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Matrices Matemáticas 2º Bachillerato
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MATRICES
1. Introducción. Definición de matriz
El concepto de matriz como una tabla ordenada de números escritos en filas y
columnas es muy antiguo, pero fue en el siglo XIX cuando J.J. Sylverster (1814-1897)
acuñó el término de matriz y Arthur Carley (1821-1895) sentó las bases del cálculo
matricial.
Definición. Se denomina matriz de dimensión mxn a todo conjunto de elementos
colocados en m filas y n columnas de la siguiente forma:
mnmmm
n
n
aaaa
aaaa
aaaa
A
....
....................
....
....
321
2232221
1131211
De forma abreviada se escribe mxnijaA o simplemente ijaA .
aij representa el elemento de la matriz situado en la i-ésima fila y j-ésima columna.
Ejemplo.
743
113
32xijaA dimensión=2x3; a13=-1
Al conjunto formado por todas las matrices de m filas y n columnas se le denota por Mmxn.
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2. Igualdad de matrices. Tipos de matrices
2.1 Igualdad de matrices
Dos matrices mxnij MaA y pxqij MbB se dicen que son iguales si tienen
la misma dimensión (m=p y n=q) y son iguales todos los elementos que ocupan igual
posición
2.2 Tipos de matrices
2.2.1 Matriz fila. Matriz columna.
Una matriz fila es una matriz de dimensión 1xn naaaA 11211 .... , también
se denomina vector fila.
Ejemplo: A=(1 3 4)
Una matriz columna es una matriz de dimensión nx1
1
.....21
11
na
a
a
A .
2.2.2 Matriz escalonada
Una matriz se dice que es escalonada cuando el primer elemento no nulo de
cada fila está “ más a la derecha “ que el primer elemento no nulo de la fila anterior.
Ejemplo:
80000
12000
31120
71423
A
2.2.3 Matriz cuadrada
Es una matriz que tiene igual número de filas que de columnas i.e. nxnMA . En
este caso se dice que la matriz es de orden n.
Ejemplo:
401
131
002
33 AMA x
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Toda matriz que no es cuadrada se llama rectangular.
En una matriz cuadrada nxnMA se distinguen la diagonal principal que es la
formada por los elementos nnaaa ....,,, 1211
y la diagonal secundaria que es la otra
diagonal, 1 1 2 1, ,....,n n na a a
2.2.4 Matriz triangular
Matriz triangular superior. Es una matriz cuadrada que tiene nulos todos los
elementos por debajo de la diagonal principal.
00superiortriangular iiijnxn ajiaMA
Matriz triangular inferior. Es una matriz cuadrada que tiene nulos todos los
elementos por encima de la diagonal principal.
00inferiortriangular iiijnxn ajiaMA
Ejemplo:
superiorTriangular
900
840
312
A
inferiorTriangular
2383
043
001
B
En particular una matriz triangular superior sin ceros en la diagonal principal es
escalonada.
2.2.5 Matriz diagonal
Es una matriz cuadrada que tiene nulos todos los elementos salvo los de la
diagonal principal.
00diagonal iiijnxn ajiaMA
Ejemplo:
900
050
001
A
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Cuando en una matriz diagonal todos los elementos no nulos son iguales, se
denomina matriz escalar.
jianikaMA ijiinxn 0,..,1escalar
Ejemplo:
500
050
005
B
Un caso particular de matriz escalar es la matriz identidad que es una matriz
escalar con todo unos en la diagonal principal. Se denota por In (identidad de
orden n)
jianiaMI ijiinxnn 0,..,11identidad
Ejemplo:
100
010
001
3I
2.2.6 Matriz nula
Es una matriz que tiene todos sus elementos nulos. Se representa por O.
njiaMO ijnxn ,..,1,0escalar
Ejemplo:
00
00O
2.2.7 Matriz opuesta de otra matriz
Dada una matriz mxnMA se llama matriz opuesta de A y se denota por –A, a la
matriz formada por los elementos opuestos de A respetando sus correspondientes
lugares.
Ejemplo:
710
231
710
231AA
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3. Operaciones con matrices
3.1 Suma de matrices
3.1.1 Definición:
Dadas las matrices ijaA y ijbB de la misma dimensión mxn, la suma de A
y B es otra matriz de dimensión mxn cuyos elementos se obtienen sumando los
elementos que ocupan el mismo lugar
njmibasyMSSBAMByMASean ijijijmxnmxnmxn ,...,1,...,1
3.1.2 Propiedades
Sean las matrices mxnMA , mxnMB y mxnMC
1) Asociativa: A+(B+C)=(A+B)+C
2) Elemento neutro A+O=A O=matriz nula
3) Elemento opuesto A+(-A)=O -A=matriz opuesta
4) Conmutativa A+B=B+A
Ejercicio:
Determinar el valor de a, b, c, d, e y f en la siguiente operación
012
83
83
41
15
32
f
e
d
c
b
a
Una vez determinados los valores de las letras hallar la diferencia de las dos
primeras matrices.
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3.2 Producto de un escalar por una matriz
3.2.1 Definición
El producto de un escalar Rk por una matriz mxnMA es otra matriz kA de
igual dimensión que A mxnMkA y cuyos elementos se obtienen de multiplicar k por
cada uno de los elementos de la matriz A. njmikaak ijij ,...,1,....,1
Ejemplo:
Sea
122421
15963
487
532AA
3.2.2 Propiedades
1) Distributiva respecto a la suma de matrices k(A+B)=kA+kB
2) Distributiva respecto a la suma de números reales (k+t)A=kA+tA
3) Asociativa mixta (k.t)A=k(tA)
4) Elemento neutro 1.A=A
Ejercicios:
1.- Dadas las matrices
24
97
32
A
27
50
53
B calcular A+B; A-B; 2A+·3B
2.- Hallar la matriz A que satisface: A
372
401
482
6513
9178
14152ASol
3.- Determinar las matrices X e Y si cumplen:
2X+Y=
724
7125
3X+2Y=
351020
02511
Sol:
491428
21147
21612
1411YX
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3.3 Multiplicación de matrices
El producto de dos matrices ijaA de dimensión mxn y ijbB de dimensión
nxp es otra matriz jicC , de dimensión mxp cuyo elemento cij resulta de multiplicar
escalarmente el vector fila i-ésimo de A por el vector columna j-ésimo de B
m
q
qjiqmjimjijijiij bababababac1
332211 ...
Obsérvese que en general dos matrices A yB cualesquiera no se pueden
multiplicar. Es condición indispensable para poder hacerlo que el número de columnas
de A coincida con el número de filas de B.
Ejemplo:
4 2 3
1 0 1 2 3 1 0 0 8 7
0 1 1 2 6 2 0 11 3 4
1 2 2
2 4 4 3 2 3x x x
3.3.1 Propiedades
1) No es conmutativo ABBA
82
11
71
42
20
11
41
32ABBABA
Dado que el producto no es conmutativo hay que indicar el orden en que se van a
multiplicar, por ejemplo, A.B indica que A multiplica a B por la izquierda.
En el caso que existan dos matrices A y B tal que A.B=B.A se dicen que A y B
conmutan.
2) Si A.B=0 esto no implica necesariamente que A=0 ó B=0.
Ejemplo:
00
00.
21
63
93
31BAyBA
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3) Si BACA .. no implica C=B.
Ejemplo:
CByCABALuego
CABACBA
..
1610
85.
1610
85.
63
52
41
21
64
32
4) Asociativa A(BC)=(AB)C
5) Elemento neutro A.I=I.A=A
6) Distributiva A(B+C)=AB+AC
Ejercicios:
1.- Sean
120
011
210
112
110
021
BA calcular A.B, A2, B2, (A+B)2
2.- Calcular los valores de x e y que verifican las siguientes igualdades:
a)
00
00
432
1 yx
y
x sol. x=0; y=0
b)
00
00
5
2
2
5
y
x
y
x sol. x:=10/t; y=t tЄR
3.- Calcular todas las matrices que conmutan con la matriz
01
21A
d c 2c
sol : Bc d
4.- Dadas las siguientes matrices, calcular cuando sea posible las operaciones
indicadas:
121
202
431
65
1
1
1
20
41
32
211
301
10
12GFDCBA
a) 2A b) B+Ct c) A+Bt d) A+BC
e) G+BC f) G+CB g) FB+5Dt h) 3C+2Bt
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5.- Dada la matriz
12
52A hallar a y b para que se verifique la ecuación matricial
A2+aA+bI=0. sol: a=-1; b=-12
6.- Hallar x,y,u,v para que A.B=0 con
vu
yx
BA 21
110
132
021
sol: x=-2; y=-4; u=-1; v=-2
7.- Sea
c
baBA
1;
01
11 hallar a,b,c para que B conmute con A.
sol: a=t; b=1; c=t-1 tЄR
8.- Hallar las matrices que conmutan con
32
11A
Rtts
sstsol
2
2:
9.- Sea A una matriz cuadrada tal que A2=A, si B=2A-I demostrar que B2=I
4. Trasposición de matrices. Mátriz simétrica y ortogonal
Sea mxnMA se llama matriz traspuesta de A, y se designa por At a la matriz cuyas
columnas son las filas de A (se obtiene permutando las filas por columnas en A).
Ejemplo:
473
121
41
72
31tAA
Si nxm
t
mxn MAMA
Propiedades de la matriz traspuesta:
1) mxnMBA , AAtt
2) mxnMBA , tttBABA
3) tt
mxn kAAkRkMA .
4) nxmmxn MBMA tttABBA ..
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La trasposición de matrices permiten definir tres nuevos tipos de matrices:
simétricas, antisimétricas y ortogonal.
nxnMA A es simétrica A=At (simétrica respecto a la diagonal principal)
Ejemplo:
703
041
312
A
nxnMA A es antisimétrica A=-At
Por su forma se reconocen por que tienen opuestos los elementos simétricos
respecto de la diagonal principal y nulos los elementos de esta.
Ejemplo:
043
401
310
A
nxnMA A es ortogonal A.At=I (At=A-1)
Ejercicios
1.- Demostrar que el producto de dos matrices ortogonales es un matriz ortogonal.
2.- Si A es antisimétrica demostrar que A3 y A5 son antisimétricas.
3.- Si A es antisimetrica demostrar que A2 y A4 son simétricas
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5. Matriz inversa
Dada una matriz nxnMA (cuadrada) diremos que A-1 es su inversa si se verifica que
A.A-1=A-1A=I.
No todas las matrices cuadradas tienen inversa. Cuando una matriz tiene inversa
la denominamos regular o inversible; en caso contrario decimos que es singular.
5.1 Propiedades
1) El producto de matrices regulares es regular y además 111 ABAB
2) La matriz inversa si existe es única.
3) AA 11
4) 11 ttAA
5.2 Cálculo de la matriz inversa
Existen tres posibilidades: por la definición, por el método de Gauss-Jordan y por
adjuntos.
5.2.1 Por la definición
Vamos a verlo mediante un ejemplo.
Sea
10
01
11
12
11
121
tz
yx
tz
yxAA
3/23/1
3/13/1
3/23/1
3/13/1
1
02
0
121A
tz
yx
ty
ty
zx
zx
Este proceso es ya engorroso para matrices de dimensión 2x2, y se complica
mucho más si aumentamos la dimensión.
Veamos otra forma de calcular la inversa.
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5.2.2 Método de Gauss-Jordan
La inversa de una matriz regular A se calcula transformando la matriz (A/I)
mediante operaciones elementales de las filas en la matriz (I/A-1).
Se denominan operaciones elementales por filas en una matriz a las siguientes:
I. Intercambiar filas. Lo designaremos por ji FF
II. Multiplicar una fila por un número 0k . Lo designaremos por ii kFF
III. Sumar a una fila otra fila multiplicada por un número 0k . Lo designaremos por
jii kFFF .
Vamos a ejemplarizar este proceso calculando la matriz inversa de
Ejemplo 1:
1 2 1
0 1 0
2 0 3
A
Al elemento 11a se le denomina pivote y es recomendable que sea 1.
i) Planteados la matriz (A/I)
1 2 1 1 0 0
/ 0 1 0 0 1 0
2 0 3 0 0 1
A I
ii) Con la 1ª fila se hacen ceros a los primeros elementos del resto de las filas:
3 121 2 1 1 0 0 1 2 1 1 0 0
0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0
2 0 3 0 0 1 0 4 1 2 0 1
F F
iii) Con la segunda fila hacemos ceros a los segundos elementos de las filas
siguientes:
Ahora el pivote es 22a
3 14F F
1 2 1 1 0 0
0 1 0 0 1 0
0 0 1 2 4 1
En el caso de que existiesen más filas, se procede así hasta tener todo ceros por
debajo de la diagonal principal.
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iv) Se repite el mismo proceso pero a la inversa; es decir, hasta conseguir ceros por
encima de la diagonal principal
1 3 1 22
1
1 2 0 3 4 1 1 0 0 3 6 1
0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 /
0 0 1 2 4 1 0 0 1 2 4 1
F F F F
I A
1
3 6 1
0 1 0
2 4 1
A
Ejemplo 2:
102
114
123
A
En este caso el pivote es 3, haremos que sea 1.
i) Planteados la matriz (A/I)
100
010
001
102
114
123
/ IA
ii) Hacemos que el pivote sea 1 y con la 1ª fila se hacen ceros a los primeros
elementos del resto de las filas:
1 3
2 1
3 1
4
2
3 2 1 1 0 0 1 2 2 1 0 1
4 1 1 0 1 0 4 1 1 0 1 0
2 0 1 0 0 1 2 0 1 0 0 1
F FF F
F F
1 2 2 1 0 1
0 7 9 4 1 4
0 4 5 2 0 3
iii) Ahora el pivote es el -7, como no es fácil convertirlo en 1, sin utilizar fracciones,
hacemos lo siguiente para hacer ceros a los segundos elementos de las filas
siguientes:
37F
3 2 34
1 2 2 1 0 1 1 2 2 1 0 1 1 2 2 1 0 1
0 7 9 4 1 4 0 7 9 4 1 4 0 7 9 4 1 4
0 28 35 14 0 21 0 0 1 2 4 5 0 0 1 2 4 5
F F F
se procede así hasta tener todo ceros por debajo de la diagonal principal.
iv) Se repite el mismo proceso pero a la inversa; es decir, hasta conseguir ceros por
encima de la diagonal principal
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2 3 2
1 3
9 /( 7)
2
1 2 0 3 8 11 1 2 0 3 8 11
0 7 0 14 35 49 0 1 0 2 5 7
0 0 1 2 4 5 0 0 1 2 4 5
F F F
F F
1 221 0 0 1 2 3
0 1 0 2 5 7
0 0 1 2 4 5
F F
1
1 2 3
2 5 7
2 4 5
A
Ejemplo 3: Calcular la inversa de 3 1
2 1A
1 23 1 1 0 1 0 1 1
/2 1 0 1 2 1 0 1
F FA I
2 1 221 0 1 1 1 0 1 1
0 1 2 3 0 1 2 3
F F F
11 1
2 3A
5.2.3 Adjuntos.
Este apartado lo veremos cuando estudiemos los determinantes.
Ejercicios:
Hallar la matriz inversa de las matrices:
302
111
101
A
013
101
111
B
Sol.
302
011
1031A
121
233
1111B
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6. Rango de una matriz
Nota: conociendo solamente el método de Gauss-Jordan.
Conocimientos previos: Combinación lineal de vectores
Considerando que las filas y columnas de una matriz son a todos los efectos vectores,
hacemos la siguiente definición: “ un vector v
es combinación lineal de los vectores nvvv ....,,, 21 si se
puede expresar como nn vvvv ...2211 con Rn ,...,, 21 alguno no nulo. Entonces
se dice que el conjunto formado por los vectores nvvv ....,,, 21 son linealmente independiente (L.D.)
(sistema ligado).
En caso contrario se llaman linealmente independientes (L.I.)
Aplicando esto a la notación de matrices.
Un conjunto de filas nFFFF ,...,,, 21 es L.D. si existen Rn ,...,, 21 no todos nulos tal
que nnFFFF ...2211
i.e. si una de ellas se puede poner como combinación lineal de las
demás.
La definición es similar utilizando columnas.
A partir de ahora cuando vayamos a definir o aplicar un concepto que es equivalente para filas
y columnas, utilizaremos el término línea para referirnos indistintamente a fila o columna.
Ejemplos:
554
112
321
A en esta matriz F3=2F1+F2, por tanto F1, F2, F3 son L.D. i.e. F3
Es combinación lineal de F1 y F2.
241
643
221
B C3=2C1 => C3 es proporcional a C1 i.e. C3 es combinación lineal de C1.
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6.1 Rango de una matriz
Definición: El rango o característica de una matriz es el número de filas o columnas
(líneas) linealmente independientes.
, 1 1( ) ,..., ,...,m n m nSea A M ran A ran F F ran C C
Existe un teorema que nos dice que en una matriz el número de filas L.I. es igual
al número de columnas L.I., esto nos permite fijarnos únicamente en uno de los dos.
Existe una relación directa entre el rango de una matriz y la existencia de su inversa:
“ Una matriz cuadrada de orden n ,n nA M tiene inversa siempre y cuando su rango sea n”
1
, , ( )n nA M A ran A n
Ejemplo.
Sea la matriz
301
120
221
C calcular su rango.
Primero observamos si existe alguna relación entre sus líneas. A simple vista no
se ve ninguna.
Entonces procedemos a comprobarlo por la definición:
301120221
leincompatibsistema
anterioresydevaloresloscon
131232
122
11
=> no existe ningún valor de λ, β no nulo que verifique igualdad
=> son L.I. y por tanto ran(B)=3.
(Nota: 3,3B M y ran(B)=3 quiere decir que B es regular i.e. 1B )
Este método es un tanto laborioso.
Veamos otro método para calcular el rango de una matriz
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6.2 Método de Gauss-Jordan para el cálculo del rango
Este método ya se ha utilizado para el cálculo de la matriz inversa, ahora lo
utilizaremos para calcular el rango de una matriz.
Para los siguientes resultados consideramos una “línea” tanto a una fila como a una
columna.
Tengamos en cuenta que a la hora de calcular el rango de una matriz, éste no varía
si:
1) Se realizan transformaciones elementales con las “líneas”. Recordemos las
transformaciones elementales:
a) Intercambiar “líneas”.
b) Multiplicar una “línea” por un número no nulo.
c) Sumar a una “línea” otra multiplicada por un número no nulo.
2) Se suprime una “línea” nula.
3) Se suprime una “línea” proporcional a otra.
4) Se suprime una “línea” que es combinación lineal de otras.
5) Se traspone la matriz.
El método de Gauss-Jordan, consiste en reducir una matriz a su forma escalonada
realizando trasformaciones elementales que sabemos no modifican el rango.
Un método general consiste en hacer ceros por debajo de la hipotética “diagonal
principal”. Obteniendo así una matriz escalonada. Si en esta matriz escalonada
eliminamos las “líneas” no nulas “es evidente” que el número de “líneas” no nulas que
quedan son L.I. Por tanto en una matriz escalonada su rango coincide con el menor
número de “líneas” no nulas que tiene.
Importante: El rango de un matriz es igual al menor número de “líneas” no nulas que
quedan al reducirla a una matriz escalonada
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Ejemplos :
1.- 3 22 1
3 1
221 1 0 1 1 0 1 1 0
2 1 1 0 1 1 0 1 1 2
1 1 2 0 2 2 0 0 0
F FF F
F F
A ran A
Si nos hubiésemos fijado F3=3F1-2F2 o C3=C1-C2.
2.-
14
42
32
21
B dado que 4 2 2xB M ran B
3 22 1
3 1
4 1
2
24
1 2 1 21 2 1 2
2 3 0 70 7 0 7 2
2 4 0 00 7 0 0
4 1 0 7
F FF F
F FF F
B ran B
3.- 3 4
1 2 3 4
2 4 6 9 3
3 6 9 1
xC C M ran C
3 22 1
3 1
132
3
1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4
2 4 6 9 0 0 0 1 0 0 0 1 2
3 6 9 1 0 0 0 13 0 0 0 0
F FF F
F F
C ran C
(C2=2C1; C3=3C1)
El método a seguir es similar al utilizado para el cálculo de la matriz inversa, pero en
el caso de la matriz inversa solo se pueden realizar transformaciones elementales con
las filas y, para calcular el rango se pueden utilizar también las columnas (pues
mantienen invariantes el rango).
4.- Calcular el rango de
k
D
15
311
121
según los valores de “k”.
3 22 1
3 1
3
5
1 2 1 1 2 1 1 2 111 2
1 1 3 0 3 2 0 3 211 3
5 1 0 9 5 0 0 11
F FF F
F F
si k ran DD
si k ran Dk k k
Nota: siempre que tengamos parámetros lo mejor, si es posible, es colocarlos lo
más a la derecha y bajo de la matriz.
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5.- Estudiar para que valore de “m” la matriz
1 2 1
2 4
2 1
E m
m
tiene inversa.
1 2 1
2 4
2 1
E m
m
2 1 2 1
1 3 1
2
/2
1 1 1 1 1 1
2 2 0 2 0
1 1 0 0 1
C C F F
C F Fm m
m m
1
2 ( ) 2
1 ( ) 2
2 1 ( ) 3
si m ran E
si m ran E
si m m ran E n E
6.- Calcular el rango de
1 1 1 2
1 1 1
1 1 3 3
4 2 0
aF
a
según los valores de “a”.
2 1
3 1 2 31 2
4 12
1 1 1 2 1 1 1 2 1 1 1 2
1 1 1 1 1 1 0 1 2 1
1 1 3 3 1 1 3 3 0 2 2 1
4 2 0 2 4 0 0 2 2 4
F FF F C CC C
F F
a a aF
a a a
3000
3300
1120
1211
3300
0300
1120
2111
4220
1220
1120
2111
43
43
23
24
a
aa
a
aa
a
a
a
a CC
FF
FF
FF
Llegados a este punto los valores críticos son aquellos que evitan que la matriz
sea escalonada con “líneas” no nulas i.e. 303
303
aa
aa
Entonces:
Si a≠3 => ran(F)=4
Si a=3 => 1 1 2 1
F* 20 2 1 2
ran F
Matrices Matemáticas 2º Bachillerato
- 20/20 - A.G.Onandía
Ejercicios:
1.- Determinar el rango de cada una de las siguientes matrices:
201
211A
312
613
211
B
514
312
121
C
0130
0106
0121
D
1121
0000
0013
2101
2513
E
0514
3321
1213
2114
F
123
100
541
321
G
01012
10111
01012
01351
H
Sol: ran(A)=2, ran(B)=3, ran(C)=2, ran(D)=3, ran(E)=4, ran(F)=3, ran(G)=3, ran(G)=3
2.- Determinar, en función del parámetro , el rango de cada una de las siguientes
matrices:
104
210
13
A
061
142
13
B
012
01
311
C
11
11
111
D
) 1 2 1 3
b) 19 / 7 2 19 / 7 3
c) 3 1/ 2 2 3 1/ 2 3
d) 1 2 1 3
a si ran A si ran A
si ran B si ran B
si ran C si ran C
si ran D si ran D
3.- Discutir según los valores de “a” el rango de A con
1163
3121
042
111
a
a
a
a
A