geometria plana
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Encontrarás la parte teórica y ejercicios para resolverTRANSCRIPT
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GEOMETRÍA PLANA
CAPITULO 1
* Términos no definidos de la geometría: punto, línea y plano
* Segmentos de recta, punto medio, segmentos congruentes
* Ángulos, unidad de medida: grados, minutos y segundos
* Clasificación de los ángulos: nulo, agudo, recto, obtuso, llano, entrante,
perigonal
* Parejas de ángulos: adyacentes, opuestos por el vértice, complementarios,
suplementarios, conjugados y congruentes
* Rectas perpendiculares, mediatriz de un segmento y bisectriz de un ángulo
* Polígono, triángulos, clasificación de los triángulos de acuerdo a las medidas de
sus lados: escaleno, isósceles y equilátero
* Clasificación de los triángulos de acuerdo a las medidas de sus ángulos:
rectángulo, obtusángulo, acutángulo y equiángulo
* Rectas especiales de un triángulo: mediana, mediatriz, bisectriz y altura
* Puntos donde se unen las rectas: baricentro, circuncentro, incentro y ortocentro
* Recta de Euler
CAPITULO 2
* Razonamiento deductivo e inductivo
* Razonamiento indirecto
* Axiomas y postulados
* Teorema, partes de un teorema: hipótesis, tesis y demostración; corolario
* Determinación sujeto- predicado y si....., entonces
CAPITULO 3
* Triángulos congruentes
* Postulados de congruencia: LAL, ALA, LLL
* Principios relativos a triángulos isósceles y equiláteros
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Se denomina ángulo en el plano a la porción de plano comprendida entre dos semirrectas
con un origen común denominado vértice. Otra concepción de ángulo dice que éste es la
figura formada por dos rayos con origen común. Con cualquiera de estos dos conceptos,
un ángulo determina una superficie abierta (subconjunto abierto de puntos del plano), al
estar definido por dos semirrectas, la medida de ángulos es la medida de la abertura de
estas semirrectas, que se denomina medida del ángulo
Clasificación de ángulos planos
Ángulo agudo: Es el ángulo formado por la unión de dos líneas rectas en una abertura
mayor de 0º y menor de 90º. A la unión se le llamo vértice punto de inicio o de encuentro
Ángulo recto: Un ángulo recto es igual a 90º
Los dos lados de un ángulo recto son perpendiculares entre sí, la proyección ortogonal de uno sobre otro es un punto, que coincide con su punto de intersección.
Ángulo obtuso: Un ángulo obtuso es superior a 90º e inferior a 180º.
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Ángulo llano
Un ángulo llano o plano es igual a 180º
En un ángulo llano los dos lados están alineados uno a continuación de otro dividiendo el plano en dos semiplanos.
Ángulo Cóncavo
Es el ángulo que mide más de 180º y menos de 360°
Ángulo perigonal o completo
Un ángulo perigonal es igual a 360º
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Dos ángulos son complementarios cuando la suma de sus valores es un ángulo recto, es decir, 90 grados sexagesimales.
ejemplo: Para sacar el ángulo complementario de 50° se le resta a 90° los 50° y se obtiene 40º
Ángulos suplementarios son aquellos cuya suma de sus grados es igual a 180º.
Si conocemos un ángulo, su ángulo suplementario se puede averiguar restando sus grados a 180.Ejemplo: ¿Cuál es el ángulo suplementario de 143º?
Solución: 180º - 143º = 37º; un ángulo de 37 grados.
Si dos ángulos son suplementarios de otros dos ángulos congruentes, son congruentes entre sí mismos
Dos ángulos se dicen opuestos por el vértice cuando los lados de uno son semirrectas opuestas a los lados del otro.
Dos ángulos son adyacentes cuando tienen el mismo vértice y un lado en común
α y β son adyacentes
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TRIÁNGULO
Es un polígono de tres lados, es decir, una porción de plano limitada por tres segmentos
unidos, dos a dos, por sus extremos. Los tres segmentos que limitan el triángulo se
denominan lados, y los extremos de los lados, vértices.
En un triángulo se consideran dos tipos de ángulos: interior (formado por dos lados) y
exterior (formado por un lado y la prolongación de otro).
C L A S I F I C A C I Ó N D E L O S T R I Á N G U L O S
Según sus lados
Isósceles (Por lo menos dos lados iguales)
Escalenos (tres lados diferentes)
Equiláteros ( tres lados iguales)
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Según sus ángulos
Rectángulos (un ángulo recto)
Acutángulos (tres ángulos agudos)
Obtusángulos (un ángulo obtuso
ELEMENTOS NOTABLES DE UN TRIÁNGULO
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Bisectriz es la semirrecta que divide a un ángulo en dos partes iguales.
Incentro es el punto de intersección de las tres bisectrices de un triángulo. Es el centro de la circunferencia inscrita.
Mediatriz de un segmento es la recta perpendicular al mismo en su punto medio.
Circuncentro es el punto de intersección de las tres mediatrices de un triángulo. Es el centro de la circunferencia circunscrita.
Altura es el segmento perpendicular comprendido entre un vértice y el lado opuesto.
Ortocentro es el punto de intersección de las tres alturas de un triángulo.
Mediana es el segmento comprendido entre un vértice y el punto medio del lado opuesto.
Baricentro es el punto de intersección de las tres medianas de un triángulo.
El ortocentro, el circuncentro y el baricentro de un triángulo son colineales. La recta
que los contiene se llama la recta de Euler en honor al matemático suizo Leonhard
Euler quien descubrió este hecho a mediados del siglo XVIII.
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En un triángulo se consideran dos tipos de ángulos: interior (formado por dos lados) y
exterior (formado por un lado y la prolongación de otro).
Consideraciones:
En todo triángulo, la suma de los ángulos interiores es igual a 180º.
En todo triángulo, a mayor lado se opone mayor ángulo.
En todo triángulo, un ángulo exterior es igual a la suma de los dos ángulos
interiores no adyacentes.
En todo triángulo, un lado es menor que la suma de los otros dos y mayor que
su diferencia
Un triángulo tiene dos lados iguales si y solo si sus ángulos opuestos también
son iguales
Dos triángulos son iguales cuando tienen iguales un lado y sus dos ángulos
adyacentes.
Dos triángulos son iguales cuando tienen dos lados iguales y el ángulo
comprendidos.
Dos triángulos son iguales cuando tienen los tres lados iguales.
Condiciones de Congruencia
Para que se de la congruencia de 2 o más triángulos deben tener:
Lados Iguales: Con lados iguales se refiere a que absolutamente los 3
lados del triángulo sin excepción tengan exactamente la misma medida o valores
expresados en números.
Ángulos Iguales: Con ángulos iguales se refiere a ángulos de la misma
medida y que a la vez se oponen a los mismos lados en ambos triángulos.
Como ejemplo: Si el ángulo de 30º se opone al lado de N cm en el triángulo I
entonces en el otro triángulo, el ángulo de 30º debe oponerse a un lado de N cm.
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Las figuras congruentes son aquellas que tienen la misma forma y el mismo tamaño. Las
partes coincidentes de las figuras congruentes se llaman HOMOLOGAS o
correspondientes
Criterios de Congruencia de triángulos
Dos triángulos son congruentes cuando sus tres lados y ángulos también lo son; sin
embargo puede demostrarse la congruencia de dos triángulos si se sabe que algunas de
sus partes correspondientes son HOMOLOGAS.
Las condiciones mínimas que deben cumplir dos triángulos para que sean congruentes se
denominan CRITERIOS DE CONGRUENCIA los cuales son:
1. Criterio LLL: si en dos triángulos los tres lados de uno son respectivamente
congruentes con los de otro entonces los triángulos son congruente.
2. Criterio LAL: Si los lados que forman a un ángulo, y éste, son congruentes con dos
lados y el ángulo comprendido por estos de otro triángulo, entonces los triángulos son
congruentes.
3. Criterio ALA: Si dos ángulos y el lado entre ellos son respectivamente congruentes
con dos ángulos y el lado entre ellos de otro triangulo, entonces los triángulos son
congruentes
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1. En la siguiente figura :
a) Identifica dos pares de líneas perpendiculares
R = ____________________________________________________
b) Si 392 hallar la medida del BCD
R = ____________________________________________________
c) Si 781 hallar la medida del BAD , CAE , 2
R = ____________________________________________________
2. En la siguiente figura :
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a) Si 854 y 453 hallar la medida del ADC
R = ____________________________________________________
b) Si 605 hallar la medida del AEB
R = ____________________________________________________
c) Si 151 hallar la medida del EBD
R = ____________________________________________________
d) Si 422 hallar la medida del ABC
R = ____________________________________________________
3. En las siguientes figuras:
Fig A. Menciona dos parejas de ángulos suplementarios
Fig B. Menciona dos parejas de ángulos complementarios
FIGURA A FIGURA B
____________________________ _______________________________
____________________________ _______________________________
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4. Hallar la medida de cada uno de los ángulos de las siguientes figuras
AOB ________________ AOB _________________
BOC ________________ BOC _________________
AOB ________________ AOB _________________
BOC ________________ BOC ________________
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5. Identifica las parejas de ángulos de las siguientes figuras
FIGURA C FIGURA D
AOB y DOB 5 y 4
_________________________________ ___________________________
5 y 3 1 y 4
_________________________________ __________________________
3 y 4 3 y 2
_________________________________ __________________________
6. Hallar le medida del menor de los ángulos formado por las manecillas del reloj al
marcar las:
4 : 40 R = 5 : 20 R =
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6 :30 R = 9 : 15 R =
7. Hallar la medida del ángulo menor formado por las manecillas del reloj al marcar las:
a) las 3 : 00 R = _________________
b) las 10 : 00 R = _________________
c) las 5 : 30 R = _________________
d) las 11: 30 R = _________________
e) las 7 : 20 R = _________________
f) las 8 : 40 R = _________________
g) las 6 : 15 R = _________________
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8. Hallar el complemento, suplemento y conjugado de los siguientes ángulos:
ÁNGULO COMPLEMENTO SUPLEMENTO CONJUGADO
48°
72° 28'
23° 47' 39"
45° 53' 12"
36° 25'
ÁNGULOS COMPLEMENTO SUPLEMENTO CONJUGADO
70º
53º
25º
45º 25’
25º 38’ 42”
17º 38’
61º 15’ 43”
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9. En la figura siguiente indica la relación entre las siguientes parejas de ángulos
5 y 4 _________________________________
1 y 4 _________________________________
3 y 4 _________________________________
1 y 2 _________________________________
3 y 2 _________________________________
3 y 1 _________________________________
5 y AOD _________________________________
10. Hallar la medida de dos ángulos que son:
A) complementarios. Uno mide 40° menos que el otro
R = _____________
B) complementarios. Uno mide el cuádruplo del otro
R = _____________
C) suplementarios. Uno mide la mitad del otro
R = _____________
D) suplementarios. Uno mide 58° más que el otro
R = _____________
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E) suplementarios. El mayor es 20° más chico que el triple del menor
R = _____________
F) adyacentes y forman un ángulo de 140°. El menor es 28° más chico que el
menor
R = _____________
G) suplementarios y opuestos por el vértice
R = _____________
H) adyacentes y forman un ángulo de 75°. La diferencia entre ellos es de 21°
R = _____________
I) complementarios. Uno mide 10° menos que el triple del otro
R = _____________
J) suplementarios. Uno mide 20° más que el cuádruplo del otro
R = _____________
K) adyacentes y forman un ángulo de 88°. La diferencia entre ellos es de 36°
R = _____________
L) complementarios. Uno es el doble del otro
R = _____________
M) suplementarios. Uno mide 60° menos que el doble del otro
R = _____________
N) los ángulos de un triángulo cuyo tercer ángulo mide 40° y la diferencia entre ellos es
de 24°
R = _____________
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CAPÍTULO 2
El razonamiento deductivo permite obtener conclusiones verdaderas a partir de
proposiciones que también lo son o que son aceptadas como tales. El método consiste
en:
1 Se enuncia una proposición general referente a todo un conjunto o clase de objetos; por
ejemplo, los perros: Todos los perros son cuadrúpedos
2 Se enuncia una proposición particular sobre alguno de los miembros del conjunto o
clase a los que hace referencia la proposición general: Todos los galgos son perros
3 Se realiza una inferencia de una deducción que sea consecuencia lógica de la
aplicación de la proposición general sobre la particular: Todos los galgos son
cuadrúpedos
Al razonamiento deductivo se le conoce como razonamiento silogístico ya que las tres
proposiciones forman un silogismo. En un silogismo, la proposición general se le llama
premisa mayor, la proposición particular es la premisa menor, mientras que la deducción
es la conclusión.
En geometría plana, la observación, la medida y la experimentación no se aceptan como
pruebas para una demostración ya que las tres proporcionas errores ya sea por defectos
visuales, mediciones inexactas o por las diferentes circunstancias o situaciones
particulares.
PROPOSICIONES
Axioma es un enunciado rtan evidente que para ser aceptado no necesita ser
demostrado; en geometría podemos considerar como axiomas a los principios algebraicos
que son generales para cualquier área. Ejemplo: Toda cantidad puede sustituirse por su
igual
Postulado es un enunciado menos evidente que el axioma pero al igual que el axioma, se
acepta sin demostración. Como existe un hilo muy delgado entre lo“muy evidente” y lo
“menos evidente”, por postulado consideramos los principios particulares de la asignatura
de geometría. Ejemplo: Entre dos puntos cualesquiera en el plano solamente se puede
trazar una y solo una línea recta
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Un teorema es una proposición, supuestamente verdadera, la cual para ser aceptada
necesita ser demostrada; al ser demostrada puede utilizarse para obtener otros
resultados.
Corolario es una proposición o consecuencia inmediata que surge de un teorema y que
requiere poco o ningún conocimiento nuevo para ser demostrado
Las partes de un teorema son la hipótesis y la tesis. La hipótesis son los datos del
teorema, son los hechos conocidos; la tesis es lo que se quiere demostrar, es a donde se
quiere llegar, es la conclusión del teorema. El proceso para llegar de la hipótesis a la tesis
es la demostración la cual consta de pasos y justificaciones
Las proposiciones” Un metal al calentarse se expande” y “Si un metal se calienta
entonces se expande” son dos maneras distintas de expresar la misma idea, En un
teorema existen dos maneras diferentes para identificar la hipótesis y la tesis; una es de la
forma “sujeto-predicado” y la otra de la manera “si-entonces”. En ambas, la primera es la
hipótesis y la segunda es la tesis.
RECÍPROCA DE UNA PROPOSICIÓN
La recíproca de una proposición se forma mediante el intercambio de la hipótesis por la
conclusión; es decir para encontrar la recíproca se intercambia el sujeto por el predicado o
la proposiciones si y entonces. Por consiguiente, la recíproca de la proposición “Los
triángulos son polígonos“ es “Los polígonos son triángulos”: La recíproca de la proposición
“Si un metal se calienta entonces se expande” es “Si un metal se expande entonces se
está calentando” , Nótese que si una proposición es verdadera, no necesariamente la
recíproca lo será.
Complementar esta información en el capítulo 14, páginas 281 a 289 del libro de
Geometría Plana de Barnett Richh, editorial Mc Graw Hill, serie de compendio
“schaum”, segunda edición, 1991
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Resuelve correctamente el siguiente crucigrama
PROPOSICIONES (CONCEPTOS)
1 2
3
4 5
6
7
8
Horizontales:
1. va de lo general a lo particular
4. proposición que para aceptarse
necesita ser demostrada
7. son los datos o hechos
8. proposición particular que se
acepta sin demostración
Verticales:
2. consecuencia inmediata de
un teorema
3. va de lo particular a lo general
5. proposición general que se
acepta sin demostración
6. es la conclusión de un
teorema
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1. Subraya con color rojo la hipótesis y con azul la conclusión de cada proposición.
a. Las estrellas centellean.
b. Los aviones de propulsión a chorro son los más rápidos.
c. El agua hierve a 212º Fahrenheit.
d. Si es la bandera americana, sus colores son rojo, azul y blanco.
e Usted no aprenderá geometría si no hace la tarea sobre el tema.
f. Un bateador va a la primera base si el árbitro marca la cuarta bola mala.
g. Si A es el hermano de B y C es el hijo de B, entonces A es el tío de C.
h. Una bisectriz divide el ángulo en dos partes iguales.
i. Un segmento está trisecado si está divide en tres partes congruentes.
j. Un pentágono tiene cinco lados y cinco ángulos.
k. Algunos rectángulos son cuadrados.
l. Los ángulos no se hacen más grandes si sus lados se hacen más largos.
m. Los ángulos que son congruentes y suplementarios, son ángulos rectos.
n. La figura no es polígono si uno de sus lados no es un segmento de línea recta
ñ. Las rectas perpendiculares forman ángulos rectos
o. Los complementos del mismo ángulo son congruentes
p. Un triángulo equilátero es equiángulo
q. Un triángulo no es un cuadrilátero
r. Un extranjero no tiene derecho al voto
s. Si un estudiante desea aprobar, debe estudiar con regularidad
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2. Exprésese el recíproco de cada una de las siguientes proposiciones y establézcanse si
el resultado es necesariamente verdadero.
a) La mitad de un ángulo recto es ángulo agudo.
______________________________________________________________( )
b) Un triángulo obtuso es un triángulo con ángulo obtuso
_____________________________________________________________( )
c) Si el árbitro marco el tercer strike, entonces el bateador está fuera de juego.
_____________________________________________________________( )
d) Si soy más alto que tú, entonces eres más corto que yo.
_____________________________________________________________( )
e) Si soy más pesado que tú, entonces nuestros pesos son distintos.
_____________________________________________________________( )
f) Un triángulo no es un cuadrilátero
______________________________________________________________( )
g) Un triángulo equilátero es equiángulo
_____________________________________________________________( )
h) Los aviones de propulsión a chorro son los más rápidos
_____________________________________________________________( )
i) Si un estudiante desea aprobar , debe estudiar con regularidad
______________________________________________________________( )
j) Una bisectriz divide el ángulo en dos partes iguales
______________________________________________________________( )
k) Algunos rectángulos son cuadrados
_______________________________________________________________( )
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CAPÍTULO 3
Resuelve correctamente el siguiente crucigrama
TRIÁNGULOS
1 2 3
4
5 6
7
8
9
10
Horizontales:
1. Tiene un ángulo obtuso
4. Punto donde se unen la mediatrices de
un triángulo
5. Tiene un ángulo recto
8. Punto donde se unen la alturas de un
triángulo
9. Tiene 3 lados diferentes
10
.
Tiene 3 lados iguales
Verticales:
2
.
Punto donde se unen la medianas de
un triángulo
3
.
Tiene 3 ángulos agudos
6
.
Tiene por lo menos 2 lados iguales
7
.
Punto donde se unen la bisectrices de
un triángulo
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Resuelve correctamente el siguiente crucigrama
CONCEPTOS BÁSICOS SOBRE TRIÁNGULOS
1
2 3 4 5
6 7
8
9
10
11 12
13
14
15
16
27
HORIZONTALES:
6. figura plana limitada por rectas
8. concepto geométrico que tiene una
dimensión
9. punto donde se unen las bisectrices de
un triángulo
11. recta en donde son colineales el
baricentro, el circuncentro y el
ortocentro
13. recta que es perpendicular a un
segmento de recta por su punto medio
14. polígono formado por tres segmentos
de recta
15. concepto geométrico que tiene dos
dimensiones
16. rectas que al unirse forman ángulos de
90º
VERTICALES:
1. punto donde se unen las medianas de
un triángulo
2. punto donde se unen las mediatrices de
un triángulo
3. punto donde se unen las alturas de un
triángulo
4. recta que se traza desde un vértice en
forma perpendicular al lado opuesto
5. es la abertura entre dos rectas que se
unen en punto llamado vértice
6. concepto geométrico que no tiene
dimensiones
7. recta que divide a un ángulo en dos
partes iguales
10. recta que se traza desde un vértice
hasta el punto medio del lado opuesto
12. rectas de un plano que nunca llegan a
unirse
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1. Identifica cada uno de los siguientes triángulos de acuerdo a la medida de sus ángulos
y a la medida de sus lados. Observa bien cada figura
___________________________ ________________________________
__________________________ ________________________________
___________________________ ________________________________
__________________________ ________________________________
29
___________________________ ________________________________
__________________________ ________________________________
___________________________ ________________________________
__________________________ ________________________________
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2. En la siguiente figura identifica tres triángulos rectángulos y la hipotenusa y los
catetos de cada uno
R1 =_______________________________________________________
R2 =_______________________________________________________
R3 =_______________________________________________________
3. En la siguiente figura identifica dos triángulos obtusángulos y dos triángulos
isósceles
4. En la siguiente figura identifica los segmentos de recta y los ángulos
congruentes si :
d) Si PR es mediatriz de AB R = _____________
e) Si BF es bisectriz del ABC R = _____________
f) Si CG es altura de AD R = _____________
g) Si EM es mediana de AD R = _____________
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5. En la siguiente figura identifica los segmentos de recta y los ángulos
congruentes si :
a) Si LK es mediatriz de AD R = _____________
b) Si CG es bisectriz del ACB R = _____________
c) Si AE es altura de BD R = _____________
d) Si FD es mediana de AC R = _____________
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6. En la siguiente figura identifica los segmentos de recta trazados y escribe su
nombre sobre la línea que corresponda de acuerdo a las condiciones que se te dan a
continuación:
P es punto medio de AC ; Q es punto medio de AB
PR AC ; CE AB ; ABC
ABC
PR ________________________________________
AD ________________________________________
CQ ________________________________________
CE ________________________________________
7. Completa correctamente los enunciados siguientes:
Punto donde se unen las medianas de un triángulo :___________________
Punto donde se unen las mediatrices de un triángulo: _________________
Punto donde se unen las bisectrices de un triángulo: __________________
Punto donde se unen las alturas de un triángulo: __________________
Puntos que colineales que forman la recta de EULER
____________________________________________________________
33
8. En las siguientes figuras identifica los segmentos de recta y los ángulos
congruentes de acuerdo a las condiciones que se te dan en cada una de ellas:
Figura a Figura b
Figura c Figura d
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CONGRUENCIA DE TRIÁNGULOS 1. Hallar el valor de cada una de las variables X y Y en las siguientes figuras
X = X = Y = Y =
X = X = Y = Y =
35
En cada uno de las siguientes figuras, demuestra que el 1 es congruentes con el 2. Exprese el principio de congruencia.
D1) Datos: 1 2 G es punto medio de BF.
Demostrar: I II.
36
D2) Dados: AB BE
EF BE
BC DE
AB EF
Demostrar: I II.
37
D3) Datos: AB AC AD es mediana de BC
Demostrar: I II.
38
D4) Datos: BC CE
AC CD
AC CD
BC CE
Demostrar: I II.
39
D5) Datos: EAB EAC
AD BC
Demostrar : I II.
40
D6) Datos: BE AD
CF AD
BE CF AD es trisectado
Demostrar: I II.
41
D7) Datos: AD AC
BC AC BD bisecta a AC
Demostrar: I II.
42
D8) Datos: AD y BE bisectores uno del otro
Demostrar: I II.
43
1. Resuelve las siguientes figuras
44
45
46
47
CONCEPTOS POR ESTUDIAR:
CAPITULO 4 * Rectas paralelas
* Secante o transversal
* Ángulos internos
* Ángulos externos
* Ángulos colaterales
* Ángulos alternos internos
* Ángulos alternos externos
* Ángulos correspondientes
* Ángulos colaterales internos
* Ángulos colaterales externos
* Polígonos: Definición, Clasificación, Polígonos regulares
* Ángulos internos y ángulos externos de los polígonos regulares
* Diagonal
* Cálculo del número de diagonales de un polígono
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ÁNGULOS FORMADOS POR DOS RECTAS Y UNA SECANTE Si intersectamos dos rectas con una secante, se forman de manera natural ocho ángulos, cuatro en cada punto de intersección.
Se la llama secante a la línea transversal que corta a dos o más rectas. Dos rectas paralelas cortadas por una secante forman ocho ángulos que se designan como sigue: ANGULOS EXTERNOS: ángulos situados fuera de la banda comprendida entre las rectas paralelas. ANGULOS INTERNOS: ángulos situados en la banda comprendida entre las rectas paralelas
ANGULOS ALTERNOS INTERNOS: pares de ángulos internos no adyacentes 3-5 y 4-6.
ANGULOS ALTERNOS EXTERNOS: pares de ángulos externos no adyacentes localizados en distinto semiplano respecto a la secante. 1-7 y 2-8.
ANGULOS COLATERALES INTERNOS: pares de ángulos internos localizados en un mismo semiplano con respecto a la secante. 4-5 y 3-6
ANGULOS CONJUGADOS EXTERNOS: pares de ángulos externos situados en un mismo semiplano respecto a la secante. 1-8 y 2-7
.En el caso de rectas paralelas cortadas por una secante, se verifica que los ángulos correspondientes son de igual medida, al igual que los ángulos alternos internos y alternos externos. En resumen, para el caso de rectas paralelas cortadas por una secante los ángulos 1-3-5-7 son iguales entre si, del mismo modo que los ángulos 2-4-6-8. Relaciona colocando dentro del paréntesis la letra de la respuesta correcta
49
( ) Ángulo correspondiente al 2
( ) Ángulo alterno interno al 5
( ) Ángulo alterno externo al 1
( ) Ángulo opuesto por el vértice al 8
( ) Ángulo colateral interno al 5
( ) Ángulo colateral externo al 2
( ) Ángulo correspondiente al 5
( ) Ángulo alterno interno al 6
( ) Ángulo alterno externo al 8
( ) Ángulo opuesto por el vértice al 2
( ) Ángulo colateral interno al 3
( ) Ángulo colateral externo al 1
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Relaciona colocando dentro del paréntesis la letra de la respuesta correcta
A) Alternos Internos B) Alternos Externos C) Correspondientes D) Colaterales Internos E) Colaterales Externos F) Opuestos por el vértice
( ) Áng 4 y Áng 6 ( ) Áng 1 y Áng 3 ( ) Áng 7 y Áng 3 ( ) Áng 4 y Áng 5 ( ) Áng 3 y Áng 5 ( ) Áng 1 y Áng 7 ( ) Áng 8 y Áng 2 ( ) Áng 2 y Áng 7 ( ) Áng 1 y Áng 2 ( ) Áng 2 y Áng 8 ( ) Áng 6 y Áng 8 ( ) Áng 5 y Áng 7
51
Resuelve correctamente las siguientes figuras
52
53
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PROBLEMAS
1. Si dos líneas paralelas son cortadas por una transversal, halle:
a) Dos ángulos alternos internos representado por 3x y 5x – 10.
b) Dos ángulos correspondientes por 2x + 10 y 4x – 50.
c) Dos ángulos internos del mismo lado de la transversal y representados por 2x y 3x.
Calcúlese la medida de cada ángulo.
a) De un triángulo, si las medidas de sus ángulos están en la proporción 1:3:6.
b) De un triángulo rectángulo, si las medidas de sus ángulos agudos en la proporción 4:5.
c) De un triángulo isósceles, si la razón entre las medidas su ángulo base al ángulo de su
vértice es de 1:3.
d) De un cuadrilátero si las medidas de sus ángulos están en la proporción 1:2:3:4.
e) De un triángulo, uno de cuyos ángulos mide 55º mientras que las medidas de los otros
dos están en proporción 2:3.
f) De un triángulo, si la razón entre las medidas de sus ángulos internos es de 2:3.
2. Demuéstrese que un triángulo es:
a) Equilátero si sus ángulos se representan como x + 15, 3x – 75 y 2x + 27.
b) Isósceles si sus ángulos se representan como x + 15, 3x – 35 y 4x.
c) Rectángulo si las medidas de sus ángulos están en la proporción 2:3:5.
d) Un triángulo obtuso si uno de sus ángulos mide 64º y el más grande de los otros mide
que cinco veces la medida del más pequeño.
55
CONCEPTOS POR ESTUDIAR:
CAPÍTULO 5
* Cuadriláteros
* Paralelogramos
* Rectángulos
* Rombos
* Cuadrados
* Trapecios (clasificación)
* Trapezoides
* Propiedades de los paralelogramos, rombos, rectángulos y cuadrados
* Propiedades de las diagonales de los paralelogramos, rombos, rectángulos y
cuadrados
56
........
RECTÁNGULOS
PARALELOGRAMOS ROMBOS
CUADRADOS
ISÓSCELESCUADRILÁTEROS TRAPECIOS
ESCALENO RECTÁNGULOS
TRAPEZOIDES
57
CUADRILÁTEROS
Trapecio rectángulo
Tiene un ángulo recto.
Trapecio isósceles
Tiene dos lados no paralelos
iguales
Trapecio escaleno
No tiene ningún lado igual
ni ángulo recto.
Trapezoides
No tiene lados paralelos
58
Los cuadriláteros son cualquier polígono que posea 4 lados. Los podemos
encontrar hasta en los juegos, como en el ajedrez y las damas que se juegan
sobre tableros cuadrados divididos en cuadrados menores
Algunos cuadriláteros tienen nombres específicos:
DIAGONAL: es un segmento que une a dos vértices de un polígono sin ser de
sus lados. Las diagonales te ayudarán a sumar medidas de ángulos.
Al trazar una diagonal en la figura, se forman 2
triángulos ¿Qué pasa si trazas 2 diagonales? Inténtalo.
Los ángulos de un cuadrilátero suman SIEMPRE 360º
59
Un cuadrilátero es un polígono que tiene cuatro lados. Los cuadriláteros tienen distintas
formas pero todos ellos tienen cuatro vértices y dos diagonales. En todos los cuadriláteros
la suma de los ángulos interiores es igual a 360º.
Los cuadriláteros se clasifican según el paralelismo de sus lados.
Los paralelogramos son cuadriláteros cuyos lados opuestos son paralelos dos a dos.
Además, todos los paralelogramos verifican las siguientes propiedades:
Los lados opuestos tienen la misma longitud.
Los ángulos opuestos son iguales.
Las diagonales se cortan en su punto medio.
Los trapecios son cuadriláteros que tienen sólo dos lados opuestos paralelos.
Los trapezoides son cuadriláteros cuyos lados no son paralelos
Los paralelogramos se dividen en tres clases:
Los rectángulos, que tienen los cuatro ángulos iguales.
Los rombos, que tienen los cuatro lados iguales.
Los cuadrados, que tienen los cuatro ángulos iguales y los cuatro lados iguales.
Los paralelogramos propiamente dicho, es decir, aquéllos que no son rectángulos,
ni rombos, ni cuadrados también se llaman romboides
Los trapecios son cuadriláteros que tienen dos lados paralelos, de distinta longitud. Los
otros dos lados no son paralelos.
Hay tres tipos de trapecios:
Los trapecios rectángulos que tienen dos ángulos rectos, de 90º.
Los trapecios isósceles, cuyos lados no paralelos tienen la misma longitud.
Los trapecios escalenos, que son todos los demás
60
Un trapecio es un cuadrilátero que tiene dos lados paralelos y los otros dos no
paralelos. Los lados paralelos se llaman bases del trapecio y la distancia entre ellos
se llama altura.
El área A de un trapecio de bases a y b y altura h es:
ó
Los trapecios pueden ser: rectángulo, isósceles y escaleno.
Si un trapecio tiene dos lados iguales se llama isósceles. Y si tiene dos ángulos
rectos se llama rectángulo. El escaleno, que es el que tiene desiguales los lados no
paralelos.
Propiedades de un Trapecio
1ra. La mediana de un trapecio es igual a la semisuma de sus bases.
2da. En todo el trapecio, el segmento de recta que une los puntos medios de las
diagonales, es igual a la semidiferencia de las bases.
3ra. Los ángulos adyacentes a una misma base de un trapecio isósceles son iguales
y los ángulos opuestos son suplementarios.
4ta. Las diagonales de un trapecio isósceles son iguales
Propiedades de las diagonales
Paralelogramos Rectángulos Rombos Cuadrados
Se bisecan entre sí
Son congruentes
Son perpendiculares
Bisecan los ángulos del vértice
Forman 2 pares de triángulos
congruentes
Forman 4 triángulos congruentes
61
Definiciones
Paralelogramo: cuadrilátero que tiene sus lados opuestos paralelos
Rombo: paralelogramo que tiene sus 4 lados iguales
Rectángulo: paralelogramo que tiene sus 4 ángulos iguales
Cuadrado: paralelogramo que tiene sus 4 lados iguales y sus 4 ángulos iguales
Propiedades de los Paralelogramos
1ra. Propiedad.- En todo paralelogramo los lados opuestos son paralelos.
2da. Propiedad.- En todo paralelogramo los lados opuestos son iguales.
3ra. Propiedad.- En todo paralelogramo los ángulos opuestos son iguales
4ta. Propiedad.- En todo paralelogramo los ángulos adyacentes a un mismo lado son
suplementarios
5ta. Propiedad.- La diagonal de un paralelogramo lo divide en 2 triángulos congruentes
6ta.Propiedad.- En todo paralelogramo las diagonales se bisecan mutuamente
7ta. Propiedad.- Las diagonales del rectángulo son iguales.
8ta. Propiedad.- Las diagonales del rombo son mediatrices entre sí y bisectrices de sus
ángulos.
9ta. Propiedad.- Las diagonales de un cuadrado son iguales, mediatrices entre sí y
bisectrices de sus ángulos.
62
Cuadriláteros
Resuelve correctamente el siguiente crucigrama
1
2
3
4
5
6
7
Horizontales:
1. Paralelogramos de lados iguales y ángulos iguales
3. Cuadriláteros que tienen lados opuestos paralelos
4. Cuadriláteros que no tienen lados paralelos
5. Cuadriláteros que tienen dos lados opuestos paralelos
6. Paralelogramos que tienen ángulos iguales
7. Figura plana limitada por rectas
Verticales:
1. Polígonos limitados por 4 rectas
2. Paralelogramos que tienen lados iguales
63
PRINCIPIOS SOBRE MEDIANAS Y PUNTOS MEDIOS
1) Si tres o más paralelas cortan segmentos congruentes de una transversal, entonces
cortan segmentos congruentes de cualquier otra línea transversal (fig.1)
2) La mediana de un trapecio es paralela a sus bases y su longitud es igual a la mitad de
la suma de ellas. Se traza uniendo los puntos medios de los lados no paralelos (fig. 2)
3) La recta m que une los puntos medios de dos lados de un triángulo es paralela al
tercer lado L. La recta m mide la mitad del lado L. Si desde el punto medio de uno de los
lados se traza una paralela (m) al tercer lado (L), está coincide con el punto medio del
otro lado (fig. 3)
4) La longitud de la mediana correspondiente a la hipotenusa de un triángulo rectángulo
mide la mitad de la hipotenusa (fig. 4)
5) Las medianas de un triángulo se unen en el baricentro que se encuentra a dos tercios
de la distancia que hay desde cualquier vértice al punto medio del lado opuesto (fig.5)
64
Resuelve correctamente las siguientes figuras
X = Y = X = Y =
X = Y = X = Y =
X = Y = X = Y =
65
X = Y = X = Y =
X = Y = X = Y =
X = Y = X = Y =
66
X = Y = X = Y =
X = Y = X = Y =
X = Y = X = Y =
67
X = Y = X = Y =
X = Y = X = Y =
X = Y = X = Y =
68
X = Y = X = Y =
X = Y = X = Y =
X = Y = X = Y =
69
X = Y = X = Y =
X = Y = X = Y =
X = Y = X = Y =
70
Resuelve los siguientes problemas
1) Calcular la longitud de la mediana a la hipotenusa si está mide 42 cm.
2) Calcular la longitud de la hipotenusa si la medida de su mediana es de 36 cm.
3) Calcular la longitud de la mediana a la hipotenusa si está mide 24 cm.
4) Calcular la longitud de la hipotenusa si la medida de su mediana es de 25 cm
5) Calcular la longitud de la mediana de un triángulo cuyo segmento más corto mide 7
6) Calcular la longitud de la mediana cuyo segmento más largo mide 20 cm.
7) Calcular la longitud del segmento más corto de la mediana de un triángulo que mide 42
cm.
8) Calcular la longitud del segmento más largo de la mediana si está mide 39 cm
9) Calcular la longitud del segmento más corto de la mediana a la hipotenusa si está
mide 54 cm.
10) Calcular la longitud del segmento más largo de la mediana a la hipotenusa si está
mide 48 cm
11) Calcular la longitud de la hipotenusa si el segmento más corto de su mediana mide 6
cm.
12) Calcular la longitud de la hipotenusa si el segmento más largo de su mediana mide 20
cm
13) Encontrar la medida de la paralela media de un trapecio si las bases miden 23 cm y
33 cm
14) Encontrar la medida de la paralela media de un trapecio si las bases miden 12 cm y
30 cm
15) Encontrar la medida de la base menor de un trapecio si la base mayor mide 12 cm y la
paralela media mide 9 cm
16) Encontrar la medida de la base mayor de un trapecio si la base menor mide 12 cm y la
paralela media mide 16 cm
17) Encontrar la medida de la base menor de un trapecio si la base mayor mide 15 cm y la
paralela media mide 11 cm
18) Encontrar la medida de la base mayor de un trapecio si la base menor mide 10 cm y la
paralela media mide 15 cm
71
Señala correctamente las propiedades de los PARALELOGRAMOS
( ) Los lados opuestos son paralelos
( ) Los lados opuestos son iguales
( ) Los ángulos opuestos son iguales
( ) Los ángulos consecutivos son suplementarios
( ) Una diagonal los divide en dos triángulos congruentes
( ) Las diagonales se bisecan mutuamente
( ) Tienen todos sus lados iguales
( ) Las diagonales bisecan a los ángulos de los vértices
( ) Las diagonales son perpendiculares
( ) Las diagonales forman 4 triángulos congruentes
( ) Las diagonales son mediatrices una de otra
( ) Las diagonales son congruentes
( ) Las diagonales forman 2 pares de triángulos congruentes
( ) Tienen todos sus ángulos iguales
72
Señala correctamente las propiedades de los ROMBOS
( ) Los lados opuestos son paralelos
( ) Los lados opuestos son iguales
( ) Tienen todos sus lados iguales
( ) Las diagonales son congruentes
( ) Las diagonales forman 2 pares de triángulos congruentes
( ) Los ángulos consecutivos son suplementarios
( ) Los ángulos opuestos son iguales
( ) Tienen todos sus ángulos iguales
( ) Las diagonales bisecan a los ángulos de los vértices
( ) Las diagonales son perpendiculares
( ) Las diagonales se bisecan mutuamente
( ) Las diagonales forman 4 triángulos congruentes
( ) Una diagonal los divide en dos triángulos congruentes
( ) Las diagonales son mediatrices una de otra
73
Señala correctamente las propiedades de los RECTÁNGULOS
( ) Una diagonal los divide en dos triángulos congruentes
( ) Las diagonales son mediatrices una de otra
( ) Las diagonales se bisecan mutuamente
( ) Las diagonales forman 4 triángulos congruentes
( ) Las diagonales bisecan a los ángulos de los vértices
( ) Las diagonales son perpendiculares
( ) Las diagonales son congruentes
( ) Las diagonales forman 2 pares de triángulos congruentes
( ) Los lados opuestos son paralelos
( ) Los lados opuestos son iguales
( ) Tienen todos sus lados iguales
( ) Los ángulos consecutivos son suplementarios
( ) Los ángulos opuestos son iguales
( ) Tienen todos sus ángulos iguales
74
Señala correctamente las propiedades de los CUADRADOS
( ) Los lados opuestos son paralelos
( ) Los lados opuestos son iguales
( ) Tienen todos sus lados iguales
( ) Las diagonales son congruentes
( ) Las diagonales forman 2 pares de triángulos congruentes
( ) Los ángulos consecutivos son suplementarios
( ) Los ángulos opuestos son iguales
( ) Tienen todos sus ángulos iguales
( ) Las diagonales bisecan a los ángulos de los vértices
( ) Las diagonales son perpendiculares
( ) Las diagonales se bisecan mutuamente
( ) Las diagonales forman 4 triángulos congruentes
( ) Una diagonal los divide en dos triángulos congruentes
( ) Las diagonales son mediatrices una de otra
75
POLIGONOS
1. Polígono, figura plana cerrada limitada por segmentos de recta. Un polígono queda
determinado por sus lados, que son los segmentos de la poligonal, y por sus ángulos,
que son los que forman cada dos lados consecutivos. El perímetro de un polígono es la
suma de las longitudes de todos sus lados.
El polígono de tres lados se llama triángulo, el de cuatro cuadrilátero, el de cinco
pentágono, el de seis hexágono y, en general, se denomina n-ágono al polígono de n
lados.
Se llama ángulo interior o, simplemente, ángulo del polígono, al que forman dos lados
consecutivos, y se llama ángulo exterior al que forma cada lado con la prolongación de
un lado contiguo. La suma de los ángulos interiores de un polígono de n lados es
180º(n – 2).
Un polígono de n lados tiene n(n – 3)/2 diagonales.
2. POLÍGONO REGULAR
Es el que tiene todos sus lados y todos sus ángulos iguales. El triángulo regular se llama
equilátero y el cuadrilátero regular, cuadrado.
Todos los polígonos regulares tienen una circunferencia circunscrita, que pasa por todos
sus vértices, y una circunferencia inscrita, que es tangente a todos sus lados. El centro
de ambas circunferencias, que es el mismo, se llama centro del polígono. El radio del
polígono es el de la circunferencia circunscrita. El radio de la circunferencia inscrita es la
apotema del polígono.
El radio, R, la apotema, a, y la mitad del lado, l/2, de un polígono regular forman un
triángulo rectángulo:
Por tanto, se cumple que R2 = a2 + (l/2)2
76
El ángulo interior de un n-ágono regular mide 180º(n – 2)/n. El área de un polígono
regular de n lados de longitud l y apotema a es A = n·l·a/2.
El polígono, figura plana limitada por al menos tres rectas, toma diferentes formas según
el número de lados. Un polígono regular tiene todos sus lados y ángulos iguales entre sí.
Esta figura muestra ocho polígonos regulares y sus nombres
77
La suma de los ángulos internos de un polígono es ( 2n )180
El ángulo interno de un polígono regular es 2)180°(n
i=n
El ángulo externo de un polígono regular es 360°
en
La suma de 180°i+e=
El área de un triángulo es 2
P.a
El número de diagonales de un polígono es 3
2
n n-
N° de lados
Nombre N° de diagonales
de un vértice
N° de triángulos formados
Suma de los ángulos internos
N° de diagonales aparentes trazadas
Total de diagonales
3 triángulo 0 1 180° 0 0
4 cuadrilátero 1 2 360° 4 2
5 pentágono 2 3 540° 10 5
6 hexágono 3 4 720° 18 9
7 heptágono 4 5 900° 28 14
8 octágono 5 6 1080° 40 20
9 nonágono o eneágono
6 7 1260° 54 27
10 decágono 7 8 1440° 70 35
11 undecágono o endecágono
8 9 1620° 88 44
12 dodecágono 9 10 1800° 108 54
13 tridecágono 10 11 1980°
14 tetradecágono 11 12
15 pentadecágono 12 13
16 hexadecágono 13 14
17 heptadecágono 14 15
18 octadecágono 15 16
19 nonadecágono 16 17
20 icoságono 17 18 3240° 340 170
n n-ágono 3n 2n ( 2n )180 n ( 3n ) 3
2
n n-
78
1. Resuelve correctamente:
a) Calcúlese la suma de las medidas de los ángulos internos (múltiplos de 180º) de un
polígono de 9 lados y de uno de 32 lados.
b) Calcúlese la suma de las medidas de los ángulos internos de un polígono de 32 lados
y uno de 1002.
c) Calcúlese el numeró de lados de un polígono si la suma de las medidas de sus
ángulos son 28 ángulos llanos; 20 ángulos rectos; 4 500º; 36 000º.
2. Resuelve correctamente
a) Calcúlese la medida de cada ángulo externo de un polígono regular con 18 lados; 20
lados; 40 lados.
b) Calcúlese la medida de cada ángulo interno de un polígono regular con 18 lados; 20
lados; 40 lados.
c) Calcúlese número de lados de un polígono regular si cada uno de sus externos mide
120º; 40º, 18º, 2º.
d) Calcúlese el número de lados de un polígono regular si cada ángulo interno mide 60º;
150º; 170º; 175º; 179º.
3. Resuelve correctamente
a) Calcúlese cada ángulo interno de un cuadrilátero si estos representan x + 15,
x + 20, 2x+ 45 y 60 - x.
b) Calcúlese la medida de cada ángulo interno de un cuadrilátero si las medidas de sus
ángulos externos están en la proporción 1:2:3:3.
4. Encontrar la medida de un ángulo interno de los siguientes polígonos regulares:
hexágono R = ___________________
octágono R = ___________________
decágono R = ___________________
dodecágono R = ___________________
pentadecágono R = ___________________
icoságono R = ___________________
30 lados R = ___________________
79
5. Encontrar la medida de un ángulo externo de los siguientes polígonos regulares:
24 lados R = ___________________
36 lados R = ___________________
pentágono R = ___________________
octadecágono R = ___________________
nonágono R = ___________________
icoságono R = ___________________
6. Encontrar el total de diagonales de los siguientes polígonos
endecágono R = __________________
tridecágono R = __________________
pentadecágono R =___________________
hexadecágono R = __________________
octadecágono R = __________________
icoságono R = __________________
7. ¿Cuál es el polígono que tiene …………………………….
1) Doble de diagonales que de lados? R: ________________________
2) Triple de diagonales que de lados? R: ________________________
3) Cuádruple de diagonales que de lados? R: ________________________
4) 3 diagonales más que lados? R: ________________________
5) 12 diagonales más que lados? R: ________________________
6) 25 diagonales más que lados? R: ________________________
7) Exactamente 54 diagonales? R: _______________________
8) Exactamente 90 diagonales? R: _______________________
9) Exactamente 14 diagonales? R: _______________________
80
CONCEPTOS POR ESTUDIAR
CAPITULO 6
Círculo y Circunferencia
Elementos de la circunferencia
o Radio
o Secante
o Tangente
o Cuerda
o Diámetro
o Arco
o Flecha
Ángulo inscrito y central
Ángulos formados por
o Cuerda y tangente (semi-inscrito)
o Dos cuerdas (interno)
o Dos tangentes (externo)
o Dos secantes (externo)
o Tangente y secante (externo)
Circunferencias
o Externamente tangentes
o Internamente tangentes
o Enlazadas o intersecadas
o Separadas
o Concéntricas
o Línea de los centros y su cálculo
81
82
5
Circunferencia: es el conjunto de puntos de un plano que equidistan de un punto fijo
interior lamado centro; la distancia constante se lama radio
1. Radio. Es la recta que va del centro de la circunferencia a cualquier punto de ella
2. Cuerda. Es el segmento de recta que une dos puntos de la circunferencia.
3. Diametro. Es la cuerda mayor y pasa por el centro de la circunferencia. El diámetro es
el doble del radio y divide a la circunferencia en dos partes iguales
4. Secante. Es la recta que pasa por dos puntos de la circunferencia.
5. Tangente. Es la recta que pasa por un punto de la circunferencia.
6. Punto de tangencia. Es el punto en común de la circunferencia y la tangente. La
tangente y el radio son perpendiculares en este punto
7. Arco. Es una parte de la circunferencia determinado por dos puntos de ella.
8. Polígono inscrito: es el polígono cuyos lados son cuerdas de la circunferencia
9. Polígono circunscrito: es el polígono cuyos lados son tangentes de la circunferencia
6
2
4
3
1
7
O A B
P
C
83
84
Elementos de la circunferencia
Resuelve correctamente el siguiente crucigrama
1 2
3
4
5
6
7
8
Horizontales:
1. Recta que corta a la circunferencia
5. Recta que solo tiene un punto en común con la circunferencia
6. Parte de la circunferencia que se encuentra entre dos puntos de ella
8. Cuerda que pasa por el centro de una circunferencia
Verticales:
2. Ángulo formado por dos radios
3. Recta que une dos puntos de la circunferencia
4. Ángulo formado por dos cuerdas
7. Recta que une el centro con un punto cualquiera de la circunferencia
85
Ángulos en la circunferencia
86
87
POSICIONES RELATIVAS DE DOS CIRCUNFERENCIAS
Dos circunferencias pueden no tocarse, ser tangentes o ser secantes según tengan
ninguno, uno o dos puntos comunes, respectivamente. Sin embargo, se pueden precisar
más las posiciones relativas de dos circunferencias según la distancia entre sus centros,
d, y las longitudes de sus radios, r1 y r2: Exteriores: si no tienen puntos comunes y la
distancia entre sus centros es mayor que la suma de sus radios.
Tangentes exteriores: si tienen un punto común y la distancia entre sus centros es igual a la suma de sus radios.
Secantes: si tienen dos puntos comunes.
Tangentes interiores: si tienen un punto común y la distancia entre sus centros es igual a la diferencia de sus radios.
88
Interior una a la otra: si no tienen ningún punto común y la distancia entre sus centros es menor que la diferencia de sus radios.
Concéntricas: si tienen el mismo centro.
89
Resuelve correctamente las siguientes figuras
90
91
92
93
94
95
96
97
98
99
Resuelve las figuras siguientes
100
101
┴
102
103
104
105
1 = 2 = 3 =
4 = 5 = 6 =
7 = 8 = 9 =
10 = 11 = 12 =
106
1 = 2 = 3 =
4 = 5 = 6 =
7 = 8 = 9 =
10 = 11 = 12 =
107
1 = 2 = 3 =
4 = 5 = 6 =
7 = 8 = 9 =
10 = 11 = 12 =
108
109
CONCEPTOS POR ESTUDIAR:
CAPITULO 7
* Razones y proporciones
* Elementos de una proporción
* Proporción continua y medio proporcional
* Principios relativos a proporciones
* Semejanza de triángulos
* Proporciones con los elementos de una circunferencia (cuerdas, tangentes y secantes)
110
Razones y proporciones
Las razones y proporciones tienen una gran aplicación en diversas disciplinas; por ejemplo, en ingeniería se emplean las escalas para realizar maquetas, en el área contable, para realizar movimientos financieros y, en la vida diaria, para efectuar ciertas operaciones aritméticas.
Una razón es la comparación por cociente de dos cantidades y carece de unidad; este cociente se interpreta como el número de veces que uno de ellos es mayor que el otro. Ejemplo:
Una persona, al comprar una caja que contiene 30 manzanas, observó que seis de ellas salieron magulladas; la razón que se obtiene es:
Simplificando la razón, se tiene:
lo cual se interpreta como: una manzana de cada cinco está magullada.
Una proporción es la igualdad de dos razones y se expresa como:
En una proporción, los términos a y c se le llama antecedentes y los términos b y d, se les llama consecuentes. A los términos b y c se le llama medios y a los términos a y d, se les llama extremos.
Dos razones forman una proporción, solamente, si el producto de sus extremos es igual al producto de sus medios; este enunciado es conocido como la propiedad fundamental de las proporciones y se expresa de la manera siguiente:
* Una proporción recibe el nombre de proporción continua cuando los medios son
iguales. El medio igual se le llama medio proporcional. Se representa de la manera
siguiente
a: x = x: b
111
Ejemplo:
Un sastre compró 3.5 m. de tela y pagó por ella N$ 245.00. Si necesita 8 m. de la misma tela, ¿cuánto deberá pagar?
Aplicando la propiedad fundamental de las proporciones y efectuando las operaciones se tiene:
Los 8 m de tela cuestan N$ 560.00
En toda proporción, un extremo es igual al producto de los medios entre el otro extremo, y un medio es igual al producto de los extremos entre el otro medio.
Ejemplos:
En el primer inciso, se buscó el valor de un extremo, mientras en el segundo, el de un medio.
Como se puede apreciar, en la resolución de proporciones se aplica la propiedad fundamental de éstas, que dice:
Dos razones forman una proporción, solamente cuando el producto de sus extremos es igual al producto de sus medios
112
RAZONES Y PROPORCIONES
1. En una feria de animales por 6 loros se canjean 3 docenas de codornices. ¿Cuántas codornices se necesitan para canjearlos por 5 loros? A) 30 B) 28 C) 25 D) 20
2. En un puesto de frutas las naranjas se venden 3 por 5 pesos. ¿Cuántos pesos se pagarán por 2 docenas de naranjas? A) 42 B) 40 C) 50 D) 30
3. Para alimentar a 8 ovejas se necesitan 44 kg de pasto. ¿A cuántas ovejas se podrá alimentar con 110kg de pasto al día? A) 15 B) 18 C) 20 D) 25 4. Si 6kg.de carne cuestan S/. 75, ¿Cuántos soles se pagará por 8kg de carne? A) S/.120 B) S/.90 C) S/.80 D) S/.100
5. En un circo, para alimentar a 3 tigres se necesitan 40 kg de carne por día. ¿Cuántos kg de carne diaria se necesitarán para alimentar a 12 tigres? A) 150 B) 120 C) 160 D) 180
6. Un carro recorre 150 km. en 2 horas. ¿Cuánto recorrerá en 3 horas? A) 180km B) 220km. C) 225km. D) 245km.
7. En una caja hay 200 caramelos de dos sabores: limón y naranja. Si por cada caramelo de limón hay 3 de naranja, ¿Cuántos caramelos de naranja hay en la caja? A) 80 B) 150 C) 120 D) 100
8. Para preparar el menú de un batallón de 136 soldados se necesitan 34kg. de arroz. ¿A cuántos soldados se les puede preparar el menú con 7kg. de arroz? A) 25 B) 30 C) 28 D) 35
9. Una vaca da 65 litros de leche en 4 días. ¿Cuántos litros debe dar en 16 días? A) 130 B) 260 C) 240 D) 360
10. En un aeropuerto aterrizan 3 aviones cada 20 minutos. ¿Cuántos aviones aterrizan cada 60 minutos? A) 12 B) 6 C) 9 D) 8
113
Dos triángulos son semejantes si tienen los ángulos homólogos iguales y sus
lados son proporcionales. Se llaman Criterios de Semejanza de dos triángulos, a
un conjunto de condiciones tales que, si se cumplen, tendremos la seguridad de
que los triángulos son semejantes. Esos criterios son
1) Dos triángulos son semejantes cuando tienen :
a) dos ángulos iguales
b) los lados son proporcionales
c) un ángulo igual y los lados que lo forman son proporcionales
2) Dos triángulos rectángulos son semejantes si un ángulo agudo de uno de
ellos es congruente con un ángulo agudo del otro del otro triángulo.
El Teorema de Thales dice: Si tres o más paralelas son cortadas por dos rectas
transversales, los segmentos que se determinan entre ellas son proporcionales..
Es decir,
PRINCIPIOS RELATIVOS
1) Una recta es paralela a uno de los lados de un triángulo si y solo si divide a los otros
dos lados en partes proporcionales
a cb d
a a be f
c c de f
114
2) La bisectriz de un ángulo divide al lado opuesto en partes proporcionales
a cb d
a bc d
3) La altura sobre la hipotenusa de un triángulo rectángulo es medio proporcional entre la
longitud de los segmentos de la hipotenusa en que ésta queda dividida
4) En un triángulo rectángulo la longitud de cualquiera de los lados (llamados catetos) es
medio proporcional entre la hipotenusa y la proyección ( o sobra) del lado sobre ésta
misma.
c hh d
c d bb c
c d aa d
5) Si dos cuerdas se intersecan dentro de una circunferencia, el producto de los
segmentos de una cuerda es igual al producto de los segmentos de la otra.
AE x EB = CE x ED
115
6) Si una tangente y una secante se intersecan, la tangente es medio proporcional entre la
secante y su segmento externo
AB / AP = AP / AC
7) Si dos secantes se intersecan, el producto de una de las secantes por su segmento
externo es igual al producto de la otra secante por su segmento externo
AB x AD = AC x AE
116
Resuelve correctamente las siguientes figuras
X = Y = X = Y =
X = Y = X = Y =
X = Y = X = Y =
117
X = Y = X = Y =
X = Y = X = Y =
X = Y = X = Y =
118
X = Y = X = Y =
X = Y = X = Y =
X = Y = X = Y =
119
X = Y = X = Y =
X = X =
X = X =
120
X = X =
X = X =
X= X=
121
122
123
Áreas
124
Volúmenes
125
Problemas
1 Si el área de una circunferencia es A=36π cm2 ¿Cuánto mide su radio?
_____________________________________
2 Si el volumen de una esfera es V=36π cm3 ¿Cuánto mide su radio?
_____________________________________
3 Si el perímetro de una circunferencia es P=36π cm ¿Cuánto mide su radio?
_____________________________________
4 Si el volumen de un cono es V=12π cm3 y su altura es de 9 cm ¿Cuánto mide su
radio?
_____________________________________
5 Si el volumen de un cilindro es V=144π cm3 y su radio es de 4 cm ¿Cuánto mide su
altura?
_____________________________________
6 Si las diagonales de un rombo miden 8 y 6 cm ¿Cuánto mide su área?
_____________________________________
7 Si una de las bases de un trapecio mide 12 cm, su altura mide 4 cm y su área mide 40
cm2 ¿Cuánto mide la otra base?
______________________________________
8 ¿Cuál es el volumen de de una pirámide de base cuadrangular donde cada uno de sus
lados miden 5 cm y su altura es de 9 cm?
______________________________________
9 ¿Cuánto mide la arista de una pirámide cuadrangular si la altura de ésta es de 12 cm y
la diagonal de la base es de 10 cm?
______________________________________
10 ¿Cuánto mide la altura de una pirámide cuadrangular si cada lado mide 6 cm y el
volumen de ésta es de 144 cm3?
______________________________________
11 ¿Si la diagonal de un cuadrado mide 36 cm ¿Cuánto mide cada lado?
______________________________________ 12 Si los lados de un rectángulo miden 9 cm y 12 cm ¿Cuánto mide la diagonal? _______________________________________
126
Áreas y Volúmenes Encontrar el área BLANCA de cada figura
127
Encontrar el área BLANCA de cada figura
128
Encontrar el área BLANCA de cada figura
129
PENTÁGONO HEXÁGONO
OCTÁGONO DECÁGONO
DODECÁGONO
130
Encontrar el volumen de cada figura
4 18
8
10
4
4
131
5
6
4
8
8
8
8
5
5
5
132
4
4
4
5
2
10
1 1
2 2
3 3
33
4 4
6 2
6
3
3
133
A B
F X C
Y
E D