geometría afín en el espacio - intef -...

Geometría afín en el espacio. Rectas y planos Matemáticas 2

- 1/24 - A.G.Onandía

A

X

O

Geometría afín en el espacio. Rectas y planos

1. Ecuaciones de la recta

La ecuación de una recta viene determinada por un punto

A(x0,y0,z0)R3 y un vector 321 ,, uuuu

V

3 o por dos puntos A(x0,y0,z0) ,

B(x1,y1,z1) R3 que viene a ser lo mismo. Al vector u

llamaremos vector

director de la recta.

Un punto cualquiera X(x,y,z) pertene a la recta r si el vector AX es proporcional al vector u

. Es

decir que la recta que pasa por A y tiene como vector director a u

está determinada por la

ecuación: RconuAX

teniendo en cuenta que axAX

se obtiene la ecuación:

1.1 Ecuación vectorial Rconuax

Poniéndola en coordenadas y componentes (x,y,z)= (x0,y0,z0)+ 321 ,, uuu con R separando

las componentes obtenemos:

1.2 Ecuaciones paramétricas R

uzz

uyy

uxx

30

20

10

Despejando de cada ecuación e igualándolas:

1.3 Ecuación continua 3

0

2

0

1

0

u

zz

u

yy

u

xx

Si en lugar de conocer el vector director tenemos dos puntos se transforma en:

01

0

01

0

01

0

zz

zz

yy

yy

xx

xx

Operando estas igualdades, agrupando términos y ordenándolos obtenemos las



1.4 Ecuaciones cartesianas o implícitas

0

0

2222

1111

DzCyBxA

DzCyBxAr

Como veremos más adelante ésta es una forma de representar una recta como intersección de dos

planos.

Ejemplo 1: Hallar la ecuación de la recta que pasa por el punto A(-1,-1,-1) y tiene por vector

director u

(0,-1,2) en sus diferentes expresiones.

a) Ecuación vectorial (x,y,z)=(-1,-1,-1)+(0,-1,2) R

b) Ecuaciones paramétricas R

z

y

x

21

1

1

c) Ecuación continua 2

1

1

1

0

1

zyx

d) Ecuaciones cartesianas

032

01

zy

x

Ejemplo 2: Hallar la ecuación continua de la recta que pasa por los puntos A(1,-1,2) y B(0,-3,-2)

4

2

2

1

1

1

zyx siendo (-1,-2,-4) el vector director.

Geometría en el espacio

209

4Solucionario

013 Halla un punto C en el segmento AB, determinado por los puntos A(−3, 0, 1) y B(0, 6, 5), de modo que AC# sea la mitad que CB#.

Sea C c c c( , , )1 2 3 entonces: AC c c c= + -( , , )1 2 33 1W y CB c c c= - - -( , , )1 2 36 5W

AC CB c c c c c c

c

= ⋅ + - = ⋅ - - -1

23 1

1

26 51 2 3 1 2 3→ ( , , ) ( , , )

11 1

2 2

3 3

31

21

26

11

25

+ = -

= -

- = -

c

c c

c c

( )

( )

= -=

=

-→

c

c

c

1

2

3

2

2

7

3

-

→ C 2 2

7

3, ,

Si W WAC CB c c c c c c

c

= ⋅ + - = ⋅ - - -1

23 1

1

26 51 2 3 1 2 3→ ( , , ) ( , , )

11 1

2 2

3 3

31

21

26

11

25

+ = -

= -

- = -

c

c c

c c

( )

( )

= -=

=

-→

c

c

c

1

2

3

2

2

7

3

-

→ C 2 2

7

3, ,

014 Encuentra un punto D, para que el polígono ABCD sea un paralelogramo.A(0, 0, 0) B(2, −1, 3) C(−1, 2, 1)

Respuesta abierta.

Por ejemplo:

Considerando los vectores ABW y ACW, el punto D que buscamos es:

D = B + ACW = C + ABW

ABW = (2, -1, 3) ACW = (-1, 2, 1)

D B AC= + = - + - =( , , ) (2 1 3 1, 2, 1) (1, 1, 4)W

015 calcula la ecuación vectorial de la recta que pasa por el punto y tiene el vector director indicado.a) A(2, −1, −1) y Wv = (−2, −4, 4) b) A(1, 1, 1) y Wv = (−2, −2, −2)

a) OP OA t v x y z t= + = - - + - -→ ( , , ) ( , , ) ( , , )2 1 1 2 4 4W W W

b) OP OA t v x y z t= + = + - - -→ ( , , ) ( , , ) ( , , )1 1 1 2 2 2W W W

016 Halla las ecuaciones paramétricas de la recta, sabiendo que un punto y un vector director son:a) A(3, 0, −7) y Wv = (−10, 2, 6) b) A(0, 0, 0) y Wv = (1, 0, 0)

a) x ty tz t

= -== - +

3 102

7 6 b)

x tyz

===

00

017 calcula la ecuación continua de la recta que pasa por cada par de puntos.a) A(2, −1, −1) y B(0, −5, 3) b) A(1, 1, 1) y B(−1, −1, −1)

a) ABx y z

= - --

-=

+

-=

+( , , )2 4 4

2

2

1

4

1

4→W

b) ABx y z

= - - --

-=

-

-=

--

( , , )2 2 21

2

1

2

1

2→W

Halla dos vectores Wu y Wv tales que:Wu − Wv = (0, 0, 1) Wu + Wv = (1, 0, 0)

¿cuántos vectores en el espacio verifican estas dos condiciones?

Los vectores Wu y Wv son únicos.

Determina el número máximo de vectores independientes, y elige vectores que lo sean.

Wv1 = (1, −1, 0) WWv2 = (0, 1, −1) Wv3 = (3, 0, −3) Wv4 = (1, 1, 1)

Hay tres vectores linealmente independientes.

son vectores linealmente independientes.

comprueba si estas colecciones de vectores son base del espacio o no.

a) Wv1 = (2, −1, 0), Wv2 = (2, 1, 0) y Wv3 = (2, 0, 1)b) Wv1 = (3, −7, 1), Wv2 = (−1, 4, 0) y Wv3 = (5, −10, 2)

a)

Los vectores forman una base.

b)

Los vectores no forman una base.

833276 _ 0202-0259.indd 209 21/7/09 15:10:01



2. Ecuaciones del plano

Un plano queda determinado por un punto A(x0,y0,z0)R3 y dos vectores

3

321321 ,,,,, Vvvvvuuuu

linealmente independientes o por tres puntos no alineados.

Los vectores vyu

se llaman vectores directores del plano.

Un punto X pertenece al plano si el vector AX es

combinación lineal de vyu

es decir RvuAX ,

teniendo en cuenta que axAX

obtenemos la ecuación:

2.1 Ecuación vectorial Rvuax ,

Considerando un sistema de referencia kjiO

,,, tenemos que A(x0,y0,z0),

321321 ,,,,, vvvvuuuu

sustituyendo en la ecuación anterior nos queda:

Rvvvuuuzyxx ,,,,,,, 321321000

separando por componentes:

2.2 Ecuaciones paramétricas R

vuzz

vuyy

vuxx o

,

330

220

11

2.3 Ecuación general o implícita

Hemos visto que un plano queda determinado por un punto A(x0,y0,z0)R3 y dos vectores

linealmente independientes 3

321321 ,,,,, Vvvvvuuuu

que llamamos vectores directores i.e. (A,

vu

, ) (se denomina determinación lineal del plano).

Un punto X pertenece al plano si el vector AX es combinación lineal de vyu

es decir

2,, vuAXRg

es decir 0

321

321

000

vvv

uuu

zzyyxx

desarrollando por los adjuntos de los elementos

de la 1ª fila se obtiene una expresión del tipo Ax+By+Cz+D=0 que se denomina ecuación general o

implícita del plano.

A X

O



Observación: a) si C≠0 entonces los vectores u C,0,-A y u 0,C,-B son dos vectores directores.

Ejemplo: Sea π≡ 3x+2y+z-4=0, dos vectores directores son: 3,0,1u

, 2,1,0v

Comprobación 1,2,3nkj2i3

210

301

kji

vun

b) fijándonos en la ecuación general del plano y en las ecuaciones cartesianas de una

recta es evidente que podemos pensar en una recta como intersección de dos planos.

2.4 Ecuación del plano que pasa por 3 puntos

Sean 222111000 ,,,,,),,( zyxCyzyxBzyxA tres puntos no alineados entonces los vectores ACyAB

son linealmente independientes y los podemos tomar como vectores directores del plano.

Consideramos el plano ACABA ,, como hemos viso su ecuación será:

0

1

1

1

1

222

111

000

020202

010101

000

zyx

zyx

zyx

zyx

zzyyxx

zzyyxx

zzyyxx

Ejemplo 3: Hallar las ecuaciones vectorial, paramétricas y general del plano (A, vu

, ) siendo

A(1,2,5) 6,2,53,1,2 vyu

. Sol. 3y+z-11=0

Ejemplo 4: Hallar la ecuación del plano que pasa por los puntos A(1,-1,1), B(0,-3,2) y C(1,0,-2)

Sol -5x+3y+z+7=0

Ejemplo 5: Comprobar si los puntos A(1,2,11), B(-1,3,7), C(2,-5,0) y D(-4,2,-4) son coplanarios. Sol Si

2.5 Ecuación normal

Otra forma de determinar un plano es conociendo un punto

A(x0,y0,z0) y un vector normal a él. ),,( 321 nnnn

El plano está formado por todos los puntos X tal que el vector

naortogonalesAX

es decir 0)(0 axnAXn

que

se denomina ecuación normal del plano.

A X

O



Poniendo esta ecuación en componentes obtenemos:

0)(

0)()()(

0),,)(,,(

030201321

030201

000321

znynxnznynxn

zznyynxxn

zzyyxxnnn

relacionándolo con la ecuación implícita del plano Ax+By+Cz+D=0 tenemos que n1=A; n2=B; n3=C

por lo tanto un vector normal al plano es ),,( CBAn

.

Al vector ),,( CBAn

se le denomina vector característico del plano.

Lo que queda claro es que podemos determinar el plano mediante un punto y un vector ortogonal

i.e. (A, n

) se denomina determinación normal del plano.

Recordemos que cuando damos el plano por un punto y dos vectores (A, vu

, ) se denomina

determinación lineal del plano.

Ejemplo 6: Determinar la ecuación del plano que pasa por el punto A(2,-1,5) y tiene como vector

característico (1,-1,3).

01831801512)5,1,2(

03

zyx

DDA

Dzyxn

Ejemplo 7: Hallar la ecuación del plano que pasa por A(2,3,1) y B(5,2,-1) es perpendicular al plano

0523 zyx

2.6 Ecuación segmentaría

Es la ecuación del plano referida a los puntos de corte con los ejes cartesianos:

cOZbOyaOX ,0,00,,00,0,

Si hallamos la ecuación del plano que pasa por esos tres puntos podemos obtener una expresión del

tipo 1c

z

b

y

a

x

Es evidente que los tres puntos verifican esta ecuación.

Ejemplo 8: Plano determinado por una recta 11

3

2

1

zyxr y un punto A(2,0,1) exterior a ella.



)0,3,1(

)1,1,2(

11

3

2

1

B

uzyxr

1,3,11,3,1 vtomarpodemosAB

la determinación lineal del plano será vuA

,,

0737,1,373

031

112

Dzyxnkji

kji

vun

imponiéndole que pase por el punto A(2,0,1) 6+0+7+D=0 D=-13. Solución: 3x+y+7z-13=0

Ejemplo 9: hallar la ecuación de un plano ’ que contenga la recta 1

1

3

1

2

1

zyxr y sea

perpendicular al plano R

z

y

x

,

kji

kji

vvunvuv

Au

101

0111,0,1,0,1,1

1,1,11,3,2

''

''

La determinación lineal del plano que se demanda es

kji

kji

vutoporyvuA

34

111

132tan),,(' ''''

tomando

0834034)1,3,4 zyxAporpasarhaciendoleyDzyxn

Ejemplo 10: Dada la ecuación del plano 2x+y-8z=4. Hallar los puntos de corte con los ejes

coordenados y el área del triángulo que determinan.

2

1,0,0

2

10,0

0,4,040,0

0,0,220,0

CzyxOZ

ByzxOY

AxzyOX

2

2

698,1,2

2

1

2

102

0422

1

2

1u

kji

ACABtriángulodelÁrea



Observaciones: Cuando tomamos vectores para la determinación de planos o rectas se pueden

multiplicar por un número real (simplificar,) pues lo único que nos interesa de ellos es su dirección y

ésta se mantiene constante.

Ahora bien, cuando vayamos a calcular áreas o volúmenes no lo podemos hacer ya que en

estos casos también necesitamos utilizar, por lo menos, la información del módulo.

Lo que nunca se puede hacer es multiplicar por escalares los puntos, ya que obviamente

cambiamos de punto.

En los ejemplos anteriores hemos multiplicado los vectores salvo en el último que teníamos que

hallar un área.

Ejercicio 1: Hallar la ecuación general del plano que pasa por el origen de coordenadas y es paralelo al

plano 1 determinado por el punto A(1,-1,0) y la recta que pasa por el punto B(2,2,2) y tiene por vector

director (1,2,3). Sol 5x-y-z=0

Ejercicio 2: Hallar la ecuación del plano perpendicular al segmento que une los puntos A(2,-1,3) y

B(-4,2,2) y pasa por el punto medio. Sol: 6x-3y+z+5=0

Relación: “ Ejercicios rectas y planos I ”

Anaya. Página 166. Ejercicios: 9; 10; 11; 12; 14.

Página 167. Ejercicios: 21, 22, 25, 27, 33, 38, 39, 41, 55.


209

4Solucionario

013 Halla un punto C en el segmento AB, determinado por los puntos A(−3, 0, 1) y B(0, 6, 5), de modo que AC# sea la mitad que CB#.

Sea C c c c( , , )1 2 3 entonces: AC c c c= + -( , , )1 2 33 1W y CB c c c= - - -( , , )1 2 36 5W

AC CB c c c c c c

c

= ⋅ + - = ⋅ - - -1

23 1

1

26 51 2 3 1 2 3→ ( , , ) ( , , )

11 1

2 2

3 3

31

21

26

11

25

+ = -

= -

- = -

c

c c

c c

( )

( )

= -=

=

-→

c

c

c

1

2

3

2

2

7

3

-

→ C 2 2

7

3, ,

Si W WAC CB c c c c c c

c

= ⋅ + - = ⋅ - - -1

23 1

1

26 51 2 3 1 2 3→ ( , , ) ( , , )

11 1

2 2

3 3

31

21

26

11

25

+ = -

= -

- = -

c

c c

c c

( )

( )

= -=

=

-→

c

c

c

1

2

3

2

2

7

3

-

→ C 2 2

7

3, ,

014 Encuentra un punto D, para que el polígono ABCD sea un paralelogramo.A(0, 0, 0) B(2, −1, 3) C(−1, 2, 1)

Respuesta abierta.

Por ejemplo:

Considerando los vectores ABW y ACW, el punto D que buscamos es:

D = B + ACW = C + ABW

ABW = (2, -1, 3) ACW = (-1, 2, 1)

D B AC= + = - + - =( , , ) (2 1 3 1, 2, 1) (1, 1, 4)W

015 calcula la ecuación vectorial de la recta que pasa por el punto y tiene el vector director indicado.a) A(2, −1, −1) y Wv = (−2, −4, 4) b) A(1, 1, 1) y Wv = (−2, −2, −2)

a) OP OA t v x y z t= + = - - + - -→ ( , , ) ( , , ) ( , , )2 1 1 2 4 4W W W

b) OP OA t v x y z t= + = + - - -→ ( , , ) ( , , ) ( , , )1 1 1 2 2 2W W W

016 Halla las ecuaciones paramétricas de la recta, sabiendo que un punto y un vector director son:a) A(3, 0, −7) y Wv = (−10, 2, 6) b) A(0, 0, 0) y Wv = (1, 0, 0)

a) x ty tz t

= -== - +

3 102

7 6 b)

x tyz

===

00

017 calcula la ecuación continua de la recta que pasa por cada par de puntos.a) A(2, −1, −1) y B(0, −5, 3) b) A(1, 1, 1) y B(−1, −1, −1)

a) ABx y z

= - --

-=

+

-=

+( , , )2 4 4

2

2

1

4

1

4→W

b) ABx y z

= - - --

-=

-

-=

--

( , , )2 2 21

2

1

2

1

2→W

Halla dos vectores Wu y Wv tales que:Wu − Wv = (0, 0, 1) Wu + Wv = (1, 0, 0)

¿cuántos vectores en el espacio verifican estas dos condiciones?

Los vectores Wu y Wv son únicos.

Determina el número máximo de vectores independientes, y elige vectores que lo sean.

Wv1 = (1, −1, 0) WWv2 = (0, 1, −1) Wv3 = (3, 0, −3) Wv4 = (1, 1, 1)

Hay tres vectores linealmente independientes.

son vectores linealmente independientes.

comprueba si estas colecciones de vectores son base del espacio o no.

a) Wv1 = (2, −1, 0), Wv2 = (2, 1, 0) y Wv3 = (2, 0, 1)b) Wv1 = (3, −7, 1), Wv2 = (−1, 4, 0) y Wv3 = (5, −10, 2)

a)

Los vectores forman una base.

b)

Los vectores no forman una base.

833276 _ 0202-0259.indd 209 21/7/09 15:10:01

210


023 calcula la ecuación general de los planos que contienen a dos de los ejes coordenados.

Eje X y eje Y:

Eje X y eje Z:

Eje Y y eje Z:

024 Determina la posición de estas rectas:

PQW = (3, 5, -5)

Rango Rango

Las rectas son paralelas.

025 Determina las posiciones relativas de las siguientes rectas:

PQW = (-2, -2, -2)

Rango Rango

Las rectas son secantes.

018 Halla las ecuaciones cartesianas de la recta que pasa por cada par de puntos.a) A(3, 0, −7) y B(−7, 2, −1) b) A(0, 0, 0) y B(1, 0, 0)

a) ABx y z

x yx

= --

-= =

+

- = -- =

( , , )10 2 63

10 27

6

2 6 106 18

→

→-- -

+ - =+ + =

10 70

5 3 06 10 52 0z

x yx z

→

W

b) ABy

z=

==

( , , )1 0 00

0→W

019 obtén la ecuación vectorial del plano en cada caso.a) A(2, −1, −1), B(0, −5, 3) y C(1, 1, 1) b) A(1, 1, 1), B(−1, −1, −1) y C(1, 2, 2)

a) ABW = (-2, -4, 4) ACW = (-1, 2, 2)

OP OA AB AC x y z= + + = - - + - - +l m l→ ( , , ) ( , , ) ( , , )2 1 1 2 4 4 mm ( , , )-1 2 2W W W W

b) ABW = (-2, -2, -2) ACW = (0, 1, 1)

OP OA AB AC x y z= + + = + - - - +l m l m→ ( , , ) ( , , ) ( , , )1 1 1 2 2 2 (( , , )0 1 1W W W W

020 Halla las ecuaciones paramétricas del plano correspondiente.a) A(3, 0, −7), Wu = (−10, 2, 6) y Wv = (0, 3, 10)b) A(0, 0, 0), Wu = (1, 0, 0) y Wv = (4, 4, 4)

a) πl

l ml m

:xyz

= -= += - + +

3 102 3

7 6 10 b) π

l mmm

:xyz

= +==

444

021 Halla la ecuación general del plano que pasa por el punto P (−1, 0, 2) y contiene a la recta de ecuación:

rx y z

:− =

−−

= +11

3

14

3

El plano está definido por P (-1, 0, 2), el vector director de la recta Wv2 = (1, -1, 3) y el vector APW, con A (1, 3, -4) ∈ r.

APW = (-2, -3, 6)

π:

x y z

x y z

+ - --

- -= - - + =

1 0 2

1 1 3

2 3 6

0 3 12 5 13 0→ π :

022 obtén la ecuación general del plano que pasa por los puntos A(1, 1, −7), B(5, −2, 9) y C(5, −4, 0).

ABW = (4, -3, 16) ACW = (4, -5, 7)

π:

x y z

x y z

- - +--

= + - - =1 1 7

4 3 16

4 5 7

0 59 36 8 151 0→ π :

833276 _ 0202-0259.indd 210 21/7/09 15:10:04



3. Posiciones relativas de dos planos.

Sean dos planos cualesquiera de ecuaciones 0

0

22222

11111

DzCyBxA

DzCyBxA

Estudiar su posición relativa equivale a discutir el sistema formado por ellos. Utilizando el teorema

de Rouche-Frobenius:

222

111

CBA

CBAM

2222

1111*

DCBA

DCBAM

Si RgM=RgM* sistema compatible

o Si RgM=RgM*=2 3 S.C.I. soluciones dependiendo de un parámetro se cortan en

una recta (ecuaciones cartesianas de la recta) planos secantes.

La recta es la solución del sistema 21 nnur

o Si RgM=RgM*=1 3 S.C.I. soluciones dependiendo de dos parámetros las

ecuaciones son proporcionales planos coincidentes

Si RgM≠RgM* sistema incompatible

o Si RgM=1 y RgM*=2 S.I. no existe solución planos paralelos.

1

2

1

2

1

2



Observación: De aquí se obtiene la condición de paralelismo:

Si RgM=1 implica que los coeficientes de las variables en ambas ecuaciones son proporcionales y si

el RgM*=2 quiere decir que no lo son los términos independientes i.e.

21212121 ,,, kDDkCCkBBkAA 2

1

2

1

2

1

2

1

D

D

C

C

B

B

A

A

De estos resultados se deducen las fórmulas para obtener las posiciones relativas de dos planos:

Planos paralelos ------2

1

2

1

2

1

2

1

D

D

C

C

B

B

A

A

Planos coincidentes --2

1

2

1

2

1

2

1

D

D

C

C

B

B

A

A

Planos secantes -------2

1

2

1

2

1

2

1

C

C

A

Ao

B

B

A

A

Ejemplo 11: Hallar la intersección de los planos:

024

1323

2

1

zyx

zyx

.2*2241

323rectaunaesRgMRgMRg

Varios métodos de resolución:

a) kji

kji

nnur 1498

241

32321

hallamos un punto de la recta: para x=0

2

1,

4

1,0

2

1

4

1

024

132Pzy

zy

zy

la recta será

1 1

4 2

8 9 14

y zx

b) Se elimina la variable y de las dos ecuaciones dando 7x+4z=2

se elimina la variable z de las dos ecuaciones dando 9x+8y=2

después despejando la variable x de estas dos nuevas ecuaciones obtenemos:



4

72

1

8

94

1

1

8

94

1

9

28

4

72

1

7

24

zyx

yy

x

zz

x

c) Resolviendo como un sistema compatible e indeterminado:

llamamos a x=

4

728

92

24

3132

z

y

zy

zy por tanto la ecuación será:

R

z

y

x

4

7

2

1

8

9

4

1

Ejercicio 3: Determinar la posición relativa de los planos 08532

02423

2

1

zyx

zyx

y dar la ecuación

de los puntos que tienen en común en caso de tenerlos.

Sol. r 21 13,23,2ru

Ejercicio 4: Idem con 02846

01423

2

1

zyx

zyx

Sol. 21 concoincide

Ejercicio 5: Idem. 07846

01423

2

1

zyx

zyx

Sol 21

Ejercicio 6: calcular la ecuación de dos planos que se corten en la siguiente recta:

R

z

y

x

52

3

32

(idéntico a lo realizado en teoría cuando calculamos las ecuaciones

cartesianas de una recta)

Anaya. Página 167. Ejercicio 37.


213

4Solucionario

029 Halla la posición relativa de la recta y el plano:

rx y z

x y z: :1

2

21

12 5 3 3 0=

+= −

−− + + =π

rx y z

rx y

x zr

x: : :

1

2

2

1

1

2 2

1

2=

+=

--

= +- = -

-→ →

yy

x z

- =+ - =

2 0

1 0

2 1 0

1 0 1

2 5 3

11 0

2 1 0

1 0 1

2 5 3

-

-= ≠

-

-

- -→ Rango

=

- --

-

--

Rango

2 1 0 2

1 0 1 1

2 5 3 3

= 3

La recta y el plano se cortan en un punto.

030 Halla la posición relativa de estas parejas de planos.

a) π1: −x + 2y − z = 0 π2: x − 2y + z + 1= 0

b) π1: x − z + 11= 0 π2: −2y − z + 11= 0

a) Rango- -

-

=

-- -

1 2 1

1 2 11

-= - ≠

- --

-

-- -

1 0

1 11 0

1 2 1 0

1 2 1 1→ Rango == 2

Los planos son paralelos.

b) 1 0

0 22 0

1 0 1

0 2 1

- --

= - ≠-

- -

=→ Rango Ranggo

1 0 1 11

0 2 1 112

- -- -

=

Los planos son secantes.

031 Estudia la posición relativa de los planos.

a) π1: −6x + 5y −3 z + 2 = 0 π2: x − y + z = 0

b) π1: x − 2y − z + 1= 0 π2: −2x + 4y − 2 z + 3 = 0

a) -

-= ≠

- --

=

--

-- -

6 5

1 11 0

6 5 3

1 1 1→ Rango

-- --

=

-- -

6 5 3 2

1 1 1 02


b) - -

--

- -= - ≠

- -- -

1 1

2 24 0

1 2 1

2 4 2→ Rango ==

- -- -

=

--

Rango1 2 1 1

2 4 2 32


Estudia la posición relativa de estas rectas:

Rango

Rango


Estudia la posición relativa de las rectas:

Las rectas se cruzan.

calcula la posición relativa de la recta y el plano:


833276 _ 0202-0259.indd 213 21/7/09 15:10:15



4. Posiciones relativas de tres planos

Sean tres planos cualesquiera de ecuaciones:

0

0

0

33333

22222

11111

DzCyBxA

DzCyBxA

DzCyBxA

formamos un sistema

de tres ecuaciones con tres incógnitas y aplicamos el teorema de Roché-Frobeniüs:

3

2

3

2

3

2

111

C

C

B

B

A

A

CBA

M

3

2

3

2

3

2

3

2

1111

*

D

D

C

C

B

B

A

A

DCBA

M

RgM=RgM* sistema compatible:

o RgM=RgM*=3 S.C.D. existe una única solución tres planos que se cortan en un

punto (formando un triedro)

o RgM=RgM*=2n=3 S.C.I. soluciones dependiendo de un parámetro una recta

3 planos secantes coincidentes en un recta

3

2

1

3

2

1

3 planos que se cortan

en un punto



2 planos coincidentes y uno secante

o RgM=RgM*=1n=3 soluciones dependiendo de dos parámetros solución un plano

tres planos coincidentes.

Se estudian las posiciones relativas de los planos dos a dos.

RgM≠RgM* sistema in compatible no tiene solución:

o RgM=2 y RgM*=3 los tres vectores característicos no son paralelos

2 planos paralelos y otro secante.

3 planos secantes dos a dos.

Las tres rectas que determinan son paralelas.

3=2

1

1=2=3

1

3

2

1 3

2



o RgM=1 y RgM*=2 los tres vectores característicos son paralelos

3 planos paralelos

2 coincidentes y otro paralelo

Se estudian las posiciones relativas de los planos dos a dos.

Ejemplo 12: Hallar los valores de K para que los planos 1 x+y+kz=1, 2 Kx+y+z=1 y 3

2x+y+z=K tengan una recta en común. Hallar su vector director.

Solución:

123 recta S.C.I. dependiendo de un parámetro RgM=RgM*=2

k

k

k

M

112

111

111

* 21023

112

11

112 kkkkk

k

M

si k=1 2*0

112

111

111

012

11 RgMRgMorlando y por lo tanto los planos se cortan

en una recta cuyo vector director será el producto vectorial de los vectores característicos L.I.

1,1,0

112

11132

kj

kji

nnur

3

2

1

3=2

1



si k=2

1 1 11 1

0 2 1 1 0 2 * 32 1

2 1 2

orlando RgM RgM sistema icompatible.

Solución k=1.

Ejemplo 13: Se consideran los planos 1 x+ky+z=k+2, 2 x+y+kz=-2(k+1), 3 kx+y+z=k.

Determinar según los valores de k, las posiciones relativas de los planos (i.e. dar la interpretación

geométrica del sistema de ecuaciones).

Sol.

11

11

11

k

k

k

M

kk

kk

kk

M

11

)1(211

211

* 120122

kkkkM

si k≠-2 k≠1 RgM=RgM*=3 S.C.D. tres planos que se cortan en un punto ( que es la

solución del sistema)

si k=1 RgM=1≠RgM*=2 S.I.

Estudiamos las posiciones relativas de los planos 2 a 2:

12 1/1=1/1=1/1≠-3/4 12

13 13

por tanto los tres planos son paralelos

si k=-2 RgM=RgM*=2 S.C.I. dependiendo de un parámetro la solución es una recta

Estudiamos las posiciones relativas de los planos 2 a 2:

12 1 y 2 secantes

13 1 y 3 secantes

23 1 y 3 secantes

Luego tres planos no coincidentes que se cortan a lo largo de una recta.




5. Haz de planos que pasan por un punto.

Se llama haz de planos de vértice B, al conjunto de todos los planos que pasan por B.

Sea B(x0, y0, z0) y Ax+By+Cz+D=0 un plano perteneciente al haz de planos de vértice B, se

verifica: Ax0+By0+Cz0+D=0 D=-(Ax0+By0+Cz0) y sustituyendo Ax+By+Cz-(Ax0+By0+Cz0)=0

A(x-x0)+B(y-y0)+C(z-z0)=0

y dando los posibles valores a A, B, C se obtienen todos los planos del haz de planos.

6. Haz de planos paralelos.

Se llama haz de planos paralelos a uno dado, al conjunto de todos los planos que son paralelos a

ese plano.

El vector característico (normal) de todas es el mismo ),,( CBAn

, entonces su ecuación es

Ax+By+Cz+D=0

y dando todos los posibles valores a D se obtienen todos los planos.

Ejemplo 14: Hallar un plano paralelo al plano 3x-2y+z-3=0 que pase por el punto P(1,-2,0).

Solución: la determinación normal del plano buscado es ( 0,2,1),1,2,3( Pn

) luego la ecuación del

haz de planos es: 3x-2y+z+D=0, le imponemos que pase por el punto P 3+4+D=0 D=-7

Sol: 3x-2y+z-7=0

7. Haz de planos secantes.

Planos que contienen una recta.

Dados dos planos 0

0

22222

11111

DzCyBxA

DzCyBxA

, secantes, se llama haz de planos secantes al

conjunto de todos los planos que contienen a la recta de 12.

La ecuación es: 1+2=0 022221111 DzCyBxADzCyBxA dando

valores a y vamos obteniendo todos los planos.

Su figura gráfica es similar a un libro abierto.



Ejemplo 15: Hallar la ecuación del plano que pasa por el punto P(2,-1,3) y contiene a la recta :

012

2

2

1

zyx

zyx

Solución mediante haz de planos:

haz de planos 0122 zyxzyx le imponemos que pase por el punto P(2,-1,3)

4+=0 =-4 para =1 =-4 sol. 7x+5y-5z+6=0

Este tipo de ejercicios ya lo hemos resuelto anteriormente calculando un vector director del plano

como producto vectorial de los vectores característicos de los planos que determinan la recta. Luego

hallamos un punto de la recta y tomamos como segundo vector director el vector que une los dos

puntos que junto con el punto del enunciado nos permite hallar la ecuación del plano buscado.

1,1,03,3,033

112

11121

ucomotomarpodemoskj

kji

nnu

Calculamos un punto de la recta: hacemos z=0 y resolvemos el sistema

12

2

yx

yx Q(1/3,-5/3,0)

luego PQuP ,,

9,2,53,3

2,

3

5

PQ

0 1 1 7 5 5 7,5, 5 7 5 5 0

5 2 9

i j k

n u PQ i j k x y z D imponiendo que pase por P

obtenemos D=6 sol. 7x+5y-5z+6=0



8. Posición relativa entre recta y plano.

Partimos de que la recta viene dada como su determinación lineal uAr

,

Sean la recta 3

0

2

0

1

0

u

zz

u

yy

u

xxr

y el plano Ax+By+Cz+D=0, estudiando la relación

que existe entre el vector característico del plano n

y el vector director de la recta u

tenemos:

si u n

u

. n

=0

o A entonces r está en (r) r1

o A entonces r es paralela a (r) r2

si u

no es perpendicular con n

u

. n

≠0 r corta

a r=P r3.

Observación: se cortan perpendicularmente si u n

u n

= 0

u

y n

proporcionales.

Esta es la manera más recomendable de realizar el estudio.

Ahora bien, si la recta viene dada por intersección de dos planos podemos hacerlo estudiando la

posición de los tres planos que ya hemos estudiado en el apartado 7, teniendo en cuenta que el

RgM2, pues la recta está determinada por dos planos con vectores característicos L.I. así tenemos:

00

03333

2222

1111

DzCyBxAy

DzCyBxA

DzCyBxAr

RgM=RgM* sistema compatible

o RgM=RgM*=3 S.C.D. solución un punto r corta a .

o RgM=RgM*=2 S.C.I. solución una recta r está en .

RgM≠RgM* sistema incompatible

o RgM=2 y RgM*=3 S.I. no hay solución r es paralela a .

r1

r2 r3

P

A

●

●



Observación: Para hallar la solución ( o estudio de las posiciones relativas) de una recta dada

mediante su determinación lineal, y un plano, es muy recomendable poner la recta en paramétricas y

sustituirlas en la ecuación del plano.

Ejemplo 16: Determinar la posición relativa de la recta 3

3

1

4

7

2

zyxr y el plano

05523 zyx y su intersección si existe.

Solución: 3,1,7,3,4,2 ruAr

5,2,3 n

Calculamos 7,1, 3 3,2, 5 4 0ru n r corta a

Pasamos la recta a paramétricas: R

z

y

x

33

4

72

las sustituimos en la ecuación del plano

3(2-7)+2(4+)-5(3-3)+5=0 =1 la solución es P(-5,5,0)

Observación: Se puede hacer directamente pasando la recta a paramétricas, sustituyendo en la

ecuación del plano y estudiando el resultado obtenido:

k=t (k≠0) ecuación resoluble tiene sol se cortan.

0=0 es una identidad soluciones coinciden.

k=0 (k≠0) ecuación imposible no tiene sol son paralelos.

Ejemplo 17: Determinar la posición relativa de la recta

04

06723

zyx

zyxr y el plano

083 zyx dando los puntos comunes si los tiene.

Solución: 1,4,545

111

7231,1,17,2,3

kji

kji

ur

1,1,3 n

5, 4,1 3, 1,1 20 0ru n r corta a .



Ponemos la recta en paramétricas z= y resolvemos

4

6723

yx

yx obteniendo

z

y

x

46

52

sustituyendo en el plano 3(5-2)-(6-4)+-8=0 20-20=0 =1

Sol: P=r=(3,2,1)

Haciéndolo por rangos RgM=RgM*=3 sistema compatible determinado se cortan en un punto que

se obtiene resolviendo el sistema por Cramer x=3, y=2, z=1.

Ejemplo 18: Dada la recta

122

2

zyx

zyxr y el plano 2x-y+mz=1 determinar sus posiciones

relativas dependiendo de los diferentes valores del parámetro m.

Solución (tres estrategias)

Estrategia 1:

Ponemos la recta en paramétricas y sustituimos en el plano.

z

Ry

x

r3

41

3

11

sustituyendo en el plano

escoincidentmsi

corsemsimm

002

tan2021

3

41

3

112

Estrategia 2:

Por rangos: A=-3(m-2) A=0 m=2

m≠2 RgM=RgM*=3 se cortan

m=2 RgM=2=RgM* recta contenida en el plano

Estrategia 3:

Comparando los vectores director de la recta y característico del plano.



3,4,134

212

1112,1,21,1,1

kji

kji

ur

1, 4, 3 2, 1, 6 3 0ru n m m

m=2 0 nur

paralelos o coincidentes. Tomamos un punto de la recta para ello hacemos

z=0 y resolvemos

12

2

yx

yx obteniendo A(1,1,0)

veamos si está en 2.1-1+0=1 la recta está contenida en el plano.

m≠2 0 nur

se cortan.

Ejercicio 7: Hallar el valor de m para que la recta

1

1

zx

yxr y el plano x+my-z-6=0

a) sean paralelos

b) sean perpendiculares

solución:

1

1

z

y

x

r 1,1,01,1,1 rr Pu

1,,1 mn

a) m21,m,11,1,1nu r

si m=2 paralelos o coincidentes ¿Pr? 0+2+1+6≠0 recta paralela al plano

si m≠2 se cortan

sol paralelos para m=2

b) se cortan perpendicularmente nur

naproporcialesur

1/1=m/-1=-1/-1 m=-1

solución se cortan perpendicularmente para m=-1.

Si lo hacemos con productos vectoriales:

1010,0,011

11

111

mmkmim

m

kji

nur


212





a) π1: −x + 2y − z = 0 π2: x − 2y + z + 1= 0

b) π1: x − z + 11= 0 π2: −2y − z + 11= 0

a)


b)



a) π1: −6x + 5y −3 z + 2 = 0 π2: x − y + z = 0

b) π1: x − 2y − z + 1= 0 π2: −2x + 4y − 2 z + 3 = 0

a)


b)


026 Estudia la posición relativa de estas rectas:

rx y z

x y zs

x y zx y z

: :− + − =

+ − =

+ − + =− +

2 02 0

2 02 ==

0

- ---

= ≠--

1 2 1

2 1 1

1 1 1

1 0 → Rango

- ---

-

-

- -- -- -

1 2 1

2 1 1

1 1 1

1 2 1

= 3

- ---

-

=

-- -- -- -

1 2 1 0

2 1 1 0

1 1 1 2

1 2 1 0

0 → Rango

- ---

-

-- -- -- -

1 2 1 0

2 1 1 0

1 1 1 2

1 2 1 0

= 3


027 Estudia la posición relativa de las rectas:

r

y zx z

sy z

x y z: :

− − =− + =

− + =− + − =

3 02 1 0

03 1 0

r

y zx z

sy z

x y z: :

− − =− + =

− + =− + − =

3 02 1 0

03 1 0

0 1 1

2 0 1

1 3 1

3 0

0 1 1

2 0 1

0 1 1

1 3

--

-

--

-

--

-= ≠

--

--

→ Rango

--

=

1

3

0 1 1 3

2 0 1 1

0 1 1 0

1 3 1 1

9 0

-- -

- --

- --

-- -

= ≠ → Rango

0 1 1 3

2 0 1 1

0 1 1 0

1 3 1 1

-- -

- --

- --

-- -

= 4


028 calcula la posición relativa de la recta y el plano:

rx y z

x y zx z: :

+ − + =− + − + =

+ + =2 0

3 1 01 0π

-

- -

-

- -

-- - = ≠

-- -

1 1 1

1 3 1

1 0 1

6 0

1 1 1

1 3 1

1 0 1

→ Rango

=

-- --

- -Rango

1 1 1 2

1 3 1 1

1 0 1 1

= 3


833276 _ 0202-0259.indd 212 21/7/09 15:10:12


213

4Solucionario


rx y z

x y z: :1

2

21

12 5 3 3 0=

+= −

−− + + =π

rx y z

rx y

x zr

x: : :

1

2

2

1

1

2 2

1

2=

+=

--

= +- = -

-→ →

yy

x z

- =+ - =

2 0

1 0

2 1 0

1 0 1

2 5 3

11 0

2 1 0

1 0 1

2 5 3

-

-= ≠

-

-

- -→ Rango

=

- --

-

--

Rango

2 1 0 2

1 0 1 1

2 5 3 3

= 3



a) π1: −x + 2y − z = 0 π2: x − 2y + z + 1= 0

b) π1: x − z + 11= 0 π2: −2y − z + 11= 0

a) Rango- -

-

=

-- -

1 2 1

1 2 11

-= - ≠

- --

-

-- -

1 0

1 11 0

1 2 1 0

1 2 1 1→ Rango == 2


b) 1 0

0 22 0

1 0 1

0 2 1

- --

= - ≠-

- -

=→ Rango Ranggo

1 0 1 11

0 2 1 112

- -- -

=



a) π1: −6x + 5y −3 z + 2 = 0 π2: x − y + z = 0

b) π1: x − 2y − z + 1= 0 π2: −2x + 4y − 2 z + 3 = 0

a) -

-= ≠

- --

=

--

-- -

6 5

1 11 0

6 5 3

1 1 1→ Rango

-- --

=

-- -

6 5 3 2

1 1 1 02


b) - -

--

- -= - ≠

- -- -

1 1

2 24 0

1 2 1

2 4 2→ Rango ==

- -- -

=

--

Rango1 2 1 1

2 4 2 32


Estudia la posición relativa de estas rectas:

Rango

Rango


Estudia la posición relativa de las rectas:


calcula la posición relativa de la recta y el plano:


833276 _ 0202-0259.indd 213 21/7/09 15:10:15



9. Posiciones relativas de dos rectas.

Tomamos las rectas expresadas en sus determinaciones lineales ssrr uPsyuPr

,,

Si sr uu

Rg( sr uu

, )=1 vectores proporcionales 0

sr uu

o Prs Rg( srsr PPuu ,,

)=1 S.C.I. soluciones dependiendo de un parámetro r y s

coincidentes

o Prs Rg( srsr PPuu ,,

)=2 S.I. no hay soluciones r y s son paralelas

sr uparalelosnou

Rg( sr uu

, )=2 vectores no proporcionales 0

sr uu

o Rg( srsr PPuu ,,

)=2 S.C.D. una solución r y s son secantes (se cortan)

poner las rectas en paramétricas y resolver el sistema obtenido en función de los parámetros de

r y s.

s r

Pr

Ps

●

●

r=s

●

● Ps

Pr

s

r

● ● Pr

Ps



o Rg( srsr PPuu ,,

)=3 S.I. no tiene solución r y s se cruzan.

Se sabe si al proceder como en el apartado anterior el sistema no tiene solución.

Se llega a esta conclusión por exclusión de los casos anteriores.

La estrategia a seguir para resolver estos problemas es:

1º comprobar si los vectores directores de las rectas son proporcionales.

2º si afirmativo: pueden ser paralelas o coincidentes, para discriminarlo tomamos un punto de una

recta y vemos si está en la otra.

3º si falso: resolvemos el sistema de 3x2 (poniendo las rectas en paramétricas).

Este método es especialmente útil para hallar el punto de corte entre dos rectas

Ejemplo 19: Estudiar la posición relativa de las siguientes rectas:

1

5

2

4

3

2

zyxr

1

5

4

4

2

zyxs

Solución: 5,4,21,2,3 rr Pu

5,4,01,4,2 ss

Pu

¿ sr uu

? 4

2

2

3 se cortan o se cruzan

Hacemos el vector 54,110,8,2 sr PP y calculamos el Rg( srsr PPuu ,,

)

078

541

142

123

Rg( srsr PPuu ,,

)=3 las rectas r y s se cruzan.

Ejemplo 20: Dar la posición relativa y los puntos en común si los tiene las rectas:

1

5

2

4

3

2

zyxr

1

5

4

2

2

1

zyxs

r

1

s

2

●

●

Pr

Ps



Solución: 5,4,21,2,3 rr Pu

2,4,1 1,2,5s su P

¿ sr uu

? 4

2

2

3 se cortan o se cruzan

3 2 1

1,6,0 2 4 1 0

1 6 0

r sP P

Rg( srsr PPuu ,,

)=2 r y s se cortan.

Para hallar el punto de corte expresamos las rectas en paramétricas:

5

24

32

z

y

x

r

5

42

21

z

y

x

s resolvemos

55

4224

2132

0

642

123

como es un

S.C.D. tomamos dos ecuaciones y lo resolvemos =1 y =-1 el punto de corte es P(-1,-2,4).

En el caso que las rectas nos vengan dadas como intersección de dos planos es recomendable sacar

los vectores directores y estudiarlas como lo acabamos de ver.

Pero también se puede estudiar las posiciones relativas estudiando el sistema formado por las

cuatro ecuaciones, teniendo en cuenta que el rango mínimo tiene que ser dos pues las rectas deben

estar determinadas por dos planos L.I. así

Sea

0

0

2222

1111

DzCyBxA

DzCyBxAr y

0

0

4444

3333

DzCyBxA

DzCyBxAr entonces

444

333

222

111

CBA

CBA

CBA

CBA

M

4444

3333

2222

1111

*

DCBA

DCBA

DCBA

DCBA

M

RgM=RgM* Sistema compatible

o RgM=RgM*=3 S.C.D. Una solución rectas secantes.

o RgM=RgM*=2 S.C.I. sol. dependiendo de 1 param. rectas coincidentes.

RgM≠RgM* Sistema incompatible

o RgM=3 y RgM*=4 se cruzan.

o RgM=2 y RgM*=3 rectas paralelas.

Relación: “ Ejercicios rectas y planos II ”


211

4Solucionario

023 calcula la ecuación general de los planos que contienen a dos de los ejes coordenados.

Eje X y eje Y: x y z

z1 0 0

0 1 0

0 0= =→

Eje X y eje Z: x y z

y1 0 0

0 0 1

0 0= =→

Eje Y y eje Z: x y z

x0 1 0

0 0 1

0 0= =→

024 Determina la posición de estas rectas:

r x y z t

sx y z

: ( , , ) ( , , ) ( , , )

:

= − +

− = = +

0 5 3 1 1 1

32 2

22

r Pu

: ( , , )( , , )

0 5 31 1 1

-=

W

s Qv

: ( , , )( , , )

3 0 22 2 2

-=

W

PQW = (3, 5, -5)

Rango 1 1 1

2 2 21

= Rango

1 1 1

2 2 2

3 5 5

2

---

=

Las rectas son paralelas.

025 Determina las posiciones relativas de las siguientes rectas:

r x y z t: ( , , ) ( , , ) ( , , )= +2 2 2 1 1 1

s x y z t: ( , , ) ( , , ) ( , , )= +0 0 0 1 0 0

rPu

:( , , )

( , , )2 2 2

1 1 1=

W

sQv

:( , , )

( , , )0 0 0

1 0 0=

W

PQW = (-2, -2, -2)

Rango 1 1 1

1 0 02

= Rango

- - -- - -- - -

=

1 1 1

1 0 0

2 2 2

2


Halla las ecuaciones cartesianas de la recta que pasa por cada par de puntos.a) A(3, 0, −7) y B(−7, 2, −1) b) A(0, 0, 0) y B(1, 0, 0)

a)

b)

obtén la ecuación vectorial del plano en cada caso.a) A(2, −1, −1), B(0, −5, 3) y C(1, 1, 1) b) A(1, 1, 1), B(−1, −1, −1) y C(1, 2, 2)

a) ABW = (-2, -4, 4) ACW = (-1, 2, 2)

OP OA AB AC x y z= + + = - - + - - +l m l→ ( , , ) ( , , ) ( , , )2 1 1 2 4 4 mm ( , , )-1 2 2

b) ABW = (-2, -2, -2) ACW = (0, 1, 1)

Halla las ecuaciones paramétricas del plano correspondiente.a) A(3, 0, −7), Wu = (−10, 2, 6) y Wv = (0, 3, 10)b) A(0, 0, 0), Wu = (1, 0, 0) y Wv = (4, 4, 4)

a) b)

Halla la ecuación general del plano que pasa por el punto P (−1, 0, 2) y contiene a la recta de ecuación:

El plano está definido por P (-1, 0, 2), el vector director de la recta Wv2 = (1, -1, 3) y el vector APW, con A (1, 3, -4) ∈ r.

APW = (-2, -3, 6)

obtén la ecuación general del plano que pasa por los puntos A(1, 1, −7), B(5, −2, 9) y C(5, −4, 0).

ABW = (4, -3, 16) ACW = (4, -5, 7)

833276 _ 0202-0259.indd 211 21/7/09 15:10:09

212





a) π1: −x + 2y − z = 0 π2: x − 2y + z + 1= 0

b) π1: x − z + 11= 0 π2: −2y − z + 11= 0

a)


b)



a) π1: −6x + 5y −3 z + 2 = 0 π2: x − y + z = 0

b) π1: x − 2y − z + 1= 0 π2: −2x + 4y − 2 z + 3 = 0

a)


b)


026 Estudia la posición relativa de estas rectas:

rx y z

x y zs

x y zx y z

: :− + − =

+ − =

+ − + =− +

2 02 0

2 02 ==

0

- ---

= ≠--

1 2 1

2 1 1

1 1 1

1 0 → Rango

- ---

-

-

- -- -- -

1 2 1

2 1 1

1 1 1

1 2 1

= 3

- ---

-

=

-- -- -- -

1 2 1 0

2 1 1 0

1 1 1 2

1 2 1 0

0 → Rango

- ---

-

-- -- -- -

1 2 1 0

2 1 1 0

1 1 1 2

1 2 1 0

= 3


027 Estudia la posición relativa de las rectas:

r

y zx z

sy z

x y z: :

− − =− + =

− + =− + − =

3 02 1 0

03 1 0

r

y zx z

sy z

x y z: :

− − =− + =

− + =− + − =

3 02 1 0

03 1 0

0 1 1

2 0 1

1 3 1

3 0

0 1 1

2 0 1

0 1 1

1 3

--

-

--

-

--

-= ≠

--

--

→ Rango

--

=

1

3

0 1 1 3

2 0 1 1

0 1 1 0

1 3 1 1

9 0

-- -

- --

- --

-- -

= ≠ → Rango

0 1 1 3

2 0 1 1

0 1 1 0

1 3 1 1

-- -

- --

- --

-- -

= 4


028 calcula la posición relativa de la recta y el plano:

rx y z

x y zx z: :

+ − + =− + − + =

+ + =2 0

3 1 01 0π

-

- -

-

- -

-- - = ≠

-- -

1 1 1

1 3 1

1 0 1

6 0

1 1 1

1 3 1

1 0 1

→ Rango

=

-- --

- -Rango

1 1 1 2

1 3 1 1

1 0 1 1

= 3


833276 _ 0202-0259.indd 212 21/7/09 15:10:12



Anaya. Página 166. Ejercicios: 16, 17, 18, 30, 45, 46b, 54, 60, 67, 69, 70.

Página 171. Autoevaluación ejercicio 6.

“Perpendicular común” Ejercicio 9 y 11 de “Rectas y Planos III”

Anaya. Página 196. Ejercicios 32; 38; 51.

“Proyecciones ortogonales” Anaya. Página 197.

Punto sobre plano. Ejercicio 42.

Punto sobre recta. Ejercicios 34; 44.

Recta sobre plano. Ejercicio 50.

Ejercicios finales antes de distancias.

Anaya. Página 195-196-197. Ejercicios 23; 31; 47.

geometría afín en el espacio - intef -...

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