( =

∂∂

=θ∂∂

=θ= BaNa == χyw

Los vectores y matrices elementales se definen como:

rqra)(

NfNaaN

BDBKaBDBa

e

e

XKe

XK

=⇒δ=δθ+δθ+δ

=⇒δ=δ=δ

=⇒δ=δ=δ

∑∑

∫∫∫∫∫∫∫∫

∫∫∫∫∫∫∫

Tyiyi

ixixi

izii

A

T

A

TT

AA

A

T

A

TT

AV

T

MMPw

dAqdAqdAqdAwq

dAdAdAdV

eeee

eeee

χΜσε

Ensamblando las contribuciones elementales se obtiene la ecuación de equilibrio global

∑∫∫∑∫∫ ===e A

T

e A

T

ee

dAqydAcon NfBDBKfaK XK

T10. Elementos placa: PTV y formulación de los elementos finitos

• Placas gruesas

Elementos de clase C0

Elemento isoparamétrico de n nudos

dAdVee A

T

V

T ∫∫∫ δ=δ Μχσε

{ } { }yixii1 w θθ== in aaaa K

[ ]⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧==

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

θ

θ==⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

θ

θ= ∑=

3

2

1

in1

n

1i

iyi

ixi

ii

y

x

N000N000N

...,conNN

wNwN;N,NNNau

Las funciones de forma son las ya estudiadas en el caso de elasticidad bidimensional

Se toman como variables nodales la flecha y los dos giros en el plano de cada nudo

T10. Elementos placa: Elementos finitos placa delgada

Elemento rectangular MCZ�

�

�

��

�

�

�

���

��b

yya

xx

o

o

−=η

−=ξ

�� �

� �� �

� �� �� �

�� �� �� �� ��

���������

������

����������

� ����

312

311

310

29

28

37

265

24321

xyyxyxyyx

xyxyxyxw

α+α+α+α+α+

+α+α+α+α+α+α+α=

Na=w

))()((Na ,,

4

1iiyiixiii wNwNwNw ++== ∑

=

[ ] [ ] { } { }

⎪⎩

⎪⎨

⎧

ξξ+η+η−η=

ηη+ξ+ξ−ξ=

η−ξ−ηη+ξξ+ηη+ξξ+=

θθ====

811bN

811aN

8211N

siendo

wNNN

ii2

i

ii2

i

22iiiii

Tyixiiiii

/))()((

/))()((

/))()((

,,a;aaa;,,N;N,N,N,NN i41e

i4321 K

La flecha es continua entre elementos con una variación cúbica en los lados del elemento, pero los giros en las caras del elemento son incompatiblesSolución explícita de Melosh para las funciones de forma:

T10. Elementos placa: Elementos finitos placa delgadaElemento rectangular MCZFunciones de forma

8/)2)(1)(1(N 221 η−ξ−η−ξ−η−ξ−=

0N

rad1NNLuego

aN

8111aN

111

x11111x1

111

21

=

=ξ⋅=

=

η−−ξ−ξ=

−−η

−−ξ−−

−−ξ

),(,

,),(,),(,

),(,

)(

)()(:

)(

/))()((

rad1NNLuego

aN

0N

8111bN

y11

111

y1

111

111

21

=η⋅=

=

=

ξ−−η−η=

−−η

−−

−−η

−−ξ

,),(

,),(

,

),(,

),(,

)()(:

)(

)(

/))()((

Matriz de deformación [ ]4321

4

1iii B,B,B,BB;aBBa === ∑

=

χ

∑=

⎪⎪⎭

⎪⎪⎬

⎫

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

++

++

++

−=⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

−

−

−

=4

1i

iyxyiixxyiixyi

iyyyiixyyiiyyi

iyxxiixxxiixxi

xy

yy

xx

wN2wN2wN2

wNwNwN

wNwNwN

w2

ww

)()()()()(

)()()()()(

)()()()()(

,,,,,

,,,,,

,,,,,

,

,

,

χ⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−−

−−−−−−

=

xyixyixyi

yyiyyiyyi

xxixxixxi

i

N2N2N2NNNNNN

,,,

,,,

,,,

)()()()()()()()()(

Β

T10. Elementos placa: Elementos finitos placa delgadaElemento rectangular MCZ• La matriz de deformación y los esfuerzos varían linealmente en el elemento• Las derivadas en cartesianas se calculan mediante la regla de la cadena

• El elemento es incompatible, ya que los giros entre elementos no son continuos.En el ejemplo siguiente, suponiendo todos los GDL son nulos salvo una flecha unitaria en en nudo 1

• Si el elemento MZC es rectangular, satisface el criterio de la parcela y produciendo resultadosmuy precisos, pero con formas cuadrangulares no es convergente

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

η∂∂

=∂∂

ξ∂∂

=∂∂

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

η∂∂

=η

⋅η∂∂

=∂∂

ξ∂∂

=ξ

⋅ξ∂∂

=∂∂

2

2

22

2

2

2

22

2

b1

y

a1

xy

b1

dyd

y

a1

dxd

x

!

�

"

#

$

%

&

'

��

Flechas en los elementos: Na=w

08/)2)(1)(1(1N

B

221A

=ωη−ξ−η−ξ−η−ξ−=⋅=ω

0w

81w8331w

0w

0w8331w

B

21A

22A

B

1A22

A

=

ξ−ξ=⇒η+ξ+ξ+−ξ−=

=

=⇒η+η+ξ+−η−=

η

=ηηη

ξ

=ηξξ

,

,,

,

,,

)(

/)()(/))(()(

)(

)(/))(()(

T10. Elementos placa: Elementos finitos placa delgadaOtros elementos rectangulares

• Hay una gran variedad de elementos a los que se añaden nuevas variables nodales como w,xy, peroninguno de ellos garantiza la convergencia

• Los elementos rectangulares conformes se obtienen por unión de triángulos conformes

Elementos triangulares

• Los elementos triangulares de tres nudos no son compatibles, volviendo a producirse el problemade falta de continuidad en los giros normales entre elementos

• Para conseguir un elemento triangular conforme es necesario introducir nudos adicionales en elcentro de las aristas, y con una única variable asociada, el giro normal

• Elemento DKT (Discrete Kirchhoff Triangle): se obtiene a partir del elemento de tres nudos y la imposición de ecuaciones de restricción en puntos de su contorno. El comportamiento del elementoes bueno, incluso con distorsiones altas de su geometría

�

"

#

$%

��� �����������

T10. Elementos placa: Elementos finitos placa gruesaPermiten analizar placas delgadas y gruesas, sin embargo, al utilizarse en placas delgadas son menos precisos que los elementos de Kirchhoff

• Elementos más habituales

• Matrices de deformación y rigidez

�

�� �

�

��

�

�

�

�

��

�

��

�

�

�

�

�

�

��

�

��

�

�

Bilineal (12 GDL) Cuadrático Lagrangiano (27 GDL) Serendipito (24 GDL)

[ ]n1

n

1iii B,...,BB;aBBa === ∑

=

χ

i

n

1ii

n

1i

iyiiyi

ixiixi

iyxiixyi

iyyi

ixxi

yy

xx

xyyx

yy

xx

NwNNwN

NN

NN

ww

aB)(

,

,

,,

,

,

,

,

,,

,

,

∑∑==

=

⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪

⎬

⎫

⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪

⎨

⎧

θ−

θ−

θ+θ−

θ−

θ−

=

⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪

⎬

⎫

⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪

⎨

⎧

θ−

θ−

θ+θ

θ

θ

−=χ

⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪

⎬

⎫

⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪

⎨

⎧

−−

−−−

−

=

iyi

ixi

xiyi

yi

xi

i

N0N0NNNN0N000N0

,

,

,,

,

,

Β

dAeA

T∫∫= BDBK XRMe dA = det(Je)dξdη

T10. Elementos placa: Elementos finitos placa gruesaCuadraturas de integración y bloqueo de la solución

[ ]

⎪⎪⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪⎪⎪

⎨

⎧

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

−−

=

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

−−−

−=

=

=

+=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡==

∫∫

∫∫

∫∫∫∫

iyi

ixici

xiyi

yi

xi

fi

Ac

Tc

ec

Af

Tf

ef

ec

ef

A c

fTc

Tf

A

T

N0N0NN

NN0N000N0

dAt

dA

con

dAdA

e

e

ee

,

,

,,

,

,

C

XK

XRMXRMe

BDBK

BDBK

KKBB

DB,BBDBK

Β

Β

faKKfaK(K =ν+

+ν−

⇒=+ ))1(2

Et)1(12

Et() *c

*f2

3

cf

• Si la placa se hace delgada, la deformación por cortante transversal es despreciable, y la respuestadebe estar gobernada por Kf. Sin embargo, si t tiende a cero Kc gobierna la solución, pudiendo llegara obtenerse en el límite resultados con movimiento nulo

• Para evitar este problema se utilizan integraciones reducidas o selectivas de Kc, con el fin de hacerlasingular

T10. Elementos placa: Elementos finitos placa gruesaCuadraturas de integración y comparación de resultados

Elementos placa gruesa, integración y mecanismos

Tipo de integración Tipo de elemento Kf Kc Mecanismos

Bilineal (B) 12 GDL

R S C

1 x 1 2 x 2 2 x 2

1 x 1 1 x 1 2 x 2

4 2 0

Lagrangiano (L) 27 GDL

R S C

2 x 2 3 x 3 3 x 3

2 x 2 2 x 2 3 x 3

4 1 0

Serendipito (S) 24 GDL

R S C

2 x 2 3 x 3 3 x 3

2 x 2 2 x 2 3 x 3

1 0 0

Heterosis (H) 26 GDL

S 3 x 3 2 x 2 0

(R = Reducida, S = Selectiva, C = Completa)

0.7

0.8

0.9

1

1.1

1.2

0 50 100 150 200 250 300 350 400 450 500 550 600L/t

wc/wtB-C

L-C

S-C

B-S

L-R,S y H

S-R,S

Comportamiento de los elementos placa gruesa (wc/wt = flecha calculada/teórica)

T10. Elementos placa: Cálculo de esfuerzos y tensionesConocidos los desplazamientos, las relaciones momento curvatura permiten calcular los esfuerzos, y a partir de estos las tensiones mediante las relaciones tensión esfuerzo.

Los errores máximos tensionales se producen en el cálculo de las tensiones tangencialestransversales

En elementos lineales el error mínimo se produce siempre en el centro del elemento. Es habitualasumir ese valor central como constante en todo el elemento

El error debido a la distorsión por esviaje es importante tanto en elementos triangulares comocuadrangulares

N 90º 80º 40º

4

8

14

-20

-15

-10

-5

0

0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.31/N

% error

P4-80º

P4-40º

P3-80º

P3-40º

T10. Elementos placa: EjemplosCálculo de forjados

Movimiento vertical (m)

Flectores My (KNm/m)

Flectores Mx (KNm/m)

T10. Elementos placa: EjemplosTablero ortótropo

2 m

10 m

1 m 1 m

0.5 m0.3 m

1.2 m

2 m 2 m 2 m

Y

40 m

10 m

X

Y

X

10 m40 m

30°

Caso 1: Peso Propio Caso 2: Sc. de –5 kN/m2 Caso 3: Sc de –5 kN/m2 Caso 4: Sc de –10 kN/m2

Modelizaciones• Emparrillado plano

• Emparrillado espacial

• Losa ortótropa plana

• Elementos sólidos

T10. Elementos placa: EjemplosTablero ortótropo Resultados de flechas máximas

Peso propio

Recto 13.53 cm 4.60 cm 3.36 cm 4.80 cm Elementos sólidos Esviado 30º 13.18 cm 4.48 cm 3.25 cm 4.65 cm

Recto 13.99 cm 4.48 cm 3.32 cm 4.75 cm Elementos lámina Esviado 30º 13.64 cm 4.37 cm 3.25 cm 4.64 cm

Recto 17.73 cm 6.02 cm 3.27 cm 2.89 cm Vigas +

Barras rígidas Esviado 30º 14.45 cm 4.91 cm 2.78 cm 2.46 cm

Recto 13.33 cm 4.53 cm 3.05 cm 3.31 cm Emparrillado

Esviado 30º 12.87 cm 4.37 cm 3.01 cm 3.76 cm

Movimiento vertical (m) en LC4 para el modelo 1 en el caso de tablero recto