tema 3 (sistemas de equaciones lineales) solucionario algebra y geometria

Amor se escribe sin hacheEnrique Jardiel Poncela

En esta obra, como en casi todas las de Jardiel Poncela, el humor es el recurso literario predominante y, a travs de un manejo casi surrealista del mismo, logra que los lectores (cuando se trata de novelas) y los espectadores (cuando se trata de piezas teatrales) revisen su percepcin de los problemas humanos ms importantes. En esta novela aborda el tema del amor a travs de la historia disparatada que viven los protagonistas, Sylvia y Zambombo. El texto anterior forma parte de una escena donde los protagonistas han llegado a una isla despus de naufragar el barco donde viajaban. All tienen que enfrentarse a cuatro problemas: localizar geogrficamente el sitio donde se encuentran, hacer fuego, construir una choza y encontrar vveres. Zambombo aborda el problema de la orientacin con tcnicas disparatadas, como la medida de la velocidad del viento mediante una regla de tres:

Para ello, por medio de dos rayas, seal en el suelo su estatura, que era de un metro y setenta y cinco. Coloc en una de las rayas un papelito y midi, reloj en mano, lo que el viento tardaba en llevar el papel a la otra rayita. Tard cuatro segundos. Y Zamb razon por medio de la regla de tres:

1,75 metros los recorre en 4 segundos

1.000 metros (o sea un kilmetro) los recorrer en x

De donde x era igual a 1.000 multiplicado por 4 y partido por 1,75.

Hizo las operaciones, contando por los dedos, y comprob que el viento corra que se las pelaba.

Luego Zambombo, como si fuera un robinsn, se dedica a hacer fuego frotando dos trozos de madera. Cuando consigue una llamita tras seis horas de trabajo, su propio sudor se la apaga. Sylvia le dice: Qu? No puedes hacer fuego?. Y l le contesta: Podr, porque traigo cerillas, pero si no las hubiera trado, no s cmo nos las habramos arreglado.... Una vez encendida una hoguera admirable, Zambombo determin construir una cabaa tal como se describe en el texto elegido.Finalmente, el cuarto problema, el de los vveres, lo resuelven comiendo los productos vegetales anunciados en el cartel que vieron al llegar en la playa. Veinte das despus, Sylvia haba adelgazado dieciocho libras y Zambombo, diecinueve. Pero se recuperaron cuando aprendieron a pescar piscis rodolphus valentinus.La ingenuidad romntica de Zambombo desencadena el desenlace de esta aventura y le sirve a Jardiel para plantear la siguiente y llegar, finalmente, a la conclusin moral de la novela.

L I T E R AT U R A Y M AT E M T I C A S

Amor se escribe sin hache[Esta novela es una historia de amor contada con un humor disparata-do. En la siguiente escena, los protagonistas, Sylvia y Zambombo, lle-gan a una isla despus de naufragar el barco donde viajaban. Una vez encendida una hoguera admirable, Zambombo determin construir una cabaa.]

S, s! palmote Sylvia. Una cabaa... y tu amor... Ah! Qu di-chosa soy!

Zamb se dirigi a la entrada del bosque y transport a la playa unos cuantos rboles que yacan en el suelo derribados, tal vez, por alguna tormenta. Calcul la resistencia de los rboles midiendo su dimetro y su longitud y escribi en su cuadernito:

A + B = (A + B) - (A + B) ? (A + B) + (A + B)Elev al cuadrado el primer trmino, y con gran sorpresa suya, que no crea saber tantas matemticas, obtuvo:

(A + B)2 = (A + B) - (A + B) ? (A + B) + (A + B)Y sustituyendo esto por las cifras averiguadas, logr:

732 = (10 + 10)La resistencia de los troncos del rbol era de 730 kilogramos.

Puso los troncos apoyados entre s, formando dos vertientes, en nme-ro de quince. De manera que cuando Zamb y Sylvia se metieron deba-jo, los kilos de rbol que se les cayeron encima, al desplomarse la ca-baa, fueron:

730 ? 15

o sea: 10.950.

Ambos se desmayaron a consecuencia del traumatismo. Al volver en s, era de noche.*

* Puede calcularse que, por cada 100 kilos que le caen en la cabeza a un ser humano, permanece desmayado un minuto. Como en 10.950 kilos hay, aproximadamente, 109 veces 100 kilos, resulta que Zam-bombo y Sylvia estuvieron desmayados durante 109 minutos, o sea, dos horas menos once minutos. No nos explicamos, por lo tanto, por qu al volver en s era ya de noche.

EnriquE JardiEl PoncEla

Nmeros realesSistemas de ecuaciones lineales3

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Amor se escribe sin hacheEnrique Jardiel Poncela

En esta obra, como en casi todas las de Jardiel Poncela, el humor es el recurso literario predominante y, a travs de un manejo casi surrealista del mismo, logra que los lectores (cuando se trata de novelas) y los espectadores (cuando se trata de piezas teatrales) revisen su percepcin de los problemas humanos ms importantes. En esta novela aborda el tema del amor a travs de la historia disparatada que viven los protagonistas, Sylvia y Zambombo. El texto anterior forma parte de una escena donde los protagonistas han llegado a una isla despus de naufragar el barco donde viajaban. All tienen que enfrentarse a cuatro problemas: localizar geogrficamente el sitio donde se encuentran, hacer fuego, construir una choza y encontrar vveres. Zambombo aborda el problema de la orientacin con tcnicas disparatadas, como la medida de la velocidad del viento mediante una regla de tres:

Para ello, por medio de dos rayas, seal en el suelo su estatura, que era de un metro y setenta y cinco. Coloc en una de las rayas un papelito y midi, reloj en mano, lo que el viento tardaba en llevar el papel a la otra rayita. Tard cuatro segundos. Y Zamb razon por medio de la regla de tres:

1,75 metros los recorre en 4 segundos

1.000 metros (o sea un kilmetro) los recorrer en x

De donde x era igual a 1.000 multiplicado por 4 y partido por 1,75.

Hizo las operaciones, contando por los dedos, y comprob que el viento corra que se las pelaba.

Luego Zambombo, como si fuera un robinsn, se dedica a hacer fuego frotando dos trozos de madera. Cuando consigue una llamita tras seis horas de trabajo, su propio sudor se la apaga. Sylvia le dice: Qu? No puedes hacer fuego?. Y l le contesta: Podr, porque traigo cerillas, pero si no las hubiera trado, no s cmo nos las habramos arreglado.... Una vez encendida una hoguera admirable, Zambombo determin construir una cabaa tal como se describe en el texto elegido.Finalmente, el cuarto problema, el de los vveres, lo resuelven comiendo los productos vegetales anunciados en el cartel que vieron al llegar en la playa. Veinte das despus, Sylvia haba adelgazado dieciocho libras y Zambombo, diecinueve. Pero se recuperaron cuando aprendieron a pescar piscis rodolphus valentinus.La ingenuidad romntica de Zambombo desencadena el desenlace de esta aventura y le sirve a Jardiel para plantear la siguiente y llegar, finalmente, a la conclusin moral de la novela.

3SolucioNario

Jardiel Poncela utiliza aqu el lenguaje algebraico como un recurso humorstico, una aplicacin novedosa, porque en Matemticas y en las otras ciencias se emplea para expresar propiedades o resolver problemas como este: Sylvia tiene 24 aos; tiene el doble de la edad que tena Zambombo cuando ella tena la edad que l tiene ahora. Qu edad tiene Zambombo?.

Sea x la edad que tiene Zambombo.

Entonces: 24 = 2(x - (24 - x)) 24 = 2(2x - 24) 12 = 2x - 24 2x = 36 x = 18 aos

L I T E R AT U R A Y M AT E M T I C A S

Amor se escribe sin hache[Esta novela es una historia de amor contada con un humor disparata-do. En la siguiente escena, los protagonistas, Sylvia y Zambombo, lle-gan a una isla despus de naufragar el barco donde viajaban. Una vez encendida una hoguera admirable, Zambombo determin construir una cabaa.]

S, s! palmote Sylvia. Una cabaa... y tu amor... Ah! Qu di-chosa soy!

Zamb se dirigi a la entrada del bosque y transport a la playa unos cuantos rboles que yacan en el suelo derribados, tal vez, por alguna tormenta. Calcul la resistencia de los rboles midiendo su dimetro y su longitud y escribi en su cuadernito:

A + B = (A + B) - (A + B) ? (A + B) + (A + B)Elev al cuadrado el primer trmino, y con gran sorpresa suya, que no crea saber tantas matemticas, obtuvo:

(A + B)2 = (A + B) - (A + B) ? (A + B) + (A + B)Y sustituyendo esto por las cifras averiguadas, logr:

732 = (10 + 10)La resistencia de los troncos del rbol era de 730 kilogramos.

Puso los troncos apoyados entre s, formando dos vertientes, en nme-ro de quince. De manera que cuando Zamb y Sylvia se metieron deba-jo, los kilos de rbol que se les cayeron encima, al desplomarse la ca-baa, fueron:

730 ? 15

o sea: 10.950.

Ambos se desmayaron a consecuencia del traumatismo. Al volver en s, era de noche.*

* Puede calcularse que, por cada 100 kilos que le caen en la cabeza a un ser humano, permanece desmayado un minuto. Como en 10.950 kilos hay, aproximadamente, 109 veces 100 kilos, resulta que Zam-bombo y Sylvia estuvieron desmayados durante 109 minutos, o sea, dos horas menos once minutos. No nos explicamos, por lo tanto, por qu al volver en s era ya de noche.

EnriquE JardiEl PoncEla

Nmeros realesSistemas de ecuaciones lineales

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130

Sistemas de ecuaciones lineales

ANTES DE COMENZAR RECUERDA

001 resuelve estos sistemas.

a) x yx y+ =- =

3 02 2 4

b) x yx y- =-- =

2 12 02

a) 4 4 02 2 4

11

x yx y

xy

+ =- =

== -

b) 422 1

2 0

1

32

3

x yx y

x

y

- = -- =

=

=

002 Escribe tres ecuaciones equivalentes a estas.

a) x - 2 = 7 b) 2x = -3 c) x2

4 6- =

a) Respuesta abierta. Por ejemplo: x - 9 = 0 2x - 4 = 14 2 - x = - 7

b) Respuesta abierta. Por ejemplo: 4x + 6 = 0 1 - 6x = 10 10x + 15 = 0

c) Respuesta abierta. Por ejemplo: x - 8 = 12 16 - 2x = - 24 3x = 60

003 Escribe dos sistemas equivalentes a estos.

a) - + =+ =

x yx y

2 02 52

b) x yx y- =- =

02 2 3

a) Respuesta abierta. Por ejemplo:

442 0

2 5x yx y

- =+ =

442 0

3 5x yx y

- =- =

b) Aunque el sistema es incompatible, podemos considerar sistemas equivalentes. Los siguientes sistemas se han obtenido multiplicando las ecuaciones por una constante:

- + =- =

x yx y

4 02 2 3

4 4 04 4 6

x yx y

- =- =

ACTIVIDADES

001 Escribe una ecuacin con tres incgnitas de coeficientes 4, -1 y 1, respectivamente, y con trmino independiente -2.

calcula tres soluciones de esta ecuacin.

La ecuacin es 4x - y + z = -2, y tres soluciones son: x = 1, y = 6 y z = 0x = -1, y = 0 y z = 2x = 0, y = 2 y z = 0

002 Determina una solucin de este sistema:

Respuesta abierta. Por ejemplo: x = 0, y = 2, z = 2

003 clasifica estos sistemas segn su nmero de soluciones.a)

b)

c)

a) Tiene infinitas soluciones. El sistema es compatible indeterminado.

b) No tiene solucin. El sistema es incompatible.

c)

Tiene solucin nica. El sistema es compatible determinado.

004 convierte este sistema en un sistema escalonado y resulvelo.

005 resuelve estos sistemas de ecuaciones lineales utilizando el mtodo de Gauss.

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131

3SolucioNario

ANTES DE COMENZAR RECUERDA

resuelve estos sistemas.

a) b)

a) b)

Escribe tres ecuaciones equivalentes a estas.

a) x - 2 = 7 b) 2x = -3 c)

a) Respuesta abierta. Por ejemplo: x - 9 = 0 2x - 4 = 14 2 - x = - 7

b) Respuesta abierta. Por ejemplo: 4x + 6 = 0 1 - 6x = 10 10x + 15 = 0

c) Respuesta abierta. Por ejemplo: x - 8 = 12 16 - 2x = - 24 3x = 60

Escribe dos sistemas equivalentes a estos.

a) b)


b) Aunque el sistema es incompatible, podemos considerar sistemas equivalentes.

Los siguientes sistemas se han obtenido multiplicando las ecuaciones por una constante:

ACTIVIDADES

Escribe una ecuacin con tres incgnitas de coeficientes 4, -1 y 1, respectivamente, y con trmino independiente -2.

calcula tres soluciones de esta ecuacin.

La ecuacin es 4x - y + z = -2, y tres soluciones son: x = 1, y = 6 y z = 0x = -1, y = 0 y z = 2x = 0, y = 2 y z = 0

002 Determina una solucin de este sistema:

- - + =- =- =

x y zx

y z

02 0

0

Respuesta abierta. Por ejemplo: x = 0, y = 2, z = 2

003 clasifica estos sistemas segn su nmero de soluciones.a)

- + =- =-

2 22 2

x yx y

b)

- + =- =

x yx y

2 42 4 1

c)

3 2 12 3

x yx y+ =- =

a) Tiene infinitas soluciones. El sistema es compatible indeterminado.

b) No tiene solucin. El sistema es incompatible.

c) 3 2 12 3

114

x yx y

xy

+ =- =

== -

Tiene solucin nica. El sistema es compatible determinado.

004 convierte este sistema en un sistema escalonado y resulvelo.

x y zy z

x

+ - =- + =

- =

12 1

5

x

x

yy

zz

x yyy

zzz-

+-

-+

===

+--

-+-

=2

115

2 ===

+-

-+

===

116

2117

x y

yzzz

xxyz

= -==

5137

005 resuelve estos sistemas de ecuaciones lineales utilizando el mtodo de Gauss.

a) b)x y zx y z

y z

y zx

+ - =- - + =

- =

- =-

2 2 101

12 22 33 2 7

y zx z

+ =- =

a)- -

-- -

-- -

-

1 2 21 1 10 1 1

101

11 2 20 1 10 1 1

111

1 2 20 1

---

-- 11

0 0 0

110

2 2 11

-

+ - =- =

x y zy z

= -= +=

xyz

11

R

b)0 1 12 2 13 0 2

137

2 2--

-

--

-

-

----

---

-

-10 1 13 0 2

317

2 2 10 11 10 6 7

315

2 2 10 1-

- -

-

-

--

-- --

- + =-

- -1

0 0 1

311

2 2 3

x y zy z ==

=

===

11

321z

xyz

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132


008 Discute utilizando el mtodo de Gauss.

Sistema incompatible

009 Discute y resuelve este sistema:

006 resuelve aplicando el mtodo de Gauss.

a) y zx yx z

+ =-- =+ =-

52 0

4

b) - - + + =- - =-

+ - - =+ - =-

x y z tx y t

x y z ty z t

43 2 22 2 0

4 4

a)0 1 12 1 01 0 1

504

1 0-

--

--

-

-

110 1 12 1 0

450

1 0 10-

-

- --

-

--

11 1

0 1 2

458

1 0 10 1 1-

-

--

- -

--

00 0 1

453-

--

++-

===

-

-

x

y

z

z

z

44

5

3

123

-

= -= -= -

xyz

b)

- -- -

- --

-

-

- -- -- -- - -

-

-

1 1 1 13 2 0 11 2 2 10 1 1 4

4204

- --

- -- - --

1 2 2 10 1 1 433 2 0 11 1 1 1

0424

- -- -

--

-- -

-

-

- --

--

--

-- -

- -- -

-

-

1 2 2 10 1 1 40 8 6 20 1 1 0

04244

1 2 2 10 1 1 40 0 14

- -- ---

---

-

300 0 2 4

04

348

1 2 2 10 1 1 40 0 14 300 0 0 2

04

3422

- ----

--

--

-

+ -+

----

x y

yzzz

ttt

2 2

144

3022

0434

22

19222

t

xyz

====

--

= -= -= - 66

11t = -

007 Discute estos sistemas de ecuaciones lineales utilizando el mtodo de Gauss.

a) xx

yyy

zzz

-+-

-+-

===

2 2 101

b)

- + - =- - =- - =

2 12 2 3

2 7

x y zx y z

y z

a) - -

-- -

-- -

-

1 2 21 1 10 1 1

101

1 2

----

--

20 1 10 1 1

111

1 2 20 1 10

00 0

110-

Sistema compatible indeterminado

b) - -

- -- -

----

2 1 12 2 10 1 2

137

2

----

--- -- -

-1 10 1 20 1 2

147

2

11 10 1 20 0 0

143

-- -

-- - -


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133

3SolucioNario

008 Discute utilizando el mtodo de Gauss.

- + + - =-- - =+ - =-

- + - + =

x y z tx y t

x z tx y z t

2 52 0

3 22 0

- -- -

-- -

-

-

- -- -- - -

- -

-

-

1 1 1 22 1 0 11 0 1 31 1 2 1

5020

-- -

-

- - -- -

-1 0 1 31 1 1 22 11 0 11 1 2 1

2500

-- -

--

-- -

--

--

- -- -

--

-

- -- -

--

-1 0 1 30 1 2 50 1 2 50 1 1 2

2742

---

1 0 1 30 1 2 50 0 0 00 0 33 3

2735-

----


009 Discute y resuelve este sistema:

2 12 0

2

x y zx y zx y z

+ - =- - + =

- + =

- --

-

--- -

-

-2 1 11 2 11 1

102

1

111 2 12 1 1

201

1 10

- -

-

--

- - -- +

- - -

-

-

--3 1

0 3 1 2

223

1 1

0 3 10 0

221

- +- -

-

--

Si =--

-

-

--0

1 1 00 3 10 0 0

221


Si

-- +

- -

-

--0

1 10 3 10 0

221

Sistema compatible determinado

x yy

zzz

x

--

++ +

-

=== -

= +

3 1221

1 2

3

( )

y

z

= -

=

-

1

3

1

0con R { }}

resuelve aplicando el mtodo de Gauss.

a) b)

a)0 1 12 1 01 0 1

504

1 0-

--

--

-

-

110 1 12 1 0

450

1 0 10-

-

- --

-

--

11 1

0 1 2

458

1 0 10 1 1-

-

--

- -

--

00 0 1

453-

--

++-

===

-

-

x

y

z

z

z

44

5

3

123

-

= -= -= -

xyz

b)

- -- -

- --

-

-

- -- -- -- - -

-

-

1 1 1 13 2 0 11 2 2 10 1 1 4

4204

- --

- -- - --

1 2 2 10 1 1 433 2 0 11 1 1 1

0424

- -- -

--

-- -

-

-

- --

--

--

-- -

- -- -

-

-

1 2 2 10 1 1 40 8 6 20 1 1 0

04244

1 2 2 10 1 1 40 0 14

- -- ---

---

-

300 0 2 4

04

348

1 2 2 10 1 1 40 0 14 300 0 0 2

04

3422

- ----

--

--

-

+ -+

----

x y

yzzz

ttt

2 2

144

3022

0434

22

19222

t

xyz

====

--

= -= -= - 66

11t = -

Discute estos sistemas de ecuaciones lineales utilizando el mtodo de Gauss.

b)

a)


b)


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134


013 utiliza el teorema de rouch-Frbenius para determinar si estos sistemas son compatibles, y resulvelos aplicando el mtodo de Gauss.

a)

b)

Rango (A) = Rango (A*) = 2 < n.o de incgnitas Sistema compatible indeterminado

010 Discute y resuelve el siguiente sistema:

x y zx yx z

- + =-- =- =

2 22 2 1

3

1 2 12 2 01 0

213

1 2--

-

-

-

---

-

110 2 20 2 1

255

1 2--

--

-- -

-

-

----

--

--

-

10 2 20 0 1

250

Si

-

--

-

--

--

11 2 10 2 20 0 1

250

=

=

=

Sistema compatible

x

y

z

35

20

Si =-

--

-

-- -

--

11 2 10 2 20 0 0

250


x yy

zz

x a

ya

z

- +-

===

-

= +

= +

=

22 2

0

250

35 2

2

aa

a

con R

011 Escribe mediante ecuaciones este sistema, y resulvelo aplicando el mtodo de Gauss.

1 2 22 1 10 2 1

-- -

-

xyz

= -

-

121

xx

yyy

zzz

-++-

--+

===

--

22

2

2 121

- -

-- -

--- -

---

1 2 22 1 10 2 1

121

--

- -

--

-

--

1 2 20 5 50 2 1

101

1 2 20 5 50 0 5

105

--- -

--

x y zy z

z

xyz

+ - =- =- = -

===

-- -

2 2 15 5 0

5 5

1111

012 Determina la expresin matricial de este sistema, y resulvelo como si fuera una ecuacin matricial.

--

+--

+++

===-

32

2 021

xxx

yyy

zzz

A Xxyz

=-- -

-

=

-

-

3 1 21 2 11 1 1

= -

-

- B

021

833276 _ 0128-0201.indd 134 21/7/09 14:48:37


135

3SolucioNario

AX B X A B= = - 1

A A= =- -

--

--

-11 01

11

1 3 52 5 13 2 7

1

X =- -

--

--

-

-1

11

1 3 52 5 13 2 7

0 22

1

111-

=

===

xyz

111

013 utiliza el teorema de rouch-Frbenius para determinar si estos sistemas son compatibles, y resulvelos aplicando el mtodo de Gauss.

a)

2 3 22 0

4 3 2

x y zx y zx y z

- + =-- - + =

- + =-

b)

xxx

yy

zzz

--

+-

-+-

===

233

207

1

a) A A=-

- --

=

-

-

-2 3 11 1 21 4 3

2*

-- -- -

- -

-

-

3 1 21 1 2 01 4 3 2

A

A

=-

- - = - =

- -- -

-

--

-

0

2 31 1

5 0

2 3 21 1 01

Rango ( ) 2

-- -= =

4 20 Rango ( *) 2A


-

--

--- -

-

-

-

2 3 11 1 21 4 3

202

1

--- -

-

-

-

-

--

4 31 1 22 3 1

202

1 4

---

- --

-

--

-30 5 50 5 5

222

1 4 3 00 5 5

0 0 0

220

---

- -

x y zy z

x

y- + = -- + = -

= - +

= +4 3 25 5 2

2 5

52 5

5

zz =

con R

b) A A=-

- -- -

- --

-

1 3 22 3 11 0 1

* ==-

- -- -

- --

-

1 3 2 12 3 1 01 0 1 7

A

A

=

- - = =- -

0

1 32 3

3 0 Rango ( ) 2

Discute y resuelve el siguiente sistema:

Escribe mediante ecuaciones este sistema, y resulvelo aplicando el mtodo de Gauss.

Determina la expresin matricial de este sistema, y resulvelo como si fuera una ecuacin matricial.

833276 _ 0128-0201.indd 135 21/7/09 14:48:41

136



016 aade una ecuacin al sistema de ecuaciones para que se convierta en:

a) un sistema compatible determinado.

b) un sistema compatible indeterminado.

c) un sistema incompatible.


b) Respuesta abierta. Por ejemplo:

c) Respuesta abierta. Por ejemplo:

017 Evala si se puede aplicar la regla de cramer a estos sistemas de ecuaciones.

a)

b)

a) El nmero de ecuaciones es igual al nmero de incgnitas.

b) El nmero de ecuaciones no es el mismo que el nmero de incgnitas, por tanto, no se puede aplicar la regla de Cramer.

- -- --

= =1 3 12 3 01 0 7

18 0 Rango ( *) 3A

Rango (A) = 2 Rango (A*) = 3 Sistema incompatible

014 Mediante el teorema de rouch-Frbenius, determina si el sistema es compatible.

2 13 0

3 2 12 4

x y z tx y z t

x yy z

+ - + =- + - =

- =- =

A =

-- --

-

- --- -

- -

2 1 1 11 3 1 13 2 0 00 1 2 0

=

-- --

-

- --- -

-

A*

2 1 1 1 11 3 1 1 03 2 0 0 10 1 22 0 4-

A =

-- --

-

=

--

- --- -

- -

--

2 1 1 11 3 1 13 2 0 00 1 2 0

2 1 1 13 2 00 03 2 0 00 1 2 0

0--

=--

2 1 11 3 13 2 0

11 0-

--

---

= - = Rango ( ) 3A

2 1 1 11 3 1 03 2 0 10 1 2 4

2 1 1 11 3 1 01 3

---

-

- -- --

---

-

=

--- --

-- -

= =1 0

8 3 2 0

0 Rango ( *) 3A


015 Discute este sistema aplicando el teorema de rouch-Frbenius.

x y z tx y z t

y ty z

+ - + =- - + - =

- - =- =-

13 2 0

2 12 3

A =

-- - -

- --

- - --

- -- - -

1 1 1 11 3 1 20 2 0 10 1 2 0

=

-- - -

-

- - - -- -

-A*

1 1 1 1 11 3 1 2 00 2 -- -

- - --

- -

0 1 1

0 1 2 0 3

A =

-- - -

- --

=

-- - --

- -- - -

- -1 1 1 11 3 1 20 2 0 10 1 2 0

1 1 1 110 2 0 10 2 0 10 1 2 0

0- -- --

=--- -

833276 _ 0128-0201.indd 136 21/7/09 14:48:44


137

3SolucioNario

- --

-= - =

-- -- -

1 3 10 2 00 1 2

4 0 Rango ( ) 3A

- - -- -

- - -- -

- --- -

-- -

=

--

1 1 1 11 3 1 00 2 0 10 1 2 3

1 1 1 10 2 -- -

- ---

- -

= =0 10 2 0 10 1 2 3

0 Rango ( *) 3A


016 aade una ecuacin al sistema de ecuaciones 2 2 13

x y zx y z+ - =

- - + =

para que se convierta en:

a) un sistema compatible determinado.

b) un sistema compatible indeterminado.

c) un sistema incompatible.


2

2

2 131

xxx

yyy

zzz

-+-+

-++

===


2 2 134

xxx

yyy

zz-

+-+

-+

===

c) Respuesta abierta. Por ejemplo:

2 2 131

xxx

yyy

zzz

-+-+

-++

===

017 Evala si se puede aplicar la regla de cramer a estos sistemas de ecuaciones.

a)

x y zx y z

y z

+ + =-- + =- + =-

24

2 3

b)

x y z tx y z t

y t

+ + + =- + - =-

- + =

2 03 2 2

2 3 3

a) El nmero de ecuaciones es igual al nmero de incgnitas.

1 1 11 1 10 2 1

2 0---

= - Se puede aplicar la regla de Cramer.

b) El nmero de ecuaciones no es el mismo que el nmero de incgnitas, por tanto, no se puede aplicar la regla de Cramer.

Rango (A) = 2 Rango (A*) = 3 Sistema incompatible

Mediante el teorema de rouch-Frbenius, determina si el sistema es compatible.


Discute este sistema aplicando el teorema de rouch-Frbenius.

833276 _ 0128-0201.indd 137 29/7/09 12:00:11

138


020 resuelve este sistema de ecuaciones utilizando la regla de cramer, si es posible.

El nmero de ecuaciones es igual al nmero de incgnitas.

021 resuelve estos sistemas de ecuaciones mediante la regla de cramer.

a)

b)

018 Escribe dos sistemas de ecuaciones lineales a los que se pueda aplicar la regla de cramer y que cumplan cada una de estas condiciones.

a) Tenga 3 ecuaciones. b) Tenga 4 incgnitas.


xx

yyy

z

z

++

+

+

===

100

xx

yyy

zzz

+-

+++

===

200


xxx

yyyy

zzzz

tt

t2

4023

+++

+--+

+-

+

====

xxx

yyyy

zzzz

tt

t

-++

+--+

--

+

====

---

2

4211

019 Evala si se puede aplicar la regla de cramer a este sistema, y si se puede, calcula |Ax|, |Ay| y |Az| y resuelve el sistema.

- + - =- + =- + =-

x y zx y z

x z

2 22 1

2 1


- --

-= -

-- -

- -

1 2 11 1 22 0 1

7 0 Se puede aplicar la regla de Cramer.

A xA

A

A

xx

y

=-

--

= - = =

=- -

- -- -

- --

-

2 2 11 1 21 0 1

7 1

1 2 11

-- --

- -- -

-

- -= - = =

=-

-- -

1 22 1 1

14 2

1 2 21 1 12 0

y AA

A

y

z

117 1= - = = z A

Az

833276 _ 0128-0201.indd 138 21/7/09 14:48:49


139

3SolucioNario

020 resuelve este sistema de ecuaciones utilizando la regla de cramer, si es posible.

- + - + =- - + - =-

- - =-- =-

2 43 2 8

2 42 1

x y z tx y z t

y ty z


- -- - -

- --

=

-- - -

- -

2 1 1 11 3 1 20 2 0 10 1 2 0

0 7 3 51 3 1 20 2 0 100 1 2 0

7 3 52 0 11 2 0

9 0

-

=-

- --

=

Se puede aplicar laa regla de Cramer.

Ax =

-- - -- - -- -

=

-- - ---

- -

- -4 1 1 18 3 1 24 2 0 11 1 2 0

0 5 99 10 11 17 20 6 8 11 1 2 0

5 9 111 17 26 8

-- -

-

- -- -

- -

=-

- -- -11

0=

Ay =

- -- - -

- -- -

=

-- --

- -- -

-2 4 1 11 8 1 20 4 0 10 1 2 0

0 20 33 51 8 1 20 4 0 10 1 2 0

20 3 54 0 11

--

- -- -

--- - -- -

- -

=-

- -- --

= --2 0

3

Az =

-- - - -

- - --

=

-- - -

-- - -

- -2 1 4 11 3 8 20 2 4 10 1 1 0

2 1 55 11 3 11 20 2 6 10 1 0 0

2 5 11 11 2

-

-- - - -

- -- - - -- - - =

-- - --- - -

=0 6 1

3

At =

- -- - -

- -- -

=

-- --

- -- -

- -2 1 1 41 3 1 80 2 0 40 1 2 1

0 7 33 201 3 1 80 2 0 40 1 2 1

7 3 202 0 41

- - -- -

- -

=-

- --- -- -

--

- -- -=

2 142

xA

Ay

A

Az

A

At

Ax y z t= = = = - = = =

01

3

1

3 AA= 14

3

021 resuelve estos sistemas de ecuaciones mediante la regla de cramer.

a)

3 2 3 04 1

2 3 7 1

x y zx y zx y z

+ - =- + =+ - =-

b)

x y zx y z

x y z

+ - =- + =+ - =-

01

2 4 4 1

a) Rango ( ) 23 2 31 1 42 3 7

0 3 21 1

5 0-

--

= - = - = A

Escribe dos sistemas de ecuaciones lineales a los que se pueda aplicar la regla de cramer y que cumplan cada una de estas condiciones.

a) Tenga 3 ecuaciones. b) Tenga 4 incgnitas.



Evala si se puede aplicar la regla de cramer a este sistema, y si se puede, calcula |Ax|, |Ay| y |Az| y resuelve el sistema.


833276 _ 0128-0201.indd 139 21/7/09 14:48:52

140



Consideramos el sistema:

La solucin es:

023 resuelve este sistema:

Rango (A) = Rango (A*) = 3 = n.o de incgnitas


La solucin es: x = 0, y = 0, z = 0

024 Escribe un sistema de ecuaciones lineales homogneo de cuatro ecuaciones y que tenga:

a) Solucin nica. b) infinitas soluciones.



3 2 01 1 12 3 1

0--

= = =


141

3SolucioNario

2113

1324

3124

2204

4044

- --

-

--

-

--

---

--

-

2000

1555

3111

2222

4444

--- -

2000

1500

3100

2200

44000


Consideramos el sistema: 2 4 3 23 2

x y z tx y z t

+ = + -- - = - +

Az t

z tz t x

A

A

z tx

x= + -- + - = - - + = =+ -4 3 2 1

2 312 8 4

12 8 455

2 4 3 21 2

8 28 2

5A

z tz t

z t yA

A

z ty

y= + -- - + = + - = =- - +

La solucin es:

x y z t= + - = - - + = = 12 8 4

5

8 2

5

, , , con , R

023 resuelve este sistema: 5 2 02 0

0

x y zx y zx y z

- + =- + - =- - - =

5 1 22 1 11 1 1

3 0-

- -- - -

= - Rango (A) = Rango (A*) = 3 = n.o de incgnitas


La solucin es: x = 0, y = 0, z = 0

024 Escribe un sistema de ecuaciones lineales homogneo de cuatro ecuaciones y que tenga:

a) Solucin nica. b) infinitas soluciones.


xxx

yyyy

zzzz

tt

t2

0000

+++

+--+

+-

+

====


xxx

yyyy

zz

z

tt

t

+++

+-

+

+-

+

====

0000


resuelve el sistema utilizando la regla de cramer.

833276 _ 0128-0201.indd 141 29/7/09 12:00:33

142


Si Se puede aplicar la regla de Cramer.

028 resuelve el sistema segn los valores de a.

Si Como el sistema es homogneo la solucin es: x = 0, y = 0, y z = 0

La solucin es:

029 resuelve por los mtodos clsicos: reduccin, igualacin o sustitucin, los sistemas de ecuaciones y clasifcalos atendiendo a su nmero de soluciones.

025 Discute este sistema en funcin de los valores de m.

- + - =-- + =

- - + =-

x y zx y z mx y mz

14 2 2 23 2 4

- --

- -= -

1 1 14 2 23 2

4 2m

m

Si m A 2 0 Rango (A) = Rango (A*) = 3 = n.o de incgnitas Sistema compatible determinado

Si m A= =2 0

-- = - =

1 14 2

2 0 Rango ( ) 2A

- --

- - -= =

1 1 14 2 43 2 4

2 0 Rango ( *) 3A

Rango (A) Rango (A*) Sistema incompatible

026 Discute el sistema segn los valores de a.

2 3 03 0

5 3 0

x y zx ay zx y z

- + =- - =+ - =

El sistema es homogneo Rango (A) = Rango (A*) Sistema compatible

2 3 11 35 3 1

7 63-- -

-= +a a

Si a A - 9 0 Rango (A) = 3 = n.o de incgnitas Sistema compatible determinado

Si a A= - =9 0

2 31 9

21 0- = Rango (A) = 2 < n.o de incgnitas


027 resuelve este sistema en funcin de los valores de m.

- + - =-- + =

- - + =-

x y zx y z mx y mz

14 2 2 23 2 4

833276 _ 0128-0201.indd 142 21/7/09 14:49:02


143

3SolucioNario

Si m A m = - 2 4 2 0 Se puede aplicar la regla de Cramer.

A mm

m m m mx =- -

-- -

= - + - = - - -1 1 1

2 2 24 2

2 6 4 2 1 22 ( )( )

A mm

m m Ay z=- - -

- -= - + - =

- --

1 1 14 2 23 4

2 71 1 142( ) 22 23 2 4

22 10m m- - -

= -

xA

A

m m

mmx= = - - -

-= - +

2 1 2

4 21

( )( )

yA

A

m m

m

m m

my= = - + -

-= + -

-

2 7

4 2

7

2

2 2( )

zA

A

m

m

m

mz= = -

-= -

-

22 10

4 2

5 11

2

028 resuelve el sistema segn los valores de a.

2 3 03 0

5 3 0

x y zx ay zx y z

- + =- - =+ - =

Si a A a - = + 9 7 63 0 Como el sistema es homogneo la solucin es: x = 0, y = 0, y z = 0

Si a A= - =9 0 2 31 9

21 02 3- = - = - Consideramos el sistema: x y z

xx y z+ =9 3

Azz

Azz

z

xA

Ay

A

x y

x

= - - = = - =

= = =

33 9

021 3

7

0 yyA

z z

= =721 3

La solucin es: x y z= = = 03

, , con R

029 resuelve por los mtodos clsicos: reduccin, igualacin o sustitucin, los sistemas de ecuaciones y clasifcalos atendiendo a su nmero de soluciones.

a) 2 5 13 2 11

x yx y+ =

- + =-

c) 2 6 53 9 1

x yx y+ =

- - =

e) 3 33 4 112 2 8

y zx yx z

+ =+ =

- + =-

b) 4 6 106 9 15

x yx y- =

- + =-

d) 2 5 41

3 2 5

x yx yx y

+ =- - =

+ =-

f ) 3 2 12 4

4 3

a ba b

a b

- =-- - =-

+ =

Discute este sistema en funcin de los valores de m.

Si Rango (A) = Rango (A*) = 3 = n.o de incgnitas Sistema compatible determinado

Si


Discute el sistema segn los valores de a.

El sistema es homogneo Rango (A) = Rango (A*) Sistema compatible

Si Rango (A) = 3 = n.o de incgnitas Sistema compatible determinado

Si

Rango (A) = 2 < n.o de incgnitas


resuelve este sistema en funcin de los valores de m.

833276 _ 0128-0201.indd 143 21/7/09 14:49:08

144


031 resuelve aplicando el mtodo de Gauss.

a)

2 5 13 2 11

31

x yx y

xy

+ =- + = -

== -


b)

46

69

1015

2 3 55 3

2xx

yy

x y x y-

-+

== -

- = = + , == con R


c)

23

69

51

66

1818

152

xx

yy

xx

yy-

+-

==

-

+-

==


d)

2

3

5

2

41

5

32

xx

x

yyy

xy

-+-+

=== -

= -=


e)

32

34

2

311

83

343

xx

yy

z

zxx

yy

-+

+

+

===-

++

yy

zx

yyy

z+ ===

+-

+ ===-

3117

3345

311

10

=== -

xyz

12

3


f )

32

2

4

14

3

66

4aaa

bbb

aaa

b-

--+

===

--

---+

334

212

3

12

1 8 3bb

ab

===

--

==

+


030 Dado el sistema x yx y+ =- =

2 13 2

, escribir una tercera ecuacin de la forma ax + by = c

(distinta que las anteriores) de manera que el sistema de tres ecuaciones y dos incgnitas resultante siga siendo compatible.

(Madrid. Junio 2004. Opcin B. Ejercicio 2)

x

x

y

y

x

x

y

y3

2 1

2

3

3

6 3

2

+-

==

-

++

== -

xx

y

=

=

5

71

7

Respuesta abierta. Por ejemplo:

xxx

yyy

37

2

7

126

+-+

===

833276 _ 0128-0201.indd 144 29/7/09 12:00:56


145

3SOLUCIONARIO

031 Resuelve aplicando el mtodo de Gauss.

a) 2 3 5 14 7 13 1

2 3 7 3

x y zx y z

x y z

+ + =+ + =+ + =

d) 3 33 4 112 2 8

y zx yx z

+ =+ =

+ =

g) 3 2 72 5 2

3 4 19 8

x y zx y z

x y z

+ = + + =+ + =

b) x y zx y z

x y z

+ + =+ =

+ + =

2 11

2 3 1

e) x y zx y zx y z

= + =+ + =

2 12 2

2 3

h) 2 4 73 2 3 4

3 8 12

a b ca b ca b c

= + = =

c) 5 2 3 53 2 12

2

x y zx y z

x y z

+ + = + =

+ + =

f ) + =+ =

+ =

p q rp r

p q r

3 123 2 7

5 6 4 5

a)2 3 54 7 132 3 7

113

2 3 50 1 3

00 0 2

134

2 3 532

+ ++

x yy

zzz

====

===

134

13

2

xyz

b)1 2 11 1 12 3 1

111

1 2 10 1 20

11 1

101

1 2 10 1 20 0 1

101

+

+

===

x yy

zzz

22

10

1

= ==

xyz

22

1

c)5 2 31 3 21 1 1

5122

1 1 11 3 2

55 2 3

2125

1 1 10 4 10 3 2

214

5

1 1 10 4 10 0 11

21422

+ +

===

x y

yzzz

411

21422

xxyz

===

13

2

d)0 3 13 4 02 0 2

3118

3 4 00 3 1

2 0 2

1138

3 4 00 3 10 8 6

11322

3 4 00 3 10 0 10

113

30

++

===

3 43

10

113

30

x yy z

z

===

xyz

12

3

e)1 2 11 1 21 2 1

123

1 2 10 1

33

0 4 2

134

1 2 10 1 30 0 10

13

+

===

8

23

10

13

8

x yy

zzz

=

=

=

x

y

z

13

54

5

a)


b)


c)


d)


e)

32

34

2

311

83

343

xx

yy

z

zxx

yy

+

+

+

===

++

yy

zx

yyy

z+ ===

+

+ ===

3117

3345

311

10

===

xyz

12

3


f )


Dado el sistema , escribir una tercera ecuacin de la forma ax + by = c

(distinta que las anteriores) de manera que el sistema de tres ecuaciones y dos incgnitas resultante siga siendo compatible.

(Madrid. Junio 2004. Opcin B. Ejercicio 2)


833276 _ 0128-0201.indd 145 3/8/09 14:00:48

146






033 resolver el sistema de ecuaciones lineales:

(Extremadura. Septiembre 2005. Repertorio A. Ejercicio 2)

034 En un sistema hay, entre otras, estas dos ecuaciones: x + 2y - 3z = 5 y 2 x + 4y - 6z = -2.

Qu puede decirse de las soluciones del sistema?

(Catalua. Septiembre 2005. Cuestin 1)

Como los coeficientes de las incgnitas son proporcionales y los trminos independientes no lo son, el sistema es incompatible.

f )- -

-

- -1 3 13 0 25 6 4

1275

1 3 1 00 9 1

0 9 1

124365

1 3 10 9-

-

- -- 11

0 0 0

124322


g)3 1 21 2 53 4 19

72

8

1 2 53

-- -

- --

-

-1 2

3 4 19

278

1 2 50 5 170 10

334

212

-

- -

+ +1 2 50 5 170 0 0

210

25

x yy ++

==

-

= -

= -

=

517

21

12 9

51 17

5

zz

x

y

z

con

R

h)2 4 13 2 31 3 8

74

12

- -- -- - -

---

- -

- ---

1 3 83 2 32 4 1

1247

1 33 80 11 210 10 17

123231- - -

1 3 80 11 210 0 23

123221

3

-

+x y111

82123

1232

21

123

23

yzzz

x

y++

=== -

=

= 110723

21

23z = -

032 utiliza el mtodo de Gauss para discutir los siguientes sistemas de ecuaciones lineales.

a) 64

32

96

xx

yy-

-+

==-

e) - +-

==-

46

23

85

pp

qq

b) - -+

==-

xx

yy2

3 21

f ) 32

3 30

xx

y- ==

c) xxx

yyy

zzz

25

25

2

4

4616

---

+++

===

g) 235

347

2351

xxx

yyy

zzz

+++

-++

===

d) 32

2

3

2

2

10

1

aa

bbb

ccc

++

+++

===-

h) 32 3

1124

2519

aa

bbb

ccc

-++

-++

===

a) S6 34 2

96

6 30 0

90

-- -

-

iistema compatible indeterminado

b) - - -

- --

1 32 1

21

1 30 5

23


833276 _ 0128-0201.indd 146 21/7/09 14:49:21


147

3SolucioNario

c)1 1 22 2 15 5 4

46

16

1 1 20

---

- 00 3

0 0 6

424

1 1 20 0 30 0

--

--

--

00

420

-


d)3 2 22 1 10 3 2

101

3 2 20 1 10 3-

22

121

3 2 20 1 10 0 1

127-

- -


e) - --

- --

4 26 3

85

4 20 0

87


f ) 3 32 0

30

23

03

03

20

0-

-

--

3

03

Sistema compatible determinnado

g)2 3 13 4 25 7 1

351

2 3 10 1 7

-

--

00 1 7

31

13

2 3 10 1 70 0 0

31

- -

--

--

14Sistema incompatible

h)3 1 12 3 20 11 4

25

19

3 1 10

--

- 111 4

0 11 4

21919

3 1 10 11 40 0

-

00

2190


033 resolver el sistema de ecuaciones lineales:

y x zx z yy z x

- =- =+ =

(Extremadura. Septiembre 2005. Repertorio A. Ejercicio 2)

-

-

+-+

--+

===

- -- -

xxx

yyy

zzz

000

1 1 11 1 1

--

- --

1 1 1

000

1 1 10 0 20 0 2

000

- --

1 1 10 0 20 0 0

000

- + - =- =

===

x y zz

xyz

02 0

00

con

R

034 En un sistema hay, entre otras, estas dos ecuaciones: x + 2y - 3z = 5 y 2 x + 4y - 6z = -2.

Qu puede decirse de las soluciones del sistema?

(Catalua. Septiembre 2005. Cuestin 1)

Como los coeficientes de las incgnitas son proporcionales y los trminos independientes no lo son, el sistema es incompatible.


- -

+ +1 2 50 5 170 0 0

210

25

x yy ++

==

-

= -

= -

=

517

21

12 9

51 17

5

zz

x

y

z

con

R

1 3 80 11 210 0 23

123221

3

-

+x y111

82123

1232

21

123

23

yzzz

x

y++

=== -

=

= 110723

21

23z = -

utiliza el mtodo de Gauss para discutir los siguientes sistemas de ecuaciones lineales.

833276 _ 0128-0201.indd 147 21/7/09 14:49:23

148


039 resolver el sistema de ecuaciones: . Hallar dos constantes y

de manera que al aadir al sistema anterior una tercera ecuacin: 5x + y + z = , el sistema resultante sea compatible indeterminado. (Madrid. Junio 2005. Opcin B. Ejercicio 1)

Para que el sistema sea compatible indeterminado debe ocurrir que:

+ 6 = 0 = -6b - 5 = 0 b = 5

040 Dadas las matrices y , donde a y b son nmeros reales,

halle los valores de a y b que hacen que las dos matrices conmuten, es decir, que hacen que se cumpla AB = BA.(Catalua. Ao 2005. Serie 4. Cuestin 1)

Los productos son iguales para cualquier valor de a y de b.

041 considera las matrices y .

Qu condiciones han de cumplir x, y y z para que las matrices A y B conmuten, es decir, para que AB = BA?(Cantabria. Septiembre 2005. Bloque 2. Opcin B)

035 Dar un ejemplo de un sistema de 3 ecuaciones lineales con 3 incgnitas que sea incompatible. (Extremadura. Junio 2005. Repertorio B. Ejercicio 1)


xxx

yyy

zzz2

31

0

+-+

+-+

===

-

036 Dado el sistema 2 22

11

xx

yy

zz

++

-+

==

, escribir una tercera ecuacin de la forma

x + y + z = 1 (distinta que las anteriores) de manera que el sistema de 3 ecuaciones y 3 incgnitas resultante sea compatible indeterminado.(Madrid. Junio 2004. Opcin B. Ejercicio 2)


2 225

111

xx

yy

zzz

++

-+

===

037 Dado el sistema de ecuaciones 3 2 52 3 4

x y zx y z- + =- + =

:

a) aade una ecuacin lineal de manera que el sistema resultante sea incompatible.

b) aade una ecuacin lineal de manera que el sistema resultante sea compatible indeterminado. resuelve el sistema.

(Catalua. Junio 2000. Cuestin 3)


3 2 52 3 43 2 1

x y zx y zx y z

- + =- + =- + =


32

23

541

3 2xxx

yyy

zz

xxx

yy

--+

++

===

-++

yy

z xx

yy

z+ ===

-+

+ ===

511

3 2

0

510

= -== +

xyz

1

2 5

con R

038 Discute por el mtodo de Gauss el sistema:

x y zx y zx y az

+ + =- + + =- + + =

2 23 0

1

833276 _ 0128-0201.indd 148 29/7/09 12:01:19


149

3SolucioNario

1 2 11 3 11 1

201

1 2 10 5 20 3 1

--

a

++

- -

a a

223

1 2 10 5 20 0 1 5

229

Si Siaa

- -

1

5

1 2 10 5 20 0 1 5

229

sstema compatible determinado

Si Sistea =-

1

5

1 2 10 5 20 0 0

229

mma incompatible

039 resolver el sistema de ecuaciones: x y zx y z+ + =

+ - =

2 3 12 2

. Hallar dos constantes y

de manera que al aadir al sistema anterior una tercera ecuacin: 5x + y + z = , el sistema resultante sea compatible indeterminado. (Madrid. Junio 2005. Opcin B. Ejercicio 1)

1 2 32 1 15 1

12

1 2 30 3 70

-

- -- b

99 15

10

5

1 2 30 3 70 0 b - -

- -

+

66

10

5b -

Para que el sistema sea compatible indeterminado debe ocurrir que:

+ 6 = 0 = -6b - 5 = 0 b = 5

040 Dadas las matrices A a=

10 1

y B b=

10 1

, donde a y b son nmeros reales,

halle los valores de a y b que hacen que las dos matrices conmuten, es decir, que hacen que se cumpla AB = BA.(Catalua. Ao 2005. Serie 4. Cuestin 1)

AB a b a b=

=

+

10 1

10 1

10 1

BA b a a b=

=

+

10 1

10 1

10 1

AB BA a b a b=

=+ = +

==

1 1

0 01 1

Los productos son iguales para cualquier valor de a y de b.

041 considera las matrices A =

1 23 4

y B x yz

=

0

.

Qu condiciones han de cumplir x, y y z para que las matrices A y B conmuten, es decir, para que AB = BA?(Cantabria. Septiembre 2005. Bloque 2. Opcin B)

Dar un ejemplo de un sistema de 3 ecuaciones lineales con 3 incgnitas que sea incompatible. (Extremadura. Junio 2005. Repertorio B. Ejercicio 1)


Dado el sistema , escribir una tercera ecuacin de la forma

x + y + z = 1 (distinta que las anteriores) de manera que el sistema de 3 ecuaciones y 3 incgnitas resultante sea compatible indeterminado.(Madrid. Junio 2004. Opcin B. Ejercicio 2)


Dado el sistema de ecuaciones :

a) aade una ecuacin lineal de manera que el sistema resultante sea incompatible.

b) aade una ecuacin lineal de manera que el sistema resultante sea compatible indeterminado. resuelve el sistema.




32

23

541

3 2xxx

yyy

zz

xxx

yy

--+

++

===

-++

yy

z xx

yy

z+ ===

-+

+ ===

511

3 2

0

510

= -== +

xyz

1

2 5

con R

Discute por el mtodo de Gauss el sistema:

833276 _ 0128-0201.indd 149 29/7/09 12:01:26

150


044 Escribe en forma matricial, y luego resuelve empleando la matriz inversa.

AB x yz

x z yx

=

=

++

1 23 4 0

23

44 3z y

BA x yz

x y x=

=

+ +0

1 23 4

3 2 4 yyz z2

AB BA

x z x yy x y

x z zy z

=

+ = += +

+ ==

2 32 4

3 43 2

+

+

====

23

33

3

2

32

0000

xx

yy

y

z

zz

2 3 03 0 30 3 2

000

2 3 00 9 60 3 2

000

2 3 00 9 60

00 0

000

2 39 6

00

+ +

==

x yy z

===

xyz

323

con R

042 Escribe mediante ecuaciones estos sistemas.

a) 2 3 51 2 1

31

=

xyz

b)

1 42 31 56 7

ab =

1425

a) 2 32

5 31

xx

yy

zz

++

+

==

b) a ba ba ba b

+ =+ =+ =

+ =

4 12 3 4

5 26 7 5

043 Escribe en forma matricial estos sistemas de ecuaciones.

a) xx

yyy

zzz

+

+

===

2

3

325

230

c) xx

y zz

t vv2 3 6

18

+

++

==

b) p q r sp q sq r s

+ + = + =+ =

32 2 5

3 5 1

d) x y zx z

x y zy z

+ = + =

+ + = =

37

2 4 53 9 1

a)1 2 31 1 20 3 5

xyz

=

230

b)1 1 1 12 1 0 20 1 3 5

pqrs

=

351

833276 _ 0128-0201.indd 150 3/8/09 13:57:08


151

3SolucioNario

c) 1 1 1 1 12 0 3 0 6

- --

xyztv

= -

18

d)

1 1 11 0 12 1 40 3 9

--

-

xyyz

= -

-

3751

044 Escribe en forma matricial, y luego resuelve empleando la matriz inversa.

a) 4 183 2 8

x yx y

- =+ =

b) x zx y z

y z

- =-+ - =-

+ =

72 3 26

4 2 0

a) 4 13 2

188

-

=

xy

AX B X A B= = - 1

A A= =-

-11 0

2

11

1

113

11

4

11

1

X =-

2

11

1

113

11

4

11

188

= -

== -

42

42

xy

b)1 0 12 1 30 4 2

--

xyz

=

--

7260

A X B X A B= = - 1

A A= =

-

-

-

-6 0

7

3

2

3

1

62

3

1

3

1

64

3

2

3

1

6

1

X =

-

-

-

7

3

2

3

1

62

3

1

3

1

64

3

2

3

1

6

--

7

260

= -

== -=

1

48

14

8

xyz

2 3 00 9 60 3 2

000

2 3 00 9 60

--

-

00 0

000

2 39 6

00

+- +

==

x yy z

= -==

--

xyz

323

con R

Escribe mediante ecuaciones estos sistemas.

a) b)

Escribe en forma matricial estos sistemas de ecuaciones.

833276 _ 0128-0201.indd 151 21/7/09 14:49:38

152


Rango (A*) = 2Rango (A) = Rango (A*) = 2 < n.o de incgnitas Sistema compatible indeterminado

046 resuelve, aplicando la regla de cramer, estos sistemas compatibles determinados.

045 Discute los siguientes sistemas de ecuaciones lineales utilizando el teorema de rouch-Frbenius.

a) x y zx y z

x y z

+ - =-+ - =+ - =-

3 5 83 6 5 0

4 9 10 8

c) 3 2 6 3 72 66 3

a b c da b c d

a b

+ - + =- + - =

- =

b) 8 6 2 13 10

3 2 5

x y zx y z

x y z

- + =-+ - =

- + - =

d) a ba b ca b c

b c

+ =- + + =-- + + =

+ =

5 7

2 2 3 23 2 1

4 4

a) A A=--

-

=

-1 3 53 6 54 9 10

1 3 5*

---

- -

83 6 5 04 9 10 8

A = 0

1 34 9

3 0= - = Rango ( ) 2A

1 3 83 6 04 9 8

0-

-= = Rango ( *) 2A


b) A A=-

-- -

=

-8 6 23 1 11 3 2

8 6 2*

---

- -

13 1 1 101 3 2 5

A = - 14 0 Rango (A) = Rango (A*) = 3 = n.o de incgnitas Sistema compatible determinado

c) A A=-

- --

=

3 2 6 31 1 2 16 1 0 0

3*

22 6 3 71 1 2 1 66 1 0 0 3

3 2 61

-- --

-

---

= - --

=1 26 1 0

03 2 31 1 16 1 0

0

3 21 1

5 0- = - = Rango ( ) 2A

3 2 71 1 66 1 3

110 0--

= = Rango ( *) 3A


833276 _ 0128-0201.indd 152 21/7/09 14:49:43


153

3SolucioNario

d) A A= --

1 5 02 2 31 3 20 4 1

** = - --

1 5 0 72 2 3 21 3 2 10 4 1 4

--

= - =1 5 02 2 31 3 2

01 5 02 2 30 4 1

0

1 52 2

12 0- = = Rango ( ) 2A

1 5 0 72 2 3 21 3 2 10 4 1 4

1 5 0 70 12 3 120 8 2 80 4 1 4

0- -- = =

1 5 72 2 21 3 1

01 5 72 2 20 4 4

0- --

= - - =

Rango (A*) = 2Rango (A) = Rango (A*) = 2 < n.o de incgnitas Sistema compatible indeterminado

046 resuelve, aplicando la regla de cramer, estos sistemas compatibles determinados.

a) 2 23 2 1

x yx y

+ =- - =-

c) 2 3 65 3

a ba b- =

- + =-

b) 3 2 2 12 0

3 2 1

a b ca b c

b c

+ + =+ + =

+ =-

d) 3 5 33 23 1910 3 2

x y zx y

z x y

+ = += -+ = +

a) Se puede aplicar la regla A = - - = - 2 13 2

1 0 de Cramer.

A A

xA

Ay

A

x y

x y

= - - = - = - - =

= = =

2 11 2

32 23 1

4

3

A= -4

b) Se puede aplicar la reg A = = 3 2 22 1 10 3 2

1 0 lla de Cramer.

A A Aa b c=-

= - =-

= - =1 2 20 1 11 3 2

13 1 22 0 10 1 2

53 2 112 1 00 3 1

7

1 5

-=

= = - = = - =a AA

bA

Ac

A

Aa b c

= 7

Discute los siguientes sistemas de ecuaciones lineales utilizando el teorema de rouch-Frbenius.


Rango (A) = Rango (A*) = 3 = n.o de incgnitas Sistema compatible determinado


833276 _ 0128-0201.indd 153 21/7/09 14:49:46

154


La solucin es:

La solucin es:

c) Se puede aplicar la regla A = -- = 2 31 5

7 0 dde Cramer.

A A

aA

Ab

A

a b

a b

= -- = = - - =

= = =

6 33 5

212 61 3

0

3

A= 0

d) Se puede aplicar la A =-

-=

3 5 23 1 01 2 3

26 0 rregla de Cramer.

A Ax y=-

-= =

-

-=

33 5 219 1 010 2 3

1303 33 23 19 01 10 3

11043 5 333 1 191 2 10

26

5

A

xA

Ay

A

A

z

x y

= =

= = =

= = =4 1z AA

z

047 resuelve, aplicando la regla de cramer, estos sistemas compatibles indeterminados.

a) x y zx y zx y z

+ + =- + - =-

- + =-

2 63 2 32 3 3

c) 2 011 3 0

2 0

a ba b ca b c

- =- - =- + =

b) x y z tx y zy z t

+ + + =- + =- + =

411

d) 3 3 11 04 7 0

5 3 3 06 6 0

p q rp r

p q rp q r

- + =+ =

+ + =- - + =

a)1 2 13 1 22 3 1

0- --

=

1 23 1

7 0 2 63 3 2- =

+ = -- + = - +

x y zx y z

A zz

z Az

zz

x

x y=-

- + = - =-

- - + = -6 23 2 1

12 51 63 3 2

15

== = - = = -

A

A

zy

A

A

zx y12 5

7

15

7

La solucin es: conx y z= - = - = 12 57

15

7

, , R

833276 _ 0128-0201.indd 154 21/7/09 14:49:50


155

3SolucioNario

b)1 1 11 1 10 1 1

2 0411

--

= + + = -- + =

- = -

x y z tx y z

y z t

At

tt x

A

At

A

xx

y

=-

-- -

= - = = -4 1 1

1 1 11 1 1

4 2 2

==-

- -= - = = -

=

1 4 11 1 10 1 1

33

2

1 1 4

t

tt y

A

A

t

A

y

z

--

--

= + = = +t

tt z

A

A

tz1 1 10 1 1

11

2

La solucin es: x y z t= - = - = + = =2 32

1

2 , , , con R

c)2 1 0

11 1 31 2 1

0-- --

=

2 111 1

9 0 2 011 3

-- =

- =- =

a ba b c

Ac

c Ac

c

aA

A

cb

a b

a

= -- = = =

= = =

0 13 1

32 011 3

6

3

A

A

cb = 23

La solucin es: a b c= = = 3

2

3, , con R

d)3 3 114 0 75 3 3

0

3 3 114 0 76 6 1

0

-=

-

- -=

3 34 0

12 03 3 11

4 7

7

4- = - = -= -

= -

= p q r

p r

p

q

223

12

r =

con R

A Ax y=-

-= =

-

-=

33 5 219 1 010 2 3

1303 33 23 19 01 10 3

11043 5 333 1 191 2 10

26

5

A

xA

Ay

A

A

z

x y

= =

= = =

= = =4 1z AA

z

resuelve, aplicando la regla de cramer, estos sistemas compatibles indeterminados.

833276 _ 0128-0201.indd 155 21/7/09 14:49:53

156


048 Discute y resuelve los siguientes sistemas de ecuaciones lineales.

a) x y zx y zx y z

+ + =+ - =+ + =

2 33 3

2 3 3

d) 5 4 2 02 3 0

16 17 7 04 4 1

x y zx y z

x y zx y z

+ + =+ + =

+ + =- + =

g) 2 4 73 6 2 4

11 22 6 24

x y zx y z

x y z

- + =- + - =

- + =

b) x y zy z

x y z

+ + =+ =

+ + =

2 32 3 2

3 3 7

e) a cb c

a b c

+ =- =

+ - =

01

3 2 5

h) 2 73 2 2 1

a b ca b c

- + =+ - =

c) a cb c

a b c

+ =- =

+ + =

01

3 5

f ) 2 02 4 1

3 4 2 1

x y tx y z tx y z t

- + =+ - + =-- + - =

a) A A= -

= -

1 2 11 1 32 3 1

1 2 1 31 1* 33 32 3 1 3

A A A= - = - = = =1 2 11 1 32 3 1

3 0 Rango ( ) Rango ( *) 3 nn. de incgnitas

Sistema compatible determiinado

A A Ax y z= - = = - = - =3 2 13 1 33 3 1

121 3 11 3 32 3 1

121 22 31 1 32 3 3

3

4 4

=

= = - = = =x AA

yA

Az

A

Ax y z

== -1

b) A A=

=

1 1 20 2 33 1 3

1 1 2 30 2 3 2*33 1 3 7

A = =1 1 20 2 33 1 3

0

1 10 2

2 0= = Rango ( ) 2A

1 1 30 2 23 1 7

0= = Rango ( *) 2A



x y zy z

+ = -= -

3 22 2 3

833276 _ 0128-0201.indd 156 21/7/09 14:49:58


157

3SolucioNario

A zz

z A zz

zx y=-- = - =

-- = -

3 2 12 3 2

4 1 3 20 2 3

2 3

xA

A

zy

A

A

zx y= = - = = -

4

2

2 3

2

La solucin es: conx y z= - = - = 42

2 3

2

, , R

c) A A= -

= -

1 0 10 1 11 3 1

1 0 1 00 1* 11 11 3 1 5

A A A= - = = = =1 0 10 1 11 3 1

3 0 Rango ( ) Rango ( *) 3 n.. de incgnitas


o

A A Aa b c= - = - = - = =0 0 11 1 15 3 1

21 0 10 1 11 5 1

51 0 000 1 11 3 5

2

2

3

5

3

=

= = - = = =a AA

bA

Ac

A

Aa b c

== 23

d) A =

-

5 4 22 3 1

16 17 74 1 4

AA* =

-

5 4 2 02 3 1 0

16 17 7 04 1 4 1

5 4 22 3 1

16 17 70

5 4 22 3 14 1 4

21=-

= = Rango ( ) 3A

5 4 2 02 3 1 0

16 17 7 04 1 4 1

0

-

= = = Rango ( *) 3 n. de ioA nncgnitas


5 4 22 3 14 1 4

001

2 3 15 4 24 1 4-

-

0001

2 3 11 2 04 13 0

001

-

- -

--

2 3 11 2 00 21 0

001

2 3

221

001

2

211

2

xx

yyy

zx

y+--

+ ===

= -

= -11

1

3z =

Discute y resuelve los siguientes sistemas de ecuaciones lineales.

g) 2 4 73 6 2 4

11 22 6 24

x y zx y z

x y z

- + =- + - =

- + =

A A A= - = - = = =1 2 11 1 32 3 1

3 0 Rango ( ) Rango ( *) 3 nn. de incgnitas

Sistema compatible determiinado

A A Ax y z= - = = - = - =3 2 13 1 33 3 1

121 3 11 3 32 3 1

121 22 31 1 32 3 3

3

4 4

=

= = - = = =x AA

yA

Az

A

Ax y z

== -1



833276 _ 0128-0201.indd 157 29/7/09 12:02:20

158




e) A

A

= --

= -

1 0 10 1 11 3 2

1 0 1 00 1 1* 111 3 2 5-

A = --

=1 0 10 1 11 3 2

0

1 00 1

1 0= = Rango ( ) 2A

1 0 00 1 11 3 5

2 0= = Rango ( *) 3 Rango ( ) SistemA A aa incompatible

f ) A A=-

-- -

=

-2 1 0 11 2 1 43 4 1 2

2 1*

00 1 01 2 1 4 13 4 1 2 1

2 1 01 2 1

- -- -

--

33 4 10

2 1 11 2 43 4 2

0-

=-

- -=

2 11 2

5 0- = = =


159

3SolucioNario

g) A

A

=-

- --

=-

2 4 13 6 2

11 22 6

2 4 1*

773 6 2 4

11 22 6 24- -

-

A =-

- --

=2 4 13 6 2

11 22 60

2 13 2

1 0- - = - = Rango ) 2( A

2 1 73 2 4

11 6 240- - = = Rango ( *) 2A


Consideramos el sistema: 2 7 43 2 4 6

x z yx z y

+ = +- - = -

A yy

y Ayy

x

x z=+- - = - - =

+- - =

7 4 14 6 2

18 22 7 43 4 6

29

== = + = = -

A

Az

A

Ax z18 2 29

La solucin es: conx y z= + = = - 18 2 29 , , R

h) A

A

= - -

= - -

2 1 13 2 2

2 1 1 73 2 2 1

*

2 13 2

7 0- = = Rango ( ) Rango ( *) 2 n. de incgoA A= < nnitasSistema compatible indeterminado

Consideramos el sistema: 2 73 2 1 2

a b ca b c

- = -+ = +

A cc

A cc

c

aA

a b

a

= - -+ = =-

+ = -

=

7 11 2 2

15 2 73 1 2

7 19

A

bA

A

cb= = = -157

7 19

7

La solucin es: cona b c= = - = 157

7 19

7, ,

R

833276 _ 0128-0201.indd 159 29/7/09 12:02:34

160


Si p 0 Rango (A) = Rango (A*) = 3 = n.o de incgnitas Sistema compatible determinado

Si p = 0 Rango (A) = Rango (A*) = 2 < n.o de incgnitas Sistema compatible indeterminado


Si a R - {-1, 1} Rango (A) = Rango (A*) = 3 = n.o de incgnitas Sistema compatible determinado

Si a = 1 Rango (A) = 2 Rango (A*) = 3 Sistema incompatible Si a = -1 Rango (A) = Rango (A*) = 2 < n.o de incgnitas


053 Discute este sistema para los distintos valores de k.

049 Discute el sistema de ecuaciones lineales segn los distintos valores del parmetro m.

( )( )

m x yx m y

- + =+ - =

2 02 0

Al ser un sistema homogneo sabemos que es compatible para cualquier valor de m.

A mm

= - -

2 11 2

A mm

m m= - - = - +2 1

1 24 32

m m mm

2 4 3 0 13

- + = ==

Si m R - {1, 3} Rango (A) = Rango (A*) = 2 = n.o de incgnitas Sistema compatible determinado

Si m = 1 o m = 3 Rango (A) = Rango (A*) = 1 < n.o de incgnitas Sistema compatible indeterminado

050 Discute, en funcin de a, el sistema.

ax ay ax ay+ =- =

1

(Castilla y Len. Junio 2007. Prueba B. Cuestin 3)

Aa a

aA

a a aa

= -

= -

1 1 1*

A a aa

a a= - = - -12

- - = == -

a a aa

2 0 01

Al ser la ltima columna de la matriz A* igual que la primera:


Si a = -1 o a = 0 Rango (A) = Rango (A*) = 1 < n.o de incgnitas Sistema compatible indeterminado

051 El siguiente sistema de ecuaciones depende de un parmetro p. Disctelo segn los valores de p.

x y z px y z px y pz p

+ + =+ + =+ - =

22 3

833276 _ 0128-0201.indd 160 21/7/09 14:50:12


161

3SolucioNario

Ap

App=

-

=

1 2 12 3 11 1

1 2 12 3 11

*11

1 2 12 3 11 1

1 2

-

=-

=

p p

Ap

pp

22 31 1

pp

p= -

1 22 3

1 0= -

Si p 0 Rango (A) = Rango (A*) = 3 = n.o de incgnitas Sistema compatible determinado

Si p = 0 Rango (A) = Rango (A*) = 2 < n.o de incgnitas Sistema compatible indeterminado


2 3 25 2 4 13 32

x y zx y zx y a z a

+ + =+ + =-+ + =

Aa

A=

= -

2 1 35 2 43 1

2 1 3 25 2 4 132

*11 3

2 1 35 2 43 1

12 1

2

2

2

a a

Aa

a

= = -22

5 2 13 1 3

3 3- = - -a

a

2 15 2

1 0= -


Si a = 1 Rango (A) = 2 Rango (A*) = 3 Sistema incompatible Si a = -1 Rango (A) = Rango (A*) = 2 < n.o de incgnitas


053 Discute este sistema para los distintos valores de k.

x yx y

x y k

- =+ =- =

2 42 5

4 3

A Ak

=-

-

=

-

-

1 22 14 3

1 2 42 1 54 3

*

1 22 1

5 0- = = Rango ( ) 2A

Discute el sistema de ecuaciones lineales segn los distintos valores del parmetro m.


Si m R - {1, 3} Rango (A) = Rango (A*) = 2 = n.o de incgnitas Sistema compatible determinado

Si m = 1 o m = 3 Rango (A) = Rango (A*) = 1 < n.o de incgnitas Sistema compatible indeterminado

Discute, en funcin de a, el sistema.

(Castilla y Len. Junio 2007. Prueba B. Cuestin 3)

Al ser la ltima columna de la matriz A* igual que la primera:


Si a = -1 o a = 0 Rango (A) = Rango (A*) = 1 < n.o de incgnitas Sistema compatible indeterminado

El siguiente sistema de ecuaciones depende de un parmetro p. Disctelo segn los valores de p.

833276 _ 0128-0201.indd 161 21/7/09 14:50:15

162


Rango (A) = Rango (A*) = 2 < n.o de incgnitas para cualquier valor de a Sistema compatible indeterminado para cualquier valor de a

056 clasifica el siguiente sistema para los distintos valores del parmetro p.

Al ser un sistema homogneo sabemos que es compatible para cualquier valor de p.

Si Rango (A) = Rango (A*) = 3 = n.o de incgnitas Sistema compatible determinado

Si Rango (A) = Rango (A*) = 2 < n.o de incgnitas Sistema compatible indeterminado

057 Halla para qu valores del parmetro a este sistema es incompatible.

Qu valor debe tomar a para que sea compatible indeterminado?

1 2 42 1 54 3

5 65-

-= -

kk

Si k 13 Rango (A) = 2 Rango (A*) = 3 Sistema incompatible Si k = 13 Rango (A) = Rango (A*) = 2 = n.o de incgnitas


054 Discute el siguiente sistema de ecuaciones lineales segn los distintos valores del parmetro p.

px p z ppy z py pz p

+ + =+ =+ =

( )1

Ap p

pp

Ap p p

p=+

=

+0 10 10 1

0 10* 110 1

0 10 10 1

pp p

Ap p

pp

p

=+

= (( ) ( ) ( )pp p

p pp

p p p p p2 2 210

00 1

1- = - = -

Si p R - {-1, 0, 1} Rango (A) = Rango (A*) = 3 = n.o de incgnitas Sistema compatible determinado

Si p = -1, como - - = 1 00 1

1 0 Rango (A) = 2 Rango (A*) = 3 Sistema incompatible

Si 0 yp A A= =

=

0 0 10 0 10 1 0

0*

00 1 00 0 1 00 1 0 0


Si 1 yp A A= =

=

1 0 20 1 10 1 1

1 0*

22 10 1 1 10 1 1 1


055 Qu valores debe tomar a en el siguiente sistema de ecuaciones lineales para que sea incompatible?

x a y zx ay az

+ - + =+ + =

( )1 13 3

Y para que sea compatible?

833276 _ 0128-0201.indd 162 21/7/09 14:50:17


163

3SolucioNario

Aa

a a

Aa

a a

= -

= -

1 1 13

1 1 1 13 3

*

1 13

3 2 1 13

3aa

aa

a- = - = -

Rango (A) = Rango (A*) = 2 < n.o de incgnitas para cualquier valor de a Sistema compatible indeterminado para cualquier valor de a

056 clasifica el siguiente sistema para los distintos valores del parmetro p.

a pb cpb c

a b c

+ - =+ =

+ - =

2 00

3 2 0

Al ser un sistema homogneo sabemos que es compatible para cualquier valor de p.

App=

-

-

1 20 13 2 1

App p=

-

-= -

1 20 13 2 1

8 2

1 23 1

5 0-- =

Si p 14

Rango (A) = Rango (A*) = 3 = n.o de incgnitas Sistema compatible determinado

Si p = 14


057 Halla para qu valores del parmetro a este sistema es incompatible.

( ) ( )( ) ( )

(

a x y z a ax a y z a ax y a

+ + + = ++ + + = ++ + +

1 31 3

1

2

)) ( )z a a= +

3 3

Qu valor debe tomar a para que sea compatible indeterminado?

Aa

aa

Aa a

=+

++

=+

1 1 11 1 11 1 1

1 1 1*

(( )( )( )

aa a a

a a a

++ +

+ +

3

1 1 1 31 1 1 3

2

3

Si k 13 Rango (A) = 2 Rango (A*) = 3 Sistema incompatible Si k = 13 Rango (A) = Rango (A*) = 2 = n.o de incgnitas


Discute el siguiente sistema de ecuaciones lineales segn los distintos valores del parmetro p.

Si p R - {-1, 0, 1} Rango (A) = Rango (A*) = 3 = n.o de incgnitas Sistema compatible determinado

Si p = -1, como Rango (A) = 2 Rango (A*) = 3 Sistema incompatible



Qu valores debe tomar a en el siguiente sistema de ecuaciones lineales para que sea incompatible?

Y para que sea compatible?

833276 _ 0128-0201.indd 163 21/7/09 14:50:20

164


059 Discute el sistema de ecuaciones lineales segn los valores de b.

(Extremadura. Junio 2006. Repertorio B. Ejercicio 4)

Si b R - {0, 1} Rango (A) = Rango (A*) = 3 = n.o de incgnitas Sistema compatible determinado

Si b = 0 Rango (A) = 2 Rango (A*) = 3 Sistema incompatible

Si b = 1 Rango (A) = Rango (A*) = 2 < n.o de incgnitas Sistema compatible indeterminado

060 Discutir la compatibilidad del siguiente sistema de ecuaciones en funcin del parmetro a.

(Pas Vasco. Julio 2006. Bloque A. Problema A)

Si a -3 Rango (A) = Rango (A*) = 3 = n.o de incgnitas Sistema compatible determinado

Si a = -3 Rango (A) = 2 Rango (A*) = 3


Aa

aa

a a a a=+

++

= + + - + = + =1 1 1

1 1 11 1 1

1 2 3 1 33 3 2( ) ( ) aa a2 3( )+

a a aa a a

a aa a

a+ ++ +

+= +

+1 1 31 1 31 1 3

31 1 1

123

( )( )( )

( ) aa aa

a a a a a a a

a a

+ =

= + + - - + ==

11 1

3 1 1

2

2 2 2

2

( )( ( ) ( ))

( ++ + - -3 2 13 2)( )a a a


Si a = 0 Rango (A) = Rango (A*) = 1 Sistema compatible indeterminado

Si a = -3 A A=-

--

=

-2 1 11 2 11 1 2

2 1 1 01y * --

-

2 1 0

1 1 2 0


Luego no hay ningn valor de a para el que el sistema sea incompatible. Los valores para los que es compatible indeterminado son 0 y -3.

058 averige si el siguiente sistema puede ser compatible indeterminado para algn valor de m.

x y zx y zx y mz

+ + =+ + =+ + =

3 2 02 4 3 0

0

Es incompatible para algn valor de m?(Catalua. Junio 2006. Cuestin 2)


Am

Am

=

= =

1 3 22 4 31 1

1 3 22 4 31 1

2 -- 2m

1 32 4

2 0= -

Si m 1 Rango (A) = Rango (A*) = 3 = n.o de incgnitas Sistema compatible determinado

Si m = 1 Rango (A) = Rango (A*) = 2 < n.o de incgnitas Sistema compatible indeterminado

El sistema no es incompatible para ningn valor de m.

833276 _ 0128-0201.indd 164 21/7/09 14:50:23


165

3SolucioNario

059 Discute el sistema de ecuaciones lineales segn los valores de b.

x y zx b y bz bx by b z

+ - =+ + - =+ + + =

2 21 2

1 1( )

( )

(Extremadura. Junio 2006. Repertorio B. Ejercicio 4)

A b bb b

A=-

+ -+

=

-1 2 11 11 1

1 2 1 21* 11 21 1 1

+ -+

b b b

b b

A b bb b

b b b b=-

+ -+

= - = -1 2 11 11 1

2 2 2 12 ( )

1 2 21 1 21

3 2 1 22+ = - + - = - - -b bb b

b b b b( )( )

Si b R - {0, 1} Rango (A) = Rango (A*) = 3 = n.o de incgnitas Sistema compatible determinado

Si b = 0 1 21 1

1 0= - Rango (A) = 2 Rango (A*) = 3 Sistema incompatible

Si b = 1 1 21 1 1 0= - Rango (A) = Rango (A*) = 2 < n.o de incgnitas Sistema compatible indeterminado

060 Discutir la compatibilidad del siguiente sistema de ecuaciones en funcin del parmetro a.

x y z ax y z

x y az a

- + =+ - =

+ + =

13 3

(Pas Vasco. Julio 2006. Bloque A. Problema A)

Aa

Aa

=-

-

=

--

1 1 11 1 13 3

1 1 11 1* 11 13 3

1 1 11 1 13 3

2

a a

Aa

a

=-

- = + 661 11 1 13 3

2 6-

= -a

aa

Si a -3 Rango (A) = Rango (A*) = 3 = n.o de incgnitas Sistema compatible determinado

Si a = -3 1 11 1 2 0- =

Rango (A) = 2 Rango (A*) = 3



Si a = 0 Rango (A) = Rango (A*) = 1 Sistema compatible indeterminado

Si a = -3


Luego no hay ningn valor de a para el que el sistema sea incompatible. Los valores para los que es compatible indeterminado son 0 y -3.

averige si el siguiente sistema puede ser compatible indeterminado para algn valor de m.

Es incompatible para algn valor de m?



Si m 1 Rango (A) = Rango (A*) = 3 = n.o de incgnitas Sistema compatible determinado

Si m = 1 Rango (A) = Rango (A*) = 2 < n.o de incgnitas Sistema compatible indeterminado

El sistema no es incompatible para ningn valor de m.

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166


Comprobamos con la ltima ecuacin:

Por tanto, la solucin es:

Si a R - {0, 3} Rango (A*) = 4 Rango (A) = 3 Sistema incompatible

Si a = 0 o a = 3 Rango (A*) = Rango (A) = 3 Sistema compatible determinado

Por tanto no hay valores para los que el sistema sea compatible indeterminado.

063 clasificar el siguiente sistema segn los distintos valores de los parmetros a y b.

(Murcia. Junio 2008. Bloque 1. Cuestin B)

Si a -1 y para cualquier valor de b: Rango (A) = Rango (A*) = 3 = n.o de incgnitas Sistema compatible determinado

Si a = -1 y b -2 Rango (A) = 2 Rango (A*) = 3 Sistema incompatible

Si a = -1 y b = -2 Rango (A) = Rango (A*) = 2


061 Estudie, segn los valores del parmetro a, el sistema de ecuaciones lineales siguiente:

ax ay ax y az a

x y z a

+ =- + =

+ + =

2 3

(Murcia. Junio 2006. Bloque 1. Cuestin A)

Aa a

a Aa a a

a a= -

= -

01 11 2 3

01 11 2

*33

01 11 2 3

6

a

Aa a

a a aa

= - = - + ( )aa a

aa

a a1 11 2

3 1- = - -( )


Si a = -6 Rango (A) = 2 Rango (A*) = 3 Sistema incompatible Si a = 0 Rango (A) = Rango (A*) = 2 < n.o de incgnitas


062 a) El siguiente sistema es compatible y determinado.

- + + =+ =+ =

+ + =

x y zy zx y

x y z

14 3 2

2 13 2 1

calcula su solucin.

b) considera ahora el sistema:

- + + =+ =+ =

+ + =

x y zy azx y

x ay z

14 2

2 12 1

Es posible encontrar valores para a tales que el sistema sea incompatible? En caso afirmativo, indica cules. Justifica tu respuesta.

Es posible encontrar valores para a tales que el sistema sea compatible indeterminado? En caso afirmativo, indica cules. Justifica tu respuesta.

(Cantabria. Junio 2004. Bloque 1. Opcin B)

a)-

=1 1 10 4 31 2 0

5

A A Ax y z= = - =-

= =-1 1 1

2 4 31 2 0

31 1 10 2 31 1 0

41 1 100 4 21 2 1

2

3

5

4

5

= -

= = - = = =x AA

yA

Az

A

Ax y z

= - 25

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167

3SolucioNario

Comprobamos con la ltima ecuacin: - + + -

=

3

53

4

52

2

51

Por tanto, la solucin es: x y z= - = = -35

4

5

2

5, ,

b) A a

a

A=

-

1 1 10 41 2 01 2

* ==

-

1 1 1 10 4 21 2 0 11 2 1

a

a

--= -

-= -

=

1 1 10 41 2 0

3 41 1 11 2 01 2

8a aa

a

ARango ( ) 3 parra cualquier valor de a

-

=

-

+

= -

1 1 1 10 4 21 2 0 11 2 1

1 1 1 10 4 20 3 1 20 1 3 2

4 23

a

a

a

a

a11 2

1 3 26 2 2

+= -

aa a

Si a R - {0, 3} Rango (A*) = 4 Rango (A) = 3 Sistema incompatible

Si a = 0 o a = 3 Rango (A*) = Rango (A) = 3 Sistema compatible determinado

Por tanto no hay valores para los que el sistema sea compatible indeterminado.

063 clasificar el siguiente sistema segn los distintos valores de los parmetros a y b.

x y z bx y

x ay z

- - =- + =

+ + =-

22 2

(Murcia. Junio 2008. Bloque 1. Cuestin B)

Aa

Ab

=- -

-

=

- --

1 1 11 1 01 2

1 1 1* 11 1 0 2

1 2 2

1 1 11 1 01

a

A

-

=- -

- aa

ab

b2

11 11 0 21 2 2

2 4= +-

--

= - -

Si a -1 y para cualquier valor de b: Rango (A) = Rango (A*) = 3 = n.o de incgnitas Sistema compatible determinado

Si a = -1 y b -2 1 11 0

1 0-

- = - Rango (A) = 2 Rango (A*) = 3 Sistema incompatible

Si a = -1 y b = -2 1 11 0

1 0-

- = - Rango (A) = Rango (A*) = 2


Estudie, segn los valores del parmetro a, el sistema de ecuaciones lineales siguiente:

(Murcia. Junio 2006. Bloque 1. Cuestin A)


Si a = -6 Rango (A) = 2 Rango (A*) = 3 Sistema incompatible Si a = 0 Rango (A) = Rango (A*) = 2 < n.o de incgnitas


a) El siguiente sistema es compatible y determinado.

calcula su solucin.

b) considera ahora el sistema:

Es posible encontrar valores para a tales que el sistema sea incompatible?

En caso afirmativo, indica cules. Justifica tu respuesta. Es posible encontrar valores para a tales que el sistema s

tema 3 (sistemas de equaciones lineales) solucionario algebra y geometria

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