Y DE LA SADUD / TTtrC[SO]t@@fA

ALGOR,ITMOmnaü áüfleeso

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solueflonarflo

trilS@NAS Dtr DA N$ATURA&trZA¡

EEBACHILTERATO

17> I NIEqEA!ES_!XAEfl N I DAS

EJERCICIOS

ca¡"ut., i-4-r(x - rF

r¡po poi,enciar. Basta pasa, a expon6nte nesai¡vo er radica*",/¡l¡ = J C _ ,r "0, =

t-L¡¡cura. Jx\ 1 + ¡ ,d¡

r ipo rarz cuadrada o porsnci"r , I , r , f -= a" =1/zx (1 +f) tdx =l tr n r¡ : * 6

cur"'r", f -{ 0,r vr + ¡¿

r¡po nrz cuad€da o porenc" /r¡ i ; . , _.]_: la¡ = svi-?i + c

cur*r". J !3 o,

ripo potE"crar, i+ dx =

/ c, .r ¿, = ¿t r" * c

carcura, J

I cx

r ipo por.nciár: /Ydr =.11., r* = ] * , _

"

c"r*r'. j -l- c,

r¡po por6nciar de 6xpon6nr6 ""r"r"", J + d" =

/ L , , . I o" = I r " "

* "

"ur"r". i \i-, tei,"I co. : t

t'oo_Ly:1* *o **rada s6 esc,ib€ con qpon€nto nacc@¡ario:

lv**q * = j 1,' + 2 rst)r 2 sec¡x dx - I o + 2 rs r: + c

1

325

17.4.

17.9.

c.rcuhr f- Ldx

rjeo ros*r'mico:/ry-+; = 1/ --9= o, : 1 r **o *c

c"*". /n-i , *

rinoros",rr'i"o, / ¡+0, - iJ ¡?¡* = i. o, _ "

_ "

tzro. carcura, j-f or

tpo "n"," ." , "o, / ¡ . r "L - /* . i * = ur, .

"

tt.tt. c.ro,r". /-i_ c"

/ . ;*=/ , , I ; , " - iH*-¡_L,x_,)rc

12.12. c.r*r.,/ffi c"

/? - i*

- Í* i r ." . / -h* - L(t ' + 1) + s aÍorsx + c

tt.ta. C.'.r,"r/ffi*

Jl ; i* - l ¡1¡*. i .h* =luo. " * t" .s j * c

tz.rr. cur".r., j

-fo

a,,

J,í¡* = i - t-a, '*

= ú/f** = á.árcrs2¡ + c

17.15. catcurar J 3a. ' dr

Tipo expononcial

J 3- ' i dr = BJ3,dx = i ic "o,_l j r .c

carcuta,l -l!

dx

ix t 1I -1I e. d. - J " e ' d' - 2 I

2^ e ' d\ . 2 e : c

como ra derivada de rs x €s sec x - -i- s r¡sne, J "., *c, o" = e", * c

"r I se", .os""o, =l"os' , * c

" I # i*= J *"" -" . ,ü= J-" ." .c

",** Iv*T po logariimico Basia oxpr€sar ta tangonto 6n lunción d6t s€no y 6t cos€no:

lY*=,JH* f t . "=-, , . coe1,& +c

r ¡po etpon.nciar 1," "* = - i 'J6 ' , ( 2x)dx= l6 ' ,+c

"a*r". /].; a-

r ipoe"p-enciar,J le;a"= -J; ( ] )0" :

" r - c

c",.u'u, I u' "o.1',

* "¡

o'

r po seno, J s" coe1," + s¡ a" = iJ"-<* + s) dx - : sénlx. + 3) + c

cr*,u. I --lr------:r Vx co." Vx

"" ""n*", 1ü*;.,E - " J "*.r,r .rft o, = , 'o v; * "327

17.24. catcutar J lsi x dx

17.25. cafcuf.r I t .,

iz.a6. cltcut.r i 3 ,"I4 + 9f -^

rico u,* r"ne""t",/r-!", * = /o _fu*=l*ong_"

17,2A,

17.29.

lp"" " '"e."", /¡ i¡d, =;/ , f¡ ,d" _ J".nf *"

"n*,.' /¡{; *

r¡p" """ r."n*r., /-¡-- o" - ji ffi*= j',,er _ c

c"r*r.. /-t'i,a,

r inoarcotansob:J € ' d,- l i -#d:d"=:"_gf; *c

'z.oo. c"rour../f,;frfo,

i { o '+9,-- i g o¡r r- 0" ,-ro * -J , ;=^. o. - J1=l':_9l=-lo, -_x-arcrg{x_3)+c

328

- - -< ' -

l* - l -- -: _-r I r+(x_f

PROBLEMAS

';.31. L¡ función y = 4x - 6 tlon. ¡ntlnha8 pr¡m¡t¡vas. ¿Cuát de €3tá¡ toma.l v¡tor 4 parax = t?

La integral indelinida do llx) = 4x 6 es F(x) - 2f - 6x + CF(1) =4 9 2 6+C=4

Resolv¡endor C = I

Por tanto, la pnmi va pedida es: F(, = a? 6x + I

__l'32. Hallar una prlml!¡va ds lá lunc¡ón f(x) = J qu€ !e anuté p€ra x = 5

P m¡t¡va de (x) = 1, q') = I * "

seanulaenx=s:1+c=o

Se €relv6: C=l

P miiiva ds la tunción t(x): F(x)

'_J3. Un. tunclón F(x) tom!.n x = l . lvalor2 y¡ . .áb.qu!.u d.dv¡d. .s t (x) = 12¡, + 6. Cátcutár tá runc¡óñ.

Sea F(x) la funclón pimiriva d€ f(x).

Las pdmiiivaa d€ l(x) €on: F(x) = 4ti + 6x + Cco¡dición que v€rílca lá lunción F(x): F(1) - 2

Ecuaciónr 4 +6+C =2

Valor ds Cr C = I

Funclón F(x)r F(x) = 4r! + 6t - 8

-J4. D. ma tuñclón ..b.mo. ..ro. d!to.: y = I, y'(0) = 0, y(o) = s. ¿s. po.d. cátcutár t. tunctón y? F.:onarla r..pu..ta.

o€ y" = L inrogrando, E6 ti6n€: y' - 8x + CPu€8io qus y (0) = 0, t€sl l ta qu6 o = 8 0 + c,d€dondec =o

La lunción d6ivada 6s y' - 8rDé y' - 8x, i¡tog.ando d6 nu€vo, se obtiénéi y = 4f + CPLr€3to qu6 y(0) = 5, Bsllta qu€ 5 = 4 0 + C, de do¡d6 C = 5La luñción p€dida 6: y = 4x" + 5

-35. cálcurar uná prhlltlva dc la tuñc¡ón l(x) = 3-'qu....nut. cuando x = o.

f1l eo.al indsl in idá i3 d¡- e -C

Cálculo d€ lá corclare C: F(or--L3eo'C- L3

C-o

n6solvi€ndo la *uación. s€ t€n6. C = :

-1 1

329

t7.36. Obt n.r ta prtrifitva d. h tu¡ctón r(x) = ..n ¿ cuy. graÍé, p... por .t ortg.n.L¡ ¡nt€g¡át indgfin¡da d€ t(r) = s€n x €s F(x) = cos x + Csi pals por 6t odg€n F(o) = o, to qu6 imprc€ _cos o + c _ oR€€otvt6ndorC = mso - 1Por tanto, ta ptñnivá psdida €s: F(x) _ -ccx + r

17.t7. C.tcut.r ta prtñtüv. d. t. tü¡ctóñ f(4 E rg¡r

rrt€snr indeñn¡da: F(x) - l(r . *,¡1 -F(tr) =0|ñpl¡ca-Lr+C=O

l¡ pdñirlva €3r F(x) = tg )( - L xl _ ! co¡xl + Lr

17.98. O.t ñtnlr (x) ..bt.ndo qu. r,,{x) = 24r, r(o) -

o, f,(o) E r y r(o} = 2.- Si f,fx) - Zo(, enioñc€s ta Int€Eal ¡ndofintda.!: t (x) = 1z(: + C

r,(0) - 2 + c = 2. por lanro: f (4 _ rzx, + z- Sl l'0() = 12x¿ + 2, aitonc.. tá in¡ograt lnd€ n¡da €6r,,(x) = 4x, + 2x + Cl ' (o) -1+ c - L por ra.xor f , (x) -4x¡+2x+l- S¡1,(x) - 4J(" + a( + 1, enronc6! ta lnr€gra/ ¡ndefinlda 6!: (x) = t' + x, + x + Cr(0)-0 ) C - o. por rarto: t(r) - x1 + )(¿ + x

Izee. Eñcomr.run.tu¡ctó¡r" t | tqu.bd.rtv. . t . . rund.| . . f (r)-_a..n(2r)yv.rnqu.(ot=t,r( i )

-o.- S¡ f(x) - _2 len a(, .ntonc€s ta lnt€E€t ¡ndsfnida €s: f(x) _ coá 2l + C-

;J':',= l'; : :' *"nc€' ra intás€/ ind€nnrda €!: r(x) =

; a€n2x + cr + D

_h\, lá/ -o > o=c;+j

Re¡olv¡cnoor c = -3

For tanb:(x) - is€na( _:x + 1

lz4o. H.ttar t(x) .t ..b.mor qü. r(O) _ t, ,,(O) _ 2, r(, r ¡x.

- s¡ 16) * 3\, 6nronc$ ¿u tnresrát ind6tin¡da d: l{, = I x, + Cf(0)=2 g c-2

eo,ano:16¡=!*+a

- si r{x) : ; t' + 2, enlonc€B ¡a int€sÉr ind€rnida eá,,14 =

I x * r,, * c(o)-1> c=1porra¡ro:ro=;t '+a(+r

*r- l

I * tn l*- 'n,- t t "

+ t x qu. p!.. por .r p|¡n¡o A(,, 0).

330

s6a l(x) = a3 + br + cx + d

Función dorivadar f'(x) - 3a'¡ + 2bx + c

Sil'(1) = 0, enloncos 0 = 3a + 2b + c

sir( 1) = 0, enronces 0 = 3a 2b + cqsolviendo: b = 0. c - 3a

Función (x) = a' 3ar + d

'- a2. La p.ndt.nr. de una curvá vi€ñe dada por tá fuoción t(x) = 4x + s_a) Hallár la tunción do ra cuM 3ab¡endo quc pa.a po. er punro de coordcñadE. p{3. o)b) D.rcm¡nar la. coo.d.nad6s det punto A(xj y) 5¡ x = r.

'7.41. Détor¡r¡nar toda3 ra3 tunc¡one. r(x) que véÍriqu€n:

a) f(x) 4 un polinom¡o de t.rcer shdo.b) r(-1) = r(1) = 0

'_ ¡3. La p!¡ábola l(x) = x, - 5r + 6 ü.n. una r.ci. tE.g.nt. cuyo ánguto torma .oñ.t !j. d. ab!ct!¡! 45.. carcutárra. coord.náda. d.¡ punro d. lang..cta.

La función d6¡ivada dé ta parábo a da tas p€ndi€nies <l€ lodas as lañg6nt$ sn cada uno d€ sus puntos.

Función doivadar 1(x) = 2x - 5

Si €l ángllo 6s 45, su p€ndiente €6 l.

Ecuación d6 las p6ndientes 2x 5 = 1

Solución: x = 3

ordenada d6t punto d6 lans6nciá: t(3) = o

Punlo d6 tang€nc¡a: P(3, 0)

'_aa. Lá parátDla l(¡) = x. - ror + 24 t¡cn. llra r.cia tañg.nt. quc.! para¡€tó at c,. de ab6c¡.ac. Catcutar tascoord.nad$ d.l punio de rang.ñc¡a,

Func¡ón p.imillva F(x) de l(x): F(x) = 2x, + 3x + CEcuación .esullanro de pasar por P(3, O)i O = I + 9 + CSolución de la *uación: C = i7Fun.ión que dd6.mina la curua F(x) = x. + 3x 17

coordsnadas dol puñio O(x, y): F(1) = 13Por ianlo. €l Punio es o(1, 13)

Lá función de¡ivada de las parábola da tas pendiéntés de todas laslangonies en cada uno de sus puntos.

Func¡ón de vada: l (x) = 2x - 10

S¡ el ángulo es 0, por s€l parateta al €j€ OX, su pendients es O.

Ecuación de la pendienle: 2x - 10 = O

Ordenada del punto de langencia:l(s) = 1

Punro dé tangencia: P(5, 1)

331

17.45. Lr v.¡ocld.d d. un nóv .n un ñovtmbnro r.cÍlir.o vt.n. dáda por v(r)= a+ La) Hartor ta tu¡ctón dbrlncta. ¿E¡ úntca?b) Harrar ¡. tuncrón d¡¡t.nct¡ ..br.¡do qu. cn ¡n.i¡nt. t = o .r móür ¡. .ncu.nrr¡ a 2 m.'o¡ .r.r orrg.i!c) ¿A qué dt¡llnctá d.t ofg.n .. .ncu.nra .t móv at cábo d. lo..sundo.?

a) Pdmiliva de la lunc¡ón v(t): 6(r) = f + r + CL¡ lunción dbtanc¡a no qu€da d€¡ermiñada, ya qu€ ta constante C puóde lomaf cuatqLj€r núm6ro.

b) Función dlstancia: 6{0) = C = 2La tutrdón dbt¿ncja é3: €(t) - f+t+2

c) Dbrancla ar cabo d6 10s: 6(r) = 1oo+ 10+2 = 112 m

CUESTIONES

17.40. 8ldor tunctoñ.. F(D y c(r.on prtmlÍv.. d. t.,ñttma tunctón f(x), fr:on., qua r.t.ctón h.y.nrr. F(¡)Clxl.

Si do8 tunclones 3on pdmitváB d€ una ml6ña tunctón €n un ¡nt€rvato¡ €á dt€roncian €n una cortstanto,Por €j6rnplor F(x) = x., G(x) - x. -e, H(xi - f + 9, ...son plmltivas do la ñ¡sma tunción: t(x) = s(x) = h(x) - 2<

17.47, 4...b. qua pu.d. ha!.r do¡ tunctonaa con t. mtftr¡ d.tv¡d.. ¿puad. h.b.r do. tundon.. aon |a

S€an do€ tunoion€a f(x) y h(x) que ü€neñ ta mbña pimi va, €s d€ct: I ft) _ g(x) y J h(xt = s(x)

D€¡lvando arnbáa €xp€3lon€3i g,(x) = t(x) y s,(x) - h(x). Lu€gorr(4 - h(x) = s,(x)No pu6d6 habü dos lunclon€s dis nraE con tá mi6ma p.tm¡tiva.

17./t6. l. tunclóñ d. un. r.cra.¡ ltx) = 3x + 6,.) ¿Cuónto v.t. t! plndl.lrt d. ta rct.?b) ¿Cómo .. clr.ct.rtan t.. r.ct.. qu..on paf.t.t.r. r.cr¡ t(x) = 3x + €?c) ¿Cu¿l .. t..cu.ctón !.ñórtc¡ d. ¡r.. r.cti. Da|.t.t..?

a) La lunción ddiwda €3: t'(x) - oPor üanto, ta p€ñd¡€n¡s €€ m = 3

b) La¡ rccia3 parutolas tignsn ta misma p€ndi€ntor f(x) : 3c) LaB r6cta_e paÉl€ta3 a f(x) ü€n€n como €cuaciónr p{x) = 3x + k

t7 49 8r .ror tuncron.. drt nñt ¡ ü.n.n rdóñüc.. d.dvad!., ¿.n cuónto. punro. r. pu.d.n con¡r |u. gráro..?

No s6 coúañ 6n n¡ngún punto, ya qu€ tás glálicás o curus oe oo€pr¡mtlivs 5on FarEt€tas,Por €,€rñpro: F(x) = x?, c(x) = x? - s, H(x) - t' + s, ...Son tundon63 que tisnén ta misms ddivadar (x) - g(x) = h(x) = a(F(x), G(x), H(x) ¡o lionen ningún pun¡o en común. las 6cuacion€6G(x) = F(x), G(x) - H(x), ... soñ incomparibts.

332

17.s0. si F(x) y G(x) €on pÍmiliva3 d€ i(¡) en t¡ñ inlédato, enloncos ñgce3ar¡amenre:

a) F(x)=2 G(x)

b) F(x)=5+G(x)

c) F(x)=c G(x)

d) F(x)=c+G(r)

Razonar la respúést5 corr€cL.

Dos lLnciones que t¡enen a misma derivada en ún inleruato se diierencian én una conslante.

17.51. S¡ t(x) = ,C, 3e pucdé apllcar la regla de la integral dé una poréncia pa.a todo! t@ vator.s dé aj excepto uno,¿Cuál er? ¿Cuál €, en *re ca3o. la ¡ntcaral?

No puede apl¡ca¡se la regla d6 inlegración de polerc¡as para a = - 1.r Tl

En este @o. se l iene xrdx- -dx-L x +CI lx

17.52. s¡ F(x) + c .s la inlegral iñdérin¡da de l(x) y adcmó¿ F(á) = b. enroncca:

17.53. ¿Ec uñ¿ prlmhlv¡ d. f{x) = I l€ lünc¡ó. F(x) = Lr? Fázonar ta coñt..racbn.

a) La con.ranl. d6lñle9r6c¡ón e6 deñpre b,

b) Un. pr¡m¡llva do t(x) pasa por el punto (a,b).

c) No pucd. ocúr¡r qü6 r(o) = r(b).

d) s¡ .mprcc=l(b).

R.zon¡r lr rcap0..la corccla.

La resplesta corecta es la b

En eloctó. F(x) es u¡a prim[iva d€ l(x) y F(a) - b signfica qle ta cutua d6 ta tu¡ción pasa por 6t pu¡lo (á b)

La r€spuosla €s negatva

La lunción logaritmo 8lá d6Íñrda ünicam€nle pa¡a valores positNos de x; sin embargo, t(x) to eslá paa lodo vatorde x dislinlo de 0

La rospúosia corécia es F(x) - L x

'7.54, Una primil¡va d6 uño luóc¡óñ .á F{x) = x", ¿Oué ranslormac¡ón 96ométÍ.a hay qué ápllcar par6 obteñer ioda.la6 curva¡ de la. 6.lanl.. prim¡tivá.? ¿Cuál e6 en ..te caso la Inté9r6t ¡ndetinida?

Lás primilrvs de la iunc¡ón dada son de lá loma G(x) = xr + C, C u. .úñe@ real

Las gráficd de eslas lu¡cionés son parábolas, qúe sé obtrenen a panir de F({ = t! por l¡astac¡ón det vecrorit - (0 C), es decir, rr6ladando hacia arba (C posiliva) o hacia abato (C negariva) tá cútoa d6 F(x) = x!

La inlegra indelnida és G(x) = xr + C

'_ 55. Dada una func¡ón scrila oñ lorña de lracción, ¿cuál $ la prlñ€rr comprcbac¡ón qu¿ éoñv¡.ñ6 h.cer 6ñresde ¡nteg¡ár? ¿cuál 4 en $ré ca3o la inr69r6l? Pone. un ejemplo qu3 6c¡.fe ta re.pué5ra,

La piñ6ra comp.obac¡ón que hay qLe reali2a¡ 6s v€r si e numerador es la d6 vadá det denom¡nador En este caso,la lun.ión és de lipo logarlfio ñepenano.

Po, elempro. ;

-di

= L(3. 1 j + r)

333

17.56, La Int gral d. un prodscto .t tunclon.. ño 6, .ñ g.n.rat, .t producto d. ta. ht grat.r d. dtcha. fu¿E. c¡.rio?

La fsspuela €6 af maiiva,

IPor 6joñelo.

] r{: señ ¡r d, - {2 -rr cos , ' á sen ¡

J id¡=; l$n,dr- c@¡

(2 -x), co€ x + 2x . sen x €€ draünro de 5

. (-cos x)

17.5t. L! tünclón (x) -

4r - 6 tl.ñ. tñrt¡¡l!. prim[tv... ¿Cuát d. .!r.. roma .t vátor 4 p.ru )( = 1?

L¿ iñrsgral Indsllnida d€ (x) - 4x - 6 €3 F(x) = 2 x: - 6x + C.F(1) - 4 implica2 - 6 + C - 4. R€€olvl€ñdo: C * I!á P mitiva pedida €l F(x) = ¿r? - 6x + 8

17.54. O. 1.. prlmltlv¡. po.l¡rt.. d. r(x) = " +.=, ¿hly.tguna q!. pa.. por.t punto p d. coord.nad!. (0,v(r + r¡

La intssml lnder¡nlda de lE) €s: F(x) = \G=l + cEcuaoón: F(0) - 1

Por tañlo, I + C - 1.

Solucióni C - 1

ruego, rtxl - \.G-;1.

334

18 METODOS DE INTEGRACIó¡r

EJERCICIOS

!4dEr l t + ¡ jdx

D,v,drendo tpropiodad o,st'i¡,¡*u, I -!' 0, r

' - 2,- ] t . . " ' ' r ,o i t " , " ,n \2 iLt2

r t c

- . f4+s t6.edcud J 1+16'

dx

Dvidiendo (propiedad distribulNa):

t4 5 16 ¿ 5 4I ' - 16: " ' l ' r ' ,¿- t r - -

rd ' - ár is4 2i-r1 - a1 c

c"r""¡u, l I'* 1¿,

S€ d€scomponé €n dos funcon6s polénciatos:

, r -2t , . , \ . -2, . t 1 ,

, , .D'"- . - i - r - . ,1¡ , , . 'o ' . i , (

urrcurár I -

dtI V9_f

I {+3 | 2t' t -n:- io ' , r i r - o t , .n,o ' t i ' ¡*o* j c

66¡¿s¡¡¡ | - l1L6,

s€ dscompone el int6grando en dos pad6 utiuzañdo et procedimténlo de r€star y sum4 a¡ num6.aoor I y apfcando a cont¡nuación ta pfopiedad d¡stibltiva

,12?I,x.- l r o '_1, , . , , o.- ,

rd ' J, , , ¡ ,o.- , . t , . i "

Halla¡ todas tá. tunctoné. cuya derivad' .6 r(r) = '";1 ; i

tás lunc¡ones vienen dadas por ta siguiente nlegrat indef¡nida:l r ,+\ 2 r 2 ,

- , r . '

] , - - - r ld\-r 2arcrg ' - c

' ¡ l6.

18.7,

18.8.

1¡.9.

1a.to,

18.',t4,

c",",,", jÉ*+;d"

lx¡-6¡+9 1, Il " -0, loo'-J ' , ,u 3)- ld{- \ -a,crgr,-3, c

Mótodo de i¡r€sÉción po, p"n*, I , *, o, =

| " +, I / ""

," - ; , ."" _ * """

.,. "

1,, ,* : f " - l f io,=fL, f .c

= -,' ". * '/ ",, " , ¿,, = . "

, * ,1-,, ".' * J " , oa -

- j ". e. - J " "" a, = I ". "" _ (i, "" _ ; f "". d") = j r "" _ l, *, . I "" . c

i l ^""" , -

x¿e'-2x€-, 2e.+C

16.1r, c l tcu| l r l t . .& dr

t". tr. cr '"ur", /". '*

. ] """ * - , . " -" / """¡dx = re! 3(x: e¡ ,J,"o"r ="," , , "" , " , -

q," -J"d") == x3d - 3x? €¡ + 6x e" - 6e, - d (x3 - ox, + 6Y - 6) + C

,".t.. c''.rru, f'". " *

J , ' " " 0 ' - -1" ' " "

carcurar J arcis (á¡) dx

- lo" " 1." ' "

336

Mélodo de inüesdión por pa're€, ] "nas i*¡

.r : ".ts 1.¡ - - iafl- o, - ,

".e r.) * r¡ * ;*.r _

-t15. c€tcutar .]

x ¿rcrg x dx

I * -"ts" o" - f *as, - j1* ü = f "'"t,, ll (, i;) * = f ",as" n I **e" r * c

. ,u. "u," ,u. J,""o""0"

rt17 carcu¡ú fr, scn x dx

i tr cosx dx = x. senx z I " *"

" o, =

", *", _ zr_" *", * i ".",

*1 =,, senx + a cosx 2 wr + c

*.*"" n z / , - " ,a, _- , .*"" *

fcosx+2xs€nx+2cosx+C

. ¡ "* , /*n" o¡ =

-c -¡.'! carc¡¡rár i ., ¡.n ¡ d¡

Int6grando por pad6s d@ vec€s apa.6c€ nuevamenle ra ¡nt6grat dadal

,e.sen, d¡ .asen, - le ' osra. ._ e s€n\ te.cos{ _ Je.* .^o^¡

o€sp€tando ra int.s€t dada, * t.n., j ",*n,

a, = 1", 1""n, - "o"

*¡ * c

' t ' t cárcubr J. ,co.xd¡

rñl€grando por pan€s dos v€c€s aparéco nuovam€n¡e |a ¡nl6grat dada:

I € . cos ! dx = e . $n x _ I "

. """

, . , = "

. """ "

+ r €.cos, / . .*" ,* ,

Despejando ra ¡nt€srar dada, * ,.*, ] "

, _", a, = ] ",6*,

_"a * c

t¡. carcu¡ar i- L,-lx¡+2x+3-^

ff;;;;:;F::#+: G'*-337

ra.21. Carcurar I -r1*l ¡ '+x+l

Es¡a iniegnl es del l¡po nop€riano-árcolanqent€, una v€z q!6 se ha hecho la división snloE

' r l , I f I 2

J", , ,o, . l t ¡ . r_,_+x_ 1ld¡ -2 ¡_zt¿"-r¡ ,sd*-

, ' 2 2¡-1 -

1a.22. carcur¡r J-_dx

El iñt6sÉñdo 66 d€scompon, asr +:l * x' + x +

P",t""r", l t i ' ld, * f * i*. - * u " - '

18.2e. c.lc!l!r 'l * -

", * ra *

2'r1 __ A _ B _A(r-2) -B(¡-1)Deacompo3¡dón €n racloros srmer€€ ñ- 1) (x_2) - r_ 1-;- t t - - rx_ 1)r(_2r

lgualando: 2r + 1 = A(x - 2) + B(x - l)

- Parax = 1, 3 = -A, ds donds A - -3

- Pa'ax=2, 5 = B,d€dond€B = 5

l ¡ : - ,o- . - ;0"=1t-- : - , ' - - lo '*-3ros ¡ 1 5ro€ ¡-2 -c

c.'.'b. J-+#i

1*l*r

14,24.

Dividi6ndo * obtisne como pari€ €nleta x + 1,

Do€composición en laclores simplB d6 lá pade fa€cionaria:

a-3 A +

A _(x 1)(x-2) x 1 x 2

A() 2) + B(r - 1)(x-1)(x-2)

lgualando: 2x 3 : A(x 2) + B(x - 1)

PaEx = 1, 1 = -4, de donde A = 1

- Para x = 2, r : B.d€dondeB = 1

. , 2t-3 , \ ' , t l | 1 t 'l l ' . t -c-1)(" . z, ld '= r ' ^ 'J l ; ,*" 2)dN-;

I r losr-1- losL¡-2 - l

33S

lescomposición en factorgs simpes d6 a pa'te f¡accionaria:

x+2 A B A(x 1) +Bxxg r) x x_1 x(r 1)

guarando:x+ 2=A(x 1) +Bx

Párax=1, 3:B

Parax=0, 2= A,dedondeA= 2

-asJcion./ : . d. , - - - : . ld. 2tog ,3tog ¿ rx( \ r )^r

r )

+c

Er ntogrando se descor¡pono asi

po, rnnro, l_ L¡^_(Y_ v)(r-r)

1111(x ' x)(x 1) (x-x) . x-1 x

1-; : - t+Lx I +L¡ +c

cdr4|.¡ I

Hac¡€ndo la dlvisión 3€ obt¡eñ€ como párte 6nl€.a x - 2.

D6composición 6n láclor66 simpt6 d6 tá part6 lláccDnáaa:

rguarandor 7x +2-a(r 2)(x+ 1) + Bx(x + 1) + cx(x -2)

Parar=0, 2- -2A dedondeA= 1

Pa€x = 2, 16 = 68, d€ donde B = I3

s=oc.a"oono"c= |

\ '2

7\ 2 A I C Ar, ?r(¡ + 1) + Bx(x + 1) + cx(x 2)¡o 2)(¡+ r) I I 2 ¡+1 r (x-2)(xr 1)

a5

¡ )*=f - . J( i . , , - *)*==! z"*r"s

" - ! r"e, z +qros x+1 +c

339

14,28.

14.2t,

r8.30.

c.¡"ur", i , 31+1 a"l r -x ' -x+1

Doscomposición de ¡a parle lraccionaria en laclorcs 6imples:

lsualando 3x+l =A(x 1) (x + 1) + B(x + 1) + c(x 1F

Parax = 1, 4 = 28, d6 dond6 B = 2

Para ' - - r , -? = 4C, d€ doñde C =

-

- Parax=O r= A + B + C, d6 dondó A = l2

3¡ 1 A B C A(¡- 1) (x+1) +B(x+1)+c(x l )?(x 1)"(x+ 1) x-1 (x- 1) : x+1 ( ¡ - r ) ' (x+1)

11I 3x+ll t ' - r r0+ ^d"_ l l - - : - . _,- :_ - : ld¡=:ros "I ) r \ , -1 (¡-1r r+1) 2 -

r - ; f j r "s '+ 1

I* . . , * = JÉ.: -"")o" = i . l *"a,. c

"u,ou,", J ..n, ,. o,

1*"" ,d"=JÉ l*"a,)a,=| l *"2, .c

1a3i c.t.ut., i -." ' **

" o'

Méiodo d€ iranslormacion$ g@mérica

I *" - "*., * - J *" " *", " "*,, * = J *" " r', """, "r """", o" = j -* *",.. j *"."0":1coe""

l "*" ,

18.32. calcula¡ I *" " "oto'r

Utl -

l "* , - ' " " - - f "o" ' " " i " ' " '0. f 1!9! l - "o".1¿,

. -L ""n^ c

340

¡-¡ carcu¡ar /-

L: dx

Se hace et canbio d€ variabte: x _ t2, dx = 2t dtSusriluyendo, se ienej

l .i \ , " . 1, . , l '¿ z, . r , l , *

T r zr 2Lr- iDeshaciendo et cambio, resuha:

j -1""-3\ , / .

'_ \ , { - ' ¿-

\ ?V/ 2!1 \ r -L

"n*'". /Vi=0,

se hace e¡ camb¡o d€ var¡ablei I + 2x = f, 2ó( _ 3| dlSustituy6ndo, se ti6n€:

I r ' rdr-r , : "€r \ r -=-o¡ - l# a¿r= ! l " - - "4l Z- 8, , ¿f - üdt

0eshac¡6¡do et cámbio, r63ula:

/ -:-!- o" = \r;l-: /3\- et 27 ,\ ' -2 l ' -^G so'¡ , ¡ ' C

cárcurar I -= 1...: dlvr +Vx

s6 hace €l cambio de var¡abJ€: x _ f, dx = €tj dt.Sust¡¡ry€ndo, .€ ti€n€l

i -=_d¡= i_:d, I6r I\^ .v( / c . r - - I ¡ - l dr . I I6f 61 6

*)ot=". 3r ,+u,-6Lir+1iDoshaci€ndo 6l cambio, r€sLrtrai

i ¡ ]6*=. t t - 3tr+ 6t ' , 6L 1+t ' r i +c

c.rcr¡ra, / \4_ ,c- dx

Se ha@ d cambio de vanáble x = 2 sen t. po¡ tanto, dr _ 2 cos i dt.\ f wd¡ 4lcos. tdt 21, , ""*r ,o, . ? l _sena _21 _2s€ntcosl

- - , ;_--=¿a¡cs¿n:+". . r_. +c

8\3

u1

't8.37. c€rcu|6l '/(x

+ 2) ro + x) dx

Ss utilizan los método¿ d€ ¡nt€gración po¡ pad€s y do€compos¡ción en fEcdonos €¡mpt€sl

J r" *,r rr, * "r o, = !1:I r r * " -.f !-131 6" - LP r ., ., - j(i . i. #;) * ==,, i , , " r - , ' . " - ( i . f . , ]L r _,) _c

PROBLEMAS

la3E. Comprobrr, lpttc.ñCo ta d.tntctóñ d. prtmlüv!, qu. F(x) - t'(x + 5) .r un. prtñtlm d. t(x) = 9,f + r¿a&f.. .nconrr.r otr. prtmt v. d. n

t¡ tunclón F(x) - x¡(x + s) - x! + 5f 63 una pfmiriva d€ f(x), ya qu€ F,(x) = ox, + 1ox _ hx,Cual_qulélotÉlunciónd6¡afof tñac(x)=x1x+5)+C=xs+sx,+C,Cunacon¡tanr€6sunápnmrNa(bluñcjón l(x), ya qu6 c,(x) - 3x. + 1ox

11.30. tl.rt.r t. tunctón prtmtÍv. d. f(r) - 9x, - f qu. p¡.. po..t punto p(i, r),

rn,.s,"i ino.nnra",.fs,," - ""0* = r - | * c

Pala por 6l pu oP(1, 1): E(1) = 1

Sus{ruyendo: 1 = r - I + c. On r"nao, C - J

Funclóñ pÍmlflva: F(x) x¡ - f + 1

1¡.40. D. una tuñ.¡ón .. ..b!n ..io. drto.r f(x) = 7, l,(t) G t, f(O)a.l, h.tt.rta.

= o. ¿S. pu.d. calc¡¡¡.l ta tunctón (a? S¡ -

O6nvada legundár r(x) = 7

Int6gEndo: l(x) - 7x + C

Por hipóts3is:l'(1) = I

Susi i tuyóndo: 1:7.1+C

R€solvi6ndo: C = -6

D€iv€da primsÉ: r(x) = 7x - 6

ht6glando: l(r) - 7x" - 6x + K

Por hiñtó€is: r(o) = O

Sust i luy€ndo: 0 = 7. O - 6. O + K

Funcióñ p€djda l(x) - 7x. - 6x

342

'r.r1. Obieñer ta tamit¡á dé curvas én tas.il;-#" il; ;.T:ñ":il1i,ir f ":::'il."""":,tr Ji,:TT:*:.".i,:i?"[:T tr, "ji"llffj;: Íi:il:lÍ,jj[Xñj1" 'unc'|ones

F(x) cuva derivada es rE), s decn h! pimir¡vas de r(r) se uiriza er mérodo

Fc) = 1," ."d" =; ," . l f " "a"_1,"" 1". .csi pasa por et punro A(0, 2), se tieno Flo) = 2. luego Ftol =

I * "

= ,

Rosotviendo: C = 94

'¡¡2. Encoñrrar una ru¡c¡ón r(x) ra¡ que ta dodvdda.ea,,(t) = ffi ,

-lno. *

".,oi"ro" r{11 = I.

rnres.r ndernida: l l l?ra,_/ ' o, _ l#;r ._ j* .n,or rJ,r , *o.r , "condición, r (;l = r

i = )*xs. , * ) t , - " _ ; .T r c, a"o*a"c = j f ,

Función pimir¡va:r(x) - I u-ts 1r¡ r ol L¡ . *l - i

_ T

j..¡3 c.rcurar ta tunc¡ón r(¡) qu. cumpt. r(o) = r, r(¡) = c, co. ¡.hr€grando po¡ pa¡tés dos v6c€s apá.sc€ nuovam€nG ra nt€g¡at dada:l lle.@sx dx = 6.cGX + je senx ax = * coer + r" .""" , f " ._""0ao6spéjando ta ini6gra¡ dada, só tieDé:

r t " l = J" -" ,

a, = I6"Gosx + en, + c

r =l*6,¡"¿on¿"s=1

Función pimiiiva: r(x) = ] "

t"*_ _ *"o _ ]

[¡¡. Calcut.r ta pr¡ñftva dé tá fu.cjón ,(r) = x €rclg x, qu. pa.6 por.¡ puñro (1, O),Integral iñdefnidal

] ,*"n,0, = f *on, - ; i - f ;d" = ; . " t , " j * *" t0" * cCond¡ción r(1) = o

romando como recorido de r" r,*io" (_ i, l), * ri"*,

lu 'oer 1n.,*er +c-o,dedond€c=1 i** ,= I ?

Func,ón p¡imir¡va: i(x) = : -",, ; . u,",, , .

; T

343

1a.45. L. grúllc! corr.¡pond. á l. tunclón f(t) Pdm.E d.rlv.d. d. un! cbn¡ tuñclón (x)

¡) E3tudl.r.l cr.clml.nio y d.cr.clirl.ñto d. l. tunolón r(x), Inl.rptsLndo l. grátlc! d. r'(t).

b) E.tudlar lá conc.vldad, convüld.d y puntor .L lnll.xrón d. l€ luñclón t(¡), utllElndo .olah.ntt hd. l'(r).

c) Obb¡.r l! .culc¡ón d. l. tunclón .l.dv.da r'(x).

d) Obl.n.r l¡ .xpr..lón d. l. tunclón r(4 qll pl..por .l punro (2, -4) y dlbu,¡í..

a) Ob8€rando la gdlca de f(¡), 36 t€ne:* hl6rvalo d€ décrscimi€nlo d€ f(x): (- 6, -2)

- Intsrvalo d€ or€cimienlo d6l(x): (-2, + ó)

Punlo mfnimo d€ r(x)r x = -2b) Puesto qu6 la dorlvada l'(x) ss or€oi€nt .€gún €6 ve .n la grétioa, 16lunclón l(x) s3 oonvsxa 3n lodo R

Por ranro, no €¡b¡an punt4 d3 ini€xlón.

c) Ecuaoión d6 la roctá que para por (-2, o) y (0. 1): y - ; + 1

Por lántorr0) =; + 1

d) Pdmltlva.del'E)r lE) - i + x + k

Primiliva que pá8a por €l pu o C(2, -4): (2) = 3 + k r -4B€eolvi€ndo: k - -7

La lunoióñ pa€ slá valor €r: l(x) - ; + x - 7

Punüo mfnlmo: V(-2, -8)Ej€ do sim€tlár x = -2Do8 pL¡ñ16 !lmüdoo3: E(0, -n, O\-4, -7)Con €s¡os dátos, la grállca d€ la paÉbola 63 la .lgol€n!6:

18,46. H.ll¡r uñ pollno|nlo ouya d.lv.d. |.. t' + x -C, y lll qu..lv.lor d. ¡|¡ mtulmo ...1r.. v.c.t

hl6gÉl ind6fnlda d6l polinomlor g(x) = x¿ + x 6

ro = Jr" .+ ' uro"=f ;* f -e '*clvá¡imos y mfnimo3: l'(x) - 0 ) f + x - 6 = 0. R8€olviendo: x = -3, x - 2, f(d = a( + 1

- PáÉx: -3, r(-3) < o, lu€so s€ rata dó un már(imo:r(-3) = l + c P,rnto ma"ir", t(-o, J * ct

- PaE\ - 2, fl2) > o, lusgo É€ trala d€ un m íniño: ll2, = C -2:

er"" 'r"i.",

nr(r, c - f;)R6lación dada: t(-3) = 3 r(2) > f; . c =

"(c - 4") neeorui-ao, c =

|

"o,to.'o p"o,o., ro = f; * f; - u, * |

344

¿¡: r¡¿Íar ta ccuác¡on d6 una curva v = r&rt""g."r" "" "r

p""ü ¿11üi"1'-;jgl :"i'*" *. "a5a

por or punro {r. r) y que ¡a pénrr¡cnre de ra r..ra

,n¡esnr inderinidaj r(x) = / ts, _ r¡ o, _ 9{ r x + c condicó¡: f(1) _ 1 9 1

Función pedidaj r(x) = T - "

_;

f,¡a La ve¡ocidad do uñ ñóvi¡ cn ün ñóvim¡cr6) H¡Íor ra runc¡ón dbbn.'". aa" 0",".]

" ü6ne dada por v(l)

- 2r + I

b) llát¡d ta.íurcióñ d¡lranc¡a !áb¡6ndo que en el iñstañte I = o se .ncucntr. a un. disi¿¡c|a der origcn dec) ¿A qué d¡6rancia det ortq.n ¿e encu.nra ct móvit at cabo dé rO 6caondo.?

al lá tundón sdistancra

s ta ¡nteg@te(t) dela vebcidad: e(r) _ f + t + c, siendo c una cons¡an¡e á determina¡po. ranto. ta lunción espacio no os úñicá.b) Por hipótesis eio) _ c = 2

La runc¡ón 6s e( l ) =f+t+2.c) Dis lanciadeto¡gon:e(10) = jO: + 10 + 2 _ t l2m

CUESTIONES

i¡;L".;il1ff:1iÍ"TT;n tu.b (á, b), ¿quá ¡.,ac,ó,,.x¡.r..nr. F y c?Oos p¡imirivas d€ una iunc¡óh se dilór6nciañ 6ñ rJna coñslante.por 6j6mpb. s ti\, 2. 3 ónbncés dos prmtvás pu€d6. se.F(x) = r . + 3x + 1c(x) =! , + 3x + 2Cómo s€ ve, dil€¡óncja oñ ta constante. por ranto hay ¡nfniias pnm¡livas de una func¡ón dada.

ilJÍi'.",1i,1,illi""Tlli"jJffi,*,";Jrt"n."',.,na por.nc¡a para rodo.,o. va,orés d6a.xc.pro uno,ro puede apiicarse ta ¡egra de int€gEción de pole|,cEs pa¡a a = 1.an *re cmo se tiene:

/ x , ox = rr

;iü:",$:ÍTT:f#.'or¡na d6 'raccróñ

ti.ño por nuñcrádor ra d.rivad6 .ér d€ñom¡nador, ¿cuá¡ !érá .!

Sr se verit¡ca ta condición d€i onunciado, se i.ai¿

- dr = L(x¡ + ,, '

oe ha lunc¡ón de fipo iogariho nep€iano, po¡ ej.mpro

3- t* 1 !

2

345

18.52. ¿Ex¡rc algun.lunclóñ r6c¡on.l qo. t nga por pr¡ñl!¡va una l|¡nclón tr¡gonomética? Si lá.e.pu.5ra.s *.mativa, d¡ cuál .s.

Sl, una de ellas es la funcbn l(r) :

La Inlesfal de 6la tunción 6s F(x) = arclg x + c.

18.53. Lo. mov¡mi.nrG roctllin.o. d. la loma e(t) = al + b pued.n caract.rlars. por la condlc¡ón €'(t) = O, ¿Füquó? ¿Oué inteDctac¡ón lí.¡c¿ puod. darae a la scuaclón árt€rior?

Dorivando dos v6c6s €sulla: e'(r) - ñ, e( i ) =0

La derivada segunda dol *pacio con relación al tiempo es la ac€leración.Si la acol€ración €s nula, sé lrala d6 un ñovimisnto lineal ss d€€i, unlon€.

18.54. Una rañrlla d. tunc¡on.. vi.n. c¡r¡ct.rlzad. por la condlclón f(x) = k {k una con.ianr. no nut¡). ¿Oué tu}c¡ooG |on? Dar una Inrcrpr.l.clóñ g.omórrloo d. ..i.! lunclon... Sl k = 9, coni.nt. d. gEvl¡ctón d. .Tl.rá. ¿au. rómul.! .. obll.ñ.?

Pu€8to qu6 f(x) = r, inlogEndo s€ iién€: l (x) = kl + c

Inl€g?ndo d€ nü6vo r€sulla t(4 - : k^: - k - C

So lrala de una lamllia d€ parábolas d6p€ndi6nt€3 d. lo3 parám€trca C y D.Las tÓmula3 anr€riof€s, cuando k = I 93 ra gravitación, exp¿$an lá acolsfacióñ, votoc¡dad y $paoio de un cu-):

son: acsr6rac¡on: o - g verocrdad: v .'- 9t EBpácJo: € = I 9t:

t4.55. U. duñno ttlrma qu. la lunclon.. F(x) = L r y C(x) -

L(ox) .on prlmltlva. d. lá ml.m€ func¡ón. ¿S. pu.ócomDtobár la a{rñ¡clón .h mc..ldad d. rl. vár?

Aplicándo la prop¡€dad d6l loga lmo de un producio s€ ii€ñer G(x) = L 6 + L x

Como F(r) - L x, 16 fun.¡onss F(x) y c(x) s€ dil6r6nciá 6n uná coBtant6 y, por tanlo, t€ndrán ta ñ¡6ma donvao¿

'i8,s6, La. Enifca. ¡lgu¡.nt.. .oñ tuñc¡oñ.¡ .l.rlv.dE. .1. tunc¡on.. qu. pa.an por.t or¡9.ñ. ¿Cuá¡.¡.on?

a) Ecuaoón de lá @la: r'(x) - ;

Pimrt iva: f ( r=f ;+c

Pasa por el o gen: r({ = t'

b) Ecuación de la rccta:r'(x) - -x - 3y?

P' imi l iva: l (x) =- 3x+c

Pe Por el oigen: l(x) - - + 3x

346

19 INTEGRAL DEFINIDA

EJERCICIOS

Hallar !l árcá apro¡iñ¡da dll reclnlo llmhado por la lunclón t(4 = xz.n In!.Nalo [0, 1], d¡vldlcndo elt .n 4p€rt6r. Utlli¿ár .l ñórodo d. lo. iroPlcl@.

Si se divid6 el ¡nteNalo I0 1l e¡ 4 pades la longitud ds la panición 6: h

Abscisd de los puntos en os que se d¡vide el iniorvalo:'1 23

x=0,x=¡.x=¡,r =4 x=r

Aproxi ñac¡ón pot lmpéc¡ os:

a,€a =; l ; (o) + r l ¡ l + r l ; l + r1; l

=1/o * 1* 4 * e * tJ _4j 16 16 16 2'

-22 _

- 0 34375

Valor 6xácro d6l áreá: - = 03333..

1

-á(1)l =

1

Hall¿r.l á6a.p.oxlmadá d.l ru.|ñto llmltádo por 16 tunclón f().) = ..n x .d.l In!.rualo [0, ¡], d¡vldl.ñdo.ll..n 4 p6ric., utllla..l ñ&odo d. lo¡ lrat.c¡o.-

Si se divld€ €l inl€rualo I0 rl en 4 parl6s, la long¡lud d€ la pal¡ción 6si h

Abscisas d€ los punros en los que se divide el interuálo:2n 3r

Aprcx¡ mac¡ón por trapéci os:

r , f io l t2n\ ,3rr t {n); ; ' ' ; - t t ' ; ' - t t ; r - " ; ' l -

n2n3r\;0-sen4-sén4

sen4 0l

= 1 896. . = 1,9 unidadas cuadbdas

/alof exacto del área (iea de la s6mionda): 2 unidad6 cuadÉdd

19,3, Calcular aprox¡madamcnló f

x(1 - x) dx med¡ante un maodo nümérlco b$ado €n la dlvl!¡ón d.l ¡rl.rEÉ

[0, l] én cuátro .ub¡nt€rvalo6 iguales y comprobaro coñ.1 varor exacto oblen¡do apl¡cando elteoreñ¡ cBaÍor. ¿Cuánto valo cl .rror oomltldo?

F¡quta delrcctnto: I \x) - x( l -x)-x-x '

Puntos ds corle con los eles: (0, 0), (o 1)

f(x) = - 2 por lo quo la parábola es cóncava

l'(x) - 1 2x

vénrc€: vl;, i)Araa del rec¡nlo pot inleqtales:

Lhitss de int€gración: x - o, x - 1

lx 'Ar€a(B)- l E-x '3)dx=l ;

Aprct¡nac¡ón par tapec¡os:

1'11 ¡¡ ' ,1¡1¡ - r tSr - r9 l , ' t , ' l - 'o42 \4 41 42 4

_ I 10 1

El €ror com€lido 6E por d6l6clo, yá qu€ los tfapocios son inecfiio!.

:l: 6

16 163 \ 10

Expllc¡r por quó .! I I ¿t = l- z.

Evalu€ñdo d. ñan.ra apro,(lmada ..ia Int.gral con .l mlodo d. lo. lrap.clor, h6llrr s. valo. áprox¡ñado ó17. (L = logadtmo nlP.rlano.)

Área eBcta del t&inlo por ¡nlegÉc¡ór: Umile8 d€ inlegracióni x = 1, t = 7

f l ' (L 4- L 7 r .945..l ' ; " '=Aha aprcx¡ñada del rccinto pd el nétoda de los lrapécios:

Se divide el i¡terualo [1, 7] en 6 paniciones iguale6,

Longitud de la parlición: h = 1.

B6es de los suces¡vos lrapsios:

(1) = i, 14 = ;, 13) = l, rror = ], 'r.r : ] , ' r . r=i , 'o-1

111111111111122334455667

222222

Etor coñetido:2,021 1,945 : 0,076

El eror cometido es por exc6o.

348

420 - 2,021..

rg.s. Comprobar qu6 | 2x - r d¡ =: .

El r€cinto limitado po¡ la función y los liñtes de integración €s et srguiente

Por la s¡meLía det mismo, se liene:

f l . f 5I ,x-1dx: l (1 ¿<)dx +] 12\ l rdx=;

Esle r6ultado se puede @mprobar gemétricamente

n l , ' .

"¡ ] 1"-a.o '

d) ]

xV1 + ¡¡dx

, f#*

f -"".- *l , * o-*l - - - lo,

| *

-" ' *

En lá l¡glra s ha r€pr666rnado lá g.áli6a d6l(x) = x .

Por lá sim€lria d6 la func¡ón (luñc¡ón par), se tién€:

¡. l.

J. ^ o ' =,1 td\=21:)a=2,=e

El integrando sslá lorm¿do por dG fhcionos pot€ncial€s:

l r \a { ' ) dx- l : , : - : =: .=.

El irn6grando es una flncióñ pot€ncia i

l ' I l2-$ ' ' 1 32 31I5)555

t , \ ' ,0,-r ' ' r r ,*a ' ] ! , ' " ' ' 'J" : :. I

i , ¡ - , .* l t ' - ,* | " , , ] 3-3 312

n se rara oe una in l€qratde I 'po porenciat : I ' *" ' *" . o, - | ""1 ' | 'n2t"

', 1'r J'

" i '" i '"r ll'

=13

2\ 2 r 4

349

D

t)

9)

n)

En 6l inl69rando, él num8rador ss la do vada d€l d6nominado., salvo una consldte qué s€ puad6

f ' lBsra muhipr icr y d 'v idtr por 2 €r lad'cando. l

r _ 1. j r -2tLü. - 1) l : - (18 L3r

I @3'€* d\ = t6 ' - 1í - eo - €! - 0

I ¡-* * * = Iárcle rl¡ = ercle 1 =:

El ¡ni€grando €3 una tu¡dón raciona qu€ s€ in¡8gla por pan63.

Fadlorizao¡ón d€l denominadon x' - r - 2 = (r - 2) (x + 1)

O6a.orñposición oñ láclor€s s¡ñpl€3 d€ la pan6 fiaooionüia:

(x-2)(x+1) x-2 x+1 (x-2)(x+1)

lguálandor x = A(x + 1) + B(x - 2)

- P6lax = 2, 2 = 34, d6dond6A = :

- Para x = -1, -l = -38, d€ donde B = :

21| , t l 7 ; \

kr6sÉr ind€ínida: ' l (Fr) ( r _ r)__-*

= l ( i -2 - ; i -1* =; , - x-2 -51r-1

, "* ,n o"n,o", f ¡ -1- , , "*u-L*=3r,-e - lL ' - ,1=lua-tuz=- jLzUna plrñiliva del radicando €3 pu€de hallaf por int glaoión por pan€3:

f r* . r* = tx! !nx + co€ xl l - 36n1 + cosi - 1

Esla Inl6gral 6a la suñá de do8 iÍiag€16a, S€ cálculan primeram€nl€ BUa prlmitiv6e:

u Jro"=f| 1 t l

i i ) J ' :6 -dx- - : r :6 - +: l x6 "dx =

* _ 1x.€ - +? f_ 1x6 * * 1 l " - o, l _ _ 1, ," - _: ," - _ 3 " "a a\ a a]

¡ i i ) Funció¡ pdmniva, F(x) = : -""-*-"-- : "" f

¡!,) Ini€sd dsrnida:l tr€ - - xl dx: F(1) - n" = -; - ? - T -:. ' ;

Esla inl€gral es la suma d€ do8 inl6gml€€. Ss c€lculan pdme€m6¡t6 sus pdmili!€6:

of""*-- i ""r ' r Jr" "0"= ,1o""- , .J, . "*= - ; ' . " - ; ' " " - : . "

iii) Fonción piñitiva: F(x) - - ; ". " " - ; " "

" - : . "

iv) ht.sardenn¡da:f (1 + x,) E:,dx - r¡¡ - r1o¡ = -]". *J

350

_,/ ._d\ . lcos/d. .J. . _s,d.

La p¡imera inlegrat vate oFunción primitiva de la s6gunda:

I rcosx dx=,:senx 2]xsenxdx = x,snx , r_,"* , * l_" ,0, t _=x senx+2xcosx 2sen¡

Intesrar derinrda. 1- r, , ,-r -",

o^ = l" , .. d. 1. . ." . * 2, cos, 2 se1' l _ ¿,ñ) Una p¡im¡riva dot integrando se¡á:

1s"".,c.".,0, = l*", r j - cos¡x).os¡! d¡ = jr"*.,*", _.",.-- _, ̂. .

.1

,n,es¡a,de,nda: I ,"""" ,"" ."" ." =i ; "-" , i ; " . , - j , ; ; '

;*"" ' ; -""

e) Fmc¡ónprimitiva:l;;*;;."= lf""_:#:).,=](;H _ *-"J"_ Lrcosx _L senx

hr.sra'd€rin,od I ;j.* ",

. "...

_. ¡

--,

, '" '

s.a l(¡) una runc¡ó¡ qu. .n cadá puñto x e ta¡ bl .. co¡tnu¿ y (x) o.E¡p¡rcar q!ó .¡en¡flc. ra ¡nt.srct d.rn¡d¡

/ r(4 d¡ y orr.n", r" rnr.e."r

/,,,.,a,_

I

p¡h6rá pad6 6s t€óacÉ La Int6g'or derrnrda s€ carcura uririzando 6t mtodo de intóg¡ac¡ón po¡ pan6s:. ' " o. ¡" 6t : 16 k . 1,1" é. ,b . r s rá r)

calcurar ta ¡¡i.grár r. = / r "o" tn"l a,, aon¿. n

"! un núm.ro ñarur¿t_

Co¡¡prob¡r ct r.óuttádo por d.r¡vac¡ón.

ca*r"' ]" ,,"

-" 1n4 0".

u Inrosracióñ se hac6 po¡ pun"", I,r,r = / ". "o" rn"l a, =

f *" ., J- f'*" ", - ( 3 *" ., - / * *"., *l = f *" r"¡ . # "*Derivando, se Íene: o,"t"1 =

? *" rn¿ * * *" r"¡ * 3 *" t",t Isirnp¡ifcando D r^(r) = x. cos (n¡)

,n,esarder 'da:J . cos,n. ,o. 1, ." ' , , I l :

( ¡ .

- sen (nx) dx =

.2

s€n (n4 -:

cos (n4

351

a = x..n'? x dxt :

C¿lcular a + b y a - b y obrcnor lo! vato.e. d. a y b,

( lnd¡cac¡óñ: carcular pr.üamént ¡+ by.- b.)

¡ l : t rsumando rás nree,a6s:a - o I .0,- l ¡1"-¡

F€siando ras ¡nr€erar.s: b - " -

jj , """

r, ." - l; """., ,

R@rvi.ndo er srstsmar a = o ri

o, o = "';; '

t9.10. calcu¡lr I ..n3x dr. ¿4. pu.d. dü dlr.ctán.ni..t r$u[ado? ¿Cuát ..?

El valor d€ ta int€grát dofinida ss o,

Por 6€r unatunción impáf,log rccinto3 sim&lco3 €€p6cto dd on93n tisn€ñ coño ¡nt6gral oc|r,a

Js¡tlllc.r g.oñatrlcam.ñt qu. .l i, gr (a, b) + B .on tunc¡on.. conl¡nu.. y F-¡ -

r f

cumpr. o < r(x) ., s(¡0, .n"**, f rr'r o' " I or'l o*.

o.mo.trárqu.f ' :d ' -1' ¡V2+x-Í V2

061 6nunciado 3e d6duc6 qu6 h(r) - g(x) - l(x) > o para ¡odo x p€d6n@¡6nte ar i€.* ¿ ¡.

t- o"", f tno - t1"¡ a" = f n¡¡ o" = o

r6niendo €n cu€nia ta int6eEr dé una dt6rsncia, rGuna o*, I nt"f o" ,. I u,, *

para iodo x d6r ¡nreryaro [0, 1r, sé risñ6 que] iE=

= V#

. _

apricando er resu¡ado dt€r¡', ,""t*, i' 4 * .. f' 1* = -:¡V2+x x ' . r " \ /2 \ :

l l j l

19.11, .)

b)

19,12. S¡ñ cálcul6r.l wlor d. la. ht grdle., ¡u.ttttcar ct¡át d€ €ltas t¡.ñ. Gt ñáyof vdt

r=J, .* , . ,* r=f '* . . 'o,

El integEndo de J - | en el ¡nteNato [0, 1l €s;

rsen¡x t rs6n:x=x(1 x)sen"x>o

352

-t 13. Fazoñar q!é réración de ord.n.xi¿re énrr€ /"rr"l o, r/,t,(")io"

":t1fffr.'"inff;:T X'l,J""ifl"lÍJTff:.i"Tn,os eua,s (sin ssno) en e, nlerua,o ra, br ya que 6n a. La InregE¡ d€l¡nida de r(x) co¡nc¡de' L¿ hroqra, derinidd d€ rr\, * ,.,.,1 1"" "'

á'* *' -L¡nlo

qLre dolet¡,na.

[:li I **"*f l$#;lli*,i".Ht:il:: ilT:#"':: ;:"¿:t? r,ffi ¿,r1i1:""1"n#ff ::ipo¡ ianro, d6 aquí 6e sisue r" .n""" i /" ,r_; *

i ..

/" i,r"r i *. ir4 o.molrar q!. pára rodo r .

" "" "..",* i i ;., ,!¡",1..,."puesto que cos rxl . 1, para cualqu¡er r y x, se rie¡e que:

l l ' cosni1 ; i * l= I

- i*

= tr( i + ') i ¡ = 12r9 15. Se lopon. qu. tá tdtégrdt de !ñ.lunctó

¿ec pu.d. á..eu,ár qu. p"," ".... ; ;..:j;: : ;;:"::, -" ",e.",, . / r*r c. . ro

¿s. pu.d. ...sr¡raf qu! por to m6no. .Fá:onar h. r..pr¡..r!r.

¡¡'t' un x € 11' 2l tál qu' 4 i f(r)?

a) ., t€o¡sma dor vaiof m.dio¡der cárclro ¡nl€g¡ar so¡o as€gu.a qu€ €xiÉi€ a¡ m€nos un vartár q!6: 4 .: 1 t¡l o" =

J9 _ ,ro io .-.or c d€r inr€ryaro tr, 2l

Por €j€mplo, lá función f(x) = x. 6i

'"'",,,,""," f ";;;- ifi'='r'i";":l'+'l;:'il::H"::ff:fffj::dd.s eñ 11 16, y s!b) !a r€6pir€sla €3 s, Sé d€mLjéstla po¡ ¡€ducción a¡ ábslrdo,

Supoñgamos qu6 r(x) .i 4 pa.a rodo

r.:T 1r ;i ;fi : " """"",," "i ::.:;:1"; jiffi;:: ;l",:" _;i"; ::","r 9 16 Enun'¡ar v d'ho'r€r

'¡ t'or'ña d'r varó. m..r¡o cr.r cá¡cu¡o rrr.g,"r. D.r.rm¡nar .¡ .. pu.o. ¡pr¡.a, .r r.or.,n¿anr.rror ar cá¡cúro d. I rr,) ¿.

"¡¡noo rr"r = Iá :l ; = SFazoñar ¡a ¡c.püó.iá. I t li t o

varor de ta inr€slar d6ri¡ida; /" +Fl¡=2+1=3

,io": l'.*" *'"*, t"",.ma der varo. m6dio, r¡ene q""

""r0'*. n,""",0" Lll

:::j': :1"-', ": "," ,

"aror 1,5, no €€ váiido er reorema d€r vaio. med¡o.rara que se pueda ap[car 6le boroma h tlnción debé ser coniiDua.

za,*/ ro"=tz¡ : ,

32

19.17. Hállar €l mlo¡ c d.l r.oEm. d.l valor m..llo PaE Int gE¡e. i6ntlo la tunclón f(4 = 9C v €l ¡nt rwlo [-a, - ti

Téorenv da ta nad¡a: Sif es continua €ñ €l inl6ryalo [a, b], exbie un númerc tel 6 perteñeci€nie a dicho inletoa:1J.

ta loue:- | l { { d( = l {c l

Pueslo qu€ la tunción l(x) €s coniinua en [0, 1], el leorema €s aplicabr6.

Valor d6 la inr6sÉl I 3x' d¡ = txl I = -1 + 64 = 63

Pu6slo que la longitud del interyalo [ 4, 1] €3 3, s€ tiene l(c) = 21 d6 donde 3c" - 21

Rsolv i6ñdo:c=-\ , t

La olra soluc¡ón no €€ válida, ya qu6 no p6rténecs al inleNalo dado.

19.16. S..l(x) = co.x .n (-r, r). 6. Pld.i

.) ¿E. apl¡ebl! .l Lorcma d. lo. Inér.h.rtor ilnllo. tl. L¡!run8.?

b) ¿E. apllc¡bl. la tórmula d.l v.lor ñ.dlo d.l élcolo lnt grul?

c) Eñ ca.o aikmatlvo, hlll.r.l v¡lor m.Gll6 qü. ap.r.c!.n .l l.or.Íra y .n la lórmul.

a) Gtátlcae:

La lun€ión l(x) no €á d€ vabls sn €l inl¡rvalo dado, por tsn6t dos Punt@ msuloBos: x = ;,

! - -;

En É€lo¿ dos punlos las dsñadar laleral66 aonr -1 y 1

Por lanto, no pueds aplicaFó ol tóoÉrña d6 LágEn96 en €l intofrálo l-', rl

La lunción l(x) 6s coniinua en €l intoryalo dado.

Por tanto, la lu¡cióñ f(x) 6s int€grabl€ en €se int6ryalo y 66 aplicable el ler6ma d6 la m6diar S¡ I es continuá

en 6l ¡n16ryalo [a, bl, etisie un número ¡64¡ c p€n€nsci€nte a dicho ¡nt€rva¡o lalqu€: ;+-; ['tt*l o, = tt"l

" | :Por l¿ smelna d6 h tuñcion {6 una turcion pan. s€ t ien€,

I . - " , o,-41 cos) dr 4ts4;=4 1-¡

Pr ieslo qus la rongi lud dol intérualo [ - r , r ] es2r,5et ié*, f4 = ?,6u0on0. -""

=3

Resolviendo c = arccos : : 0.880... radian4

Por la simerrÍa de la tunción, él probloma tiene 4 soluciones.

Son:x - 0,880..., x = 0,880, x = r -0,480..., x = r + 0,840

Obsé^€s€ que lá €cla v - : corla a la curua en 4 pu¡t@ €n t r '1.

354

:<- 19,19, ¿E3 apl¡cable el leoremE d€l wlor ñed¡o dél cálculo ¡nteqral a la .igu¡snt. funclón en el intérvato ¡0, 1l?

(x)=_:

En ca8o at¡rmal¡vo, coñprobar su ver¡ticaclón.

f@@ña de la nédia: Sil as conlinua en el i¡tetualo [a, b] exisle un número rsalc perleneciente a d¡cho nleryato1J"

la¡ que . I f.) d¡ = (c)

Pu6slo que la lunción l(x) es conlmua en [0, 11, el teorema €s aplcable.i1 2,

Va'orde,¡ n leqr¿l d. ' d^ l \ '

'^ l \ , 1- ' \ r , 2\ r

Puesto q!€ la longilud der inletuato I0

r \ /2 lFsolvendoc:!r : -

19.20. Con6ide¡emo5 la tunción

1141eahanF c

=\ t r

\1< "_

y lca F(¡) = ]'(!

dr, 1 . x -. 2ru=LI I ?. .1. :Hallar una dpr.¿lón cxpllc¡lo pa.a F(x).

La variable x. lrmite sup6rior do intogración, p€nen€ce al inlervalo [1. 2]. Po¡ lanlo, €l p mer tramo de la tunción(primera luncrón parc¡al) no alecla al studio de la l!ñc¡ón inregral F(x) La luñción ¡nlegrar es:

F(,) l ldr Jr l ; : 1

b) En la lisu.a se dibujan las iunciones l(x) - 1 y F(r) = x 1

;21. s¡ F(x) = f "o"r ar,

". nro",

o) calcul.r F'(¡). b) ca¡dlar lim 1 |

@3l" dr.

Por e leorema fundamenral d6l cálculo: F'(x) : cos x.

Apllcando el leoremá de L'Hópila, s€ liené: l¡. 1 l" "o"f

¡" = ,qf =,- f =.ror:o

355

19.22. C¡lcul¡.l¡ d.rlv¡do l'(x) .lo las lunc¡on.¿ slgut.nt.!:

o rr'r - f ¡J¡a "¡ xa = f'. "0,u¡ r(4 = J" .'. or o ,("¡ = f ". o,c) (4=]" . , + r--Ld er rr , r=f" , * f iarolr"r=J'¡ftd, r,r 'r,r=(f

,t-.:*1"

d)

r(x) - F(x) - F(1), aisndo F(x) una p'imitiva d€l integrando.

D€ivando. s€ tr6n6. l {x, = --i-' l+f

l(x) - F(x') - F(1), Bi6ndo F(x) l,lna p mltiva d€l lnt€gEndo.

f(x) - - F ' (x1 .of-€Fr '2x=€¡ 2x

l(x) = F(x':) - F(1), 3iendo F(x) una p mitña d€r inr€s€ndo.

l ' (x) - F ln Dxr=- 2x----i + (x.) . t+r

l(x) = F(x') - F(1), 6l6ndo F(x) una pimitiva d€l irfog€ndo.

flx) = F (x1 Dt'------:-- 3¡: = --::-I + (v1'

La iunción l(x) puád€ g3cnb¡Éé áEli (x) = F(Ai) - F(x) si€ndo F(x) una pimltlva dol int€grando.

r ' (x) -F ' (zx) D2x F'(x) -2€E{¡-6 '

r(x) : F(2x) r(0), dsdo F(x) uña primitiva d6l jnt€gEndo.

l lx) = F'(zt) D A< - é\4' . 2 = 2 e\'.

J(x) = F(x') - F(a), si€ndo F(x) una pimiriva del in!€g€ndo.

Iur F(xl Dx = -----L a^ - t '

1 - ssn ," 1 sen?t'

f(x) : (Flx) F(a))3, s¡endo F(x) una pímitiva del int€gEndo

t (x) : 3(Frx) F(a)) : .Flx l=. l i ' -1-o, l ' . !'1 , 1 sn'r J - áen?x

9)

356

'zJ s4 F(r) = ]

(f - i) dr' h€rár ro3 p@ibr.s punro" er¡emo. .16 d¡cha tuncio¡.

Cátcuto d6 ta lunción.

F(x) - c(x:) c(1), siendo G(x) una pr¡m,tiva det integ.a¡do.Oeivando se t i€ne: F,(x) _G,(x:) Dx"=(x,_i) .2x=2("_2xTambién puede caicu¡a.se la ,unción integra¡ y rlego de¡ivar:

F,\ , . l , f 1)d.- ' l ,1 . , i . - r l . 1 . " . .2l3 - , J

lráximos y mínimos.

Funciones dorivadas: F,(¡) _ 2x. 2x I..tx) = 1of 2

runcon plahva.Flr) =; , ._;

F,ix) - o implica que 2t(x4 1) _ o.

Fe6otvi6ndo: x = o,x = 1,x= -1

- para x = o, se r¡6n€ que F,(o) .: o, turrso 3€ i.ara d€ un máximo pun,o ñáximo: ¡\4(0, :l

- para x = 1 se t¡6ne que F,(1) I o. tu69o ss rala de un minimo punto mhimor N (1, o)- para x = _ 1, s6 ti€n€ qu€ F"(_ i) : O, tu€go s€ r¡aia d€ un mfnimo punro minrmo: V (_1, ol

't2¿. H€¡tar to. má(tño. y dtn¡mo. r.tat¡vo. d. ¡" ru*rn 16 _ /,!J 6,

L€ lunción d€.ivada p.im€h u", r1r1 - !

l (x) :0 + L x = o. Bosotviendoi x = r

L6 fu¡c¡ón d€ivadá sogundu *, 16¡ _ L:l-l

Pafá r = 1 t(1) = 1 r o, tuógo se iráta d€ un minimo.

-r25. tla¡tar to. máxtño. y ñtn¡no. rotár¡vo. .t. ¡a ,!.c¡oñ l{x) = | !r dt

t(x) = F(x1) - F(1), s¡6ndo F(x) uña prmil¡va der ht€grando.

Derivando. se r ,en€ , . r . , F.r , . , D\. - \ , , - , ! ,

r ' (x) :0+Lf-o>x=:r i

Lq iunc¡ón dorvada segundu "",

11¡ = 1_?1I

- Pa¡a x = -1, r1-l) = 4 :. 0, tL,ego s€ trata de un ñ¡n¡mo

- Pala x = 1, f(1) = 4 > o, ru€go se trata de un mrn¡mo.

357

19.26. Hallar lo! móxlmo. y mln¡moi r.laüvo. d. la luñclón r(r) = ] . " dt

f(x) = F(€' - x - 1) - F11), 3i6trdo F(x) 'rna

pnmitiva d6l inl6grando

oodvando,6€ ü€ns: l ' (x) - F ' (e ' -x 1) D (€ ' - x - 1) - 6 i ' ' ¡ r ' (€¡ - 1)

r ' (x)-0 t er ' ¡ l?.(e¡- ! ) =0

Pu€6to qu€ €l pdms láctor €é d6mpÉ po6itivo, 3e ii€n€ q!€ dnular 61 8€gundo

Portantoid-1-o

n€€olviondo: )( - o

19.2?. H.ll.r.l punto dll tnt.'v.lo fo, 2l .ñ .l qu. l¡ tunclón .lgul.ñtc aléñz. un mln¡mo: r(, = I i* "

l(x) = F(x) - F(0), 3i6rdo F(x) una pfmlliva d€l inlágrando

Dsívando 3€l i€n€:IG) = F(x) =t ' +-

f (x) =0 >;- i=o

Puesto quo 6l d€nominador €a €i€mprc dl.ünlo d€ 0. s€ lián€ quo anllar €l num€rador'

, . ¡ -1-2x(\-1)La d€nvada 8€gunda €3: r (}0 - ----

ur;-r:-

Pa.a r = 1, f(x) = ;,

por ianto, 3€ rala de un mrnlmo.

ftts valor cumplo la condlción p€dida, ya qu€ p€don6€6 al Int€ryalo crrado 10, 2l

PROBLEIVAS

Sú l(x) un¡ lunclón d.llnlda y conllnu! .n [¡, bl, y r|l qu. f(,0 > 0 Püá todo x e ta, bl S. Pld.:l16

a) Expllc.r quó dsnmcá cád! uná d. 1.. do. .xPr..loñ.. .¡gul.nt .¡ .l

r(D cx, J r(,.) dx.

b) ¿Exlrt alguna r.l.clón .ñlr...ir. do. .xpr..lon..? 9l ....f, dpllcar Guál ..

c) obt.n.r .ñb.. .xpru.roñú páÉ r. runcron r{r) = -"

r v .r r,'r.rv.r. lo i].

La pdm6É Éxpro€ión 63 la integral indelinida.

La s€unda sxpr$ión €€ la inl€gtal d6ñnida 6n 6l int6rvalo [a, b].

La r€¡ación qu6 liga á ambas €xpr*ion€6 es el tsEmá do Aarow.

Aolicac¡ón a llx) = s6n x: I sen ^

d¡ - -co6 ¡ + C)

Jt*""*=r*" ' . ' , r l t= '

19.28.

358

19.29, Dada la lunc¡on tlxl = 1x'-5r+5

'i 30. o.l.rm¡nar a y b para qu. la rurclóñ (x) =

dcr¡nldá .n .l Inlo.valo [-2, 2¡.

a) ¡€pr€sontar lá runc¡ón.

b) Cálcurar la ¡niegral del¡nida de (x) 6n €l int€rualo [-1, 1].

c) ¿E5 áplicable la rcgla de Barow para éalcular lá iñtegral det¡nida en él Iniorvalo [-r, 4]?

a) Asiniolas ds la lunción: x = 2. x = 3 y = 0

Minimo relal vo de lá tuncrón: x : 2 5

Eje de s¡meria x = 2,5

La grálica de la función es:

b) D€composición en lactoros simp €s de la parte fÉccionara:

AB A(¡ 3) + Bt 2)(x 2) (x 3)

lsualando: 1=A(x 3) * B(x -2)

Parax = 2, 1 = - A,dedoñdeA = 1

Parát = 3, 1 = B dedondeB = 1

t11Inl69r¿l 'nd€r. id6. 1, , , ,a i ,o ' l ,^ , , "d '

t , . ) | I

h l69ra dd'nda i . , ] . ¡ . i id ' - lL\

2,L¿ 3l r2 .J r¿ L-

Lá fogla d€ Barow no pu€d€ aplrcaB6 €n 6l inlotualo [- 1, 4], ya qu€ la lunción no 6stá dei¡nida 6n

[ 2 '+?.¡ -t. r ' o ¡.a coñtlnua y cdlculár la ¡ñr.gral

Se Irata de unaluncbn a rozos. Lás tlnciones párcial€s son conlinu4 en todo su dominio. Voamos quévator€sliene q!6 iomar la luñción f(x) en ¡os punros de únión para qle la lunción entera sea conlnua

11Pará. 1: n l r

2 a. l im, ro br -á- b rguarando

2 ¿ ¿ D

Pára x - 0: l (0) = b, l im (31 +2) =2 tquatando: b=2

R€solv i€ndo a=:,b=2

Valor de la inlegral deiinida:

l l i . )d.- l l2 : ld ' - l l - 2 ld. 13\ '2rd. ' " : l - =-¿ - t , -?d; l - : : :I ¿ 4 I L2 4t I " A 4t2

359

19,31, Apl¡caf .l teor.má de tá m..lta <tet cátcl¡to ini.grot para dcmo.trar quc lon x _ .on yl < x _ y ,

se et iso ta función r( i ) =*nrenet inr6tualofx,y l : Jcostar_lsent l ;

=sen x seny={x y)cosc

Tomando valores absolulos en €stá út i ima iguatdad, se t ieñe: sent-sny: x y cosc= ¡qu6 cos c =- r.

CUESTIONES

19.32. Exl¡l.n luncton.. conÍñua. qu. it.ñ.n t. propt.ct.d .t. qu. toda .uñ. Inbtor.. tguát a loda ¡um¡¿Cuá¡.r ton? Dtbul.r uña d..Ía¡.ñ.I Int.Náto Io, 4t. -

Las tunc¡o¡$ qu€ ti€n€n ta propi€dad d6sodta 6n 6t enunctádo son .onEtantss, yá qle €n esr6 oaso 6l6r mrn¡mo coincid€n y, por tá¡to¡ ta3 sumas 6!pedor€6 e intetof€s son iguat6,Po. €Fmplor l(x) - 2, l(x) = -5 ..

19.33. El ár.a d. un tr.p.cro mtx t¡n.o dcr.ir n.do po, uñ. lunctón !n .t tñr.v.to Iá, b¡ ño .t.mp¡. co|nc|d.lá rdt.srat .l.r¡ntda .n ... ¡nr.rv.¡o. ¿E¡ ct.rro? Dtbui.r un. runc¡ón p.la .cb;;;" .,..,.".

En algunos cas€ pu€d€n coincidi v 6n orc no.El áJ6a dol irap€cio mixtitfn@ coincido @n ta inr6grat d€finida si ta tunción detinidá 6n €t int€ruáto Ia, bl os

El á16á de u¡ trap€cio mixtilínso s€ comid€ra si6mpr6 posit¡va (a nivet etomenrat) Lá int€grát dotinida pu6d€pos¡lrva, n69ativa o nuta.un ojsmplor r(x) = €enx

La tunoión s€nx nóns como áea € ¡ntegrat dsfinida 6¡trs O y r etvator 2.La lunción senx lieno como ini€grat datinida 6ntre n y Zr et vator _2.

El ár€a ss¡á: -2 : 2.

360

19,34. Dos luñc¡oncs opue€lás e.lán défin¡da3 en el m¡smo ¡nt.rvalo [a, b]. ¿Cóño son 3us ¡nregrat$ dctin¡da3? ¿Y

Las inlegrale€ delin¡das son opu6tas.

En electo, ios valores má¡mos o min mos que roman as lunciones son opueslos, tuego t6 som6 superiores einferiores lomán valors opueslos y, por ranro rambión sus liñ1es, que son t6 inlegrates delinidascoño los trapecios mixl¡lin@s son iguales po¡ ser simétricos respecto det eje de abscisas, sus á€as (en vatorabsoluro) rambién lo son

19.35, Al calcular una Integral .leliridr .e uiil¡za una pr¡m¡r¡va dd ¡nrograñdo. ¿Oepénde et vator de.!ra tntegraldel¡ da de la Dr¡m¡r¡va quo .. rome? ¿Por oué?

La integra deliñrda 6s ind€p€ndionte de la primiliva €legida.

En ere. lo. I f ' , d. | t , . , Cl Fror c E,a ' c F,ót1..

Pueslo qu6 la inl€gral d€linida no depende de la pnmtiva €l69idacoñslañte ds iñtegBc¡ón 6 nula, es decir, C = 0.

lF(x)l:

práctca se suele eregi aquella .úyá

'e.36. ¿cuál .. l. d.rlvád. d. lá iuncrón l^ tí) dr.n tos poñro. d. ta,bl ¡t f.r coni¡nua .n tat tñt.rvaro?

La rln.ión d€rvada 6s la runcrón ¡nrogrando, es dec r, F'(x) = l(!)

Eslé reslllado se conoce .omo loorema tundam6ntal de¡ .á1.!lo integÉ|.

'137. s¡ t.. una iunc¡on contrñud .n tá. bl, ¿pu6dc .ér j'r1r¡ a" = or ron., ,n .i.mpto .ctaratorio.

Por ejemplo, lá luición ¡mpar,lE) = sen x, veirca la reacio" [

*", ar = I cos xli" : o

361

1e.3s. s¡ ./'

(x) dx = o, ¿.e vcr c6 .monca6 qu. J'

, rf,l * = o? st t!6¡é s¡.mpro c¡€rro, pruébe..; .t pud¡i.6.r lár.o, pónga.e un conrE.,.mpto qu. ro contirmr.

La respu€sia es no.

s€a (¡) ¡. onro¡cos s€ ii€n. f" " ¿, - "'1", " .

lzl ". z , 0 obssrua qu6 €s u¡a tu¡cioñ rmpar.

1". ,* i ' "* l ' "1 ' . a , a. ea'L3l. 3 3 2

Por tanto, ya que ambos f€suttados son dist¡nios, la ¡6€puesta 6s n€gativa.

1s.39. S¡bl.ndo qu.I f(x) dr = o, ¿podcño. ¡..gurá. qu. . = b? st t6 ro.pu..ra.. n.g.Ívá, pon.r un .j.mpro

La rsspuéata es no,

co¡srd6r6mos ta Int€sre d6nn,¿a I sen .r o^l"

Et vator d€ ásta ini€g.at €3 O,Por 8sf una runclón impar, tos lecinros ¿imátncos r€specro d6r or¡g€n ri€n€n como lnrBgfat d6tiñ,os vaD6 0pu6sr6lu€go su .uma e! 0,

1e.40. ¿E¡ c¡.rto qu. .t i r0() dx = J f(x) d,.ntonc.. b = c?

Lá €spuesiá s6 no.

Por 6,€mpto €i á. b. c ta tuñcró4 d( r" h "nnda porr(h) =I

o- ; iembaDo, tos tím[68 d€ intoglación son dFrnros.

il lil *'or" r" *"or"ión dada y. '

1e.41. s¡ F,(x) = (x) pará todo x.t. Io, bl, .nroñc!. | (x) dx = F(b). ¿E. cl.ño?

apl¡cando €l teorema de Bdro* ""

0""., j' xr¡ o" = F(b) F(o), y, €videntemenle F(o) no tisn6 por que se¡ 9€ao ' l "

Por ejemplo, s¡ se etige ta tunción r(x) - senx €n st inrerua¡o Io, rl, s€ liene:

I senxdx - t -cosxt í : cf _( @so)=1+1=2

362

20 APLICACIONES DE LA TNTEGRAL DEFINIDA

EJERCICIOS

a) F€pr.s.ntar sráf.amenié tá tuñción r(a = x + rx _ Ib) ¿En qué punro. dtch. tunciótr no e. d¡tercñc¡obts? Fazona, ta rc.pu..ta,c) Cdlculo¡ 6l árca d.t r.c¡nto dcr.¡ñtñado por to grál¡ca d. ta func¡ón antério¡ y ta récta y = 2. ¿S. podrí,

obién.r .l r..ultado .¡n ¡. ayuda d.t étcuto inr.gr¡l? ¿por qué?

La lunción dada se e€cribe, sin vator absotuto, ds la sigr'unt" rorr", ,t¡ = I o,*

'

rá runc¡ón 6 coniinua sn ta recta .6at I ¿' - I

Lá tunción €6 dsrivable €n toda ta rsciá

ol 1... . ,¡¡6ar sarvo sn r@ püntoE anguiosog (punro3 dé unióñ) de ábscisas

Enx=0rl ' (0)= 2f(0)=o

- Enx= 1: l (1 ) = 0, f ' (1 ' ) = 2En la llgura d€l apartado á sá muéltrá €l r€cinto cuyá ársa háy qu€ catcut* utitizando ñftodo3 g€omárrcos y

punroá dá con6 d€ ¡6 eror'""", I . ] ,) c(i ,

El r66into e6 El trap€cio ABCD cuyas ba!6E son 2 y 1 y ta atiura j.

l,"u leecol - |

J" o ,-," * '¡r o" n {' r.

F.pr..tnlar .l r.c¡nto d. la r.gión d.t ptaño t¡m¡t¡da por ta fuñctón (x) = - x, + x + 2 y.t .¡. OX, Catcutar

Función:f(x) = \ .+x+2= ( !+ 1)(x 2)cod6s con los ej6s: A{-1, o) B(2, o), C(0, 2)

Aréa(R)=l ( - \ :+¡+2) d{=l -

É"1)d, + (2 {2x- 1ld¡=:

1,2

- r**1,- t363

2O,3. Calcul.r 6t ár.a d. ta reg¡óñ det ptáno ¡imit.da por ta curya (x) = x? _ 4r + 3 y.¡ ej. OX,Fuñción: f(x) = if 4x + 3i = l(x 1) (¡ _ 3).codes con el eje Ox: A(1 o), B(3,0)vériic6: V(2, 1) s¡métnco de V,(2, l)

t t r .a€a(A) = - l ( ' ¿¡+3)d.=_111 ¡3

Calcu¡ar .¡ ár.a d. ¡a rog¡óñ .t.t ptáno r¡m¡tod€ por ra ,unc¡ón (¡) = x, _ 4x y ct .J. OX.

Fún€ión: l(x) = x¡ - ax = x(x a)corles con tos ej€si A(0, o) qa,o)

Area rql = | r., o,r ¿^ = - ll63

Hálrar lo.válor. .d.a.byc.n.rDolnoñr.-pt¡)-=¡x, ig". !d: tomaqu.pf l )_a.p.(r)=6,

Í'l,..ot; ""' = 0 F'pr"'nl"r r' run;ron v carcura' .¡ á¡.a d. ¡á r.g¡.' r¡r"

".nr]l-ii¡i" .;. ,. .,*",

Func¡ón d6ivada: p (x) = aá¡ r. bPl) =4, 4=a+b.¡cP'(1) = 8 8-2a+bP(2) + 15 P(O) = O O=4a+2b1. 16.

F€6olvi€ndo: á = O, b - 2, c = -1Pol¡nomio:P(x) =3x?+2t 1

,* * ." l "=1t , 3

" ' l l"= t i *t- i

32n

20,5.

20.6,

364

A( 1, o), B(l, o)

- f

a*" inr : J' pr +, 1) dx = tx3 + x: _ xl! , =

D¡bular_la.gr. l i@!d. la¡ .cráy=2¡+rybpar¿botáy=r:_4x+tycoñprob.rqu€.mb¿.dexm¡irñun ¡.chro cénádo. Con ayudá d.t ca¡cu¡o iñt.grat, ha 6, .t ar.a de ..e rc;¡nb

Puntos de ide.sección de tas cuna€: A(0, 1), 8(6, r3)

Arca(R) I { ,2, - j ) \ , 4, , , , , "^- l - -

I '3

_ 3f lo_16

-

27:e

Hallár el área de la l¡gura l|mnada por l. cuNa y = 2¡ - x" y la r.cta y =

Puntos d€ .orl€ d€ la pdábola y la rsla:

Ecuacióni 2x ¡': = -x.

Resolv iendo;x:0,x=3

Hallar.l ár.a d. la ligura l¡m¡lada Por It cuM y = xtr y las r.cloe y = x, x = O, x = 2,

/ r 3r a ' l 'ñea(B)= | (¿ , '+4dr=

- - l

Punros de cole de la parábola y la rc.ta y = x

R@lvi6ndo:x=O,x=l

Oe x - 0 a x = 1, la r€cta queda por encima d€ la paÉbola

06 x = 1 a x = 2, la Écta qusda por debajo d6 la paÉbola

4@ dél ruc,nto F Area (F,) (" \) d' = i : l - 1n123lo6

at@ d.t rcc¡nto R,: Área 1R") - I (x" ") ",

= : {l' = :' r , t321.6

A€a: (8, + R¡) = 1 unidad cuadBda

Hallar.l ár.. d.l r.chlo llÍill.do por ls curuay = x¡ - 5 y lá r .c l .y = 2x + 3,

Puntos de cone d3 |a párábola y ¡a r6clá:

Ecua. ión:x ' -s=2x+3.

F€8olv i€ndo:x = 2x=4

Araa del Ec¡nto: ta g¡áñca d6 lá r6cta quoda por €ncrmad6 la parábola €n 6l iñlorvalo d€ ini€g€ción.

' ' I r l 'Ar6a{R) -

. r¿ 3 ' 5r d. r - : - 8"1 . 36

i'

:4- l

20,9.

2O,lO. Hállar.l ár.6.1.1 ¡lclñro limhado por ta cuda y = t' - 4xyla r.¡ia y = 2x - 5.

Punros d6 con6 de la parábo a y la recla

Ecuaciónr x" 4x - 2x 5

Résolv i€ndo:x-1,x=5

A¡e del recinto: la gtíica de la rocla queda por encima

323

I3

de la parábola en €l int€Nalo de inreqhción:

r*.1n¡ = J'12, s - x'+ 44 dx =

13tr -^1,

365

20,11, Hállar.l árca de la r.g¡ón l¡m¡lada por ¡a curu6 y = x': - 3¡ - iO y lá recta y = 2x - 4.

La parábolá es convexa.

. 13 49rveí'@: \r' rrcone con elele oX: c( 2, 0), D(5 0)

Puñlos de corte de la pa.ábola y la r6cta: A(-1 -6) 8(6, 8)

Áraa det rccin¡o: La qüi).a de la r€cta qu€da por encima de la pa¡ábo¡a 6n €l Int€rualo de int€g€ción

, t' 3,r3Ár€á,R, , I t2 i .at

t { 3. r0Id,-L; . ; u^] . - ;

20.t2, Háll€r.l ár.á d.l r.clnto llmhádo por lá curya y = x(6 - x) y la r.cla y = r.

Árca det rcc¡nto: La Eática d6 la .sctá qu6da por dóbajo d6 la parábola 6n 6l int€rualo d€ inr€gráción:

A/€a (F, ' ¡qu' . ¡ ¡o^- l t ' l - : [ - t : tL L2 Jlo

20.13. La ¡.Pr...nl.clón grállco d. lá l¡sqE .. ur¡ luñcróñ pol¡ñómlca d. gr.do 2, con un ñáx¡ño .ñ (1, 2).

¿Cuól .. .l valor rb la .¡pr..lón y d.l r.clnlo .ombr.!do?

Lá parábolá 66 cóñ6áva.

védica: (3. 9)

cod€ coñ 61 6j€ ox: o(0, o), D(6, o)

Punto€ d6 cori6 d6 la párábola y la Bcla: O(0, 0), B(5, 5)

Pu6to qu€ €s una lunción polinómlca cuyas raíces son 0 y 2, se riene: l(x)

Por pasar por 6l punro (1, 2), s€ ü6ñe: 2 = k

La {unción polinónica es; f(x:) = 2x' + 4x

La ocuacióñ de la recta Otl €: y = 2x

= k(xlx 2)) = k( x' + 2x)

13

: l ' , ̂ ' ** " r . -=1f;366

-'*l:=

20.14- calcular el áre. dél t€clñlo plafro d.iermlnsdo por l8 recta'

Y = x ' Y = 2xY la P.rábolaY = f '

Puntos de inter€ección de las curuasr A(0, 0), B(1, 1)' C(2, 4)

' t Iarea (8, | {2, ' ' d> | '2 ' '1d' - ;1, l "

-

20.15. Catcutar €t Ár@ del r.c¡nio liñtado Por la parábola 'c

= 2y, .l .¡e d. o.der6d$ y la lang.nto a la pa.ábola

d. F€ndbnr. -1 H¿c.t un .l¡bu¡o ds 6té r*hto'

Función donvadar t'(x) = x

f ' (x) = 19 x= r

Punlo de lansoncia: T1-1, ; ]

Ecuación d€ la recta lan96ñis y = r - 0,5

Grál¡ca de¡ rcc¡nto:

Punros d6 intsFeclón dB las **", t(-, ;)

Á@ del Bc¡nto B:r l ix 'Ar€a (R) l ,Lt- ' ' -á '1" l 'u

20.16. Encoñtr.?.1 árcá llmltldá por la Párát'olt dt 'cu¡clón

v = x" +

r=-1 yx- I

Función d6dvadar t'(x) - 2x

Punto d€ táng€nc¡a: f,(-1, 5)

P€ndi6nt6: t ' ( -1) = -2

Ecuación d€ la t€ctarv - 5 - 2(t + 1) = -2x + 3

Puñto de tangsncla: T:(1, s)

Ecuao¡ón d€ la teclary - 5 + 2(x - 1) = 2t + 3

PuntoE de inioÉ€cción d6 las rccta.r A(0, 3)

¡ fx:Á€a (R) - rJ t(x: + 4) - {2x + 3)l dx =

15 -

20,17. tlallar.l ár.a d.l reclñto llnlt¡do por la. curyat v = 6x _ t'ty - 'f

- ác

La pimera Patábola €. cóncava

tá segunoa 6 conv€xá.

Puntos de cort€ de las parábolás: O(0, o)' B{4 8)

Area det rcc¡ñ¡o: la gta\li. d€ b Pnmefa Parábola queda por 6ncimade la sogunda en el intervalo de integhcióni

,tr]" *aré¿ rRl = | lr6i tJ (t_ - 2x)l d) - l4l -"-- " _t" . - | 31" 3

LI '=Z3, 6

,o 2).

2 21 , 6

4 y .u. r.cl!. langlnl.¡ .n lor punb.

20.14. D.da3 las runc¡oné6 l(x) = 2x - f yg(x) = x, - x - 2

a) EnconlEr Gl valor dét ár4 comprerd¡da enÍ6 ta. do! tunc¡on4.b) Enconirur.l ángu¡o que lorman ta. rccr$ tang€nt66 a cada tunctóñ en et punto dc obsc¡.a 2,c) Encontrcr .l ároa .tet rr¡ángoto qu. ti.n! por todo. et .¡. d. tas X, tá recta i.ng.nt€ o t6 función n(

-6lpuntox=2ylarectapcrp.ndicut€rataant.r toryquee. iañg.ntoatatunc¡óntr¡ , .

a) Plntos de cone de las parábot6

Eclació¡ x ' - \ - 2:2x- x,

Fesoleendo^-- : . ¡=2

Área dei rcc¡nlo: La qafica d€ la pr¡mBra parábota qusda po. oncima de ¡a segunda €n ót inteeato de nregrú

I zx 3{ 125Ar€arFr- I . f2¡ t t t^ ' ._ o ' "*_l ;

- ; ^) ._; ;

b, PeñdE1r6 d6 tas r€cis hn;€ntss

'... f'(x) - 2 -. 2x, d€donde n = l 12) - -2

9 (x) = 2x 1, dó dond€ m' = r(2) = 3

Tans€nto d€t ánsuto qu€ forman tas récrs tang6nr33: is (., p) - ]q!.'J|! = .3 -( 2)

- -1 - lg. lgd 1 - 3 ( 2/Por lanio, 6l á¡gulo qu€ forma 6 135" (ánguto mayor) o ¡t5 (ánguto mno4

c) Ecuación do la rccta langéntB a f(x) €n x = 2:Punto d6 rangÉneiar (2, o)

P6ndi6nt€ d€ la f€ctá táng€niel

m=l ' (2)--2

La r6cta tang€¡l€ 3€¡ái y 0 - -2(x 2), d€ doñde y = 2x + 4Punro corr€ dé ra tang6nt6 con st €J€ OX: A{2, OrEcuación d€ la r6cta .orñar a la r6cta rangeñie y que 6 rangsnts a su v6z a i(x):Punro d€ tan96ncia: T'(a, b)

Pof tar to: f (a) -2-2a=a

-3

Por tarno, las mordenada6 det eunto son: T,{:,

Ecuación de la rocta tangone o r': y 1! -

Punto de cort€ d€ ta tangente con et eje oxr B(

El vérlrce c $ obtiene .esolviéndo et sisréma tormado pd tas sisDr€nies €cras: lv

Fosorv¡endo er sisi€ma! se obri."", c(+, :)

Arca de t¡ángula ABC:

- L¡ b6e es: AB:2 l - : j=: :\a/a

La allurá 6: h : :

125

t5 l16/

l t 3\

15 1 /16 2\

! ,

25.!84

368

El área e6: Árca (aBc) =

20,19. Hallar elárd @mprcnd¡da.nlr€ los parábol€. y = x': - 2x + 3e y = 2x: - 4r + 3,

Puntos de intérsección de las curyas: A(0, 3), B(2, 3)

A¡s rFr L t r ( ' 2 ' 3t tz i 4^ 3 ' l ov. l . ' " ,

20.20, Calcular.l ár@ d. 16 r.gión del¡m¡t¿da por la3 cuda3 y = x

Punlos de InleBección de las cutoas: A(-1, 0), B(1, 0)

o"",n,-r f l . { \ j . rd. , l ; ; , l

€y = r ' - 1 y lá3 recra€x = - l yx = 1.

63

j

v

¿!.21 , l.falfar .f ár.a d. fa llgura lim¡táda po. ¡$ curya. y -

2 - x2 . y = t ,

La parábola cóncava y = 2 x' liene como 6j€ oY.

Vérlice: O(0, 2)

tá tecta y = x liene el punto anguloso €n {0,0).Arnbas curyas son simérric6 r€speto dsl eje OY (son lunoones pa€s).

Punlos de code:A(1, 1) , B( 1, l )Área d€l r€c¡nlo l6ni6ndo 6n cu€nta qu€ €s simético:

La grálica de esla lunción os muy s€ncilla ds corctruú, ya que estárormadá po. trozos de parábolas y de recias.

a) LÁ funcón es coniinua 6n iodá la r6ctá .€al. Lá tuncón es denvabloen toda la ¡6cra Éal menos en los plnros anguloso€ de ábscisa x= 1, t = 2, ya que ls de vadó lalerales no $n iguales

b) Ti€ne un má¡rmo absolúo y ¡e¡arivo en x - 2.

63{3

Á."ot -z] ¡ r - , ' -4 o ' =zlz, ; l : - ,f x x

D.d. la lunc¡ón l(x) r.al d.l¡nldá por l{r) = j x .¡ 1 r 2t4 - r a l 2 x

a) Hállár lo. punro..n lo. qo. r(x) .. d.dvabl..b) E.rud¡ar .l .x¡¡!.n lo.

'náxt¡¡o. y mfñ¡mo. rohtlvo. d. i(x) y, ¡l .xt.t n, d.t.m¡n.rto..

c) Calculár I 3 r(x) dx

Es una lunción a lrozos. L6 tuncionos parcial€s son contiñua6 y de¡ivabtes en sus domintos. S€ trala anora oe6tud ar 6l compodamEnto dé la tunción en los punros d6 onlac€ y v€r s¡ on 6¡tos s continua y derivabte.

[ - ' " ,=oLá tunción dada, d€scompo¡i6ñdo 6l vator absotulo, se puede escibtr as,: r(r) = I 1' :l 9 ' "

t| ' si 1 ' 2L¿ ^ s,2

369

C¿lcular Gl ó@ de la reg¡ón del plano llm¡lada por la curvá t(x) = 13 - 6C + 8x y el e¡e OX.

20.24, H. l lár . l ár . . d. l r .c lnto pl .no l lml tado po¡ l¿ curyá y =x3- 3x + 0yla.r .c la.y= -3x,¡= -3, !=0

Función: r(x) = ¡3 - 6f + 8x = x(x - 2) lx 4)

Corle con los €j€s o(0, o), A(2 0), B(4,0)

Puesto qu€ los r€cintos R, y F: son simétr¡cos respecto d€lpunro a(2, 0), $ lien€ que:

: t ! ¡ l?AEa(R,{ FJ-21(¡ 6. 8x)d' 21. -2? 4l -2 4 a

GÉt¡ca y téc¡nto: lligurc a)

Lá prim€ra curva 33 una cúbica, Las olrál t 63 8on récia6,

Punros d€ con€ d6 la cúb¡cá y ld r€ctaer A(-3, - 10), B(-3, 9), c( 2, 6)

¡éíñlota€ v6rticálssrx - 1,x - 4 A€inlota ho.ircntál:y = 0

o€8ds x - 2 hastax = 3 la gÉl¡ca p€.ñan€.6 négativa

tuea det racinb: aátcuto d6 lá pimiltá F(x).

1

Áre 1n¡ = ¡12¡ F(3) = L2 + L2 = 2 L2 - 1,386.. .

H¡ll¿r .l árca .lé 16 r.glón llmltada por la lunc¡ón y r.ct€. .¡gul.nt .:

(x)=-,y=o,x=2,x=2V3

Gñfica y reclrto: la gñtica es posiliE en lodo el dominio

Por tanlo, la inl€gral delin¡da coindice con el árca dsl r€cinto.

| - j l r

' l r

Arc¿ det rcciñto: a¡ea tqt = J o *d ' | t . " ie,L

=

=1".n. .¿ ;*"n. : I - I - ;

D€skmD43|ciór ladonal:5x ¡4 r-4

Pimi i iva: F(x)=L x 4 L x 1

D(0, 8), O(0, o)

- R€cinlo ABC: A(8,) - f'

- Rocinro cDoi a(8,) = f"

- ,ór6a totál: ?

unidad€o cuadadas

20.25. Calcular.l ár.a d. l. r.g¡ón d.l pl¡no.nc.rt.dá por 1.. curv¡! y r.str..lgul.nt .:

f (x) = ¡ _*=-, y = o,x=2,x=3

I-3x - (x' - 3x + 8)r dx =l-Í -'l " -? -,,

¡.- ." *.r *."r* -[f * r]". = ,,

20.26.

370

20,27. Hallár ol área t¡mitáda por ta cqda y = Lxy ta. rccla! y = oyx = zs.(Lr to96rirmo nep€r¡ano.)

Aáíca y rcc¡nb:

co¡1e con er eje: A(1, o)Área det recintt:

P¡imnrva: F(x) = x Lx xÁrea (F) = F(2e) - Fl1) = 2eL2 ( 1) = 2eL2 + 1

20,23- Sallar €l á¡óa de ta rogión det ptano t¡ñitada por ¡66 c!rvas y = Lx, y = 2 y tG €jq coodenado.,

Et ¡ecinlo tir¡rlado por tas curyas está señatado en ta stguenle iigura:t\¡ea del rcc¡ñtó:

- Area del fectánguto oBcD. 2e¡- Área bajo ta curva de Lr

Límites de int€gración: x _ 1, x = e"

a¡ea (F,) = ]

rx dx = fx Lx _ xli = 2 e" e. + 1 = ú + 1

Ár€a d€l recinio pedido: 2e. e: 1 = e. 1

20.29. HaIar ét áf.. d. ta r.gtón .,.t ptano t¡m¡rodd por ta tunctón t(¡)x = o há.ta r = b, .¡.ndo b t¿ ablctso d.t ñtntmo d. t6 functón.

Función y denvada: t(x) , x Lx, t,(x) = r + Lrf(x) = 0 ? l r l j_o

Sesolven¿o: x = 1

punto m¡n¡mo. ri¡ll 1l\e ' é/

corl6 con tos €t€s: O(0, o). A0, o)La tunción 6s continua 6n x _ O.Grática y rccinb:

Árca det rccinto:

0,1015

¡t3o. Cálcu¡ar.t á.ea ¡¡miiada por t¡6 grót¡ca. y = 2¡ _ x¡, y =.r, x = O. r = 2.

Lá parábota coña at ete OX en tos p!ñtos O(O o) y A(2, o)

a,* rnr - f p' (rx x, dx =

le,

= 1, t : l i

-

: vd. jc ox. do.dé

¡-

l ' " , ,*=- l { , r l r= 1=+, 12 4k 4é!

, : " i"-". :

20.31. Hallar e¡ á16¿ dé la rég¡ón del plano l¡ñ¡radá por t. función f(x) = t e, y ta6 rectas y = O,¡= o.r =

20.32. Hrllar e¡ área de la rogión del plano limitada por lá cuNo t(x) = x o , et Gjé de ab3c¡sa

Cone con el eje ox: O(0. 0)

Pímtiva F(x) = x e ' e '= (x 1) e

Área (F) = F(1) F(o) o ( 1) = 1

x = 0, y l¡ ordenada cn el mÁx¡ño.

Funcon y d6rivada: r(x) x e' r'(x) (r 2xr) e ,

f ( ¡ ) 0 ) 1 2x 0

BesolM.,P¡do: x -\ '2

cone co¡ lós €ies o(0 0)

Are¡ lRl . e d^ | 12 lr , '-)

. o.ro'

20.33. H¡llor el área dé l¿ r€gión l¡m¡radá por lss tuncioncs y rcclas siguiGnloB:

l(¡) = 1 +e .. , y = o, x = o, x = L \ 3

La gralica es posilrva e¡ lodo el domrnro Por lanto, a nlégrá delinda concrde con e áre¿ dsr recrnro

Átú det rec¡nta: Ñea (a)¡1. a" = t".u etl I = arcts 1

-

arcrs r

H6ll.r el área de la régión dél plano limitada por ra tu¡c¡ón t(x) = rg ¡ y tás r€clas y = O, x =

=1 ! !3412i"

Gálica y tec¡nla: Ca.t'e cor el éj€ OX O(0 0)Area det rcc¡nto: Pr¡mirua F(x) = L cos x

r."1n,¡= fr lo¡ .1 ; l ] = +e." 6.¡ = r(l l 1q : Ll

Árca totat : Á,ea(n,+RJ= , f { - ,*n.

372

i(x) =5eñt 3i O : : ¡ =I

4

co.x s¡ a< r . :1

La tunción es continua en su domiñio, ya que en x = ;

ambas runciones ioman 6t m¡smo vator.

20.36. Hallar.l á@ d.la. regiotr.s t¡n¡lád.s por t6r cuNa. y = &nr¡ y = corxy ta r.ci. x = O.

20.35, C.¡cula. el área dé la rcg¡óñ del ptano encerhdá por ¡a recta y = O y ta curya

ra oor coseno qusda por sñc[ñá d€ € gráfcá dst séno 6n €t inléNato ds intogración.

a,€a (Fr =.] rcos, sn¡r o ' = ls€ñ) , - . , t :

. \ ,6 - .

Hall.r.l áf.a d. l. r.glón d.r pt.no.nc.rad. por tá parábota x = a - t' y .t .1. d. ord.ñ..ta..

56 lrala d€ una párábola d6 6j6 horizontat OX.

Puntos do corl€ con los qes: A(o, 2), B(0, 2), V(4, o)

Árca del recinto: Se catcuta et recinto superior y se muttiptica por 2i

12 '4

¡)"ar@(Fr-21 V{ "0. , l . l "

=

323

373

20.38. Hallar el áca d. la tlgura l¡mitadá Por 16. curv.! y'¿ = 4x, y = 2x - 4.

G@lica y rccinto: la Paébda y' = 4x lisne como eje OX

Vút¡ce: O(0, 0)

Puntos de co^€ de la pdábola y la .ecla: 4x = (2x 4)?

R6olviendo: x = 1, x - 4. Punlos de corte: B\1. -2), C\4 4)

Á@ det rec¡nto:

a r ' t IBe€inio aoB: Area (Ri) = 2 L

2Vx dx - ' l=1, =

¿

. ' 4 " . ' .9

- RecinroaB( A'ea,R.) I t2V\ 12\ 4r ldx-13 " '*1.- ,=

Ár6a roral: 9 uñidad€s cuadrad6.

cálcul.r .l ár.a d.l rcchro llmlt¡do por la paÉbola 2t' = x - 2, .l .1. dc ab.cl.at y la l.ng.nt a la Par¿bó.páral.l6 a la ructá 2y = x - 3, Hac.r un dlbulo dcl r.clnlo d..cr¡lo

Punlo d€ lang€nciá: r(4, Y(a))

Pondi€nlo:m=y(a)- t

Función dorivadai 4 y y'- 1

o€rivada e¡ x = ar 4 y (a) y(a) =1

suslituy6ndo 2 y(a) - 1, d€ dond6 4 y'(a) - 1

Por lanloi0,5=a-2

Punio d6 rang€nciá: T(2,5, t(2,5)) - T12,5, 0,5)

Feclatan9€ni6iy = 0,5x - 0,75

Punro d6 @d6 con el eje Ox: A(1,5, 0)

¡ . - . i . , 3. \¿ - L r 3{ l ¡ 3 ' \aAr€álR,

Jt2 io, ) t ; -o l , \^ 2 ldr-

a i , - 'o-o - tx-2t1. e

Hacl.ndo u.o d.l cál.ulo ¡¡t.grul, d.mo.rE qu. .l ár.a d. un circulo d. radlo 3 oñ¡dad.. .¡' Pnc¡.¿mGnl.

Gtáfiú y rac¡nto: ta ecuación de la circurl€r€ncia de cenlro O(0,0) y Edio 3 €s: i! + vt - I

Primitiva F(x): se háce el cambio de variable x = 3 sent. Por tanlo, dx = 3 cost dt.

Jre-,a.-s '*" ,0, l fu " ."o,o ' - ' j l *"" I l *" ' *" ',\6 - "'

Á,6a (R) - 4rF(s) - rur : " l: -** '] =^.| i= s.

2

20,41. Hallor el área de la l¡gura limltada por t.5 parábotas y, = 4x y x, = 4y,

12, 3

Eñconlr.r él área d¿lcm¡nada po. la cuda do ecuaclón f = x¡ y tá reck quc po¡a por et origGn y et pun,

Ecuación de la recta: y - 4x

Puntos de iñleFeción d€ las cury6 O(0, 0), 4(16, 64)

2" t! 1 r¡,a¡ea (R J 14, ¡ ,o, l rL 51"- i ;

4r t3

20.43, S.bi.ndo q!. .l ár.€ d. ta ..9¡ón coñpr€ndida .nÍ. ta cutud y = Vx y ta feck y = bx.. r, c.tcs¡.r.t votor

Ctél¡ca y rccinto: la paébola es horizontat conv€xa hacia ta d6r€cha.

Punios ds co16 d€ ra parabot¿ y ra €cla: olo or, B' L l

Árct dél recinto: ta gtática de la rslá qu6da por dsbajo de ta parábota

Pu€6io q¡r6 6l ároa 6 1, 3e tiene: *-L

= 1 ) o, = : ) " - - !- t/6

Oo. h.rmáño. h.r.dan un€ párc.la qu. han d. r.p.rth.. .n párt.. tgu!t.!. t-¡ plrc.h .. tá r.gtón p|!n!.nc.rrsdá.ntr . | lFrábol .y=x"ylaroct !y=l ,D.cld.ndtvtdtr t .párc. tañ.dt .nt . t /nár.ctEy=.parat . t !a l¡ r.cla y = L Hollar .l valor d. a.

El .@into qu6 s6 va a rgpartn és 6t indicado e¡ ta s¡gu¡6nt6 tigura:

Áreadérrc.inroquesevaa.epa,ti.Á€a(R) = rf o - "r *: rf" - i: l ' =

iPunios d€ corl€ de la parábola y la r6cla y = a: 1 1,á, a¡, 11,á, a¡

Área derreinro rimiüado por ra pdáboia y ra recra y = a, l*u 6.¡ = zj" r" - ""t " =,l*

f]"'

" .,"u 1".¡ = !, *** o* u = $

3-

375

s. con.ldcra la parábola de ecuác¡ón y = f como .e Indlco €n la flgun, Enconirar .l valor de m pa¡a qÉlas áre6 de la3 supe.licie6 ráyadar .e€n iguolog

Arca del primet rccintol

r.urn,r = J-,,0"= lfl=T :Area del segundo ecinto:

Area (Rr) =(5-. f r"- f**=,r . - r t . l : ] '==,ra ,a.- f -+

rOrurunUo,""rru .=f ,

C.lculár.l válor d. a p€rE qu..l á..a dc 16 r.glóñ l¡ñ¡la.la porlacuM l{x) = -x" + a ylt r.crá y = 0..¿20.46.

y - x: + a 6 una €s pa.ábola cóncava

Para Bimplil¡car los cálculo6 pondromo3 y = -x' + b'

Ralc€s: x= b,x=b

Por la simérrlá d6 la ligura, $ t¡6n6

l . r ! +b)d,=l

5 +br¡ lq=

Resolviendo: b - \i'3, d6 dond6 a -

20.47. Sabl.ndo quc .¡la grál¡ca @r6pond. a oná tunclón pollíó¡¡lcá tb grado 2 y qu. .l átóa Dmbr.ada m¡d.

: unld¡d6. cuadrad!., calcular la .rpr..lón alg.brai¿. dc la lonción,

Pu€to que € una tunción pollñomica cuyas rarc€6 son 1 y 3 * lime: l(x) = k(x 1)(x 3)=k( x?+4x 3)

Área (B) =

la lúnción 6 l(x) = x? + 4x 3

- [ ,0"=?{=.33

\16

376

20,4a.:-::-"lg::*

., f.c¡nro cqhdo rim ado por rá parábora de écuación y = _x, + 1 y ra recra honzonlar de.éuacbñ y = .. donde a es un nuñero monor que r (quc pued€ .er p;.i vo o n.g",i"i l"ü._r, "

*".dé a p6rá quo er área der recinro urg¿ !\!.

Absosas de tos puntos de co¡ie de ta parábota y ra recla x ' !,i--; x = 1. r _El áre del recinto es pof s¡meria, ta sigu¡ente ¡ntogEt derinidá:

areJ{q, 2/ , 1 ¿,d. .¿r ;

- ' - \ "si6sta área ha de s€r t" ? .",o""."

" ,

PROBLEMAS

2049. La cur. v = 1-. o"d* ox y oy, y ra r.cta ¡ = 4, r¡mrian !,. ¿up.lrc¡. s. c.rcur.r.¡ ár.a.,. s.c¿rcurar.r voruh.ñ dé ra ígura g.n.rada por s ar dar uñd vu.¡ia éompr.ta arr.d.dor d.r .¡c ox.L¡ giélica dé ta luñción dada es uná h¡pérbota.asrnlota verlcal:x = 4

aarntola ho¡izontat: y = O

Ar€á (s) I .-111 d\ - 14 Lrr + 4 r ¿ r,

votuñon .tel cúerpo éngend@da:

vor,mm 's, 1.1-0. 'a, ,0", ' f , ,t¿4

20.50. E¡ ta t¡gum .. ha repr6.ntado uñ 'ón6

.te cono. Con t@ daro. de t6 f¡gura, ha,a¡ por |nr.gr.r* ra fórmutaquc dá ét votumén d6¡ troñco dé cono_

Lá rela gen€ralriz det cono pasa por tos puñtos

Lá ecuación de ra g€ne¡akiz e: y - (R __- r) x

Votum.n del tonco de coho:

v =I ^"(R ;r I " .d, -" ,Lr . f .^=

= j"rn ,r t l!l-"'

377

20.51'ca|cuta 'e|vo|uñendé|cuérpodgrévo|uciónqUééngondráe|rec|nto| imitadopor|acuruaf l t )= ' '.l eje OX al g¡rar alrededor del m¡3mo

cod6 con el eie ox: o(0, 0), B(1 o)

Voluñen engendado por el recinlo R al grar ahede'lÓr do oX:

volLmÉn (H) L

20.52,c¡ |culare|vo|Úmenéngondr.doalg¡ 'ara|redodo¡dc| . ieoxe|r .c intoptaro| in¡ tádopor|agf,{¡y = 2x - r2 y lá recta y = -x + 2.

Inrorsección de la parábÓlá v lá roclo A(l 1). B(2 0)

volúmen ongéndrado por €l recnlo R á gúáf alrédedof de ox

La padbola eslá Por encima de la recta en el nl€ryalÓ de rñteqracion

Volumon (R) rt(2x r) ( x ' 2)'l dx

] . t "" +" ' ' 3x r 4x 4) dx

" l : ' ' t ' - ' ' * l ;

2o.$. Calculsr 6l áréa .lel r.cinro compr'nd¡do 6nlré la Parábola v = ¡ v la ¡'cla v = x-

calcular as|m¡3ño el volumcn qañ¿rado Por dicho recinlo al g¡raf 36(f alréd6dor dél e¡' ox'

La priñera lúncún ie¡e por gráfca Úna parábÓla 'o¡vexa

de vónice O(0 O)'

Lá segúncla iunción lene por gráfca !a bisecliz del pr¡

Punlos dé intersdciÓn d€ las c!d6: O(0, 0), B(4' 4)

130" l ; : -:1.

5 / 15

I

Árca det rcc¡ño: Liñirs de integrac¡óñ i = 0, x = 4:

r ' . l ' " t !

Ared,q, I ,d. I ¿d p p, " "

Lá recta quda por enc¡ma de la parábola en el iñlewalo de inteqracon:

' .1 -e1Volunen rB l?Ldr o:16oY

r l3 SOl"- " 3

a

378

tt la.r .s¡ónr¡mrradaporrar.cr.y=x-3.r€p€¡áboray=(x-9)?y.re¡.oxshaarroGr.*r .d.rei .ox.Har¡ar.r vorr¡m.n d.r cu.rpo de r.votucron que .. s€ñen. Hu".. r" ,"pü.."ü"¡¿, i.¿t¡*.

---,. --. -,-

- Lá pimela función tjem po¡ g¡áfca una fecla.La segunda luñcion ü6ne por gÉfcs una parábota envexacuyo venrce 6 v(9, 0).

Puntos de ¡ntsÉócción de tas curvs: A(7, a), B(12, e)

La recta qu6da pof €ncima de ta paébo¡a e¡ 6l ¡nt6ruab de ¡ñt€gracjón:

voruñen,F) -J "o r ,o, J " ,^ sr .a". , [1.-3) 6 - ef l i : _

- /66s . .1 5oo ¡5 l ' \3 " ' /_ 3

Cdcullr .t votum.r d.t cu.rpo .¡g.rdr.do !t q¡rq. y

- 6x - )a. v = ,. - a¡ ¡rr..l..,or d.l .lc ox.l ¡.clnto ttmttado por ta. gür¡ca.

- La prlmda tu¡dón ri€ñ6 por gúfica uñá paébotá cóncá!€ d6 !étice v(3, 9).- L-e 8€gunda tunctón t6ñ€ por g¡áfca ta bl!6ctd2 d€t pñm€r coadrant€.Punto¿ dÉ itri€fB€crló¡ d€ ta! curvaq A(o O), B(5, S/L¿ Éota queda por dsbajo d6 ta parábola 6n st int€rvao o€ ¡nr€g¡actón:

vorum€n,R, - J "(& - ,,r,d,( r l '",.¿" _ "l{

_ .". _ !!f l '-¡ Jo 15 - 3 ¡-

H.ll¡r .l votum.n qu. .! obü.n. !t h.c.| qtrur.tl1

r,rxr.dor.t.t .,. OX.¡ r.ctñto Iñh!.to por t.¡ !rát¡c.. .,! t..rundon..yE-;r=l¡ i r=4,

- La p|lm€ra tunción Í€n€ por glá|ica (lna hipórbota €qutáte€.- Le.€gunda tuncrón r,€n€ por g¡áfca una paÉbota

* v{o, o), I d€ éi6 horEontal y = o¡ convaxá hacia ta d€r€cha, cuyo v€n¡6€

Punto d€ iDr€r€€cción d€ ras cu¡!€s: A(j,

L¿ pdábo¡a queda por 6mima d6 ta hipórbota €n ólUm¡16 d6 int€gación: x- I , r =4

nl6ryalo d€ int€gración.

vor,.* 1a1 = J' ",, o, ="ifl, "l ,J,:j"

-

f-TtrEll'-

3 27i

-!x l

379

20.57. F.pr..Gnlar la. curua. y = V16 - x':, x': = 12(y - r) y delermlnar el volurn€n d.l ¡ól¡.lo d. r€volución qu..ng.ndr.n al g¡Er alred.dor d.l .ic OX.

La prim€ra lunción li6ne por grlica una sémicncunlerencia de centro el orig€n de coofdenadas y radro r = 4

La s€gunda función li6ne por gdica una pa!ábola convexa de védice V(0, 1).

Ambas lunciones 6on simélrics ¡especto dereje oY (son lun.ions pa¡es).

Punlo€ de iñte€ec.ión de las curyasr A( 2\.6, 4, B(2\./¡, 2)

Por simetria, s€ slig€n como llmitss d€ ¡nl€gÉción x = o x = 2\,/5. Elvolum€n €s €l dobl6:

vorum.n (R) = 2 [ . " " (16' , , r * - . f " "1,r{ * rJ ' a, = z" l ro, - f *n18

20,58.

ooe r,/5= "-16..

= 220558 '

cal¿ular .l volum.n d.l cu.eo qs. .. obtl.n. al h¡c.r ghár ta .sdá t{x) =

''+

.ñ to.nó ál .¡. ox,

¡¡¡¡¡=6yx=16

Llmiiss d6 inlegrac¡ón:x = o,x - V¡.Volum€n d€t€minado al ginr €l r€cinio alrododor d6r €je OXI

20¡

20t

1 1 ' - l 'votumon rFl - I n2 , .d, " iEarcrs-21

20.59. Uñ tr¡ángulo tl.n..lo. lodo. lgual.¡ d€ loñgltud .. Hállar .l ángulo qu. h.n d6 tomár ..o¡ dos lado. paraqu. .l ár.a .1. d¡cho lr¡ángulo ... má{lñs.

El lr¡ángulo hall.do g¡¡¡ lobr€ la altura cor..pondi€nto ál lado d€6isua! Doño6tEr, o.ándo 6l cálculo Inbgrul,

qu. .l voluñ.n d. la figuro d. r.volucloñ qu€ .ns€¡u- ".

v = " ,) '¿ u'.

El área de un triángulo en lunción d€ dos lados y el ángulo comprend¡do viend€ dado por la lórmuia

r=] .0*""

si Ios lados son isual€s, la ló'."r. *, a = ] "'

*" "

Es evidents qus eláreass má¡ima cuando señx = l, * a."r, , = l

El volumen d6l cono sngendrado por el lriánsulo de ¡a fgu¡a es:

. \/5 "12"

380

" . f ¡ t=- - ' " - -" a|" :

CUESTIONES

Razonar ¡4 !¡gu¡.nlo! cu..llon€.|

a) ¿Pu.d...r.l áf€a dé ün rec¡nto nura?

b) ¿L¡ lñLgral d€r¡ñ¡da pu€de 6ér ñulE .¡n qué lo .@ la lunclón?

a) El d@ d6 un rccinio, por deliñición, es eiempre un núm€rc f€al

b) La ¡nlegrar delinida pu6de ser nula sin qu€ lo séa la función.

Por ejemplo: I sdxd¡- l -co8i* - l - I - oylarunción

l(x) = s6n x €s distinta de ¡a tunción cero.

20.61. Do. funcloñ.| opu..la. ..tán d.nnE€r .n .l ñ¡¡ño ¡nt.N¡lo [a, b]. ¿CóDo.on ü. Inr.grát.. dsr¡n¡dá.? ¿y.u¡ volúm.n.¡?

Las ¡nt€grál€s d6linida 3on opua3ias.

En €l€clo, 106 vdoB má¡mos o mfnimG qu€ toman las lundon$ son opu€sros, tu69o tB sL,mas 3upsno,es ei¡f€ or€€ toman valof€s opu€gtoa y, por lánto, rámbién €3 opu$to 6l tlmit6, que ss ta inieg|at d6tinida.Los volúmen€€ son lgual€8, ya qué on él cálculo d€l volumon intervlsn€ ta tuñción at cuad€do v, at E€r opu6staslaá tuñcion€3, 3w cuadrad$ son igual6e,

ixt.62, Al c.lcul.r .l árca d. un r.olnto .. ütllL. unr prlmltlv. d.l lri.gr.ndo. ¿D.püd. .t cátc¡ito d. tá t.ri.gr.ld.llnrd. d. l¡ p¡|mlllv. qo. .. lom.? ¿Por quó?

L¡ ¡nleg€l delinida €6lnd€póndi6nlÉ d€ la pnñ va €l€gidal

= F(b) - F(a) = tF(x)l:

práolic€ 3€ suslé €l€glr aqu6llá cuya

20.63, Olbul.r b gráflc¡ C. l. lunclóñ |.no .tlif. o y 2'. ¿E. ¡lñldc. t. grlto. r..p.cto d.t punro {r, O)? ¿Ouóv¡lor tl.n. .l ár.. d.l ..clnto llñtt¡do por l. g¡állc. d. la functóh y .t .1. hofzodr¡t?

Lá glálica d6l 6Éñ0 €n 6¡ intsryalo t0, 2'l €3tá dlbujada on lá sigui€ñt€ tigu¡al

En €l€€lo I r{x) d¡ = tF({l - CI: - Ftb, + C . F(a} -

Pu$to qu€ la inisglal d€llnlda no d6p6ñdá d€ la pñmiliva el€glda, €nconalánt€ d€ in¡3glación s3 nula, €€ ó€clr, C = 0.

Lá ghlica d6 la lunción €3 simóiica l63p6cio dol punto (r, 0).

Los r€cintos F, y R, $n simétri.os y, por lanto, ¡gusl6€,

El ár€a podida 6s 2 vo@s €l d6a d€l r€.into R,:

Arca(F, + B") = 2 | sénxdx = 2 t -cosr l í = 2 2= 4

La intégral dolinida del seno 6nhe 0 y 2T €s 0.

c

o

381

D¡bujar la gÉllca d6 la lonc¡ón co..no cnrrc 0 y 26. ¿Cuánl@ rec¡nto5 ¡guales 5e pueden coneiderar paracalcular ¿l área de la reg¡ón limilada por la gnál¡ca de lá función y €l ei€ hod¿onlol?

La giíica del coseno en el inleNalo [0, 2r] eslá dbujada en la sigui€nle ligura:

Los rec ntos F, y F.son srméricos .espslo derpunb{; o I v po' ranro Lsu6re5. Lo ñrsmo suced€ con los r€cinlos

R. v R. resoéclo del oúnlo l - . o l .

Ademl¡, los .ec¡ñtos R: y F" son s¡méiricos respecto ds la recla x = r

El aGa p€d da es 4 veces el ár€a d6l €c¡nlo F,:

area iF F n r ,1 nlcos¿dy ¿lsen¡ l ¿ 1.4

La nt69ral dólnida dól coseno 6nlr€ 0 y ztr 6s 0.

20.65. S. coná|d..án la. luñclon.! l(r) = 3.n x y s{x) - ..ñ x . Olbulár¡a.. ¿El ár.6 d.l r.clnto qu. d.t.r,nln6í .u3

g.ál¡ca. @n .l 6j€ ho.lzontál .ñtr. 0 y 2¡ .¡ ¡guál párá la. do¡ tunclon..? ¿Y la. Inl.g¡a|.. .l.lln¡da..n...ht d€lo? Bazonar 16. r..puo¡16.-

Las gÉlicas de f(x) y g(x) 6slán roprosónladas on las sisu¡6n14 rgu¡as:

El área de los recinlos, en valor absolulo, es la misma, ya que 30ñ s¡méincos respeclo del eje de absc¡3s.

Lá inlogral delinida de ¡a iunción t(x) - s6n x 6 nula.

Lá iniegral delinida de la runción g(x) = sen t es igual á 4.

El ár.a llñllada por una cuNa ño s¡cnpr. co¡nc¡dc ¿on él válor de la inréghl dcfini.la, ¿Y el volumen de uncu.rpo d. révolución?

La respuesta s alúmalva.

E volumen engendrado por un .ec¡nto R d gnar ak€d€dor d€ Ox vi€ne dado por la sigui6nl6 lórmula

vorumentB) = 1 -

f fk) l 'dx

Pueslo que tf(x)l'€s sieñpre posiliva, €l vorum€n vien€ dado por la inlegral delinida, que es también postiva

20.66.

382

funciones

Catcu¡a I.m I - co3¡ + x¿

2x'

Para catcutar 6te timile se ap¡ica ta regta de L.Hópmr:

l l#=tra+3-: ' lq i !

C.¡ct¡ta Iñ €a - e" - 2x

Para calcltar €ste timite so aptica varias veces ta r6gta d€ LHópitat:

l , - " - o_.2¡ Lm6.e, 2-

r,,,, ;". 1,, ;.., 2

Coñ.ld.h t€ tuncroñ '(¡)

= j! . D.r.rñr¡á .u dom¡nro.

Dlbujá .u srár¡ca v r@ona .r .. pu.rd. a.rg.!r uñ v.ror á t(o) pára qu. ¡a iuñc¡ón ..a coñ nua !n rodo F_

La función no está dofñida €n r = o. Et dor¡¡nto es F {o}.

Para los r€sianbs vatorg€ esla lunc¡ón pued6 detinrs€ ss¡ (4

La gÉl¡ca d€ ta t¡rnción es:

No se pu€de comp¡etar ta flnción con ¡iñgún vatora,€,ures son diÉtiñios: po, r.r}il; ;;;";::ff

que sea commua 6n er punio x - o' va qu€ ios rimires

383

a) Reprcsoñla ta sráfica d6 ¡a tuñc¡óñ (x) = x + 2 - x.b) Eslud¡a la coniinu¡dad de r(x).

c) Hall¡ to3 ¡im¡los de r(x) cuando ¡ l¡endé á +r y _-.

La runción r(x) puede d€fnnse asi:

' .o={ (x i :)

La grálica de esta tunción es la sigliente:

2

Los dos rramos dé que constá ta g¡ál¡ca d6 la luncio¡ s

Los llmites atóralss €n x = 2 son quatos a ?.

La g¡álica 6s continua 6n ta r€da r€át R

El limil6 dó lá lunc¡ón duando x lr6nd6 á +3 6s 2.

El lin¡16 de la luncióñ cuando r l¡end6 a 4 6s +a

5, ¿s6 pucdé a..su¡ar qu€ ¡á runctón r(x) = x" , 3 ..¡ x + 4 toña 6llo I-2, 2l? Ra2oña tá ro¡pu.6ra ind¡cando.t f..u[ado r.ó.tco ut¡¡¡26do,

váror 0 .n €lgún puñto dét iñtérua-

Como s6n x peneñ4e at interyato I r, 11, 3 sen t €sta¡á enlonces 6n 6t ¡ntetoalo I 3 3l po¡ lanto,

t ( 2) = I 3sen(_2)+4.: o

t(2):B 3sen2+4rO

La runción l(x) es continua pof ser suma de funciones continuas.

Por curñpliBe las hrpótesi6 det toorema de Botzano, ex¡sre uñ número .eai c e i 2, 2l tat que l(c) = O

6. Hatt6 ¡a a¡írtota ob¡¡cua .le t6 tonc¡óñ 'c - * + I

.giñrol¡ obt¡cu¿? v =

2,c - x + 3 ¿Qué cond¡c¡ón d'be cumplirs€ para qus ex¡'16

Hac¡endo ¡a división entera, se tiene: v = x-: r +r =I I + ¡qL- 2x. x+3 2 4 2x? \+3donde R(!) es el ¡6sto de ra d¡v¡són ente¡a y su grado es 1

cuandoxl iendeal- , ta iunciónseaproximaalarecrav=i-1,*u,*"*r"sínroraobr¡cuadetalunción

Po¡ tanro en ras llnciones racionares, para que exisla asíñrota obricLra, er gfado der numerador debe ser una un¡oadmayor que et g¡ado det denominador.

384

Yr7. Dada la lünción v = .

-.

.. Dlde:{x+rra) E.tud¡ar ra2oñadañente 3u conltñr¡id.d.

b) EdrJdiar r¿zonadam.ñle sus a¡inrota3.

l ¡ñ (3x+5)=2 11ñ 2=2

Lá tunción 63 conlinua 6n x = -1.

Domnio de la lunción: F { 1} .Enelpuntox= 1 ta función no eslá del in ida.

Conl¡nlidad La función es continua en todo et dom¡nio por ser cociente de tunciones conlinus.

x = 1 ya que se anula e¡ denoñinador para ese valor

Haciendo la drvisión enlera, s€ liene:

' , -2, | ¡ ,2r | 1

y = x 2 6la aslnrota oblicua.

E.ludlár l. contlnulda.l y d.rlv.b¡t¡dád d. t¡ iuñctón

f 3¡+5 . t ' - - i

( ¡ )=J 2 . t -1 r- 1lx ' -3¡+t . l x :1

Lá lunción €3 continua 6n lodos tos punio3 diailnto8 dá x = 1yr = J, por esiar dslinlda po¡ runconee

S€ irala ahora ds v€r qué suc€d€ 6n 6sios puntos. Para €tto varños a ver cuátes son sus tíñits lat€rat€s y sico¡ncid6¡ con €l vaior ds la luñción.

l iñ 2=2

f( 1) =2

f(1) = 2l im (x ' -3x+1)=-1

L¡ lunción no és connnua ón r = 1.

f 3 s i x: : lFunción deivada: l(x) = j 0 si -1 < x .: 1

L2x 3 s x>1

La función es d6rivable en todos los purnos disl¡nios d€ x = 1 y x = 1, po¡ sq punlos detuncionos deivabt6s.

Se t¡aia ahora de ve¡ qué suc6d€ eñ €étos puntos. Para €tto vamos a ver .uátss son sus derivad6 lai€ratos y

f(-1 )=3 r( r - ) =0

La tunción no es derivablo €n x = 1.

En r = 1 la tunción no es coniinuai por consiguiente, tampo.o es de¡ivabt€.

385

s. detln.la tunclón I del .¡gul.nt ñodo:

-- . I Inx-1 ! l x 1r lx ' =

2x'+u+b si ¡ 1

Encu.nrra b. voloro. d€ a y b para quc lá tunclón .ea contlñua v ¡u grálica pat' Por 'l

o'¡gén d' c@ra

nad$, E.tüdlo ¡u dorlvabll¡dád

Lá tunción es conlinua €n todos los punlos d¡siinios de x = 1, Por ssiar definida por tuncionG coñtiñÚe

Se irata ahora do ver qué suc€de 6n €sle puñ1o. Pata €llo vañc a ver cuál€s son sus limit6 lat€ralss y t

lambién la condición para que soan ¡gual6s

I

l

l im (2x"+at+b)=2+a+b

Por tanto, 1=2+a+b.

r im {Lx - 1) = -1

La grálica pa6a por €l orig€n d€ coord€nadas lusgo f(0) - b - 0

D6 €stas dos condicion$ 3s d€duc€ que a = 3, b - o

. . lL¡ 1 s¡ { 1tá tuncon daoa e3: t(rl =

iz; _ ¡, ot * .. I

t !Función d6 vada l'(x) = I x

[¡x-g s¡ x ' . : l

La lunció¡ é6 d€ivablo €n todo€ los puntos distinto3 d6 x = l por s€r Punl6 de luncionea dÓr¡vablss

56 llala ahora d€ v€r qué suc€d€ 6n €sl€ Punlo. Para 6110 vamos a v6l cuál€s €on su3 d€ivada3 lalEral€3 v s

l ( l )= 1, f (1 )=1 > latunción s3 d6Ñabl6 €n x = l

I r . ¡ x.1a. con¡id.ra r. ru¡dón e(¡) =

i , i ' | : i i = i " ". " icron.. r,(x) = I - r) s(x)vr"(x)=(t-1)¿ !(x) '

E.!ud¡. l. d.rlvabllltl6.l d. la. tunolon.¡ I' v l, .n x = 1.

La lunción t. s€ escr¡be asf:

. \ r { -1) sr ' 1 -

. . . . . - I " ^ " " t

' " ' l r ' ' , r r*-1) s, ) 1f r . - i

" r , - 1

Func,ón dér iváda: lG) -1 ' -" " i

, . i

Veamos cómo son sus dedvadas laterales €n x - 1:

i1(1 ) = 1, t i (1 ' ) =2 > por tañlo, la funcióñ l no6sdeEble6ñx= 1

- La tunción r, se 66ctibe 4í:

- | r* l f sr I r . , . iY _2! ^

s i ' lt r " ' -1r* r l t . l f s i , .1,L '" , - l '

' - { r ls i ¡ |

f3, 4x I s i . lTuncion denvada.1r:r -

l ¡ , _¿ , s¡ , I

V€amos cómo son sLis derivadas laierals en x - 1:

ú1 ) = o,l;(1) = o + por tanto, la runción ! ss derivable en x : 1

386

t1, c¡rcr¡¡á r¡m 11 - -Ll¡_rrmx x_f/

p/ca van¿s vftes ,a reE¿r de LHópitatpara etiminaf tas indebrminac¡ones que aparecen

tr (-a-it='-;ry=,-

De lá runc¡ón r(x) dér¡ni.,a.n f_3,31, .e coñoce so srár¡c6 <t.da por:

a) E¿ludia ta conrhu¡<lad d. ta,unctón.b) E üd¡á ta d.rtv¿b¡t¡.t.d d. ta fuñc¡ón,c) Orbui¡ ¡a2on.d¡m.ñr. ¡a srár¡ca d. f,(x).

"' "T',1:Xlo:

:"¡""''"'" "n rodos ros puntos d6 su dominio.

llr.¡. r(!) =, l,T, ,(x) = , r(j) _ 2

La tunc¡ón no €s cont¡nua €n ¡ = 1.

'' "?J:H'l

:"."í'J;?" "n rodos ros púnios de su doñ¡nio.

Eñ x = I no ós d€nvabte por no s6r cont¡núá.En x = 0 hay un punto anqutoso.t(0)=1 /{0.)=o

r¡' - l- ]- ri. -- -l_- l

' ;[il"Xil""1',:if:J$!"[1"""*. - cu€n,a ,os aparrados an,erioros, ,a ,unción d.nvada ,,(r) pu6de se¡

:::i:]: 1- 3. 0): f(!) = 1. qu6 es ra pendionr€ oe ,a récta aaIntetoab (0, 1) r,(x) loma varo@s q!6 van desdÉrn,erua,oo,z):¡r , ) romaua,o; ; ; ; ; f f i : ; : : : : , ' :116oe¡/-ohaÉiabpend¡en,6-¡en¡=,

,nr€toaio (2, 3): r(x) ,oma va,","" ;; ;;; ;; j::::11:"1' ' * " = , hasia ,a pénd,en,e o 6n ¡ = 2

La srá'¡ca de ra runc¡ón r'(x) "" ili^|#i" 1T,.".

o en ! - 2 hasta ia pendienre .¡ en t = 3

387

Con6iden la tunc¡ón r(x) = )C + p¡, .londe p e6 un c¡eno númcro r€ot. E.cribe (en runc¡ón do p) ta ecuaciod. la t ñgénte a la grállca ile t(x) .n .t punto.te ab.c¡.a x = i. oct rñtna deopués p, dc mañ€ra que hrang.n!3 antéf¡or pá* por or purto a(2, 0).

Función d6 vada: l'(x) = 3x'2 + p

Pendienro d€ la tangente: m-t(1)=3+p

Punlo de tangencia T(1, (10 = T(1, 1 + p)

Ecuación de la langenle:y 1-p=(3+p)(x 1)

Op€fando:y=(3+p)x-2

fa recta pasa por e punto a(2,0):0 = (3+ d.2 - 2

Ecuación de ¡a r6cta lang6nt€: y = I 2

slo I l. lunc¡ón dcflnlda por (x) = r, - 3x + a.a) H6lla la.cüaclón d. la r.st. i.ng.nt! á tá tunctóñ .n r¡n purto cultqut.ra r = 6.b) Háll..l válor o v.lor.¡ d. a p.rc qu. dlchá r.cra p... por .t punro (.r.tor a t¡ curya) p(0, o).

a) Función de¡vada: f'(x) = 2x - 3P6ndiente ds rá lán96nrer m = t (a) = 2a - 3Punto de lanqencia: T(a, t(a)) = T(a, a: 3á + 4)

Ecuación dá ¡a lang€niery - a l +3a-4=(2a-3){x-a)

Op€rando: y - (2a - 3)x - a. + 4

b) Lá r6cla pasa pof €l punto P(0,0): 0= a:+4

Op€rando á'= 4

Rálc6E cuadfadasr a = 2, a = -2Pafa a = 2, la scuación d6 la r6cta Gngente €s; y = xPara a = 2, lá 6cuación d€ lá reta tang€nl€ e3: y = 7r

Eñunc¡a .l l.ordr. d. Foll.. ¿Pod.mo. apt¡clr ..!. t.or!ñá a h runc¡óñ l(4 = ..n r .¡ .¡ ¡nt.rvato

2 21

El léorema de Bolle dice:

Si una lunc¡ón l(x) es continua en et int€ruato c€rado [a, b], deivabt€ en 6t iñt6ruato abisno (a, b) y toma vatores¡guar€s 6n ¡os en€mos, l(a) = (b), entoncos 6xist6 un número r@r . d€ (a, b) tat que f,{c) - 0.Vdos a vq si la lunción dada cumpte 6st6 tr6s condicioñss.La gráfca de la luñcióñ vaio¡ absoluto de seno de x es:

En al punlo x = O la lunción t¡ene un punto añgutoso, ta tuñción no es dsrivabte en 6te punio. En elsto,r ' (0)= cos0 = 1 l (0 ' )=ms0-=l

388

se co¡s¡dera ra rünción f(x) = {,c + * "i

* - -za) D.rrm¡namyn p*aq,. ; ; ; , " i j ; .

*

b, Há'¡a,o. pun,os de, in,._"; ;il;""ilili:::::ilTj;:. ** "n e, intena,o r_a, 2r

' i;:flf""?"it1:,r#*;iiii?tii,ní*,:,xnj,",:?ffrjrrri"t,15.Éj","?3i:J;"""J"rj 'm,, n. , ¿ 2n ñ- r"

" , . ,

Luego: a 2n= S+m f)La tuncion u*vaaa es: r.1x) =

fz* n

i:,i::flx"'::f i"":ilx:.,:[fl il", =t \ 2)= 4+n 2l=12Luegat 4+ñ=12 12)

t6 son tJs deildds rare.dr€s

' var c,

De ras ecuaciones (i) y (2) se dedlce qlo m _ zo, n - J6.Po¡ ranto ra tunción r(x) /x' + 16x si x .' ' I x. 20

", ,

- -l "u'0,"

,* "ono,ciones dei va¡o¡ ñed¡o.

l') Sise cump¡e €tt€orema det vator medio. eNislé

, ,,(c) g#=jsl'l '"'.,0rn,'""Como rtxr . i 2x + t6 s i x_ 2' ' I 3Í si x 2 se liene qu€:r(c) 2c + t6=6 d6dondoc= 5queno| (c, 3c 6 de dónde c = .

'' , ;;:;.J:"::: "r

inreryo'o Esre númeb no v€nlca €, teor6ha.roc€ at Interválo Estos núne¡os v6ritcán el teoremá

".-;iT* :,,i!!ü: ;i,i'l'TiH::Ín*:""::::: ::.::3 .a, y qü. .ü do,vaoa v.n,¡ca:.'jL.t"3r"':i:':.:",:#.iTffi;lii;Ti,"T,;#l;,il.j,{,üijll.Til."il.,Trí:lT;;::.:"# ::."lljT j:.::j:.:.lfl : ;,ji:iff .::,:;,rT:ff 1.,,:"j,Í¡,"-Íi/adtcrc,óD: s. pu.d. u.¡12", ., ,..r.""

".; ;,:; .".,..

ra runcióñ l(x) es d6ivabte sn toda ta recta reat. I

por lanio, 6x¡st6 un número c de dicho ¡ntetoato lat q!e:Ferac¡on dér varo, ñed,o. !l?l !r-rr = , ,^,

21 |operando.

\¿t)=1+2Alk

:oñorrc, , , . , ; , . ; ;

" ,ro¡ Énb (2r l 6rLaJuDcion f(x) es continua y derjvabto en d intorva|o lo, 4olpo. rañb, exisié un número c de dicho Intetuaio ¡a¡ qu€:Bé¡acbn de¡ va,or medio. r(4o) rl1)

= r,^,40 1

t(40)=1+ssf(c)

f (40): '1+09.3=11g

389

18. a)

b)

¿Pu.d. .üc.d.r qu. .rra .r Im r(x) y q!. tá tuñc|Ó¡ ro ..a contñüa .r r = .? B!.oDa ¡a ¿{ps..r..Ctllct¡lá .t tfmtb t|'n (.¡ _ r),i

f"Ti:ñr.r,ji,::,iT jiTnrinuidádos €v¡rabr63 roa fmir€s rárs€r€s €n x _ a son isüaró€ p6ro no cohcrde

En la ruñc¡ón d€Íñrda por l(d - Ix !r { - 1l¿ 3¡ x=1

511¡:;t *

-" o"

'",6cra y - x asujársada €n x - 1. Esra tuñcióh s€ pu€d6 hac€r c$nrinua román-

Supoñgamo3 qu€ A = l¡m (e, - 1),1

Tomando togárilmo¿ nop€r¡anos €n tos dos miombros, !s r¡en6:

LA' Lltr¡ (e, - t) i , l im r"(a _ x)l = m !.9: l _Por tarlo, d€ L A = O s€ sigu€ que A = i, ru€go t¡m (€, - 1)i _ i.

19. Or l. tuñclón t: F + F d.ñntd. por (4 = .),¡ +unpunroorrnrrorónrn1q;;;: jt i ;;:f-. '+d¡'¡ 'D'qu'ü'n',"m¿idmor'htrvo.n¡'r,

C.lcuta !, b, c y d.

Funclón y d€fiv€dá!: (x) - €x' + bx" + o( + d

t ' (x)-3od+2bx+crk)=6€¡+2b

Lá¡ condicion€! d6¡ €nun ¡ado dot probteña 6€ tradqcú €n ¡a! sbu¡€nts! €cuaclonsr:Pa!á por el punro (0, O)l f (0) -0 + d=oMáx|rho f€taüvo €n x = i : t , ( t )_O > 3a+zo+c=OPunto d€ ¡¡flexló¡ en x = o: r{O) = o + 2b = oD€ aqulsed€ducequ€r d = o, b = o, 3á + c = (,La tunción dada €n€ ta oxprgstónr f(, = ax3 + .x

Sustitüy€ndo o¡ vator d6 €€la tunc¡on o f r,,, ., s

con 6sra clndición y ra aniiorio|, * o*. " ",".,., {"; i ," : !

Lasoruc¡ón€sr a = _1, c _ 3.ta lunc¡ón p€d¡da 63 (x) = -r3 + 3x.

l ' t '

I r ¡ )ü - I rat '_e)dr= lar . Tl _e- 9=9t4 2lo 4 2 4

390

20. sea(x)=ar3+b)C+cx+düñPol inoñ¡oquecuñpler(1)=0,f(o)=2,vr¡enedoBeltremo're|ár¡vo3

a) Dererminar a, b, c Y d.

b) ¿son m¡tiños o ñinim@ lo5 erlr6m@ relativor?

Función y d€r ivadas f(x) =a¡3+bx' :+cx+d > f ' (x) = 3a' '2 + 2bx + c ) f (x)=6ax+2b

L6 condicion€ del enunciado del probl€ma se raducen én las siguienles ecuacionesl

21.

Pasa por € punlo (1. 0): r (1) =0 j a+b+c+d=o

La de.¡vada pasa por (0, 2), l la) - 2 ) c = 2

Exlremo relalrvo on x - 1: f ' (1) = 0 i 3a+2b+c=0

Exlremo r€lár ivo en x = 2: r (4=0 J 12á+4b+c=0

135De aqLl cp deoule que d 1. b ' - . c 2. d

ó

t ' ,o. 5u tuncon d¿d¿ tene a erpresión lr.' .

I ,

2 6

Derivada sesuñda r(x) :á 3

Parax-1. f (1) = -1. O, luego la lunción es cóncava en s€ punlo y. por tanto se l ra la de !n maÍmo

Pa-ax = 2,fl2l - 1 . O, lu€go la Junción es convexa en se punlo y por lanlo, se lrala do un min¡mo.

Dada la lunclón l: 11 , 6l + R .lel¡nlda por (, = : + L x (dondc ! r .s 'l

losá'ltmo ncPsrlano dc x). d'térñ¡ñ5

cuál d. la. r.cras ldng.ñi.. a la gtálica d. l{r) l¡.n. l€ máx¡ñá P.ñdl.nl.

Las pendienlG de la r€ct6 langeñ16 vi€non dadd por los valo¡6s de funcrón derivaaa 11,¡ = L ]

Los valoros de x que hacon má¡¡ma la lunción d€¡¡vada i'(x) son los valores qué anúlan a la der¡vsdá s€gunda:

t(^t : - o-r 2

V6¿nos er é6 r&mo o nnrro t ¡d6tad¿délr¡ ,€st , ' ' =9

l l2r l . lu€ooen" = 2lalunoonl(^) 6s concava Por lanlo. €n x = 2la lunoón f(x) a lcanza un máxrmo

Ecuación de la recla tañgonte

Punto,P12.¡+L2l - P(2i 12)

Pondiente f ' (2) =; . Ecuáción d€ la lansenle:y 1.2=t(x 2) t ¡ 4y + 2,8=0

Deñu*lra que l¡ lunc¡óñ l(x) = x' + t' + x + 1 ti.ñ€ uñ ún¡co Punlo de Inll'x¡óñ P'

Halla lá écuac¡ón dé la recls langcnté a la cutua quc rcpre¡6fria .sla lunc¡ón é¡ €l punlo dé inllexión P-

Denvadas de i (x) r ' (x) = 5x1 +3Í+1 > r1t)-20x3+6x ) r"(x)=60x'+6

Posibles punlos do inllexión f(x) = 0, llego 20x3 + 6.t = 0 > 2x(10x'+ 3) - 0

solución realúnica x = o. Puslo que f (o) = 6, en x = 0 exsté !n ponlo de inll€ión

b) Tangente en x = o

Punto: P(0, 1) Pendiente: m=l(O) =l Ecuación de la recta tangent€ en x = 0: v - 1 = x luegov=xI1

391

L¡cutuay=x"+d'+br+ccortáatejeOXenx=l,y l ieneuñpuntode¡ñf lex¡ónenp(3,2)_Cotc! :qpuntos do la cutuá qué lengan rectá tangente parale¡a al e¡e OX.

Hallar lo3 iniervalos de cr.ciñ¡éñto de ta función tttt =

Función y der ivadas: y:xr+d: Ibx+c ) y -3f +2ar+b;y =6x+2a

Las condic óñes de enuncrado:

(3):2 f (3) =0

se lraducen en el siguenle sisl€ma de eclac¡ones:

l+ al b+c=027r9a+3b+c 2l8+2a

Soluciones de sislema a - 9. b = 24.c - ..16. La cutua ped¡da s y - xr 9x? + 24x 16

Si la ¡ect¡ t¡ngente es pa¡alela á eje OX, su pendienle 6s decn, la derivada prmera es nuta

La der¡vada prmera es y - 3x_ 1ax I 24

y'-0 + 3!_ r8xr 24=0

SolLció. x = 2. x 4 Puntos P(2 4). O(4 0)

Oclórmrn¡r lo. Intcrvalos d6 crecimrenro d. ta lunc¡on Ítx, - ' -.

La tuncon es continLa en toda la rsla reál

Pará 6l éstudio de la monolonia y de tos ortlemos se ultti2a tá d€rivad¿ primera y s€gunda

Dervada p'rmer¿. f (,) =

-Como 6l dgnominador és si€mpre pos¡l¡vo para cuatqui€f vator d6 ! 6¡s¡gno d6 ta d6riváda d€p6nd€.je numerádo,

t¡ d6rivada se anula en x 1, x - 1

Se tfala de ver el sgno de la dervada en tos nleryaos

( ' - . r). ( r, r), (r ' +-)Parax rseverfcaque1 x! . 0 luego ta de¡ ivada t ( r ) es negat iva en et ¡n letoato ( . - . t ) por lantolá tlncor es d6cf6cEnte en este hleryalo.

Para 1. x l se venlica qle l x: 0, tuego ta derivada l (x) es positiva en etinleryao ( 1 1). portañloa lunc¡ón es cre.ienlé €ñ esle nletualo.

Para i 1 se verúrca qLe 1 x: O uego la derivada I (x) é.s ñegat¡va en et inlevato (r, r.,) Por ¡an¡o, ¿lunción es decrec€nte eñ ese lnt6tuato

Segun esló, €n x .- 1 ex¡sle un miniño y en x 1 un mitimo.

25.

Dénvada o'rmera: i r¡r( t +2 +2) '

Se trala de ver el sgno de la derivada en tos inteNatG:

( i 2), ( 2, 0), (0, +")

El signo de la der¡vada depende de 2x(x: + 2), ya qu6 tos otros lérm¡nos son siempre posit vos para lodo x.Pa¡a r ': 2, se veiiica que l (x) : O. La iun.ión es decrecienle en este inreruato.

Para x del ntetoalo ( 2 0), se verilica que f'(x) : 0. Lá tun.ión es d6crec¡ente en esle interyáto.

Para x :- 0, se ver¡iica que l'(x) r O La tunción es décreciente e¡ esle mteruato.

392

La asínlola oblicua es y - x

Dervada p meE:f ' (x)

Delérminar las asinlotas d6l(¡l = - v osludiar 6l creciñl€ñlo de la tuncion.

Asinlolas verlica es: x : 2. x: 2

As ñtola oblicua: Ex¡sle, pueslo que e g.ado de nume@dor es una unrdad superior ál grádo dé núm€rador Paralas lunciones raciona¡es un ñétodo rápdo pala hallar la 6iñlola s hacer la dv¡s¡ón entera.

r ' R(^)

x lx+ !12)(x \ ' ,12)

Se lrala d6 ver el signo dé a derivada en os intetoa¡ós:

( - \,IA ( r,7, r,ra, 6,7. +,1El sgno de la derivada depende de x' 12. ya que los ol¡os lém¡nos son siempre positivos para todo

Para x . \'l2-. se verfca que l (x) . O. La lunc¡ón es decreciente en esle i¡t6walo.

Para x del lñleruaro ( t,?. t/i¿). se ue'¡trca que r'(x) . o La lunción es derec¡ente en esre intorvaro.

Pah x : \,12. se ver¡fca qúe l lx) . o. La lunción es cr€c 6nt6 en €sle interualo

Dáda lá tun.ion l(¡) = ,¡ .¡,, dondé . y b .on .to6 núh.ros poritivos t¡jos, !c p¡dó d.r.rm¡nar los valorcstr _ o)'

d6 a y b para quc t l.ñga un .xlrcmo .n 10, -¡1, E¿ludlar rl .eo .xtroño é6 ñáxiñó o ñin¡mo.

como f ¡ene un oxtemo €n io. ll '. t,-'0. n" o" o"saf pof d cho punrol

(o) l> 'o- . or l l=*= i r"=? rr l

Ln dérivada d€ f €n el punlo d6 abscrsa x

r'(x) G bf 2(x a) (x b) (x

r1o1 =23.. b =?ua.o=o9 ru-o

oe [1] y I2l obtenemos los valores posibos de ay b: b - 0, a = 0

Sr!=0,b=0J()=-"=-ynolF¡esenldohabla.deunextremodelaiunciónenx=0,yaqleno

eslá delnida en dicho punlo

sia:r ,b:2+r(¡) :(x 2f

rt,) = t, :1"1

Pr,r l , 2) + 31 2( + 1)( . 2f ( , 2f

rrol = $

= 1 ' o I 16 t*' -

p*to 'r".. -

(0, JJ

I21

393

2|l. s. con.¡d.re ta tuncion t(x) = i 'r¿

+ ;

.) ¿E3 corrlnua .ñ.1 punlo x = 0?

b) ¿E3 d.lvabl..ñ.1 punlo,( = 0?

c) ¿Arcanzo algún .xtr.mo?

] I l. c-r.u" .-*a"m.nr. a ra. !¡su¡.nt.! prcsunias:

a) Límile3 lalerales: lim (e ' 1) : 0 rim (x' + x) = 0

Los limit€s lal6ral6 coinc¡den, luogo la lunción €s conlinua €n x - 0.

I . " , , -^Función dorivada: f (^r = I - ' -: _:

L2r+r s Y o

l(0 ) = lil (0 ) = 1. Las d6 vads lar6ral6 Bon distinras,luógo lá función no 6s dsrivabl€ €n x = 0

f (x) = 6 ' .. 0, lu€o i(x) 6s d€crei6¡l€ paE x .: 0

r'{x) = 2x + 1 r: 0, lu€go l(x) 6s.rscionle para x > 0

Por tanlo, €n x = 0 6xÉte un mfnimo, aunqu€ la lunción no €s d6nvabl6 6n €E6 punlo.

a.á b tuñclón l(r) = j +,C-.

a) O.l.mlna lo. oorl.. con lo. .¡...

b) C!l.ul. lo. domlnlo. d. monolon¡a,

o) Añ¡llzr lo. mádrño. y m¡nlmol

d) c.lcola llm. f(x) y llm, t(x).

.) E.bozr la gÉfloa d. la tunclón.

Dominio de la lunc¡ónr B. La lunclón 6s continuá y d6rivabl6 6n EU domlnlo.

á) Cod6 con 6l €j€ OX: No l¡€ñ6, vá qu6 - - 0 Por lanto, la g.álca áEtá en €l pnrñ6r y a€glndo cuád.ánt$.

cod6 @n 61 6j€ OY: x = 0 I (0 1)

b) Deirvada p ñ€rá: l (¡) =

-* S" mtu O" u",

"' sgno de ta d€nvada en ros ¡nieruaros ( ,, o), (o, +€).

(r + 11'

El signo ds la de vada d€pende d€ x, ya qu6 (1 + x¡)¡ > 0 paÉ todo x.

Para x < 0, so vsritcá qué f'(x) :' 0. La tunción 6 c¡6ciénte en 6t6 inisruaro.

Para x > 0, s€ verilicá que f(x) .. 0. la lunción es decrcciente en esle ¡nleNálo

c) D6 aqli se d€due que x - 0 6 un mAimo. Es el ¡¡nico €ftomo

d) asfnroias v€rücal€€ v 0, va que l|m - - 0

La cutua €stá por encima d€ la asíntota.

Dénvad¿ ssunda: rrrr = "_ _- o +x')

Pm'cde nfdó*(-f ) , (+ :)

La gÉlica de la tunc¡ón e3:

394

Dada la runción l{x) = +, 3. pide:Vx'+r

a) Dom¡nlo, a.inlotas y Po¡¡clón de la curua r*pécto de ettal.

b) Inr.MlG de crec¡ml.nro y d.croc¡m¡ento, E tremo. r.l.llrc.,

c) Con@vid.d y convoidad.

d) Dlbu¡ar la grli€ a p.rtlr do lo¡ r..ultado. art€riore..

Oominio F, ya que el denominador siemP.6 es mayor que 0. La lunción es coniinua en lodo su dominio.

¡€fniotas v€rti€l6s: No existen, yá qu€ ol dominio es todo R,

Asinrors ho.izontales

hm + 1 La asinloh hon¿ontal es y - 1

tim -=--:

- | L-a cutoa €srá por €ñcrma de la asiniola

Para el sstudio d6 la monolonla y de los €xtróños 36 utilia lá derÑada primen y 3€gunda.

Osrivada pnm€€: l'(¡) = _-v (x' + r)'

Punto dond€ 3€ anL¡la la d6rivadá: 1 - x = 0. SoluciÓn: x = 1

lil6rvalo dé crccimi€nlo: ( ,, 1), ya qus r{x) > 0

Intsrvalo d€ decreoimis o: (1¡ +o), ya qu€ rilx) < 0

Punlo€ po8iblas de márimo o ñln¡mo: I - 1

Comoporlaizqui6rdadox=1latunción€¿cráciént€ypor ladorc.nad€c€cierf€,x=1€3uñmá¡¡mo

Punto máximo (1, \,4).

. . . . ¿C-3(-1uenvaoa 3€gunoa: r tx) -

----v ( t ' + r)_

Punto doñdo 6é anula la de váda: 2x' - 3x - 1 - 0

1- \ /1 'sotucrón I = :________:___ r _03 3 + \,4?

"=------ t , "

Para €srud¡ar la ourvatura basia hallaf 106 inlorvalo8 dond6 la dgivada 3€gunda €3 Po3¡tiva, inlorvalog d6 con_v€xidad y ñ€gátlva, intsrvalos d6 €oncávidad.

Intervá¡o d6 convoxidad: (-ó, ¡), yd qu6 t'(x) > 0

Inloryalo d6 concavldad: (r, 3), ya qu€ f(x) < o

Inr6Nalo d6 coñv€¡idad: (s, +6), ya qu6 r'(x) > 0

Punt@ d6 inll6xión r - f,x = s

d) GÉfrca d€ la lunción.

Con€ con lo€ €i6s: ( 1,0),(0, 1)

395

F.p¡. . .nragrál lc¿m.nr. l€runc¡ónp(x)- l .+;x"+2x'-2. l tudiandol@m¡íü¡mosyminimo..

¿Cuónt¿6 rai..6 Ml4 l¡ené el pol¡noñ¡o?

El dominio de la tunción 6 F.

La lunción 6 continua y derivable eñ su dominio.

Función v d€r ivadas p(r) - /+-x!+ 2x¡- 2

p'(x) - 4x3 + 4x¡ + 4x - 4x(* + x + 1)

P"(x) = 12x'2 + 8x + 4 = 4(3x' + 2x + 1)

l4áximo y mlniños:

p ' (0)=0 ) x=0

p"(0) = 4 :L o, lL¡€go la llnoión €3 oonvda en €€t€ punlo y 3€ lratá d€ un mínimo

Punro minlmo: (0, -2)

S€ lruls d€ vsl €l signo ds la dglvada sn lo! int€rvaloa (-", 0) (0, +").

El 3i9no ds la derivada d€p€nde d€ x, ya qu€ x' + x + 1 ), 0 para lodo x.

PaÉ x {: 0, s6 v6ilica qus J (x) .r 0. La tunción 63 d€c€ci6nt6 €n €ale Intorvalo.

Para x > 0, se verilica que l(x) > 0. La runción €3 crcci€nl€ €n asl€ ¡nr€dalo

- PuntG dé inl€xiónl

p'(x) - o ¡o ii€n€ solución, ya qu€ 3x? + t + 1 : 0 pda todo x.

Oos ounlos d€ la oráfica son: | 1. L l1. -\313/

La glalica corta al €j€ OX 6n dos punios.

El polinoñio solo tiéno dos raícss r6al€s.

396

se con3idera |a cqtua y = (x - 3){x - s)

a) se p¡<le:

r) Do,nin¡o dé defin¡c¡ón y cort$ con ¡o. 6'es,2) Feg¡o¡es de ex¡sreñc¡a, asintotae y corres co¡ rd3 as¡ntotds.3) Una répr*ernác¡ón aprox¡ma.ta <te ¡a cu

b) Dererminar cuáñia5 so,r",.""" ,a* " "*".,u",u6ando

¡o3 apartado. anreriorés.

: :ueq: l l=16_{4

-v'r, ,ro .é p¡den cu.té3 6on tas sotuc¡oñés. 6ino cüantas son.

a) r) Dominio de la tunc¡ón: R t2,2lcone con e¡€je ox: y _ o g (3.0).(s,u)

co¡r€ con ereje oy:! = . + lo Tj2) Asiñtotas venicates: x 2x=2 posición

rh (x) = +. ¡im r¡) ., a de lá curya óon reracrón a estas as¡ñrolsl

Asintolas hüEonlales: y - 1 pos¡cióñ de la curya.

l. rt"l - ,. 1,. lr,r ,

- joñ ¡ebción a ra ashroh

conoc'endo,Las¡stnrotas J/ ra posioón de ra c!ryá isspedo de e,¡as se pu6de con*ln ia gdíca de u|a

3) R6gionss de érsténc¡a

htotuató ( ,,. 2) posrtiva

hreruab ( 2, 2). negal¡va

Inretualo (2 3): positrva

Inretua¡ó (3 s): n€galrva

¡ntetoa/o 15, +z): posilva

La asínrora horizonra¡ y - r _n" "

r" *". * "r

p_t ff, r lBasla reso¡ver ia ecuación f(r) j

En la Ígura se r€preseñtan ta fu¡ción ,(x) y ra parábora y =

La pa¡áboia es cóncava

coñes cón ereje oX: ( s o) (s ol

ru{

Po¡ tanto, la paráboia y ,a curya lienen clat¡o punlos de corleEn dos puntos ta abscisa es positiva y eñ oi¡os negarva.

397

33.::fl'il:fii'J;llil"1;$;,:j."Lijl""::,T1",':."fl:*".j. ó,!¿ ror.,,sua, ! 54¡n¿. Ebr.nnh.r.,..rb

- Función qu€ s€ ha ds máximizÁr.

Aqur áparec.n doÉ vatiabres h, alura, v r, radro 06 ," ba.€, ,"rácioradas por sr áréá der ci¡indro,2rr" + 2'rrh

- 54 m:. por ianlo ,6 _ 27 - n,

LÁ tu'dón qu€ s6 h6 d€ ma¡imtra/ e3r v,(l) - fl¿h = tr'¡ !_J! =

"r, _ ,c

- Ooriváda ptrn€ra V,(¡) _ 27 _ 9rr:Sl e¡sia un máxlmo o mfnho, ta doivada p¡imola !e anura €n €€€ punlo.

v'(4=o > ¿z - g"r - o. po¡ rarL, , _ _a

\/C- Dorivada s€gundaj V,(r) -

_6rr

v(fi) . o, ,,"eo r" r.,n"ión 6ó cónc€va €n €r€ punro y r/6ns un máximo en ér.

- LAl drmen.roná. der ci[ñd. "o", ,

= ¡frn v r, _

fitn

;lf#,r.#,ih;*:ü#l1i:li{:#i?_:1:rrn j,is¿?H:r;ri,.Hx1i:ff :r.'jir.,il- Fuñctón quo.€ ha d€ max;irar.

Lft longitud€! d6 €!t!! l¡gura! !on: Oa y 2rr, por tado , gá + 2ir - 2¡," ¿on¿6, 6 -

3:-33. ¡¡ á,ea dot t¡iánguto equitár€ro 6!: {14

La tuncióñ quo so ha ds m¡ñimiza, €sj s(¡) = (3:!1ll + . ",

D€rvada pdm€ral s.(¡) = , e 1r"r +

F? + 2,, = zn _.(2__1si Exirrá un málmo o m¡ñimo, ra de¡ivada p¡im6. €s anru _ .u" o_""t's1D=o 9 ,= \ , '5 =s+rV3

flililada "€s'nda' 3d-}/t + 2r. como s'(4 > o, ra tunciij" en s!6 punro as clnvára, ru€so s€ trara d€ un

ir4.

398

- L¡s dim€nsioñec dsr rado " v a"r , ro¡o ,

"on , =

-- \6 __,-oV5 - z, \3 18

e+'Vs ,¿-27 "-- i -2r-

^ 10000

Con un hilo de 6¡t cm tom6 un r.ctánsllo qu€, ál sirár alr€d.dor do uno d. 5u! lado!, .ng.ñdru un clllñdrod. ár.. rotal mál|m..

pquf aparcc€n dos vanablG 9, dtuE' y r, radio de lss ba8€s, relacionadas por la longitud d€l Péímáro.

2r + 29 = 60. Po. tánlo, g = 30 - r . L€ luncióo que se ha de máx¡mizar e€r S(r) :2r f+2r(30-r)-60rr

S'(d : 60r. Si sn3t€ un máxiño o níñimo, la d€rivada ptimeE se anula en €s€ Punto.

v'(4 = 0 ) 60r = o, lo cual€€ lmpo3ibl6.

Si s6 ob€€rva, la tunción S(r) = 60d €3 una tunción lin€al d€linida .n €l inl€rvalo (0, 30).

Po.l6nto, ño ti€n6 máximo. No gxisls €l oilindro dó á.€á lolal máxlma qu€ cumpla las condlcion$ dadas.

D. todo. to. r.ctlntulo¡ d. á..á 1lo, h.ll.r la. dlm.n.lon.. d.l qu. t ñga lr dl.gon.l nilnlnr..

Aqul apü€€€n do8 variabls b, la bá6e, y a, b anura, Elacionadas por 6l á.6a d6l r€clángulo: ab = 100.

, / " _ 10 000)

L! tunción qu€ .€ ha d€ marlmlzaf 6l: D(a) - + o'(4

sl exl.r6 un máxlmo o mlnimo, la d€Ívada pfháfa a6 anu¡a en .!€ Punto.

D(á) = 0 > 2á - : - 0,usgoa' = 10000.dódond€a- 10

f--;;;Lá dlasona, pafa a = 10 mld€: D(a) =

\a - l!!!9 -

"6- )0.'4.- flta

Lá flguÉ obionlda para €d€ valor €6 un cuádrado,

SÉ puodo domo.lff con la dsriv¿da €€günda que 3e trala ds un mlnlmo, P€ro !€ pusd€ hac€r mဠtácilmenl6vlendo qu€ pala oiru lado8 la diagonal o¿ mayor,

Sl la base mide 50 y lá altura 2, €a ovlósnb qu€ la dlagoñal mid€ rñ& d€ 50. Por lanlo, el cuadrado ll€ne dlagonal

O. todo. lo¡ nctángulo. d. dl.gon.llgual . I, h¡ll. 1.. dlm.ñ.lon.. d.l qu.l.ng.á|ta m.Ilmr,

Aqufaparec.n do€ variabl..: b, la bar6, y a, la altura, El.oionada! por €l ál€a d€l rcclángulo: a¡ + t': = 1

La lunción qus s6 ha dÉ max'ñizar 6€: S{4 - a b - a \ 1 - s' = \ á' _ d-

51"¡ - -314. st ."ta6 un má'imo o mln'mo, la d€nvada ph.ra !. snura sn €!€ punlo.

D'(a)-0 + 2a-¡ ta¡=24(1 - 241 -0\/á

La! soluoion63 8on: á = 0, a = ;,

Pará á = o, el ár6a d6l r€cúnouro eo oe,o. ea'a a = f,

d á€a d6l rccránsulo €. :.

cooméljoün€nt€ s6 ve qu€ cuando los lqlol€3 d€ a €3 ap.oxlrñán a 6ero €l ár€a ü€ndo tamblón a c€rc, lu€go PaE

a = +- €r a@ 6 rnülma, ya qu€ mfnima ó3 para a = 0. Para el oko lado d6l rcctángulo .€ ü€i€:

b = V1 - a'= \1 t

-;. Lá lisu'E obl.nida par6 6€r€ valof €a un cuádrado

" 10000

399

99.

Un ?unto B.téná¡ r.cor. t¡ párábo¡a y = x, - 7. D.duc¡r razonádomente ta po.ic¡ón, o po.tcione, en qera d¡at¿ñc¡a d.t punro at or¡g.ñ (0, o) o. mínha.

La gÉlica ds ta tunc¡ón es una parábora convexa.

Ej€ de simelria: x = o

Puntos simé|licos: A(2, -3), A'(-2, -s)B(3, 2), B (_3, 2)

Punto genórico de ta parábota: p(r, x, 4Función qu6 s€ ha d6 muimi,aÍ d(r) = V¡ + GL ry = \4--"r + 4,

Dorivada p m6E: d'lx) = _$Vx'-13x?+49

si la lunciÓn árca¡za m máxrfño sn árgún punro, ra dénvada primera s6 anura 6¡ la abecisá c[fr€spondrént€ a e.epunlo, 63 d€cn, d (r) =0

Por ianto, 2x3 - l3x = O

Fesolvi€ndo, x - o,x - \,6.5, x = -V.,6¡PaÉ x - \,G5, x = -\6¡ b distanciá 6s

- 26

Pará x = 0, lá distancia e! 7

Por tanlo, para x = o se iría d€ un márlmo rctalvo.v para r = /d5, "

= -1/6s- se rrara oe mrnimo".Pu€d€ comprcba|ls tambián coñ ta d€¡ivada s€gunda p6rc es d€mariado largo.

X.llá r. long¡tud d. to. tado! d. uñ rrtánguto t.ó¡..t.. d. ár.a ñártma cuyo p.tñ.!ro ..á OO m.

LEñamoE y a lo3 tados iguat63 d€t iriáñguto isóEc€tes y 2x at tado d€3¡guát.Roláción €nfl€ tas variabt€s: 2\ + 2y = @

Pofiantoy-30-x

La altura d€t ir¡ánglto, h, mide: h = lvGt: {r. f - V/góo _ 6oxLa runción qu6 se ha d6 ña¡m¡zar 66 ta tunción á16á détin¡da por:

srY) _xh ¡v900 60¡ v900{ 60)r

La de¡ivada p m€ra es: s,(x) - -l!L199{2 V900tr _ 60x3

Si la iunción atcanza m máximo 6n algúñ pu¡ro, ta dérivada prim€ra * anutá en ta ab&isa corespond¡eni€ a 6epunro, 6 d€c¡r, s'(x) = 0.

Por ranb, 1 SOor 180x1 = O

Factorizddo, loox(1o - x) = O

Resolv iendo, x-O,x=10

Para x - 0, se tlata do un mín¡mo po¡ ser et área o.Para x = 10, se irata de un mlíximo, ya que et á€a m¡nima e3 para x = O.D¡mensjones d€l t¡i¿ingLrto: 20 m, 20 m y 20 m,

Se trata de un riánguto squitátero.

400

El barco,a aban.rda un pucrto a ras o hora6 y ñsvega drecrañenrá h¿cia et norte a 16 veroc¡d.d coñ6ranréde 6 nudo.. El bárco B 6e encuentra a tas 0 hold¡cho puerto a ra veroc¡da., consr'nie de s nudost :-:.40

ñilla3 al *le de¡ Puerto v navega dh'ctam.ñte auno at oiro?

, ¿uuándo .e ña 6rán €6to5 b.rms to ma3 proximo p@tbte

ñ-

i

PUERTO

En la ligura se ha dibutado ta posicó¡ del pueno y ras r¡ayec¡oras perpendicútares de tos barcosEl espacio que recoren es 6t y Bt. respect¡vamenle, sieñdo I et €mpo en ho.as.

Función que se ha de ña¡m¡zarlLa d¡slancia enre los barcos s6 cá¡cuta po¡ €t toorema de pitágoras.Ld ¡Lrcron 6 Dflr I .¡o-el. . iol, \ roor_ o&r r ooo

Dó.ivad¿ pnmera D (r 2ool 640 . -2 V100f &rot + 1 600Si óxiste un má¡mo o minino ta derivada priñ6ra se anura en ur punto.010 0 > 2ool 640 - O tuego I = 3,2 horas = 3 rr l2 ñin

Dor¡vada s€glnda O, (l)

o'(32) . 0, uégo 6n r

57 600(v 100t 640l r 1600f

Hacr.ndo .t cáñb¡o dc vártábt. | = ., catcu¡a i 6

, " -

* ¡" , . .¿ dt

s | - e¡ron(6s o, e d. . sBr i ruv€roo €n ,a ,nr6q¡ar daoa. s6 r ,6np i , . ,

j , . , " ,

Puesto que f + 3l + 2 = (r + 1)(t + 2), et intog,ando se pu6de descompoñer en lraccoñs simptesr = a

+ B a(r+2) + B(r+ 1)

( l+ l ) ( t+ 2) l+1 l+2 ¡+ t ;1r+z¡lg la lando 1=A(t+2) + B(r+ 1)Paral= 1 1=AParat= 2, 1= B de donde B= 1

r -¡ i . -d l l , , , , , j ldr- . r I I I 2

l - 3-* = r . "* ,

L d+2l l=L(€+1) Lie+2) -12+13

T

¡ r '+ lcatcuta. ta t.t€aht _ dx- lx ' -4¡+13

La lracción dada pu6d€ lraslomarse en una lÉcción m¡xta que coGta de una parle enle.a y otÉ lracciona a be-s:ha@r la divis¡ón enleh:

4r+12," 4r*13-1+x' 4x+19

La expr63rón fraccionana se puedo €xpresd como suma d€ una erpresión que va a ser una mlegral logarílmie ,de oira pane que será una ¡nlegral lipo a.e tangonre.

. I t t 4, t? _1-c 2, 6 - , - ,__3:_L-",2t 4, '3 \ ' 4r-13

' . 4y-13 ¡ 4^ 13 - i 4¡113

,^21 4- ' ' " - ¿^- 1J ' \ - r ) - ,

Hecho *le prcceso, cada una de las pari€s es una int€gral inm€drata. Por lanlo, la ¡nl6gral pedida es:

¡ ¡ r ll=--d¡-^,2LK 4^.13 I dcto - ,CIr_ 4/¡ t3 3 - 3

cálcula ráañ¡d¡m.nl. la .xpr..lón d. lá tunclóñ l{x) rál qu.: r'(¡) -

x. I y

P¡im¡iNá dé r ' (x) : (s=. i*¿d"-- l . l . . . . "" .o"- ,1" t r c

po,tanfo, r (o) =-;-"=! de dond€ c = 1 . La runción 6s: r r"r=-t . "+r

D.t.rñ¡n¡r la tunolón t(d .ábl.ñdo q!. r'(x) -

x L(x), r'(1) = o v l(o) = !.

Pala calculár la lunción f(x) hay qu6 intsgrar dos v€c€s ra tunción Í(x). Lás comiant€€ dé ¡nt6gÉc¡óñ pda d6t6rmiñara vienen dadas por los dos valorcs pad¡cular$ de l(x) y l (x).

Prim6ra int€gracióñl

fu, , .o.__; t l : * . f "0, .Valor d€ la constan€ fr l ) 0 J l t1, - 4

C=0, dé donde C-¿

PnmeE funcdi ml6Eal: f ( ' \ = i ¡ t ¡

S€gunda ¡nt€gÉción:

f l t ro {* l lo,- t) \ .2 4 4l

La int€grald€ la pnmeralunción se hace por ¡a regla de la ini€gral del producto, comúnmente llamada por partes.Las otras dos 6on ¡nñed¡alas.

l ,ú 1j- 1,¡r I , ¡L j I) 2 2: 2 3 :3 | 6 t8

por ranro. r rx)- ' 'Lr ¡

' ' , r -c ig 5J I c614 124 6 364

vator de ta @nstanta: t (6) ! : t ,er ' 3e e

c -e ¿" oon¿"' ' 4 - 6 36 4 -

i 'L¡ 5a 1 er

(o)=;

402

45. Encuentra tos vatore6 de la3 con3tanles a¡ b, c y dj ..b¡cndo que:

1"..J C"_l + 1)é,di = (af + b,? + ct + d)6,

Por er ier€ma tundamenrar der cárcuro sábemos que e ¡nregrando es ¡guar á ra derivada de ra tuncrón inr€grar.Por tañlo de F,(x) = (x) se sique:

13d, +2bx+ c)e, + (dr+bf +cx+ d)e,= (r3 x,1)e,Simptiticando y ¡educiendo téminos semetants se obti€ne:

d3 + (3ai b) f r (2b+c)x +c+d . xr x r 1ldentficando coetic¡entes:

a .1 3a+b=0 2b+c_ j c+d 1R*otviondor a=l ,b= 3,c=sd= 4

sea I una tunción conr¡nuo p@¡ vá tat que r -: i l{x) dxrodo x € p, 1l? ta

La ¡espuesra es no. Basla 6t6gtr u¡a lunción como en ra rcuraaqui se ha dibujado ra tunoón r(x) = 2x + o.s.La grál¡ca loña valores menores qu€ 1 su iñleg.ates.

L rE) dx =

] 12x + 0.5) dx = fxi + o.sxll = 1 r o 5 _ 1 ,5

. 2, ¿So puedé á3e9ur6r quo t(x) : 1 para

a, uarcur. ra Int.grat I cor r

d¡ r.a¡t:ándo ot cdmbto de var¡áb¡e r . co¡ x.

D' uarcura to Inr.grat I co. , x

dx rcá ando .t cañb¡o d. várr¡bta I - 19 x.

c) ¿S. obr¡.n. cl mt.mo ro.utrado.n ¡mbo. cá.oó? Ju.tíca tu r.!pu.!ra.

a) Si t . cos x, óntoncG dl = sen r dx

sustiruy6ndo én ta tnr€srat dada. $ lFre: I -'gif dx ..

b) S¡ I - tg x. entonces dt = secrx dx

suslitlyendo en ta inlegrat daoa se rere I

:!| ¿, =

c) La lunc¡ón inleg¡atd6 b plede transto,marse as,.ts.x =19[] i .os.x 1 1z pco¡. i= lcos- ,cos"-¡

Las r6sultados oblenidos en a y b s6 d¡fe¡enciañ eñ ona constañle, tu€go ambas son p,imilivas

Calcul6r, 6¡mpt¡t¡@ndo todo ¡o pos¡bté et rssutt.do, t. der¡vad¡ dc t.6 s¡gu¡onr* ,uñc¡oñ.s:

a) l(¡) = ¡og 1]]]:

(tog: togarilmo nep.f6no).

b) q{x)=le¡(1 + f )dr .

DL -- - D.t t . ) DLr l | - r , - l 2

t , ! ! t^

Dor el leor€ra lundame-bt de' L¿tcuto sp ¡ene:9 r.r e . ¡r .)

l l ' 2cós' t "

l ,a ' . ! ' rc.=9rrc

Y:2x + 0,5

403

á) obtcn.r una lunc¡óñ l(x) quc v.rflqlo:

¡) t'(x) = {x - l)c.

¡¡) t(x) l¡.n. un cnromo .n.l .,o Ox.

Oelerm¡ná. 3i .E .¡rr.mo * uñ ñáx¡ño o uñ m¡nlño,

l(x) es una pimitiva de r'(x).

I t tf (x) = l (x 1)e 'dx= xe¡dx- e¡dx-x€¡-€f -€ '+c=x€'-2€¡+c

Si la tunc¡ón llx) ti€ne un 6r.oñ0 6n x - 4 entonces la dsivada prim€ra s€ anula sn 93s punlo.

Encu.nt¡a.l ár.. dd.mlnada por la. corva¡ y = x' . y = x .

El |€cinlo limilado por 6ias do8 qrrvas ét¡t r€pr€$ntado 6ñ lá siguiÉr't6 f'guE

Lás curuar pasan por roa punioE (0, 0), (1, 1), (-1, 1).

El rcclnlo 63 8imético ré¿p€clo d6l ól€ OY

El áf6a vi€ns dadá por la rigui€nl6 ¡nl€g,al d€rinida:

aG, = 2] . {^ i idr=r l t ' á]o=

26 - i ur id6d6 cu6drád6

A(R) -2f s,+, -,")d" = l t ' . ' " , ] '=z]=t*."o*.*o.o*

6.¡ y = x" + a. q.bula .l valo¡ d. . para quc 1.. lang.rl.. a lá curva .n lo. púñto. rl. .b.cl.a .1. valor€b¡oluto uno, p6¡.n por .l origln d. coord.ñ¡d... Hallo .l ór.a .l.l r.chlo llm¡l..lo por la curva y la. dor

- P€ndi€nle €ñ x = 1: m=2

Tangenle én elpunlo (1 1+a):y 1-a-2(x-1)

Lá recla pasa por elo gen(0,0): -1 -a=-2, d€ donde a=1

- Pendi6nte en x = 1: m- 2

Tange¡re en el punro (-1, 1+a) y-1 a=-2(x+1)

La r€cla pasa por erorigen (0, 0): 1 a = 2, de donde a = 1

Ecuación d€ la parábola: y = f + 1

Ecuación de las ta¡genüee: y = *, y : 2x

El rsinlo fomado por la paÉbola y ld ldgenl€s es el r€cinio sombroado:

r ' (a) - (a-1)€'-0, de dondé a-1

El punlo dond€ €xi{e énrcmo $ A(1 , O) Conocido €sl6 punto pu6d€ d6teminaF6 la lunción qu€ paa por

l (1) -€ 2€+C=0, d€ dondé C=6

La tunción ss: l(x) - x 6' - 2d + €

b) Pá.a dot6rmiñá. Ei €l puñlo A(1 0) €3 ñáximo o mlnimo 3€ halla la derivada segundal

f(x) - x s'. t (1 ) " € :, 0, lu6go la lunción €3 oonv€xa €n €ste punto y, por ianto, se trata d€ un mlnimo. 53.

50.

4U

Cafculá e¡ áraa de la regióñ t¡mitada por tás grát¡c.5 dc t.6 func¡one. y = _x, + 4x _ 4 e y =Zx _ 7.

T

La ¡eprosentación de ta parábota y de la recta viene dada eñ ta

Vé¡t¡ce de la paÉbota: V(2, o)

Los punlos de code de parábota y recta se obt¡enen r6orv¡enoo er

lY= x"+ax aty=2x-7

r-a solucrón es: P(3, 1) O( 1, -9)

El ¡€cinlo sombreado 6s et determinado por ts dos gráficas. Á@a d6t recinto

o1^1 =i"q.*" , " ro, l , ( , , nd"=f i " .* . "*"r0,=l f -*rr l ,

o-f ' r . - -"r* { ' lz " .

32

53. á)

b)

Dfbuja¡ar€g¡óntrmladdportacurvad3.cuac¡óny=r(s_x)ytaúcr.d. .cuació¡y=2x_2.

Hal¡á .l ár.a d. ta rogión d..crña .n .t ápa.rado an¡lnoi

Lá lulcrón y sus denvadas son v - 43 - , - 3r 'Y =3 2t

La grálica ás una parábota cóncava.

Vér i ¡ce: y =3 2x=0, tu€go x=1.5y - 2,25

véri¡c€ vf ,5i 2.25)

Phlos s¡métricos A(1 2). A,(2, 2). B(0, o) B (3 o)

Lá bcla y = 21 2 cota a ta parábota én dos puntos dóreminados por 6t si6i€ma d6 €cuacion€s:

lu 3 ' 'lv=2x 2

So ución d€ls¡st6ma: P( 1, -4) , O(2,2)

Lá región l¡mitada po¡ t6 grát€s de la parábota y dé la r€ctá 6s ta sombroáda en tá siglieñte ligura:

92

t2^ 2td^ = - -! llL 2 3t ,

405

Comld.re la lunc¡ón l: B + R d.flñlda cn la loña l(x) = 1+x x,

a) Halla la de.¡vada de L

b) D.l.rm¡na lG ¡nr.ry¿¡o. d6 cr.clmbnro y d. dccr.clm¡.nto d¿ t(x).

c) Colculo la Inr.gr.l d.tlñlda d. 9(r) = rl{x) on €l ¡nt.rv.lo I-1, 21.

Lá tunc'on l(x) se pu6de esc¡¡bir de la si9ui6nl6loma:

- l1+^ sr ¡ -0r l r =11_"- s, { o

En x = 0, lá lunción loma el valor l(0) = 1.

Po. ranro, t(x) €s conrinua 6ñ F.

La do5 tuncion€B parcial$ qu6 d€linon r(x) son d6ivabl€€ 6n p.incipio €n B - {o}.

La tunción denladá 6

. . l2^s¡ x 0r (Yr =l- .2r $, o

Véárñor c!áñlo vál€n lae d€ivádas lat€El6s €n x = 0: l (0 ) = 0r (0)=0

Por tanio ia lunción d6 vada €6

r¡ , r - l 2r s¡ r '0' ' ' l -2¡ s i ) 0

Esta expr€€ió¡ s€ puéd€ s6cribú lambión así 1l\) = 2x = 2 ,

La lunoón l'{x) és pG¡liva s¡ x r 0 lu69o es crecienle en (0, +d)

La runción l'(x) 6s posilva si x .: 0, lu€go ss cre.iente en ( -,0).

En €l punlo x = 0 d€ s6paración d6 ámbás Émas, la lunció¡ es creciente por s6lo por la izquierda y por laderecha como consecuoncia, es cr€cionle al ser lc l¡mites lateEl6 igual6: f(x) = 1.

Por tanio, r(r) €€ cr€cienl€ 6n B.

c) La lunción x l(x) v¡ene dada por ra expresión: g(x) =

Lá inl€gral en ei inletualo [- 1 , 2] es:

l ' , 'ur*=J"o "r* . { o ' 'o*=l f f l ,

5d

* l r , { l ' : 1,1, , ,^=231241,24-4

406

Calculaélár.a. tetareg¡ónt¡miradaportacuNay=(¡_1),(r+1)ytas¡edásy=o¡x=-2jx=r.

La g¡áfca es Lna cúbi.a.

Basla conocer tas raies o cones con tos ejes para .eprcsenrarh aproimadamenle, que es to que se trara aqur.

Raices lx = 1, punlo dobte, ta cuwa 6s langonle en esle punro, punto minimo.

La curya 6s cóncava convera. Coñ estos datos, ta g¡álica es ta siguieñle:

Los recintos limtados por ia cutoa y tas reclas esláh somD.eaaos

Pa¡a inlegrar se expresa tá lunción en forha po¡inómica: y = x3 x¡ . x + 1

A(F,) = i f ' (" . x, x. 1)dxi = l l f f ; . ,1 ' .1 = l #l = #¡ r" . r=1,r , , x. x+,)dx: l i : : . " i . :#El área do todo 6t recinlo es

t2e un¡dades cuadEdas

cálculá.1ár.a d.t.rñtn¿da por tá cotuá d. ccu.c¡ón y =;=. et.jc Oxytas racra. r = 3 y x = 4_

t¡ gral¡ca d€ 6sta tuncrón sé d¡butá rápidañento ha ando ls asinlol6 y ta posrcion de ta cutua ¡€speclo de et6.Aslnrotas vélrcales \ 2,x 2 Asinrotas horizon¡arés: y _ 0

ss li6ne qu6 catcltar et á¡@ d6 ta ¡egion somb¡eadá.

su válo' es a(Fl = I 3 o^

PLeslo quo r: 2 = (x + 2)(x 2), et int€sando 3e puee o€scomponeren l¡acc¡onos smptos

B Al. +2) +B(\ 2)r '¿)¡ \ 2t \ 2 \ 2 t . 1t t<.21

guarando, x 1-A(x f 2)+B(x 2)

Pa'a. 2

-

1 ¡a oe doroe a I

-Pa¡ax- 2 J 3- -48, de aon¿e er-9

einr- f* , " !a,=f

(*-¿) d '=1"1"n,- ,

=1iosz + 9bso - :1o95- o,a1 unidades cuadradas

3r+ rog x+2 =

4Q7

Calcula €l áre¿ det rñ¡n.d. por ta3 curvá6 de ecuactóñ y = )l - 2x,

El árca que ss pide es el do la región smbreada.

Eslas dos tunc¡ons sn par€e, luego t6 grái¡cas son simárica€ respecro

Para halla/ el área solo s€ necesita conocer tos punlos d6 ¡nlerseción

y = x1 2x¡ = x¡ de donde x¡ 3f - x?(x. 3) = o

sotuciones: x = o,x = V5," = r,/.

Cood€nadas de stos punios: O(0, o), p(\,€, 3), p ( \6,3)

€ y = x'repr.lcnrad. en e¡ dibu,o

Por la srm€lría d6l recinto, s€ r¡6n€:

e6t=,1 t"' 1*' ,".¡0" = , j '-r.'. , rro" = , f", l:l] '=,rui =!#,nidad€scuadradd

oa.lá tá to.ctóñ tt¡l = r - 4 + _lLx+4

a) E.ludld .u contlnuldá.t.

b) E.ludla lo. lñt.N.to. d. cr.c¡mr.nro y dccr.ctmt.nto, y to. ñáxtmo. y m{ntmo! toc.l...

c) Calcül€ .1 ár.. llmltads por t. grátcá d. t¡ tunotón,.t.1. Ox y ta. r.cr!. v.r cat.. x -

o y I = 2.

a) El dominio d6 lá función €6 B {4).

La función 6s continua 6n todo su dominio.

b) Función d€¡ivada:r'(t) =

l (x)=0 + xL+8x=0

Soluclonsg x=0,x- -8

56 trara do v€r €l sqno de ta derivada €n tos ¡niervatos (--, -s), ( s a) l-a, o), (0. +¿)

El signo de la derivada dependé ds f + 8x, ya qu€ ot d6nominador €s positivo.

- Paa x < -8 se verifÉ qus f + 8x > O !á func¡ón 6s cr6ci6nte en 6si€ int€ryato.

Para I < x < -4, se veñica que f + Bx - O. Lá tunción s d€cre¡ente sn €sl€ intefralo.

- Para -4 < x i 0, se v€llica qle f + 8x < O. La tunción es dereci6nle en ste intetuao.

Para x :' 0, se verilica que x? + ax > O La tuncióñ 6 crecient€ €n €te intoryato

Según esto €n x = A oxisle uñ máiño y sn x: O un minimo,

c) Lá func¡ón 6s conrinua en el ¡ntewato [0, 2], po. ranro €s integrabte.

, 16 f rA(R) - l l , 4+r+4:Jd-=lZ-*.161 x+4i

"= 6+1616 16 L4 - 0,4s7 un¡dades cuad¡adas

404

59, sean las luñciones r(x) = x, y 9(x) = x3.

Determ¡ñar et área éncerhda por tas gráfica. de ambas ,u¡cione. y ta recta ¡ = 2.

t¡s lunciones vienen dadas en ta s¡guienle tgura:

El ároa de recinto s€ obtiene asil

a(Fr = 1 ¡ d¡ f ' , . * = l { l i l l =| 4 l 3

:

l"-;) (: i)=ii j=fi"".",""","",".""

Dlbul.ndo le grai¡c@ d6 l.! runcionG. íi¡) = e, 9(x) = €",, h(r) = e,, ca¡cuto et ároa dé¡ ..ctñto t¡m¡rádo por

Las tuncon63 t(x) y q(x) són runción6s dpononciarés

Eslas grár¡cas s€ dol6ninañ rápidamenl6 dando átgunos vator6s, ya que son ñ!y conocrdas

Lo rmpoña¡G 6s delormiña¡ ot r6cinlo

El área del rsinlo se obt¡ene sumando t6 int€g¡ales g(x) en €r ¡nretoato Io, 1 I y h(x) en et nleryato It , 2l y feslándotela inlegrall(x) en et Inletuato Io 2l

a,R, Ied. , , . "* i " . . / ; ] . r " . r , r . r" , , ; , *" " ,

,u , " _.1

¡(n) = ajl un,¿a¿es cua¡¡a¿c

409

61. Teoieodo €n cue¡{a que ls tunc¡ón (x) = 2t' - 3t' + a loña v6loÉ3 po.ll¡vo¡ y n.gsttuos, hall¿.1 Elor .¡r 6d€lom¡quselárcalrmnadaporel . loOx, lo l lc tex=-r ,bFc¡ar=2ylacuMy=l(x)=á3-3x'?+aqu.d. dlv¡d¡da po¡ cl .je OX .n do¿ p¿rlú 19u.1..,

La grálica de una lunción cúbica que loma valo€s posilivos y n€galivospuodo sd similar a la indicada en la siguienl€ liguh:

El d6a dél recinto limilado por la cuNa enke 1 y 2 queda dividdo endos parl€s isuales por el eie Ox. Esto indrca que la ¡ntegrai delinidá enel inletualo I-1, 2l €€ 0, es d€ct,

J'rr . - . " .*ul*=oO€sarollando, se tienel

i ' i,* - "o * n'= i: " -l ', - -"" 'F6solvi6ndo: a = 0,5

La cuNa p€dida €s y = 2x" 3x" + 0,5

S.! t (x)=r¡+ar 'z+bx+5.Hal laaybparaqo. lacurvay=l(x) ! .ñga.nx=runpunrod. ln l ¡ .x¡óncon láng.nL horlzontal,

Calcular. lár .a. l . l ! r .g lón.col€dad. lp lanopor l .ourvay=xr-3x¿+¡,(y lar .c iay=*

Función y d€. ivadas: y= x3+d:+ bx+sy'=3x'+2á¡+by =6t+2a

Las oondic ion$ del€nuñciado: l ' (1)-0, r (1) =0

tuta8 cond¡c¡on$ ss traduc6n 6n 6l s¡gui6ni6 Bisl€ma d6 6cua6¡onos: 3 + 2á + b = 06+2a=0

Solucioñss d€ls is lema a=-3, b=3

La cuNa pedida 4: y - x! - 3x; + 3x + 5

Repr66nlación d6l reinlo.

Func¡ón y denvadas: l(x) = x3 3x: + '\

* x(f 3x + 3)l ' (x) = 3x' 6x+3=3(x 1)" > f (x)=6x 6> r ' (x)=6

: , -o

a)62.

Cod€ con los ejes: (0, 0)

Punlos crjiicos:f'(x) = 0 de donde x=

Punto de inllexón: r(x) = O de donde

PuntG de co.te con lá recta y : x:

1. Como f(1) = O no exislen má¡im@ ni minimos.

x = 1. como f'(l) > 0 se rrata de un punto có

x3 3x: + 3x = x, dé donde x(x" 3x + 2) = 0

Solucionesr x = 0, x : 1, x = 2

Punro€ de code: o(0,0), A(1, 1), a(2, 2)

El r€ciñ1o F la región sombreada en la l¡gura.

Las dos reqiones s€paradas por el punto de inllexión son simétric6

r1n¡ = zf 1". - s". * s' -'r o' = z f r. - r,, * z"r * =, lÍ -. .,i" -, I = l

! . . .

i : ;

410

Estud¡a sl .lomitrio de d€l¡nición, tas posibt* a5íntotae y to5 ¡nteruatoó de cre.¡m¡enio v docr.cirÍ¡enro dela iuñcion y = L, D¡buja primé.o ta graf¡ca .té t. func¡ón y, despu&, ét recinto torñado por to. puñtos,

las coordénad.s (x, y) que ve¡¡r¡can tas deeisuardades x := o, L : v .,: 1.

Expl¡ca Ezonadaménre por qué et rec¡nto que ha3 dibúiado * et que 5e ha p6d¡do.

Hrrla el área de €te ..cinto.

a) Oominó de la tuncióñ: F { 1} A6íntola ve¡ticat: x= l. Asntota horzontat:y = 1

Oenva¡a pnmera v = L( r | / )

La func¡on s crecienle en lodo su domrnio, yá que y , o en ét sempre

D.rivada seoun.ra ".

= L(1 + x)'

La fú.ción es cónvexa en er ¡nleealo ( . t).

La lunción es concava en et inleryato ( t, rl)

En la siguenle igua so representa ¡a c!tua de ta tunción y e ¡ecintoque cumpe 16 condrcion6 d6las desguádades dádas:

Recinló OAp = Renló OAPO Fecintó OpO

A,R, ,

I .1, , . , , t t , t t t

1¿ 1. .2 ú

I

F.Pr.&nra grátlcárn.nt la tlEurá pram t¡mhadá por r. rc.ra r = Oyta p.rábot¡ d. euáctó¡ x = (y _ t)? 1.

56 trata d6 una parábola dé eto hor¡zontd Vénice: V( 1. 1)

Eie d6 simelía: y - r. Punlos simékcos: O(0, o), A(0. ?)

Se p¡de €l área de r6cinlo OACO sombf6ado Este re ñro es sméi¡ico y se pú€de catcutar primero e áréá der

Áea(ocD) = Área(oDcB) Áleá(ocB)

¡ i - i . ¡ o*=r I , a ' : r ¡ ¡ =, 1 j , , )a(F) = 1

Area dé recinlo pedido: ?

2a1,,

243a

411

Dlbu¡a. l@¡ñtopl6nonñ[.doportá¡, . rábot. t ' - ¡=lyport . r6crapárat . taay=xqu.pe.rpor. lpunlo (1, 0). c¿lcul.r et ár.a do €6re roctnro.

56 rala de una parábola de 6je hoi¿oñtat. La ecuación es x = f 1

Eie de simeirlar y = 0

Punlos simétricG: C(1, 1), A(l -1)

como la r*la es paralsla a y - x, 6s de ta ioma y - t + k.

Si paa por el punto (1, o) €l vátor d€ k = 1, lu€go ta r6cra 6s y = x 1.

Lo3 punlos de corl6 d6 la paúbota con tá r6cta vien€n dadc por 6t sist6ma:

I '

¡ 1 F€oolvEndo 6e oblrsnon los punl6 C{0. -r, D(3. 2)

s6 pid6 6l ár€a det r€c¡nto sombrBado Daac.

Árca(DBAC) = 2 Ár6a(OAB) + A.6a(cBD)

arR) " 2 f ' V{ - 1 d, - |

l \4- l - - r , 1) ld,-

= l3o -',*]".4 19 9= 3_

+ ;

= ¡ un¡dad$ cuadradas

voruñ.ñ d.l cu.rpo l|mttádo por lo .llP|. : + f = I

Lo3 valofgs d6 los sémi6j€3 sonr a = 5, b - 1.

C6nlrc de la siFe: étoÍg6n {o,O).

volumen engendrado at girar sobre et ej€ OX:

v-2lo¡t t4d¿ = 2r I l ' - .Jd" -

^r f - ,1 ' /_ 12s, 2or- , ¿ L. ¡rl" "lr zs r - 3 un|dad6 cuadradas

- [ i r , . , r - f - ,1"=

66, .l d.r una vu.lt. compltá ¡tr.d.dor d.t .,. OX.

412

Cons¡dera la suportic¡e lim¡tada por:

. La 3eñ¡circu ereñc¡ay = s + Vt¡-:;.

. El éie ox.

. El s.gñenlo que un6 los véri¡ces (5, o) y (5, 5).

. El segneoto quc une 106 vértic4 (-5, o) y (,s. 5).

Hslla el volom6ñ dé la ligura obt6ñtda át g¡rar 6a .up€rt¡c¡e una vú6ttá atred.dor dét eje OX.

Lá semicncu¡le¡encia y = 5 + V5-:tr ti6ne @mo Édio r = 5 y como.entro (o s).

En realidad se rara de la circunterencia f + y: = 25 rrGtadada hacia ariba 5 un¡dades

La g¡áfca de la ligu¡a que gira al¡€dedor deleje OX €s ta s¡guiente:

Volumon engendadol

l -v 2l ' ( i \25 ,1 'o 2 '1,50 10\2s- , ,d.

De las tres tunclones de que consta €sia ntegratdos son mmedrar4.

i_ l

1(50 ' )d\ - l5o' ; : r5o

;

La tunc¡ón dslinida por la raíz cuad€da se hace por sustituc¡ón trigoñomélrica

Función radical: \/'25 f dx

Cambio ds vaiable: x - 5 sen t, dx = 5 cos I dl

cambio de llmir6 d€ inr€qfación:

$ r = 0. €ntoñcés 0 - 5 s6n r. tu6go s€n I = O por ramo: r

S¡x = s 6nlonc€6 5 - 5 sen I,luego s6n t = L Por ranto r =

Hac¡ondo 6ios cambios $ tisñ6:

0

!2

v t=iVolum€n de¡ cuérpo €ngondrado

251 sen 2t l- t l ' t , l "=

v -, . lzso, f f * '" . T) = ":0" r 125r '

413

DE FUNCIONESESTUDIO Y REPBESENTACIQN

EJERCICIOS

¡d lgéntal | . luñc¡óñl{x)=t+1'Apadndeeai6,dibu,al |agr l ica. |6|aluncióng(,=x+1'Párt¡ .ndoJ-.j"

"B'J'., i"-i;;¿mo 5e pa.; d€ una rúnc¡ón á ra rünc¡ón varor ab3oruto d¿ ra m|3má

l ¿ <9uenl6s liqu'as se t€orese.la. la lun'rcn€c

o

:t3 repr6eniar una luncD¡ valor absoru¡o se Fpr€senta Pim€rc la lunción (sin valor abso(no) y lu€go sé lrdan

r: imetía r€specto deleie OX las kmas d6 cuNa negarNae

j tundón valor absoluto g(x) - x + 1 € simél 'a

resp@lo dolele x - r'

I tisu¡¡ .¡qul.nt. ..pr...niá lo srátlco d' una tun'¡ón v = f(¡) 'o

cl Inl'rv61o (o' 2) Dlbu¡ar la sÉtlca d'

*¡"'i'nclo_n cn ¡ lnüwaro (-2, 2) v dot fñlñar !u 'xPr"lóí

tnal¡t¡c' 'n

c'd' qno d' lot 'lgubni"

éa'o':

: La llnción l(x) 6 par cuando paB todo x d6l dominio' l(-x) = r(x)

La grárca en 6l inleNalo ( 2. 2) es siñélr¡ca r€specto dél eje oY

[ 2 2 r- : r

La expr$¡ón anal í t ica es (x) =l 1 -1 ' r i 1 x:0t 2 1 ' :x: 2

¡r Lá lúnción l(x) es Pa. cuando para todo x dél dominio f x) - (x)

La grálica én el iñleNalo ( 2. 2) s srmélrica respeio del origen d€ coo'd€nadas

| 2 2<x' : 1|11^0

-¡ arpr€s,on an¿l ,ca és: rr\) ' 1 i o ¡ .I z 1 ' :x: : 2

o€ño.tar que rá runc¡ór l(, = d? + bt + c licne 'l

ñ¡!ño ej' 'lé

siñ€rí¿ qu' la luñción 9(x) = á)C + b''

La demostración ss haco por fasladon

|¡ tunción g(x) se obliené de la lun.ión I(x) por taslacrón del veclor vorlical t = (0' -c)

Lúego €l eje de simélía de la paÉbola f(x) no varia, l/a quo 6 perpeñdicÚlar al eje de abscrsas

299

= i + 4x - x'z. Hallar lo. valorc3 márlmo. v mlnlmo. ÓHác.r una rcPrc..ntac¡ó¡ gráf¡c! d€ la lunción l(x)f(x) .n €l l .dolo I-1, 4.

La gúlica es una parábola.

D6 vadas slcesivas:r'(x) = -b< + A,l(rY - -2

Oominio de la luñción l(x): Dom f = F

f(x) = -2

Lq parábola ee cóncáva

l(x)-o ) -2x + 4 - 0. R€solv i .ndo: x = 2

vértic€, punto ñüimo: v(2, 5)

Int€rvalo d€ cf€clmbntor (- €, 2)

ht€rvalo dó d€cr€cimi€nto: (2, + 6)

Simotrfa axiál: Ejs d€ 8iñ€lfla x = 2

OrroE dos pu.toB 8lmól coÉ: A(0, 1), A'(4, 1)

Méttñc€ y nln¡ñ$ en et lnt6ñ/alo Í-1,7ll(-1) - -4, r(4 - -20

Punto má{mor V12, 5)

Punto mlnimo: MO, -20)

. ¡ t<116.5. o.da r. funcrór rfi, - | ¡ J 1¡ !i i '

r

.) c.lcullr r¡ domlñlo y dlbulÜ f¡ grllc¡.

b) D.llnh l. tünclón l(x) .n x -

t p!r. qu. ..t ootflnu. 'ñ "'

Puñlo

c) 9!¡do.l(1) .l v¡lot d.l .P.rt.do .¡t.lor, v.r tl l(t) .. dü¡v'blt tn t = l'

a) Por tratarco d€ una lunción a trozos' básta ropros€ñlar las dos turclon€€ en lo3 in!'rvalo3 ind¡cádoa'

Domiñio d6la tunclónr Dom | = F -t1)

Funclón: f{x) = xr - 2x + 1

D€lvada! suc6slvalr f (x) = z. - 2. t'E) = 2

- Puesto qu€ r(x) = 2' pam cualqulsl x la páÉbolá €0 convsxa

- f ' (x) =0 ) 2x-2-0.Re6olv ieñd0:x-I

Simetía ax¡alr Ele d6 8im€lrla x - 1

véf1ic6 (punlo máJ(¡mo)r v0, 0)

orfo3 dos punlo6 liméfico3 3on: (0, 1), (2 1)

b) ft una tundóñ á irozos.

Lás do3 funcion€6 pücial€3 son cortlnuas en su dominio.

S6 trata d€ gstudiat €l compodarni€nto de la tunck5n en el punlo do unión li¡ando la8 condlcion€€ pd¡

r$ult€ codlnua 6n é1,

PaÉx= r : l im 0=0 l iñ (x- l f =0

Pu6€to qu€ los lfmit.s la!6ral€! soñ lgual€s, s€ pu€d6 arnpllar la lun€ión de modo qu€ 36a contrnua * ¡

' I o 3i x ' lr r r )=lG_t) s i x 1

c) La lunoión 6s dsívabls 6n x - 1 , va que lá! dsdvads por la ¡zqui€rda (unción consianto) v por rá

(parábola con !énico €n x = 1) val€n 0

300

Répr*oñtar ra functón r(x) = x¿ - 5x + 6

Para rep¡esentaf una runc¡ón varor absoruro, se repr€e¡ia p¡imero ra tunción (srn varor absoruro) y ruego se rrazanpor srmetra ¡especto d€l ete ox tos trozos de cutua negativosE¡ 16 figlras s¡guientes se represeñlan tas lunciones

Esla lunción es simélrica respecto de ta reta x = 2,5.

FéPrc3ónlar la lunc¡ón (x) = x? - x + 2, conr¡d.hndo qu. ta tunc¡ón o. pa¡.

ú runcron €s par ya qu€

(x):( x) . x | 2=(x)Po¡ lanto, basta ropresentar ta túncón para x . O, qu€ es t(x) - x1 x+2y consr¡ui ra pa¡te para x .: 0 por simelría rosp€cto det€je de ordenadas

Hálrar la túnc¡ón t(x) = á¡, + bx + c.€bt.ndo qu€.t vérl¡cc.. v(t, 1) y paód rbr.t pu.ro p(0,2), Dtbulárpr.v¡añ.nrc .l .1. d. ¿¡ñ.tía d. ta parábota y h. ár .t ponro ¡¡mór¡tco d. p r..p.do ¡. dtcho .|..

El vórlic6 de la parábota €s V(1, 1)

La recra d6 ecuación x = 1 es €t ejo de s¡motrtá de ta párábota.

Los punlos eiméticos r6p6cto dét ele x - 1 toman tos ñismos vatores.Eñ 6re ce. €t punto siñán@ de p(o 2) 6p€cto d€rej€ t = I 6 p,(2. 2)

Pu6slo que coñoc6mos tr6s puntos de ¡a parábota. podomos dol€¡minaraSustiluy6ndo en /a ecuációñ gen6.at. s6 ti6ne:

f ( r )=1 > 1- a+b+cl (o) =2 ) 2=l f l2 l = 2 ) 2=4a+2b!.

Rgsov¡endo 6ls is lema:a = 1,b = -2,c=2La ocuac¡ón de la parábota 6s: r(x) = x, , 2x + 2

Dllérñlnar algoños v6loré! dé a, b, c pár. q!é ta párábota p(x) = d. + bx + c no corró .t éje ox y 6ea.¡ñ€t¡¡ca rdP.clo a la ¡6cla x = 3,

Sr la pafábota s convexa (hácia ariba) y no corta at ej6 OX, et vórlice deb6 eslsr en et semiptano slpenor.S la rera x = 3 es et eje de s¡motria de ta parábo a, éntonce et vérlice de ta parábota puede ser V(3 t).Los punlos s métricos respecto det eje x = 3 loman tos m¡smos vato.si6ñ esre c6o, se pued€ etesn Pl2,2) y p (4,2J

Suslituyendo en la ecuac¡ón gene¡al se liene:

iP(3) = 1 ) 1= 9a+3b+cjP(2) =2I P(4) =2 ) 2=16á+4b+cResolvrendo e sistemá: a = 1 b = 6, c : 1 OLa ecuación de la pdábo a es:y - x: 6x + 10

301

16.10. F.PEs.ntar l.lunc¡ón l(x) = 2x! - Ax + 1.

La gÉlca es u¡a cúbica.

Deivad4 suc€sivas: f'(x) : 6x' - 6, f(x) - 12{

Dom¡nio y puntos de cotTe:

Dom¡n¡o d€ la funcióñ l(x): Dom I : F

Puntos de correi (0, 1), (-2,05..., 0) (0,12...,0), (1,93 0)

úlvláx¡ñ ., ninirnos y ñon tbn¡aj 1(X) = 0 ) 6r'- 8 = 0 Resotuiendo:x - \iá

=

- Pah x = 1,15, f( 1,15) < 0, lu€go s€ irata de un máx¡mo.Punto mát imo: M( 1,15i 7,15)

Para x = 1,1s, f(1,15) > 0, luego se lrala de un m¡n¡moPunio ml¡ imo: N(1,15i -5,15)

Inlervalos de cÉcimi€nto: ( cr 1,15), (1,15i + d)

- Int€Nalo de dscreciñ¡ento: ( 1,15i 1,15)

Punloe de ¡nflax¡ón y cuNatura:

f(x) - O t 12x = o. R6elvi€ndo: x = o. Punlo d6 iñilsxiÓn: (0, 1)

- Inlorya¡o d€ con€vidad: ( @, 0)

- Int€ñálo ds oonvóxidád: (0 + *)

16,11. R.pr...rür b lunclón l{t) - x¡ - 2x" + r - I

Lá grflca €3 uná cúbic€.

O€llada! sucÓ8lvásr f'(x) = 3x' 4x + 1, rí() - 6! - 4

Doñlnlo y punlos da cone:

Dominio ds lá lunción l(x): oom I - B

Punro8 da €ortor (0, -1), (1,75...i o)

Métino€, ñlninos v nonotonlaj j'(x) = o impll.a3x: 4x + 1 = 0 R€3olviendo:

- "." "

- ¡.t(;l

o. lu6so ss rÉta d€ uñ má'|.no Purto rñá,rmo t!4 á ;l

- Para x = 1, r(1) > O, luégo s€ rata ds un ñíniño Punlo mínirñor N(1, -1)

r¡t6rvalos de crocimionror l- -, 51, (1, + ú)

- Inlervalo d6 decr€c¡mi€nto: \á 1]

CuNalua y punt6 de in exióñ:

t(r)-o ) 6r - 4 = 0. R€6olü€ndo: x = :

Punro d" irb¡ó" (: -;)

- htoNaro de con€v¡dad: (- -, :)

rnreruaro d6 coNdidad: (:, + -)

1,15

,,=:"=1

302

14.12. Repre6entar l. fuñción l(x) = {x + l)" (x - 2).

La gráfca s una cúbica:

Función:l(x) - (x + 1F 0 - 2) = x3 - 3x - 2

D€ vadas suc€€ivas:r'(x) = 3x'2 3, f(x) = 6x

Donjn¡o y puntos de code:

Dom¡nio de la tunción f(x): Dom I = F

f(x)=0 ) (x+1) ' (x 2) =0

R6olvi€ndo:x = -1 (dobl€),x = 2

Puntos de corler (0, 2), (-1, 0), (2,0)

Méxiños, ñ¡niñas y nonalonia:

r '6) =0 + 3x' 3 = 0. R6solv i6ndo:x = 1,x-1

Pa.a x - 1, r(-1) r 0, lu€go se 1Éla de un máximoPunlo máximo: [r( 1, O]

Para > - 1. l'(t) 0. luego 3é raia de un ñ.n,moPunto mf¡imo: N(1 4)

rnl6rualG de cr.cimi6nto: (- c, -1), f, + 4)InlÉÍálo d6 dác¡€cimi6nto: ( 1, 1)

Punloe d6 ¡nll.x¡ón y cuNatuta:

r(x)=o t 6x = 0. R$olv l€ndo: x = 0

Punlo ds inft€xión: (0, 2)

- hieryalo de concavidadr (- -,

0)

- Ini€&álo dE conv€xidád: (0, + 6)

'¡.13. R.pr...nt€r 16. .lgul.nl.r lunclon..:

á) ($ = --L

b) (x) =

c) (x) =

' .4=É+f(') =

¡: 1

f t=f t ]=

' r " l=- ;

's ,==

' , =-=

t . ' l =;

1

n)

f)

.r 'r'r = ¡j;

o ter = ¡*-!

s) l(¡) =

303

a) r(x) -

l¡m -a:= r -

b) (x) -x+3\ -2

f ( r) : - _-- , r(r) -

Donln¡o, cortee y aelnlolae:

= 1 + =.

Esta tunción 6 una hipérbola equ¡látera.

(x-2F

Domin¡o ds la tunc¡ón l(x)r Dom r - B - {2}Asfnrota vBrl¡dli x = 2

Asfntota horizotal: y = 1

slmotft cgntmlr c€nlro d€ slmeidar (2, r)

Punlo€ d6 coñér (0, 0)

Po€ición d€ la cutoa resp€cto d6 la aalnioia vdlicali

r¡m --:--= + -

Po3ioión d6 la cu.vá r€€p€cto d€ la aslntota honzon|lll

- Cuañdo x fl€nd6 a + e, la curya g8tá por clma ds la a¡lnlota horizontal.* Cuando x li€ñde a - d, la curua €6tá por d€bdio d6 la aalñlota ho zonial.

Métlño1, nlnlno. y ¡noñotonla:

l'(x) = 0 no ll€ns loluclón.

No óxial6n rñáxirño8 ñi m¡n¡rno¡,

Int!ryalo3 d€ d€cr€cimi€nio: (- ., 2), (2, + -)

Punto. da lnfldlón y cuNatua:

l()() - 0 no ll6n. loluclón.

No exl.t€n purro8 d6 Inffex¡ón.

- Inlaúalo d. concdvidadr (- -,

2)

- hlarvalo d6 conv€úidadr 12, + ó)

- 1 + --:-. Elra lunc'ón €. una hlpárbota .qullát€m.

f(x) = - t t -2f

Domldo, coñ€e y aelnto!,e:

Domlnlo d€ la tunclón lE): oom r -

R - {2}A8lnlola v€dicalr x = 2

Adn¡otahor lzotal :y-r

slmotfá c€rtÉl: c€ntro do llmorlar (2, r,

Pudo€ d€ cod€: lo, -:1, (-3, 0)

Po€iclón d6 la cuNa rc.p€cto d€ la allntota v€dlcall

x+3 x+3

Po€ición ds la cutoa l.4€cto d€ la alhtota horizontal:

- Cuando x ü6nd6 á + 6, la curva 6€tá por €rclma d6 la aglñlota horizontal.

- Cuaido x li€nd€ a - d, la curua e3tá por debaio d6 la 4ínlota horizontá|.

rF) = a5!

304

Muimos, ñin¡mos y monoton¡a:

l (x) = 0 no liene solución.

No disten má!¡mos ni mlnimos

lnreealos de d4.ecimienlo: | .., 2), 12, + ü)

Puntas de ¡nflexión y cuNaturu:

r'(x) = 0 no t¡ene sollció¡

No €xisien punlos de inllexión.

- Inleryalo de concav¡dad: ( -,2)

Inlorualo de convoxidad: (2, + -)

= 2 + 2x - 3--iL.

Eslá luñcióñ es una hipérbola equllátera.2^-3

rr^r = 4- r"¡ -(2> 3)'

Doñin¡o, cotté6 y asinlolf.:

88

DomhE dé la lunción li¡l: oom r = n ] 9\21

¡€lnlola v€rlicalr x-:

&hioia honzotal : y=2

shdna csnual c€nro do €rméria l;. 2l

Punios dé coné: lo ál. l ; ,9P6ición d€ la curya r$pécto de la aslnlol6 v.riical

. . 4x+5 4x+5, , , 2f - 3 . 1s U - 3

Po3ición de la curua r€sp€cro d€ la aslñtota hon:oñial

- Cuando ! tiendé a + -,

la c!ruá €61á por 6nciñ'a d€ la a8hlota ho zonral

- Cuando x ti€ñd6 a F lá curua 6tá por d€bajo d€ la aslntota ho zonral.

Máx¡ms, n¡n¡n6 y ñonoton¡a:

r'(x) - 0 no ti6ne solución

No srisien ñdimo6 ni mlnimos.

ln€toalos de d€cr€¿imisnro. \ - ' , ; l \ ; . . )

Puntos da iñléx¡ón y cuNatutu:

f(x) = 0 no liene solución.

No diston puntos de inlloxión.

r"r.raro de co"ca",dad, (- - :)

rnteNaro de @Nadad: É

+ -)

(x-2f

305

s) f t )=1

oeivadas: f'(x) = (rSL,

f (x)=0 + 3x?- 1=0.B€8olv iendo: x=-

Punrosd6,n,€¡ón: "(- * -i)

"(+ -)

- Int.ruaros d€ coñcavrdad ( -, - f) (* '' -l

-rnr€rvarodsconvexróad: ( f +)

h) t(x) '

Dorivadalr l'(x) - ff.-. 1f-3,

Donlnlo, codá8 Y aslntotae:

r"1x¡ = lQfJ-!

Donin¡o, codes Y aelntol¡':

Dominio d€ la lunción f(x): Oom I = R

PuntG d€ con6 con los €j€s: (0, 1), (-1, 0), (1, 0)

simeria drar Eje d€ sin6rria oY. lá tunción es pa- .

Asíntotá horizonial:Y = 1

PG¡ción do la curua mP€cto ds la 4iñlola hodontar:

- Cuando x liendé a +,, la curua e€lá por d6bajo ds la afntota horizontal

- Cuando x ii6ndé a @, la cuda €61á por d6bdjo d€ la 4lntola horizonhl.

Máxh6, nlnl@ y ñonolonla:

f(x) = 0 t -2x - o. R€€olvióndo: x = o

- Para x = 0, f(0) > 0, lu€g€ 6€ trata d€ un m¡nhoPurfo nínimor M(0, -1)

- Int6 alo ds dacr€oimionlor (- ó, 0)

- ht€rválo d3 orc6irñ¡6ntor (0, + ó)

Punt@ de lnttet!ón y cu^/a@a:

\,6 \,63 ' '= 3

t ' -1 )C-1

Dominio ds la lunción f(x)r Oorñ I - ñ - {-1, 1}

simdla ax¡al: El€ d6 dm€fia oY. La lunción E! par

A€fn!ot66 vádlc€ls:x = -1, x = 1

Pos¡ción d6 la curva r3specto d6 lar aahioüa8 vsrt¡oa¡€a:

l '1 , . - . -

1= --

&ln¡olahoizonlalry=l

Pos¡ción de la cü|va ra3P€cto d€ la aalnlola hor¡zonlal:

- Cuarido x li€nd6 á + -,

la cutua €stá por €noima d€ la aeídolá horizontEl,

- Cuando t ti€nd6 a ú, la cuwa 6€lá por emimá do lá 4inlota hodzonlál

308

l',láximos, mín¡nos y nonotonia:

r'(x) =o :) 4x = 0. R6olviendo: x = 0

- Para x = 0, fl(o) < 0, luego s€ irala d€ un máx¡mo.Punio ñá¡imo: M(0 1)

Inietoalos de cre.im¡ento: ( i, 1), ( 1,0)

- hlerva¡os de decreimiento: (o 1) (1 + 4)

Puntos de ¡nllex¡ón y cuNatuta:

l"(x) -0 > 3x"+ I =0 Esta euación no li€n€ soluciones r€16No exisre punio de inliexióñ.

Inloryalos d€ convexidad ( - ,

1) , ( r ,+,)

I¡1€tualo de concavidad: ( 1 1)

0 l(x) =

Deavad6 3ucesiv6: r* , - ' l ' , r ' r . ) - 2 ' {" ' - 3 l

l r ' rG1)

Doñ¡n¡o, co¡tes y asintotas:

Dominio ds la lunción l(x): Dom I - F {-1, 1}

s'melria c€nt'al cenrro d6 3im6tna (0. 0). t¡ tuñcoñ es Inpa¡

tuintolas vér l i4 ls:x - -1 N=1

PGición d€ la curya r$pecto do laa asintota vorricals:

l iñ - l - -

- - l ¡m

&¡ntota horizonialiv = 0

Posición d6 la curvá rcBp€c1o de la asíñtoia hoÍzontal

- Cuando x li€nd6 a + a, a curva €siá por €ncima d6 ta 4íntoia hoizontat,

- Cuando x ti6nd6 a - -, la curva 63tá oor dÉbaio d6 ta aíntota horizonla,

Mtuhos, ñlninioe y norctonia:

i (t) = o > x" + 1 = 0. No ri€ns solucióñ r€al.

No 6x¡si6n máximos ni minimo6.

Inrervalo8 d€ d€cr€€imi€nto: ( . , 1) , ( 1, 1) , (1, + -)

Puitos da infiexlón y cutualura:

r'1r) = 0 + 2x(xr + 3) = 0 Rosoiviendo x = oPuñro d€ iñloxiónr r(0, o)

- hléryalos de concavidad (--, -1), (0, 1)

Inleryalos de convexidad: (-1 0), (1, +-)

f t r ) : - -_ lL' ) ' ( { a)

16(3x - 8) 64131 16x + 24)Doivadas su@sivas: l'(x) -

Donin¡o, cones y aslntotas:

Dominio ds la función f(x): Dom I - R {0, 4}

Asíntoia venical6: x = 0, x = 4

309

Máx¡nos, nlnin46 y ñonolon¡a:

l'(x) = o > x?(f 3) : o. B€€olviendo: x = o, t - - \r'5, , : \,6

* Paú x - 0, v66mB qus és un pu o d6 irllodón

-Parax- V5, f( \f3) < o,lu€go ee raüa d€ un má¡imo

. t5Punto máxiño Mf \,i¡, -3 +l

- Para x = \,5, rN/a) > o, lu6so se tlata d€ un míniFo

l -

\16\Punb mlnimo: NlV3. 3 ;/

- Int€rvalos d€ cÉcimi€nto: (- -, - \fq, (V5, +

-)- Inrefvaros d€ d6cf6cimbrnor (- \,6, l), (-1, t), (1, \r3)

Puntú de lnftexión y cuÚaüna:

r()q-o + a(t '+3)*o R€3olv iendo:x - o

Po€slo qu€ la luno¡óñ €ó docrecl€nle €n x = o, !6lrata d€ uñ punlo .ls iñllexión.

- Intrvalo! d€ ooncávidad: (- -,

-1), (0, 1)

- Int€rva¡o3 d€ coñvexidad: (-1,0), 0, +-)

n) m-ü

D€rlvada¡: f '(r=\#, .. Lx(2 - Lx)I tx) = --;-F

Donlnlo, cott*s y aelÍtotte:

oomlnlo ds la tuñdón t(x): oom I - F' - {l}

¡¡fnlola vorlioal: x = 1,

Po.lción de la cu^/a i.8poclo de la aalntola vollc¡l:

¡ ¡n I=-- rn I -+., - i - L¡

Mátln$, nnÍ¡oa y ñonotonla:

r'(x) =0 ) L(x) - 1 = 0. R€.olvl€ndor x = e.

- Püa x - . !! il6n€ qu€ r(e) > 0, lu69o 3€ !ála do un mfnimoP! o mfnimo: N(€, €)

- Int€{valo3 de decr€cimle o: (0, 1), (1, e)

- lntoryalo d€ cr€cifiieñlo: {s, + e),

P!/l,toe d. lnflexlón y cuvaü.!t¿:

f (x) =o + L(x) t2 - L(x) l =o R€lolv i€ndorx = 1 'x- €?

- Para x = 1, la tunción no ó¡üá dellnlda.

- Pata x = d, s€ ri€ne qu€ f"(o1 < e, lu€so s€ lr¡¡á d,e un Punlo d6 rrlloxlón convox."r**", (* ff

Int6Nalo d6 conwxidad: (1, d)

tnt d6loa de concavidad: (0, 1), (6", + &)

312

D.dá l¿ tunclón l(r) = -, .t Pld.:

.) Calcul.r tu domlnlo y a.¡ntoia..

b) D.l.ñlnü.ü. Inl..valo. d. cr.clml.n¡o y d.cr.Ghl.nlo.

c) F.pr.!.niáil€lunclón.

112r{ ¡ ) -1-- 1 | rxr - ( ¡ r 1f- . r fx) =

i ; - i1)"

Doñ¡n¡o, codas y aelntolts:

Dominio ds la tunclón l(x)r Dom I = B - {-1}Allnlota v6dioal:x = -¡¡€lnlota hofizoñtal: y = I

c€ntrc d6 llm€tla: (-1. 1)

Punto dá con€ con lo3 €j63r (0, 0)

Posición d€ la curua ru6p€clo d€ la adniota v6rl,c€l:

rm + . - +.Po!¡ción de la cu^¡a rép€oto d€ la a.fntota iorizonial:

- cuando x tleñd6 a + é, la anruá €6tá por dsbájo do la arfnlola ho¡lzonlal

- Cumdo x tleñd€ a - é, la ürryá 6slá por.ncima d6 la alfnlolá horlzonlál

Mátlnor, nhl¡t1ú y nonoloñla:

l'(x) - 0 no ü€no .oluclón.No odr.n máxlmo8 nl mfnlmo€.

h¡.fvalo. ds cr.cif¡¡.nt)r (- é, -1), (-1, + -)

Puntog d€ hltexl'ln y cLrwtua:

f'(x) - 0 no tlóñ€ .oluclón.No .xlr!6o punlo8 de ¡nfofón.

- In¡.f\/alo de convg¡dad: (- É, -l)

- htatualo d6 concsvldad: (-1, + e)

Está tunclón 6€ una hlp&bola 6qullá¡$a.

13. 6a conalda[.n.] Dl¡no l¡ r.ot. r - 2. Eñco¡tr¡t co.luñclom. cuy.a graflc.¡.¡lmlt n . d¡ch. t.oh.omo,alntol! v.rtlc.l y t ñgan dl.tlnt . po¡lclon.. r.¡Pacto . .11.. B.Pñaaañt r dloh. PoJcloñrr.

tl€n6 coño alfntota ta rscta x = 2, va qu€ €n x = 2 !! anula el d€nomlnador'. Lá curva oor la d.r6.ha d€ 2 li€nd. a + ó

. La curva oof la llqui€rda do 2 tl€nd. a - d

lá lunclón l(x)

La tunción g(x)

1x-2

l

$-2r

ü6n. como a¡fnloüa la ruoia x = 2, ya que .n x

. La cuNa por la d€rccna d€ 2 iiándo a + ó.

. La curua por la lzqul€Kla d€ 2 li6nd€ a + ó

= 2 !€ anula el donomlnador.

313

{r - t ) (x-2)( ' -3)16.16. F.p'...rtar la tuncrón f(x) =

ü _-iü _ 5t (, - 6)-.

Dominio de la lurción f(x): Oom I - F - {4, 5, 6}

Puntos d€ cort€ con €l 6i6 Ox: (1, o), (2, 0), (3, 0). &íntotaa v€rticalG: x = 4, x - 5, x = 6

Pos¡ción de la cuNa r8€péclo dó laa a8lntolas v€nidb6:

.. l¡ - 1)(' - 2) (\ 3)

.,. (r - 4) (v - 5) (x q

.. l¡ - l)(¡ - 2) (¡ 3):-; (¡ - 4){x 5) (¡ - 6)

(x - l){x - 2) {x 3).- . ( ¡ - 4){x - 5)(x - 6)

k l l lx - z) f i 3)

.-., (( 4) (x - 5) (! 6)

k l lk - a{¡ 3}

. ; (x - 4)G - 5) (r 6)

l ¡ - 1)h - 2) ( ¡ 3)

. - ; (x - a)G - 5)G 6)

A!¡ntora horizoñral: y = 1. Poslclón de la cuNá ro¡p€cto d€ la allnloiá hor¿orlall

- cuando x li€od€ a + ,, ta corua slá por óncirna de la alfntota horlzonlal

- cuando x iiend€ a - ó, la curua s3lá por debájo d€ la alfntota hofizonlal

T€nlsndo en cusnta quÉ la lunclón €! .ontinua 6alvo €n lo€ puntos dondo hav aslntota, un bo€qu€jo d3 la gráñ..

Hay mlnimo8 €n 1o3 sigui6ni€6 lniaryalo3: {1, 2), (4, 5)

Hay máximo8 €n lo3 ¡lgul€nt€c Inlarval€ (2, 3), (5, 6)

Hav un punlo d6 ¡nl€xlón án €l Intsrualo (- ó, 1)' ya que la gúñca tlán€ qu€ cambiár dÓ curyalura Para qu6 s

(x-1)(x-2Xx-3)v=ii--a¡¡-5¡x-o¡

16.17. L. r.cr¡ y = ¿( + 6 .. un. ..lntot obllcu. .1. l¡ runclóñ l(x) - +*l

Ilall...l v.lo. d. k.

Lá a.fntola obllcua liene como €cuaclón gsn ral y = mx + n

l{x, .. áf + I-varofd€m' =.n ; =,9. r -_-E =

"Lu6go colncld€ con 3l de la r€cta dáda,

- varor d€ k: 6 t ,rim. (lcr - a) =

"!l'| l;-:i - 2xl - .lim.

16.18. 3. conaldra l! r.ch v - x.n al pl.ño. 8. pld! .ncortr.r r.:on.d.ñañ'

l. un. tuñolón cuy. trállcr t ñ9. por.iniot , l! r.oll mr.¡br.

!a lunción Éciona! f(x) - x + - tbne por a8¡ntola la r€cb y = x

En 6l€cto, oua¡do la varlabl€ x llondo a + e, la rama de la tunc¡ón1

l(x) !€ aprcxima a la r€cla y = x, yá qu€ - ü8nd€ a 0

L¡ glánca d6 €la lunoón €3:

1+2xk - ,

314

Hallar la3 a3intotas de la luncló. siguie¡te y comprobár.¡.n algún caeo la asinlola cora a la gtáficá de l.r!ñción. calculando el punro de cone:

(d = i+?

¡a,á x - + -,, la grálica de ia runción liende a o' (por encma).

¡ as¡ntota horizoñlal es: Y - 0

'ara x ', la g¡árica de la func¡ón liende a o (por debajo).

É asíntota horizonlal es: y = o

-ás dos 6inlolas horzontales coinciden.

é curya corla a la 6í'itola €n el punlo (0, o)

Dibujar la grálica de lá lú.clón f(x) = Lx, at.ndién.lo 6 lo¡ s¡go¡..lo. PUnl@: dom¡n¡o de d.l¡nición, corle conlos eies, ssintolac v.rl¡c6le., inted¿loó do moñoronia c ¡ñr.rvalo5 dc concavidad.

A parrlr do la grál¡ca anter¡or, .¡rabbc.r razonadamenté cóño r.rlán l.s gróllca3 d. la6 .lgubnre. func¡oné6:

r) L¡ b) Lx c)L(x-2)

Nola: L¡ .¿ .l log€.ilño n.P.rláno d6 x.

I IrLn. 'o. v den\adér l t ! ) LrvJ f ( . r , rG)

Domrnio d6 la tuñoón l(r): Dom I - (0 + z)

Puitós d6 corre: (1, 0)

I (t) 0 no 1ien6 soucbnes Por tanlo no existéñ puñlos 6xlremos

Pa€ todo x 0. $ lr6ne qú6l (x) o.

ñrerualo de fiecimiénlo: (o + ')

f(x) = O no ti6ne soluciones Por tanlo, no oisten pLnlos de nflexión

Para todo x -0, se leñe qle f'(x) ' 0.

l¡t€ryalo de concavidad: (0. +.,J

La g¡álca 6s la s guBnte

Las olras cútu6 se dedlen a parlú de €sta, y son

315

16.21. Dadá la lunc¡ón f(x) = x Lx - 1, x > 0, .e pld6:

a) Expl¡er d.loma reonada por qué l¿ euac¡óñ x lx = 1 t¡éne oxaclamonl. una ra¡:

b) F.pr...ñl.r grllo€m.nto la curua y -

r(x), h¿c¡cndo un ..tud¡o pr4¡o de lo. él€m€nto. noco.ano. p*¡.llo (lnl.Nolo, d. c6.¡m¡.rlo, máxlm., mí¡¡mo., ¡nll.x¡oñ{, 6.¡rtota.,..),

Por el l@¡6ma dé Bolzano, la tunción coña al €je OX sn un punlo d6l i¡i,edalo [1, ?¡, ya que fl) < 1 y (2) > 0

Por tanlo x Lx - 1 = 0 ti6n6 e¡ución, y única, ya qué la función l(x) = x Lt - 1e3€teci€nie.

D€ivadas.l'(r) - L¡ + 1, r(¡) -

oominio d€ ls tunción r(x): Dom I = (0, + o)

Máxinú, ñlnin6 y ñonotonh:

l (x)=0 + lx + 1 = o. F63ol ! i6rdo: x = o 'Pa|¿ x - € r, se l¡en€n r'(s r) > 0, lu.go s6 lÉla d6 un míniño. Punto mfnimo: N(e ', -s ' - 1)

- Intervalo ds d€crccimisnio: (0, € ')

- Inisn/a¡o ds cr€clmi€nto: (s ', + -)

Puntú da tnlle ón y curvatunr

f(x) = 0 no liene 60lucioñ€3. Por tanlo, no €xkl6n pufito6 d6 Infodón,

Pala lodo x > 0, s€ li€n€ qu6 f(x) > 0. h¡arualo d€ €onv€x¡dad: (0, + €).

Como llm x Lx * 0 €nlonc6a llm (x Li( - 1) - -1

la tunclón !s aprcxlma pof la dorc.ha al punro A(0, -l).

16,¿. 8.! l(x) -

xr 2!-', dond. ! .¡ on nr¡m.ro po.lllvo.

.) E¡lüdl.r lo. náxlmo. y ñl.rlño. y lo. punto. d. Inll.Ilóñ.

b) Ertudl.r lm ..lntot ..

c) F.pr...ni grállc.m.nt..l ca.o ! = L

Funclón y d€dvadEB: (x) = x¡2€- ' > i ' (x) = x(2 - $()€ ' + r lx)-(a1f-4ax+2)€*

a) Mátlñoe, ñlttlñoe y ñonotonh:

t ' (x)=o + x(2 - a¡) = o. a€€olv i€ndo: x=o,x=?

- Pa€ r = 0, áa ll€no qu€ f (0) > 0, luágo .€ llatá d6 un mlnimo. Punlo mÍnimor N(0, 0)

- p¡6 ¡ = 3, se time qu. r(3) . o, ¡*o ee r'a" ae i¡n máxrmo. Punüo máxrmoi M(e, 5)

- Inlsrvaroo ds d€cr€cimi€nüor (--,0),(:, +4

- lnrerElo ¿" "r."¡-¡.nro,

lo. ?l\a/

Puntoa de lntlq¿ón y cLwatun:

f l (x)=o :) a. f - ad+ 2 = o. R€Éotvie¡do: ,=g-P ,-

2-\6 ,2 ' \ñ\ - ' " l \ , - "1

\" ,"1

316

b) Doñ¡nlo, cones y a6iñotas:

Dominio dé la lunción l(¡)r Dom | = FAsínioüa horizonral:y - oPosición de la curya r€specto do ta aEf¡lota horizontat:

Cuando x liendo a + -,

ta cutua está por encima d€ ta asíÍtota horizontat

Con stos datos, la gdica para a = I 6s ta sigu¡enre:

¡¡tt_ Oa¡.rnrnar lo. máxfio. y mlntmo. ..t.tvo. (o toc!t..) d. ta tr¡ñctó¡

' (4- \¿-"( '+;) + '

.¡ .¡ Int dllo I0, sl. B!.car tor puñro. ¡1. Inft.xtó. d. (x) .n ..t. Int|rv.to. ¿H.y .tgún punro .ntr. o y 2d

.n_qu. la grúl¡c. d. (x) cot. .t .1. ox? Dtbul.r ta gráícá d. f0() .n .t Inr.ryato Io, rl. D.r.rmtnar timb¡óncuál .. .l máxlño .b.otuto y cuát .r .t mtntño .b.oturo d. t(x) .n ..t. Int rv.lo,

r(x) = vt s€n (,, - ;) .

"Domln¡o, cütee y aslntota9:

oomlnio de tá tunción l(x)r I0, 2'lLá tunoión 93 continua y d€rtvabte €n 93ts in¡arvato.Punlo oflg€n, ñlnimo absoluro: A(0, 1)Punto €xtramo, má¡iño 6b€otuto: B(2r, 2r + 1)

Méxlños, nlnlñoa y ñonotonla:

1(x\=o ) . ' /2 cos l ' +;J +1=0

F€3olviendo la 6cuáción, se **, "

= ;,

, = "

- eara x - I ae riene que t,(x) < o, tu€so s€ lrara d€ un máximo tocal

punto me,¡.o ¡¡/I. I + r]\.2 2 I

- Para x = r €e iiene qu6 l'(r) > o, tu6go s€ rlaia ds un mt¡imo tocát.Punlo mlnimo: N(n, r - 1)

- hr6to6ros do crcim,6nro: lo. ;j, {', ,r)

hrerudo d€ d€crocimr€nto: l;.

nJ

Puntoé do inflexlón y cutuatum:

l " (h)=0 + v2*"("- i l =o

1l"r - \6 c". (". i) -', rr,.l = - \E s€n (" +;)

317

Resolvie¡do la €cuación, 6e l¡ene:

*la -

= T,

sé iisno €l punto dé inrlex¡ónl

'/3r 3r\

'\t i1

- ,*" '=+,

se ti€¡o 6l punto de irlldión:

t , lh 7ñ\

- Intswaro d€ conv€xidad: (T,

- InteNa¡os d€ ooncavidad, (o

+)?l'\;' ' ,")

PROBLEMAS

16.24. 9!ran¡. lo. Í.lnta dl.¡ co.'l..outlvo. d. un m" l" accloñ'r d' un' dlt'rnlnldr 6omP!ñla h'n t'nldo

cotElcloñ.. d.da. Por l. lunclóñ

l{x)-0,2t ' -Ex+ l0o

doñd. x .¡ .l nr¡ñaro d. Cl¡. lr.n.cürr¡do..

H.ll.r lor dl.. .n qu. 1.. r..P.cüv|. .ocloñ.. .¡tuvl'fon 'n

b¡l' (brlando d' pr*lo) v lo' qu'

;¡Ea, ¿Oua dl. d;l m.. llcanzlloñ.1 v.lor máxlño? ¿Y 'l

v'lo' ñlnlmo?

Funcion€s d.rivadas| f'(x) = o,4x - 8' f(x) = 0'4

f'{x) > o, lusgo la padtola €3 convexa.

l (x)-O + O,4x - I = 0. R€6olv iándor ¡ = 20

Pa|a x = 20, f(20) > 0, lú.go 3€ tata d€ 'in

m¡n¡rño.

Punto ñ¡nimo: v(20,l(20)) = V(20 20)

Simotla axial: Ej€ do slmolrlsr x - 20

a) So lruta d€ v6t ahora €l compodamiento ds lá tunción €n €l int€rvalo [0' 30]:

' l(0) = 100

' l(30) = ao

l-ás aocion€s empeza|or a loo valor máxiño.

b) Fu6rcn bajando hasta 6l dla 20, qus alcanzarcn él Elor mfnimo 20

c) A panir d€ aquícomi€na¡ a subi¡ haeta alcanzar 6l dfa 30 6l va¡or d6 40

318

'r¡-é El cGt roral .xD¡$ado en dólares de fabricac¡ón de x un¡dad$ de c¡erlo arliculo v¡ene dado Dor la función

t l i=x"- lox+2000

a) Feprcaénlar gní'f¡camenre h tunc¡ón, en 5u domin¡o real .lé det¡n¡c¡ón, eb¡endo que po. razone€ lécn¡ca3no e. po5¡ble lab.ica. d¡ariamenle ¡fá. dé 20 uñ¡dád.6 dé produclo,

b) ¿En qué nivel de tabricació¡ se producen 106 gá6tos mínlmos?

c) ¿Coál* lon lo. c@r€ lemánal4 de fabr¡c.c¡ón, á pleño rendiñ¡enro, 3¡ no ¡e trabaja ni sábado n¡

d) ¿Cuál deberá 3er el pr*¡o un¡iario dél producto para cub¡lr 9a6to6 €n esá6 condicione6?

a) La curya es una parábola.

Deivads sucsivas: l (x) = 2x 10. r'{x) = 2 :. 0, luego la parábola es convexa.

l (x)=0 + 2x 10 = 0. Fesolv iendor x = 5

Veftce (punto mrnimo)r v(5 1975)

sim€rria dial: Eje de s¡merrla: x = 5

olros dos punlos simélricos son: (0, 2000), (10, 2000)

Oomino real de la tunc¡ón: IO 201

cosie para x = 20:(20) = 2200 dólares. cosre semanal:5 2200: 11000 dóla.es

Prsio unita o: 2200 : 5 = 440 dólares

''É:5 Uñ ..labl.clñl.nto d. ho!|.¡.rio abr. .u. pu.rla. a la. nu.v. d. lo noch., ,¡n nlngúñ cll.nl., y lar cl.rracu¿ndo.. han ñarch.do lodo6, S. .!po.. qu. la tunclón qu...p...€nra.l núm.ro d. .ll.rt.., C, .n tuñclónd.l .úm.ro d.la. hon. qu. ll€va ab¡.rto, h, .. C(h) = 80 h - tO h'1.

a) O.r.rm¡nár.l núñ..o máxlmo d. cll.nl.. qu. van una d.t rmlnad6 ñoch. .i ..Lbl.clml.nro.

b) S¡ d...6mo. ¡¡ cuando hayá m.ño. d. 150 p.r.oña. y n6. dc 70. ¿.rlr. quó horú d.b.m@ h6c.rlo?

c) S¡ d.!..ño. lr cu.ñdo haya m.no. d. lso p.r.oñ.. y má. d. 70 y, ad.má.¡ qu...ño. q!!.1úráñr.nu..lra .ltancla dl.ñ¡nuya .l núñ.ro d. cl¡!.td, ¿.ñir. quó hor!. d.b.ño6 hoc.rlo?

d) ¿A qüa horá c¡.r6?

R.pr...ñiar 16 lunc¡ón para r..poñd.r m.¡or a la. pr.guñia..

06rivadas suc6sivas: C (h) = 8o 20h C'(h) = -20. C"(h) .

c(h) = 0 + soh 10h'= 10h(8 h) = 0

0, por lanio, €s una parábola cÓncava.

B6solvi6ñdo h = 0, h = I Punlos do con€r (0, 0), (8, 0)

C (h) = 0 ¡mpiica 80 20h = 0. B€olvEndo: h = 4

Pa¡a h = 4, C'(4) . 0, luego se fala de un má¡imo.

Punto máimor V(4 C(4)) = V(4, 160). Simelia dial: Ele d6 simelrfa h = 4

a) ¡¡á¡¡mo número d6 cl¡€nl€8 160

b) C(h) = 150 > 80h- 10h' = 150, de dond6 h' - 3h + 15 - 0 Soudon6 h=3,h=5

C(h) =70 J 80h 1oh' = 70, de donde h' 8h + 7= 0. Sor lc ion6s h= t h=7

Por lanlo, se debe ú entre la 10 y las 12, o b¡e¡ eñlre las 2 y las 4 de la madrugada.

c) Para valo€s de h €nlre 5 y 7 €s adsmás, c'(h) .: 0, luego el núm€ró ds cli€ntos disminuy€. 56 cuñpl6n lascondiciones enlre 16 2 y 16 4.

d) C(h) = 0ssver i fcaparah - 0, h - I Para h = 0 abre, ¡uego ciera pára h - a, eslo 6, a16 5dela

319

¿Puedé ten.¡ uña functóñ más de do. a!íntotas hortzoñtate5? ¿y ñá. dé do3 a!íntotas ob cua.?UnaJuñci'in tien€ @mo máx¡mo dos asínlot6 hor¡zontates. tJna cuando x iiende a + d y otra clandox rendo á - a. po. ejsmpto, ta lu¡ción

lEDe dos asíntotas ho¡izo¡ta¡es disiinras; y _ 1, y = 1

Una tunc¡ón ü6ne como máimo dos asini,otas obticusPor €jempto, ¡a funciór

(x) =lEns dos aslniors obticuas disrmras y x, y _ ¡.

una cuando x tisnde a +4 y ota cuandox tónd6 a ,

1vtr r

¿ouó condlctón Í.n.n qu. cumpth to. c.ádo¡ d.t nr¡m.r.do.y d.t d.nortn..tor d! |¡ñ. tunctón r.c¡ona¡ p.raqu. r.nsa l.lntoi.. horEont.t..? ¿y par. qu. rü9. .rnror.¡ ob[cu..? pon.r .t;r;;-. ,,,,. .-,

a) El g€do d6t num€€dor d6b€ s€r iguat ai grado d6l d€nomtnador.¿Lá runción rr¡) = ¡-- v" cr" rr4 = 1 _

;+_lsuasfnrora". larecrav-1'váqu6.uandoxt isndea=-,ratunciónseaprcrrñaa€€raráota.

b) El gnado d€t numerador d6b€ s€¡ uná unldad gups¡or ar gfado dst dsnominádor.

r{x)=-L

t (x)-x-1+- l -

*t -

suasíntora6rar6cray-x- j ,yaqu€cuandoxr isnd" l l l , " r*""** .x¡maa€star€cra

s. .ab. qu. y = f(x) G y - s(x) lon dos curv¿. ¡

o. ..,, .,,ton..", ü"¡.ir. .;.; =;: __ *._-

"*r.nr.8 .ñ ¡ = 6. anar¡:ar .¡ ¡a curvd y = f(, - e{x) ha

is¡ ¡a r..pu..i¡ .. n.g!!¡vá, dar un @nüá.¡.mplo qu. |o cort¡nñe.)r rsspu€áta €s negativa 6n g€nerat,t f\, - r y gk)

- ¿¡. tas dos tunc,ones 6on cEi€nr€s en rodo R v. srn €mbarqo, ta tuncon,- | ln gG) .x-2r. x €s docreie¡t€ 6n todo F

' i

K,

321

13 CALCULO DE DERIVAqAS

ACTIVIDADES

Calcula. las d.r¡vada6 d¿ la3 sigu¡€nr€ luncioñ4:

a) (r)=oc+¡+1rb) s(x) = (L(2x + 3))"

c) h(x) = (3t' + 4'3

d) k(x) = (3x" + 2x + d

a, Dl( ! r - Dr. - ' I ) 3{< ^ - 1) {2/ 1 l

b) Ds(x) = D(L(2( + 305 = 5(L(2x + 3))' t 2

c) Dhlx) - D(3x¡ + 7)5 = s(3r' + 7f 12{'

d) ok(x) = t

(3x: + 2x + 7): (6x + 2)

Calcular la3 der¡v.dás dc l$ .igul.nie. tt/nclon€:

ar f(x) = re1;)

b) 1(4= (1 +41

c) r( t )=x.enx+cosx

d) f (x) = (1 - .enx) tsx

el rtx) = VL(s ('" + D)

ors, ; -?rsr ; r r - ,et ; r ' r ,o i l . 's ' l j r

D(1 + x) l =; I + x1i (4x")

D(xsenx+cosx)

D ((1 sen r) rs x) = -cos x ts x + (1 sei x) sed x

11o r,/irro(r + rrr :

¡67a5 rs ( + 1) sec' (x' + 1) ,¡

249

13.3. c€kütár tr. d.rivüts.b bt -gúdit'

turr¡or!' 1 i-+ I - 1

a) r(x) = (1 - co.¡) c'is ¡ c) (t) = aÉrs:- r-.r {4 =

-q{-

.) (r) - aro..n ofe )

b)

b) r(x)=L(r+I+

D((1-cosx)cotgx)=s€nxcotgx+(1'co6x)( 'cosecx)-senxcotg)(-(1 'cos¡)cos€cx

orfx+r+

vf -_i 1 , -:- - -- o# 't'¡-- ''c) Dafcrs- , . rv!._: ')

r - - : I i - 1- t - I

- . - lL1-=-- - - ; -1- '

" , - \1r ,1 l ¡+1-!¡ 1

-1--- --F=ix-1r i ;_-

o ".*7*-;fiqa|cutár 1.. d'tlv"l" d' la'

'lgul'nt!' tuncloñ":

¡) (x)=¡,c¡¡nexr,flr -¡1 "

ur=tr[l-il]i

b) (r) =.'cig= - ercte x d) l(r) = '!ú'"

1-f +r , 1

13.4,

(1 -xf+(1

ad - cb_

lax+o2(cx + d)' \l---i--t

it;;(ad - ob) {---:

- 4",- b, (c, .| d)1

1[--¡ q- + t ¡

4 Da'o€n(a \4-r") = \/ |'z\Á-- #J=

=#:fu___",ao or*oeff j - "oeo- i - , , . o - , i :+- '

=

dr D6q_'4 = Os6n:x _ 2 '6nr

co'r _ !€n2r

", ;"*."-- ';6ft ''

r* - e€n2¡ ¡og"l

1.,5. cllcullr l. 'l'rlv'd'

d' la lu*¡6n X"¡ = t/944

acx + ad:-3! l -9!

250

13.4.

13.9.

oerlvd la lunc¡ón r(r) = {c6 x)b! y horlar.l válor d€ l(x).n t =: vx = t

Función der ivadái r t ) = Gcrq; (3 bsCo"-) l "s" 'H)

si^ - ;enronc6t l ; ] =0 s i ' l enronce€ frrr - 1

s4n la¡ tunclon.s f(x) = x':-. "v 90) = t' Dlt rmlnar lo5 punto..n 106 qu.l(x) v g(x) l¡'n'n la m¡||ña

Funcion6 derivadasr r'(x) = e " (2x - ax1, 9'(x) = 2x

Para qu6las péndisni€s sean igualss se liene qué cumpll la siguienlo ÉuaciÓnr € *x (2 u) = 2!

Una solución esr - o. Lá otra solución vio¡e dada Por 26 - + áx - 2 = 0 cuvo valof dep€nd€ dé a

C6rcul.r l. d..lvadá. á 16 Equ¡.rda y á l. d.r.ch! d.l olg.n, d. t(x) -

+ \,4 f +-)

f r ,?+tr s¡ x=oLa runción dada es pu€d€ €Ecribir asl: r(x)=l \ i i i --3i ;=;

Ls d€nvadft d€ láE luñclon€8 parciá16É lon:

3i '+ A( 3¡+2-Parax20. 1l t \=-=-

2Vr '+ ¡ ' 2V¡ + 1

_páÉ¡. o: r.,,, - _ 3" j-q - --g:_L

2Vr ' - ¡ ' 2Vx - 1

L¿3 d€.ivádaa lai€rales 6n x = 0!on:f'(0 ) = 1, f(0 ) = -1

Calcul.r l¡. d.dvada. ruc..lva¡ d. y = * y obl.n.r la .xpr..lóñ g.n.ral qu. da l. d.rlv.da d. cu.lqur.rord.ñ,

Se €3oíb€ la lunción asl: Y = xr

Deivadá pr lm€|ary =-2x3

06 vada s6gundary ' - 2 3r '

O€r lvada ssgunda:y" = -2 3 4x!

Oorlvada€ñ&ima:y '=(-1)¡ i 2 3 4 5 . nx¡ I

En loma lactoialry ' = 1-1)" r 'n l x6 rr

13.10. H¡llar 16 d.rlvldá.nó.|m. .1. h lunclón v = ..n x.

"*" ,=*" ,=*"("- ; )

D:s6nx=Dc""x- """ ' - -"( ,

r ?)

Dssenx= D(D's€n ¡) - D(-sn x) = "- ,="""(" - T)

D¡s€nx = D(o's6n x) - q--" d =.€n "

= "6ñ

(, + T)

A oarlir de esla d€dvada se repit€n nusvamonlo las d€dvadas, es decir, D5 s€n x = D sén x, D" sen = D' sen t

Lá derivada en6imá v'6ns dd. po', D s€" "

= "6"

(. - T)

251

13.11. Hallar la d.r¡vado Gné6lma d€ y -

cot x'

/ ¡ \Dc!,x= -snx-cosr +

t /

cr cos x - D(o cos x) = "(

*"") = -*""=*"( ' . ?)

/ 3r\D'cosx - D(D'cosx) - D(-cosr) = sۖx = cc 's f

+ t /

D¡cosx = D(D3cosx) = D(56n,() = co'gx = coe f

+ t /

A pariir de €€ta dsrivada s€ €Fnsn nu€vam6nte las d€rivada' €€ deof

D cos ¡ - D @s x, D'coe - El cos ^

La d€.ivada 6nésima viéne d"d" p"'' D' *" * : *" (" | T)

13.12, Hallár la <l!rlv.d! .nÓ.1ñ. d. y = '¡

+ '"'

D(d+o")=é¡-6 '

d(s '+s ' ) = D(d € ' )=€f +é'

Por tánlo s€ i¡€n€ un ciolo d€ doa' lu€go la d€ivada en66¡mat

o'(€ '+€1=d+(-1) '€^

13.13. H.ll.r l. d.r¡v!d..na.lm. .l' v - '"'

D€* '46"

Dl ar = a¡ €¡¡

O€r¡vedá oná€ima: D^ o" * d €"

13,14, tl¡ll.r la d.lv.d! .nÓ.ltn. .|| y = xJ'

Dxs"=d+x6'-€"(1 +x)

D.i€! = D(€¡ + x6) = 6¡ + €t + x€¡ - 2€¡ + x€¡ = €¡ (2 + x)

D3x6' - D(2€¡ + x€¿) r 2€¡ + €¡ + x€¡ = €¡{3 + x)

D€.ivada €né6ima: O" x€¡ = d(n + x)

'13.15. H.llar ¡¡ d.rlv.da.nódña d. y = !¡, a > 0

D a'- a' La

D': d= á' ' (t!):

D3a'= * (La)"

Oonvad6 onósima: D^ a = a' (la)"

13'14'D.ño. l rarqU.todá. |a¡d.r |va. | ' .d.ofd.nP.rd. | ¡ func|ór i | (x)=. .ñ¡ .co.x.oññu|4. .ñ. |or¡ lÉ

l'(x) = cos'?)( - $ñ':x - coszx r(4 = -2 5án2x' l'(x) = -a cÉ16 a' f'(x) " 836n2t

ln(¡, - 16 cos á, f"(rr ' 32 s€n a -

Las d€rivadas de ordsn Par pata x = O son nula6 por sól s€n 0 = O

252

13 18, Hallar la dólvada vig&¡ñ. currtá de f(x) = a Ben bx pah a y b conslanté5,

13,17, Calcular la d6r¡vada d. ord€n n de la lurc¡ón flx) = e',

'3 19. Dada la runclón r(¡) = e".", cálcurdr la6 derivad¡. t (x), f,(x), r"'(t).

f ' (x) -2e" ' , r ( t ) = ae! ' , f"(x) = 8 ea fq ($ = 16 ea,

l (x) = ab cos bx, f(x) = ab' sen bx r''(x) = ab3 cos bx, fa(x) = ab. sen bx,

Ya que se rep ton de la misma ioma de cual.o en cuatro.

r(x) = o'"' cos' x - e'-' señ x = e*"{cos! x sen x)l (x) = 6" ' ' cos x (cosr r - senx) + e!-¡( 2cosxsenx cosx) = 6{" 'cosx (cos,x 3senr r)

PBOBLEMAS

'¡20. Calculár b p..á quc |a ra.a d. vrr¡¿clón m.d¡a.1. l.lunclón l{x) = L(x + b).ñ.1 ¡ñ1.tu.|ó [0, 2] v¡¡9, t-2.Ca¡culár, a codlhuác¡ón. lá lá.á d. var¡ac¡ón In.r¡nÉn.a .n lo. dt¡.mo. d. dlcho ¡.t.rvaro.

ra (0)-asa oe varacron msd|] TVM {f fO 2lr - -' -20

Por lanlo Lr2 b) l t . ¿_2 ) L-- L4b

2+bEu¡rándo. b

=4

-

b=

La iunción déiváda dé r(x) = llr

L(2 + b) Lb

?3

!) * "t-r =--'^-a

Supon$mo. qu. t(x) = x .s(r), doñdc g(¡) .. una tunc¡óñ cont¡nqa.n x = o y no d¿rivabl¿.¿cuánlo vsl. r'(0)? Fazón.!é la r6ipue.ta.

Apl@ndo la defnición de derivada y leniondo en cu€nla que 9(x) es continua en x = 0 resltla

I roJ I,m fo - h) fo)

h olhl 0=l i l

-

-= lm^ s(h) =

= s(0)

: Iet =r

253

do ,F = :,

.c Prde:

.' áñ@?

¿Cuél e¡ la 5ltu.6 del coh.re cuándo ó = - raol

¿cüál e3 lá Eloo¡dad d3l coh'te cuándo o = ;

r¿diañ'6?

Observar la siguients tgura:

Por dslin¡ción de tangenle d€ un á¡gulo' s€ t¡enei h : 2 ooo € : - 2 ooo \'3 metrcs'

Eñ gen€ral ;h( l ) - 2000 t9óí)

Por l¿rto: v(t) = h'(t) - 2 ooo (1 + td S) 6 li)

En €r iñ6rúts t €n qus óO = :

sabomos que 'b'(r)

= ;

Édian€s por s€eundo ruseo ra

velocidád d6 cr€clmiento: c'(t) - o'2 sor ' o'1 = 0'02 €""

Velocldaó de cr€€imisnlo d6ntto 12 m€3661

. (12) - 1ooo o,O2 soi tr = 66

Númsrc do individuogr 66

13 24. Htllá lo! puniot dc lá grátlca v = ? 'n

lo! qu' la d'dvada d'' tá lunolón val' -2

-2Fuñcióñ d6.¡vada: Y =-

-2Ecuación: 2 =

?

Solucion6i x = 1,x - 1

Pa.ax = 1, y - g PUñlo P(1, 2)

-PaEx - -1, Y = -21 Punto Q( 1 ' 2)

13,22. Un ob.rvador sé €ñcuoniro a 2ooo metrc3 dé la torre de lonzañ¡€nio d' uñ cohet€ Cuando e'r' dspe-

ea ven¡c'rñen|. mrde Ia """""''" "''';;ñ'1ñ;'

ro"* ru ¡'n'" "¡-a

qu€ re uné con cr cohsr' v ra

d6l .¡¡.lo hor¡zoúal en tunc¡ón del rrempo trantcurido sab¡'ndo qu' S'(t) =; r'dlon€¡ por seguntlo c¡¡an'

2000

v(i) :2ooo (1 * lfs¡¡ ] = noo

'1"

13.23. uña Fobl¡olón d'! ¡nlrñ¡|" t'r¡ por tcu'olóñ '¡d

ol.clml'tn¡o 'n

tunclón dtl _Mpo

c(t) = z + o¿ t"t" ttmOo t

'--- iir¡,'ilno. ..¿lo'

'n m"" v c(0

'l núm'ro d' Indlvld¡¡o' m'dldo' tn mrl.¡'

¡) ¿Cuá|.. lá.'üaclón qü' Cá la v'loold'd d'l crcolmlt¡to?

b) ¿Coá|.. 16 v'loctdEd d'l crtc|mllntó d'ntrc d' un 'óo?

e)

b)

254

Hacia la Universidad BLOQUE ll: Geometría

D. un paral.logramo ABCD .. Bab. qu! A = (3, 4), B = (4, 3), qu. t.! do¡ coo.d.nad¿! d.t vórr¡cc C .oñpo.¡tlvar y qu. la dl.gon¡t AC y .t tado BC mtd.n ámbo. 5, Há¡tar la! coord.nada¡ d¿ c y D.

S€a C el punlo de coordenádas C(p, q).

¿a)

b)

d(a, c) = 5l (p s). +d(8, c) = 5l (p - 4) ' +

Por lanio, €l punlo C li6n€ ds coordsnadas Cf¿, 7).

s€a Ad v€€ior do poslción d€r punro D: A - d + ÉÁ =

Por lanto, laÉ cood6nadas d€l punto D 8on (6, 8)

113120135

=251 \ lp-=251 - lq=

(7.7) + (-1 r) - (6 8)

=0, ya qu€ ca=2ci+cr

EF. = ( 4,4, z¡ FP. = 1-+, s, r1

coñprobarqu. lo.v.ctor.r i=¡ , r ,0¡ , t -1- t ,e,o)ye=f,0, ! ) |onIn.atm.nr. . t .p.ndt.n¡. . .

Encontrar la .coaclóñ d.l pl¡ño dlt rmlnado por .l purno O(-1, O, t) y to. v.cror.! 6 y a

Lo€v€ctoE6a6yEÉonl ineálm€nt€dep€ndl€rú€3sia€v€dÍoaquerango6,üO.3,€€d€cir ,dei6Éó=o

(q-3F

2035

S. con.ld.r¡n lo. clnco punio. cuya. coord.n!.t.r .or:

P, = (1, -1, 2) p, = l -2,2,3l p, = (-a, 3, 3) p. = (-3, 3, O) p! = (_3, 4, 3)

Cort .l. d.loña ruzon¡dá á lá .lgul.nt pr.gunta: ¿lorm.n p.n. d. on ñ¡.ño pt.no?

Para sbsr si los punto6 P,, Pr , P3, Pl y P3 son copla¡aioE oátudiamo€ st tango sigui€nt6:

b) S€a a €l plano p€dido, su €cuación €6 la Blgubftó:

Fo.maños los vecior€€

P.P. - I 3. 3, t ) P,P, - ( 4. 4,

": der(oT,üó - o + -11

=0 > 2x+y-:+3=o

i-* i-*. ,?

-

Dunlos coDlañ€riost pmlos .o copranarcs

'177

se.n fo! vector.! ü = (-1 ,2,31,i = 12,5, -4, i = (4, 1, 3) y; = {4, l, -8):

¿) ¿s. pu.de éxprs.€r i co'¡o comb¡nac¡ón l¡n.¿l d. í y ü Sl e. .!1, $cdbc dichá comblñaclóñ l¡ñ.- tno e. .!i, o(pllca por quó.

b) ¿Se pued€ oxpr.!¿r i como coñb¡ñac¡ón l¡neal d€ i y 7r s¡ .. ¿.í, ..crib€ dlcha comblñac¡ón l¡n * .no €. a.l, .tpl¡6 Por qué,

.) ¿son ü, V y i l¡n€alménte In.lop.nd¡.n1..? Ju.t¡t¡ca ta r€.puella.

i6 combi¡ac¡ón lin*l de üy í si €risi€n lc 6calares a y b, tal€6 que

i=aü+bV J (4, 1,3)=a( 1,2,3t+b(2,5,-2) -( a+2b,2a+5b,3a 2b)

1 - 2a + 5b I O€ las dos piñelas €cuacion6 se oblisne que a - -2, b = 13= 3a-2bJ

sBtiruimos éslos valores d€ a y b en la i6rcera euacióñ 3 = 3\-2) - 2 lt3+ - 6 - 2

Por tanlo, no €x¡sl6n lG 66dd6 a y b y, sn coneecuoncia, no s€ pu€d€ €xpr€sar i coño conb¡nacióñ 1rÉ

Bázoflando dsl mbño modo quo 6n 6l ápárlado antsriori

i -aü+bí ) (4, 1,-8) =a( 1 , 2, 3) + b(2, 5, -2)

( 4= a+2bJ I 1= 2a 5b La aoluc¡ón d€l3bl6ma €3: a= 2,b=1

I-s - 3a - 2b

Po. ranto, Z6s comblnaclón linsal ds ü y id€l sigli6ni€ modo: i - -2 í + V

Los vocto€s ú i ¡ €on lin€alm€nte indop€ndl€nt€€ si se v€dioa qu€ ddG ü A '. o.

Por ranto, balta con calcular dlcho d€t€íninanb:

-1 2 325-241-8

ü1ü € x-y+22=0

w€d(u,v) ? w-LtuYv)

Elv€otorüiV= 1-1 2311

- l -1, 7, 4)

Wr(üxq > x+7y+42-0

Luégo los vgcbor€€ p€didos lon de la lorma: v = {( 3k -k, k) / k € F}

€s dscn, s€ traia de una .ecra veotorial que pa8a por €l or¡gen.

* o, €n conlocusncia los !€otorc! ú i y t son lln€alm€ñt€ dep6ndi6ñt€8.

D.do. lo. v.ctot. Í = (1, -i, 2), y V = {3, 1, -1), h.ll.r.l conluñto d. v.clor.. qu. .|.ñdo p.rp.ndlcult¡¿ ü pú.n.rc¡n ¡l pl.no g.n.rado por ü y i

losv€ctolssp6lpsndlcula€3áüpertsn€cona¡alami l iad€planosd6€.uaciónx-y+¿=k

Supongamoo qu€ lo3 vectorcs qu6 baramos d€ bw.ar son d€ la lofmá ú = (x y zi

lrñpoñgámoe las condlcion$ del €nunciado:

I1I

t2lDe {11 y t2l 3€ d€duc€ qu6los vocüors€ bu8cados son lo3 qu6li6n€n por r6cta sopon€ |a in|3r6sccióñ ds 106 plañ6

' l -x ; , í1?= s , { i :11

178

No. dan la rectá r debrm¡náda por to€ punto. A = (i, 1, i) y A = (3, i, 2) y ta rect.3 dada por:

)x - 22 - | = oI y_2=0

l) Aver¡guar.u po.ic¡ón Gbr¡va.

i¡) S¡ cx¡.l., hallár la ccuoc¡ón geneht d.t ptano que ta. contiené,

D6l enunciado 3e deducei

i = (2,0, 1) 4(1 1 1)

Deteminsmos el veclo¡ dnecbr y un punto cuatquiera de ta recta s.

ü" = 0,o, -2) x (o j ,o) = (2,o, 1)

ha.¡endo z = 0 s6 tisn€ A (1, 2 0)

i) comoú = (2 o, 1) yú. = (2,0, 1), t6 redas r y s so¡ parát€tas, y como et v@to, tÁ = (o t, ,r noespaÉlálo a i, se d6duca que las r€cras $n parat€lás y disiinias.

ii) El plano ( gu8 €ontien€ a ts dos rectas vi6n6 d€t€rminado tin€atmenie d€lsigui€nte modo:

"(¡,, ü, ÁÁ¡

., d€(d ü,, ffiJ = o

2o01 1

=0 I x 2y-22+3=o

Drdo! .l punro P{2, i, r) y t. ..crá

l ' - 2r :1v=3

tz = 4

dd.rmln.r l. .cuüclóñ d.l pla¡o qu. cont.n. €mbo..

" d6t(d, ü., 4É) = o ) d:

+t- !

Lá ecuación d6l plano a qu6 contione al punto P y a ta rscta ¡ vi6n€ det€rminado tineatment€ detsiguente modo:

"(A, ü, AP-)

A(2. j4r i - { r . - r o) ÁÉ (0, z. : )

11-3o-23

179

Encue¡r.la r.cla que pá¡á por el punto P(1, O, -1) y co.ta. ta¡ rectas r y ! d..cu.ctone6:

En primer lugar debemos €siudiar la posición rekriva do ambas €ctas, pafa sllo pasamos ta €cta r a torma paE-

q = (3,2. _1) x (2, _1, 1) = (1, s, 7)

Dele¡minnos un punio de r haciendo x = 0 J 4(0, -5, 9)

, . ]3x+2a-z+1=o' ' l2x - y+z+4=o

Ls €cuacionse parumétr.* .. , -*

, *" {j :

D€ la rela s sabemos qu6:

ü. = (1, t , 1) A(3, o, j )

Para oEludiar la po8ición rslativa dé lá3 rccta! catcutamo3 €t siguisnt€ lango

/3 5 10\,aneo rÁÁ.. ü ü, - Éneo l1 -: -z ) - r ya que

\1 1 1/

3 5 1011 5 7l-01 1 l t

Lá f€cta p€dida h €3 la int€¡s€cclón derplano a d€t€rminado por €l punio P y la r6cta f, y stptano I dsrofñ¡núpor 6l punlo P y ¡a r€oia s, ya qu€ d6 €€ta loma ta rscta h pasa por P, puÉ! €€ coñún a tos do€ ptano! y co.ta.la rccla r pof p€non€¿€l a o y coda a la €cta B por p€rten€oí a p.

k55k

( l^ 1 y z+1| " re,a I ¿arFÍñ, i r -o + l -1 -5 -8| | 1 -5 -z

' " I lx - 1 y z - 1I ore. . r g oerrpx-.FÁ.ü¡=o i l z o 2\1111

-0 ) x+3y-22=3

=0 + x-z-2

La rccta p6dldá, dadá por int€E€cclón d6 doÉ ptanos ri€n€ por €cuacion€s

h. lx + 3y - 2z = 3' ' 'Lx - z=2

9. Cilcul. l..cu.clón d.l pl6ño qu. conttln. a ta r.ct d.ttñtd¡ por.t punro {r, t, t) y.t v.ctor (0, -5,!}tqu. P..a Por .¡ Punto P(1, o, -5).

s6a €l punlo All, 1, 1) y 6¡ v6otof ú - (0, -5, 3), onion.€€ ÁF = (0, -1, -6)

El p¡úo o p€d¡do qu6dá deióminado linsah6nt6 d6¡ sigui6nt6 modo: "(A. ú, ¡É)

Y su €.@¡ón vi€ne dada por oa 1d, ¿, ÁF¡ - o

x-1y-12 1053 =o t c:x-1:0

180

10. Con.ldera l€l r€cta.:

. -32 .L!€gopaEm = 5

la8

O.d¡. ¡ . . Gtt . ryr d. .cu.c lon.rr r r = y = z

f x = t - 3d

D.r.rm¡ña m d. man.ra que lal recta. !c corl.n (8.an !.cant€.), Hallá táñb¡én .t punto d. con..

¡ás recias son s€cant€s si l¡enen un punto en común, por tanio el sistema de 6uacion€s lofmado po¡ las ecuaoon*de 16 dos Éctas ha de l€ner sollción úñicá. Ls coo¡donadas del punto de corte vieneñ dad6 Dor las sotuciones

Expr€eamos las dos fectas en lorma paÉmékica e igualamos.

[ t -^+2 fx:1 30r jy= I 1 s: jy= 1+4a t

tz= a m tz- 5- a

Ia+2= 1 3d f 2 l+30- -11- i I = 1+¡ra j - t -an: 0lA m- 5- a l2 l+ r t=5+m

Como €3 un sisl€ma de i6 euaciones con 2 incógnilas, páh que r€nga sotución única st 6iguisnt€ d€rBrminant€

2 3 -1

2 15+m-o > 5m+3r=o + m-=

r€claa r y e €on Eocant€É. Pála hallar la8 coofd€nadáE d€r puñto d€ con€ ra€olvemos €l

a+3ñ-- l l . 2t-3q=-1 I- i -4"= ol ? -a-e"- o 9 . - i

-5( " -1

suslituyondo €n la! €€uacloño€ paÉmét cas d€ s s6 obtien€n laB cood6nadas d€r pu o de con€ pl: -1- ' - ' - - - - -_ ' - \s s

22

á) E.tudlá..upo.¡c¡ón,

b) Hállár lá r.ctá qu. cori. a r y. y.! paral.la ¡ la r.ctá tr (r, y, z) = (1, 2, 3) + r (i, 2, -1)

ard. ñ, i /1 2 O\a, l : : : ; : : i - : : : : l dÁ. - { , ,2 or + ,"ngorÁ4. ü, i . r - ,a"eo{r ' r } -s

\ t z zJPor tanro la retas r y s s€ cruzan.

b) La ¡€cla p€dida s lá inisrs€cción d6 los 6igui6rn€6 planc.

a: plano qus contione a i y al v€¿lor di@lor d6 |ll: pláno qu€ contiene a s y al vector dir€clor ds t

"(A,, ü, ü) ) der (AJ_, q, q) - o t

p(a., ü. , úJ ) d€t(ÁXn,ü)=o t

. f " 3x+2v+2=o? 10, ¿, v =o

1I

v

2

;1

11

1y22 í1.

181

Blud¡a, 6€9ún l@ d¡lorent€s v¡loré5 qué pu€de ienér el Paráñ€rto ñ' la3 po3¡cioñ€ rél6tiv'3 del plano P v

de 16 recla r que 3e dan a conl¡nuac¡oñ:

P:d-3y+22=r - . 13x + Y' l2r - y+ mz = 1

Discutimos s69ún los valores de m el sistemalormado por las ecuaciones de p v r:

der¡¡= m'+em 10=o ) l l : l1o

1." caso Srmi lvmi-10 rañgo tú =s t ango M* =3

E sistema s compallble d€lemlnado tisne solÚción única Por lanlo la r&ta os secanre ai plano

2. 'caso Sim = l , rángo M = rango Mr = 2

El srsloma €s companble Indelommaoo, nay intinitas solu.iones que dependen d€ un parámetro enloncegla rec¡a

eslá cont€nida €n el Plano

3' caso: Si m = 10, .ango [4 = 2 ranoo Mr = s

El sistema es incompal¡ble, no gxisie solución La recia v el plano son paraELos

13. E.tudia la Po.ición relstlva d€ lo5 plaño! 3caún 16 v5lor" d'l p'rámetro a' a € F

?l

l i i r i . . ,= l ' ( : - j i ) - (T i i r )

Dsculimos 6l sist€ma qú€ dep€nde d€l param€ro á:

M=10 3 r l/a 20 7 r \

t \4 '= l0 3101\1 a o l /

delM-o > a¡ l=o 3 a-11

1"cso: s ia=11, rango ¡¡ 3+ Éñ90M"-3 Sisr6ma compat ib le d€lermrnado €xist6 uña úñicá solÚc1Ón

LG l¿aplanos se conan 6n un Punlo

2.', cso: si a 1, fango M = ra¡go M'* - 2 Sdema compalble ¡ndetefminado 6xisl6n inlinitas soluciones

que ¿ápen¿en oe un paramdro Por tanto. lG lr€s planos pasán por Úna €cn

3." cdor si a - r rango M = 2i rango Mr =3 sisloma ¡ncompalibl€ los planos s€ corian dÓs a oos

ro;ñando un sGtoma triangular

Calculo la dislancia ónrr. lat roclá6

Las ecúacioñes paramélicas de las r€cls son

r!= 2+l f x= ¡

]y= a*r v ]y: tlz- t Lz= I

Logvectoresdúéclofesnosonpafa|e|og. |Uego|asf6. tasnosonpara|€|as;por lanlo,set ieneqÚecácualdistanoa ente dos r€cias que 36 .fuzan:

A(-2, 4, o) ü, = (1, 1, 1)

12 1 1ll4 1-1 |

; Í I nr ln I 11o"r 'S j ' : r . * r-- , . ,1Li ul l i t l 2V2

l l l l l

rilativ¿! dat phno pta. Con.id.ra un cuadEdo coyo c€nrro e3 et DUñix_2 v _1 , _ 1

o C = (1, i , _r) y i ¡ .ne uñod..us tado! €n ra rccta

-=-a) calcula 16.cuac¡ón d€t ptono cn .t q@ !e eñcqemra.r cuodh.to.b) Colcula la tong¡t¡d d€t tado drt cuad6do.

" :¡J"il: ;:""fff:'ii::ra g@cón de un práno dereminado po¡ una r€cra y !n punro

",deio¡ a e,'", ya que

c-(1, 1, 1) 0=(1,10) X_(x,y,z) A_(2, 1, 1)

i l )11aet td, ü, ñl=o +102

:) _2 (r _ 2) + (, - 1) + 2(y _ 1) : ob) LÁ d¡srán€ia det punro C a ta récta r 66 ta miüad der tado t:

) 2x-2y-z 1=o

-r02!="," - , ac.ü. f r I or = d(c, 4 =

-:t'-!|- ififfi =.1 > r _1!: s.,a _io"a*

:1" : l : ' " " '=ü I I r . ro.no. =" a, +:= o,h. ,a.unphnoqu.corr .nsaa br. . ¡ ! rycon.l p¡.no r .n o¡á ¡.d¡ p€r.t.t! .¡ pt.no OXy.

lj) $ra B €€ parar€ta ar ptano oxy y s3iá oonr6n¡da €n €t ptano r, por ranro pod€moE .onoc6r sU v€cro. orccEl plano p6dido o qu€da d€r6minado ln€atm6nte od srgu¡enre modor d (4, ú, ü.)L¡ rc€ra s 6s palaiéta at ptano OXy g ü. I ñorLa r6cta s €3rá €onr6n¡da €n €t pt€no f + ü. I ñ"Ds dond6 s€ d€duo€ qu€ ü. = ñ"_ x ñ _ to o, t) x (1, 1, 1) = (-1, I, o)D€tomin6moÉ un punto ouatqu¡€rá ds tá ¡€cta r y su voctor d¡r€ciorl

A(1,3,0); 0 = (0, o, l )E¡ plano a(4,, ü,, ü,) ri€n€ ds ocuaclónl

dBr(A- i¿fu=otx- r y-3

00-1 1

zlr l=0 f x+y=4

H¡llr .l punto d.t ptano d. .cuactóñ , -

x _ zor¡an.¡! .rÍ¡. .¡ pr¡ñto p y.t Dt.no d..t..

E 3 qu' t'tá má! ctrc. d.l punto P(3, l, 4), !.1 como t.

S€a r la l€ct6 nomat at pláno, qu6 pasa por p: ü = !-, = (1, O, t)

, ' -3-Y- - .1 - l l . . . . y- r or 0 1 / l , \_7

S€^hana- É inl€t3occon dó ta r€cia r y ot ptáno r v ss obrr€tro st puntoqué 65|á a m€nor dbtanda:

y 1=ol

: : : ' "1 - ' -5 v t 2-2 -) a,s. t .2t

La disrancia det pu¡to at ptano vi€n6 dada por ta di$ancE e¡r€ p y e:de, a) = \4t-5" + ( :-r). + (2 4F = Ve = zvt un¡¿a¿é

0

r6.

183

E3tudl¿r las pot¡clon€ r.lativt¡ de !o3 plan6 d, = x + v + z = -3 y n2

r-3 z-3ydel¿r.ctar t r" ' r=

3 : con

'e l5clón a el lo '

Hallár un punto P d€ r qué osré . la mi.mq di3tanc¡a d€ dr v do r'

Elvector no.maLde d, €sr ñ", = (1 1 1)

El vector noñd de r" es: ñ,, = 0, -1, 0) x (0, 1, 1) = (1, 1 1)

Como ñ" ñ" enloñces los planos r, v r? son paral€los o co¡ncidentes serán co¡ncidentes si un punlo de r''

i.i"j.^ipi, "l p*1" ¡f 3, o 6), pe.teneco a t,, susritÚimos las coordonadas de A sn t' v vemos qué

3+o-6- 3, luegoAerl ) \ n,

Para v€r la posición de r resPoclo de ri orpresamos la r€cta r en Paramétncas y susiiluimos 6n la €cuaciÓn de r'

r^- 3 a 3, , l t_ I . 3 'a ' l -3 '31 -3Jl 2

tz-3+3t

Lusgo r corta a n, y hmbión a t3 Por s€r PaÉl€los

Para hallar un punlo P de r que equidBtanl€ de r, y n? tomamos un punto gonérco oé rl

P(3 + A, t 3 + 30 o impon€mo€ qu6 d(P r,) - d(P, rt

f " =-1 i ^

13 + A + t + 3 + 3t + 3

3+2i+1+3+9t+9'-=--_--

V3

6t+9= 6i+15

6t+9= 6t+15 t ño t ¡€ns solucroñ

6i t+9 = _61 -15 > t - -2

Por lanto, 6l punlo P iien6 por cood€nadá6 P(3 + 2(-2) -2 3 + 3 (-2) ) P(-1 -2 3)

c6lcular lo. puñto. d. l. ..cta r qu. P.'a pot lo' Punlot P y O d' coord'nada' P = (_1' 2' 3)

; ó = (3, 5, ot, cuya dl¡tanc¡a 6l Pudlo c -

(-r, o' r) I d' i2 unld!d"'

Las €cuacion.s páramé,ric* ds ra r€cia pa son t: { ; = -i

i !llz= e 3t

Un punto goné.ico de la r€cla es 4( 1 + 4t, 2 + 31 3 - 3l)

lmponemos que d{4. c) rz -l I iiii: - ¿ - 3lf + i2 3l) 12 )

I 16f + 4 + 9f + 121+ 4 + gf - 1. t= 144 > u( = 136 > t = 12

Pañt = 2 ) A,( 1+8,2+63-6) ) 40, 8 ' -3)

Palal= -2 a A' , ( l -3,2-6,3+6) ) A"( 9 ' -4 ' 9)

1U

Dada3 ta3 recras: r J¡=r+a(y-2) v. ly-z-1=olx = z ld - 2 = 2a - 2

a) Av.dgoar.u p$ic¡ón ¡elaliva Begún lG valor63 de a,

b) Tomándo a = 0, d.l.h¡na. pu¡tto6 P e ryQ E.lolesque ta di.ianc¡a énrre P ya sea mfnimá,

lx=1+a(y z) ( x av - 1-2alzoal se foma ersisromé: f l - ' , , , : r1

" ' , ;

Ia z-za z Iu z--2+2aSea [4 la marrÉ de @€lici€nles y

^4r la matnz amptiada:

"(i : _ i ) -"" "= '€) a(1 a)=o <) a=o,a=1

x y 1 z-21000 0 -1

/1 a 0\del{ 0 1 -1 l=a: 1=0ea-11

\a o 1l1-60 a= 0 > ¡angolM = 3 + Éngorv. - 4 C) Las recia€ se cruzan.2'casoi a= 1> Éngorv + 2 + rango¡¡* = 3 <t Ls Écts se cruzan.3." cao: a--1 I rangoM=3=rangoM. <) Las rocras 3€ co.rán én un punto4.'casor a+ 1, a + 0 a + 1 ) rañgoM = 3 + Éngol4r - a e> Las r€cias 66 cruzan.

b)a-o: . r1"1 "{v- ' - t

0 ¡ , . 1 ' I s l¿-,- t , , 2 - \¿- j - ly_1La dsiancla mfnlma vi€ñ6 dadá por la p6rpendlcular comúñ á ambas r€ctas¡ y tos punros P y O son ta int6!s6cc¡óñ d€ d¡cha pstpendlculár coñ cada una d. las rscias.

A(1. o, 1), ü,(o 1, o) B(0, 1, z), ü,(1, o, o) ) 4 - (0, l , o) x {1, o, o) = (0, o, -1)

0 0 -1

= -(x- 1) = - !+ 1-O - y 1=0

La rniorc€cción de r y r' ss la p€|p€ndicular cor¡ún., ' - r1

- ^1, . . .1 p €s ra inr6Bsccion d6ry p p r 1)

n y-1 1 - O es la rñi€¡soccroñ o€ B y p Or1, 1.2)

21. Dado. lo¡ p láñor a: x + y + z = 1, p:ax+ y = 1y.y: x + (o + 1)z = o, d.r . rñtnár to. wtor. . d.6 para

L Lo. plano. .. cortan .n u..olo punto, 2. S. conán .n una rc.t. d. ponto..

' " " -" , " . , " . . , " i l í * '= l ] =) r - / : I ;r +(a+1)z=oj \1 o a+1

d€l [ , ]=a+ 1 1 á(a+ 1) -0 <t a a ' a=0 <) -a:=0

"-=f : I ¡ _ l ) sa=o,*=/¡ l

\1 o a+1 o/ \1 o l

M'tiéns dos columña l¡n6almenre dependient€s, l!690: a = 0 ) Enqo M. = 2

lljggq si a = 0 > EnSo M = rango M* = 2. sistema compatibto ¡nd€rerminado. Los dos ptanos se.ortan

2." 60: s ia-0 t rangoM=ÉngoM*=3SÉlema @mpatible det€minado, los planos lienen un punto común V se corlañ en ét, fo¡mando u¡ rriedro

185

22. S. coñ.ld!r.ñ ld pl.no¡ d. .cu.clon!. -d - y + az = 0 y

!) Edud¡¿r ¡u po.lclón r.|6'llv6 .n tuñc¡ón d. a.

b) al par. ¡ = -2, lor p¡ano¡ contl.mn car.. d. uñ cubo. C.lcul.r.l volum.r d.l cubo.

y + az = 0l1l

P:(a+3)x+;y- z= t)

/ -a -r a\9l ransol 1 I - 2, lor plano€ 8on 8ácánl€l.

\a+3 - - l l

| - : -_"

- ; !=-*=j+{ _l -+_,.-1)a=-2

a+3 1 -1 | -E __r 'A{La + 3

Sl a * -2, lo! pl.no€ aon a€cant€6, Sl a - -2. lo! plaño€ 8on pa¡al.lo3.

El volum€n d€l cubo a€rá lgual al dbo d6 l. dl6lancla €nlrc loo Plano6 o y p.

2o. tt|ll.l..cu.clón gon f.l.1.l pl.m dr.mln do Por lo¡ puñio. A - (1, I, r), a = (-2, o' _1)vC ¡ (l' -2, o).

C.lcul. al voluñan dal t.tr..dro qu. llml¡ coñ loa pllno. ..r|.alanoa.

a(1, i , 1) B{-2, o. -1) c(1. -2,0) ¡É- {-3, -1. -2) AC = (0, -3, -1)

lx-1v-t z-11oafd,d,Áó=l-s

'- t -z | = -sx - oy + ez - t + . l pl€tp bu.caclo É: sx + E - I + 1 = o

t0 -3 -1 |VaEño3 on quó punt€ coda €l phno a loc €l.l ooord€nado€:

-5x-3Y+92-1=0' ]v=ol i , -5x-1-O{

x-o,z=o + t , ( r , - : ,C

"-o,v-o + c,(o,o, l )

El lolurñ.n v€ndrá dado Por V' - A* hl h - ;

*-=l n.r - ; (:) 0 = j; t v'*$ l=fr*ra"a...uoi"".

t "*"r*(1)r- .= ' (a i0)

r - :áAl : ,0,01

186

24, Encontmr el puñto <ló ¡nter.ecc¡ón d. ta recta

[x = i + ^r : Jy=2-^

tz = ¡

coñ el plaño r fÉrp€rdicutar a r que pa!. por ot origén d. ta. coorde¡adas.

Lá ecuac¡ón delplano r perpendicutar a r que psa por etodgen de coordenadas €€ r:x y+z = O yaqueelveclor dneclor de ¡a €cta r €5 iguat at veior norñat do¡ ptano r.

Para hallar el punto d6 intelBe.c¡ón de ta r€cia r con €t ptano r sustituimos tas ecuac¡ones paamétricas oe r en |a

1+^-(2 ^)

+^=0 > 3^=l

Susiituyendo €n r r€sullai

.1

á, al

l . -2, o) ,

D€do. lo. punto. A(1, -3, t), 9(2, 3, t) y C(r, 3, -i), |. ptd.:

.) Obt.n.r lá .cuaclón d.l pt.no qu. to. conl¡.n..

b) Cal.ular la dl.tanclá d.t oÍg.n dc cooftt.nad.. át ptano d.

c) D.l.mlnar .l voluñ.n d.trcr..d¡o cuyo. vórüc.!.oñ A, B, C y.t otg.. d. coord.nádá..

a) 56á d 6l p¡ano qué conti€n€ a tos punro€ A, B y Cl

¡d = (r, e, ot; Ád = (0, s, -z).L¿ s.uación d6l p¡ano a €s la EiguiÉntol

P(' . ' : , - : : ) -P(3

a:dd(d¡á,ñ)=o

1 y + 3 z 1lo ol=o)qr o,( y 32-66 -2 1" l ' ¡

oto, . r = S= l -v6, + 1? + 3r V46

l r 11 -3 r ld€i (oA, oa oo =

l;li i _]l

3 V¡6b)23

1

187

26, D.do. fo. p l ¡nor r i : ru + 2y + 32 - 1 = o y 12:b(+4y+e+5=o:

á) D.t.lmln.r m par! qur ¡.ar pat l.lo. y h.lld.u dl.iincl..

b) D.bn¡¡nar m p.ra qu. t.€n ono9onal.., y h.ll.r un Pun¡o y un v.clor d. l. r.cta lñttr..cclón.

6) Son párálolo3 3i lo3 v€ctore5 norrÍá16€ 8on proporcional€¿:

r=?=9 _\ - -12 4 6--

f ! : r r2y-32- 1l+ f . : A(+ay_62= 2l: ' r t2a+4Y-6z= -S)- i , : a-4Y 62- -5J

. -5 - 21 7 7 \6¿ \'44- , . . . .

\ /* - 4t + 6, 2v,14 2.14 4

b) Son ortogonalgs €i 1o3 v€clor€6 nomal.. lon oiogoñál€a, €. d€df, .i 3u Prcducto €6cálar o¡ nulo:

ñ". ! ñ". <' ñ. .ñ- - 0 <t {m, 2, 3) . (2,4,6) - 0

2m+2.4+3,6-0 > 2m- -2€:) m--13

Las ecuador€. d. la flcE d€ int€É€cclón ton.

. . ) '13x + 2f + 3z - 1 = 0' ' t a+4Y+02+5-o

Párd hállaf un pun¡o d. la r€cta r€aolv€mo! .l tlltlma fjando una ds laa coord€náda!, por ei€rnplo z - 0.

I -13J( + 2y -I u.+tv=I + -2o(+4Y-2

- -2i-4v-5-?8'x - f

1 9 - _/ 1 9 - lx--¡ y"-s ? r \ - ¡ , -s,u/

un v€ctor dir€c¡or d€ 16 r€cta 3€ obtl.n ha.i€ndo el poduclo v.olodal .lgul.ff€:

ú = (-13,2. s) x (2, 4, 6) - (0, Ea, -56) o br.n (0,3, -2)

x- l v- l t+1 f r+vrb . .D.ds f . . f .cf¡ . - - - =-

2 - 1 y

l t_;- i t dr . t Í rm.r . y D pü¡ qu. l . ¡n p. tD.r '

dlcul¡fi y a. oorl.n.

,+=?-. . + A,(r , r , -1)

: l t {1 ] -o

- | )

^ ."0 - , , u- . - ( - , ,1 '1)

l1 l ?l =o . "*o-or l

ú - (a,2, 1)

Pa€ qu€ .€ corton li6n€n qu€ ser copl6na.lá¡, !! d€clr, d€t OT. ü,, üJ - o

y pa¡a quo !€.n p€n€ndicularo€ Éu produclo €6.alr ha dá .ff nulo ú ü, - 0

l1l

t2l

f2l

lb-1-t)1" 2

t -1 I

188

]l Halfa fa.ccra que p.¡ . poretpunro ( t , 2, t ) y corr. p.¡pendrcutarm.nto a ¡a réc6, =[, - v _. = ,t ¡ +: = 2

:l*-'.i":-:l f1*. n=3"qd€ b recia r, ssa p,, y rormamG er wcio, EÁ siéndo A (1, 2, 1). rmponemoe ¡a cond¡oónoe que |o3 wclor6 PA y ü s€añ oltogonates, con to que qu6da tijada ta pcioon d.r pr".-e. - '-La r€cta pedida pasa po¡ A y por ¿.Para €regir un punto g.nérico de ra fecta ¡. pdam* su ecuación a ioma pammóiica haciendo z - tx = 2 i l

I=t -11> e(2-t , 1-4q ü.=(-r , 2,r)

Fomanos elvécto¡ FÁ = e t -1,1 21-2,1 r)=( l t , 2t_1,t- l )hponemos qu6 FÁ y O s@n ortosonátes.Ff rú <+ FÁ i=o <) -r+i+4r+2+¡-r=o + r_o

Lá rccta p€dida pasá por p. (2, 1, 0) y por A (r, 2, 1) y por ranro su €.udción es:x 1 v-2 z-1

r- l

¿) Cllculá un punro F d. ta r.crá . d.d! por . :P = (1,0, - t ) y o

- (2, t , i ) .

qu. .quld¡.t. .1. to. Punto.

Carcut. .¡ ár.á d.t trránguto d.t rmtñ¡do por to. punlor p, A y n.

Tomamos un punto R g€nérrco ds ta,€crá s. € rmoo.d€ F á o.

rdl€moÉ Wo ta dlsrancta d€ p a F a6a iguátqu€ ¡a disrañcia

PaÉ iomar un pL¡nro gená¡oo do ¡a r€cta s, oxpresámos ta rccta on parc|néficás haci€ndo y _ k.

[ " - L + s3: 1y= k I F(k+s,k, _2k +s)

t2 = -2k + 5

a)

d(P,R)=

d(R,o)=lmpoñono€ que d(p F) = d(p O).(k + 4F + k"+ (2k - 6)¡ = (k + 3f + (k _ 1f + (_¿k +4rk? + 8k + 16 + k. + 4lc _ 24k + 36 = k. + 6k + I + k: _ 2k + 1 + 4r _ 1ok + 15-16k+52- -12k+26 + _4k=_26 ) k=f ;

susr¡tuyéñdo M R {k r 5. r. 2k r 5) s6 ob¡€¡6 F l?} E

_q

Por ranto, €r pu¡ro de ,a rsciá s qu6 equ¡disia 06 ro! pu¡ro6 p y o €s , {? lj, "tb) El á€a 6d€t

hq4guto de vártjcos peR v¡€¡6 dada por ta mnad d€t móduto d6t p¡oducto v€ctoriál der v6dof Fd

s".- = jredx eñIPo -(1,r 2) l_ _

Fñ = l?t l ! ?l iPo PF=\ 20 2a -4) FdxFñ =ú 20). +-(r8)t + 1_4)r= viroo-

\2 2 t ]

Por r¿nto, S"." - 10 \,/5 u¡idádos cuadradas.

189

30. E3tud¡. la D6¡ció¡ r.lat¡va dé 1.. r.ct t r v ., y calcula .l óngulo qo' lorm'n:

Aus€amos un punto y el veclor diector ds cada .ñla

A.(1, o, o) i , - (2, 3, 4) l ; i - t . .q.iál á. aj ü. - ; ' , . gl i aA' ' r? r ' 4)

co'" ."go(AA-- ú, ü) = 2, ya que d€t (Af-- ü,, üJ - o

Las r€ctas r y s son @Planariasr coño no son PaÉl€las' pu6s sus veclors dir€clors no son PaÉ|elo3 s dédue

que ls rectas son $cá €€.

Cdcll6m@ él ángulo que forman:

€o. (i,s) = c"" @. ür = ii,+ = o#{ij#== = vfu ,

+ *r;"r =***(tk) =u,sr

sü r la ruct! q(¡. ps. po. A = e a, o) y B = (6, 2, 0) v..a. l¿ r|c¡r qu. Pxá r¡or c = (o' 0, 7) v D = (3' 2' 0)

Obtón raronád.m.r . U dl.i¡ncl..nlr. r v.,

En p.irñ6l lugar deborños €sludiar lá posición l€látiva de la3 fgclasl

sr ,ungo (AJ-, ód, Aó = 2, .on ooPlánaias.

s¡ rango O-6, e6, Ad) = 3, no son coplanánas, so cruzan

S¡ Eon coplanária3, pu€d€n aff paral€las o €6cant€€ Lá dlstanoia 6ñlrs roolaB pa|alela! €E calcuta hálleñdo la

dbtancia do un punlo d6 una de ellag á la otra

Si son ssoant€É, la dislanoia €s nula

Si las r€das 3€ cruzan, balta apllcar la €xpro¡lón de la dblancia €ntr€ doo t€cla€

ÁÉ = (4, -2, o) ód - (g, z, z) Ñ = \-2, -a,7)

€neo (Á6, ód, ac-) : s, ya que ¿er (Á6, ed, FC) - -¿¿ + o

por tanto, las r€cta3 r Y s s€ cfuzú

A, -af2.4 o ' ! . -& -" , - r 9) . J ú. ü.- ( r4,2s, 14rA, = C(0, O, 7) ú. - CD = 13,2, -7)) -

rü x ü. = r,ri¿" + ¿o- r¿ = r¿ tG ÁI = (-z ¿' z)

14 Vé

rr = 3 + ¡, . lL: l=I=i l ¡ : lv=3+2^

| 2 3 4 [ ;=a+3^

31.

42 = \,62

190

32. s.a el rerr.edro dc várr¡cés a - (0, 0, o), a = {1, 1, 1), c = (3, o, o) y D = (0, 3, o).

a) Calcula l. ecuaclón det ptano quc cont¡éne ¡a cara BCD y ta d.t ptano quc coñtien. ta c6ra ACO.b) Calcul. las .cuacioñe5 d. dG d. ta! a¡tuE. d.t telráed¡o, ta qüe p*a por.tÉrt¡@ A y ta qué pala por

.l vórt¡cé B, rc.p.ctlvaménte, (Noro: ta áttura de un tet..edrc .3 ¡á recta qoe p6.a por un-vónice y.3p.rp.ndlcular ál pl.no quo .lotermina ta c.ra opueda).

c) Compruebá qu. las dor attuhs ant rtorés.. cruzan eñ un Dunto p.

d) Co¡np.u.ba !l la rect. quc un. ouatquier úiri¡c! dct t tracdro coñ .t punto p e. p.rp.n.t¡cutá| a ra clraopueíá (y *, por lanlo! una ¿ltura det t.tdedro),

a) Ecuación del plano d que cont¡ene ta ca€ BCO: n (8, ad, edl ed: 12, r, -t¡

l " _ '

y 1 2 _ r lo: d€r{Bx Bc.BD' - . "1? j ] lo:)a:

¡ -v.z_3

Eclación dél plano p que @nri€ne ta caÉ AcD: p(A, Áe Áo-l Ád: ts, o, ol Ád = {o 3 o)

trv2ls: derrA¡.Ac.aor o ) 130ol -o:) z-o

10301tá arruE que pasa por A 93 una fecla d6tórminada po. et punio A y li6ná como v66tor dir€ctor et vector nomar

ñ,""=BdxBd=(2. 1,-1)x( 1,2 -1) = (g,3 3),obi€n,€n ta mbma dn6cción, (1, 1, l )

Po. tañto ra €cuaclóñ d€ ¡a arura sue oa* po I esr I = |

= !

Dól mEmo modo, la altu.a qu€ pasá por B ii€ns como v€cior dtrector €¡ v€ctor no¡rñat at ptano ACDñ^- = Ád, Ád = 10, o, ol x (0, 3, o) = (0, o, e), o b¡en, €n tá ñEma dt€cc¡ón (0, o, 1).por iarro la ocuacion do € anura que pasa por e ee:

*-l =v --

1 -z-1001

uam€mos h^ y h6 a las aliums qu€ pa!án por A y B, rc6p€cltváñsnts. para vd 3i s€ cortán. resotvemos 6lEÉleha rohado por tas r6ctas, paiq to ouat tas exp€gámo3 €n toÍña parcrnttca.

f x - | f x - 1h^r jy=l hBr jy=1

t¡ - I Lz - 1 + k,n*""0" l l ] | t ,=, *-o

| = 1 + kJPor lanto, lae altu& qu€ palan por A y por B s€ coñan en et punto p(1, 1, l) qu6 ss pf€ctsam€nt6 et vsdrc€ 8. Ob€árves€ qu€ €l oñunciado di.6 €róneáñ€nts s€ €ruzan cuando d€b€ dect sé codan.

d) ÁÉ = (1 1, 1)r ñá.0 = (3 3, 3). Como ¡F ñlco ta r€cra y €¡ ptano son p€ry€ndicuta€s

iÉ= t ¿, r , r l ;ñ." = ÁÉt Ád= ( j ,1,1) x {0,3,0) = f -3,0,3}Como EÉno ea parateto at voctor ñ^D, récta y ptano no so¡ p€rpsndicutarssi por tanro, Cp no €s ha aturaóÉ- (r , ,¿, r l rA"" - Á6x Ád= ¡ , r , t ¡ x (3, o, o) - (0,3 -3)como DÉ no €¿ palatoto at vocror ñ¡Bc, f€cla y plano no son p6rp6nd¡cutaf€6i po. tBñio, Op no B úna aruG

En un cubo, c.lculá .t ánguto qüc torñ. l. ¡.cta BC cln t. r.ct! qu. un. B co. .t punto m.d¡o d.t tado AD.

Tratarsmd d6 6lógir una .6168ñciá ad€cuáda, por 6j.mpto ét ongsn en et punto O.Como no€ pid6n un ánguio da lo mismo ra m€dida d6 ta dista d6t cubo.Si tomamos como a sta 2, ts cood€nada6 do tos vónicgs 8, C y ot punto M m6dio d6AD ss obti6n6 lacilm€nt6Posisiorm6nte halld€mo3 él ánguto tomado po¡ tos veaores Bd v Eú

B\2,2,2) C(0, 2, 0) r r1r,o, , ¡ f f i=[ '_ i : i i ]

"*, =Er#=#ü-* -

.' - ""-"(*) = ",'"

aó-( r .z r)

le

191

Hallar la écuac¡ór dé la proyecc¡ón orlogon.l r' de la recra

t-1 Y-1 z-2

212

sobreel p lanod: t - 3y+ 22+ 12 = O

Para hallar la proye.ción ortogonal de la recia r sobre el plano d halamos la ecuación deL plano P que cÓnlione

a r y es pepond cular a o La reda pedida r' es la ¡nle6ecc¡ón de los planog d y fr'

4(1 1,2) i ü = \2 1 2): í , - \1 3 2t

La d€rerminación Linea de B es: {r(A. ú, í") su ecuaciÓn viene dada pordet (A¡. ü' ñ.) : o

21l3

=0 t R: 3¡ 2v 7z+8-O

La €oreim de la Ela r' s obliem 6mo ¡ñlels€66n c¡e lo€ pla¡s ,' v B, por larfo: / leX

222

-03y-2y

Do3 va ll$ liias AA' y AB , do .¿p.5ot .l.cpre¡€ble, €¿lán .ni¡elo:ada3 Por Üna goma slá'i¡ca (d'l ñodo

qu. .e ¡ndica .n la tiguro odlunla).

!a qom. quG ..rá r.ñ¡a, Pocd. d!.llzar llb..m.nt Pot la. varllla. (.¡n .oz¡mltnro) St '¡bc

qu' lá6 var¡lla'

ocuP¿n la6 po.lcloñ.. (oñ .lr. cárt .lano. r.crangolaF. r y 2,:

x-2 v-4 2-5

^a:-¡ =- =

¿Oqó po.¡cion.¡ r.l6liva. tl.ñ.ñ l¿6 roctá. AA' y BB'?

b)

Hallar l. longilod totll dé la goma .lá3t¡cá on .u Po8¡cióñ d. cquilib.lo

Llámemos r a la recta M y s ala récta BB A conti¡uación buscamos un p!ñlo y elveclor dnecior en cada

una dé las feias r y s, fespec¡vañénre

A(2 4.5r q = l r ,2 2) . i a i 'A(3 o 4) ü = (1 1.0) -

/ '1 4 r \

'u"so 'AÁ.. ü ü.r raneo I t z z | ' r' po' tanto t*

'e\1 10/

Lá lonsitld roralde lasoñá6 L = 2 d(r, s) d(,, "):

ttü;ia = 3 por ranro L = 6 unidades'

192

H.llar la ocuac¡ón dé la recta que pá.. por A(1,2,

y par¿l.l¿ al plaño 2¡ + y - z = 3,-1t, .5 6r6ñdlculár E lá Etá r: 1 ov r z - t

l r+4Y+: = 8

ú = (0,0, 1) : (1,4, 0 = (-1, 1, s) ñ" = (2, 1, _1)

El v*lor dnecior de la recla s pedida ha de ser ortogonal a tos vocto€s i y ñ., por ranro 6 iguat a producio

ü. = ( 1, 1, -g) \ . 12,1, i ) = 12 -7, -3)

x 1 y-2 z+131

2= -r- jLa recla p€dida s ti6n€ d6 €cuación:

Halla la.cuaclón conllnua d.l. p.oy.ccróñ onogonal dc tá r.c!! (x, y, z) = (2, t, 1) + (-1,0,2).obr..lp lano2x+y-z*0.

lJam€mo3 r á lá rccl6 dada y r al plano dado.

Para obián€¡ la prcy€oción oñogonald6 r aob.6 r, construimo3 €l plano d qu€ pasa pof r y 6s p6p6ndcuta. a n

"(A,0 ñ") + a: d6t (AÍ, ú, d") - o

x-2 y-1 z-1-1 0 2

211=0 > 0: 2r-3y+z-2=O

L.a f€ctá p6dida 3 vi€n6 dada pof la Inr€€.ccióñ dó lo€ prano8 a y f

. ln 2r - y - z - 0- n:2t - 3Y z=2

Para pasaf la r6cla É á lonna €oñlinua obtenomo8i

ü. = ñ" x ñ. - (2, 1, -1) x (2 -3, 1) - 1-2, -4, s)

Un punto ds la r€.la 6 s€ obli€n6 ¡dolvi6ndo sl slstsma y haci€ndo, por 6j€mpto, y = O

X:" i ; : - : } "=; v-o; z:r ; +( l ,o,r)

Por lanto, la 6cuación 6n lorma continua d€ ta @ta proyec¡ón ortogonat dó la rccra dada es:

1. =' . .::....:

2-44

t_ l=y=!: l224

193

3 qü'34, S..n A, A y C b. puñio! d. la i.qtá x - t2 =

x=o,y=0 Y z -

0, uP.ct lvtm.nL.

.) D.r.rmh rson.düi.nt cuál d. lo.lr.t Puñ¡o. ...ncu.nlr!.rtro lo. obo..1o..

b) abñdo D un puño .n.tur . l. r.ci., Indlc¡, |t!na.bñ.nL, cuár d. lo. t¡áñgulo. DAa, DAC oll.n. m.yor 4r...

f " - , , - Y + 6

- z - 6

eunto e, {" - z

" + ¡to. -3o, -30) A-É= (15.30.45)-

l.x = o

v+6

8(15, 0, 15) ac = (10. 20, 30)

a) s. hallan lo€ pun¡os a, B y c hallando la! inteÉgccion€€ d€ la l€cla dada con lor planoo dax:O,y=Oyu=o,r€6p€cl lvament€.Pa|adoigm¡naf lapo3ic ióñd€lo3pur ios,c¡ lcularomo3la3d¡ÚÚ

Lo€ punto. A, B y C p€rt6n€can a la rá.ta r y por bnto €3lán álineador. calculamo. la8 dlda¡o¡a3 €ot€

-

l " - " -L l j=#Pu oC: { +

t ' - oc(10, -10, o) Ed -

(-5, --10, -15)

I a1n, e¡ - FÉ I - r"4F;TdTE = V¡ rso{ a1r. c¡ = r-C - vftr-;-d=E = 1v4 4oo +I d(8, o = dd - vG¡ -

td ..r$- = 1,/550I d(A, B) > d(4, c)td(4, B) > d(8, c)

óntonc€s se d€duc€ qu. los puñtos A1 B aon lo3 má! dl.iarfls y an com€cu6nch al punio C .€

Rapr.!.nlamd 16 Ígur6, con €l ponio D ox¡lrior a la r€cta r,

Lo6 tr€s liánOulo8 OAB, DAC y DCB ü.n€n todo6 16 mbma allura d.€d€ D, pof ianlo el do mayor á16á €qu€ ll€n€ mayof ba¡s,

En conlsou.noia, €l liángulo d€ mator árc4 a sl DAB.

't94

l . -

r.- 9!B r: x + y + z = 4i n' | \ - z = O, n" I x + y = 3 t¡.ñ.n ün ún¡@ puñto.n común. Sc D¡d€:

I Hdlar la. eu.c¡on.s d. t6. r€ct¡!.n qué c¿d. uno d. .¡o. ptano! corh . x = O..l Yo¡um.ñ d,el tdru.dro t¡m[b.to por.s. tro. p¡ano! y ct pt¿no x = o.

. Fara hal¡4 el punto común, rGotvemos etsilema de ecuacions: ¡

-

- | ,nuuo"" "aui"*

bl ; ^+y+z=41 - v+z-4

=oJ ? ' ' 1 "=oi . ¡ -z=01 lz-o=ol = ' '1"=o" ¡+y-31 .- , , . . Iy-¡:01 - t \ -0

r or ,nd'c) calcul¿mo€ los véni¿€€ d€l l6tÉsdro ' 1 r' _ {x - 0)

f . r f .^G=0)r ,arr ,ar{x-0}

Vbio = 6

ó€i iPO, PF, PS)l = l -1 1 0-1 1 -1

Cllcula.lántulo qu.lorm.n to. pt!ñor ¡ + y + z -

l y r - 2y +, -

2,Sean tr y r' lo. planos óado€; ñ" = 11, 1, 1), fr" = (1, -2, 1) 3us vgctol€s nomdos

co6h ' l=cosc,ñ.)=

1:-=2:- :1 =o t to6 ptano€ dados son ono90nar6V3 V6

D..d. !n! cl.rh dl.t.nct. .. v. .l punlo má. atb d. un árbot cu.n.l, t. ü.u.t torma un ánguto d. 60, conl! horlzonr.l. 8l no. .t.1.ño. 10 m.tro., .t ánguto.ñt.dor.. d. aq. ¿Cuát .. tr.ttur! d.t á-,!ot?S€ trat6 d€ un llmple €jerctcio do apt¡cación d6 ta tigonom€ila en .t ptano, balta con conoo€r €t cono€pro 06tangonle d€ un ángulo.Obl€rua 16 figu|al

[ r ,="rs6€r-Vá"S€á h la altuÉ d6t árbot: i \/a

Ih = f lo *,r rs 30. =

: (10 - x]

- \ÁV3,=;Éo-x): 3¡- ro+xi 2x-10) x-sm

Entonc€€, h - \ ,€ r r - t /6.s = e,ee.

Cdcu|lr la .cu¡crón .t. ta .ttp.. cuyo. toco¡ |on to. pudor F(-1, 2) y F,(9, 2) y |u .xc.nrrtctd¡d .| tgull

Como conoc6m@ la! coordonada! d€ to6 tocos, conocomo¿ ta disian.ta locát 2c. Como tá €xc€ntdc¡dad 63 iouala -, podemG hattar a. y tu€go, por 6t t€orcma d€ ptrágora!, b. Con to qus €onocemo3, y tos €6miéjé3 a y b, yá

€3 po6ibl6 harrar ¡a €cuac¡ón d€ ta € ps€.

dlF,F' l -4=2c ) c:2

comoe=!, enronces j=i r "="Porokapans,a: = b: + C a o = 1E - C = ^u6a - a : aa,SC¡mo 6l c6ñrrc d€ ta €tipá6 é3 €t punro C(1, 2). ta €cuác¡ón ds ta 6[pa6 *:(x 1)' (y - 2)" _ (x - r): lv - 2l:

6- - t4\¿-) : - r

= 36- -

3 ' =1

y+z=4)z=01

-

P(1.2. 1)v =3)

:ffiíl] ' {ffi=ri,i¡ti

I

K--10 m_--_+l

195

Hacia la Universidad > BLOOUE Aritmética ál bra

Calcl¡la la márfz M = FÉ - 3P - 2t, .¡.n.lo I ta marriz td.nldad dG ord.n 2 y p -

( -]

^ . / 131 /-1 3 /70\ 2 t ' 211 O71

-01 _l_3el 120l l8 errvr=p"-¡p-¿t - ló¡ 63/ \02 \ 6 2l

ou¡". r"...r.¡o.. ¡ = (? f). r - (l !), *r""r* r. - oe - r.

"=(??)(??) g;)*-*- - (¿:)-( : : ) - ( ¡

D.dáun.m.ir lzP,¿.¡r .bun.Oratqu.. lproducrop.O,obt.n. tproducroO.p.. . !n¡m.rrzd.un¿

PaÉ qu€ dos matric.s pusdan mutrtptlcárB€, et n¡lmsrc d6 €tÉm€ntos d€ tas tit63 det p m6l laotor tiens qu6 serigual ál núm6ro d6 alorñ€rtos d€ tas cotumnae d€t s€gundo tacror.Por lanto, laa dimemlon€a d6 tas ñatrices d€b6n 66r:

4F.Bie=(A.B)@

- Pa€ qu€ 6l producto P . O tánga una sota ttta, tas dim€nsionas d6 táe maric€€ d€b6n EÉi

Pj! O¡e = (P . O)j@

El produdlo lieñ€ una tlla V p cotumnas.

Por lanto,3i la dlmán¿ión d€ P e3 P,., €3 d€ci¡ una tira vadás cotumñas, entonc€ó O d€b€ 36l d6 tá toma O.,,,63 d6cir, ñ rlas y cualqu¡6r núñ€rc p d€ cotumnás.

- Pa€ qu€ él producto O P t€nga una sota lita tas dim€ñstonéá dó tas matr¡cgá d€b€ñ s€r:

a!," .P¡p=(P.O)i&

El produclo tién6 una filá y p columnas.

Portanto,3¡ ladlm€rciónd€P€3nxp,6ntonc€sad€b€s6rd6¡áfomaOj,^,63d€cn,t f távncotumnas.

S.aun!malr lzcuadr.dad.ord.nntátqu.A,=A, l t€Írátr tzuntdaddcord.nnyB=24-t .C.tcu¡a8,.

Aplicando ¡as propiódad€s de las opéÉcioñ€s con mai¡icés, se tien€:

B,= (2A_D: = (2A D(2A_ D:=4¡f 2A 2A+t=

=l

i)

0l /0 0l1/ \0 o/

69

/001\ /ool \s€ consider.ñ 1.. m¡tr ic.¡ [ , ! = lo 1 0]vN=lx I 0l '

\ r oo/ \voo/

a) Dd.minarxeYP..¡qu.M = NM.

b) c.lcul.r Mil Y Ms'.

a) Cálculo de los Prod'iclos:

'O O 1' /O 0 I t rY 0 0\MN-lo 1 ol l ¡ 1 ol- f I t o l

\1 O O/\y 0 0, \0 0 l ¡

,o o 1"0 o 1, / l 0 0\NM-l ' I o l lo 1 ol- lo I xJ

\y q o/ \ r o o/ \o o y/

Por tanlo, si MN = NlV, .s li€n6 que cumplir qu€ x = 0' y = 1

,o o 1,r0 o 1\ r1 o o\b) M M M - lo | 0 l lo 1 oJ=lo 1 ol=|

\1 o o/ \1 o o/ \o o 1 '

Por tarfo, M" = M, [4" = l,

I Sr k €6 Par M' = | (malñz un¡dad)D€ 6qu' 3€ deducé qu€:

lsi k €s impa¡ M. = M {nrardz dada)

A3iPu€€.Md-lYMtd=M

/r i \s.. h n't.r, d.d. Por A =

ló ;].

.) Encoñtr.r lr l.y d. tomlclón prra 1.. pot'ncl" 'ric"lv¡'

d' A' "

d'clr' Al'

b) D.no.tt¡r dlch¡ l.v ñ.dl¡ni. un n2on'ñl'ñto d' In'lucclóñ'

á) CálculamoE la3 Pdm€ra! poloncia€ de A para obbnÉr Por Inducclón lá lómL¡la geñ€ral'

" - ( ¡ ; )

a.-A A-(¡ N¡ i l r ' l i i )r ' -* r=l l l r ( l l ) - f l l le.=e,r-¡ l l ) ( ; l )=f¡ l : )

A panir d€ squi €€ ou¡€no la tOrmuta generar oe tar cuc€'lva! pol€ncia'

^^ _ 11 2 ' - 1\^ - \o 2^ /

b) D€ño€l€dóñ por iñd'rcc¡oñ

Para n - 1€€c¡6tta.

Vamos a v€¡ qus si €3 ci6¡tá paE n lo eá tambión psra n + I

* -e ' r - l lz ; ' l ( ¡ l r = l ¡4r ,11

70

Ddda la matrlz a = ( ; ; I . calculor s = A + a: + ar + ... + a".

Calculamc las primer4 potencias de A para oblener por ¡nducción ia tóhuta general

A pani d€ aquíse obri€ns la lóÍnuta 96n€rat de tas su@sivas poténci6

a l r 0 l

Demoslación por inducción.

vamos a ver que si 6s ci€rta para n to ós también para n + 1.

s = a + A, , A, , . . . -

a - I n o ' / . n. . 0 l

. . .1 2+ ¡ _n n,- l r r_ j_I l l 'n l

Pára Bumar los tárñino3 ds €8tas mátic€€ se ha urtttzádo b ntmula 9u€ da ta sumá ds tos n pdmoros num€ros

/o¿b\accon¡r¡r . r . t€mátr tzA=l0ocldoñd.. ,byc.ontr . !núm.ro. l | ! t . !arbtrr . f io. .EnculntraA.pár.rodo núm.ro rult n. \o 0 0/

4.. B un. ñ.tíz a r 3 .rb¡lrarta. tndtc6 ,u.ül¡c.ndo t. r..pu.¡ta .t .on ét.rr.. o t.t.¡. t!. .¡gut.ni..

l) Sl.l r.ñso d. B ..2, .ntonc.. .t r.ngo d. E: rambtón..2.

ll) Al.l rungo d. B.! 3, .ñtonc...t rlngo.t. B. ramb¡ón.. s.

"=[ ?) a.=a A=(] ?) [ ?)-( l ?)[ ?)( ] ?)=( l l ) "=* ̂ =( l ?)( l

a" ' j=a" a-[ ?)( ] l ) - (" l , l )

6a)

a) calculamos las p.im6las poisnclag d6 A para obioner por ¡nducción tá tóhuta g6n6Él

Portánto, A'- A. A=0.A-O

En géñsral, paÉ n > 2, A" : O

¡) Lá respuesta e6 talsa. Por 6jompto, ta matíz si 6s B ta mair¡z A det apanado antonor ftne rango 2 sr a y oson distintc de cero, y sin embargo A, €s de rango 1,

¡ i ) Si rango B = 3, enionces détA + 0. Por ianto, det (83) = detB.detB.detB + O se sigue queÉnso (Br) = 3.

/0ab, /0ab,,0ab, ,00ác,a'- l00cl A--A A = f o o c l l o o c l - l o o oI'o0o \ooo/\ooo/ \ooo/

.oab\,00ác. /000.a A.A=loool loo o) loool\ooo,/ \oo o/ \ooo/

71

9.i a o c\

Cods¡.lera la narriz A = | 2a -b 3c l. donde a, b y c son ño nulos.\ ¡a o ¿cl

6) Délém¡na el número de co¡umnas de A que 3on l¡noalménlc indepe¡dienle3,

b) C6lcul6 el rángo dé A y razona 3i la marr¡z t¡ene invérso.

=abc( 4 3r 9+3) 0

t0.

Como del A = 0 e ñúmero mdimo de columnas (o l¡16) li¡eámenle iñdepondienl6 es 2

Las columnas (1 2. 3) y (1, 1 0) ¡o son proporconalss, ¡uégo son i¡depend¡enles

b) rángo A = 2. ya que hay dos columnas Independieñtes Por lanto, no oxiste mariz nversa

Ld3 malr¡cos A y B l¡onon 3l¡la3 y 12 coloñna!, peio eñ él Proceso de edic¡ón alguna3 de e8tas sé h6ñ

/ 1 1 1. . . \ /2 -1 3. . . \A=l 3-1 0. . .1 E=13 01.. .1

\-7 s -2 . . .1 \5 4 o , . . /

¿Puéd€ s@ri9úars6 algo !obr. lo3 p@¡blcs valor* d. !u rángo?

s¡ llamaño¡ C á la matr¡z cuyás coluñna. son l6s 24 quc lorman las do5 marr¡ces A y 6, ¿cuál 5.tá el ranqo

EL rango m¿ürmo de ambas malr ces es 3. que coincid€ con el nÜmoro máximo de lil6 Independi€nlemenle d€

ranqo(C,.C) 2.yaqu€lasdosprm€rascolurnñásíosonproporconalesydel(O,.C.C,) 0

ranqo (C.. C-) 2. ya quo las dos pnme@ columñ¿s no son proporcronalss y det (C,. C.. C.) 23. Por la.ló

rangoc 3 por séno € rango de B ya qle en C e¡rslon res columnas ind€pe¡dieni6. las tres pri'ner¡\

/ r 0 x\r 1 . oad. la marr¡¿ a = i 1 1 o | , halrar los v¿rorc3 de r para lo. .uale6 16 ñat¡iz no .s ¡ñvé¡s¡blé. Hallar la inverBa

\xor/deAParar=2,

una matr¡z cuadrada es invefsible si 3u del€rñinanlé 6s d stinto de .efo, es decn. sr su rango es gLal a su d men

detA= r x l t ecuacrón I x '=0 9 soluciones:x = 1,x= l

Para x = 1y x = 1,la malrlz A no liene inveFa ya que su delerm¡nañle es nulo.

Para x 2 La matrE a i¡ene iñversa.

dérA = 3

Mar,z In,ersa por ddrulros ^

l { . ; ]! \ 2 o t /

72

H.lla lo. valoro3 dél parámetro t para lo. cuol.. no tiéné inv€rla la ñ¡lrlz

^=l¡ l : )\ - r 3 t /

Cslcura, 3¡ !5 po.lbl., A-1 cuando t = 1.

-d€tA=r+4t 12

d€tA=0 t r+4t 12=o

Solucion€sr I = 2, t = -6

Para i = 2 y paÉ I = 6la ñátriz no iiens inveR, ya quá d6lA = O,

/ 104\MatzpaÉl=l :A=l o 14l

d. ta - -7/ 11 12 -4\

Matri2 inversa por adjunbs: A ' = -; | -+ s -a t' \ 1-3 1/

¡) D.trñh.r coñc.pro d. marrlz Inwr.lbl.. o¡r un crlbno par. ...tur.r qu. uñt m.llz.. Inwr.lbl..

/1 -r -r\b) DEda lá mñlz A

- I 1 -1 o I, d.t.rmln.r pa.! qüó valo¡.. d.l plrám.lro m !xl.l. A'\1 0 m/

c) Prru m - -1, r..olv.r la lcu.clón dl (A'r - xl) = o, dond. | .. la m.lrl¡ unld.d d. l.fc.r ord.n.

a) Do8 matic€É d€l mbmo od.n 8on inv€t!€B ¿i 3u produclo €€ la matdz unidad.

Una matiz ouadrada ဠInv€rslblo 6i 3u delerfnin6ni€ €. dhllnlo do c€ro, e3 docir, 3i 3r¡ rango 63 igual a su

b) d€tA = -1. Por tanto, sxbto la mál z Inváraa A_' patá cualquisr valor de m.

/1 -r -1\o) MalzApaÉm--1r A-11-1 0l

\ l 0 -1l

/ -1 11\t'¡atdz inver€a por adlunro3: Ar - - | -1 0 1 I

\ -1 i 0/

i)-0+1)(x"+1)

/ -1 1 1\- - f - l 011

\-r 10/

-1 x l l

/x00\ / -1 -r 1foxol=l -1\0Ox/ \ -1 1

--()C+xr+x+1)=

d6l(A'-x l ) -0 + x=- l

D. una m.tdr cudr¡dá .. .!b. qu. .u d.t rm¡nánt val. -1 y qu. .l d.t..mln¡dt. d. 2A vá|. -8 ¿Cuá|...l ord.ñ d. l. ñrlrlz? Rlzona la r..pu..t..

PaE psar d6 A a 2a, hay que ñuhiplicar todas las lilas o coluñn4 d6 A por 2,

SiA 6s ds 8€glndo odón, s lién€: d€t (24) - 2" d6la = 4

Si A €3 d6 t€rc€r ord6n, $ li6né: d6t (24) = 2' del a = I

Por tanto, €l ordón do la matrlz A €6 3.

6) oe la6 .¡gülénl* oP€rac¡on€ con .lalcrminant€. d. otden 2 x 2. .eóalar las que 3on cofecrae v, en ¡u

cá.o, €nunc¡a¡ la8 propiedádss que .. ulil¡:on:

2.

3,

i i ="2 6l22

-o26 - '

a) Para a = 3 el d616.ñrnants €s a =2354 91382735

Pará f€ducir esle detorminánte a oto €qÚ¡vale € queguñda, tercera y cuarta la columña anleñor

Proced¡endo asi, se nene

Dáda6 l¡3 malr¡e! a v B de otd€n 4 x 4 con der (A = 3 v d'r (B) = 2, calcutat dgi (a')' det (BA) v det

({AB ')), ¡u.iificándo la€ retpuesta3 {Se recu.rda que A r.Prctenl. lo raFpu€3ta d' A)

1) Es verdad€ro ya qus ii€no dos cdumn6 iquales, y por tanlo €l determnant€ es cero

2) Es vedad€rc, ya qu€ se ha obleñido sacando laclor 2 de la Prime.a fila y 2 de la segunda, v su prcduclo

3) Es lalso ya que aunque se ha sacado laclor 2 de la prim€ra columna y 2 de la segunda se ha multiplicado

el delermnanle po. 2, no por 4 como dsbena sé.

R<ordomos que: del (AB) = detA d6lBdol (A) = d€t adel {A') = Idel Al '

1) del {A ') - Idet A1 ' = 1/3

2) det(B A) =detBd€lA= 2 3 =6

3) det(AB r l ) = d61(AB ) - 3 1/2 = 3/2

t l

26 5val. c.ro par. a = 3.

Compru.ba ..tá atlm..¡ón .ln d!..rollá.lo . Indlcándo la. Prop¡.dad.. d' lot dd'rñlñant" qu' 'Pll-

D.i.rmlna lo. valor6. d! . paE qu. la. iru. columna. d.l d.t rmln¡.i. t.Pr..tnrtn v'olor" lln6almtn!'

¡l

Ests d6l6¡mnanle val6 coro porqu€ la t6rc€ra columna 6s igual a la suma do lás coluñnag pdmera y ségunda'

6s d€ck lae columñas son l¡n8alm6nte d€pendreñros.

b) Si los v6cloros columnas o vaclor€s i¡las son lin6áhe¡te d6p6ndi6nies, s! dél€rminanto d6bs sd nulÓ

d6ta = a' 5a' | 6a - á(a' 5a + 6)

dota= 0 ) á(d sa+6) =o

Fesolvéndor a = 0, a = 2, a = 3

Halló, €n tuñc¡ón d. ., .l valor d6l d6t€ñ¡ñ.nro17,

0

11

3243

20

10

sea más fácilm6ñ16 calculable, se rosla a las coüm¡as se

3

taa12a3243

74

calcular Gt Gte!€rm¡n¿nlo: D =

Para calcular ele detefminante sin desarcllado ss sumá la segunda columna a la tercora se lrene:

Este determinante vale o, ya que ti€ne dos columnas Proporcronales

D. uña m.iriz cuadrada a dc ord.n 3 .. s€b€ qu' su dlt'rn¡ntnt' valé -1 ¿ct¡ánto valdrá cl délérñ¡nanl'

2A-l2t 2s2hl\2n 2n 2P/

sia=lr shJ

I Sn2a 2b 2.21 29 2r' =8d€tA=8 (-1) = -8=2 2 2

¡+la a_ l

Catoul¡r . l v . lot . l . l dr l . rm¡nanlc D - | . . á+1t-

l " á+r

s6 suma á,á prm6É co,uñ* *_ * "*" " = lll i

1á11 a 1

S€ sáa facior comun (4a r lo {4a rr l r a a-11á

Se €€ta a todas las d€m6 columnas la p ñ€ra @lumna ñullipl¡cada por a:

000100010001

Pór tarars€ de un detetmiñant€ d6 una malriz triaÍgular: D = 4a + l

D:(4a+1)

1oox100x1

x000x00ox

1100-! 1l1-x

1

S€ suma a la Driñ6ra columña iodas 14 demás: O

S6 €lla la pnm€ra columna a toda! las d€ñá5: D = {a - 3)

Por tlatáÉ€ do un deteminaú€ lñángula|| D = (a + 3)(a - 1F

Se saca factof común (á + 3): O - (a + 3)

lx 1 0 0

n..orvü r. .cu.dó'l 13 ; I :I t o o '

Se d€oaÍolla por la prlmgra filal

lá l?3l l ¡ ¡ l

Soluo¡oñoolx--1,x-1

01' to

0o

00

x'-1=ü'+1Xf-1)

- - r ( -xr+r+x)-r : - f=

-0

111

oo0

¡'l

21t,

S6 d.larolla oo. lá odmora llla:

-x101l-x 10

1 01-x

-1 -1

-x 1 01.1-x 1t-o r -x l

-2

l1' | |

o11o

101

Solucioná8i x =0,x= 2,x=

24.

suñándo,ap mera'aa,od*,aád€más,s€r€n.: l i "; ' , i ,

" i , ilo o o o x+l

Por lEtaÉ€ do un d€t€rminanto do una mattiz tiangular: (x + 1)' - 0 Soluc¡ón: x = -l

Derérminar et rango de ta 5igu¡€rte matriz s€gún tos vatores de t:

26. E.rud¡a .l ¡¡ngo .16 ta ñdrtz a ..gún to¿ vator.. d.t párám.r¡o a_

Por tanto, et rañgo dé A es 3 s¡ a : O

La malriz A es ectángutar no cuadrada, tuego no pueoe t€ner marnz InveEa.

^=f:?;)

dÉtA l ] 2t t ¡ t : r o ) l .o. i \21 \2

l.'caso si t es disli¡ro de o y V2y \/r, enlon.6s det A +o tuego rango A = 3.

t0 2 2\'2 'caso: Si t : o enloncesA=12 o o lenton.es r

\1 o o/ añgoA = 2, ya que las dos prmeras t¡tas no son proporc¡onaes

i \4223.'caso slt = V2 eñlonces A =l z 1,,! o ) ontonces rangoA = 2. ya que tas dos p¡imeas i¡as no sonpropo¡cionales \ 1 Vi \,2/

- | \ ,2 2 2 \9lq9l9:sil = - V'2. .nlonces A = I 2 \,t o l.nron""","nsoe = z. y. que tas dos priñeras r És nosoñ propofconáres \ ¡ \,t V2l

/á+1 r _¿ a\o=l , u+r o e")

I 1 0/

Ra2onar .l páro átgún vátor d. á ct¡61. A ,.

Sa lr¡lü o€ ejud'd er '¿nSo oÉ as .otumnas C C . L C5r eBg mos ta8 rres pnmeras cotlmnas se trené:

det(c,, C:, c.) = a(a + l): = o, ru6so a = o, a = 11' ' caso: Sia;0 ya

- 1. €ntonces det (C, C:, CJ _ O. t lego etrañgo d6Aes g

/1 100\2. 'c6o: S a=0 entoncesA= f 110 ol sob hay dos cdumnG iñdepoñdrentes, ta pr ihe¡ay ta rerc€¡a uegosu ranqo es 2. \o I r o/

/ 01 1 l \1, entonces a =

{ 100 -2J y\ l l l o/

01 = 1, ¡uego su rango es 3

1102

77

33.

con!¡dor6,a.ma' ice6,a= l . I ¿ l , "=l ; I l l

\ -1 11/ \000/

a) Dol€rminár B¡ A o B .on ¡nv.Éibl.s y, €n !u caso, c.lcul. la mátr¡z ¡nver6a,

b) R$u.lvo 16 €cuac¡ón mat.ic¡.t BA - A" = AB - x

a) detA = 3, luego A €s una ñalriz inve.siblei det B = 0 luego B no es una mátriz inve6ibl6.

r / r 1 r \Lá marriz ¡nv€6a de A s3: A =

.\_? j l)b) Ecuación: BA f -AB-X>X=AB+¡¡ BA)x=A(B+A) BA

/114, /221, t33 3\ r r t \ 114. t1 22a{B ar l1o1l l r r r l {1321 BA fo11) l ror)- lorz l

\ I I I / \ '

l1 l 2o2 \000/ rrr / \000/

sustituyendo: x - A(B + a) - "^

= I ? I ;.)\ 2 o 2 '

R..olv€r ld ecu.ción matr¡c¡al A'? X - B = A, y d.tern¡ndr la máirir X, .iéndo

/1 0o\ / -1 o 0\A=lo2o)yB={ o-o ol

\001/ \ 0 0-r /

Ecuaoón: Arx B=Ar>f X=A:+8JX.-(A1 ' (A¡+ B)

sus,, ,uy€ndo ^ ^.^ l¿13¡ ,^^." ." .13?31

\001/ \000/

/ ,oo\ / ' i " \ , , . . , , . t )l " ; "1-" ,a. , ¡ {A B, lo.ol{o.ol lo,\ i \ - / 000' \ -\001/ \001/ \00

Hart. roda. ras ñatric.s x o. n ,"-" "

= /l I ot /1 0 1\

\ ""r"-*""=l : ;?J/a10\ /a10\ /1 01\

seeún eronunciado, se ha de dmprr l0

b , l: 3 :l

= u : :l

/a 'a+b 1 \ /1 01\operanao: {o o ' u+cl={oro)

'0 0 c. / \001/

ldenllcando los términos, rssriltan lás €cuacionesr I *= oo'==0"* -" t=

o

De esras ecuaclones s€ oblienen ls dc siguientes posibilldades de valores:

La marz x puede rene, una d6 ssras dos roms, -

= /; I ?) " "

= 101 1t

80

/1 2¡S6a la ldonridad malr¡c¡al: X 1- i I = l3 4 |

\s 6/

a) ¿cuál$ 30Í lae dlñ.ns¡onÉ de una ñatdz ¡oluc¡ón d. la ¡donr¡dad arlerior?

b) Calcul. uña soluc¡ón

c) ¿E3 única la 6oluc¡ór? Fdona la3 r€puéslag

a) Lá mal zxdebeser de orden 3 r 2 yaqueál multiplica apor la malriz de or.len 2 ! 2da u¡a malrrz de

b' L¿ r¿riz A l: I

l€ n'ersble. y¿ o@.as dos rls no so4 o'opotcionalas. lu69o su Engo es 2

Por lanto, exlsle malriz ¡nveFa.

Para calcular la mal¡iz X se mullrp¡cá por la dersha por A - a los dos m|eñbros d€ la euación.

La mat z nve,sa de A €s I : ; | : l ^ ^ l

,=/ l ÍJ l - : u-' \ ;6/ r 3 -21

c) La solución es únca, pu6slo que la málrrz Inve6a s un¡ca.

: \

Oad.. 1.. .lgul.nl.. matrlca.:

/2 O 3\ /x\ / l \A=lo 1-r l , x=ly l , B=l 2 l

\r -1 2/ \z/ \-r l

hállar la ñatrl¿ ¡nvcr.. d. A y ul¡l¡:.íá p..á r.¡olv.r .l .¡.t ma dc .cu¿c¡on* AX = I

; )

/13 3\¡¡arr iz ¡nve.sa: A ' = | 1-1 2l

\ , r z zl

n€olucióñ d€l sisléña: X : A '8, de dond€

( ' )

Porlanto,x = 2, y = 1, z = -1

i?\ , ;

^(í i

, 1 3 3\ / 1r , 2\=l

' L| { r l= l ' l\ '1 2 2/ \ 1 l ' -11

8l

Rdon¿ 6i €s poslbl. apl¡car loi méto.lo. d€ r.3oluc¡ón que conoc$ pará 3¡6teñ46 .l€ ccuac¡oneó con incóg'nilá6 numór¡ca. at ca3o én que l¡€ Incógnhas 3ean matr¡c€s.

apr¡car. . i€ro e6 posrbr6. . r " ¡"G." i3 l i

" l l , l . ""* .o=' i - l ,

" =. i : i l

Eñ la r€slución de s¡slemas d€ duaciones lineal* ¡8 única6 opeaciones qu€ se verilican:

Suma de euaciones para eliminar táminos.

Producto d€ €cuacion6 pof números para lgualar coefio¡entes.

Eslas m¡smas op€raciones sn las que se uulizan en la rAoluc¡ón de sislemé de ecuacionos on los que iñtetoens

Los métodos para reso ver sistems de ecuáciones malriciales son los m smG que para los sist€ñ6 de écuácioElineales, Aqul ss uiiliza e mAodo de reducción:

r". * rl i)t\4urtrolcando oor 2 la p.ime. **"0" ]

- _

t " ' ' '122\/1 _9\t? 7l

Sumendo 7x-¡ ; - Dedondex- la bl

,z .1,

[ * ' '=(?- l )ML,ltip'iando por | 3) l€ segLnda €cuacó1 1 . ,,

L-3x-6Y-¡; ;

r?11\| 7 7l

surando: ?Y-l l ; Dodo@Y- l 5 3l\ - ; ; '

Halla la marr¡¿ x'¿ + Y, dond. X . Y .on .lo! ñálrlc.. d.l .l.l.ma:

sx * ov = r-l ,!'rx+2Y=l 1 -11

f 'ox-ov- ! . ! ,Resolveremos el sislema oor reducción: {

t ex 6y l :_, : l

I)IL

38,

^ _

\ -2 3/

l5x 9Y =

15X + 10Y:

,_i 1 5\' \2oj

i6 0j\ '12 451

/ 5 -51

3r ' r l 5L r-6713/ l2 0/ l6 j l

a2

Y

19 l6s ñarrlc.3 x, Y &ñ la3 .olucioñé. del slst ña d. .cu.c¡onG ñatr¡clal.3:

,x-Y=(?:3), . . -=(]1)

Calcula .¡ tiere !€ñlldo x-i . Y¡ {rdond ra po.iblé .é.puetta n€gatlva).

lnx * ll ,!otR6olver6mos el sislema por reducciói:

1

l ' . '^=( l -á)sumando *=(3 -13) o"**"x=(l ! )

1,, '=(?- l l. l -

l - * -*=(-3315Y =

l_; _; l Do dond, Y = l i ; l

d€t X = 0, l!690 ¡o 6x¡sle mát z ¡nvetla.

dstY = 1, ru€so ra í\atrrz rñ*"" * Y ' = (-l ¡)

/1 . ,s. con.rd...n rá. marrrc.. A = r; _i _;ry B =

\m o/. dond. ñ .. cudqur.l núm.'o

'.ar.

.) Encu.nrra lo. v!lor.! d. ñ pará lo¡ qo. AB l. lnv.dlbl..

b) D.t .rñlña lo. v6lorÉ. d. m para lo. qu! BA.. ¡nwrllbr../x\ , -

.) D.do¡ a y b, ñúm.ro. r.al.. cu.r!.qur.rá, ¿pu.d. ..r.r ¡l.t n! A (y ) = (;] come.obr. d.t.ñrñ!do?

' m=rl - f T l ;3) , ' . : 'J ' ' , "J' \02/ ' - " '

Par6 q!6 s€á inv6Éibl6 lá mal z AB 3u dol€rminanto dsb€ 3er dislinto d6 0.

l1- 2h 3

-2m -2ñ' | 3m 2-o

Solucion€s d€ la €cuaciónr m - 0,5, m = 2.

Por tdto, la makiz AB 6 ¡nv€6ibl6 si m '¿ 0,5 y m * -2

, "^ - 1,1,31 r l ? l r- i l j , ' - ' )\o 2/ ' - ' - ' '2 2 2 I

Para que s€a inveBible la mariz AB 3u delominani€ d€b€ s€r disiinio ds 0.

2-2 -2

Por tanro. la ñatrÉ AB, ño es inv€lBible nunca.

83

r 2 m / ' \ rao 1 1 rr lv,=rbr

La malri2 de los coeli.ienl* lr¡. y la matrz ampliáda l\4t' son

M | 2 ñ, t , . '1 2 ñ¿

' ' ' I I I ' ' _

- 1 Ib

rangolM - rangoM - 2 ya que las lilas no son propofc¡onales'

Por tanto el s$lema es compatible lndelerminadÓ

l '+ v+ z-0

Dado €l s¡.t€ma.re écu¡ciones linear€s S: l, "

+ Z:1 + U = A, ¿'s posible €nconlrar un 3¡3teña equn

l2x + 3Y + 42 = a

val.nte a S pero que l.ngÉ ún¡c6ñ.nte d@ ecÚacion*? Bazona la respué3|''

obs€ryando|asecuaclonesseve'áci |menleque|alelceraessumad€|asdosprñéras,Pol lañto.eseql iva|ente

^.r+y+z=0L, f2y 32-A

Eslas dos suaciones del sislema s no son pfoporc onáles luego el sislema dado se feduce a esle sLreña

Es !n s¡slema compalrbl€ ndel6rmi¡ado L6 solucones dopendén de Ún pafámel@

Apl¡ca 6l lcorcma de Fouchc'Frób6n¡u5 part d6cn cómo es 6l '¡ttoma:

Encueñrra un. .olución para d¡cho rbl6ma-

Lá malriz de los coefc onles M y a malriz ámpliáda M' son:

by+cz=a+b+ccy+4=.+b+cay+bz=o+b+c

M lb c al/abcatbrc\

M^ lb c a\ .aba+brcl

rangóM rangoM'. ya que l¡ cuana colÚmna es suma de 16 lr6s p¡meras

srstema compalb e delermrnádo

Habrá dislrntas soluciones dependi€ñdo del vaor de rangotü:

1" c6o: rangoM ranqoM' = 3

Una sotu.Dn sé.ci lLá es i ' I Y 12-1

2 .Ñ .angor'¡ rangoM, = 2

(árbrc) ( (a c) ' (b a)(b c) 0

<, a+brc=o o (a c) '= (b a) (b c)

l rb . r , b\ (2 !Si r b . p ls isrpmdés

J b, Lv ¡b L, / o

uña solucion sencilLa es x = o, y = 0,2 = 0

3'caso:rangoM=rangoM'=1:a= 1 b= 1 c=1 ) x+v+z=3

84

Unasolución 36iar x = 3. Y = 0. z = 0

. 3x-2v+2= 52r - 3 i t + 2 - -43epdé:

a) Añad€ uña ocuac¡ón para qu. cl si3tema .éa Incoñpatlblé.

b) Añade una ecuación para qu€ €l ei3lcmá €ea compat¡ble determinado.

Ju6tifc6 en c5.la caso 6l proc6d¡m¡onro segu¡do para aúad¡r 15 ecuac¡ón.

[3\ 2Y - z= 5Un sisrema puede ser ), zx ly - z = a

Lsx sY_22= o

La lerceG {uacón se elige de modo que sea suma d€ las clos pnmeras en el pimer mlembro pero no en esegundo, luego el s6leña no puede toner solución

Se puede comprcbar que 6l rango de la malíz de los coelicientes es 2, ñionras que el rango de la mat z

l3x 2\+z= 5ui slsrém¿ pude ser 1 ¿r 3\ + z = 4

Lx 3v : 0

La ler.é¡a ocuación se €l¡g€ de modo que no sea coñbinación lineal do 16 dos primeas en e pr¡mer miemb¡o.El segundo miembro puede ser cualqurera

se puede comprobar que e rango de ¡a mal 2 de los coelic¡enles es 3, uego €l rango d€ la matnz amplada

Sisloma compalible delerminado.

Dllcur. d .lgo¡!ñr. .¡.i6ña dc .cuac¡on.. ..9úñ lo. volor6 .1. o. o ¡nrcrprólalo 9.oñáklc.mcnl..

c lax - Y= |- lx-¿y-2a 1

La mariz d6 los co6licBñtés M. y la matiz ampliada M', son:

t¡ ' ,u I t

]' - \ r a I a 2¡

d€l l \ ¡=O-a_ 1=0

Solucbn€s: a = 1 , a - I

l 'caso:a+ I y a+ l

del l \ ¡ -O ) rango¡,1 =2yrángoMa=2

El sisleñá €s coñpalibl€ d6l6rminado.

Las ecoaciones represenlan dos r€ctas s€canles en un pano

Mjl l r" '=( l l l )rangoM-rango¡¡*=1

El s stema es compal¡ble iñdoteñinado.

Las reclas soñ coincidenlos.

3. ' ' ¡c60:a= 1

. I 1 1/

rango¡¡=ryrañgoM'-2

E sistoma 6s in.oñpalibe. Las ¡eclas son paralelas

*-( ] l_ l l

85

a) En un 5i3ieña lineal de tres ocoac¡ones coñ lrés incógrilas 3e conoceñ tr6e 3olucio¡8 ¿ExÉten mas

solucionee? ¿oué válofes puede tomar el rs¡go de la matriz a3oc¡ada al c¡3lema v el de la mairizsñPliada?

Di6cul¡r la ex¡stencia de soluc¡one€ dél sigu¡enté según lo3 v.loros del paránéro a Y, .i es Po3¡blé,fe.olver loparaa=0.

^ lx+ 2Y+ 2=3"

= 1* * tu + 3)Y + 3z = 1

Un s¡slema linoal de lres ecúac ones con lres incógnilas puedé lener:

* Dos o ms soucDnesSi tiene dos o más solucones, tiene rnfin¡tas solúcions que pueden depender de un parámetro o de dos

Por lañlo, ex¡slen lres c6os que felacionamos a conl¡ñuáción con e ango de la malriz de os coefc 6ntes Nly con el rango de la matr¡z amplrada, Itl'.

1 ' caso: fangoM : ÉngoMt = 3

una única soluc¡ón sistema compalbe det6rmrnado

¿" 9q99: rangoM = rangot\¡* = 2

Infinilé solucionos depend enles de un parar¡eÍo

s slema compal ble indelemnado

3 "' caso: rango¡¡ = rangolv 1

Infnitas sollcones dependionles de dos parámslros

Sistéña compatible rñdetermlnado

La malr¡z de los coeticEnles M y la mahz amplada [r'. son:

' - ( : . i " : ) ' '=(1" i . : i )rangoM' - 2 ya que 6 dos úllrmas collmnas no son proporconalos

det (c,. c.) del (c.. c.) del (c¡. c.) 3 a

En os lrs casos a 3

l'caso a ¡ 3 ¡angoM = ra.go[4* 2 Ssl€ma compalrble ndelormrnado

z mo a 3: rangoM - 1-rango[4' 2 SElema mcompalrde.

l " ' 2v3\ J/

Escóó¡endocomoDarámeiroz-Lsél6ne: I r2v 3 I

L 3v=1 3l

71Fesov¡endo s€ ¡eñe: x

3+1. y- l . z- t

H€suelvé él !¡.r€ma para 106 valórss dc k quo lo háccn comp6llble:

12,-

Las dos prñeras euaciones lorman un sistema compalible ya que no son p¡opo¡conar€s

Las solúciones se pu6den obtener por reducción (acons6jabe), por dsieminanles o! con un poco d6 ¡nl!!cc'

Sollción del sist€ma de las dos primeras ecuaciones: x : 1 y = I

P@ halla elvalor de k, se s6liúyén 16 $luoon6 oblsid6 en la l€rceáe@¡ón:4 1+3 1=k de dÓndé k=_

Por tanto. para k - 7 el 6istema es compaliblei pára cualquier otro valor es iñcoñpaiible

86

Derorm¡nar e¡ va¡or dé m para er cua¡ ersisiema lx + 2v + z = 3

so,uc¡onu.. carcura razonao",."," ""","

n"", 1i i;í l3: =

5 tiéne iorhiras €orucron* vobrén o.ag/alor* de m par¡ t@ qúe et s¡5tema ño tenga 6otución.

l;:,::;":l """'" , nos pjden q¡Je indiquemos si e¡ sisrema es coñparibie o no para oerros varoros de rosPara resotve¡ et sislema se útitiza et t€o.€ma de Foucne.La mat¡E de ¡os coefic¡enles, t\¡, y ¡a malri: emptiada, Mr, son.

*-(i

del i ¡=O ) 4 m=O

r'casor m+4

rañgo Nj = rango^4* = 3 sBrema compalibt€ dgormrnado.

2." ca90: m=4

l1 2 t \r ¡ ¡ I ' r r l u.=/ , l r r l, ra3¡ \ t<s¡t

d6t M = o, luégo .añgo M t.

f"ir3'#15 a v c: ño soñ p'oporcionar*, y ra Grce¡a corumna és isuar a b s.eunda m€nos ra prm€ra iúeeorangoMr = 2, ya qúe der (c,, C. C,) = o

Aqur ¡a cuada cotumna é€ jguat a b suma de |a segunda y ta r6rc6.aEl s¡slema €s companbb indelermrnado.

Ei sislema se reduc€ a dos ocuacioñes con tres iñcognrras:

lx '2Y + 2 - 3tx + 3y + 22 = 5

Si suponemos que x = l, érsistomá se puedé escriur asr:

I , * zy = s rlx + 3y = 5 2t

!= 1+l v=r-r , ¡

/1 21\Ni =

l1 3 2J213\3 2 5J

Di€cure, .egún él valor d€l Parámelfo o, cl 3i3leña l¡néál

(a+7Y+2oz=lld+8Y+232=1tx - az=1

Fesüálvolo en los ca3@ que i.nga irl¡nllaE 3olucloñó€

La matnz de los coelicionles, M. y la malr¡z amplada ¡¡*, son

I\ + 7Y + 2oz = 1Lx z = 1

Si damos a z cualquler valor, por e,emplo L el sFleña * reducg a:

lx + 7y = 1 20tLx =1+ t

El sisteña se résuelve por suslitución v ss oblienen las solucioñ€s en iunción del Parám€lro i:

2023

dorM=0I a_+1=o

Solución:a=1,a- 1

1'caso:a+1ya+-1

rangoM-Engo[4r=3

sist€ña compalrbl6 d€le.minado.

a !9:9r a=1

11 7 2A\ /1 720 1\M-118231 M'=11823 1J

\1 o 1/ \1 0 1 1/

rango M = 2 ya qu61as doe piñ€¡as columnas no soñ proporoonal€s'

rango t\4' - 2, ya qu€ la cuana columna 6s gual a La pnñera

El sigterna e3 compatible indot€rminado

t_.1 720\ / 1?20 1' \[4=l 16231 M'=l 182311

\ 1 o 1/ \ 1 o 1 1/

fango [¡ = 2, ya que las dos p.¡m6r* columnas no son proporciona]os

rañgo Mr = 3. ya qle del (c,, c. ci = -2

El sistema €s incompalbl€

4.' caso Para a - 1 se ha vislo que el slsl6ma €6 compatibl6 indetermnado y se reduco a dG €cuacrÓnés

r)la 7 2a\\ la 7rM=la I 231 lV.=la 8

\ ioa/ \1 0

r=t+t , y= -3r z=l

88

,tr

ifd + zy + 6z = 0

a) obcuto ef s¡¡tema dé..uaclones ] ¿( + ay + 42 = 2 .esún to. vatoEs det paráñérro á.L¿{ + av + 62 = a - 2

b) R.rlelve el lbt¿ma d. ecu.c¡on4 !ar. a = 2.

/a26\ /a 2 6a) La matnz de los co€licienles, M y ta ampt¡ada, Mr, son: ¡t = 12 a 4l M' = 12 a 4

\za6l \¿ a o adet [1 -2a¡ LdetM-o + 2a: I - O. Soluc¡ón: a - 2 a= 2l"caso:a+2ya+ 2rango M - rango l'ri = 3. sistsf¡a compatibto deterñinado.

")

/226\ /2260.\M=12241 M'=12242| l

\2261 \226o/rango [¡ = 2, ya que las dos p meras lilas no son proporoonates. Rango t\4r = 3, ya que ta te.cera tita es |guala la pnmera. El sisiema es @mpatibe indetem¡nado.3"caso;a= 2

/ 2 26\ / 2 26 0\M*l 2,2a| M,=l 2 24 2l

\ 2 26/ \ 2-26 al|Engo N4 = 2, ya que las dos pnmdé f¡a8 no son p@porcional€€. Rango a\4i - 3. ya que dei (q, C?. cJ = -12s.Ei 3¡siema 6s incompáiibls.

02

b) Para a : 2 s€ ha visto qu6 ot sistema se f€duc6 a tas doe p.ir¡€.as ecuacion€sl

sidamos a x cuarquief varor, por €j6ñpro r ,6rsisroma s",**" " {}1f = ,

- ] ,

Rseolvi6ndo sl sbi€ma por r€duocióñ, ss obtiéñ6n ta3 sotucionB €n lunción do t: x = L

a. con.ld.ro .l i.t nrá d. .cuaclon..

f r+ 2y-32=11¡+ ¿y+.2=2t2¡ + (2 + . )y + 6¿ = 3

Eñcu.nlra un valor d. a p.ra .t cu.t .t .t.t ma ..á lñcompa bt., Dtlc|n. .t cx¡.t. !tgt:ñ vator d. a plrd .tcu€l .¡ .l.t.ma ..a co.rpattbl. d.t.rmhádo. F..u.tv. .t prcbt.ma p6rá .t vator a = O,

La ñatriz de 106 co6lici€nl€s, M, y la matriz amptiada, Mi, €on:

/1 2 3\ /1 2 31\M=11

" sJ tv '={1 a 3 2l derM=o

\.22+a61 \22+á6s/tá lerc6ra e.úacón 6 suma do las dos p mBrasi por lañto 6tsstsma s€.éduc6 ya a lás d@ prim6bs ocuaoorescuya compatibilidad s6 €stud¡a a @ntinuac¡ó¡,

El sisr€ma nuncá pu€d6 ser comparibre der6ñ,1ado. vá qu6'anso ¡, - 2 l] 1l . "

,

1 ' 'caso: a+2rango M = rango Mr = 2. Sistoma compaiibte iñdet6rminado.

rango l\4 - 1 y ¡a¡go M* = 2. Sistoña iñcompatibte.3." caso: á=0

. ^ Z\ _3¿ . lruÉ srs va|'c, er ssr6m¿ s€ r6d@ a

1 ; ,

", - ,

s damos a z cuatquior varo, por erempto i. er s,stema * ,*,"" ", {;

ry , .

Rsolvieñdo el sist€rna, s€ obtiéná ¡as sotuciones en tumión d6t paémeao t ! = 2 3t

3t3i

-0,5 z=r

89

tuiud¡a l¿ corñpát¡bll¡dad dél .lst€ma d. ecuacioñ4 l¡.ealeg

fmt+Y+(m+1)z=0| ñY-(ñ+r)2=ot x + 2z=1

La marriz de los @efc¡enl6, M, y la malr¡z ampliada M', sonl

del l r :0 ) r ¡ '+1=o

Solucióñ: Esla ecuac¡ón no tiene solución, es d€cir, no * anula nunca.

Por tanlo, rango M - rango [4r = 3

Sislema compatible determinado,

Lás solucion€s dol sisl€ma para .ualquier valor do m son

dol D, = d6l (c. , C:, CJ = (m'1) t valor de x: ,=

-

d€l D, : det (c,, c., c.) = -m(m + r) ) varor de y: ,= H

dsr D. - dor (ci, C: CJ = m" ) valor de zr r - *+-

Dl.cub .n furc¡óñ d. lo. p.rámdro. ¡ y b, .l .1.1.ña:

f(á + l )x + 3Y + á: = 1

I 3x + (á + l )Y + 22 = b_1| áx+ ay+az= 2

NG dan un sbloma y nos pld€n qu€ indiquomos 3i e 3Élóma 6 compatible o no para c¡ertG valo.es ó: d

Párá r€solv€rlo r€ utiliza sl toorema de Rouché

La matriz de los coelicianle6, M y la ñalrÉ ampliada, M*, 6on:

/e+1 3 a\M I 3 a-r 2J M'=l 3

\á 2a1 \a

d6l¡¡=ar 4,dei l ' ¡=0 t a! 4=0

Soluc¡ón: a-2a= 2

1. 'cá6o:a+2ya+ -2

rangoM=rangoM'-3.

S slema compál¡bl€ delam¡nado.

/332\ /3 2 2 1 \M=1222| l M'={3 2 2 b 1l

\ .2221 \2 2 2 2 /

/m 1m+1\ /m 1m+10\[4=lo m m+1J M'=10 m m+1 0l

\1 0 2 | \1 0 2 1/

13a1\a+12 b 1l

2a2l

rango M = 2 ya que las d@ pr¡m6ras lilás ño son proporc¡onal6

der (c,, c", c.) = -2b + 4

deiM*:o ) 2b+4=o

rangoM=2yrángoMr=3Sislema incompat¡ble.

90

B9oM=2yrangoMf=2SÉerrÉ compatibt€ ind€terminado

l 'x + 2v + 42l3x + sy + sz

fiffiJfr#T #,fff,::?.j.,ff; Í.i-:-qpjuro'¡gi .r B. a s.7! .uro./ks, y., c. a q5o .u@rl..ao .u.o.,ke. ¿cuánro. ri;; ;;;;;ñ".l.":.'l',ry6 'um¡nr¡rmr

un p'dr'ro d' ro5o ks á uñ pr.cro d.co6r. d. b;u. po..6 d.r ;;;;ñ.iü;"ji.Tb'?m':crd

¡lb¡'ndo qu' dob. Poñ..¡.r t.rc!, po.l

Se ñdicá por A, B y C ta cantidad de €da tipo de @É.

I a ' B- c.1o5o1 2a 2a c- ot9.a0A 8.758 9.5OC _ 9870

sotución det sisiemar 150 kg d€ttipo A, 2oic kg det iipo B, 7oo kg detripo c.

/ | 3 2.a.zulr ,zJ ¡¡ . l ¡ . i io, l2 2_2 ,2 p 2 z )

ú!E M = 2, ya que tas dos primeras fit6 ¡o son proporcro¡atee.ú c. c: c¡)- 4b süu'=0 J 4b 8=O

?'9oM=2y.angot\r ,=3:<ema hcornpatble.

?EoM=2y|ango¡¡ i=2:<eña compatibt€ ¡nd€terminado

lh conp.óío d. tmn.port t¡.n! tr.! camlon.. dtf.r.nt.r, p, A y F .n to¡ qu. cab.n .xáctam.nt. un cbrtou¡ro d. cont.n.dor.. dc trc. {po., A, B y C, d. acu.rdo con tá Jqur.nr. ra¡ii, . '---.."^,

l F. ,-c 1-P

:a

3 .. hmd. r.an.poñar 45 cont.mdoru. .,.ntpo A, ¡t4 d.t üpo A y !s d.t Ípo C. ¿cuánro. vtal.. hE o. nrc.le. ctñ|ón .r to.to. to. vt.,.r to. h¡c.n loi.iñ.m. n.no.?

I x v z ro' vrájes qu6 hacen ro" camron€s p, o y R, €sp.€rvamónlé, se t€n€ €r €igui€nt€ sbi€ña d€ €cuac.n*lÉ45

:oieen€ hac€lto por d€teÍn¡nanrósl*l 0 = 43 d6t D. = 21S d.' Dy - 122 d€t O. = 12930c¡ón d6lsbt€marx = S, y=4, z=gA cámión p d€b€ f€atizar 5 vl46s.E camióñ O d€bé éatiar 4 viaj€E.I €rnión F d€b6 ,€at¡zaf 3 vial€s.

91

Un rúñéro c€oicúa de c¡nco c¡fEs verll¡ca:

a) L6 suma de 3u3 cilh3.3 9.

b) La c¡lrá de la€ conl€nas o3 ¡güll a la .uma de la de ¡a3 un¡dadés y ¡a d. las d.conas.c) Sl so ¡ñlorcañbirn la. c¡tra3 de la3 un¡dadé y dcccnas, ol núm€ro re8ullante d¡.n¡ruye en 9,Encuentrá dicho núñero.

El núm6ro caplcúa es de la forma udcdu, donde u designa 16 unidadés, d las decenas y c las centeñas.l-a lercera condición exDresa oue:

es decú, lod + u -

sisr€ma do euac ones. I ;I

Las soluciones son u = 3,

r idc!d

10!-d=9

+2d+2u=9

M¡t6l .al€ coñ uñ ñonlón dé crcño. y vu.lv. a ca¡o !¡n niñguno. Su ñrdG tc pr.gud¡ qué ha h.cho conlo. cromo¿, . lo qu. Mlk.l r6lpond.: 4A cada .m¡go qu. .nconró l. dl la mltod d! lo! croño. qu. rcnÉ .n..! nom.nlo má. uno'. So madr. l€ p..gunt¡ qué cor cuánlo. ám¡go. .6 ha cnconrrado. a lo qu. M¡k.lconl..lr qu. coñ clnco, ¿Cuáni@ cromo. t.nlo Mlk.l ¡l lalh d€ ca.a? Rázona tá r..pu..ia.

Sé indica por x 6l número de croños con los que sale d6 c4a

El dlag€ma d6l roparto de cromos s el sigu¡6nte:

x+2

" ' *y '3€ qu€oa \x 1_

/ t_tj

\ /*

B\, /\ r 30 //

16\

\

I :L32

x6232

Vamos a calcular el númsro de c/omos. Para ello vamos á ulilizar el diagrama do repado haci€ndo €l r€condo en6€nt¡do conira¡¡o a ¡nicial

De la ult¡ma.ama se obtiene la ecuaciónr x 62 = 0Num6ro de cromos que lenia aL salir de casa: r = 62El diagraña qu€daria como:

t' -%-., <'.,uo ?uu

__-,,-,-.; __--,---_.:

92