GEOMETRIA PLANA

PRESENTACIÓN

Muchas veces los términos nos presentan contradicciones. En el caso de la geometría por ejemplo, si se parte la palabra, se tiene la raíz GEO que significa “tierra” y la terminación “metría” que, sin mucha profundización, significa “medir” o sea, medir la tierra. En realidad, la palabra expresa lo que se hacía inicialmente con la geometría, principalmente entre los antiguos egipcios. Sin embargo, la geometría se utiliza actualmente como herramienta en muchos de los campos del conocimiento humano.

La geometría es la rama de las matemáticas que estudian los puntos, las rectas, los planos y otros elementos conceptuales derivados de ellos como los polígonos y los poliedros. La geometría sirve para solucionar problemas concretos en el mundo real. Es también la que nos permite medir áreas y volúmenes.

Este libro ha sido diseñado con base en las dificultades que presentan los estudiantes de los primeros niveles de los programas que sirve el INSTITUTO TECNOLÓGICO METROPOLITANO (ITM), tanto en tecnologías como en ingenierías, tratando de utilizar un lenguaje comprensible para el estudiante sin dejar de lado la terminología propia de las matemáticas.

Las temáticas se tratan de tal manera que el estudiante inicia con los conceptos más simples y va profundizando en los temas en forma encadenada: cada tema es base para el siguiente. Esto propicia el control de las competencias de una manera acumulativa, puesto que, al desarrollar las primeras, se facilita el desarrollo de las siguientes, amén de las competencias de pensamiento indispensables para desarrollar las competencias de conocimiento. Así, tanto el docente como el estudiante pueden tener un buen control sobre el ritmo de aprendizaje. Desde este punto de vista, el contenido de este texto representa una valiosa herramienta para el llamado trabajo independiente, o aquel que el estudiante debe realizar extraclase como complemento a lo estudiado en el aula, tanto para la orientación y evaluación por parte del docente, como un aporte a la formación integral para el estudiante en cuanto le genera responsabilidades a cumplir.

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AL ESTUDIANTE.

El descubrir que la geometría nos rodea es en verdad fascinante.  Pero lo es más cuando se comienza a desentrañar aquello que, estando tan cerca, no lo habíamos percibido; es decir, cuando empezamos a mirar nuestro entorno de una manera más crítica, cuando vemos algo y sabemos qué estamos viendo.  Por ejemplo: si se observa una baldosa, ya no es simplemente la baldosa lo que se ve, sino una figura geométrica: un cuadrado, un rectángulo o un hexágono; además, se habla con cierta propiedad acerca de sus lados, si son o no paralelos, si su superficie es plana o por el contrario tiene cierta curvatura, podemos hablar sobre el área de su superficie y el volumen de material que tiene. Si toma una cajetilla de cigarrillos, observa también un recipiente con un volumen fácil de calcular, unos rectángulos que se cruzan formando aristas, y aristas que se cortan para dar paso a los vértices. Observa diferentes tipos de ángulos, no solamente formados por líneas sino también por planos, es decir, toda una serie de conceptos geométricos se conjugan en este simple elemento.

El objetivo principal de la entrega de este trabajo, es sentar las bases para el estudio de la geometría, teniendo en cuenta los conceptos fundamentales que el estudiante requiere como futuro profesional de una tecnología o de una ingeniería. Además, ayudar a generar la cultura del análisis, propia de las matemáticas, la cual incentiva el desarrollo de la habilidad para el razonamiento. Acá no se encuentran demostraciones profundas, sino más bien ejercicios para reforzar los conceptos, en muchos casos, utilizando directamente las ecuaciones, o llegando a la solución a través del análisis y la combinación de temas en aplicaciones tomadas de la vida real.

Las ecuaciones o fórmulas son en realidad, modelos matemáticos aplicables a múltiples situaciones, por lo tanto, piense que no debe aprender de memoria cada fórmula que aplique, sino analizar el problema e identificar el modelo adecuado, de acuerdo con los datos y las incógnitas del mismo.

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1.1.CONCEPTOS BASICOS

1.1.1 POSTULADO, AXIOMA, TEOREMA, COROLARIO

La estructura global de la demostración debe descansar sobre (o comenzar por) algunas proposiciones de tipo general que se aceptaban sin demostración y se denominan los supuestos. Se trata de proposiciones que voluntariamente debemos suponer o aceptar como verdaderas a fin de poder deducir de ellas, otras proposiciones.

Los supuestos son axiomas o postulados.

AXIOMA: es un supuesto que se puede aplicar en matemáticas en forma general. Por ejemplo, la proposición: “ en toda expresión o en toda ecuación, una cantidad cualquiera se puede reemplazar por su igual”, es utilizable en algebra como en geometría.

POSTULADO: es un supuesto que se puede aplicar en una rama particular de la matemática, digamos en geometría. Por ejemplo, como la proposición: “dos rectas se pueden cortar solo en un punto”, se aplica específicamente a las figuras geométricas.

TEOREMA: Es una proposición que tenga que ser demostrada su validez.

COROLARIO: Es una consecuencia inmediata de un teorema ya demostrado.

La presentación tradicional de la geometría euclidiana se hace en un formato

axiomático. Un sistema de axiomas es aquel que, a partir de un cierto número de

postulados que se resumen verdaderos (conocidos como axiomas) y a través de

operaciones lógicas, genera nuevos postulados cuyo valor de verdad es también

positivo.

Euclides planteó cinco postulados en su sistema:

1. Dados dos puntos se puede trazar una y sólo una recta que los une.

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2. Cualquier segmento puede prolongarse de forma continua en cualquier

sentido.

3. Se puede trazar una circunferencia con centro en cualquier punto y de

cualquier radio.

4. Todos los ángulos rectos son iguales.

5. Si una recta al cortar a otras dos formas ángulos internos menores a un

ángulo recto, esas dos rectas prolongadas indefinidamente se cortan del

lado en el que están los ángulos menores que dos rectos.

Este último postulado, que es conocido como el postulado de las paralelas, fue

reformulado como:

5. Por un punto exterior a una recta, se puede trazar una única paralela.

Este postulado parece menos obvio que los otros cuatro, y muchos geómetras,

incluido el propio Euclides, han intentado deducirlo de los anteriores. Cuando

intentaron reducirlo al absurdo negándolo, surgieron dos nuevas geometrías: la

elíptica (dada una recta y un punto exterior a ella, no existe ninguna recta que

pase por el punto y sea paralela a la recta dada) y la hiperbólica (dados ambos,

existen varias rectas paralelas a la dada que pasen por el punto).

1.1.2 PUNTOS, LÍNEAS Y PLANOS

PUNTOS Y RECTAS

¿Qué es un punto? Para responder esto nos apoyaremos en una noción intuitiva de posición. Pensamos en un punto como una posición en el espacio. El espacio tiene un número infinito de posibles puntos. Cada una de las posiciones corresponde a un único punto.

¿Cómo es de grande un punto? Se dice que un punto es infinitesimal. Esto significa que no tiene ningún tamaño. Supongamos que tenemos un potente microscopio que

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puede ampliar un objeto tanto como queramos. Así, si tuviéramos que ver un objeto muy pequeño pero finito con nuestro microscopio, podríamos aumentar la ampliación hasta que fuera tan grande con quisiéramos. Sin embargo, si observamos un punto bajo el microscopio, se vería siempre con el mismo tamaño (muy pequeño). Podríamos aumentar indefinidamente la ampliación y el punto seguiría siendo un punto.

Dados dos puntos, ¿son iguales? Se dice que dos puntos son iguales si son el mismo punto. Dos puntos son dos posiciones en el espacio. Si son diferentes, entonces existe una distancia entre ellos. Esta distancia podría ser muy pequeña, pero si tuviéramos que examinar estos dos puntos con nuestro microscopio podríamos aumentar la ampliación hasta convertirla en algo apreciable. Si los dos puntos fueran iguales (es decir, ambos identifican la misma posición en el espacio), entonces no importa la ampliación que empleemos, no podremos distinguir un punto de otro. Cuando dos puntos son iguales, no son en realidad dos puntos, sino dos nombres distintos para un punto único.

¿Qué es una recta? Responderemos a esta cuestión empleando otro concepto intuitivo, e de la dirección. Dos puntos diferentes especifican una dirección (o, si lo prefiere, dos direcciones - hacia delante y hacia atrás). Consideremos ahora un tercer punto diferente de los otros dos. El primer y tercer punto también especificará una dirección. Si la dirección definida por el primer y tercer punto es la misma que la dirección definida por el primer y segundo punto, entonces diremos que los tres puntos están situados sobre la misma recta. La recta definida por dos puntos es el conjunto de estos dos puntos y el resto de puntos que satisfacen nuestro test de dirección para pertenecer a la recta; es decir, una recta es la suma de todos los puntos que están situados sobre ella. http://www.mieres.uniovi.es/egi/dao/apuntes/punto_y_rectas.html

Postulado Existe un conjunto infinito de elementos llamados puntos que se denominan ESPACIO. Sus subconjuntos se llaman figuras.

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Postulado. Dos puntos diferentes determinan una y solo una recta

que pasa por ellos.

Simbólicamente vamos a representar la grafica de la recta

así:

y se puede nombrar por dos puntos sobre ella, por ejemplo: recta AB, AB ó una letra minúscula; ejemplo: recta r.

Definición: se dice que los puntos de un conjunto son colineales o

están alineados, si hay una recta que los contiene a todos.

¿Qué es un plano? Las rectas son objetos que tienen una sola dimensión, su longitud. Un plano tiene dos dimensiones, largo y ancho. Podemos conceptualizar un plano como hoja de papel plana, muy delgada que se extiende indefinidamente a lo largo y a lo ancho. http://www.mieres.uniovi.es/egi/dao/apuntes/punto_y_rectas.html

Postulado. Tres puntos diferentes no alineados me determinan un

plano y solo uno. Gráficamente se representa así:

Y los nombramos con una letra griega, así; se tiene el plano α

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Definición: Se dice que los puntos de un conjunto son coplanarios, si hay un

plano que los contiene a todos.

Definición: se llama semirrecta al conjunto de puntos de una recta definido por un punto dado sobre la recta y los puntos que le preceden o siguen. El punto dado se llama origen y siempre da lugar a dos semirrectas opuestas entre sí.

Se tienen dos semirrectas que se denominan por el punto de origen B y un punto cualquiera de ella. En la figura anterior se tiene las semirrectas BA Y BC, Simbólicamente: BA y BC.

Definición: toda recta r en un plano α determina sobre él dos regiones llamadas semiplanos.La recta “r” recibe el nombre de frontera de los semiplanos. Los semiplanos se nombran por medio de la recta y un punto arbitrario sobre la región. Por ejemplo,

si se tiene la recta “ t ”, se tienen dos

semiplanos α 1 y α 2 que contienen la recta “ t ”.

Definición: se llama segmento el conjunto formado por dos puntos diferentes dados en una recta y los puntos situados entre ellos. Los puntos dados se llaman extremos del segmento y se utilizan para nombrarlo. Por ejemplo, si se tienen dos puntos A y B sobre una recta:

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Estos puntos determinan AB que

seguiremos expresando AB .

http://www.fpolar.org.ve/matematica/fasciculo3.pdf

1.1.3 CONGRUENCIA

Se denominan figuras congruentes a las que tienen la misma forma y el mismo tamaño; se puede decir que una es la copia exacta de la otra u otras. Tales figuras se pueden hacer coincidir de modo que sus partes correspondientes casen mutuamente. Esta definición en términos de movimiento, lo supone rígido, es decir, conservando las distancias. Si una figura F es congruente a una figura F’ lo expresamos asi: F¿ F’ y se lee “F” es congruente a “F’”.

Definición: dos puntos AB y CD son congruentes si y solo si tienen la misma

medida, AB¿CD ⇔ m (AB ) = m (CD ) ⇔ AB = CD.

Definición: cada segmento tiene exactamente un punto medio. C es un punto

medio deABsí y solo sí AC ¿ CB .

Definición: se dice que el punto

medio C biseca el segmento AB

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1.1.4 ANGULOS

Definición: recibe el nombre de ángulo la abertura entre dos segmentos o

semirrectas.

El punto de unión se llama vértice.

En la figura se tiene el ángulo BAC, simbólicamente BAC ó∠BAC formado por las semirrectas AB y AC . AB y AC se llaman lados del ángulo. El punto común A, recibe el nombre de vértice del ángulo.

Si no existe confusión, el ángulo se puede nombrar por la letra del vértice. Asi, este se

llama ángulo de  o Â, o también ∠ A

Cuando dos rectas se cortan, forman 4  regiones llamadas ángulos. Cada ángulo está limitado por dos lados y un vértice.

Tomaremos como unidad el grado sexagesimal. Se considera a la circunferencia dividida en 360 partes iguales y un ángulo de un grado es el que tiene el vértice en el centro y sus lados pasan por dos divisiones consecutivas.

Cada división de la circunferencia se llama también grado. Nomenclatura: Grado → º Minuto → ‘ Segundos → “

1º = 60’; 1’ = 60”; 360º = 2π radianes → 180º = π radianes. (π = 3,14)

↓ ↓ Sistema sexagesimal Sistema circular o cíclico

EJEMPLO 1.1

Expresar en radianes un ángulo de 90º.

Solución: 90º = 90º ¿

π rad180 º =

π2 rad.

Expresar 45º en minutos

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Solución: 45º = 45º ¿60 '

1º = 2.700’

Convertir 43.63º a grados, minutos y segundos.

Solución: 43.63 = 43º + 0.63º = 43º + 0.63º ¿60 '

1º = 43º + 37.8’

43º + 37’ + 0.8’ = 43º + 37’ + 0.8’ ¿60 } over {1'} } } {¿¿¿= 43º + 37’ + 48” → 43º 37’ 48” Convertir 47º 32’ 42” en grados.

Solución: 47º 32’ 42” = 47º 32’ 42” ¿ 1 '

60 } } } {¿¿¿= 47º 32’ 0.7’ = 47º 32.7’

47º 32.7’ ¿ 1º

60 ' = 47º 0.545º → 47.545º.

1.1.4.1 CLASES DE ANGULOS

Angulo Recto es el que mide 90º. Está formado por el cruce de dos líneas

perpendiculares

Angulo Llano es el que mide 180º

Ángulos Consecutivos son dos ángulos que tienen un vértice común y un lado común; y el lado común separa los dos ángulos

µ y β son conse-cutivos

µ y β, β y ,(µ+β) y ,µ y (β+)son consecutivos

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Ángulos Complementarios son dos ángulos consecutivosque suman 90º

Ángulos Suplementarios son dos ángulos consecutivos que suman 180º

Angulo Agudo es el que mide menos de 90º

Angulo Obtuso es el que mide más de 90º y menos de 180º.

Angulos adyacentes son dos ángulos consecutivos y suplementarios

y son adyacentes y α son adyacentesα y β son adyacentesβ y son adyacentes

Angulo Cóncavo: Mide más de 180° y menos de 360°

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Angulo Perigonal o Completo: Mide 360°

ABC = 360°

EJEMPLO 1.2: Hallar el complemento de 23º 43’ 28”

Solución: 90º - 23º 43’ 28” → 90º → 89º 59’ 60”- - 23º 43’ 28”

66º 16’ 32”

EJEMPLO 1.3: α y β están en relación 4:5. Hallarlos.

Solución: α +β = 180º → 4x + 5x = 180º → 9x = 180º → x = 20º → α = 4x = 4(20°)

= 80º ; β = 5x = 5(20°) = 100º

BISECTRIZ: sea D un punto interior de

un ABC. Decimos que BD , BD ó BD es bisectriz de ABC si y solo si ABD¿DBC.

MEDIATRIZ: se llama mediatriz de un segmento, a la recta, semirrecta ò segmento perpendicular al segmento que pasa por el punto medio de dicho segmento. “ t ” es mediatriz de AB si y solo si: “ t ” ¿ AB y AC = CB.

CL es mediatriz de ABCL es mediatriz de AB CL es mediatriz de AB

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TEOREMA I: En dos lìneas que se cruzan, los ángulos opuestos por el

vértice son iguales

= α yβ= por opuestos por el

vértice

EJEMPLO 1.4 (Propuesto): Ángulos. Problemas Verbales.

1. Determina el complemento de 72º.

2. ¿Cuál es el suplemento de 139º?

3. ¿Cuál es el suplemento de (a - 12)º

4. Determina el complemento del suplemento de 143º.

5. Si 36º es el complemento del suplemento de x. ¿Cuántos grados mide x?

6. ¿Cuál es el suplemento del complemento de (a - 10)º.

7. ¿Cuántos grados resultan si al complemento de 37º se le suma el suplemento de 93º.

8. Determina la diferencia entre el suplemento de (a - 15)º y el complemento de (a - 45)º

9. Un ángulo y su suplemento están en razón 7:2. ¿Cuánto mide el ángulo menor?

10. Un ángulo y su complemento están en razón 2:1. ¿Cuánto mide el suplemento del ángulo mayor?

11. Determina el ángulo que es el triple de su complemento.

12. Determina el ángulo que es la cuarta parte de su suplemento.

13. Dos ángulos son complementarios y el mayor es 5 veces el menor. ¿Cuánto mide el ángulo menor?

14. Si x e y son ángulos adyacentes y  x  tiene 27º más que y. ¿Cuánto mide x?

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15. Un ángulo tiene 35º menos que otro ángulo cuyo complemento es 12º. ¿Cuánto resulta de sumar dichos ángulos?

16. Dos ángulos que suman 50º están en la razón de 2:3. ¿En qué razón están los complementos respectivos de estos ángulos?

17. El complemento y el suplemento de un ángulo son entre sí como 1:5. ¿Cuánto mide el ángulo?

18. Determina el complemento de 42º18'.

19. Determina el suplemento de 154º27'42''.

20. Si el suplemento de un ángulo es 113º26'14'', determina dicho ángulo.

21. Si m = 92º35'14'' y n = 27º47'32'', ¿cuánto es m + n?

22. Un ángulo recto se divide en razón 1:2:3. ¿Cuál es la diferencia entre el ángulo mayor y el ángulo menor de esta división?

23.Dos ángulos opuestos por el vértice miden  (20 - a)º  y  (a + 74)º. ¿Cuánto vale a?

24. El complemento de un ángulo de 47º es (ß - 30)º. ¿Cuánto vale ß?

25. Si la diferencia entre dos ángulos complementarios es 22º. ¿Cuál es la diferencia entre sus complementos respectivos?

26. A la cuarta parte de un ángulo se le suma su tercera parte resultando 7º. ¿Cuánto mide el ángulo?

27. El doble de un ángulo es la cuarta parte de su complemento. ¿Cuánto mide el ángulo?

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1.1.5 LINEAS PARALELAS Y TRANSVERSALES. PERPENDICULARIDAD

PARALELISMO Y PERPENDICULARIDAD

Dos líneas son paralelas si están siempre a una misma distancia.Dos líneas son perpendiculares si forman un ángulo recto

Corolario: 1. dos líneas paralelas a una tercera son paralelas entre sí.2. si una línea es perpendicular a otra, es también perpendicular a toda

paralela a esta otra.

Si dos rectas son paralelas, podemos también hablar de paralelismo entre segmentos de ellas.ANGULOS FORMADOS POR DOS LINEAS CORTADAS POR UNA TERCERA (TRANSVERSAL)

a. ANGULOS INTERNOS: son los ángulos situados en la parte común de los semiplanos determinados por cada una de las rectas que contienen a la otra; son ∠4, ∠3, ∠

5, ∠6.

b. ANGULOS EXTERNOS: son los ángulos situados en el semiplano determinado por cada una de las rectas que no contienen a la otra; son ∠1, ∠2, ∠7, ∠8.

c. ANGULOS ALTERNOS: son dos ángulos, ambos internos o externos, situados en semiplanos opuestos respecto a la secante. Ángulos alternos internos: ∠4 y ∠6; ∠3 y ∠5. Ángulos alternos externos: ∠1 y ∠7; ∠2 y ∠8.

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d. ANGULOS CORRESPONDIENTES: son dos ángulos, uno interno y otro externo, situados en un mismo semiplano respecto a la secante; son ∠1 y ∠5; ∠2 y ∠6; ∠

4 y ∠8; ∠3 y ∠7.Cuando tenemos un par de paralelas cortadas por una transversal, obtenemos:1=5, 4=8; 2=6; 3=7. (por correspondientes entre paralelas)4=6; 3=5 (por alternos internos entre paralelas)1=7; 2=8 (por alternos internos entre paralelas)

Además:

1=3; 2=4; 5=7; 6=8 (por opuestos por el vértice)1+2=180º; 2+3=180º; 3+4=180º; 4+1=180º; 5+6=180º; 6+7=180º; 7+8=180º; 8+5=180º (por suplementarios)Se nos pueden presentar dos tipos de problemas:

Si t // s, entonces α =β (por alternos internos entre paralelas)

Si α =β y son alternos internos, entonces t // s

EJEMPLO 1.5

Si MN // PQ y SS´ es una transversal; y ∠7 = ∠8/2. Hallar los valores de todos los ángulos.

Solución: 7+8=180º (suplementarios)

8/2+8=180º (sustitución); (8+2.8)/2=180º; 3.8=180º.2; → 8=360º/3=120º=8;→7=8/2=120º/2=60º=7

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7=6=60º (opuestos por el vértice) 8=5=120º (opuestos en el vértice) 6=2=60º (correspondientes entre paralelas)5=1=120º (correspondientes entre paralelas)7=4=60º (correspondientes entre paralelas)8=3=120º (correspondientes entre paralelas)

EJEMPLO 1.6:

Si AB //CD , EF //GH y EMB = 60º; Hallar HPD.

Solución: ∠EMN=∠ β =60º (alternos internos entre paralelas)

β + BNP = 180º (suplementarios); 60º+BNP=180º (Susttitución) BNP=120°; BNP=HPD=120° (Correspondientes entre paralelas)

EJEMPLO 1.7 (Propuestos)

1. Los ángulos , y están en una razón de 1:3:2. Hallar sus valores

2. Dos ángulos consecutivos suman 100°. Que ángulo forman sus bisectrices?

3. Si tres ángulos suman 220°, y el menor es la tercera parte del mayor, y el mayor es el doble que el del medio. ¿Cuánto mide cada àngulo?

4. Demuestre que la suma de las las medidas de los ángulos 1 + 4 es igual a 180°

5. Demuestre que la suma de las

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las medidas de los ángulos 2 + 5 + 6 es igual a 180°

6. En la figura: 1 = 2; 2 = 2. 3 Hallar el valor del ángulo 7

7. Si un ángulo excede en 20° al triple de otro, y su suma son 140°. Hallar sus medidas

8. En tres ángulos que forman un ángulo llano, uno de ellos es la mitad del segundo y la tercera parte del tercero. Hallar sus medidas

9. Señale que ángulos son alternos internos entre paralelas; alternos externos entre paralelas; correspondientes entre paralelas; suplementarios

10. Si tres ángulos suman 300°, y el mayor es el doble del menor menos 20°, y el del medio es el triple del menor menos 100°. ¿Cuánto mide cada àngulo?

11. Si tres ángulos suman 160°, y el mayor mide 5 veces lo que mide el menor, y el menor es la mitad de lo que mide el del medio. ¿Cuánto mide cada àngulo?

13. Si tres ángulos suman 290°, y el mayor mide el triple del menor mas 50°, y el del medio mide el doble que el menor. ¿Cuánto mide cada àngulo?

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1.1.6 CIRCUNFERENCIA Y CIRCULO

Circunferencia: es el conjunto de todos los puntos (B) que equidista equidistan de otro llamado centro (A).

Círculo: es el conjunto de todos los puntos de la circunferencia y de los

interiores a la misma (B, C, A).

1.1.7 POLIGONALES

CLASIFICACION DE LAS POLIGONALES

Las poligonales pueden ser cerradas o abiertas según que sus extremos coincidan o no; ambas pueden ser poligonales convexas o poligonales cóncavas.

POLIGONAL CONVEXA: Cuando una recta cualesquiera

no puede cortarla en más de dos puntos.

POLIGONAL CÓNCAVA: Cuando una recta cualesquiera la puede cortarla en

más de dos puntos.

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POLIGONAL ENVOLVENTE Y POLIGONAL ENVUELTA:

Se dice que una poligonal convexa y abierta es envolvente de otra que tiene

los mismos extremos y llamaremos envuelta, cuando ésta queda contenida completamente en la porción de plano limitada por la primera y el segmento

que une sus extremos.

ABCDEF poligonal envolventeAGJF poligonal envuelta

TEOREMA: Toda línea poligonal convexa es menor que cualquier otra línea envolvente que termine en sus extremos.

Un conjunto F se llama convexo si para cada dos puntos A Y B de F, el segmento AB está en F. por ejemplo, las siguientes tres regiones del plano son convexas:

Para ninguna de las siguientes lo es:

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1.1.7.1 POLIGONOS INSCRITOS Y CIRCUNSCRITOS

La circunferencia encierra el triangulo.El triangulo esta dentro de la

circunferencia.

La circunferencia esta circunscrita al triangulo.

El triangulo está inscrito en la circunferencia,

“O”, centro de la circunferencia.OA = OB = OC = R (Radios).

La circunferencia está inscrita en el triangulo.

El triangulo está circunscrito a la circunferencia

OB = OD = OF = R (Radios)AC ,EC ,EA :Tangentes a la

circunferenciaen B, D, F respectivamente;

Entonces: OB¿ AC , OD¿ EC , OF¿EA .

1.1.8. Triángulos

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Definición: dados tres puntos A, B, Cno alineados, a la unión de los

segmentos AC , AB , y BC se da el nombre de triangulo. ABC se denota Δ

ABC ò ABC.

Cada uno de estos segmentos recibe el nombre de lado del triangulo. Cada uno de los puntos no alineados es un vértice del triangulo. Los ángulosΔABC, ΔBCA y CAB asociados al triangulo se acostumbran llamar ángulos del triangulo.

1.1.8.1. CLASIFICACION SEGÚN SUS LADOS

1. ISOSCELES: tiene dos ladosiguales AC = CB y un lado

“supuestamente” desigual;además los ángulos adyacentesal lado “desigual” son iguales.

(esto último habrìa que demostrarlo).A=B

2. EQUILATERO: tiene sus tres lados iguales. Cada uno de sus

tres ángulos mide 60º. (esto último habrìa que demostrarlo).

AB = BC = ACA=B=C=60º

3. ESCALENO: tiene sus tres lados y ángulos desiguales.

AB¿ BC¿CAA¿B¿C

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1.1.8.2. CLASIFICACION SEGÚN SUS ÁNGULOS

1. ACUTANGULO: tiene sus tres ángulos agudos A < 90º, B< 90º

y C < 90º

1. OBTUSANGULO: tiene un ángulo obtuso, y los otros dos

agudos.B< 90º, A< 90º; C > 90º.

2. RECTANGULO: tiene un ángulo recto, y los otros dos son agudos.

A=90º; C< 90º. B<90º

EJEMPLO 1.7 (Propuesto): Triángulos. Problemas Verbales

1. Encuentra la medida del tercer ángulo interior de un triángulo, si la medida de los otros dos son:

a)      67 y 47 b)      22 y 135 c)      a y 2a

2. Determina el valor de x si los ángulos interiores de un triángulo son x, 2x y 3x.

3. En un triángulo isósceles, el ángulo exterior del vértice mide 70º. Cuánto miden los ángulos interiores de la base?

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4. El ángulo CAB de un triángulo ABC cualquiera mide 52º; si el ángulo ABC es tres veces mayor que el ángulo ACB. ¿Cuánto mide el ángulo ACB?

5. En un triángulo rectángulo los ángulos agudos están en la razón de 5:4. ¿Cuánto miden estos ángulos?

6. En un triángulo isósceles, un ángulo basal tiene 18,5º más que el ángulo del vértice. Calcula los ángulos interiores del triángulo.

7. Los ángulos interiores de un triángulo están en la razón 3:4:5. ¿Cuánto miden estos ángulos?

8. En un triángulo ABC cualquiera, el ángulo CAB tiene 15º más que el ángulo CBA y éste 12º más que el ángulo ACB. Determina el valor de los ángulos exteriores de este triángulo.

9. En un triángulo isósceles, la suma de uno de los ángulos exteriores de la base con el ángulo exterior del vértice es 243ª. Calcula la medida del ángulo interior del vértice.

10. En un triángulo un ángulo mide 47º y el segundo tiene 17º más que el tercero. Calcula la medida de los ángulos interiores del triángulo.

11. El ángulo ABC de un triángulo ABC cualquiera mide 56º. Si los ángulos CAB y ACB están en la razón 3:2, ¿cuál es el valor del ángulo ACB?

12. En un triángulo rectángulo, uno de los ángulos agudos tiene 20º más que el otro. ¿Cuánto miden los ángulos agudos?

13. En un triángulo cualquiera, un ángulo interior tiene 20º más que otro, pero 35º menos que el tercero. ¿Cuánto miden los ángulos interiores de este triángulo?

14. En un triángulo cualquiera los ángulos exteriores están en razón de 2:3:4. ¿Cuánto miden los ángulos interiores de este triángulo?

15. En un triángulo uno de los ángulos es el 50% de uno de los otros dos y el 33 1/3 % del tercero. Determina la medida del ángulo menor de este triángulo.

24

1.1.8.3. LINEAS Y PUNTOS NOTABLES EN EL TRIÁNGULO

1. MEDIANA: es el segmento trazado desde un vértice hasta el punto medio del lado opuesto. Donde se cortan las

medianas, el punto se llama Baricentro. (B).

B → es el centro degravedad del triangulo.

Las medianas se cortan en el baricentro en una razón de 1:2.

2. ALTURA: es la perpendicular trazada desde un vértice al lado opuesto ó su prolongación. El punto donde se cortan se llama Ortocentro.

3. BISECTRIZ: es la línea que corta un ángulo interior

del triangulo en dos ángulos iguales. El punto

donde se cortan las bisectrices se llama

Incentro, y es el centro de una circunferencia inscrita

25

en el triangulo.

4. MEDIATRIZ: es la perpendicularen el punto medio de cada lado.

El punto donde se cortan lasmediatrices se llamaCircuncentro, y es

el centro de unacircunferencia circunscrita

al triangulo.

Recta de Euler: En un triángulo, el ortocentro, el baricentro y el

circuncentro, siempre serán colineales

1.2 CONGRUENCIA DE TRIÁNGULOS

Consideremos la correspondencia: ΔABC ↔Δ DEF entre los vértices de dos triángulos: ΔABC y Δ DEF.

26

ΔABC ↔Δ DEF quiere decir que: A ↔ D, B ↔ E y C↔ F. de esto podemos decir la correspondencia entre los lados y ángulos asi:

AB ↔ DE A ↔ DBC ↔ EF B ↔ EAC ↔ DF C ↔ F

Definición: sea ΔABC↔ΔDEF una correspondencia entre los vértices de dos triángulos. Si los pares de lados correspondientes son congruentes y los pares de ángulos correspondientes son congruentes, entonces la correspondencia ΔABC↔ΔDEF se llama Congruencia entre triángulos. Si la congruencia entre los dos triángulos es ΔABC↔ΔDEF entonces se escribe: ΔABC ¿ ΔDEF que se lee, “el triangulo ΔABC es congruente con el triangulo ΔDEF”. Se ve entonces, que la congruencia entre dos triángulos depende de las congruencias entre lados y ángulos correspondientes.

Por la definición de congruencia de triangulo dado, vemos que para la correspondencia uno a uno entre dos triángulos sea una congruencia debemos saber que seis partes correspondientes de los dos triángulos, son congruentes.Entonces surge la siguiente pregunta: ¿Cuál es el número mínimo, de partes correspondientes de dos triángulos, que deben ser congruentes, para asegurar que los dos triángulos lo sean?. La respuesta a esta pregunta es tres. Pero no tres al azar. Por ejemplo, si los tres pares de ángulos correspondientes de dos triángulos son congruentes, no necesariamente son congruentes los dos triángulos. En un caso particular puede cumplirse. Para resolver este problema, existen los llamados “Criterios de congruencia entre triángulos”, por medio de los cuales podemos saber cuales tres parejas de partes correspondientes de dos triángulos deben ser congruentes.

Los elementos correspondientes de dos triángulos congruentes se llaman “elementos homólogos”.

1.2.1. CRITERIOS DE CONGRUENCIA DE TRIÁNGULOS

CRITERIO DE CONGRUENCIA L-A-L

27

Dada una correspondencia uno a uno entre los vértices de dos triángulos, si dos lados y el ángulo incluido de un triangulo son congruentes a las partes correspondientes del otro, la correspondencia es una congruencia.

Tal que: AB ¿ DE L A ¿D A entonces ΔABC ¿ ΔDEF

AC ¿ DF L

CRITERIO DE CONGRUENCIA A-L-A

Dada una correspondencia uno a uno entre los vértices de dos triángulos, si dos ángulos y el lado adyacente a ambos del primer triangulo son congruentes a las partes correspondientes del segundo triangulo, entonces la correspondencia es una congruencia.

Es decir, sea ΔABC↔ΔDEF una correspondencia entre dos triángulos. Asi:

BDBC ED entonces ΔABC ΔDEF C F

NOTA: Siempre que veamos un criterio L-A-A; también ocurrirá A-L-A-A, por lo tanto A-L-A.

28

EJEMPLO 2.1

Si BD ¿ AC , 1 = 2; demostrar que ΔABD ΔCBD

Demostración: ABD=DBC=90º (definición de perpendicularidad).BD = BD (lado común); 1=2 (dado) ΔABD ΔCBD (A-L-A)

EJEMPLO 2.2

Sea DA¿ AB; CB ¿ AB; y 1=2. Demostrar que ΔABD ΔABC.,

Demostración: DAB=CBA=90º (definición de ¿ ); AB = AB (lado común)1=2 (dado) ΔABD ΔABC (A-L-A)

CRITERIO DE CONGRUENCIA L-L-L

Dada una correspondencia uno a uno entre los vértices de dos triángulos, si los tres pares de lados correspondientes son congruentes, entonces la correspondencia es una congruencia. O sea: ΔABC ↔ ΔDEF es una

29

correspondencia entre triángulos.

AB ¿ DE L

BC ¿ EF L Entonces ΔABC¿ ΔEDF

AC ¿ DF L

EJEMPLO 2.3: Si AC = AD y ∠1=∠2. Demostrar que ∠C =∠DSolución: AC = AD (dado)∠ 1 = ∠ 2 (dado)AB = AB (Lado común)ΔABC ¿ ΔABD (L-A-L)

→ ∠ C = ∠ D (e.cΔ s.¿ s)

TEOREMA 2: si un triangulo es isósceles, entonces los ángulos adyacentes al supuesto “lado desigual” son congruentes.

Hipótesis: ΔABC isósceles; AB= ACTesis: ∠B =∠C

TEOREMA 3: en todo triangulo isósceles, la altura correspondiente al supuesto “lado desigual”, será también mediana, bisectriz y mediatriz.

Hipótesis: ΔABC isósceles; AB=AC ;

ADAltura

Tesis: AD→ mediana, mediatriz, bisectriz.

TEOREMA 4: En cualquier triangulo la suma de las medidas de los ángulos interiores es 180º.Hipótesis: ΔABC cualquieraTesis: ∠A +∠B +∠C = 180º

30

Definición: en un polígono convexo, un ángulo exterior está formado por la prolongación de un lado y su lado adyacente.

L1,………L5 Ángulos exteriores I1 …….. I5 Ángulos interiores

TEOREMA 5: la suma de los ángulos exteriores en cualquier triangulo es 360º.Hipótesis: ΔABC cualquiera

∠A’, ∠B’, ∠C’ → ángulos

exteriores adyacentes a ∠A, ∠B, ∠C respectivamente

Tesis: ∠A’ +∠B’+∠C’ = 360º

TEOREMA 6: en cualquier triángulo, la medida de un ángulo exterior es igual a la suma de las medidas de los dos ángulos interiores no adyacentes.

Hipótesis: Δ ABC cualquiera

∠A’ → ángulo exterior

adyacente a ∠A

Tesis: ∠A’ = ∠B + ∠C

31

Ejemplo 2.4 (Propuesto): Resuelva utilizando los teoremas del 1 al 6 y justificando todos los pasos:

1. Si b =20 cm.; c =10 cm.; d = ?

2. Si σ=70 ° ; φ=?3. Si f =13cm.; d =20 cm. a = ?

4. Si∠ ACB=40 ° σ=?5. Si d =2c; b = ?

6. Si σ=2θ λ=?

7. Si λ=2φ f =40 cm .; d=?

Ejemplo 2.5: Decir que triángulos son congruentes, indicando el criterio

32

Solucion:

ΔI ⇒30 º+40 º+θ=180 º (suma de ángulos interiores en un triangulo) es el otro angulo⇒θ=180 º−30 º−40 º⇒θ=110 º

33

⇒ ΔI≃Δ III ( A−L−A )40 º 25 110 º

Δ II≃ΔV(L−A−L)18 30° 25

Δ III≃Δ VI(A−L−A )40º 15 110 º

Δ IV≃Δ VII(L−A−L)15 110 º 18

Δ II≃Δ VII (L−L−L)15 18 25

⇒ ΔI≃ΔIII≃ΔVIΔ II≃ΔV≃ΔVII≃Δ IV (Ley transitiva)

Si ΔI≃ΔVI⇒

∠ A=110 º=110 ºc=25=25b=15=15∠B=30 º=30ºSi Δ II≃ΔVII⇒

α+30 º+110 º=180 º (Suma de ángulos interiores en un

triangulo) ⇒α=40 º

∠ A=110 º=110 º∠B=30 º=30º

⇒ ΔVI≃ΔVII (L-A-L)

⇒ ΔI≃Δ II≃Δ III≃…Δ VII (Ley transitiva)

34

Ejemplo 2.6:

HIPOTESIS: M Q=PQ=PR=NRTESIS: ΔMNP es Isósceles

Solución:

PQ=PR (Hipótesis) ⇒ Δ1 Isósceles

⇒ α 2=α3

⇒ β2= β3 (Suplementos de ángulos iguales)

MQ=RN (Hipótesis); ⇒ Δ2≃Δ3 (L-A-L) ⇒∠M =∠N (Elementos correspondientes

en triángulos congruentes (e.c. Δs .¿ s . )); ⇒ ΔMNP Isósceles.

Ejemplo 2.7:

HIPOTESIS: AB=AC ; ∠ A es trisecado

TESIS:AD=AE

Solución:

1=2 (por trisecación)

AB=AC (Hipótesis) ⇒ Δ3 Isósceles ⇒ α 1= α2

⇒ β1= β2 (suplementos de ángulos iguales).

⇒ Δ1≃Δ2 (A-L-A) ⇒ AD=AE (Elementos correspondientes en triángulos congruentes).

35

Ejemplo 2.8: De acuerdo con la figura, donde AE y CD son alturas del triàngulo BAC, y AD = CE; Demuestre que AF = CF

Solución:

θ1=θ2=90 º

(definición de altura).

AD=EC (dado)α 1= α2 (opuestos por vértice) ⇒ Δ1≃Δ2 (A-A-L) ⇒

AF=CF (Elementos correspondientes en triángulos congruentes).

Ejemplo 2.9:

En la figura AC=BC y DC=EC .

Demostrar que AE=DB

Ejemplo 2.10: En la figura AC=BC y∠CDE=∠CED

Demostrar que AE=DB

36

Solución 2.9:

DC=EC (dado)∠C =∠C (ángulo común)

AC=CB (dado) ⇒ Δ1≃Δ2 (L-A-L) ⇒

AE=BD (Elementos correspondientes en triángulos congruentes).

Solución 2.10:

α 1= α2 (dado) ⇒ Δ1 isósceles ⇒

DC=CEC=C (ángulo común)

AC=BC (dado)Δ AEC≃ΔCDB (L-A-L)

⇒ AE=DB (Elementos correspondientes en triángulos congruentes).

37

Ejemplo 2.11:

HIPOTESIS: AE biseca a BD ; DE⊥BD ; AB⊥BD

TESIS: ∠E=∠ A

Solución: θ1=θ2=90 º

(definición de perpendicularidad)

DC=BC (AE biseca a BD )α 1= α2 (opuestos por el vértice)Δ1≃Δ2 (A-L-A)

A=E (Elementos correspondientes en triángulos congruentes).

Ejemplo 2.12:

HIPOTESIS: PQ bisectriz; PQ⊥MN

TESIS: ∠M =∠N

38

Solución:

α 1= α2 (PQ bisectriz)θ1=θ2 (perpendicularidad)

PQ=PQ (lado común)Δ1≃Δ2 (A-L-A)∠M =∠N (Elementos correspondientes en triángulos congruentes).

Ejemplo 2.13:

HIPÓTESIS: 1 = 2;

CE biseca BFTESIS: C = E

Solución: 1=2 (Hipótesis)

⇒ α 1= α2 (suplementos de ángulos iguales)

β1= β2 (opuestos por el vértice)

BD=DF (CE biseca a BF )Δ1≃Δ2 (A-L-A)

C=E (Elementos correspondientes en triángulos congruentes).

39

1.3. SEMEJANZA

1.3.1.RAZONES Y PROPORCIONES

La razón de una cantidad a otra cantidad es el cociente entre ellas. Es decir, razón es un cociente de medidas de cantidades de la misma clase. Podemos, por ejemplo, hallar la razón de la medida de un segmento a la medida de un segundo segmento. Si la medida del primer segmento es 20cm y la medida del segundo es 30cm, la razón

será:

20cm30cm

=23 .

Si en vez de tomar la unidad en centímetros, se utiliza metros, se tiene que la medida

del primer segmento es 0,20m y la del segundo 0,30m y su razón es

0 ,20 m0 ,30m

=23 . O

sea que no importa la unidad de longitud que se use para medir los dos segmentos, la razón de sus medidas es el mismo número, siempre que se use la misma unidad para los dos.

En forma equivalente se pueden hallar las razones entre las medidas de otras clases: ángulos, volúmenes, áreas, etc.

Como una razón es una fracción, todas las reglas que gobiernan las fracciones se

aplican a las razones. Simbólicamente, la razón “x” a “y” se expresa :

xy ,

x÷ y , x : y ( “:” este símbolo se lee “a”).

“x” y “y” se llaman términos de la razón.

Una razón siempre es un número abstracto, es decir, no tiene unidades. En general, las razones se expresan en forma más simplificada.

DEFINICIONES.

Una proporción es una expresión de la igualdad de dos razones. Por ejemplo, las

razones

13 y

412 tiene el mismo valor y su igualdad forma la proporción

40

13 =

412 , ò 1:3 = 4:12.

En general, si las razones

ab y

cd son iguales, entonces

ab =

cd es una proporción.

Se lee “ a es a b como c es a d” o también “ a y b son proporcionales a c y d “

Si

ab =

cd se dice que a es el primer término de la proporción, b el segundo, c el

tercero y d el cuarto. También se utiliza llamar a a y d los extremos y a b y c los medios de la proporción.

1.3.2. SEMEJANZA

En términos corrientes, dos figuras geométricas son semejantes si tienen exactamente la misma forma, pero no necesariamente el mismo tamaño.

Definición. Dos polígonos P1 y P2 son semejantes si existe una correspondencia biunívoca entre sus vértices para la cual los ángulos correspondientes son congruentes y los lados correspondientes son proporcionales. Así sean: Si∠A ∠E,∠B ∠F, ∠C ∠G, ∠D ∠H y.

ABEF

= BCFG

= CDGH

= ADEH

Entonces P1 es semejante a

P2. El símbolo “es semejante a“ es ” ”

41

Veamos algunos ejemplos:

a) Sus ángulos son respectivamente

iguales, pero sus lados no son proporcionales.

( a/b = a/b a/c = a/c) el cuadrado no es semejante

al rectángulo.

b) a/b = a/b = a/b = a/b. Tienensus lados proporcionales, pero

sus ángulos no sonnecesariamente iguales.

el cuadrado no es semejanteal rombo.

c) los dos polígonos tienen sus ángulosrespectivamente iguales , pero sus

lados no son proporcionales( x/x X1/x2 )

los dos polígonos no sonsemejantes

42

Entre dos triángulos, que

muestra la figura:Si ∠A ∠D, ∠B ∠E, ∠C ∠F Y, ABDE

= ACDF

=BCEF ò

cf=b

e=a

d

1.3.3. CRITERIOS DE SEMEJANZA DE TRIÁNGULOS

Dos triángulos son semejantes si cumplen cualquiera de las siguientes condiciones o criterios:

i) si tienen dos pares de ángulos respectivamente iguales ( A-A)

Si ∠A = ∠A’ y ∠B = ∠B’ ABC A’B’C’ (A-A)

ii) si tienen dos lados respectivamente proporcionales e igual el ángulo comprendido ( L-A-L )

43

Si

ABA ' B '

= ACA 'C ' Y ∠A = ∠A’ ABC A’B’C’.(L-A-L)

iii) si tienen sus tres lados proporcionales ( L-L-L )

Si

ABA ' B '

= BCB' C '

= CAC ' A ' ABC A’B’C’

EJEMPLO 3.1:

En la figura, AB // CD. Establecer la proporcionalidad entre los lados homólogos en los dos triángulos de la figura, y hallar el valor de x.

Solución:

∠A = ∠D∠B = ∠C ( alterno internos entre paralelas )

AEB ECD (A-A)

ABCD

= AEED

= BEEC ; se estableció una proporcionalidad entre

sus lados homólogos

X3 =

124 X =

3×124 X = 9

44

EJEMPLO 3.2:

Si CA AD y AB CD; demostrar que ABD ACD y establecer la proporcionalidad entre los lados homólogos.

solución:

∠2 = ∠α = 90º ( definición de perpendicularidad ) ∠D = ∠D ( ángulo común ) Entonces ABD ACD

(A-A)⇒

ABAC

=BDAD

= ADCD

EJEMPLO 3.3:

En la figura BA CA, DE BC,

demostrar

ABED

= BCCD .

Solución: ∠C = ∠C ( ángulo común); ∠CED = ∠CAB = 90º ( def. de )

CED CAB ( A-A ) ⇒

CDCB

= EDAB⏟

=CEAC

ABED

= BCCD

45

1.3.4. TEOREMA DE THALES

TEOREMA 7 (De Thales): Si varias

paralelas cortan a dos transversales,

determinan en ellas segmentos

correspondientes proporcionales.

a1

b1

=a2

b2

=a3

b3

=a4

b4

=.. .

APLICACIONES AL TEOREMA DE THALES.

a1

b1

=a2

b2

=a3

b3

=a4

b4

=a5

b5

=a6

b6

a1

b1

=a2

b2

a1

b1

=a1+a2

b1+b2

a2

b2

=a2+a1

b2+b1

46

1.3.5. TEOREMA DE PITÁGORAS

TEOREMA 8 (De Pitágoras): En un triángulo rectángulo, la hipotenusa al cuadrado es igual a la suma de los

cuadrados de los catetos.Hipótesis: ABC rectángulo, ∠A

rectoTesis: BC2 = AC2 + AB2

EJEMPLO 3.4: Halle los valores pedidos, justificando todos los pasos:

47

Solución:

1.

A=D=28 º ¿ }¿¿⇒ Δ1≈Δ2 ( A−A )¿⇒ x

8=1

2= 3

y Estableciendo proporcionalidad entre sus lados homólogos.

⇒x8=

12

⇒ x=82

⇒ x=4

12=3

y⇒ y=2×3 ⇒ y=6

2.153

=93 porque

31551

=

3931 (están en una

misma razón de 3 a 1)

G= J=40 º ⇒ Δ3≈Δ 4 (L-A-L)

⇒155

=x4⏟=

931 } ⇒

31551

×4=x ⇒ x=12

48

3.

σ+30°=180 º (suplementarios); σ=180 º−30 ° ; σ=150 °

3⏞1

9⏟3

= 4⏞1

12⏟3

= 6⏞1

18⏟3

⇒ Δ5≈Δ6(L-L-L)

Obsérvese que se colocaron arriba los lados de triángulo 5 organizados en orden creciente; por lo tanto abajo se colocaron los lados del triángulo 6 también en orden creciente; y al simplificar quedan en una misma razón de 1 a 3. También se pudieron haber organizado en orden creciente de valores

Por lo tanto α=20 º y σ=δ=150 °en Δ6→ β⏟

↓

+α⏟↓

+σ⏟↓

=180 º (suma de angulos int eriores en un triangulo)

β+20°+150°=180 ° ( Sustitución)⇒β=180 °−20 °−150 ° ; por lo tan to β=10 °

EJEMPLO 3.5: Hallar la altura (h) de un triángulo equilátero, sabiendo que el lado vale l = 12cm.Solución: Como es triángulo equilátero sus tres lados miden lo mismo. Si el triangulo es equilátero, es isósceles; por lo tanto la altura llega

a la mitad del lado opuesto; ⇒DC=6

Pitágoras en

Δ1 → 122=62+h2 ⇒ 144=36+h2

|

49

144−36=h2 ⇒ 108=h2 ⇒ √108=h

√22×32×3=h2×3 √3=h6√3 cm =h ¿¿EJEMPLO 3.6: Para hallar la altura de un asta de bandera, un muchacho cuyos ojos se encuentran a 1.65 metros del suelo coloca una vara de 3 metros de largo clavada en el piso a 15 metros de distancia del asta. Entonces retrocediendo 2.55 metros encuentra que donde va l apunta del asta está alineada con la punta de la vara. ¿cuál es la altura del asta?

Solución:

50

θ1=θ2=90 (perpendicularidad)

β= β (∠ común)

⇒ Δ1≈Δ2 (A-A) ⇒ BG

BK= FG

DK⇒ 15+2. 55

2.55=h−1.65

1 .35⇒

17 . 55×1 .352 .55

+1.65=h⇒10 . 94m=h

EJEMPLO 3.7: Un muchacho observa que la sombra de un árbol tiene 15.68 metros de largo cuando el de su sombra es de 1.95 metros. Si la altura del muchacho es de 1.73 metros ¿cuál es la altura del árbol? (Nota. Supóngase que los rayos del sol son paralelos)

Solución:

B=E=90 º (tanto el árbol como el muchacho se suponer derechos

( forman ∠ recto ) )

A=D (ángulo entre dos paralelas)

⇒ Δ1≈Δ2 (A-A) ⇒ h

1. 73=15 .6

1. 95

⇒ h=15 .6×1 .731 .95

⇒

h=13 .84 m

51

EJEMPLO 3.8:

Hallar el valor de x

Solución:

A=C=90 º (por perpendicularidad)

α 1= α2 (opuestos por el vértice)⇒ Δ1≈Δ2 (A-A)

⇒ x15

=59

⇒ x=15×59

⇒ x=253

52

EJEMPLO 3.9:

Hallar el valor de x

Solución: α=B (dado)

A=A (∠ común )⇒ Δ1≈Δ2 (A-A)

⇒12x

= x16 ⇒12×16=x2⇒ x=√12×16

por lo tan to : x=8√3Obsérvese que si dos ángulos son respectivamente iguales en dos triángulos, los

terceros ángulos son iguales y θ=ϕ

Cuando decimos

12x

= x16

←←

lados del Δ1lados del Δ 2

y

12x

→ va de A a ϕ→va de A a θ }

y A=A ; ϕ=θ

y

x16

→ va de A a α→ va de A a B }

y A=A ; α=B

EJEMPLO 3.10: En las siguientes figuras se presentan 7 pares de triángulos. En cada caso indicar si los triángulos son semejantes. Si lo son, nombrar el criterio en que esto se base.

(a)

53

(b)

(c)

(d)

(e)

(f)

(g)

Solución:

54

(a)

10⏞2

5⏟1

=8⏞2

4⏟1

=6⏞2

3⏟1 son semejantes por (L-L-L)

Obsérvese que arriba colocamos los lados de un triangulo y abajo los lados del otro triangulo, pero en orden decreciente de valores.

(b)

2513

≠24⏞2

12⏟1

≠75

⇒

no son semejantes.

(c) En Δ1 : α+60 º+80 º=180 º (suma de

ángulos interiores en un triangulo)

α=180 °−60 °−80°α=40ºα=θ=40 º ¿}¿¿⇒ Δ1≈Δ2 ( A−A )

¿

(d)

En Δ2 : 70 º+2aº=180 º (suma de ángulos interiores en un triangulo)

⇒ aº=180 º−70 º2

⇒aº=55 º ⇒Δ1≈Δ 2 (A−A )

55

(e)

4⏞2

6⏟3

=8⏞2

12⏟3

¿}¿¿⇒ Δ1≈Δ2(L−A−L)

¿

(f)

a⏞1

3a⏟3

=b⏞1

3b⏟3

¿}¿¿⇒Δ 1≈Δ 2 (L−A−L )¿

(g)

9⏞2

4 .5⏟1

=6⏞2

3⏟1

=4⏞2

2⏟1

⇒

hay semejanza por L - L – L

56

EMPLO 3.11:

En la figura ∠B ∠D y

CD = 4AB;

demostrar que BD = 5BL.

Solución:

α 1= α2 (opuestos por el vértice)

Β=D (dado)

⇒ Δ1≈Δ2 (A-A)

x4 x

= yDL

⇒ DL=4 y

⇒BD=BL+LDBD = y+4 yBD=5 y

EJEMPLO 3.12: Dada la figura, hallar el valor de x.

Solución:

32= x

5 (Teorema de Thales); por lo tanto:

3×52

=x ⇒ 152

=x

57

EJEMPLO 3.13: Dada la figura, hallar el valor de x.

Solución:

A=A (ángulo común)

α 1= α2 correspondientes entre paralelas

⇒ Δ1≈Δ2 ( A−A ) ⇒ x2=4

1⇒ x=8

EJEMPLO 3.14: En la figura BA CA,

DE BC, demostrar

ABED

= BCCD .

Solución: C=C (∠ común)

θ1= A=90 º (por perpendicularidad)

Δ1≈Δ2 (A - A)

⇒ CECA

= EDAB

=CDCB

58

(Lados del triángulo 1 arriba y los lados del triángulo 2 abajo)

⇒ CBCD

= ABED

EJEMPLO 3.15: En la figura dada; será posible que MN // KL?

Solución:

Gráficos

16⏞2

24⏟3

=20⏞2

30⏟3 se cumple le teorema de Thales, por

lo tanto por reciprocidad MN // KL .

EJEMPLO 3.16: Determinar todos los valores de x para los cuales será DE // AB

59

Solución: Como DE // AB⇒ x−3

4=3x−19

x−4 (Teorema de Thales)

( x−4 ) ( x−3 )=4 (3 x−19 ) ⇒ x2−7 x+12=12x−76 ⇒ x2−7 x−12x+12+76=0x2−19x+88=0 ⇒ (x−11) ( x−8 )=0; por lo tan to x=11 y x=8

EJEMPLO 3.17: Expresar x en términos de a,b,c.

Solución: α 1= α2 (dado); θ=θ (ángulo común)

⇒ Δ1≈Δ2 (A – A)

lados del Δ1→lados del Δ 2→

xa= z

z+ y= c

b+c

⇒ x= acb+c

EJEMPLO 3.18: (Propuesto) El tanque en forma de cono invertido de la figura tiene agua hasta una altura de 10 m. Halle el radio del cono de agua.

Observe:

60

EJEMPLO 3.19: (Propuesto)Halle el valor de x en las dos figuras siguientes justificando todos los pasos

EJEMPLO 3.20: (Propuesto)Halle el valor de x justificando todos los pasos.

61

1.4 RESOLUCIÓN DE TRIÁNGULOS

1.4.1. RAZONES TRIGONOMÉTRICAS

DEFINICIONES DE LAS FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS:

Se dan en un triángulo rectángulo.

EJEMPLO 4.1: Si es un ángulo agudo y cosθ=3/ 4 , encontrar los valores de

todas los funciones trigonométricas de θ .

Solución: Pitágoras42=32+co2⇒

co=√16−9=√7

cosθ=3 ←(ca )4 ←(H )

⇒ senθ=√74

;

cot θ= 3

√7;

secθ=43

;

tanθ=√73

; csc θ= 4

√7

Seno= cateto opuestohipotenusa

Co sen o= cateto adyacentehipotenusa

Tangente= cateto opuestocateto adyacente

Cotangente=cateto adyacentecateto opuesto

Secante= hipotenusacateto adyacente

Co secante= hipotenusacateto opuesto

62

Angulo de elevaciónAngulo de depresión

1.4.2. TEOREMA DEL SENO Y TEOREMA DEL COSENO

Un triángulo oblicuángulo es aquel que no contiene un ángulo recto. Teniendo ciertos

datos de un triángulo, podemos hallar los otros datos faltantes por medio de la ley de

senos y cósenos.

Ley de

cosenos:

Ley de senos:

Angulo de elevación y ángulo de depresión:

Debemos tener en cuenta de que cuando se habla de un ángulo de elevación, es un

ángulo con respecto a la horizontal y en el sentido contrario a la rotación de las

manecillas del reloj; mientras que el ángulo de depresión es un ángulo con respecto a

la horizontal y en el mismo sentido de rotación de las manecillas del reloj.

En la navegación se utiliza muchas veces la direcciones con respecto al Norte o con

respecto al Sur.

{a2=b2+c2−2bc cos A ¿ {b2=a2+c2−2accos B ¿¿¿¿{ asenA

= bsenB

= csenC

63

Se leen:

N β°W: Norte β grados

Oeste

N α°E: Norte α grados Este

S °E: Sur grados Este

S ° W: Sur ° grados

Oeste

EJEMPLO 4.2: Resolver el triángulo ABC con con ∠ A=75 º,∠B=33 º,b=10 . 3cm

Solución: ∠C=180 º−33 º−75 º=72º

asenA

= bsenB

= csenC

⇒ asen75∘ =

10 .3sen 33∘ =

csen72∘⏟

a=10.3 . sen75∘

sen33∘ ; c=10 .3 . sen72∘

sen33∘

a=18.3, c=18

EJEMPLO 4.3: Resolver el triángulo ABC con ∠ A=20 º,a=14cm y b=18cm .

Solución: Se ve claramente que hay dos posibilidades.

64

senBb

=sen20 ºa

⇒senB18

=sen20 º14

⇒

senB=18 sen20 º14

=0. 44

∠B=sen−1(0 .44 )⇒∠B=26 º y 154 º

∠C=180 º−20 º−26 º=134 º =∠C⇒180 º−20 º−154 º=6 º=∠C

Csen 6 º

=14sen 20 º

⇒C=14 sen6 ºsen 20º

=4 .3

csen 134 º

=14sen20 º

⇒c=18 sen134 ºsen20 º

=29 .4

EJEMPLO 4.4: Resolver el triángulo ABC, con c=7 cm, a=4cm y b=5cm .

Solución:

a2=b2+c2−2bccos A⇒

42=52+72−2×5×7×cos A

16−25−49−70

=cos A⇒

0 .829=cos A⇒∠ A=34 º

senBb

= senAa

⇒ senB5

= sen34 º4

⇔ senB=5 sen 34 º4

=0 .7⇒∠B=44 .3 º

∠C=180 º−34 º−44 .3 º=101 .7 º=∠C

65

EJEMPLO 4.5: Resolver el triángulo ABC si a=2cm , b=3 .7cm y ∠C=100 º .

Solución:c2=a2+b2−2abcosC⇒

c=√22+3. 72−2¿2¿3 . 7¿cos100 º=4 .36 º

senBb=3,7

=sen 100ºc=4 ,36

⇒ senB=3,7¿ sen100∘

4 ,36⇒ sen B=0 ,836⇒

B=56 ,7 º A=180º−56 ,7∘⏟B

−100 º⏟C

⇒ A=23 ,3 º

EJEMPLO 4.6: Cuando el ángulo de elevación del

sol es de 64º, un poste telefónico que está inclinado

un ángulo de 9º en la dirección a la que se encuentra

el sol, hace un asombra de 21 pies de longitud sobre

el piso, determine la longitud del poste.

Solución:

α=90º−9 º=81 ; β=180 º−64 º−81 º=35 º;Lsen64∘ =

21sen35∘

⇒L=21¿sen 64∘

sen35∘ =32 ,9∘ ⇒ L=32 ,9 pies

EJEMPLO 4.7: Un punto P, al nivel del piso, se encuentra 3 Km. al norte de un punto

Q. Un corredor se dirige en la dirección N 25º E de Q hacia un punto R y de ahí a P en

la dirección S 70º W. Aproxime la distancia recorrida.

Solución: p+q=?

α=70º (correspondientes entre paralelas )

α+θ=180 º (suplementarios )

66

θ=180º−α=180∘−70 º=110 ºθ=110 º

Q+θ+ β=180 º (suma de angulos interiores en el traingulo )

⇒25º+110 º+ β=180 º⇒ β=45º

qsen Q

= Q Psen β

⇒ qsen 25∘=

3sen 45∘ ⇒q=1 ,79Km

psen θ

= P Qsen β

⇒ psen 110∘ =

3sen 45∘ ⇒ p=3 ,99 Km

p+q=3 ,99+1 ,79=5 ,78 Km=p+q

EJEMPLO 4.8: Dada la siguiente

figura ; hallar los valores de las seis

funciones trigonométricas del

ángulo.

Solución:

H2=(−3 )2+ (−4 )2=9+16=25

(Teorema de Pitágoras);

H=±√25⇒ H =+ 5 ; senα=−4

5

cos α=−35

tan α=43

cot α=34

sec α= 5−3

csc α= 5−4

67

EJEMPLO 4.9: Dada la figura; hallar

los valores de las 6 funciones

trigonométricas del ángulo.

Solución: 132=C .O2+(−12 )2 (Pitágoras),

169−144=C .O2⇒25=C .O2

⇒C .O=±√25⇒C .O=−5 ;

cosθ=−12←cateto adyacente

13 ← Hipotenusa

sen θ=−513

; tanθ= −5

−12= 5

12;

cot θ=125

; secθ=13

−12; csc=13

−5

EJEMPLO 4.10: Resolver el triángulo

rectángulo ABC dados:

Solución:

H2=22+22⇒ H=√8=2√2 .

El triángulo ABC es

isósceles ⇒∠ A=∠B=45 º

EJEMPLO 4.11: Resolver el

triangulo ABC de la figura.

Solución: A=90 - 67.5 =

22.5

senA=aH

⇒ sen22 .5∘=10H

⇒H=10sen22.5∘ ⇒H=

100 .3826

=26 . 13 ; cos A=bH

⇒ cos22 . 5∘=b26 .13

⇒b=26 . 13×cos22 .5 °=24 . 14

68

EJEMPLO 4.12: Desde su torre de

observación de 225 pies (1 pie = 30.48

cm.) sobre el suelo, un guardabosques

divisa un incendio. Si el ángulo de

depresión del fuego es 10, ¿a que

distancia de la base de la torre está

localizado el fuego?

Solución: Los dos ángulos son iguales

por alternos internos entre paralelas

tan10∘=225x⇒ x=

225

tan10∘

x=2250 .176

⇒ x=1276 pies

EJEMPLO 4.13: Dos retenes sobre

una carretera están separados por

10 km.. En uno de los retenes se

recibe aviso de un accidente en la

dirección S 86 E del retén; y en el

otro retén se reporta en la dirección

Sur.

1. ¿A qué distancia del primer retén

se produjo el accidente?

2. ¿A qué distancia del segundo

retén se produjo el accidente?

Nota: Los dos retenes están

separados 10 km. en la dirección

Este

Solución: = 90 – 86 = 4

tan α= y10

⇒ y=10 . tan 4∘⇒ y=0 .7 km .

cos α=10Z

⇒Z=10cos4∘ ⇒Z=10 km .

69

A 2410 8.4 millas 4740 B

EJEMPLO 4.14 (Propuesto): Un funicular lleva pasajeros del punto A, que se encuentra a 1.2 millas del pie de una montaña, al Pico del Mirador, en el punto P; como se muestra en la figura: El ángulo de elevación de P desde A es de 21, mientras que el ángulo de elevación desde B, al pie de la montaña, es de 65.

(a) ¿Qué distancia recorre el funicular entre A y P?.

(b) ¿Cuál es la diferencia de elevación entre los puntos A y P?

EJEMPLO 4.15 (Propuesto): Los ángulos de elevación de un globo desde los puntos A y B a nivel del suelo son 2410 y 4740, respectivamente.Según la figura, los puntos A y B están a 8.4 millas entre sí y el globo se encuentra entre ambos puntos, en el mismo plano vertical. Calcular la altura del globo sobre el suelo.

EJEMPLO 4.16 (Propuesto): La caja rectangular de la figuratiene dimensiones 8x6x4.Calcular el ángulo formadopor una diagonal de la base y una diagonal del lado de 6x4.

70

12 m.

60 30

EJEMPLO 4.17(Propuesto): Dos automóviles salen de una ciudad al mismo tiempo y circulan en carreteras rectas que difieren 84 en dirección. Si viajan a 60 y 45 millas / hora respectivamente. ¿A qué distancia aproximada se hallaran al cabo de 20 minutos?.

EJEMPLO 4.18(Propuesto):. Un automovilista viaja en una carretera horizontal a 60 km./h. Directamente hacia una montaña distante. Observa que entre la 1:00 P.M. y la 1:10 P.M. el ángulo de elevación a la cima de la montaña cambia de 10 a 70 grados. Calcule la altura aproximada de la cumbre.

EJEMPLO 4.19(Propuesto): La altura de una colina es de 990m. sobre el nivel de un plano horizontal. Desde un punto A de dicho plano, la elevación angular a

la cima de la colina es de 60. Un

globo se eleva desde el punto A y

asciende verticalmente con velocidad uniforme; después de 5

minutos, la elevación angular a la cima , para un observador que está en el globo, es de 30: Hállese la velocidad de ascensión del globo en kilómetros / hora.

EJEMPLO 4.20 (Propuesto): Un asta de bandera está enclavada verticalmente en lo alto de un edificio. A 12 m. de distancia los ángulos de elevación a la punta del asta y a la parte superior del edificio son de 60 y de 30 respectivamente. Hállese la longitud del asta.

71

X=? Z

30 45

EJEMPLO 4.21(Propuesto): Desde la cúspide de un monumento de 30 m. de altura, los ángulos de depresión de dos objetos que están sobre el terreno en la dirección oeste del monumento, son de 45 y 30. Hállese la distancia que los separa.

EJEMPLO 4.22(Propuesto):Un carpintero quiere construir un marco simétrico de madera de la forma ilustrada en la figura. ¿Cuál debe ser la longitud exterior de AB?

EJEMPLO 4.23(Propuesto): Dos barcos salen de un puerto al mismo tiempo y viajan a la misma velocidad. El primer barco toma dirección Norte; el rumbo del segundo barco es N50E. ¿A qué distancia están los dos barcos uno del otro luego de haber recorrido 18 Km. cada uno?

1.5 CIRCUNFERENCIA Y CÍRCULO

Circunferencia: es el conjunto de todos los puntos que equidistan de otro llamado centro.Círculo: es el conjunto de todos los puntos de la circunferencia y de los interiores a la misma.

72

PJ

1.5.1. ELEMENTOS BÁSICOSArco: Porción de circunferencia:

Cuerda: Segmento determinado por dos puntos de circunferencia. PJ Radio(R): Distancia de un punto sobre la circunferencia al centro. R = EA Diámetro: Una cuerda que pasa por el centro de la circunferencia. D = NF = 2R

Secante: Un segmento que corta la circunferencia en dos puntos. QG

Tangente: Una recta o segmento que toca la circunferencia. MC.

Exterior: Recta o segmento que no tiene ningún punto común con la circunferencia. KL

Nota: La tangente a una circunferencia esPerpendicular al radio en el punto de contacto.

1.5.2.POSICIONES RELATIVAS ENTRE CIRCUNFERENCIAS

a) Circunferencias exteriores.Cuando los puntos de cadauna son exteriores a la otra.

73

b) Circunferencias tangentesExteriores. Cuando las cir-

cunferencias tienen un puntocomún, siendo los demás

puntos de cada una exterio-res a la otra.

c) Circunferencias secantes.Cuando tienen dos puntos en

Común

d) Circunferencias tangentesInteriores. Cuando tienen unPunto en común, siendo los

Demás puntos de una de ellasInteriores a la otra.

e) Circunferencias interiores.

Cuando todos los puntosDe una de ellas son interiores

A la otra.

f) circunferencia concéntricas.Cuando tienen el mismo centro

74

1.5.3 FIGURAS EN EL CÍRCULO

Segmento Sector Corona trapecio Circular circular Circular circular

1.5.4. ANGULOS EN UNA CIRCUNFERENCIA

Definiciones:

a) La medida de un arco completo de una circunferencia es 360°.

b) Ángulo central: Es el que tiene su vértice en el centro de la circunferencia y sus lados son radios.

La medida de un ángulo central es igual al arco que subtiende.

c) Ángulo inscrito: es el

que tiene su vértice sobre la circunferencia y sus lados son dos cuerdas. La medida de un ángulo inscrito es igual a la mitad del arco que subtiende.

<AOB=<C=AB

75

AEB

d) Ángulo semi-inscrito: Es el que tiene su vértice

sobre la circunferencia y sus lados son una tangente y una cuerda.

La medida de un ángulo semi-inscrito es igual a la mitad del arco que subtiende.

EA Tangente, EB cuerda

e) Ángulo interior: Es el que tiene su vértice en un punto interior a la circunferencia. La medida de un ángulo interior es igual a la semisuma de los arcos que subtiende.

Corregir

f) Ángulo exterior: Es el que tiene su

vértice en un punto exterior a la circunferencia. La medida de un ángulo interior es igual a la semidiferencia de los arcos que subtiende.Corregir

I= A B+C D2

e= A B−C D2

76

Ejemplo 5.1: En la figura se tiene que el arco BC es igual al arco DE. Demuestre que el ∠BAD = ∠CAE

Soluciòn: Arco BC es igual al arco DE (Dado); por lo tanto ∠α1 = ∠α2 (Son ángulos centrales; ∠α1 + ∠

θ = ∠α2 + ∠θ (Adiciòn); ∠BAD = ∠CAE

Ejemplo 5.2: En la figura siguiente hallar los valores de los ángulos X y Y y del arco Z.

Soluciòn:

28 °=88 °−Z

2( Angulo exterior )⇒Z=32 °

∠X=88 °2

=44 °=∠ X ( Angulo inscrito )

∠Y=88 °+ {Z2

=88 °+32 °2

=60 ° ¿(Angulo Interior)

Ejemplo 5.3: Hallar los valores de los àngulos X y YCorregirSoluciòn:

∠X= A D2

=180 °2

=90 ° ( Angulo inscrito )

125 °=A B+A D

2( Angulo inscrito )

∠Y= BC+C D2

( Angulo inscrito )

125 °+∠Y = A B+A D+BC+C D2

=360 °2

=180 °

(Suma de arcos en una circunferencia)∠Y=180 °−25 °=55°=∠Y

77

Ejemplo 5.4: Hallar los valores del angulo X y del arco Z

Soluciòn: 3Z+2 Z+ Z+2Z+16=360∘

(Circunferencia completa) ❑⇒

Z=43∘

∠X= AD−EC2

(ángulo Exterior)

∠X= 3 Z−Z2

= 2Z2

=Z=43°

Ejemplo 5.5: Hallar el valor del àngulo X

Soluciòn: ∠ A= BD2

(ángulo inscrito)

❑⇒

70°= BD2

❑⇒

BD=140°

∠X= BAD−BD2

=220°−140°

2

❑⇒

∠ X=40°(ángulo exterior)

EJEMPLO 5.6 (Propuesto): Hallar los valores justificando todos los pasos

78

EJEMPLO 5.7 (Propuesto): Hallar los valores justificando todos los pasos.

1.6 POLÍGONOS Y CUADRILÁTEROS

Al dibujar varios segmentos consecutivos obtendremos una línea poligonal. Un polígono es la región interior de una línea poligonal cerrada y no cruzada. Sus elementos son: los lados, los vértices y las diagonales. A la línea que lo rodea se la llama contorno del polígono. Las figuras pueden dividirse en dos grandes grupos: cóncavas y convexas.

79

CLASIFICACIÓN DE LOS POLÍGONOS POR SU FORMA:

Polígono convexo: Las medidas de sus ángulos interiores son menores de 180°

Polígono cóncavo: La medida de uno o más de sus ángulos interiores es cóncavo

Polígono equilátero: Sus lados son congruentes

Polígono equiángulo: Las medidas de sus ángulos interiores son congruentes

Polígono regular: Es equilátero y a su vez equiángulo

Polígono irregular: Por lo menos tienen valores diferentes dos de sus lados.

CLASIFICACIÓN DE LOS POLÍGONOS POR SU NMERO DE LADOS:Triángulo (3 lados), cuadrilátero (4 lados), pentágono (5 lados), hexágono (6 lados), heptágono (7 lados), octógono (8 lados), eneágono (9 lados), decágono (10 lados), endecágono (11 lados), dodecágono (12 lados), pentedecágono (15 lados), icoságono (20 lados)

1.6.1 APLICACIONES EN POLÍGONOS CONVEXOS:

80

ELEMENTOS DE UN POLÌGONO CONVEXO

i) Sea ABCDEFG un polígono de “n” lados. Se trazan desde A todas las posibles diagonales, formándose (n-2) triángulos. La suma de las medidas de los ángulos interiores de estos (n-2) triángulos es igual a la suma de los ángulos interiores del polígono. De tal forma que: Suma de medidas de los ángulos interiores de un polígono convexo de “n” lados es:

ii) se trazan los ángulos exteriores de un polígono convexo, prolongando los lados en un mismo sentido. Sea Sê = suma de las medidas de los ángulos exteriores de un polígono convexo de “n” lados.

En cada vértice la medida de un ángulo interior más la medida del exterior adyacente es 180º. Como hay “n” vértices:

iA + eA = 180º (suplem.)iB + eB = 180º (suplem.)iC + eC = 180º (suplem.)iD + eD = 180º (suplem.)iE + eE = 180º (suplem.)

si =(n – 2) 180º

81

. . . . . .

+

iA+iB+iC+iD+iE+. ..⏟Si

+eA+eB+eC +eD+eE+. . .⏟Se

=180.n

180(n-2) + Sê = 180n

180n – 360 + Sê =180n

iii) Si desde un vértice de un polígono convexo se trazan todas las diagonales posibles, siempre habrán tres vértices a los cuales no se puede trazar diagonal: el vértice desde el cual se trazan, y los dos vértices contiguos. Por lo tanto: el número de diagonales que se pueden trazar desde un vértice de un polígono convexo es

iv) Desde un vértice de un polígono convexo pueden trazarse “n – 3” diagonales. Como hay “n” vérticesel número de diagonales sería n(n-3); pero como cada diagonal une dos vértices, de esta manera hemos contado doble número de diagonales. Entonces sería la mitad de diagonales. Por lo tanto: El número total de diagonales que se pueden trazar desde todos los vértices de un polígono convexo es:

1.6.2 POLÍGONO REGULAR

D =

n(n−3)2

d = n - 3

Sê = 360º

82

Polígono regular es el que tiene todos sus lados iguales, ángulos interiores iguales y ángulos exteriores iguales

Corolario:Un ángulo interior de un polígono regular es

Corolario:Un ángulo exterior de un polígono regular es

EJEMPLO 6.1: Hallar la suma de los ángulos interiores de un cuadrado.

Solución: sî = ( n-2)180º = (4 - 2)180º = 360º

EJEMPLO 6.2: Cuál es el polígono cuya suma de ángulos interiores vale 1260º

Solución: sî = ( n – 2 )180º ↓

1260º = (n – 2)180º

1260 º180 º + 2 = n n = 9 n = eneágono

EJEMPLO 6.3: Hallar el valor de un ángulo interior de un hexágono regular.

Solución: î =

sin =

(n−2)180 ºn =

(6−2)180 º6 = 120º = î

EJEMPLO 6.4: Determinar cuál es el polígono regular cuyo ángulo interior vale 60º.

e=

Se

n=360∘

n

î =

sin =

180(n−2)n

83

Solución: î =

(n−2)180 ºn

60º =

(n−2)180 ºn 60n = 180n – 360 360 = 120n

triángulo equilátero Ü 3 = n

EJEMPLO 6.5: Hallar la suma de los ángulos exteriores de un eptágono.

Solución: sê =360º 360º

EJEMPLO 6.6: Hallar el valor de un ángulo exterior de un octágono regular.

Solución: ê =

sen =

360 ºn =

360 º8 = 45º

EJEMPLO 6.7: Cuál es el polígono regular cuyo ángulo exterior vale 120º.

Solución: ê =

360 ºn

120 =

360n n =

360120 = 3 triángulo equilátero

EJEMPLO 6.8: Calcular el número de diagonales que se pueden trazar desde un vértice de un pentágono.

Solución: d = n – 3 = 5 – 3 = 2

EJEMPLO 6.9:Cuál es el polígono en el que se pueden trazar tres diagonales desde un vértice.Solución: d = n – 3 3 = n – 3 6 = n hexágono

EJEMPLO 6.10: Calcular el número total de diagonales que se pueden trazar en un octágono.

Solución: D =

n(n−3)2 =

8(8−3)2 = 20

84

EJEMPLO 6.11: Cuál es el polígono en el cual se pueden trazar 14 diagonales en total.

Solución: D =

n(n−3)2

14 =

n(n−3)2 28 = n2 – 3n 0 = n2 – 3n –28

0 = (n – 7)(n + 4) n = 7 eptágono

1.6.3 CUADRILÁTEROS

El cuadrilátero es un polígono de cuatro lados:

EJEMPLO 6.12 (Propuesto): Cuadriláteros. Problemas Verbales

85

1. En un trapecio rectángulo la medida de uno de sus ángulos interiores es 58º. ¿Cuánto miden los otros ángulos interiores?

2. En un romboide la medida de uno de sus ángulos exteriores es 137º. Determina la medida de todos los ángulos interiores de ese romboide.

3. ¿Cuál es la medida del lado del cuadrado cuya diagonal mide 12 cm.?

4. Determina la diagonal del rectángulo cuyos lados miden 5 cm. y  12 cm.

5. Determina la suma de las diagonales del cuadrado cuyo lado mide 8 cm.

6. Señala el tipo de triángulo que se determina al trazar las diagonales de un cuadrado.

7. Completa la siguiente tabla:

PropiedadCuadrilátero(s) que cumple(n) dicha

propiedad

Diagonales iguales

Todos sus lados iguales

Lados opuestos iguales

Sus diagonales se dimidian

Diagonales perpendiculares

Ángulos opuestos iguales

Sus diagonales son bisectrices

Una diagonal dimidia a la otra y viceversa

Todos sus lados desiguales

Sólo dos ángulos interiores congruentes

La suma de sus ángulos exteriores es 360º

Sin ángulos interiores congruentes

86

8. Señala las diferencias entre rombo y romboides.

9. En un rombo, una diagonal es el doble de la otra. Determina el perímetro del rombo sabiendo que la diagonal menor mide 6 cm.

10. Dos cuadrados de 80 cm. de perímetro se unen de manera que forman un rectángulo. Determina la medida de la diagonal del rectángulo formado.

1.7 AREAS Y PERÍMETROS

1.7.1 MEDIDAS.

87

En áreas como ocurre en otros casos, la “unidad de área” se escoge arbitrariamente. Es usual y corriente escoger una unidad que esté relacionada con la unidad de distancia. Si la distancia está en centímetros, el área se medirá en centímetros cuadrados y así, para cualquier unidad de distancia que se elija se medirá el área en la correspondiente unidad cuadrada.

La unidad de área es entonces la región formada por un cuadrado de longitud unitaria y su interior.

Por ejemplo, en la figura , ABCD es un cuadrado que tiene un centímetro de largo; la medida de la región

encerrada se llama centimetro cuadrado = cm2

Otras medidas de áreas comunes son: m2 , pies2 , pu lg adas2 , km2 , etc .

1.7.2 ALGUNAS AREAS Y PERIMETROS PRINCIPALES

Cuadrado: Rectàngulo:

A=bxh

P=2b+2hA=L2

P=4L

88

Romboide: Rombo:

Triàngulo:

Triàngulo equilàtero:

Trapecio: Circunferencia y Círculo:

A=

d1×d 22

P=4L

A=bxh

P=2b+2a

A=(b+B)h

2P=a+b+c+B

A=b×h2

=√ p2( p

2−a )( p

2−b)( p

2−c )

P=a+b+c

A=√ 3 l2

( 3 l2

− l)3=√ 3 l2

×( l2)3=√ 3 l

2× l3

8⇒ A=l2

4√3

P=3L

Longitud→ L=2πR

A=π R2

89

ψL

a

ψ/2

a

L/2

R

1.7.3 RELACIONES MÉTRICAS EN LOS POLÍGONOS REGULARES

Una apotema en un polígono regular es una línea perpendicular trazada desde el centro al

punto medio de uno de sus lados.

Área de un polígono Regular

El área de un polígono regular puede ser calculada de la siguiente forma:

Suponiendo que: A = Área

n = número de lados

L = longitud de uno de los lados

a = apotema

Se cumplen las siguientes relaciones:

En todo polígono regular de “n” lados

se forman “n” triángulos isósceles iguales.

El área de un triangulo es la longitud de la

base multiplicada por la longitud de la altura y luego se divide entre dos: A=b×h

2

Pero sabemos que la base “b” es un lado “L” y que la altura “h” es la apotema “a”;

por lo tanto el área va quedando así: A=b×h

2= L×a

2 .

Pero además sabemos que hay “n” triángulos isósceles iguales; por lo tanto el

área de todo el polígono regular de “n” lados seria:

Ap=n×b×h2

=n×L×a2

=n×L×a2

= P×a2 ;

ya que el perímetro es la suma de

todos los lados; es decir: P=n×L

90

na

nl

Al coger uno de de los “n” triángulos isósceles iguales de todo polígono regular de “n” lados y trazar su apotema se me forma un triángulo rectángulo; en el cual se pueden sacar las siguientes relaciones trigonométricas:

sen(ψ /2)=L/2R

(Se es tan relacionando

L y R )

cos (ψ /2)=aR

(Se es tan relacionando

a y R )

tan (ψ /2)=L/2a

(Se es tan relacionando

L y a ) Observemos que el àngulo ψ/2 siempre se podrá conocer ya que hay “n” ángulos “ψ” iguales, los cuales forman una circunferencia completa, por lo tanto:

n×ψ=360∘ ⇒ ψ=360∘

n Observamos entonces que si en un polígono regular conocemos uno de los siguientes datos: apotema, radio ò lado; podemos conocer los otros dos, y por lo tanto su área.

Resumiendo:

Polígono Regular: an=apotema

ln=valor del lado

Ejemplo 7.1: Un rectángulo tiene 60m2 de área y 32m de perimetro. Hallar sus

dimensiones.

A=n×ln×an

2=

P×an

2P=n×ln

91

Solución: A=bxh=60 (1)

P=2b+2h=32 ⇒÷2⇒b+h=16 b=16-h (2)

(2) en (1)→(16−h )h=60⇒16h−h2=600=h2−16 h+60⇒0=(h−10)(h−6 ) ⇒ h1=10 y h2=6 h1=10 en (2)→b1=6 ⇒dim ensiones : 10m y 6mh2=6 en (1)→b2=10

Ejemplo 7.2: La base de un rectángulo es el triple de su altura y su área es27m2..

Hallar sus dimensiones. b=3h (1) h A=bxh=27 (2)

(1) en (2)→3h2=27⇒h=3m h=3m (1)→b=9m

b=3h

Ejemplo 7.3: El área de un cuadrado es 81 cm¿ 2 ¿¿¿. Hallar su perímetro.

Solución: A= L2

= 81 ⇒ L= 9 cm P= 4L = 4 x 9 = 36 cm = P

Ejemplo 7.4: Dado el trapecio ABCD; BC // AD ; B= 45º, BC = 3a; AB= AD = a.

Hallar: área de ABCD

Solución: sen45=h

a⇒h=a . sen45=0 .707 a

92

Área =

(b+B )h2 =

(a+3a) . 0. 707a2

=1 . 41 .a2

= Área.

Ejemplo 7.5: A la base b de un rectángulo se le añaden 5m. ¿Cuánto debe añadirse a la altura para que el rectángulo resultante tenga un área doble del primero?

Solución:

A2 = 2A1

(b + 5) (h + x) = 2bhbh + bx + 5h + 5x = 2bh ⇒ bx + 5x = bh – 5h ⇒ x (b + 5) = h (b – 5)x= h (b – 5)/ (b + 5) m.

Ejemplo 7.6: Calcular las dimensiones de un trapecio de área 864 m2

, sabiendo que

la base es

35 de la mayor y que la altura es igual al tercio de la suma de las bases.

Solución:

h=

13 ( x+ 3

5x )=8 x

15

A=

(b+B ) h2

⇒864=(35

x+ x) 815

x

2⇒ x = 45 m → base mayor35 x= 27 m → base menor

93

8 x15 = 24 m → altura

Ejemplo 7.7: Hallar el área de un triángulo isósceles sabiendo que su base mide 12 cms y que la altura es igual a la mitad de uno de los lados congruentes.

Solución: Si es isósceles ⇒ BH = 6 cm

h = x /2

Pitágoras: x2 =

( x2 )

2

+ 62;

x2= x2

4+36⇒ x=4√3

Área = b×h

2=

12×4√32

2=12√3

cm2= Área.

Ejemplo 7.8: El perímetro de un rombo es 2P cms y la suma de sus diagonales es m cms. Hallar, en función de P y m, el área del rombo.Solución:

Área =

x . y2 ; 4l = 2P ⇒ l =

P2

Pitágoras: l2=( x

2 )2

+( y2 )

2

⇒( P2 )

2

=( x2 )

2

+( y2 )

2

⇒P2=x2+ y2

(1)

Pero m = x + y ⇒ xyyxm 2222 (2)

(1) en (2) →

m2=P

2+2 xy⇒ m2−P2

2=xy ⇒

Área =

xy2

=m2−P2

4=

Área.

94

EJEMPLO 7.9 : Halle el área de un Decàgono regular de 10 cm. de radio

Solución: θ=360n

=36010

=36→θ2=18

sen18°=

L2

10=

L20

→ L=20×sen18°=6 .18

cos18°= a10

→a=10× cos18°=9.51

A=n . L .a2

=10×6.18×9.512

=293.86cm2

EJEMPLO 7.10: Halle el área de un Pentàgono regular de 15 cm. de apotema

Solución: θ=360n

=3605

=72→θ2=36

tan36°=

L215

=L

30→ L=3 0× tan36=21.8

A=n . L .a2

=5×21.8×152

=1.64cm2

EJEMPLO 7.11: Halle el área de un Octàgono regular de 12 cm. de lado

Solución: θ=360n

=3608

=45→θ2=22.5

95

tan22.5°=6a

→a= 6tan 22.5

=14.49

A=n . L .a2

=8×12×14.492

=695.52cm2

Ejemplo 7.12: Hallar el área entre un octágono regular y una circunferencia de radio 10 cm. circunscrita a dicho octágono.

θ=360n

=3608

=45→θ2=22.5

cos22 .5°= a10

→

a=10. cos22.5=9.24entonces : Aoctagono=n . L .a2

=8×7 .65×9 .242

=282.74 cm2

Acirculo=π r2=π 102=314.16cm2

Entonces: Area entre circulo y octágono= 314.16 – 282.74 = 31.42 cm2

Ejemplo 7.13 (Propuesto): Se mide un terreno entre dos personas con una lienza y estacas. Cuál es el área del terreno si las longitudes encontradas fueron:

 

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Ejemplo 7.14 (Propuesto): Cuáles son las dimensiones de un campo rectangular, sabiendo que la diagonal mide 200 m. y que vendido a $210 el m2., ha producido $3.760.050?

Ejemplo 7.15 (Propuesto): Si se prolonga el radio de un círculo en 4 cm. , el área queda aumentada en 80 cm2. Calcular el lado del cuadrado inscrito en el círculo primitivo.

Ejemplo 7.16 (Propuesto): Hallar el perímetro del rectàngulo mostrado en la figura sabiendo que su àrea son 9600 m. cuadrados.

Ejemplo 7.17 (Propuesto): Hallar el àrea del rectàngulo mostrado en la figura sabiendo que su perímetro son 160 m.

Ejemplo 7.18 (Propuesto): Hallar el àrea de un pentagono regular con 5cm. de radio

Ejemplo 7.19 (Propuesto): Hallar el àrea de un octagono regular con 15cm. de apotema

Ejemplo 7.20 (Propuesto): Hallar el àrea de un decàgono regular con 13 cm. de lado

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