geometria manual

Manual de recursos didcticos de Geometra para colaboradores del Gabinet GaudClaudi Alsina i Catal Departamento de Estructuras en Arquitectura E.T.S. de Arquitectura de Barcelona

Manual de recursos didcticos de Geometra para colaboradores del Gabinet Gaud

PresentacinLas ideas y las obras de nuestro gran arquitecto Antoni Gaud i Cornet (1852-1926) continan siendo hoy motivo de admiracin y de inters. Una de las cosas ms sorprendentes del mundo gaudiniano es que, cuando lo contemplamos, nos plantea el reto de entenderlo y, por lo tanto, nos ofrece la oportunidad de aprender. Esta documentacin se inscribe entre las numerosas iniciativas que el Centro Cultural Caixa Catalunya (La Pedrera, Barcelona) ha desarrollado en los ltimos aos, poniendo al alcance del pblico en general espacios de visita y reflexin como el programa del Gabinet Gaud, por el que muchos escolares pueden aproximarse al mundo gaudiniano. Las siguientes pginas pretenden ser la partitura para que el personal del gabinete pueda fomentar los descubrimientos geomtricos de los escolares, realizando pequeas experiencias que armonicen con el espritu gaudiniano de experimentar operativamente y teniendo la naturaleza como referente, pero viendo tambin en qu medida estn presentes hoy en nuestras casas las formas de Gaud.

Gaud y la experimentacinAntoni Gaud descubri por s mismo un repertorio muy amplio de formas y propiedades geomtricas, explorando el espacio a travs de modelos mecnicos, papeles, montajes con hilos, espejos, fotografas, sombras, esculturas, maquetas de yeso, etc. Entre sus descubrimientos fundamentales para el mundo de la arquitectura podramos destacar, por ejemplo, el inters mecnico del arco catenario, la inclinacin de columnas, el mtodo experimental de los funculos o el uso de ciertas superficies regladas (helicoide, paraboloide hiperblico e hiperboloide de una hoja). Su extraordinaria visin tridimensional, juntamente con la vocacin constructiva, permitieron a Gaud encontrar en la experimentacin de formas manipuladas un camino hacia el descubrimiento de soluciones geomtricas para poder hacer, en efecto, sus obras ms creativas. As pues, geometra estructura construccin son tres objetivos absolutamente vinculados a la concepcin gaudiniana del espacio. Aunque la visin popular del Gaud genio ha ocultado con frecuencia la dimensin estudiosa del Gaud investigador, en estos ltimos tiempos se han esclarecido las facetas tcnicas y geomtricas reales que, en todo momento, impregnaron la creatividad gaudiniana.

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Gaud y los referentes naturalesLas conocidas afirmaciones gaudinianas: Ese rbol cercano a mi taller, se es mi maestro!, y La originalidad es acercarse al origen, se corresponden con su constante prctica de observacin de las realidades naturales visibles en los reinos vegetal, animal y mineral, y con su intento de trasladar a la arquitectura los principios ptimos que rigen nuestro universo. Las formas de las cosas, el modo que tienen de crecer, las estructuras de los seres vivos y de la materia, los fenmenos naturales, etc.harn que Gaud incorpore a su capacidad imaginativa el contrapunto o criterio realista de aquello que parece ser en cada caso la solucin natural.

Hacer experiencias gaudinianas hoyPor todo lo que Gaud explic a sus seguidores, por las maquetas y la documentacin que se han encontrado y por el conocimiento exhaustivo que tenemos hoy en da de lo que era el estudio de Gaud y lo que son sus obras, podemos asegurar que la seleccin de experiencias propuestas responde con bastante Claudi Alsina i Catal Octubre de 2004 fidelidad al espritu gaudiniano del descubrimiento geomtrico. Nos gustara mucho que, con actividades de taller, se puedan comprender mejor las claves de la creacin gaudiniana y se desarrolle la creatividad de todos.

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NDICE Presentacin 1. Formas elpticas 2. Formas parablicas 3. Formas hiperblicas 4. La catenaria 5. Espirales 6. Sinusoides 7. Cilindros 8. Conos 9. Helicoides 10. Hiperboloides de una hoja 11. Paraboloides hiperblicos 12. Paraboloides circulares 13. Elipsoides 14. Mosaicos 15. Poliedros 16. Fractalidad e inclinacin Lista de material manipulable Lista de objetos actuales

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1. FORMAS ELPTICASMateriales Un vaso de agua a medio llenar, una linterna, cartn, cinta, cartulinas con tres lados rectos y un lado que corresponda a una curva sinusoidal completa. Plastilina, papel de seda, cuchillo. Experimentos (a) Mirando el vaso medio lleno, vemos un crculo. Inclinando el recipiente, vemos elipses. (b) Con la linterna podemos ver elipses luminosas en la pared. (c) Dos personas (focos) sujetan la cinta por los extremos y una tercera tiene que mover un dedo describiendo una elipse. (d) A partir de las cartulinas, pegando o uniendo los dos lados iguales, montad un pedazo de cilindro que exhiba la seccin elptica. Con un cilindro de plastilina rodeado de papel de seda y haciendo una seccin plana con un cuchillo, obtendremos los desarrollos correspondientes. Explicaciones (a) El lquido de un recipiente siempre mantiene su superficie paralela al suelo. Si el recipiente tiene forma cilndrica (o cnica), al inclinarlo siempre veremos que el lquido adopta la forma superior de una elipse, ya que lo que se visualiza es la seccin plana de un cilindro (o de un cono). (b) Todo foco de luz nos da, de nuevo, un cono. (c) La elipse es una curva plana que se puede definir como el lugar geomtrico de un conjunto de puntos del plano tal que la suma de sus distancias a dos puntos llamados focos es constante. Cuando los focos son iguales, la elipse pasa a ser una circunferencia. (d) Una seccin plana de un cilindro hecha por un plano que corte en un punto el eje del cilindro es una elipse. Al desarrollar sobre el plano el cilindro de seccin elptica sale, sorprendentemente, una curva sinusoidal. Es muy curioso (vase la ltima figura) constatar que, si dentro de un cilindro tenis una seccin elptica y ponis tal como se indica dos esferas de dimetro igual al del cilindro, los puntos en que las esferas tocan la elipse son los focos de sta. Referentes naturales Muchas formas naturales son elpticas o las vemos elpticas (perfiles de piedras, agujeros, caracoles...), y las rbitas planetarias tambin lo son. Referentes gaudinianos Las formas elpticas aparecen en la obra de Gaud en superficies como los paraboloides hiperblicos, los hiperboloides de una hoja o los elipsoides. En particular, en la Sagrada Familia hay muchos ventanales elpticos y, en el Palacio Gell, una chimenea exhibe una seccin elptica. Referentes cotidianos de hoy Medallas de joyera de perfil elptico, perfil de ratones de ordenador, cajas de reloj elpticas, perfil de las barras urbanas de exclusin de trfico, perfil de un baln de rugby, seccin de un encendedor, latas de sardinas, algunos ventanales, la forma de ciertos sombreros, etc.

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2. FORMAS PARABLICASMateriales Copa de champn cnica, agua, un plato, una linterna, papel, dos chinchetas, dos clavos, una regla de madera, una escuadra de madera, cordel y lpiz. Experimentos (a) Llenad la copa con 3/4 de agua, tapad la boca con el plato e inclinadla. Cuando la superficie del lquido est paralela a un lado de la copa, el agua describir una parbola. (b) Podis ver lo mismo con una linterna (cono de luz), inclinndola con respecto a la pared iluminada. (c) El cordel de longitud igual al cateto largo de la escuadra se sita entre la chincheta (foco) del tablero y la chincheta del extremo de la escuadra de 30 de ngulo. Colocando la regla como directriz por donde se desliza la escuadra, el lpiz que mantiene el cordel tenso describir una bonita parbola. Explicaciones La parbola es la seccin de un cono por un plano paralelo a una generatriz del cono; tambin se puede definir como el lugar geomtrico de un conjunto de puntos del plano tal que la distancia a un punto fijo (llamado foco) es igual a la distancia a una recta (llamada directriz). Resulta curioso comprobar que, cuando el sonido o la luz (ondas) inciden en una parbola paralelamente a su eje en la zona del foco, habida cuenta que el ngulo de incidencia es igual al de reflexin y la perpendicularidad a una tangente a la parbola es bisectriz del ngulo correspondiente al foco, al punto de incidencia y al rayo, todos los rayos convergen en el foco. Referentes naturales Arcos parablicos de agua en una fuente. Referentes gaudinianos Arco parablico en la cooperativa txtil La Obrera Mataronense (1878-1882), arcos en el convento de las Teresianas de la calle Ganduxer de Barcelona, Sagrada Familia en secciones de paraboloides hiperblicos, Palacio Gell en el monumental paraboloide circular. Referentes cotidianos de hoy Seccin del escurridor de la bayeta en un cubo de fregar, seccin de faro de coche, seccin plana de antena parablica, seccin de una patata Pringles, trayectoria de tiro.

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3. FORMAS HIPERBLICASMateriales Copa de champn cnica, agua, un plato, una linterna, dos lpices de seccin hexagonal, un sacapuntas, cinta. Experimentos (a) Llenad la copa con 3/4 de agua, tapad la boca con el plato e inclinadla hasta que la superficie del lquido quede paralela al suelo: veris una rama de hiprbola. (b) Podis ver lo mismo al acercar una linterna (enfocada hacia el techo) a una pared. (c) Al sacar punta al lpiz se va formando un cono de madera que culmina en la mina afilada. En las seis caras planas del lpiz aparecen seis arcos curvos iguales: son otras tantas ramas de la hiprbola. (d) Tras fijar los extremos de la cinta, si extrais a la vez con los dedos la misma cantidad de cinta de una y otra parte, podris marcar una hiprbola. Explicaciones (a) y (b) La hiprbola es la seccin de un cono por cualquier plano paralelo al eje del cono; por esa razn la vemos con agua o luz. (c) El lpiz afilado representa un cono en la parte superior, y las caras laterales del lpiz son, de hecho, seis planos paralelos a la mina (eje central del cono). Por lo tanto, las seis secciones de estos planos son ramas de hiprbolas. Contraponiendo entre s los dos lpices iguales veramos las seis hiprbolas completas, cada una con sus dos ramas. (d) Tambin se puede definir como el lugar geomtrico de un conjunto de puntos del plano tal que la diferencia de las distancias a dos puntos fijos (llamados focos) es constante. Referentes naturales Las sombras de un palo a lo largo de un da describen una hiprbola, fenmeno que va unido a muchos relojes de sol. Referentes gaudinianos Las formas hiperblicas aparecen, en la obra de Gaud, en superficies regladas de la Sagrada Familia, como por ejemplo paraboloides hiperblicos e hiperboloides de una hoja. Referentes cotidianos de hoy Lpiz hexagonal, perfil de campana, perfil del extremo de instrumentos de viento (trompeta, tenora, trombn, etc.), reloj de sol con las horas distribuidas segn una hiprbola, perfil de papelera de alambre con forma de hiperboloide de una hoja.

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4. LA CATENARIAMateriales Rectngulo vertical de cartn grueso, papel milimetrado, chinchetas; una cadenita para colgar, kit del arco catenario, recipiente con 50% de agua, 40% de jabn lquido y 10% de glicerina lquida; dos estructuras de alambre recubierto de plstico (con varilla para asir) en forma de circunferencias idnticas, y un espejo. Experimentos (a) Pegad el papel milimetrado al cartn y dibujad la parbola indicada en la figura. Colgad la cadenita de los puntos A y B con chinchetas y veris que pasa por los tres mismos puntos (C, D, E) que la parbola, pero que la catenaria, que parece una parbola en la parte baja, despus es muy diferente, porque crece mucho ms deprisa. (b) Si ponis plano el espejito y formis por encima una catenaria con la cadenita, lo que veris en el espejo es el perfil del arco catenario. Haced el arco con el kit. (c) Despus de sumergir las dos circunferencias y sacarlas del agua jabonosa, si separis un poco las circunferencias se visualizar una superficie llamada catenoide. Podis verificar con la cadenita que el perfil de la catenoide es la catenaria. Explicaciones (a) La catenaria corresponde a la curva descrita por una cadena que cuelga libremente entre sus extremos y donde cada punto aguanta su propio peso, es decir, constituye una curva mecnica. La parbola aparece en los puentes que sostienen un paso recto y, por consiguiente, todo punto aguanta el peso correspondiente. Las grficas de las dos curvas son bastante iguales cerca del punto de altura mnima, pero despus son muy diferentes: la parbola tiene un crecimiento cuadrtico y la catenaria, exponencial. (b) El arco catenario es un arco mecnico que trabaja a compresin y aguanta su propio peso porque su perfil corresponde al de la catenaria. Este arco fue descubierto por Gaud, que siempre tendi a hacer sus arcos prximos a la forma catenaria con objeto de evitar elementos externos para sustentar el arco. (c) Las pelculas de jabn tienden a formar superficies mnimas. La catenoide es una de ellas, tal y como queda determinada por los dos crculos. sta es la superficie que resultara al hacer girar la curva catenaria alrededor de un eje situado por debajo de la curva. Referentes naturales Cuando las lianas vegetales estn suspendidas entre dos puntos, tienen forma de catenaria. Referentes gaudinianos Diseo herldico de Gaud para la familia Gell utilizando una forma de catenaria, arcos catenarios paralelos en los Pabellones de la Finca Gell (1884-1887), arcos catenarios en el Espacio Gaud de la Casa Mil i Camps, La Pedrera (1906-1912). Referentes cotidianos de hoy Collares que cuelgan de dos puntas, cadenas de reloj de bolsillo, catenarias de tranva o de tren, arcos, esculturas8


5. ESPIRALESMateriales Papel con un lpiz redondo colocado en el centro y cuerda atada y enrollada a ese lpiz; dos lpices de colores diferentes, una concha de Fusus (Chrysodomus) antiquus, un tornillo, cordel. Experimentos (a) Si se sujeta un lpiz al extremo de la cuerda, al ir desenrollando la cuerda alrededor del palo se podr dibujar una bella espiral. Con el otro lpiz podemos volver a trazar una espiral en sentido distinto al enrollar nuevamente la cuerda. (b) Es posible trazar una espiral plana desenrollando un cordel previamente enrollado al Fusus (caracol de mar) segn la espiral marcada en la concha. Se puede hacer lo mismo con un tornillo. Explicaciones (a) Por el mismo proceso de trazado, la distancia de cualquier punto de la espiral dibujada al centro es directamente proporcional al ngulo que ha ido dando vueltas. Se trata pues de la espiral de Arqumedes. Es preciso que se vean los dos sentidos posibles de giro y, por lo tanto, las dos posibles versiones (dextro/levo) de las espirales. (b) Una espiral situada en el espacio puede dar lugar, en una superficie, a una espiral plana. E inversamente, partiendo de espirales planas tambin se pueden formar espirales en el espacio tridimensional. A este experimento con el caracol se atribuye el trazado primitivo de las volutas en el remate de las columnas jnicas griegas.

Referentes naturales Espiral de Arqumedes en una telaraa. Las formas espirales coinciden con el crecimiento de muchas formas vegetales y animales (conchas de caracoles o flores de girasol). Referentes gaudinianos Espiral de Arqumedes hecha de hierro forjado en la Casa Vicens (1883-1888), la cola de dragn formando una espiral en la verja de los Pabellones de la Finca Gell (1884-1887), la baldosa hexagonal del paseo de Grcia, etc. Referentes cotidianos de hoy Ensaimadas, mecanismos de relojera, espirales en violines y arpas, perfil de todo tipo de cosas enrolladas (cables, rollos de papel o telas, yoy), palmeras de pastelera, churros y porras, cinturones doblados, pendientes, broches

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6. SINUSOIDESMateriales Papel de seda, plastilina, cuchillo. Experimentos (a) Poned una hoja de papel sobre la mesa. Con los dedos en ambos lados, apretad, obligando al papel a arquearse; veris una forma sinusoidal. (b) Haced un cilindro de plastilina, enroscadle papel varias veces y cortad al sesgo con el cuchillo. Ya podis desdoblar. Explicaciones (a) Las presiones pueden forzar a un rectngulo a adoptar formas sinusoidales. (b) La repeticin de las vueltas lleva al desarrollo peridico de la sinusoide. Referentes naturales Formas de rastros de los movimientos de serpientes, formas sinusoidales en el mar, formas de tallos vegetales, formas geolgicas Referentes gaudinianos Las formas sinusoidales fascinaron al modernismo y a Gaud, que las utiliz en decoraciones o formalizaciones de elementos muy diversos, como el banco del Park Gell. En las Escuelas de la Sagrada Familia, Gaud hace un uso magistral de formas sinusoidales paralelas desplazadas con una cubierta reglada que se apoya en una viga central y los puntos sinusoidales correspondientes, desaguando a la perfeccin. Referentes cotidianos de hoy Guirnaldas de fiesta mayor o de verbena, joyera gaudiniana, cama articulada, ciertas divisiones de oficinas, signo de aproximacin ( ) o de equivalencia (~), cintas en lazos de paquetes de regalo

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7. CILINDROSMateriales Papeles rectangulares, pegamento, tijeras, lpiz, regla, arroz, cilindro de un rollo de papel. Experimentos (a) En una hoja de papel se marcan dos puntos y se traza con la regla el segmento de lnea recta que los une. Al montar el cilindro se ver la lnea ms corta sobre la superficie, que une los dos puntos. (b) Recortad dos rectngulos iguales de 5 cm x 10 cm. Formad con uno de ellos un cilindro de 5 cm de altura y, con el otro, uno de 10 cm de altura. Con ayuda del arroz, descubrid la relacin existente entre los volmenes de estos cilindros. (c) Conseguid un cilindro de cartn de un rollo de papel y, con las tijeras, recortadlo siguiendo la curva hlice marcada en l. El resultado ser un trapecio. Explicaciones (a) El cilindro es una superficie desarrollable y este hecho permite descubrir que las curvas geodsicas, las ms cortas entre dos puntos que pertenecen a la superficie, corresponden a los segmentos rectos de la figura desarrollada. (b) Un mismo rectngulo axb puede delimitar dos cilindros. Uno de los cilindros tendr volumen v1=(b/2)2a y el otro v2=(a/2)2b y, por lo tanto, v1:v2=b:a, es decir, la proporcin entre los volmenes ser la misma que entre los lados. (c) Muchas formas permiten obtener cilindros, no solamente los rectngulos. Referentes naturales Troncos de rbol cilndricos. Referentes gaudinianos Formas cilndricas en la Casa Mil i Camps, La Pedrera, columnas cilndricas en otras muchas obras Referentes cotidianos de hoy Lpices, latas, botellas, vasos, tubo de Pritt, tubo de pintalabios, palillos chinos, jarros, bastones Es una superficie omnipresente!

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8. CONOSMateriales Cartulinas, tijeras, regla, comps, lpiz, pegamento, dos linternas, plastilina, papel de seda, cuchillo. Experimentos (a) Haciendo diversos sectores circulares se pueden montar las partes de un cono. (b) Al iluminar una pared con la linterna (cono de luz) veris las secciones planas del cono (elipses, parbolas, hiprbolas). (c) Con un cono de plastilina rodeado de papel de seda y haciendo secciones planas con un cuchillo, obtendris los desarrollos. Cmo son? Explicaciones (a) El cono doble geomtrico es una figura reglada infinita. Con frecuencia interesa nicamente una porcin limitada de un cono; el caso ms popular es el del cono circular de un solo cuerpo. (b) Con el cono de luz iluminando la pared, podis ver secciones elpticas y parablicas planas de un cono. Con el doble cono de las dos linternas contrapuestas se ven las dos ramas de las hiprboles. (c) Una seccin plana de un cono hecha por un plano que corte en un punto el eje del cono es una elipse. Al desarrollar en el plano el cono con seccin elptica sale, sorprendentemente, una curva trigonomtrica en forma de lengua. Los planos paralelos al eje del cono dan secciones hiperblicas, mientras que el caso muy especial de cortes planos paralelos a generatrices da parbolas. Referentes naturales rboles cnicos como el ciprs, algunos caracoles. Referentes gaudinianos Chimeneas cnicas en el Palacio Gell, conos en el Palacio Episcopal de Astorga (1887-1893), conos en el Park Gell, conos que coronan la Casa de los Botines (Len, 1891-1892). Referentes cotidianos de hoy Cucuruchos, carretes de hilo, copas de champn, puntas de lpiz y bolgrafo, jarros, pantallas de lmpara, teteras, puntas de clavo... Otra superficie omnipresente.

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9. HELICOIDESMateriales Modelo de helicoide giratorio. Estructura de alambre sumergible hecha con recta y hlice enlazadas; mezcla de 40% de jabn lquido, 10% de glicerina y 50% de agua; papel, regla y pegamento. Experimentos (a) Dibujad en una hoja de papel los dos segmentos rectos, paralelos y enlazables. Pegando sus extremos, formaris un cilindro con una hlice dibujada. Esta curva de pendiente constante determina con el eje central el helicoide o alma de la escalera. (b) Si se hace con alambre un modelo de eje y hlice, al sumergirlo en el agua jabonosa se ver una aproximacin al helicoide. (c) Con un papel podis formar un tringulo rectngulo que, enrollado al cilindro, os marque tambin la hlice. Explicaciones (a), (b) y (c) El helicoide nace de un segmento que gira perpendicularmente con respecto a un eje y se desplaza al mismo tiempo (movimiento helicoidal) a lo largo de este eje. Los otros extremos del segmento determinan una hlice en el cilindro, y por lo tanto se trata de un perfil de pendiente constante, cosa muy deseable en las escaleras. Referentes naturales Crecimiento helicoidal vegetal. Referentes gaudinianos En la obra de Gaud encontramos unas excepcionales escaleras de caracol de gran belleza; por ejemplo, la escalera de esta forma de la Sagrada Familia. Referentes cotidianos de hoy Escaleras de caracol de obra, escaleras de caracol de librera hechas en madera, turbinas, etc.

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10. HIPERBOLOIDES DE UNA HOJAMateriales Mondadientes (palillos), dos tapas con agujeritos distribuidos circularmente (salero y pimentero), dos redondeles de material rgido pero agujereable, hilo elstico. Gaud Kit con crculos de madera perforados, barra central encajable y gomas elsticas para montar un bonito hiperboloide de una hoja flexible; campanilla, metro de carpintero. Experimentos (a) Poned palillos entre puntos correspondientes de los crculos paralelos de agujeros de las tapas de salero y pimentero. Moviendo suavemente las tapas, veris diversos hiperboloides de una hoja determinados por los mondadientes. Podis hacer lo mismo con las tapas redondas con agujeritos, pasando el hilo elstico. (b) Observad la forma final de la campana. Tambin ponis las manos de este modo alrededor de la boca cuando queris gritar fuerte y lejos. Abrid con cuidado el metro de carpintero formando sierra e intentad unir los extremos. Os quedar una aproximacin a un hiperboloide de una hoja, donde podris ver un crculo central rodeado de una estrella espacial de seis puntas. Explicaciones (a) El hiperboloide de una hoja de revolucin es la superficie reglada formada por todas las rectas que se apoyan a la vez entre los puntos correspondientes de dos crculos paralelos. Si los crculos no han girado en absoluto, sale un cilindro; girando mucho, se llega al cono doble; en giros intermedios aparecen hiperboloides. (b) Las campanas, las trompetas o las tenoras tienen la boca en forma de hiperboloides de una hoja. Gaud era muy aficionado a las campanas. En su taller experiment con diversos diseos, y para la Sagrada Familia decidi que las campanas de formas hiperboloidales quasi tubulares eran las que mejor sonaban. Este hecho obedece al modo como se reflejan las ondas de sonoras en las hiprboles.

Referentes naturales Tronco de palmera, crecimiento animal de un hueso. Referentes gaudinianos Gaud utiliz los hiperboloides de una hoja en diversos objetos y construcciones, tanto de la Sagrada Familia como del Park Gell. Especialmente en la Sagrada Familia, muchos hiperboloides de una hoja estn construidos soldando barritas de hierro entre dos crculos paralelos de diferente dimetro y aadiendo ms tarde material sobre esta estructura de apoyo. Referentes cotidianos de hoy Papeleras de alambre, parte final de instrumentos de viento (trompeta, tenora), campanas, asientos; pies de mesas y de sillas plegables (formados por tres o ms generatrices de un hiperboloide de una hoja), etc.

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11. PARABOLOIDES HIPERBLICOSMateriales Mondadientes, alambre fino, pegamento. Gaud Kit con barras perforadas de hierro y gomas elsticas para montar un magnfico paraboloide hiperblico mvil. Cubitos apilables, papel, lpiz, regla. Recipiente con 50% de agua, 40% de jabn lquido y 10% de glicerina lquida. Estructuras de alambre recubierto de plstico (con varilla para asir) en forma de cuadrado y de cuadriltero alabeado. Experimentos (a) Montad con el alambre un cuadriltero en el espacio e id pegando los mondadientes como se indica en la figura; obtendris un modelo casero de porcin de paraboloide hiperblico. (b) Dibujad una cuadrcula y ponedle coordenadas. Colocad en cada cuadrado (m,n) un montn de mn cubitos. Esta superficie del producto de nmeros corresponde al paraboloide hiperblico. (c) Al sumergir el cuadrado y sacarlo del agua jabonosa aparece una superficie cuadrada plana, determinada por la pelcula de jabn. Si se hace lo mismo con el cuadriltero alabeado, el jabn determina una superficie de tipo paraboloide hiperblico. Explicaciones (a) El paraboloide hiperblico es la superficie reglada formada por todas las rectas que se apoyan a la vez entre los puntos correspondientes de dos rectas soporte que se cruzan en el espacio, mantenindose siempre estas rectas de la superficie paralelas a un plano. Al poner la superficie en distintas posiciones, descubriris secciones rectas, parbolas cncavas, parbolas convexas e hiprbolas. (b) Utilizando la definicin de paraboloide hiperblico, podis verificar que la superficie z=xy lo es. Gaud us estas superficies tanto en elementos de detalle como en elementos constructivos grandes. (c) Las pelculas de jabn tienden a formar superficies de rea mnima. Curiosamente, el cuadriltero de aristas coplanarias lleva a un plano, pero el cuadriltero de aristas alabeadas determina una superficie de tipo silla de montar muy suave, prxima a un paraboloide hiperblico. Referentes naturales Forma natural de paraboloide hiperblico en hojas y en paisajes (valles). Referentes gaudinianos Gaud denomin esta superficie planoide y la consider fcil de hacer para los albailes, dado que tenan que ir colocando los ladrillos a lo largo de hiladas. Introdujo el primer paraboloide hiperblico debajo del mirador del Campo de las Higueras de la Finca Gell. Ensaya paraboloides en la iglesia de la Colonia Gell (1898-1908-1916) y los consagra en la Sagrada Familia. Referentes cotidianos de hoy Patatas Pringles (forma aproximada), silla de montar a caballo, joyera gaudiniana

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12. PARABOLOIDES CIRCULARESMateriales Cartulina, mondadientes, pegamento, tijeras, lpiz, un vaso y agua. Experimentos Recortad una parbola y pegad un mondadientes como eje. Al darle vueltas, veris un paraboloide de revolucin. Si en un vaso con agua consegus hacer girar el lquido a cierta velocidad uniforme, su superficie adquiere la forma de un paraboloide de revolucin. Con una mano tambin podis imitar esta forma. Explicaciones El paraboloide de revolucin es generado por una parbola que gira alrededor de su eje de simetra. En el caso del agua, la fuerza centrfuga es la que produce este fenmeno. Cuando aplicis la mano al odo en forma de paraboloide, estis aprovechando el hecho de que los rayos paralelos (las ondas sonoras) incidentes en la parbola llegan hasta su foco (el odo). Referentes naturales Formas aproximadas de paraboloide en las setas. Referentes gaudinianos Gaud utiliz arcos parablicos y formas de cpula parablica; un ejemplo es el Palacio Gell, donde a travs de unos agujeros consigue una iluminacin cenital, tal y como hacan los rabes. Formas aproximadas en el Park Gell. Referentes cotidianos de hoy Movimiento giratorio del vaso de whisky medio lleno, escurridor de la bayeta en un cubo de fregar, faro tradicional de coche, copas, pantallas de lmpara, antena parablica

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13. ELIPSOIDESMateriales Elipse de cartulina, mondadientes, pegamento, bolitas esfricas iguales. Experimentos (a) Si pegis el mondadientes al eje menor de la elipse y la hacis dar vueltas, veris un elipsoide de revolucin. (b) Cuntas esferas iguales podran tocar una esfera dada? Explicaciones (a) Una esfera es un elipsoide de revolucin con todos los semiejes iguales al radio. (b) Una esfera puede tocar doce esferas al mismo tiempo. Referentes naturales Formas esfricas y elipsoidales en frutos, piedras, planetas Referentes gaudinianos Gaud utiliz esferas como elementos decorativos (chimeneas de la Casa Batll), como elementos simblicos (rosario de esferas de piedra en el Park Gell o perlas en los pinculos de la Sagrada Familia) y como elementos de simulacin de frutos de la tierra (Sagrada Familia). Us elipsoides en los nudos de la parte superior de las columnas de la Sagrada Familia para darles un aspecto arborescente. Referentes cotidianos de hoy Pelotas de tota clase de deportes (ftbol, rugby, tenis, ping-pong, bolos), bolas de billar, jabones, frascos de perfume, cpulas de observatorios, caramelos, dulces de pastelera, trufas, helados, perlas en collares o pendientes, esfera para hervir diamantes, instrumento de guiar ganado en la Pampa (tres esferas)... Infinitos productos.

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14. MOSAICOSMateriales Tringulos equilteros, cuadrados y hexgonos regulares, baldosa hexagonal del paseo de Grcia, tres pentgonos regulares, pieza de parquet hexagonal de La Pedrera. Experimentos (a) Formad los mosaicos regulares con tringulos, cuadrados o hexgonos, apreciando sus caractersticas. Observad que los pentgonos regulares no se pueden encajar. Qu secreto esconde el diseo del parquet? Explicaciones (a) Con polgonos regulares slo se pueden hacer tres tipos de mosaico: el de tringulos equilteros, el de cuadrados y el de hexgonos. La regularidad no proviene nicamente de trabajar con piezas iguales que son polgonos regulares (ngulos y lados en forma convexa), sino del hecho que en cada vrtice hay siempre el mismo nmero de aristas. Los tres tipos de mosaico estn presentes en la obra de Gaud, aunque las baldosas hexagonales sedujeron especialmente al arquitecto. (b) Diseccin del hexgono en tringulos rectngulos. Referentes naturales Formas hexagonales en el panal de miel, crecimientos minerales regulares. Referentes gaudinianos Baldosa hexagonal que decora en la actualidad el pavimento del paseo de Grcia. En el Park Gell, Gaud, ayudado por Jujol, hace mosaicos de trencads adaptados a superficies no planas. En la Casa Mil i Camps, La Pedrera, parquet con piezas hexagonales. Referentes cotidianos de hoy Mosaicos regulares y semirregulares de tipo comercial, tatamis, tableros

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15. POLIEDROSMateriales Modelos de los cinco poliedros regulares. Cartulina, tijeras, regla, transportador de ngulos, pegamento, modelo de una columna. Experimentos (a) Dibujad en la cartulina el desarrollo plano indicado. Recortadlo y montad el poliedro correspondiente. (b) Buscad el nmero 12 en los poliedros regulares. (c) Observad la columna y cmo se genera. Explicaciones (a) Observad cmo nace el poliedro de Gaud con caras hexagonales no regulares y cuadradas como resultado de seccionar un poliedro regular, concretamente el octaedro. (b) El cubo tiene doce aristas, al igual que el octaedro. El tetraedro tiene seis. El dodecaedro tiene doce caras. Los doce centros de las caras del dodecaedro generan el icosaedro. (c) Las columnas de la Sagrada Familia se componen de piezas cncavas con bases poligonales y caras laterales triangulares. Referentes naturales Mineral de galena en el que se inspir Gaud, y otros minerales y cristales. Referentes gaudinianos Poliedros en los pinculos de la Sagrada Familia; al final de las torres aparece el simbolismo religioso representado por el bculo, el anillo episcopal, las perlas-esferas, etc. Gaud crea estos singulares poliedros con aberturas para que entre la luz. Gaud consideraba que los poliedros slo se encuentran en la naturaleza en algunos casos excepcionales, motivo por el que reserv a estos cuerpos geomtricos un papel especial en la Sagrada Familia. Referentes cotidianos de hoy Cajas, joyeros, mesas, joyas, cubitos de sopa

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16. FRACTALIDAD E INCLINACINMateriales Un paraguas tradicional, hojas de papel, tres libros iguales, lpiz, regla, soporte inclinado de botella horizontal, un bastn (o un palo) y una silla. Experimentos (a) Si abrs y cerris el paraguas, podris descubrir los secretos geomtricos y estructurales de esta popular estructura flexible porttil. (b) Se experimentar la manera de aguantar el lpiz sobre una hoja de papel y se propondr cmo hacer un puente de papel entre dos libros verticales para sostener otro libro. (c) Experimentad cmo se sostiene la botella. Cmo aguantarais el bastn con un dedo? Sentaos en una silla tocando el respaldo con los omplatos. Podrais levantaros sin hacer ninguna inclinacin hacia delante? Explicaciones (a) Conviene observar los polgonos que forman las distintas partes del paraguas y cmo son sus ngulos. Se deben apreciar sus simetras y su comportamiento estructural, y tambin el carcter arborescente con el que estn repartidas las fuerzas. (b) Un mismo material puede tener resistencias estructurales diferentes si se juega con su forma. La curvatura, los pliegues, la colocacin, etc. pueden ser determinantes de las propiedades estructurales. Gaud fue un maestro en el arte de crear estructuras imaginativas adecuadas para sustentar sus proyectos. (c) Con una inclinacin de 45, el peso de la botella permite que se mantenga en posicin horizontal. Podis aguantar el bastn vertical con el dedo en la base o poner el bastn horizontalmente, apoyado en los dedos ndices de ambas manos separadas, e ir acercando los ndices hasta encontrar el centro de gravedad. Sin inclinarse un poco nadie se podra levantar verticalmente! Referentes naturales El crecimiento de la copa de un rbol es fractal e inclinado, como tambin el crecimiento de algunos caracoles. Referentes gaudinianos Estructura del techo de la iglesia de la Colonia Gell, columnas inclinadas del Park Gell, estructura de la Casa Mil i Camps, La Pedrera, en el Espacio Gaud. Gaud rompe a menudo la forzosa verticalidad de los elementos arquitectnicos (columnas, pilares) y juega con inclinaciones ptimas para transmitir al suelo las cargas que tienen que soportar. En el Park Gell se encuentran ejemplos espectaculares, especialmente adaptados al terreno. Referentes cotidianos de hoy Paraguas, muebles con las patas inclinadas, trpodes, soporte de botella horizontal, uso de palos o bastones con inclinacin, pia y folre de los castillos humanos.

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Lista de material manipulable Cinta Cartulinas con tres lados rectos y un lado correspondiente a una curva sinusoidal completa Plastilina Papel de seda Cuchillo Copa de champn cnica Agua Plato Dos lpices de seccin hexagonal Sacapuntas Rectngulo vertical de cartn grueso Papel milimetrado Chinchetas Cadenitas Recipiente con 50% de agua, 40% de jabn lquido y 10% de glicerina lquida Dos estructuras de alambre recubierto de plstico (con varilla para asir) en forma de circunferencias idnticas Concha de Fusus (Chrysodomus) antiquus Tornillo Cordel Papeles rectangulares Pegamento Tijeras Lpiz Regla Arroz Cilindro de un rollo de papel Kit del arco catenario Comps Modelo de helicoide giratorio Estructura de alambre sumergible hecha con recta y hlice enlazadas Mondadientes Dos tapas con agujeritos distribuidos circularmente (salero y pimentero) Gaud Kit con crculos de madera perforados Barra central encajable y gomas elsticas para montar un hiperboloide de una hoja flexible Metro de carpintero Gaud Kit con barras perforadas de hierro y gomas elsticas para montar un paraboloide hiperblico mvil Cubitos apilables Vaso Elipse de cartulina Bolitas esfricas iguales Tringulos equilteros, cuadrados y hexgonos regulares Baldosa hexagonal del paseo de Grcia Tres pentgonos regulares Pieza de parquet hexagonal de La Pedrera Modelos de los cinco poliedros regulares Transportador de ngulos Modelo de una columna

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Lista de objetos actuales Ratn de ordenador Baln de rugby Encendedor Lata de conservas Forma de sombreros Lpiz hexagonal Campana Instrumento de viento (trompeta, tenora, trombn, etc.) Reloj de sol con las horas distribuidas segn una hiprbola Ensaimadas Mecanismo de relojera Rollos de papel Yoy Palmeras de pastelera Pendientes Broches Guirnaldas de fiesta mayor sinusoidales Lpices redondos Latas redondas Tubo de Pritt Palillos chinos Bastn o palo Cucurucho Copas de champn Puntas de lpiz Abanico Campana Silla plegable (formada por tres o ms generatrices de un hiperboloide de una hoja) Patatas Pringles Escurridor de bayeta de un cubo de fregar Faro tradicional de coche Antena parablica Pelotas de toda clase de deportes (ftbol, rugby, tenis, ping-pong, bolos) Bolas de billar Caramelos Dulces de pastelera Trufas Helados Perlas en collares Esfera para hervir diamantes Mosaicos regulares y semirregulares de tipo comercial Cajas Cubitos de sopa Paraguas Trpodes Soporte de botella horizontal

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geometria manual

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