solucionario pruebas cursos anuales - geometria 2009

7/25/2019 Solucionario Pruebas Cursos Anuales - Geometria 2009

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SOLUCIONARIO

PRUEBA MT-111

2009


2/78

1. La alternativa correcta es D.

Sub-unidad temtica ngulos y tringulos. PolgonosHabilidad Comprensin

Heptgono: polgono de 7 ladosNmero de diagonales desde un vrtice (d) = n 3 , con n: nmero de lados, entonces:d= 7 3 = 4

2.La alternativa correcta es B.

Sub-unidad temtica ngulos y tringulos. PolgonosHabilidad Aplicacin

B

C

D

A

F

E

50

70

6060

CDAB // , entonces = 50 (por ngulos alternos internos), por lo tanto, BFA= 60

FBCE// , entonces CED= 60 (por ngulos alternos internos) , por lo tanto, = 70

Entonces, + = 120

3.La alternativa correcta es E.

Sub-unidad temtica ngulos y tringulos. PolgonosHabilidad Anlisis

I. Verdadera, ya que:180 82 = 98

II. Verdadera, ya que:90 35 = 55

III. Verdadera, ya que:


3/78

Suma de los ngulos interiores = 180 (n 2), con n: nmero de lados= 180 (8 2)= 180 6= 1.080

Por lo tanto, ninguna de ellas es falsa.

4.La alternativa correcta es D.


: : = 3 : 5 : 10, entonces k3= , k5= y k10=

+ + = 180 (Reemplazando)

1801053 =++ kkk 18018 =k

10=k

Entonces, ngulo mayor :

k10= (Reemplazando)

100=

Por lo tanto:2002 =


4/78

5.La alternativa correcta es C.


TringuloABCissceles en C, tringuloDBC equiltero y = 40, entonces:

AB

C

D

40

60

40

= 60 + 40 = 100 (Por teorema del ngulo exterior de un tringulo)



A B

C

6

3

rea achurada = rea tringulo mayor rea tringulo menor

= 34

334

6 22

= 34

93

4

36

= 234

27cm


5/78



CEes bisectriz del nguloACB,= 65 y = 45, entonces:

x

65 45

D EA B

C

35

45

Por suma de ngulos interiores del tringuloABC, se tiene que ACB= 70como CEes bisectriz del ACB, entonces el ECB = 35DCB= 35 +x= 45Por lo tanto, x= 10



E

G

F

24 cm

12 cm

x

Aplicando teorema de Pitgoras:222 2412 x=+ 2576144 x=+

/720 2x=

x=5144 x=512

Por lo tanto:

512=FG

Observacin:

Si un cateto es el doble del otro, la hipotenusa corresponde al cateto menor por raz de5.


6/78

En este caso, la respuesta inmediata es cm512



B

C

A

1160

30

AB corresponde a la altura del tringulo equiltero de lado 11, por lo tanto,AB=

32

11

10.La alternativa correcta es A.


A B

C

45 45

12

Como es un tringulo rectngulo issceles, es un tringulo de ngulos 45 y 90,entonces sus catetos miden:

cm26


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DEes una mediana del tringuloABC rectngulo en C, entoncesDyEson puntosmedios. C

D E

A B

1

1

1

En tringuloDCE, el tro pitagrico 3, 4 y 5 amplificado por 3 es 9, 12 y 15, por lotanto, CE= 9, entoncesBC= 18.

rea achurada =4

3rea achurada del tringuloABC

=2

1824

4

3

= 162 cm2



Si un cateto es el triple del otro, la hipotenusa corresponde al cateto menor por raz de10.

En este caso, la respuesta inmediata es cm106

18

A B

C

D

6

106

18

A B

C

D

6


8/78

Luego, aplicando teorema de Euclides:

AB

BCACCD

=

106

186 =CD

10

18=CD



3P Q

R

S169

Aplicando teorema de Euclides:

( ) /31692 =RS

313=RS



C

A B

D

25

9


9/78

I. Verdadera, ya que:Aplicando teorema de Euclides:

= /34252AC

345 =AC

II. Verdadera, ya que:Aplicando teorema de Euclides:

= /9252AD

35 =AD 15=AD

III. Verdadera, ya que:

Aplicando teorema de Euclides:= /3492AB

343 =AB



Si el lado del tringulo es a, su permetro es 3a, entonces:Permetro = 363a = 36a= 12

rea del tringulo =( )

34

2lado

= 34

122

= 34

144

= 336


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R

QS

10

SiPQ= 1010 yRQ= 10, entoncesPR= 30. (Un cateto es el triple del otro)Aplicando teorema de Euclides:

1010

1030 =RS

10

10

10

30=RS

10

1030=RS

103=RS

Aplicando teorema de Euclides:

SQRQ = 10102

SQ= 1010102

SQ=1010

100

SQ=10

10

SQ=

10

1010

SQ=10

I. Verdadera, ya que:

Permetro del tringuloRSQ= RQSQRS ++

= 1010103 ++

= 10104 +

II. Falsa.

III. Verdadera.

P

1010

30


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17.La alternativa correcta esC.


E

C

BA

1:2: =EBAEAB=9AE= 6 yEB= 3

Aplicando teorema de Euclides:362 =EC

/182 =EC

18=EC

29 =EC

23=EC

Entonces:

rea tringuloABC=2

239

=2

227


Sub-unidad temtica ngulos y tringulos. Polgonos

Habilidad Anlisis

I. Verdadera.

II. Falsa, ya que en un pentgono regular cada ngulo interior mide 108.

III. Falsa, ya que el teorema de Pitgoras es vlido slo para los tringulos rectngulos.


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Sub-unidad temtica ngulos y tringulos. PolgonosHabilidad Evaluacin

30

A B

C

(1) 33=AC . Con esta informacin, es posible determinar la medida deBC, ya que eltringuloABCcorresponde a la mitad de un tringulo equiltero.

(2)AB= 3. Con esta informacin, es posible determinar la medida deBC, ya que eltringuloABCcorresponde a la mitad de un tringulo equiltero.

Por lo tanto, la respuesta es: Cada una por s sola.


Sub-unidad temtica ngulos y tringulos. PolgonosHabilidad Evaluacin

A B

C

D 6

(1) CD= 32 . Con esta informacin, no se puede determinar el valor del trazoAD, yaque CDno es altura.

(2) ABCD yBC= 34 . Con esta informacin, se puede determinar el valor deltrazoAD, ya que se puede aplicar el teorema de Euclides.

Por lo tanto, la respuesta es: (2) por s sola.


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SOLUCIONARIO

PRUEBA MT-121

2009

1


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Sub-unidad temtica TrigonometraHabilidad Conocimiento

Q

R

P

p

q

r

hipotenusa

adyacentecateto)cos( =

p

q)cos( =


Sub-unidad temtica TrigonometraHabilidad Comprensin

x

z

y

Aplicando las definiciones de coseno y seno, tenemos

z

y

hipotenusa

adyacentecateto)cos( ==

zx

hipotenusaopuestocateto)sen( ==

z

x

z

y)sen()cos( =

z

xy

=

2


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Sub-unidad temtica TrigonometraHabilidad Aplicacin

sen =23 ,

Traspasando los valores del seno a un tringulo rectngulo cualquiera y aplicandoteorema de Pitgoras.

3

2

y

222 23 =+ y)(

43 2 =+ y

y 342 =

12 =y 1=y

Reemplazando en la expresin pedida:

2

33

2

332

2

3

1

3)sen()tg( =

+=+=+

3


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Realizando un diseo del problema:

Piedra30

3,5

x

Aplicando la tangente de 30 tenemos:

x5,3)30tg( =

x

5,3

3

1=

35,3x =

Luego, la distancia entre la piedra y el poste es 3,5 3 metros.



C

BA32

7

Aplicando la tangente de 32, resulta:

7)32tg(

BC=

BC= )32tg(7

4


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Sub-unidad temtica CuadrilterosHabilidad Aplicacin

C

D

A

aB

El lado del cuadrado mayor es 2a, entonces,el rea deT= 4a2

El lado del cuadrado pequeo es a, entonces,el rea deP= a2

Luego,

2

2

4a

a

T

P=

4P= T

P=4T



BA

CD

Si la diagonal mide 220 , el lado del cuadrado mide 20.Luego, el permetro achurado es igual que el permetro del cuadrado, entonces,

Permetro cuadrado = Permetro Achurado = 4 20 = 80 cm.

6


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Sub-unidad temtica Cuadrilteros

Habilidad Anlisis

B

CD

A

E

F

Como el largo del rectngulo achurado es igual a la diagonal del cuadrado, el largo mide

2xEl ancho es igual a la mitad del largo, luego:

22

2

4

2

22achuradorectngulorea xx

xx ===



D C

A B

6 8

10

Las diagonales son perpendiculares y se dimidian, por teorema de PitgorasDC= 10,la figura sombreada corresponde a dos tringulos congruentes (iguales), por lo tanto:

cm4824210)82(6sombreadoPermetro ==++=

7


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Sub-unidad temtica CuadrilterosHabilidad Anlisis

I) Verdadera, el permetro aumenta al doble.

II) Falsa, el rea se cuadruplica.

III) Verdadera, la diagonal aumenta al doble.


Sub-unidad temtica CuadrilterosHabilidad Comprensin

A B

CD

6M N

E

El rea se calcula mediana por altura y DE = altura.Luego, el rea es 6 9 = 54.

El triple del rea es 3 54 = 162.



A B C

DE

5

3

4

4

4

4

ComoABDEes un cuadrado, cada lado mide 4 cm, y comoAC= 7, entonces,BC= 3 cm. Por tros pitagricosDC= 5.

Luego, el permetro del trapecioACDE es 4 + 4 + 4 + 3 + 5 = 20 cm.

8


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A

Como es un trapecio issceles, AD= 6. Aplicando la mitad de un tringulo equiltero,entonces,

2

39

2

333

2

AEDtringulorea =

=

=alturabase



4

9

2

9

2MNCDtrapeciorea

hh==

hh 55ABCDtrapeciorea ==

Entonces:

20

9

5

1

4

9

54

9

===h

h

h

h

CDtrapecioABrea

CDtrapecioMNrea

Por lo tanto, la razn entre las reas es 9 : 20

B

CD6

AE

60

6 3 3

3

5 cm

4 cm

N

A

M

D C

B6 cm

9


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A

CD

E

12 12

5

12 12

B10

ABCDtrapecio issceles, entoncesAD= 12Como ABDC// yDC= 5, entonces, es una mediana del tringulo, luego

ED=DA= 12, de la misma formaEC= CB= 12, ya queCy D son puntos medios.

Luego, el permetro del tringuloABE= 12 + 12 + 12 + 12 + 10 = 58 cm



6

60

8

D C

BA E

4 38

4

I. Verdadera, ya que es un trapecio issceles,AD=BC.

II. Verdadera, ya queAD +DC+ CB+AB= 8 + 6 + 8 + 14 = 36

III. Verdadera, ya que representa la altura de un tringulo equiltero de lado 8.

10


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Sub-unidad temtica TrigonometraHabilidad Evaluacin

B

C

A

12

(1)AB= 24. Con esta informacin, s es posible determinar la tangente de , ya que,podemos aplicar teorema de Pitgoras y conocer el otro cateto, luego, aplicar ladefinicin de tangente.

(2) = 30. Con esta informacin, ses posible determinar la tangente de , ya que

conocemos la tg 30 =3

3



Sub-unidad temtica CuadrilterosHabilidad Evaluacin

ECA

B

D

(1) BD= 10 cm yEC= 2 cm. Con esta informacin, no es posible determinar el readel deltoide, ya que no conocemos la base del deltoide, por lo tanto no sabemos qudiagonal dimidia a la otra.

(2)AC: base. Con esta informacin noes posible determinar el rea del deltoide, ya

que no conocemos las medidas de las diagonales del deltoide.

11


24/78

Con ambas informaciones, s es posible determinar el rea del deltoide, ya que

conocemos la base y sabemos que DB dimidia aAC. Luego, podemos determinar la

medida de la diagonal ACy con ello el rea del deltoide.

Por lo tanto, la respuesta es: Ambas juntas.

12


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SOLUCIONARIO

PRUEBA MT-131

2009

1


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1. La alternativa correcta es E.

Sub-unidad temtica Circunferencia y crculoHabilidad Aplicacin

Estableciendo que el nguloAOBes del centro, entoncesnguloAOB = 2= 30

Aplicando la frmula del rea del sector, con radio = 12 cm, tenemos

360

3012circularsectorrea

2 =

AOB

12360

30144circularsectorrea =

=AOB cm2

2. La alternativa correcta es B.


Si el arcoBCes la quinta parte de la circunferencia entonces quiere decir que es unquinto de 360, luego mide 72.

C

B

A

O

x

72Entonces:el valor dexes la mitad del arco que subtiende, yaque es un ngulo inscrito, luego

x= 36

2


27/78

3. La alternativa correcta es A.


AO

B

C

30 60

60 60

Aplicando que BCy,OB,OC,AO son radios (miden lo mismo), entonces el tringuloOCB es equiltero. Luego cada ngulo interior mide 60.

El ngulo del centro COB mide 60 y subtiende el mismo arco que el ngulo inscrito ,entonces, = 30

4. La alternativa correcta es C.


Como es un hexgono regular,arcoFA= arcoAB= arcoBC= arco CD= arcoDE= arcoEF= 60

Planteando una ecuacin, tenemos2x+ 10 = 602x= 50

x= 25

El doble dexes 50.

3


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Utilicemos la razn dada3 3

2 2

CE EDCE

ED= =

Y adems la proporcin de las cuerdas

EBAEEDCE = 3

2

ED ED = 24 9

ED ED = 16 9

ED2

= 144ED= 12

Reemplazando el valor deED, tenemos

3 3618

2 2

EDCE= = =



Aplicando el teorema de las secantes.

D

BAC

165

O

ECBCACECD =

16 21 = CA 14

24 = CA

14

Luego, el dimetro de la circunferencia es CA CB= 24 14 = 10 cm

4


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Aplicando el teorema de la tangente y la secante.B

AD AC = AB2 A81 36 =AB2 /

9 6 =AB 36C54 =AB

45Luego, AB= 54 cmD


Sub-unidad temtica Circunferencia y crculoHabilidad Anlisis

Como el arcoAC= 154, entonces arco CD= 158

Luego:I) Falsa, ya que CBD= 79II) Verdadera, ya que DCA= 24

III) Verdadera, ya que:Arco CA= Arco CD+ ArcoDA= 158 + 48 = 206

A

D C

B

24

2477


Sub-unidad temtica Circunferencia y crculo

Habilidad Anlisis

I) Verdadera. CE=ED ( OE sagita).

II) Verdadera. EDCEEBAE = (por teorema de las cuerdas).

III) Verdadera. OEes apotema (por definicin).

158

79

48

A

B

C DE

O

5


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Sub-unidad temtica Geometra de ProporcinHabilidad Aplicacin

Si , entoncesAB=DE, luegoDEFABC Aplicando teorema de Pitgoras, al triangulo rectnguloFED, tenemos que un cateto es

el triple del otro, luego la hipotenusa mide 15 10 cm.



ComoABEDes un trapecio, entonces DE// AB , luego los tringulosDECyABCson

semejantes con razn de semejanza7

10, luego

C

D E

A B

ABC

DEC

2

A

A

10

7

=

ABC

DEC

A

A

100

49

=

.



SiRdivide al trazoPQinteriormente tenemos

11

6=

RQ

PR

11

6

55 =

PR

PR =30

Luego, PQ= 85 cm

6


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32/78

Ahora, aplicando teorema de Thales, ya que AB //DE, tenemos

4

3==

B

DE

CB

CE

434 =DE 3=DE



En un trapecio las bases son paralelas, luego podemos aplicar el teorema de Thales.Entonces, tenemos

DG CG=

GB GA

8

6

24 =

DG

18

8

246=

=DG

CD

G

A B

Luego, el triple de GD es 54 cm.


Sub-unidad temtica Transformaciones isomtricas. Volmenes y superficiesHabilidad Anlisis

Aplicando teorema de Pitgoras tenemos:

AC

2

+ 9

2

= 15

2

AC2+ 81 = 225AC2= 144AC= 12

8


33/78

Al rotar indefinidamente el tringulo ABCen torno al lado B , se genera un cono deradio (r) de 12 cm, luego aplicando la frmula de suvolumen, tenemos:

B

C

A 9cm

15 cm12 cm

Volumen cono = 3

hr2

Volumen cono =144 9

3

Volumen cono = 3432 cm



Al rotar indefinidamente el rectngulo ABCD de la figura en torno al lado AD , se

genera un cilindro de radio 8 cm, y altura BC. Aplicando tros pitagricos, podemosdeterminar que BC = 6. Luego, calculemos el volumen de ese cilindro.

A B

CD 8 cmVolumen cilindro = r2 hVolumen cilindro = 64 6Volumen cilindro = 384cm3



Analicemos las afirmaciones:

I) Falsa, el volumen de una esfera cuyo radio mide 7 cm se calcula por

Volumen esfera =34 r

3

=34 7 4 343 1372

3 3 3

= = cm3.

II) Verdadera, la diagonal de una de las caras de un cubo cuya arista mide 9 cm secalcula por:

Diagonal de un cuadrado = lado 2 cm.

= 9 2 cm.

9


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III) Verdadera, el rea de un cono cuyo radio mide 3 cm y cuya altura mide 6 cm secalcula por:

rea Cono = r (g+ r)Luego, si el radio es 3 y la altura es 6, entonces aplicando Pitgoras, la generatriz es

3 5 ,luego:

rea Cono = 3(3 5 + 3)

= (9 5 + 9) cm2.


Sub-unidad temtica Circunferencia y crculoHabilidad Evaluacin

(1) ACO= 40.Con esta informacin, s es posible determinar la medida del ngulox, ya que se puede determinar el nguloBACy con ellox.

(2) BAC= 100. Con esta informacin, ses posible determinar la medida del ngulox, ya que aplicamos ngulo inscrito y del centro.



Sub-unidad temtica Geometra de ProporcinHabilidad Evaluacin

x

60

O

A

B

C

A CB

(1) Cdivide exteriormente al trazoABen la razn 17 : 7. Con esta informacin, no esposible determinar la medida deAB .

(2) AC= 34 cm. Con esta informacin, noes posible determinar la medida deAB .

Con ambas informaciones, s es posible determinar la medida deAB .

Por lo tanto, la respuesta es: Ambas juntas, (1) y (2).

10


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SOLUCIONARIO

PRUEBA MT-141

2009


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Sub-unidad temtica Geometra Analtica

Habilidad Comprensin

Ubicando los puntos dados en un plano cartesiano, formamos un tringulo como se veen la figura.

(8, 0) (0, 0)x

y

(4, 13)

Luego:La altura del tringulo es 13.

La base del tringulo es 8.

Entonces, el rea es =

=

2

813

2

alturabase52



Habilidad Anlisis

Analicemos las opciones

I) Verdadera, ya que se forma un cuadrado de lado 5 2 , luego el permetro es 20 2 II) Falsa, ya que cada diagonal mide 10.

III) Verdadera, ya que sus diagonales son iguales y perpendiculares.



Habilidad Aplicacin

Utilizando la frmula del punto medio M entreA(a, b) y C(2b, 2a b) tenemos:

++=

2,

2)( 2121

yyxxACM


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38/78



Habilidad Aplicacin

Como la recta pasa por el origen, entonces el punto (0, 0) pertenece a la recta, luegox= 0 ey= 0

Reemplazando en la ecuacin:

30 0 + 3k= 8

0 0 + 3k= 8

3k= 8

k=3

8



Habilidad Anlisis

2

8

x

y


I) Verdadera, ya que (0, 8) y (- 2, 0)

12

12

xx

yym

=

42

8

02

80=

=

=m

II) Verdadera, ya que reemplazando en la ecuacin el punto cumple la igualdad

y = 4x+ 8

12 = 41 + 8

12 = 4 + 8

12 = 12

III) Falso, ya que la ecuacin de la recta es

y = 4x+ 8


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Habilidad Anlisis

Encontremos la pendiente de la ecuacin

3y= 6x+ 9 / Dividiendo por 3.

y= 2x+ 3

La pendiente de la recta es 2.

Para analizar si las rectas son paralelas, tienen que tener iguales pendientes y distintos

coeficientes de posicin.

I) Falsa, ya que la pendiente es 6.

II) Falsa, ya que la pendiente es 3.

III) Verdadera, ya que la pendiente es 2.



Habilidad Anlisis

Encontremos la pendiente de la ecuacin

5y= 20x+ 80 / Dividiendo por 5.

y= 4x+ 16

La pendiente de la recta es 4.

Para analizar si las rectas son perpendiculares, el producto de sus pendientes tiene que

ser igual a 1. Es decir, la pendiente debe ser4

1.

I) Verdadera, ya que la pendiente es4

1.

II) Falsa, ya que la pendiente es20

1 .

III) Verdadera, ya que la pendiente es4

1.


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Al ser un cubo todas las aristas son iguales.Luego, las coordenadasPson (7, 0, 0).

y

x

z

R

P

Q


Sub-unidad temtica Transformaciones isomtricas. Volmenes y superficies.

Habilidad Aplicacin

Primero debemos encontrar el vector traslacin, para eso planteamos la ecuacin

( 2, 11) + T(x,y) = ( 2 +x, 11 +y) = ( 6, 5), luego igualando cada coordenada

2 +x= 6 x= 4

11 +y= 5

y= 6

Luego, el vector traslacin es T( 4, 6).

Finalmente, aplicamos ese vector al nuevo punto (4, 1)

(4, 1) + T( 4, 6) = ( 4 + 4, 6 1)

= (0, 7)

El punto resultante es (0, 7).



Habilidad Aplicacin

Primero debemos aplicar la rotacin de 90 al tringulo ABC, y luego una traslacin

T( 2, 3).

A(2,3) A( 3, 2) + T( 2, 3) = A`( 5, 5)

B(5, 1) B( 1,5) + T( 2, 3) = B`( 3, 8)

C(4, 5) C( 5, 4) + T( 2, 3) = C( 7, 7)


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Es necesario aplicar una simetra axial ya que es respecto a una recta.Al aplicar una simetra axial a un punto (x,y) con respecto al eje Y, las coordenadas de

ese punto varan a (x,y). Por lo tanto, si un punto tiene coordenadas ( 4, 9) sus

coordenadas variarn a (4, 9).



Habilidad Aplicacin

Al aplicar una simetra axial respecto a la recta del grfico, debemos contar las unidades

que hay entre la recta y el punto respecto a la coordenada en el eje Y, es decir, desde el

punto a la recta hay 2 unidades, por lo tanto debemos bajar 2 unidades desde 4, luego

(3, 6) corresponde al nuevo punto despus de aplicar una simetra axial con respecto a

la rectay= 4.

x

y

-4

3

-2R




Debemos encontrar el simtrico del puntoP( 5, 1) con respecto al origen, es decir,

aplicar una simetra central. Por lo tanto, la distancia que hay desdeP, hasta el centro

utilizando slo la componentexes 5, y la distancia hasta el centro utilizando slo la

componenteyes 1. Entonces las coordenadas del nuevo punto deben ser (5, 1), ya que

las distancias respectivas deben mantenerse.


42/78



Habilidad Anlisis

Analicemos las afirmacionesI) Verdadera.

II) Verdadera. Es necesario aplicar una simetra axial ya que es respecto a una

recta. Al aplicar una simetra axial a un punto (x,y) con respecto al ejeX, las

coordenadas de ese punto varan a (x, y). Por lo tanto, si un punto tiene

coordenadas (0, 10) sus coordenadas variarn a (0, 10).

III) Verdadera, ya que la distancia desde el 2 hasta el 5 es 3 unidades, es decir, a

la componentexdebemos sumarle 6 unidades. Y la distancia desde el 1

hasta el 3 es 4 unidades, luego a la componenteydebemos sumarle 8

unidades. Entonces, las coordenadas del nuevo punto son (8, 7).

17.La alternativa correcta esD.


Habilidad Anlisis

Analicemos las afirmaciones

I) Falsa, ya que una rotacin negativa de 90 equivale a una rotacin de 270.

Entonces las coordenadas del punto va a ser (6, 2)

II)

Verdadera, ya que una simetra con respecto al origen es igual que aplicaruna rotacin de 180 con centro en el origen.

III) Verdadera. Debemos aplicar una traslacin con vector T( 3, 2), luego las

coordenadas finales del punto son ( 7, 8).


Sub-unidad temtica Transformaciones isomtricas. Volmenes y superficies.Habilidad Anlisis

Analicemos las opciones:

I)

Falsa, slo los tringulos equilteros, cuadrados y hexgonos regulares

teselan el plano.

II) Falsa, tiene slo 2 ejes de simetra.

III) Verdadera.


43/78



Habilidad Evaluacin

(1) La recta pasa por el punto ( 8, 1) y es paralela a la recta cuya ecuacin es5y= 10x+ 3. Con esta informacin, ses posible determinar la interseccin de la

recta con el eje de las ordenadas.

(2) La recta pasa por el punto (0, 17). Con esta informacin, ses posible determinar la

interseccin de la recta con el eje de las ordenadas.

Por lo tanto, la respuesta correcta es: Cada una por s sola, (1) (2).



Habilidad Evaluacin

(1) El nmero total de diagonales del polgono es 2. Con esta informacin, noes posible

determinar el nmero de ejes de simetra de un polgono.

(2) El polgono tiene todos sus lados iguales. Con esta informacin, noes posible

determinar el nmero de ejes de simetra de un polgono.

Con ambas juntas, nopodemos determinar el nmero de ejes de simetra de un

polgono.

Por lo tanto, la respuesta correcta es: Se requiere informacin adicional.


44/78

SOLUCIONARIO

PRUEBA MT-151

2009


45/78



En un tringulo equiltero al trazar una de las alturas, o una de las bisectrices, o una delas transversales o una de las simetrales, stas dividen al tringulo en dos tringulosesclenos rectngulos.



Aplicando el teorema de Pitgoras al tringuloABC, tenemos que la hipotenusa mide 10(por tro pitagrico 6, 8 y 10).

Luego, aplicando el teorema de Euclides, tenemos:

AB

BCACCD

=

5

24

10

48

10

86==

=CD



Debemos aplicar razones trigonomtricas al problema

8

A B

C

D

6

hoja

Punta del

rbol

3

40

x

La razn que relaciona el cateto adyacente con la hipotenusa es el coseno:

cos (40) =x

3

x=)40cos(

3


46/78


47/78



Sumando los arcos tenemos que el valor depes:2p+ 30 +p+ 10 + p= 3604p+ 40 = 3604p= 320

p = 80

Luego, la medida del nguloxes la mitad del arco (p+ 10), es decir, la mitad de 90.x= 45

x

p

p+ 10

2p+ 30



Reemplazando los valores en el dibujo tenemos

O

C Dx x

6

10

4

Luego, aplicamos el teorema de las cuerdas:

xx= 16 4x2= 64x= 8

Por lo tanto, CD= 8 + 8 = 16 cm


48/78


Sub-unidad temtica Geometra de proporcinHabilidad Anlisis


I) Verdadera, ya que aplicando semejanza, tenemosGC

CF

DE

AB= , reemplazando

los valores tenemos queCG

16

6

24= , luego el valor del trazo CGes 4.

II) Verdadera, ya que la razn entre las reas es igual a la razn al cuadradoentre sus elementos homlogos.

III) Verdadera, ya que los tringulos son semejantes.


Sub-unidad temtica Geometra de proporcinHabilidad Anlisis


I) Verdadera, los vrtices correspondientes coinciden.II) Falsa, los vrtices correspondientes no coinciden.

III)

Verdadera, los vrtices correspondientes coinciden.

A

C

DO B


Sub-unidad temtica Geometra de proporcinHabilidad Aplicacin

SiRdivide al trazoPQinteriormente tenemos:

7

4=

RQ

PR

P R Q

7

4

42 =

PR

24=PR

Luego, el trazoPQ= 24 + 42 = 66 cm


49/78



Aplicando el teorema de Thales, tenemos que:

B

E

C

A

D 6

10

30

AB

DC

EA

ED=

30

610=

EA

EA=6

300

50 =EA

El valor del trazoEAes 50.




A

B

C

E

D

12

20

18

DE

DC

EA

AB=

20

1812=

EA

EA=18

240

EA=3

40

EA=3,13



50/78


Al rotar indefinidamente el rectngulo ABCD de la figura en torno al lado AB , se

genera un cilindro de radio BC, y altura 12 cm. Luego, calculemos el volumen de esecilindro.

A B

CD 12 cm

6 cm 6 cm

Volumen cilindro = r2 hVolumen cilindro = 36 12Volumen cilindro = 432cm3

126



Habilidad Anlisis

Aplicando teorema de Pitgoras, tenemos:

AC2+ 62= 102

AC2+ 36 = 100AC2= 64AC= 8

Al rotar indefinidamente el tringulo ABCen torno al lado AC, se genera un cono deradio de 6 cm y altura 8 cm, luego aplicando la frmula del

C

A B

10 cm

6 cm

8

6

10

volumen, tenemos:

Volumen cono =3

hr2

Volumen cono =3

836

Volumen cono = 96 cm3



51/78

Sub-unidad temtica Geometra AnalticaHabilidad Anlisis

2

4

x

y


I) Verdadera, ya que la pendiente es 2 y el coeficiente de posicin es 4. Por lo tanto, laecuacin de la recta esy= 2x+ 4, reemplazando el punto tenemos:

y= 2x+ 46 = 2 + 46 = 6

II) Verdadera, ya que (0, 4) y (2, 0)

12

12

xx

yym

=

22

4

02

40==

=m

III) Falsa, ya que la ecuacin es y= 2x+ 4


Sub-unidad temtica Geometra AnalticaHabilidad Aplicacin

Si una de las aristas de un cubo es 3, entonces todas las aristas tienen como valor 3 enun sistema de ejes tridimensional.

y

x

z

R

P

Q

Luego, el rea del cubo es:rea Cubo = 6(arista)2rea Cubo = 6(3)2rea Cubo = 54



52/78



I) Falsa, ya que las coordenadas del punto inicial son ( 2, 1) y cambian a ( 1, 2).II) Verdadera, ya que slo vara la componente de las abscisas, es decir, el punto

( 2, 1) vara a (2, 1).III) Verdadera, ya que al aplicar el vector ( 3, 5) + ( 2, 1) = ( 5, 6).

-1

Q

-2

y

x


Sub-unidad temtica Transformaciones isomtricas. Volmenes y superficies.Habilidad Aplicacin

Al aplicar una simetra axial respecto a la recta del grfico, debemos contar las unidadesque hay entre la recta y el punto respecto a la coordenada en el eje Y, es decir, desde el

punto a la recta hay 7 unidades, por lo tanto debemos sumarle 14 unidades a lacoordenada eny, para conocer el nuevo punto.Luego, sera (3, 11) las nuevas coordenadas del punto, aplicando una simetra axial conrespecto a la recta trazada.

x

y

-3

3

4

P



53/78

Sub-unidad temtica Geometra de proporcinHabilidad Evaluacin

(1) ABC~ DEF. Con esta informacin, noes posible determinar el valor del trazo

AB.

(2)DE= 12. Con esta informacin, noes posible determinar el valor del trazoAB.

Con ambas juntas, podemos determinar el valor del trazoAB, ya que podemos aplicarteorema de semejanza.

Por lo tanto, la respuesta correcta es: Ambas juntas, (1) y (2).

C


Sub-unidad temtica Transformaciones isomtricas. Volmenes y superficies.Habilidad Evaluacin

(1) La simetra es axial. Con esta informacin, noes posible determinar el puntosimtrico deR.

(2) La abscisa del puntoRes 4 y la ordenada del puntoRes 13. Con esta informacin,noes posible determinar el punto simtrico deR.

Con ambas juntas, nopodemos determinar el punto simtrico deR, ya que noconocemos el eje de simetra.


1025

DA

F

EB


54/78

SOLUCIONARIO

PRUEBA MT-161

2009


55/78


Sub-unidad temtica Probabilidad y combinatoria


Aplicando la regla de Laplace, tenemos que existe slo una opcin de que salga el

nmero 1, sin importar los lanzamientos anteriores.

A= que se obtenga un uno

P(A) =posiblescasosdenmero

favorablescasosdenmero

P(A) =6

1




Como la probabilidad de sacar un bombn de trufa es5

1, la probabilidad de que no sea

de trufa es un suceso contrario, luego la probabilidad es

5

4.



Habilidad Aplicacin

Aplicando la regla de Laplace, tenemos que existen 5 pelotitas con las letras que no son

NO son consonantes, de un total de 12 letras.

A= que se obtenga una pelotita con una letra que NO sea consonante.



P(A) =12

5


56/78



Habilidad Aplicacin

Analicemos las opciones utilizando la tabla

Diurno Vespertino Total

Varn 40 80 120

Mujer 80 200 280

Total 120 280 400

Aplicando la regla de Laplace, tenemos que existen 40 varones que asisten en el horario

diurno.

A= que se obtenga un hombre que asista en el horario diurno.



P(A) =40

400=

10

1



Habilidad Anlisis

Estableciendo el nmero de casos posible tenemos que al lanzar 6 monedas, es

26= 64

Y adems la frase al menos un sello, significa que exista por lo menos un sello, es

decir, existe slo una opcin donde no hay sellos, por lo tanto

A= que se obtenga al menos un sello.

A = que no salga al menos un sello. Por lo tanto de este ltimo suceso (A ), se tiene

que la cantidad de elementos es 1, ya que el nico caso es (C, C, C, C, C, C) (las seis

caras).

P(A) = 1 (P A)

P(A) =1 6

1

64 64

=3


57/78



Habilidad Aplicacin

Aplicando la regla de probabilidad compuesta, tenemos que

P(los 4 claveles sean rosados) = P(rosado) P(rosado) P(rosado) P(rosado)

P(los 4 claveles sean rosados) =2

8

3

10

2

6

4

12=

1

4

3

10

1

3

1

3=

1

120



Habilidad Anlisis

Utilizando la tabla

tenemos Pantalla Plana Pantalla Normal Total

Televisor 21 pulgadas 95 125 220

Televisor 29 pulgadas 43 84 127

Total 138 209 347

Aplicando la ley de probabilidad total, tenemos

P(televisor 21 o pantalla plana) = P(televisor 21) + P(pantalla plana) P(ambas)

P(televisor 21 o pantalla plana) =220

347+

138

347

95

347=

263

347



Habilidad Anlisis


I) Falsa, ya que existen slo 3 nmeros primos (2, 3, 5), luego la probabilidad es1

2

II)

Falsa, ya que ambas tienen la misma probabilidad.

III)Verdadera, ya que aplicando la ley de probabilidad compuesta tenemos

P(impar o mayor que 2) = P(impar) + P(mayor que 2) P(ambas)

P(impar o mayor que 2) =3

6+

4

6

2

6=

5

6


58/78


59/78


Sub-unidad temtica Estadstica descriptiva

Habilidad Anlisis

Analicemos las afirmaciones respecto al grfico.

Frecuencia

Nota1 2 3 4 5 6

2

4

6

8

10

7

I) Falsa, la frecuencia de la moda es 9.

II)

Falsa, ya que al sumar todos los datos comprobamos que existen 31 datos, luego

el dato que est en la posicin nmero 16, es la mediana. (posicin nmero

16 = 4)

III)Verdadera.



Habilidad Anlisis

Analicemos las afirmaciones, respecto a la tabla

Intervalos de puntaje Frecuencia

350 450 15

450 550 26

550 650 42

650 750 18750 850 9

I)

Verdadera, ya que sumando todas las frecuencia, tenemos

15 + 26 + 42 + 18 + 9 = 110, luego el total de alumnos es 110.

II) Verdadera, ya que los valores centrales se encuentran en la posicin 55 y 56,

que corresponde al intervalo 550 650.

III)Verdadera, ya que es el intervalo que tiene mayor frecuencia.


60/78



Habilidad Anlisis


I)

Verdadera, ya que podemos determinar la frecuencia ms alta.

II) Falsa.

III)

Falsa.



Habilidad Anlisis

Analicemos las afirmaciones, respecto al grfico.

I)

Verdadera, ya que debemos calcular que porcentaje equivale a 4 de 33.

II) Verdadera, ya que corresponde a una variable cualitativa, que dentro de sta se

clasifica en nominal.

III)Verdadera, ya que la que tiene mayor frecuencia es la naranja.

Frecuencia

8

7

6

5

4

3

2

1

FrutaPera Manzana Naranja Pltano Uva Kiwi


61/78



Habilidad Aplicacin

Debemos sumar todas las frecuencias (consumos) de los ltimos 7 meses y dividir por

el nmero de meses:

45 + 35 + 20 + 15 + 20 + 30 + 35 = 200

20028,57...

7=

Luego, aproximadamente el consumo promedio de los ltimos 7 meses del ao es entre

25 y 30 metros cbicos.

Metros cbicos

MesesS O N D E F

10

20

30

40

50

M A M JJ A S

17.La alternativa correcta esB.


Habilidad Anlisis

Analicemos las afirmaciones, respecto al grfico.

I) Verdadera, es necesario determinar la suma de las frecuencias de los das de la

semana 1,5 + 1 + 2 + 2 + 2,5 + 3 = 12.

12 2,17

+=

x / Despejando. (con x, consumo del da jueves)

12 +x= 7 2,1

x= 14,7 12

x =2,7


62/78

II) Verdadera, ya que es la frecuencia ms baja.

III)

Falso, ya que no corresponde.

L M M J V S D

1,5

2

2,53

0,5

Das

1

Kilos



Habilidad Anlisis


I)

Verdadera.

II) Verdadera.

III)

Verdadera.



Habilidad Evaluacin

(1) La probabilidad de extraer un lpiz rojo es72 . Con esta informacin, ses posible

determinar la probabilidad de extraer un lpiz azul. (est dada por2 5

17 7

= ).

(2) El nmero total de lpices es 14. Con esta informacin, noes posible determinar la

probabilidad de extraer un lpiz azul.

Por lo tanto, la respuesta correcta es: (1) por s sola.


63/78



Habilidad Evaluacin

(1) La suma de los datos es 225. Con esta informacin, noes posible determinar el

promedio (media) de una muestra de datos numricos.

(2) Al eliminar un dato, el promedio es 11,6. Con esta informacin, noes posible

determinar el promedio (media) de una muestra de datos numricos.

Con ambas juntas, nopodemos determinar el promedio (media) de una muestra de datos

numricos.



64/78

SOLUCIONARIO

PRUEBA MT-171

2009


65/78


Sub-unidad temtica ngulos y Tringulos. Polgonos.Habilidad Aplicacin

Aplicando el teorema de Euclides en el tringulo ABC rectngulo en C, tenemos que

CD2=AD DB62= 4 x36 = 4x9 =x


Sub-unidad temtica ngulos y Tringulos. Polgonos.Habilidad Aplicacin

Aplicando el teorema de Euclides al tringuloADCrectngulo enD, tenemos

A B

C

D

E2

3

xA B

C

D4

6

ED2=AE ECED2= 2 3ED2 = 6

ED= 6

Aplicando el teorema de Pitgoras al tringuloEDCrectngulo enE, tenemosCD2=ED2+EC2

CD2 = 26 + 32

CD2 = 6+ 9

CD2 = 15

CD= 15

Otra opcin para determinar CD es aplicar el teorema de Euclides:

CD2 = CE CA

CD2 = 3 5

CD= 15


66/78


Sub-unidad temtica TrigonometraHabilidad Anlisis

Debemos aplicar razones trigonomtricas al problema

Punta del

rbol

20

30

x

tg (30) =20x

tg (30) 20 =x

3

3 20 =x

3

320=x

La altura del rbol es3

320m.


Sub-unidad temtica TrigonometraHabilidad Anlisis

Como un cateto es el doble del otro, entonces el valor deAC= 4 5

B

C

A

8

4

4 5


I) Verdadera, ya que sen =Hipotenusa

opuestoCateto =54

8 =5

2


67/78

II) Verdadera, ya que sec =adyacenteCateto

Hipotenusa

=

4

54= 5

III) Verdadera, ya que tg =adyacenteCateto

opuestoCateto

=

8

4=

2

1

Por lo tanto, ninguna de ellas es falsa.


Sub-unidad temtica CuadrilterosHabilidad Comprensin

Como el permetro se calcula sumando todos los lados, entonces podemos darnos cuenta

que el permetro pedido es igual al permetro inicial, es decir, 16 metros.



Reemplazando los valores en la figura y adems trazando la altura, tenemos que el

tringuloAEDrepresenta la mitad de un tringulo equiltero, por lo tanto la medida deDEest dada por la altura de este triangulo de lado 8 cm.

30

A B

CD

8

10

E

DE= 342

38=

Finalmente, el rea del paralelgramo es

3401034 = cm2.


68/78


Sub-unidad temtica Circunferencia y Crculo.Habilidad Aplicacin

Reemplazando los valores en la figura.

B AD

C

8

4 4

Calculemos las reas por separado

rea Semicrculo = =

=

82

162

42

rea Tringulo = 322

64

2

88==

rea Semicrculo pequea = =

=

22

4

2

22

Luego, el rea achurada es( )3262328 +=+ cm2.



Reemplazando los valores en el dibujo, tenemos que OB y OEson radios, entonces eltringulo es issceles.

A

B

E

O

34 34

68

Luego, el arcoEAes el doble del ngulo inscritoPor lo tanto, el arcoAEmide 360 68 = 292


69/78



El arcoDEes el doble del ngulo inscritoPor lo tanto, el arcoECmide 180 110 = 70 ya que 110

ECD es el dimetro

D

55

C


Sub-unidad temtica Circunferencia y Crculo.Habilidad Anlisis

Reemplazando los valores en la figura tenemos que el radio es 9 cm.

C

E O7

x

x

92

D

xx= 16 2x2= 32

x= 32

x= 4 2

Por lo tanto, CD= 4 2 + 4 2 = 8 2 cm


70/78


Sub-unidad temtica Geometra de Proporcin.Habilidad Anlisis

Considerando que en el rombo las diagonales son perpendiculares entre s y bisectricesde los ngulos, siendo adems los ngulos opuestos iguales, entonces se forman 4tringulos rectngulos congruentes, luego

I) Verdadera, ya que es la mitad de un tringulo isscelesADC.

A

B

D

E

II) Verdadera, ya que el orden es el correcto.III) Verdadera, ya que las diagonales son perpendiculares.

C


Sub-unidad temtica Geometra de Proporcin.Habilidad Anlisis

Tracemos el tringuloACBrectngulo en C para determinar la veracidad delas afirmaciones.

B

C

AD

I) Verdadera, el orden es el correcto.II) Falsa, el orden NO es el correcto.III) Verdadera, el orden es el correcto.


Sub-unidad temtica Geometra de Proporcin.Habilidad Aplicacin

SiRdivide al trazoPQinteriormente tenemos:

3=

7

PR

RQ

P R Q3=

63 7

PR

= 27PR

Luego, el trazoPQ= 27 + 63 = 90 cm


71/78



Como es un trapecio podemos aplicar el teorema de Thales.

E F

GH

I5

108IE

IG

IF

HI=

810

5 IG=

IG=10

40

4 =IG

Entonces, EG=EI+ IG= 8 + 4 = 12.




B

C

E

A

D

x2a

x+33a

EC

BC

DC

AC=

x

x

a

a 32

2

5 +=

645 += xx 5x 4x= 6

x = 6

Entonces, BC= CE+EB= 6 + 9 = 15.


72/78


Sub-unidad temtica Transformaciones Isomtricas. Volmenes y superficies.Habilidad Anlisis

Analicemos las afirmaciones, encontrando la arista del cubo:

rea del cubo = 6a2

384 = 6a2

64 = a2

8 = a

Luego, la arista del cubo mide 8 cm.

I) Verdadera, ya que el total de aristas es 12, entonces 12 8 = 96 cm.II) Falsa, ya que V = 83= 512 cm3

III)

Verdadera, la diagonal principal del cubo mide 8 3 cm.

17.La alternativa correcta esB.


Aplicando teorema de Pitgoras, tenemos:

r2

+ 42

= 52

r2+ 16 = 25r2= 9r= 3

B

C

A 4 cm

5 cm3 cm

Al rotar indefinidamente el tringulo ABCen torno al lado B , se genera un cono deradio de 3 cm, luego aplicando la frmula del volumen, tenemos:

Volumen cono =3

hr2

Volumen cono = 3

432


73/78

Volumen cono = =

123

36cm3


Sub-unidad temtica Geometra Analtica.Habilidad Anlisis

1-2

x

y L1

Analicemos las opciones:

I) Falsa, ya que (0, 2) y (1, 0)

12

12

xx

yym

=

212

0120 ==

+=m

Por lo tanto,L1tiene por ecuaciny= mx+ n , es decir,y= 2x 2.

Reemplazando en la ecuacin el punto cumple la igualdad.y = 2x 2 10 = 2 4 2 10 = 8 2 10 = 10

II) Falsa, ya que al multiplicar las pendientes resulta 4, y no 1.

III) Verdadera, la pendiente es 2.


74/78



Si al punto ( 2 , 8) se le aplica una traslacin y se obtiene el punto (5, 10), entonces( 2 , 8) + (a, b) = (5, 10)

2 + a= 5 8 + b= 10a= 7 b= 18

El vector de traslacin es (7, 18).


I) Falsa, ya que el vector de traslacin es (7, 18).II) Verdadera, ya que ( 1, 4) + (7, 18) = (6, 22).

III)

Verdadera, ya que la distancia desde el 7 al eje Yes 7, luego el simtrico es( 7, 18).


Sub-unidad temtica Transformaciones Isomtricas. Volmenes y superficies.Habilidad Aplicacin

Aplicando una rotacin de 90 a los puntos ( 4, 0), (0, 0) y (0, 7), resultan

(0, 4), (0,0) y (7, 0), luego aplicando una traslacin T(0, 2), los puntos finales son(0, 2), (0, 2) y (7, 2)

x

y

- 4

-7



Analicemos las afirmacionesI) Verdadera, ya que si se aplica una rotacin de 270 tenemos (x,y)(y,x),

luego (4, 3)( 3, 4)II) Falsa. Es necesario aplicar una simetra axial ya que es respecto a una recta.

Al aplicar una simetra axial a un punto (x,y) con respecto al ejeX, lascoordenadas de ese punto varan a (x, y). Por lo tanto si un punto tiene

coordenadas (4, 3) sus coordenadas variarn a (4, 3).


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III) Verdadera. Debemos aplicar una traslacin con vector ( 5, 2), luego lascoordenadas finales del punto son ( 1, 1).


Sub-unidad temtica Transformaciones Isomtricas. Volmenes y superficies.Habilidad Aplicacin

Si la superficie de la terraza es 25 metros cuadrados, es necesario calcular la superficiede cada baldosa cuadrada de 0,5 metros por lado.

rea cada Baldosa = 0,25 mt2

Luego, se necesitan 100 baldosas para teselar la terraza.


Sub-unidad temtica Probabilidad y CombinatoriaHabilidad Aplicacin

Aplicando la regla de Laplace, tenemos que existen 13 palomas grises.

A= que se escape una paloma gris.

P(A) = posiblescasosdenmero favorablescasosdenmero

P(A) =30

13


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Sub-unidad temtica Probabilidad y CombinatoriaHabilidad Anlisis

Analicemos las opciones utilizando la tabla:

Nmero Frecuencia1 102 73 54 145 26 9

I) Verdadera, ya que son 47 resultados en total y de ellos 25 mayores que 3.

P(mayor que 3) =47

25

II) Verdadera, ya que las probabilidades en los dos casos son47

16.

III) Verdadera, ya que:P(nmero impar o nmero mayor que 2) = P(nmero impar) +P(nmero mayor que 2) P(nmero impar y nmero mayor que 2)

P(nmero impar y nmero mayor que 2) =4717 +

4730

477 =

4740


Sub-unidad temtica Probabilidad y CombinatoriaHabilidad Aplicacin

Aplicando la regla de probabilidad compuesta, tenemos que:

P(siete y as y siete) = P(sea siete) P(sea as) P(sea siete)

P(siete y as y siete) =52

4

51

4

50

3


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Sub-unidad temtica Estadstica Descriptiva.Habilidad Aplicacin

Si sabemos que el promedio de las estaturas de 5 personas es 1,61 metros podemosdeterminar que la suma de las estaturas es 8,05 metros.

Si le restamos a esta suma la suma de las estaturas de las ltimas 4 personas, tenemosque la estatura de la primera persona es 8,05 6,45 = 1,60 metros.


Sub-unidad temtica Estadstica Descriptiva.

Habilidad Anlisis

Nota 1 2 3 4 5 6 7

Frecuencia 0 15 25 20 10 15 5

Analicemos las afirmaciones:I) Falsa, ya que la moda es 3.II) Falsa, ya que el dato frecuenciado nmero 45 y 46 corresponde al dato 4.III) Verdadera, ya que el total de datos es 90.


Sub-unidad temtica Estadstica Descriptiva.Habilidad Anlisis

Analicemos las afirmaciones completando la tabla.

Intervalos de notas Frecuencia1 2 02 3 03 4 24 5 105 6 156 7 3

I) Verdadera, ya que el dato frecuenciado nmero 15 est en el intervalo 5 6.II) Falsa, ya que la frecuencia ms alta (moda) corresponde al intervalo 5 6.

III) Falsa, no se puede determinar la nota exacta


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Sub-unidad temtica ngulos y Tringulos. Polgonos.Habilidad Evaluacin

(1) PQ= 20. Con esta informacin, no es posible determinar la medida del trazoRQ,ya que no conocemos el tipo de tringulo.

(2) RSPQ yRS= 5 3 . Con esta informacin, s es posible determinar la medidadel trazoRQ, ya que aplicamos Pitgoras.

Por lo tanto, la respuesta es: (2) por s sola.


Sub-unidad temtica Geometra Analtica.Habilidad Evaluacin

(1)Rtiene como coordenadas (0, 0, 7). Con esta informacin, noes posible determinarrea del tringuloPQR, ya que no sabemos que tipo de tringulo es.

(2) Qtiene como coordenadas (0, 7, 0). Con esta informacin, noes posible determinarrea del tringuloPQR, ya que no sabemos que tipo de tringulo es.

Con ambas juntas, nopodemos determinar rea del tringuloPQR,ya que no sabemosque tipo de tringulo es.


z

R

P Q

R

S 5

solucionario pruebas cursos anuales - geometria 2009

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