sistema biela - manivela

Área Departamental Aeronáutica

Facultad de Ingeniería

Universidad Nacional de La Plata

Motores Alternativos – Sistema Biela Manivela

Cátedra de Motores I – Motores Alternativos

Prof. Ing. Pablo José Ringegni

Revisión 1 La Plata 2005

Motores Alternativos - Sistema Biela - Manivela 2005

Cátedra de Motores-Departamento de Aeronáutica Página N° 2

Indice

Desplazamiento lineal x del pistón en función del ángulo θ. 3

Velocidad del pistón. 4

Aceleración del pistón. 5

Desplazamiento, velocidad y aceleración de un punto cualquiera de biela. 8 Desplazamiento. 8 Velocidad. 9 Aceleración. 9 Sistema Bielas articuladas 10

Fuerzas de inercia. 11 Fuerzas de inercia de las masas de la manivela. 11 Fuerzas de inercia de las masas del pistón 11 Fuerzas de inercia de la biela. 12

Fuerzas debidas a las presión del gas 17 Diagrama de las fuerzas resultantes- Fuerzas Efectivas 18 Diagrama del par motor 20 Fuerzas efectivas sobre el perno del pistón 23 Fuerzas efectivas sobre el botón de la manivela 24 Cupla motriz media 25 Consideraciones sobre la razón λ 26

Motor desplazado. 27

Bibliografía 29



SISTEMA BIELA-MANIVELA El movimiento alternativo del pistón es transformado en movimiento rotatorio del cigüeñal por el sistema biela - manivela como se representa en la Figura 1.

Figura 1 Sistema Biela - Manivela

En este designamos con R el radio de la manivela, con L la longitud de la biela, con θ el ángulo de rotación del cigüeñal a contar del P.M.S., y con β el ángulo que forma el eje de la biela con el eje del cilindro (ángulo de oblicuidad).

Desplazamiento lineal x del pistón en función del ángulo θ.

)cos1()cos1(coscos βθβθ −+−=−−+= LRLRLRX (1) Como

ββ 21cos sen−= (2) y de la figura se obtiene

CALsenRsen == βθ θβ senLRsen =∴

si ponemos λ=RL



tenemos θλ

β sensen 1=

reemplazando en (2) tenemos

xsensen −=−=−= 1111cos 22

2 θλ

ββ

desarrollando en serie y tomando los dos primeros términos tenemos:

21...

42211

2 xxxx −≅−⋅

−−=−

entonces tenemos que:

22

22

2 42cos11

211111cos

λθθ

λθ

λβ −

−=−=−=−= senxsen

reemplazando en (1) tenemos:

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ −+−=

−+−=

)2cos1(41)cos1(

)2cos1(4

)cos1( 2

θλ

θ

θλ

θ

RX

LRX

Velocidad del pistón. La velocidad del pistón está dada por:

θωθ

θ ddx

dtd

ddx

dtdxX =⋅==

•

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +⋅⋅=

•

θλ

θω 221 sensenRX

si 60

2 n⋅⋅=

πω rad/seg

( )⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +⋅

⋅⋅⋅=

•

θλ

θπ 221

602 sensenRnX

o bien

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +⋅

⋅⋅⋅⋅

=•

θλ

θπ 221

100602 sensenRnX

Si [ •

X ] = metros/seg. [n] = rpm [R] = cm. [L] = cm.



La velocidad máxima del pistón se obtiene cuando

0=

•

dtXd o bien 0=⋅

•

dtd

dXd θθ

0)2cos1(cos2 =+=

•

θλ

θωRdtXd

o sea cuando

0)2cos1(cos =+ θλ

θ

pero como 1cos22cos 2 −= θθ

tenemos

0)1cos2(1cos 2 =−+ θλ

θ

]21

44cos

2

max +⎟⎠⎞

⎜⎝⎛+

−=∴

λλθ U

En la práctica la velocidad máxima del pistón se obtiene con suficiente aproximación cuando la biela y la manivela son perpendiculares entre sí. Se obtiene entonces de Figura 1 que:

] λθ 11max

−− =≅ tgRLtgU

Aceleración del pistón. La aceleración del pistón la podemos obtener considerando

)2cos1(cos2 θλ

θωα

θωθ

θα

+=

===

•••

R

dXd

dtd

dXd

dtXd

La aceleración máxima se obtiene tomando dα/dt = 0, o sea:

0)22(3 =+= θλ

θωα sensenRdtd

como θθθ cos22 sensen =

tendremos 0)cos41(3 =⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ += θ

λθωα senR

dtd

o sea cuando 0)cos41( =⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ + θ

λθsen



se cumple esto cuando senθ = 0 o bien cosθ = - λ/4

• La primera solución (senθ = 0) corresponde a θ = 0 o θ = π Es decir en los puntos muertos superior e inferior. El valor de la aceleración para estos ángulos será:

)11(201 λ

ωαθ

+==

R (máxima) PMS

)11(22 λ

ωαπθ

−−==

R (mínima) PMI

• La segunda solución (cosθ = - λ/4) corresponde a una aceleración cuyo valor es el

siguiente:

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ +=

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡−

+−

=

=−

+=+=

λλω

λ

λλω

λθθωθ

λθωα

18

116

2

4

)1cos2(cos)2cos1(cos

2

2

2

222

3

RR

RR

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ +−=

λλωα 18

23 R es un mínimo.

Consideremos los dos mínimos existentes

)11(22 λ

ωα −−= R

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ +−=

λλωα 18

23 R

.Si λ = 4 tenemos que α2 = α3 existe un solo mínimo ٭ Cuando λ< 4 el valor mínimo corresponde a ٭

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ +−

λλω 18

2R

y se alcanza dos veces, una antes del P.M.I. y otra después del P.M.I. (ver Figura 2).

Cuando λ > 4 no es posible que exista la solución cosθ = - λ/4, por lo tanto el valor mínimo ٭de la aceleración corresponde al P.M.I. y tiene un valor igual a:

)11(2

λωα −−= R



Figura 2 Aceleración del pistón

Figura 3 Aceleración del pistón



Desplazamiento, velocidad y aceleración de un punto cualquiera de biela.

Desplazamiento. El desplazamiento de un punto cualquiera (E) de la biela (Figura 4) será igual al desplazamiento del punto B, más el desplazamiento relativo del punto E respecto al B, de este modo se obtiene:

Figura 4

La distancia original OE (para θ = 0º) “h” es fija, pero su proyección en el eje X varía en función de θ y ésta dada por:

( ) ββ coscos0

⋅+=⋅−−+= hXhhXhX BBE siendo:

( ) )cos1(cos ββ −⋅=⋅−= hhhX EB el desplazamiento relativo de E con respecto a B.

luego

βcoshXX BE += βhsenYY BE +=



pero YB =0, luego

βhsenYE = Sustituyendo senβ y cosβ de la igualdad:

2

22

2

2

2

2

2

42cos11cos

42cos1

2

...2

11cos

1

λθβ

λθ

λθ

λθ

λθβ

θλ

β

−−=

−=

+−=−=

=

sen

sensen

sensen

tenemos que:

θ

θλ

θ

senLhRY

hLhRX

E

E

=

+⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −+−= )2cos1(1

41)cos1(

E = punto considerado de la biela si el pistón estuviera en PMS; E’= punto E si la biela tuviera solamente movimiento hacia abajo (se cumple OE=BE’); E’’= punto actual biela después del desplazamiento del pistón en su valor X y rotación β de la biela.

Velocidad.

Las dos componentes de la velocidad ∗

X E EY∗

del punto E serán:

1 1 22

cos

E EE

E EE

dX dX d hX R sen sendt d dt L

dY dY d hY Rdt d dt L

θ ω θ θθ λ

θ ω θθ

∗

∗

⎡ ⎤⎛ ⎞= = = + −⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠⎣ ⎦

= = =

Aceleración. Las dos componentes α Ex y α Ey de la aceleración serán:

2

2

1cos 1 cos 2E ExE

E EyE

d X d X d hRdt d dt L

d Y d Y d hR sendt d dt L

θα ω θ θθ λ

θα ω θθ

• •

• •

⎡ ⎤⎛ ⎞= = = + −⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠⎣ ⎦

= = = −



Sistema Bielas articuladas. Se designa como bielas articuladas o bieletas a aquellas bielas, cuyo extremo inferior articula en el extremo de otra biela llamada principal o maestra. Los desplazamientos de las bieletas no son iguales a los de la biela principal.

222222

22

coscoscos)(

βδθ lrROBOBLRX

++=

−+=

Eje cilindro Nº 1 PMS Eje cilindro Nº 2 B1 X1

PMS B2 X2 β1

β1 δ2 L ϕ r2

Fig. 5 Sistema de bielas articuladas

operando se puede llegar a la expresión siguiente:

[ ] [ ]{[ ] }222222

222222222

)(cos)2cos1(cos)2cos(cos)(2cos1)cos(

εθψθεθεψθϕψθψθ

sensensenfedcbaROB

−−+−−−−−+−−−−+=

siendo:

R

rla 2222

cosε+= ;

22 4l

Rb = ; 2

22 2Ll

Rrc = ;

22

2 4LRrd = ;

Lre 2

2 = ; 2

2 lLf = ;

222

1222

ϕψεβψϕδ

−=+=+

La expresión anterior se a desarrollado para el cilindro N° 2 pero puede generalizarse para el cilindro N° Z, con el solo hecho de reemplazar en subíndice 2 por Z.

R



Fuerzas de inercia.

Fuerzas de inercia de las masas de la manivela. Las masas de la manivela son puramente rotantes, por lo tanto las fuerzas que generan son fuerzas centrifugas y su dirección es radial (ver Figura 6). Si designamos con Mm a la masa de la manivela y con Rg el radio de rotación de su centro de gravedad, se tiene:

2ωgmm RMF =

Las dos componentes según los ejes xx e yy serán:

θω

θω

senRMF

RMF

gmy

m

gmx

m

2

2 cos

=

=

Figura 6 Fuerzas en la manivela

Fuerzas de inercia de las masas del pistón

La masa del pistón está animada de movimiento alternativo. Si designamos con la Ma a toda la masa (pistón, perno de pistón y aros) animada de movimiento alternativo, las fuerzas de inercia serán, tomando la aproximación anteriormente supuesta:

0

2cos1cos2

==

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +==

yaa

ya

axaa

xa

MF

RMMF

α

θλ

θωα



Fuerzas de inercia de la biela.

Como hemos visto anteriormente cada punto de la biela está sometido a una aceleración que depende de su distancia al eje de oscilación B (ver Figura 7).

Figura 7

Cada elemento de masa (dm) produce entonces una fuerza elemental de inercia (dF) y naturalmente la fuerza de inercia total será igual a la suma de estas fuerzas elementales. El problema puede simplificarse recordando que cada punto de la biela está sometido simultáneamente a dos aceleraciones, una por traslación del punto B y la otra por rotación alrededor del mismo punto B. La aceleración angular debido a la rotación alrededor del punto B produce una cupla C1. Esta cupla es igual al producto del momento de inercia G

bI de la biela, respecto a G, por la aceleración angular β, es decir:

β&&G

bIC =1



Además por otra parte en el movimiento alrededor del punto B, cada elemento de masa (ΔM) de la biela a una distancia x desde el punto B, produce una fuerza tangencial igual a:

β⋅⋅Δ=Δ &&xmFt La fuerza tangencial total aplicada a un punto G será :

∑ ∑ β=β⋅⋅Δ=Δ= &&&&bbitt hMxmFF

que poseerá dos componentes, una según x y la otra según y. Existe en este punto, como resultante, además de la fuerza un momento.

Si elegimos un punto distinto del centro de gravedad al cual podemos transportar esta fuerza Ft anulándose el momento resultante, este punto será el centro de percusión de un péndulo compuesto (punto E).

Estando aplicada esta fuerza Ft en el punto E y teniendo el valor:

β= &&bbt hMF y si

designamos con he a la distancia desde este punto hasta el centro de gravedad, el momento que hemos hecho nulo al llevar la fuerza Ft desde G a E valdrá

β== &&

ebbet1 hhMhFC como anteriormente habíamos dicho que la aceleración angular alrededor de un punto “B” produce una cupla que es

1

GbC I β= && tendremos que, igualando es:

2bebbb KMhhMI ==

siendo K = radio de giro que permite considerar a la biela como el péndulo compuesto cuya longitud es

h = (hb + he)

luego podemos sustituir la biela real por un sistema dinámicamente equivalente constituido por dos masas, una ubicada en el punto “B” y otra en el punto E (centro de percusión) (Figura 8). De esa figura tenemos las siguientes

MB hb = ME he

MB + ME = Mb hb + he = h de donde tenemos



hhMM b

bE = ; hhMM e

bB =

MB ME

CG h b he

h

Fig. 8 Sistema dinámicamente equivalente de dos masas

Los componentes de las fuerzas de cada una de estas masas será:

xEE

xE MF α= ;

yEE

yE MF α=

xBB

xB MF α= ; 0=y

BF

Sustituyendo las masas y las aceleraciones tendremos para cada caso:

⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪

⎨

⎧

=

−=

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ +=

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −+=

0

2cos1cos

2cos11cos

2

2

2

yB

bb

yE

eb

xB

bb

xE

F

senRLh

MF

RhhMF

LhR

hhMF

θω

θλ

θω

θλ

θω

La resultante total de estas fuerzas según los ejes xx e yy serán:

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −+=+=

−⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +=

⋅−

−⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +

+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +

=+=

θλ

θω

θλωθ

λθω

θλω

θλ

ωθω

2cos11cos

2cos2cos1cos

2cos

2coscos

2

22

2

22

Lh

RMFFF

LhRMRM

hL

Rhh

M

hhhRM

hhh

RMFFF

bb

xB

xE

x

bbb

bb

ebbebb

xB

xE

x

y lo mismo para

θω senRLh

MFF bb

yE

y 20 −=+=



En la práctica el sistema de la biela se sustituye por dos masas supuestas en el punto “B” y “C” (Figura 9) tal que

Lh

MM cbB = ;

Lh

MM bbC =

MB Mc

CG E h b he hc h

L

Fig. 9 Distribución de masas puntuales de una biela

Se puede demostrar que este sistema da una fuerza resultante igual en magnitud y dirección que el sistema de masas equivalentes, simplemente sumando los componentes de este nuevo sistema según los ejes xx e yy, o sea

θω−=α=

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ θ

λ+θω=α=

θω=α=

senRL

hM

Lh

MF

2cos1cosRLh

MLh

MF

cosRL

hM

Lh

MF

2bb

yC

bb

yC

2cb

xB

cb

xB

2bb

xC

bb

xC

Sumando según los componentes resultará:

θω−==

θλω

−⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ θ

λ+θω=+=

senRL

hMFF

2cosRL

hM2cos1cosRMFFF

2bb

yC

y

2b

b2

bxB

xC

x

La masa Mc puede ser considerada como animada de movimiento rotativo y por lo tanto agregado a la masa del cigüeñal. La masa Mb puede ser considerada como animada de movimiento alternativo y por lo tanto agregado a la masa del pistón. De esto se puede deducir que las fuerzas resultantes que se obtienen en un sistema como el adoptado, con masas concentradas en el punto “B” y “C”, tienen la misma magnitud y dirección pero distinta línea de acción. Habíamos visto que la cupla de inercia del sistema equivalente era

β=β= &&&&

ebbb1 hhMIC en cambio la cupla de inercia del sistema adoptado será

β=β= &&&&

cbb'b

'1 hhMIC



La diferencia entre las cuplas dadas por C1 y C’1 será:

β−=−= &&)hh(hMCCC cebb'11c

Por lo tanto al sustituir la biela por un sistema de masas ubicadas en “B” y “C” es necesario introducir una cupla correctora para que el sistema adoptado sea dinámicamente equivalente al sistema real.

El valor de β&& se puede obtener derivando dos veces respecto a “t” la expresión

sen β = 1/ λ sen θ

operando y tomando, en las series los dos primeros términos, tenemos:

θλ

ω−≅β sen

2&&

o sea reemplazando en la expresión que nos da Cc tenemos:

θλ

ω senhLhMC bbc

2

)( −=

Veamos que efecto produce esta cupla. Figura 10. La cupla correctora se puede reemplazar por dos fuerzas F y –F paralelas al eje yy, cuyo valor sea

cCFL =βcos βcosLCF c=∴

en el punto “O” podremos aplicar un sistema de fuerzas F y –F paralelo al eje yy. X F B Cc L β C3 - F C C2 θ R - F O F

Y X Y

Fig. 10 Cuplas en el sistema biela manivela



Tenemos como resultado una cupla C3 con el valor

)coscos(3 θβ RLFC += Una cupla C2 con valor

θcos2 FRC =

El valor Cc que como hemos visto

βcosFLCc =

de tal manera

23 CCC c += como C2 es apenas un 10% de Cc tendremos prácticamente

3c CC ≅

o sea que la cupla C3 es prácticamente igual a la cupla correctora y el efecto de esta cupla C 3 es la de provocar un basculamiento en el motor.

Fuerzas debidas a la presión del gas La presión instantánea de los gases dentro del cilindro, y durante el desarrollo del ciclo, varía de instante a instante de acuerdo a la presión del gas en el interior del cilindro y es función del ángulo de rotación del cigüeñal. El valor instantáneo de la presión Pθ de los gases en el interior de la cámara se determina en función del ángulo de rotación θ del cigüeñal tomando como base el diagrama indicado que se ha visto cuando se desarrollara el tema de ciclos reales A cada valor del ángulo θ corresponde un desplazamiento Xθ del pistón y un determinado valor de la presión Pθ de los gases. La carrera del pistón Xθ puede obtenerse directamente de las expresiones anteriormente vistas. La fuerza total debida a los gases que actúa sobre el pistón será entonces igual a:

4dPF

2

gπ

= θ

Siendo d el diámetro del cilindro y Pθ la presión instantánea de los gases dentro del cilindro.



Diagrama de las fuerzas resultantes- Fuerzas Efectivas La fuerza resultante, dirigida a lo largo del eje del cilindro, que en cada instante actúa sobre los órganos del conjunto biela-manivela, se obtiene haciendo la composición de los valores que en ese instante asumen la fuerza debida a la presión del fluido de trabajo sobre el pistón y la fuerza alternativa de inercia. Según que estas componentes estén dirigidas en el mismo sentido o en sentido contrario, la fuerza resultante es su suma o bien su diferencia. Así, por ejemplo, al comienzo de la carrera de expansión, la fuerza alternativa de inercia se opone a la debida a la presión de los gases (Figura 11), por lo tanto el empuje transmitido por el pistón al cigüeñal se reduce en una cantidad igual a la fuerza de inercia de las masas alternativas.

Fig 11 Direcciones instantáneas de las fuerzas sobre el pistón

La reducción es especialmente importante cuando el motor gira a altas velocidades. Gráficamente puede obtenerse el diagrama de las fuerzas resultantes simplemente componiendo el diagrama de las fuerzas debidas a la presión del gas con el de las fuerzas alternativas de inercia. Con este procedimiento se ha trazado el diagrama de la (Figura 12), para un motor monocilindro de ciclo Otto y 4 tiempos. Tanto las fuerzas debidas a la presión de los gases como las de inercia han sido divididas por el área del pistón y por lo tanto están medidas en bar teniendo las mismas dimensiones que una presión; se las considera positivas cuando su dirección coincide con la de la velocidad del pistón, negativas en caso contrario. La línea de puntos y rayas representa el diagrama de las presiones ejercidas por los gases sobre el pistón, presiones cuyo valor, en función de la posición del pistón, esta dado por el ciclo indicado del motor. La línea de trazos representa, en



cambio, el diagrama de las fuerzas específicas de inercia, que puede obtenerse por ejemplo, de la manera descrita anteriormente. La línea continua es el diagrama resultante obtenido de la composición del diagrama de trazos con el de puntos y rayas. Analizando las diferentes fases del ciclo, notamos que durante la carrera de admisión o aspiración, prácticamente actúa únicamente la fuerza de inercia de las masas alternativas porque la fuerza debida a la ligera depresión que se crea en el cilindro es de magnitud despreciable. En la segunda carrera, moviéndose el pistón de abajo hacia arriba, el diagrama de las fuerzas de inercia se invierte y la presión debida a la compresión se opone evidentemente al movimiento del pistón. En la primera parte de la carrera de expansión, como ya se ha dicho, la fuerza de inercia se opone a la presión debida a la combustión. En la carrera de escape el cilindro está en comunicación con el exterior, los gases quemados ofrecen una resistencia mínima al movimiento del pistón y por lo tanto sobre la manivela actúa prácticamente sólo la fuerza de inercia.

Fig. 12 Diagrama resultante para un motor monocilindro de ciclo Otto y 4 tiempos.

Con el fin de poner en evidencia la importancia que las fuerzas de inercia tienen a los diferentes regímenes de funcionamiento del motor se han trazado en la Figura 13 los diagramas resultantes correspondientes a los regímenes de 1000, 2200, 4400 rpm para el mismo motor monocilíndro de la Figura 12, considerando constante el diagrama indicado. Del examen de la figura se observa que a bajo régimen (a) prevalecen las fuerzas definidas por el diagrama indicado; a medio régimen (b) las fuerzas de inercia comienzan a ser apreciables, reduciendo ligeramente las solicitaciones debida a las presiones máximas del ciclo; a las altas velocidades (c) las fuerzas de inercia asumen importancia cada vez mayor, regularizando el diagrama resultante y rebajando el valor de la carga máxima sobre los cojinetes, pero aumentando notablemente la carga media.



Fig. 13 Influencia de las variaciones de régimen en el diagrama resultante

Diagrama del par motor La fuerza resultante F sobre el pistón, suma de la fuerza alternativa de inercia Fa y de la debida a la presión de los gases Fg, está equilibrada por las reacciones de la biela y de la pared



del cilindro. De esto resulta (Figura 14) que sobre la biela actúa la fuerza Fb dirigida según su eje y hacia el perno de la manivela, de intensidad dada por:

βcosFFb =

y sobre la pared del cilindro la fuerza Fn dirigida perpendicularmente hacia la pared misma, de intensidad:

βtgFFn ⋅=

Fig. 14 Descomposición de la fuerza resultante

La componente F n que, como resulta de la fórmula, es tanto mayor cuanto mayor es el ángulo β , es evidentemente la razón de la pérdida de potencia causada por el rozamiento entre el pistón y la pared del cilindro. La componente Fb es en cambio transmitida por la biela al codo del cigüeñal y por lo tanto al cigüeñal. F b actúa con respecto al eje de rotación con un brazo d = r sen (θ + β), de modo que origina el momento motor Mt de intensidad:

dFM bt ⋅=

Sustituyendo Fb y d por sus valores se obtiene:



⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ββ

θ+θ⋅⋅=β+θ⋅⋅β

=cossencossenrF)sen(r

cosFM t

Recordando que θλ

=β sen1sen , y que θλ−=β 22 sen1cos , se tiene:

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

θλ−λ

θθ+θ⋅⋅=

22t

sen1

cossensenrFM

y, despreciando el término θλ 22 sen , se tiene en definitiva:

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ θ

λ+θ⋅⋅= 2sen

21senrFM t

La misma expresión del momento motor puede obtenerse descomponiendo la fuerza Fb en una componente radial Fr y una tangencial Ft. La primera, Fr, evidentemente no contribuye al momento motriz, mientras la segunda, Ft, actúa con un brazo r constante. El momento motriz vale:

rFM tt ⋅=

De la figura se tiene inmediatamente:

)sen(FF bt β+θ=

Y por lo tanto:

)sen(rFM bt β+θ⋅⋅= De este modo, o bien repitiendo la construcción gráfica de la Figura 14, es fácil trazar en función de α el diagrama del par motor Mt el cual, como ya sabemos, se anula para θ=0 y θ=π. En la Figura 15 se ha trazado el diagrama del par motor para un motor monocilíndro de 4 tiempos. La forma del diagrama revela el desarrollo pulsante (puesto en evidencia por las expresiones analíticas correspondientes) que puede ser causa de irregularidades de marcha y de vibraciones del motor. La suma algebraica de las áreas positivas y negativas del diagrama representa el trabajo motriz realizado en un ciclo; igualando su área a la de un rectángulo que tiene la misma abscisa como base (2 vueltas = 4 π en el caso de la figura) la altura del rectángulo representa el valor medio del par motor (momento motriz medio). Resulta claro que en motor monocilíndro de 4 tiempos, en el cual se tiene una sola fase útil cada dos vueltas, el valor de la ordenada máxima es mucho mayor que el de la ordenada media.



Fig. 15 Diagrama del par motor para un mono cilindro de cuatro tiempos

En la Figura 16 se muestra la fuerza tangencial debida a las gases (Fg ), debido a las masas alternativas (Fa ) y la fuerza tangencial total (Ft ). En el mismo grafico se ha representado la escala “f” que no es más que la fuerza tangencial total referida al área del pistón.

Fig. 16 Curvas de fuerzas tangenciales (inercia y gas) de un mono cilindro, 4 tiempos, con n = 3.500 y n = 1.500

Fuerzas efectivas sobre el perno del pistón Las fuerzas instantáneas que actúan simultáneamente sobre el perno del pistón y según la dirección del eje del cilindro son :



a- La fuerza debido a la presión del gas dentro del cilindro y cuyo valor instantáneo está dado por la expresión:

4dPF

2

gπ

= θ

b- La fuerza de inercia de la masa del pistón completo (pistón, perno y aros) animado de

movimiento alternativo y cuyo valor instantáneo es igual a:

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ θ

λ+θω=α= 2cos1cosRMMF 2

pxBp

xp

Luego la fuerza efectiva en el perno del pistón según la dirección x ( x

efppF ) será: xpg

xefpp FFF +=

A lo anterior se le debe agregar la fuerza de roce del pistón, la cual está representada por β+= tan)FF(F x

pgN Por lo tanto, para un instante determinado, la fuerza efectiva sobre el perno del pistón se puede representar con el siguiente diagrama vectorial FN Fepp Fg Fp

Fig. 17 Representación vectorial instantánea de la Fuerza en el perno del pistón

Fuerzas efectivas sobre el botón de la manivela Sobre el botón de la manivela y según el eje del cilindro actúan simultáneamente:



a- Fuerza debido a la presión del gas cuyo valor instantáneo es el de la expresión:

4dPF

2

gπ

= θ

b- La fuerza de inercia de la masa del pistón completo y de la parte de la masa de la biela

concentrado en “B” animado de movimiento alternativo y cuyo valor instantáneo es:

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ θ

λ+θω⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+=α⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+= 2cos1cosR

Lh

MML

hMMF 2c

bpxB

cbp

xB

c- La componente según x de la fuerza de inercia de la parte de la masa de la biela

concentrada en el punto “C”, (Mbhb / L), animado de movimiento de rotación y cuyo valor es:

θω=α= cosRL

hM

Lh

MF 2bb

xC

bb

xC

Según el eje perpendicular (eje y) actúa la fuerza FN y la componente de la fuerza de inercia de la masa concentrada en “C” (Mbhb / L), cuyo valor es:

θω=α= senRL

hM

Lh

MF 2bb

yC

bb

yC

Por lo tanto, para un instante determinado, las fuerza efectiva sobre el botón de la manivela se puede representar con el siguiente diagrama vectorial FN Febm Fg Fc FB

Fig. 18 Representación vectorial instantánea de la Fuerza sobre el botón de la manivela

Cupla motriz media El valor instantáneo de la cupla motriz producida es como hemos visto:



RFC tZ ⋅= El trabajo total en un ciclo completo (los cuatro tiempos se cumplen en dos vueltas) es:

θθθππθ

dFRdCdCT tZZ ∫∫∫ ⋅=⋅=⋅=4

0

4

00

La cupla media será entonces:

θπ

θπ

ππ

dFRdCC tZmz ∫∫ ⋅=⋅=4

0

4

0 441

Fig. 19 Descomposición de fuerzas sobre el botón de la manivela

Consideraciones sobre la razón λ La importancia de la razón λ = L/R = 2L/C es de carácter totalmente mecánico, porque no afecta las características termodinámicas del motor. Cuanto mayor es la razón λ tanto menor es el empuje del pistón sobre la pared del cilindro, lo que da la posibilidad de acortar los laterales del pistón y por lo tanto reducir la masa del mismo; pero en la misma proporción aumenta la masa de la parte de la biela sometida a movimiento alternativo y esto conduce a mayores fuerzas alternativas de inercia. En efecto, consideremos la expresión de las fuerzas alternativas de inercia:

Fa = Ma ω2 R (cos θ + (1/λ) cos 2 θ). El valor de la masa Ma aumenta al aumentar L, pero de manera menos que proporcional, mientras que el valor de λ varía de manera inversamente proporcional a L. De aquí que las fuerzas alternativas de inercia de 1er. orden aumenten con el aumen0to de L por efecto del



aumento de Ma; mientras que las de 2do. orden permanecen aproximadamente constantes, porque el aumento de m Ma casi compensa la disminución de 1/λ . En la práctica estas consideraciones se tienen en cuenta, según las necesidades del diseño y las disponibilidades de espacio y de peso.

Motor desplazado. El empuje Fn del pistón sobre la pared del cilindro, expresado por Fn = F tg β (Figura 20) provoca pérdidas de potencia por rozamiento, y es también causa de desgaste y por lo tanto de defectos en el sellado entre cilindro y pistón.

Fig. 20 Empuje lateral, momento de reacción y vibraciones debidas a la inclinación de la biela

Para disminuir la magnitud de este empuje, y no siendo conveniente, como hemos visto, aumentar más allá de un cierto limite de la longitud de la biela ( y por lo tanto la oblicuidad de β ), se recurre a veces a la traslación lateral del eje del cilindro con respecto al plano vertical que pasa por el eje del cigüeñal: el mecanismo biela-manivela queda desplazado Figura 21. La traslación debe hacerse hacia la misma parte hacia la cual se produce la rotación de la manivela en la fase de expansión. La biela resulta así menos inclinada en las fases de expansión y de aspiración y más inclinada en las fases de compresión y de escape, por lo que se tiene como consecuencia una disminución del empuje máximo y un aumento del mínimo. El desplazamiento provoca diversas anomalías: los puntos muertos del pistón no corresponden angularmente a los puntos muertos del conjunto biela-manivela de modo que una carrera



ocupa un ángulo ligeramente superior a 180° y la otra uno inferior; la carrera del pistón resulta algo mayor que el valor normal.

Fig. 21 Comparación entre un motor normal y un desplazado

Para este caso como la dirección de translación no pasa por el centro del cigüeñal, hay una modificación en la expresión de la fuerza de inercia alternativa según el eje xx. Una expresión simplificada nos da:

⎥⎦⎤+⋅+⋅−

−⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ++−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ ++=

...5128

75389

8314cos

412cos

2311cos

42

2322

θμλ

θμλ

θλ

μθλ

θμλ

θω

sensen

senRMF ax

a

Siendo La=μ

Otra posibilidad es no desplazar el eje del cilindro, sino el orificio del perno del pistón.



Bibliografía

- Manuales del Ingeniero Técnico. Motores Térmicos. Motores de pistón y turbinas a gas. Günther Schneider

- Motori Endotermici. Dante Giacosa - Diseño de maquinaria. Robert L. Norton

sistema biela - manivela

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