Geometra Analtica y Funciones 2 DARO CARMONA GARCA Secretario de Educacin Pblica del Estado de Puebla JOS LUIS CROTTE ZERN Subsecretario de Educacin Media Superior JOS ENRIQUE MARTNEZ PELEZ Director General Acadmico GISELA DUEAS FERNNDEZ, MARA EDITH BEZ REYES, BEATRIZ PIMENTEL LPEZ, SARAH GAXIOLA JARQUN, OSVALDO CUAUTLE REYES, MARA DE LOS NGELES ALEJANDRA BADILLO MRQUEZ, RENATO GARCA LEN Coordinacin del proyecto: Colectivo 25 PROGRAMA DE ESTUDIOS Geometra Analtica y Funciones Equipo de Diseo Curricular Mara Anglica lvarez Ramos, David Aquino Ponce, Vivaldo Cuesta Snchez, Miguel ngel Espidio Jurez, Margarita Hernndez Gonzlez, Jos Luis Lecona Hernndez, Sotero Martnez Jurez, Jos Martin Meja Hernndez, Daniel Ozuna Rosas, Gilberto Santiago del ngelRevisin Metodolgica MaraAnglicalvarezRamos,GerardongelChilaca,VernicangelChilaca,FranciscoJavierCortsLpez,Margarita ConcepcinFloresWong,JorgeFernandoFloresSerrano,JuanManuelGarcaZrate,GenaroJurezBalderas,Sotero MartnezJurez,MaraTeresaNotarioGonzlez,IrmaIvonneRuizJimnez,JuanJessVargasFigueroa,EmiliaVzquez Pacheco EstiloFormato Leonardo Mauricio vila Vzquez, Alejandro Enrique Ortiz Mndez, Cristina Herrera Osorio, Concepcin Torres Rojas, Rafael Carrasco Pedraza Osvaldo Cuautle Reyes Liliana Snchez Tobn Geometra Analtica y Funciones 3 PROGRAMA ACADMICO:GEOMETRA ANALTICA Y FUNCIONES SEMESTRE:TERCERO CAMPO DISCIPLINAR:MATEMTICAS COMPONENTE DE FORMACIN:BSICO NMERO DE HORAS:64 CRDITOS:8 IMPORTANCIA DEL CURSO ElprogramadeGeometraAnalticayFunciones,tienecomofinprimordial,elanlisisdefigurasgeomtricasdentrodelossistemasde coordenadas, adems, aplicar los mtodos algebraicos, para comprobarplanteamientos grficos de manera analtica, por eso se considera quesustentala unificacin de la geometra plana con el lgebra. Tambin se estudian, en este programa, las funciones como uno de los aspectos msimportantesdelaciencia,puesestablecenrelacionesentrevarios fenmenosde distintamagnitud,ya que unavez queseconoceuna relacin es posible hacer predicciones. Porloanterior,estaasignaturapermiteeldesarrollodehabilidadesmatemticas,retomalosconocimientosadquiridosenl gebra,como: expresiones algebraicas y ecuaciones de primero y segundo grado; de Geometra y Trigonometra lo referente a conceptos bsicos, clasificacin de ngulos, tringulos,polgonos, circunferencia y razonestrigonomtricas. As mismo contribuye a la comprensin de Clculo en el trazado de grficas, la proyeccin de secantes y tangentes que dan origen a la definicin geomtrica de derivada. Respecto a Estadstica, apoya mediante lainterpretacindegrficasquesegeneranenlosmarcosdereferenciasanalticos,locualpermiteubicargrficamentelospuntos correspondientes amedidas de tendencia central y de dispersin. Con respecto a Clculo Integral, se proporcionan herramientas matemticas para determinar reas bajo una curva, incluso rea entre dos de ellas, as como la generacin de superficies y slidosde revolucin.InterdisciplinariamenteserelacionaTallerdeLecturayRedaccinIIIpuesstaleproporcionaelementosnecesariosparalaexpresine interpretacin lingstica y matemtica de las ecuaciones que se presentan, as como las soluciones que se obtienen. Con Historia de Mxico se pueden relacionar los conocimientos al interpretar analticamente el comportamiento de la crisis de la economa mexicana entre 1806 y 1880, as como enlamodernizacineconmica del porfirismo.Serelacionacon Orientacin Vocacional al desarrollarlacapacidad detomardecisiones pertinentes paralasolucindeproblemascotidianos.LarelacinconFsicaIse establece alinterpretar demanera grfica,latrayectoria del movimientolinealyangular.ConInformticaserelacionadebidoaquealgnsoftwareesexclusivamenteparaproyeccionesgeomtricasy Geometra Analtica y Funciones 4 espaciales;porltimo,conrespectoalasasignaturasdeFormacinparaelTrabajo,serelacionaconaquellasquebuscandeterminarel comportamiento de determinados sucesos, as como el anlisis de grandes cantidades de datos, trazos y curvas.Estaasignatura permite fortaleceryampliarelhorizonte delestudiante,desarrollandohabilidadespara elaborartrabajos einvestigacionesen equipo,alsuponer,argumentar,interpretarydemostrarpropiedadesgeomtricasdemaneraanaltica,quecontribuyenalasolucinde problemasconcretosque aparecen enlavidacotidiana.Deestamanera desarrollasignificativamentecompetencias genricasydisciplinares, contribuyendo as al logro del perfil del estudiante. El contenido del programa de Geometra Analtica y Funciones est estructurado en las siguientes unidades: Unidad I:Sistema de coordenadas cartesianas y lnea recta Setratanelsistemadecoordenadascartesianas,elementosfundamentalescomosegmentosdirigido,distanciaentredospuntos, pendiente y ngulo de inclinacin, divisin de un segmento y temas relacionados con la lnea recta: elementos de la recta, formas de la ecuacin de una recta, rectas paralelas, rectas perpendiculares, distancia entre rectas y distancia de un punto a una recta Unidad II:Circunferencia,Elipsey Parbola Se desarrollan los conceptos fundamentales, propiedades ms importantes, as como las ecuaciones ordinaria y general de tres lugares geomtricos relevantes: la circunferencia, elipsey parbola. Unidad III:Funciones Se estudia la nomenclatura y los componentes de una funcin: dominio, imagen, regla de correspondencia y grficas, tipos y operaciones de funciones as como inecuaciones. Geometra Analtica y Funciones 5 Geometra Analtica y Funciones 6 COMPETENCIAS El presente programa contribuye particularmente al desarrollo de las siguientes competencias: GENRICAS Escucha interpreta y emite mensajes pertinentes en distintos contextos mediante la utilizacin de medios, cdigos y herramientas apropiadas. Expresa ideas y conceptos mediante representaciones lingsticas, matemticas o graficas. Maneja las tecnologas de la informacin y la comunicacin para obtener informacin y expresar ideas. Desarrolla innovaciones y propone soluciones a problemas a partir de mtodos establecidos. Sigue instrucciones y procedimientos de manera reflexiva, comprendiendo cada uno de sus pasos contribuye al alcance de un obj etivo. Ordene informacin de acuerdo a categoras, jerarquas y relaciones.Sustenta una postura personal sobre temas de inters y relevancia general, considerando otros puntos de vista de manera crti ca y reflexiva. . Eligelasfuentesdeinformacinmsrelevantesparaunpropsitoespecficoydiscriminaentreellasdeacuerdoasurelevanciay confiabilidad. Estructura ideas y argumentos de manera clara, coherente y sinttica. Aprende por iniciativa e inters propio a lo largo de la vida.Articula saberes de diversos campos y establece relaciones entre ellos y su vida cotidiana. Participa y colabora de manera efectiva en equipos diversos.Aporta puntos de vista con apertura y considera los de otras personas de manera reflexiva. Asumeunaactitudconstructiva,congruenteconlosconocimientosyhabilidadesconlosquecuentandentrodedistintosequiposde trabajo. DISCIPLINARES Formula y resuelve problemas matemticos, aplicando diferentes enfoques.Explicaeinterpretalosresultadosobtenidosmedianteprocedimientosmatemticosyloscontrastaconmodelosestablecidoso situaciones reales.Argumentalasolucinobtenidadeunproblema,conmtodosnumricos,grficos,analticosovariacionales,medianteellenguaje verbal, matemtico y el uso de las tecnologas de la informacin y la comunicacin.Analiza las relaciones entre dos o ms variables de un proceso social o natural para determinar o estimar su comportamiento.Cuantifica, representa ycontrasta experimental o matemticamente las magnitudes del espacio y las propiedades fsicas de los objetos que lo rodean.Interpreta tablas, grficas, mapas, diagramas y textos con smbolos matemticos y cientficos. Geometra Analtica y Funciones 7 RESULTADOS DE APRENDIZAJE DEL CURSO Los alumnos: En el nivel Atender:Identificarn elementos de la Geometra Analtica y Funciones en modelos matemticos o situaciones del contexto. En el nivel Entender:Conceptualizarn los elementos de lugares geomtricos y Funciones. En el nivel Juzgar:Comprendern los lugares geomtricos y Funciones por medio de expresiones algebraicas. Demostrarn que las formas de la ecuacin de la recta,circunferencia, parbola y elipse son equivalentes de acuerdo con propiedades de la familia decnicas. En el nivel Valorar:Valorarlapresenciadetodosloslugaresgeomtricosenelmedioquelorodeayelimpactoquesuconocimientohatenidoenel desarrollo del ser humano. Aplicarn los conocimientos tericos adquiridosen la solucin de problemas de la vida diaria. Geometra Analtica y Funciones 8 UNIDAD I.SISTEMAS DE COORDENADAS Y LNEA RECTA Resultados de aprendizaje En el nivel Atender, el alumno: Identificar que todos los lugares geomtricos siempre se analizan bajo dos sistemas fundamentales de coordenadas: lineal y cartesiano.Observar los elementos que constituyen un sistema coordenado lineal, sistema coordenado cartesiano y lnea recta. En el nivel Entender, el alumno: Conceptualizar los elementos fundamentales de la recta y la relacin que guardan entre s para obtener las diferentes formas de su ecuacin Comprender la obtencin de la ecuacin de una recta a partir de su grfica y viceversa. En el nivel Juzgar, el alumno: Comprobar que las diferentes formas de la ecuacin de una recta son equivalentes entre s, ubicndolos en el sistema coordenado rectangular. En el nivel Valorar, el alumno: Deliberaracerca de la aplicacindel sistema coordenado lineal, cartesiano y el lugar geomtrico conocido como recta en la resolucin de problemas tericos o prcticos Horizonte de Bsqueda Niveles de Operacin de la Actividad Consciente Intencional Preguntas Actividades especficas de aprendizaje Que el alumno: Para la inteligenciaPara la reflexinPara la deliberacin SISTEMAS DE COORDENADAS Qu estudia la Geometra Analtica? Cul es la caracterstica fundamental de la Geometra Analtica? Qu ventajas tiene utilizar los sistemas de coordenadas? Qu utilidad tiene la aplicacin de los sistemas de coordenadas en la vida diaria? Lleve al salnlos materiales siguientes: Mapamundi Recibo de luz o telefnico. Tarjeta postal Un boleto de autobs Libro de texto Revise,observeyescribaenformadelistatodaslas caractersticasqueconsidererelevantesdecada material, comentndolas en equipo. Enequipo,consulteenfuentesbibliogrficasoenla web,elconceptoylacaractersticafundamentaldela geometraanaltica,segmentodirigidoysulongitud, elaboreunmapaconceptualconlainformacin obtenida,expongaalgrupo,analiceloselementosque diferenciancadadefinicinysuaplicacin, complementeelmapaconlasaportacionesdesus compaeros. Realice lo siguiente: Represente los puntos cuya coordenadas son: (2,3), (4,0), (-3, 1),(-2, 0), (0, 1),(0, 0), (3, -6), (2,1/2) y (-2, -4) Ubiquetrespuntoscuyaabscisaseaigualatres veces su ordenada. Localicetrespuntoscuyaordenadaseaigualados veces su abscisa menos tres unidades. Traceenunahojadepapelcuadriculadounplano Geometra Analtica y Funciones 9 coordenadolinealysealelaposicinque guardan algunos vecinos de su calle. Enunplanocartesianoaescala,ubique laposicin de:elpalacio municipal,el mercadolocal,elcentro de salud, el saln social y su escuela. Muestrealgruposusgrficas,escribalasopinionesy sugerencias ms relevantes. Comentealgruposobrelautilidaddelacaracterstica fundamental de la geometra analtica, con base en ello resuelva:Francisco llega a la ciudad a visitar unos familiares pero no sabe la direccin correcta, tiene la referencia de que viven a mitad de la calle Revolucin de la colonia Santa Mara.Paraorientarsemejor,decidecomprarunmapa de la cuidad en dondese localiza la calle, en el sector 30-IIdelplano20.Alrevisarelplanoobservaqueste se divide en columnas y renglones. A cada columnase leasignaunaletrayacadarenglnunnmero.Con baseaestaclaveindiquelascoordenadasdelacalle quebusca. Con el resultado obtenido valore la importancia del uso demarcosdereferenciaconrelacinalossistemas coordenadoscomoelementosimprescindiblespara ubicar todos los cuerpos que lo rodeany que adems le orientan en diversas situaciones de su vida cotidiana. ELEMENTOS FUNDAMENTALES DE LA GEOMETRA ANALTICA Cules son y en qu consisten los elementos fundamentales de la geometra analtica? Con qu argumentos se determinan los elementos fundamentales de la geometra analtica? Qu utilidad prctica tiene la determinacin de los elementos fundamentales de la geometra analtica? Lleve al saln3 popotes, tijeras y una regla graduada, mida los popotes y posteriormente trcelos de dos, tres ocuatropartes,determinelalongituddelostrozos obtenidos,comenteenequipolascaractersticasque observ en la actividad realizada. En equipo, consulte en diversas fuentes de informacin, losconceptos:segmentodirigido,distanciaentredos puntos, pendiente y ngulo de inclinacin, divisin de un segmento,registresuinformacinenuncuadroa manera de formulario.Presentealgrupoelformulario,analicelautilidadde cadaconcepto,complementesuinformacinconlas aportaciones de los dems equipos. Apoyndoseenelformularioresuelvalossiguientes ejercicios: 1.Hallarladistanciaentrelospuntoscuyas coordenadas son: (-5) y (6); (3) y (-7); (-8) y (-12). 2.Ladistanciaentredospuntoses15.Siunodelos puntos es (-11) encuentre el otro punto. Geometra Analtica y Funciones 10 3.Unodelosextremosdeunsegmentorectilneode longitud5eselpunto(3,-2).Silaabscisadelotro extremo es 6; hallar su ordenada. 4.Demuestraquelascoordenadas(3,-3),(5,-8)y(7, 3) son vrtices de un tringulo Issceles. 5.Hallar lapendienteyelngulodeinclinacindelas rectas que unen los pares de puntos siguientes:(-8, -4), (5, -9) (10, -3), (14, -7) (-3 , -2), (4, -2) ( -11, 4), ( -11, 10) (8,6), (14, 6) 6.Si se sabe que las coordenadas de un extremo de un segmento de recta son (3, -1) y que las coordenadas delpuntomedioson(-2,2),encuentralas coordenadas del otro extremo 7.Determinelascoordenadasdelpuntoubicadoa4/5 del segmento formado por los puntos (-2, 5) y (4, -5) Participeenunadiscusinacercadelautilidaddelos conceptosfundamentalesdelageometraanaltica,y resuelva en equipo lo siguiente: Considere el tirante de refuerzo de un poste de energa elctrica anclado a una distancia de la base del mismo a 4metrosyunaalturade7metros.Determine analticamentelapendienteyelngulodeinclinacin que guarda dicho tirante. Apartirdeellocomente la importanciade laaplicacin eficazdelosconceptosaprendidosqueconllevanal anlisisdeldesarrollocientfico,culturalymaterialdel ser humano en su actividad cotidiana.LNEA RECTA Qu es una recta como lugar geomtrico? Cules son los elementos de una recta? Cules son las formas en que se expresa la ecuacin de una recta? Cmo se aplican las diferentes formas de la ecuacin de una recta? Cmo se obtienen los valores de los elementos de una recta a partir de su ecuacin escrita en su forma general? Cul es la importancia de la presencia de la recta en el medio que rodea el hombre y el efecto positivo que tiene en su desarrollo tecnolgico? Observelascaractersticasdeloscontornosde muebles,ventanasymurosdesusalndeclase. Comenteconsuscompaerosdeequiposus observaciones registrndolas por escrito. Enequipo,consulteendiferentesfuentesde informacin sobre el concepto de lnea recta, elementos de la recta, formas de la ecuacin de una recta (punto-punto,punto-pendiente,pendiente-ordenadaalorigen, formasimtricayformageneral),rectasparalelas, rectasperpendiculares,distanciaentrerectasy distanciadeunpuntoaunarecta.Registrela informacin en un cuadro a manera de formulario. Presentealgrupoelformulariorelacionandoelusode Geometra Analtica y Funciones 11 los elementos para determinar la ecuacin de una recta, complementesuformularioconlasaportaciones argumentadas de los dems equipos.Enequiporesuelvalossiguientesejercicios,utilizando el formulario: Determinelaecuacindelarectaquecumpleconlas condiciones siguientes: 1.Pasa por los puntos (-5,2) y (-2,-3) 2.Pasa por (0,-3) y pendiente m = -2 3.Tiene de pendiente m=3/2 y pasa por el punto (-3, 9) 4.Tienelaformageneral9x-5y+2=0expreseensu forma simtrica.5.Pasa por (6,3) y pendiente m=0 exprese en su forma general. 6.Pasa por el origen y es paralela a la recta 8x-5y+2=0 7.Pasapor(-1,7)yesperpendicularalarecta5x-3y+9=0 8.HallarladistanciadelpuntoQ(1,1)alarectax+2y-8=0 9.Determineladistanciaentrelasrectasparalelasx-3y+5=0;x=3y 10.Hallar laecuacinde la mediatrizdelsegmentoque une los puntos A (-7, 4) y B (-7, -7). 11.Encuentre el punto de interseccin entre la pareja de rectas 2x+y-7=0; 3x-2y=0Comenteenequipolaimportanciadeutilizarlos elementos de una recta para encontrar su ecuacin. Resuelvaelsiguienteproblema:Determinalaecuacin detrayectoriaquesigueuncaracolquepasaporel punto (2,3) y que cada vez que avanza dos unidades en la direccin positiva del eje X, asciende 5 unidades.Apartirdelasolucin,comentelaventajaque representa la presencia de la pendiente de una recta en el desarrollo de la infraestructura habitacional, as como en caminos y puentes. Geometra Analtica y Funciones 12 EVALUACIN CONOCIMIENTOS El alumno demuestre la apropiacin de lo siguiente: PROCESOS Y PRODUCTOS El alumno evidencie los procesos y la obtencin de los siguientes productos: DESEMPEO ACTITUDINAL CONSCIENTE El alumno manifieste los siguientes valores y actitudes: Definiciones de sistema coordenado lineal, sistemacartesiano,segmentodirigidoy longitud. Conceptosdedistanciaentredospuntos, pendienteyngulodeinclinacin,divisin de un segmento. Conceptodelnearecta,elementosdela recta,formasdelaecuacindeunarecta (punto-punto,punto-pendiente,pendiente-ordenada al origen, forma simtrica y forma general),rectasparalelas,rectas perpendiculares,distanciaentrerectasy distancia de un punto a una recta. Resumen de sistemas coordenados. Mapa conceptual de sistemas coordenados Grafica de puntos en el plano cartesiano. Resumen de elementos fundamentales Cuadrosinpticodeelementos fundamentales. Cuadro de informacin de lnea recta. Ejercicios resueltos de lnea recta. Reportes de investigacin. RespetoTolerancia Colaboracin Responsabilidad Puntualidad Participacin. Geometra Analtica y Funciones 13 UNIDAD II.CIRCUNFERENCIA, ELIPSE YPARBOLA Resultados de aprendizaje En el nivel Atender, el alumno: Identificar los elementos que determinan la circunferencia, elipse y parbola. En el nivel Entender, el alumno: Conocer las ecuaciones que representan a la circunferencia, elipse y parbola. Describir los parmetros fundamentales de una circunferencia, elipse y parbola. En el nivel Juzgar, el alumno: Reflexionar sobre las aplicaciones que tienen la circunferencia, elipsey parbola. Analizarlasformasderesolucindelosproblemastericosoprcticosrelativosalacircunferencia,elipseyparbola;atravsdelrazonamiento descriptivo o de la aplicacin y combinacin de sus propiedades, grficas y ecuaciones. En el nivel Valorar, el alumno: Aplicar las ecuaciones de la circunferencia, elipse y parbola en problemas reales. Horizonte de Bsqueda Niveles de Operacin de la Actividad Consciente Intencional Preguntas Actividades especficas de aprendizaje Que el alumno: Para la inteligenciaPara la reflexinPara la deliberacin CIRCUNFERENCIA Culesson las formas de la ecuacin de una circunferencia? Cmo se obtiene la ecuacin de una circunferencia? Qu aplicaciones prcticas tiene el uso de la circunferenciasus diferentes ecuaciones? Enequipo,llevealsalnunaescuadragraduada,un comps y realice lo siguiente: 1.Tracesobreunahojadesulibretadeapuntesun plano cartesiano. 2.Traceunacircunferenciaconradio3unidades tomando como centro el origen del plano cartesiano que traz anteriormente. 3.Traceunacircunferenciaconradio2unidadescon centroelP(4,4)delplanocartesianoquetraz anteriormente. 4.Delamismamaneraqueunarecta,encuentrela ecuacin de las dos circunferencias que traz. Presentealrestodelosequiposlosresultadosque obtuvo de la actividad anterior, argumentndolos. Enequipo,busqueendistintasfuentesbibliogrficaso enlaweb,laecuacinconcentroenelorigen,con centrofueradelorigenylaecuacingeneraldela circunferencia.Elaboreuncuadrocomparativode ecuacionesdelacircunferenciaespecificandosu nombre y su aplicacin. Expongaalgrupoelcuadrocomparativomencionando lautilidaddelasdistintasformasdelaecuacin, complemente y corrija si considera necesario su cuadro con las aportaciones argumentadas de sus compaeros. Resuelvaapoyndosedelcuadrodelaactividad anterior los siguientes ejercicios y problemas: Geometra Analtica y Funciones 14 a)Encuentrelagrficadelafuncin0 92 2= + y x , para[-3,3],considereaxcomovariable independiente. b)Encuentrelaecuacindelacircunferenciacon centro en el origen y r=3, r=4, r=5, r=6. c)Encuentre la ecuacin de la circunferencia con: 1.Centro en P (3,4) y radio 3. 2.Centro en P (-4, 6) y radio 4. 3.Centro en P (-5,-7) y radio 5. 4.Centro en P (4,-6) y radio 3. d)Encuentrelacoordenadadelcentroyelradiode la circunferenciacuyaecuacines 0 11 4 22 2= + + y y x x ,muestrelagrfica resultante. e)Encuentrelacoordenadadelcentroyelradiode la circunferenciacuyaecuacines 0 11 8 62 2= + + y y x x ,muestrelagrfica resultante. f)Encuentrelaecuacindelacircunferenciacuyo dimetroestlimitadoporlarectaquetiene coordenadas P1 (-3,2) y P2 (5,10).g)Encuentrelaecuacindelacircunferenciacon centroenelpuntodeinterseccinde2rectascuya ecuacinson:l10 5 2 = + y x yl2 0 4 3 2 = + y xy radio 3. Enequipoconsiderequesupapdeseaconstruir espejoscircularesparabaos,eldiseadorlecomenta quecadaespejoestdefinidoporlaecuacin 0 39 8 62 2= + + y x y x ,sielresultadoesten pulgadas,determineelreatotaldelespejoquedebe comprarsideseaconstruir50piezas,apartirdeeso comentelaimportanciadeloselementosyecuaciones delacircunferenciaenlaspropiedadesdedistintos objetos de su entorno. Elabore una conclusin sobre su usoeneldiseodemecanismosfundamentalesdel hombre como la rueda, los relojes, los discos de audio y video,lascoladerasdelasalcantarillas,losplatos, anote en su libreta de apuntes. ELIPSE Qu es una elipse? Qu elementos Cmo se obtienen las distintas ecuaciones de la Para qu sirve obtener la ecuacin de una elipse? Lleve a su aula una hoja blanca, una tabla de 30x30 cm, 2tachuelas,10cmdeestambre,1lpiz,realicelo siguiente: Geometra Analtica y Funciones 15 forman parte de una elipse? Cules son las formas de la ecuacin de una elipse? elipse? Qu aplicacin prctica tiene el conocimiento de las caractersticas de la elipse? a)Coloqueelpapelblancosobrelatablayclavelas dostachuelas,amarrandolosextremosdel estambreenAyB,comosemuestraenel esquema, tensndola con un lpiz. b)Muevaellpizdeslizndolosobreelestambre, mantenindolatensa,dibujandolatrayectoriasobre el papel. Enequipoencuentrelagrficadelafuncin 0 36 9 42 2= + y x ,despejey,grafiquepara[-3,3]. Muestrealgrupolagrficaqueobtuvoycomentesu relacin con la actividad anterior. Indagueendistintasfuentesbibliogrficasoenlaweb sobre los elementos fundamentales de la elipse, formas delaecuacindelaelipseconcentroenelorigen, formas de la ecuacin de la elipse con centro fuera del origen,laecuacingeneraldelaelipse,registresu informacinenunatablacomparativadeelementosy formas de la ecuacin de la elipse. Expongaenequiposutablacomparativaalgrupo, comentandolautilizacindelasdistintasformasde obtenerlaecuacindelaelipsecomplementeydeser necesariocorrijalainformacindesutablaconlas aportaciones de los dems equipos. Apoyndose en la tabla de la actividad anterior, resuelva los siguientes ejercicios: a)Encuentrelosvrtices,losfocosylagrficadela elipse cuya ecuacin se indica: 1.125 162 2= +y x 2.28 7 42 2= + y x3.14) 4 (9) 1 (2 2=++ y x Geometra Analtica y Funciones 16 4.191 50 18 25 92 2= + + + y x y xb)Obtenga una ecuacin de la elipse que satisfaga las condiciones: 1.Vrtices (-1,1) y (5,1), focos (4,1) y (0,1) 2.Vrtices (3,-3), (3,9), (3,-7) y (3,13) 3.Focos) 1 , 3 1 ( , longitud del eje mayor 6 c)Reduzcalaecuacin: 0 21 16 6 42 2= + + + y x y x asusegundaforma ordinariaydeterminelascoordenadasdelcentro, vrticesyfocos,laslongitudesdesuejemayory menor, la de su lado recto y la excentricidad. EnequipoconsiderequelaLunagiraalrededordela Tierradeformaelptica,estemovimientoestdefinido porlaecuacin0 83 4 40 52 2= + + y x y x silos resultadossonenmilesdekilmetros,encuentrelos vrtices,losfocosylagrficaquedescribeel movimientodelaLuna,apartirdeellocomentela importanciadeloselementosfundamentalesdela elipse,ysusecuacionesenelestudiodelos movimientosdelosPlanetasyengeneralsurelacin congrandesavancesenelestudiodelaastronoma, realice una ficha de sntesis sobre ello. PARBOLA Qu es una parbola? Cules son las ecuaciones de una parbola? Cmo se obtiene la ecuacin de una parbola? Qu aplicaciones prcticas tiene una parbola en la vida cotidiana? Por qu es importante obtener la ecuacin de una parbola para interpretar un fenmeno natural? Lleveenequipoalsalnunaescuadrayunaregla graduada,2tachuelas,unatablade30x30cm,50cm de estambre, una hoja, un lpiz y realice lo siguiente: a)Coloqueelpapelsobrelatabla,utiliceunaseccin delestambrequetengalamismalongitudqueel ladomayordelaescuadra,fijandoelestambre mediante tachuelas al extremo (A) de la escuadra yel foco (F), como se muestra en la figura. b)Tenseelestambreconellpiz,mantenindolo siempre junto a la escuadra. Comience a deslizarlo, Geometra Analtica y Funciones 17 manteniendoelestambretenso,mientrasmarcael movimientodellpizsobreelpapel,deslizandola escuadra sobre la regla o recta (d), como se muestra enlafigura.Desdeunextremoalfocohabr obtenidomediaparbola.Repitalaoperacinhacia el otro lado. Encuentrelagrficadelafuncin 2x y = parael intervalode[-3,3],relacionelagrficaobtenidaconla actividad anterior y comntelo con sus compaeros. Consulteendiferentesfuentesdeinformacinoenla web sobre el concepto y los elementos ms importantes delaparbola,laecuacindelaparbolaconcentro en el origen con eje focal en x o en y, la ecuacin de la parbola con centro fuera del origen y eje paralelo al eje x o eje y, registre su informacin en un mapa conceptual de ecuaciones de la parbola. Expongaenequipoelmapaconceptualdelaactividad anterior,analizandolaformadeobtenerlasdistintas ecuacionesdelaparbola,complementeycorrijasu informacindesernecesarioconlasaportaciones argumentadas del resto de los equipos. Resuelva los siguientes ejercicios: a)Encuentre el vrtice, el foco, la directriz, y trace la grfica de la parbola cuya ecuacin se indica: 1. 28 x y =2.x y 122=3.6 42+ + = x x y4.) 5 ( ) 3 ( 2 + = + y y x5.0 19 8 24 62= + + y x xb)Encuentre la ecuacin de la parbola que satisfaga las condiciones indicadas: 1.Vrtice (1,2), eje y=0, pasa por (0,0) 2.Vrtice (3,-2), directriz y=2 3.Foco (-2,4), vrtice (1,4) 4.Foco (0,4), directriz x=-5 c)Unaparbolacuyovrticeestenelorigenysu eje focal coincide con el eje y, pasa por el punto (4, -2).Hallarlaecuacindelaparbola,las coordenadas del foco, la ecuacin de la directriz y la longitud del lado recto. Trace la grfica. Enequipo,considerequeuntelescopiodereflexinde un Observatorio utiliza un espejo de contorno circular de Geometra Analtica y Funciones 18 200 pulgadas de dimetro, el perfil del espejosegn un dimetroesunaparbolacuyadistanciafocalesde 55.5pies.Encuentreunaecuacindelaseccin parablica, Cul es la profundidad mxima del espejo? Comenteconelgrupolaimportanciadeconocerlas propiedadesdelaparbolaparaladescripcinyel estudio de distintos fenmenos de su entorno, concluya sobresuaplicacinparaeldiseodeantenasde comunicacin,farosdecoche,cpulasdeiglesias, espejos,lentes,fondosdebotellas,anoteensulibreta de apuntes. Geometra Analtica y Funciones 19 EVALUACIN CONOCIMIENTOS El alumno demuestre la apropiacin de lo siguiente: PROCESOS Y PRODUCTOS El alumno evidencie los procesos y la obtencin de los siguientes productos: DESEMPEO ACTITUDINAL CONSCIENTE El alumno manifieste los siguientes valores y actitudes: Ecuacin de una circunferencia con centro en el origen. Ecuacin de una circunferencia con centro fuera del origen. Ecuacin general de una circunferencia Definicin de elipse. Ecuacin de una elipse horizontal y vertical con centro en el origen. Ecuacin de una elipse horizontal y vertical con centro fuera del origen.Ecuacin general de la elipse. Definicin de parbola. Ecuacin de una parbola con vrtice en el origen y eje focal sobre el eje X o sobre el eje Y.Ecuacinde laparbolacon vrticeen(h, k) y eje paralelo al eje X o al eje Y.Ecuacin general de la parbola. Trazosde:circunferencia,elipsey parbola. Cuadro comparativode las ecuaciones de la circunferencia y de elipse. Ecuacionesdecircunferencia,elipsey parbola deducidas a travs de actividades especficas. Mapaconceptualdeecuacionesdela parbola. Grficas trazadas a partir de una ecuacin. Problemas resueltos. Libreta de apuntes. Respeto Tolerancia Colaboracin Responsabilidad Puntualidad Participacin Geometra Analtica y Funciones 20 UNIDAD III.FUNCIONES Y DESIGUALDADES Resultados de aprendizaje En el nivel Atender, el alumno: Identificar los diferentes elementos de las funciones, clasificacin y representacin grfica y simblica, as como las propiedades de una desigualdad. En el nivel Entender, el alumno: Conceptualizar la funcin, clasificacin, representacin grfica y simblica, los diferentes tipos y operaciones con funciones. Conocer las propiedades de las desigualdades lineales y sus operaciones. En el nivel Juzgar, el alumno: Ponderar la necesidad de emplear las funciones, propiedadesy operaciones en la solucin de problemas. Verificar las ventajas de emplear las propiedades de las desigualdades en la solucin de problemas. En el nivel Valorar, el alumno: Deliberar el uso pertinente de las funciones, propiedades y operaciones en la solucin de problemas en su entorno. Emplear las desigualdades en la solucin de problemas en diferentes campos del conocimiento. Horizonte de Bsqueda Niveles de Operacin de la Actividad Consciente Intencional Preguntas Actividades especficas de aprendizaje Que el alumno: Para la inteligenciaPara la reflexinPara la deliberacin NOMENCLATURA Y COMPONENTES DE UNA FUNCIN Qu es una funcin? Cmo se clasifican las funciones y cules son sus componentes? Qu ventajas tiene determinar las componentes y la nomenclatura de una funcin? Qu utilidad tiene la representacin grfica de funcin en la interpretacin del comportamiento de un fenmeno cotidiano? Registreelnmerodehojassinusarqueactualmente tieneensulibretadeapuntes,compareesacantidad conlaque tenaal iniciodelcurso.Comente,de forma grupal, la caracterstica comn observada y registre. Enequipo,consulteendiferentesmediosofuentes bibliogrficasladefinicindefuncindesdeelenfoque tradicional, y de la teora de conjuntos, dominio, imagen, regla de correspondencia y grfica de una funcin.Registrelainformacinenunmapaconceptual expngaloalgrupo,analicelamaneradeobtenerla nomenclaturaycomponentesdeunafuncin, complemente su tabla con las aportaciones del grupo.Resuelva, en equipo, los siguientes ejercicios: 1.Sealequrelacionesdelassiguientesson funciones: Geometra Analtica y Funciones 21 2.Idntica cual de las grficas representa una funcin: 3.Grafique f(x) = x3 3 x 4.Sea f(x) = 3x - 5; g(t) = 4 - t;F(m) = 3 m2; G(u) = u - u2 Evale como se indica: f(-1)g(6) G(-2) F(-3) F(-1) + f(3) 2F(-2)-G(-1) 3G(-2)+2F(-1) g(4) f(2)/G(1) Debatasobrelautilidaddelarepresentacinde funciones, resuelva lo siguiente:Un automvil consume unlitrodegasolinaporcada12kmquerecorre.Una personaqueviajaeneseautomvil,confrecuencia Geometra Analtica y Funciones 22 deseasaberqudistanciapuederecorrercuando consumeciertonmerolitros.Conelprocedimiento realizadocomentelaimportanciadeidentificar correctamenteloscomponentesqueintegranuna funcinylaformaenquesedistingueclaramentede una simple relacin. TIPOS Y OPERACIONES CON FUNCIONES Cules son los diferentes tipos de funciones y sus caractersticas distintivas? Qu operaciones se pueden realizar con las funciones? Cmose identifican los tipos de funciones? Cmo se realizan las operaciones bsicas entre funciones? Qu utilidad prctica tienen dentro del entorno humano las operaciones con funciones? Realice en equipo las siguientes operaciones: a)7+8= b)= +9453 c)) 7 4 ( ) 3 3 (2 2x x x x + d)Si{ } ) 2 , 3 ( ) 1 , 1 ( ) 3 , 2 ( ) ( = x f y { } ) 1 , 1 ( ) 4 , 3 ( ) 2 , 3 ( ) ( = x g ,encuentreel resultado de: f(x)+g(x), f(x)/g(x). Presentealgrupolosresultadosqueobtuvo argumentando el procedimiento que utiliz. Consulteendistintas fuentesbibliogrficasoenlaweb sobrelostipos,caractersticasyoperacionescon funciones,registresuinformacinenuncuadro sinptico. Presenteenequipoalrestodelgrupoelcuadro sinpticodelaactividadanterior,analizandoel procedimientopararealizarlosdistintostiposde operacionesentrefunciones,complementesu informacinconlasaportacionesargumentadasdesus compaeros. Resuelva los siguientes ejercicios: 1.Establezcadominioyrangodelasiguientes relaciones: I.P={(x, y) | y2 = x,x{0,1,4}} II.R={(x, y) | y= x2-x,x {-2, 2}} 2.DadoH(x)={(2,4),(4,2),(6,6),(8,10),(10,12)}y M(x)= {(4,-3), (6,-5) (10,0)}. Hallar: a)(H + M)(x) b)(H - M)(x) c)(H M)(x) d)(H / M)(x) 3.Si g(x)=2-x2, encuentre hg h g ) 3 ( ) 3 ( + 4.Si f(x)=x2+ x-1, encuentre Geometra Analtica y Funciones 23 hx f h x f ) ( ) ( + 5.Si m(x)=x3, encuentre hx m h x m ) ( ) ( + Resuelva el siguiente problema: Sedeseafabricarunacajaparadulcesapartirdeuna pieza de cartn rectangular de 60 x 80 centmetros. De cadaesquinasecortancuadrosigualesdeXcmpor ladoysedoblanhaciaarriba.Encuentreunafrmula paraelvolumenV(x)delacajaentrminosdex.A partirdelasconsideracionesprcticas,Culesel dominio de la funcin V?Conbaseenesto,comentegrupalmentesobrela importanciadelempleodelasoperacionescon funciones y su aplicacin prctica comoen el diseo de circuitos,transmisindeondaselectromagnticas, economa,matemticasfinancieras,medicina, demografa, etc.Elaboreunalistadelasrepercusiones,enelmbito general, del beneficio de contar con las funciones como herramientasimprescindibleseneldesarrollodel conocimiento humano. DESIGUALDADES Qu es una desigualdad o inecuacin? Cules son las propiedades de las desigualdades lineales? Cmo se expresa la solucin de una desigualdad? Cmo se determina la solucin de una desigualdad? Cul es la importancia que representa aplicar las desigualdades y sus propiedades en la solucin de diversos problemas de la vida cotidiana? Enequiposdetres,elegidosdemaneraaleatoria, registrelaestaturacorrespondienteacadauno, comparelosdatosobtenidosentresiyexpresede manerasimblicalaestaturaqueguardael2integrante con respecto al 1y 3integrante. Escriba en su libreta de apuntes sus observaciones. Consulte en diferentes fuentes bibliogrficas o en la webladefinicindedesigualdadoinecuacin,propiedades de las desigualdades lineales, registre la informacin en unmapaconceptual.Expngaloalgrupo,analicela formadeutilizarlaspropiedadesdelasdesigualdades en la solucin de ejercicios, complemente su mapa con las aportaciones de los dems equipos. Resuelva los siguientes ejercicios: 1.2 (2x + 3) - 10 < 6 ( x - 2) 2.3 (x 1) 5 (x + 2)-5 3. 342 643 2 x x+ > + Geometra Analtica y Funciones 24 4.833 4+ x< 236x+5.x 7 4 3 s < 18 EnunexperimentodeQumica,unasolucindecido clorhdricose mantuvo entre 30C y 35C, es decir, 30 C 35. Cul es la variacin de la temperatura en F? [C=5/9(F-32)].Apartirdeesteproblemacomentealgrupola importancia de la aplicacin de las desigualdades y sus propiedades en diferentes reas del conocimiento como la qumica, fsica y campos afines. EVALUACIN CONOCIMIENTOS El alumno demuestre la apropiacin de lo siguiente: PROCESOS Y PRODUCTOS El alumno evidencie los procesos y la obtencin de los siguientes productos: DESEMPEO ACTITUDINAL CONSCIENTE El alumno manifieste los siguientes valores y actitudes: Definicinde funcin desde el enfoque tradicional y el enfoque de la teora de conjuntos, dominio, condominio, regla de correspondencia y grafica de una funcin. Tipos, caractersticas y operaciones con funciones. Definicin de desigualdad o inecuacin, propiedades de las desigualdades lineales Representacin grafica de funciones.Solucin de ejercicios de las funciones. Mapa conceptual de los componentes de una funcin. Sntesis de tipos y operaciones de funcionesTabla de propiedades de las desigualdades. Libreta de apuntes Respeto.Tolerancia. Colaboracin. Responsabilidad. Puntualidad. Geometra Analtica y Funciones 25 METODOLOGA Siconsideramosalmtodocomo:Elconjuntodeoperacionesrecurrenteseinterrelacionadasqueproducenresultadosacumulativosyprogresivos,se plantea, desde una perspectiva humanista, una metodologa que dirija la prctica docenteen los cuatro niveles de consciencia del Mtodo Trascendentala la activacin de los procesos de enseanza y de aprendizaje. Paralograresaactivacin,elprofesordebeconducirentodomomentoelaprendizajehacialaautoapropiacindelprocesopormediodelaactividadconsciente del alumno. El papel conductor del maestro consiste en la seleccin y ordenamiento correcto de los contenidos de enseanza, en la aplicacin de mtodos apropiados, en la adecuada organizacin e implementacin de las actividades, y en la evaluacin sistemtica durantelos procesos de enseanza y aprendizaje.Precisamenteporeso,lametodologamsqueexponerysistematizarmtodos,seesfuerzaenproporcionaralprofesorloscriteriosquele permiten justificar y construir el mtodo que responda a las expectativas educativas que cada situacin didcticale plantea. En los programas, la metodologa debe adecuarse a los cuatro niveles de conciencia del Mtodo Trascendental: Atenta. Que promueva la recuperacin de datos conocimientos previos. Inteligente. Que promueva la generacin y manejo de datos yconceptos. Crtica. Que promueva la generacin de juicios de hechos y la participacin crtica y reflexiva. Libre-responsable. Que promueva la generacin de juicios de valor, toma de decisiones. Criterios generales para convertir la prctica docente en: Atenta El docente: Identifica el contexto social en que est inmersa la comunidad educativa. Considera el horizonte actual de cada alumno: (conocimiento, contexto, habilidades, etc.) Observa la diversidad cultural de los alumnos. Detecta las necesidades educativas de la comunidady de los actores que forman parte de ella. Revisalos planes y programas de estudios. Ubica el curso en relacin con el plan de estudios, la organizacin de la institucin (aspectos operativos), y las caractersticas y expectativas del grupo. Reconoce las propias competencias. Inteligente El docente: Propone los resultados de aprendizaje del curso con base en el anlisis del entorno (horizonte global). Planea cada sesin o secuencia didctica (las actividades) para hacer eficiente el proceso educativo, fortalecindolas con investigacin o consultas a diversas fuentes de informacin que le permiten afianzar el manejo de contenidos y facilitan las actividades del aula. Disea tcnicas grupales que propician el trabajo colaborativo. Motiva al alumno, a travs de estrategias que logran despertar su inters. Seleccionapreviamente los materiales (lecturas, copias u otros) para el trabajo de cada sesin. Promueve la interdisciplinariedad. Gua los procesos en forma contingente. Entiende la funcin docente como gua, orientacin, acompaamiento. Geometra Analtica y Funciones 26 Crtica El docente: Establece relaciones interpersonales adecuadas, que estimulan la apropiacin de conceptos, significados y valores. Ejerce su papel de mediador, orientador, facilitador y gua. Fortalecelas habilidades, destrezas y actitudes de los estudiantes logrando su autonoma. Analiza las situaciones que obstaculizan o impiden el logro de los objetivos. Evala en forma continua los conocimientos procesos, productos y el desempeo actitudinal consciente (alumno_ docente) con instrumentos apropiados que le permiten tomar decisiones oportunas. Libre - Responsable El docente: Autoevalaperidicamente su prctica docente. Delibera sobre los resultados del proceso educativo asumiendo su responsabilidad.Se reconoce como sujeto de aprendizaje y propone innovaciones a los procesos de enseanza y aprendizaje. Valora la importancia de los procesos de enseanza y aprendizaje como medios para favorecer el crecimiento y desarrollo del ser humano. Geometra Analtica y Funciones 27 EJES DE EVALUACIN El Modelo de Evaluacin para Bachillerato General Estatal (MOEVA) establece que la evaluacin se realizar en tres ejes: a)Conocimientos, que se refiere a ladominacin y apropiacin dehechos, definiciones, conceptos, principios, ideas, datos, situaciones, teoras, postulados.b)Procesos y Productos, evala la calidad de los procesos en la autoconstruccin del aprendizaje, evidenciando los mismos en productos concretos.c)Desempeo Actitudinal Consciente, evala las actividades racionales que realiza el estudiante de manera intencional en las que estn presentes las actitudes que permiten la asuncin de valores y la personalizacin de las normas hacia una progresiva y autntica humanizacin del hombre. Cada eje tiene precisados, como puede verse en cada columna del apartado de evaluacin de cada unidad, los elementos que pueden evaluarse. Instrumentos sugeridos: Los siguientes instrumentos pueden utilizarse dependiendo del nfasis que pretenda darse a cada eje de evaluacin. Para mayor referencia se recomienda acudir al Manual del MOEVA. Conocimientos Uno o varios de los siguientes instrumentos: Escala valorativa ordinal. Escalas valorativa numrica. Prueba objetiva. Exposicin oral Resolucin de problemas. Mapa mental. Mapa conceptual Lista de palabras. Tabla lgica. Procesos y productos Uno o varios de los siguientes instrumentos: V Heurstica. Mtodo de casos. Proyecto parcial de unidad. Diario de asignatura. Portafolios de productos. Lista de cotejo de productos. Reportes escritos. Cuadernos de trabajo. Peridicos murales. Rejillas de conceptos. Cuadros de doble entrada. Cuadros sinpticos. Fichas de trabajo (sntesis y/o resumen) Estudios de campo. Dibujos y/o collages. Desempeo Actitudinal Consciente Uno o varios de los siguientes instrumentos: Gua de observacin. Entrevista dirigida semiestructurada. Encuestas. Registro acumulativo. Lista de control. Escala de Likert. Escala de Thurstone. Escala de produccin. Rbrica. Geometra Analtica y Funciones 28 APOYOS DIDCTICOS COMPLEMENTARIOS Calculadora y computadora Pizarrn Software matemtico (Winplot, Geogebra) Gis o marcador Proyector de acetatos Video proyector Libro de texto LISTA DE REFERENCIA Bibliografa Bsica MAGAA CUELLAR LUIS, SALAZAR VZQUEZ. Geometra Analtica Plana, 1 Edicin, Editorial Nueva Imagen, Mxico, 1994. GUZMN, A..., Cien Problemas de Geometra Analtica, 2 edicin, Publicaciones Cultural, Mxico, 1991. GUERRA, M., FIGUEROA, S., Geometra Analtica para Bachillerato, Mc-Graw Hill, Mxico, 1992. FULLER, G., Geometra Analtica, 16 edicin, CECSA,Mxico, 1995. LEHMANN, CH.,Geometra Analtica, Limusa y grupo editorial Noriega, Mxico, 1992. DOUGLAS, F. Riddle, Elementos de Geometra Analtica, Thomson Editores, Mxico, 1997. KLETENIK, D.,Problemas de Geometra Analtica, Mxico, MIR, 1979. LEHMAN, Millianne, Lecciones de Clculo I, Fondo Educativo Interamericano, Mxico, 1986. LEITHOLD, Louis, Clculo con Geometra Analtica, 7 edicin, Ed. Harla, Mxico, 2004. PURCELL, E., VARVEG, D., Clculo Diferencial e Integral, 6edicin, Mxico, Prentice Hall Iberoamericana, 1992. Bibliografa Complementaria ARTINO, R., GAGLIONE, A. y SHELL, N., The Contest Problem Book IV Annual High School Mathematics Examinations,The Mathematical Association of America, Washintong, D. C., U.S.A, 1983. BERZSENYI, G. y MAURER, S., The Contest Problem Book V Anual High School Mathematics Examinations,The Mathematical Association of America, Washintong, D. C., U.S.A, 1997. SCHNEIDER, J. The Contest Problem Book VI Anual High School Mathematics Examinations, The Mathematical Associat ion of America, Washintong, D. C., U.S.A, 2000. REITER, H.The Contest Problem Book VII Anual High School Mathematics Examinations, The Mathematical Association of America, Washintong, D. C., U.S.A, 2006. ENGEL, A., Problem Solving Strategies, Springer Verlag, U.S.A., 1996. BOSH, C., GUERRA, M., HERNNDEZ, C., DE OTEYZA, E., Clculo Diferencial e Integral, 14 edicin, Publicaciones Cultural, Mxi co, 1999. FUENLABRADA, S., Clculo diferencial, 2a edicin, Mc-Graw Hill, Mxico, 1995. HOLLIDAY, BERCHIE et al., Geometra Analtica con Trigonometra, Mc-Graw Hill, Mxico, 2002. Geometra Analtica y Funciones 29 RUIZ, B., Geometra Analtica, Publicaciones Cultural, Mxico, 2002. 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