mecanismos y elementos de máquinas mecanismos y … sistema biela... · motores alternativos -...

Área Departamental Aeronáutica

Facultad de Ingeniería

Universidad Nacional de La Plata

Mecanismos y Elementos de Máquinas –

Mecanismos y Sistemas de Aeronaves

Pablo L. Ringegni

Revisión 5

La Plata 2016

Motores Alternativos - Sistema Biela - Manivela 2014

Página N° 2

Índice

MECANISMOS Y ELEMENTOS DE MÁQUINAS – MECANISMOS Y SISTEMAS DE AERONAVES .............................................................................................................. 1

Índice 2

SISTEMA BIELA-MANIVELA 3

Desplazamiento lineal (x) del pistón en función del ángulo............................................................................. 3 Velocidad del pistón. .......................................................................................................................................... 4 Aceleración del pistón. ....................................................................................................................................... 5

DESPLAZAMIENTO, VELOCIDAD Y ACELERACIÓN DE UN PUNTO CUALQUIERA DE BIELA. 8 Desplazamiento. ................................................................................................................................................. 8 Velocidad. ........................................................................................................................................................... 9 Aceleración. ........................................................................................................................................................ 9

CINEMÁTICA DE LA MANIVELA 10 Desplazamiento del punto C: ............................................................................................................................ 10 Velocidad del punto C: ..................................................................................................................................... 10 Aceleración del punto C: .................................................................................................................................. 10

MODELIZACIÓN DEL SISTEMA BIELA MANIVELA 11 Modelización del pistón:................................................................................................................................... 11 Modelización de la manivela: ........................................................................................................................... 12 Modelización de la biela: .................................................................................................................................. 12

Modelo dinámicamente equivalente 13

Modelo práctico o aproximado 14

ESTUDIO DE FUERZAS EN EL SISTEMA BIELA –MANIVELA. DIMENSIONADO PRELIMINAR

DE SUS COMPONENTES 16 Componente Perno de Pistón ............................................................................................................................ 17 Componente Biela ............................................................................................................................................ 17 Componente Muñón de manivela ..................................................................................................................... 18 Componente manivela ...................................................................................................................................... 19 Análisis de reacciones en los vínculos .............................................................................................................. 21 Análisis en las paredes del pistón ..................................................................................................................... 22 Diagrama del par motor .................................................................................................................................... 23

Bibliografía 24


Página N° 3

SISTEMA BIELA-MANIVELA

El movimiento alternativo del pistón es transformado en movimiento rotatorio del cigüeñal

por el sistema biela - manivela como se representa en la Figura 1.

Figura 1: Sistema Biela – Manivela

En este designamos con R el radio de la manivela, con L la longitud de la biela, con el

ángulo de rotación del cigüeñal a contar del Punto muerto superior (P.M.S)., y con el ángulo

que forma el eje de la biela con el eje del cilindro (ángulo de oblicuidad).

Desplazamiento lineal (x) del pistón en función del ángulo.

)cos1()cos1(coscos LRLRLRX (1)

Como

21cos sen (2)

De la figura 1 se obtiene:

DCsenLsenR senL

Rsen

Si ponemos: R

L


Página N° 4

Se tiene:

sensen 1

Reemplazando en (2) tenemos:

xaeequivalentFunciónsensen 1:1

11cos 2

2

2

Desarrollando en serie y tomando los dos primeros términos tenemos:

21...

42211

2 xxxx

Entonces tenemos que:

2

2

2

2

2 4

2cos11

2

111

11cos

senxsen

Reemplazando en (1) tenemos:

)2cos1(4

1)cos1(

)2cos1(4

)cos1(2

RX

LRX

Velocidad del pistón.

La velocidad del pistón está dada por:

d

dx

dt

d

d

dx

dt

dxX

22

1sensenRX

Donde: 60

2 n

rad/seg

La velocidad máxima del pistón se obtiene cuando:

0

dt

Xd o bien 0

dt

d

d

Xd

0)2cos1

(cos2

Rdt

Xd

O sea, cuando:

0)2cos1

(cos

Y tomando:

1cos22cos 2


Página N° 5

Tenemos:

0)1cos2(1

cos 2

2

1

44cos

2

max

U

En la práctica, la velocidad máxima del pistón se obtiene con suficiente aproximación cuando

la biela y la manivela son perpendiculares entre sí. Se obtiene entonces de la Figura 1 que:

11

max

tgR

LtgU

Quedando para este caso práctico la velocidad máxima:

11 22

1tgsentgsenRX

Aceleración del pistón.

La aceleración del pistón la podemos obtener considerando:

)2cos1

(cos2

RX

d

Xd

dt

d

d

Xd

dt

XdX

La aceleración máxima se obtiene tomando d/dt = 0, o sea:

0)22

(3

sensenRdt

d

Como: cos22 sensen

Tendremos: 0)cos4

1(3

senR

dt

d

O sea, cuando: 0)cos4

1(

sen

Se cumple esto cuando:

sen = 0 o bien

cos = - /4


Página N° 6

La primera solución (sen = 0) corresponde a = 0 o =

Es decir en los puntos muertos superior e inferior.

El valor de la aceleración para estos ángulos será:

)1

1(2

01

R (máxima) PMS

)1

1(2

2

R (mínima) PMI

La segunda solución (cos = - /4) corresponde a una aceleración cuyo valor es el

siguiente:

1

8

116

2

4

)1cos2

(cos)2cos1

(cos

2

2

2

222

3

RR

RR

1

8

2

3 R es un mínimo.

Consideremos los dos mínimos existentes:

)1

1(2

2

R

1

8

2

3 R

* Si = 4 tenemos que 2 = 3 existe un solo mínimo.

* Cuando 4 el valor mínimo corresponde a:

1

8

2R

y se alcanza dos veces, una antes del P.M.I. y otra después del P.M.I. (ver Figura 2).

* Cuando 4 no es posible que exista la solución cos = - /4, por lo tanto el valor mínimo

de la aceleración corresponde al P.M.I. y tiene un valor igual a:

)1

1(2

R


Página N° 7

Figura 2 - Aceleración del pistón

Figura 3 - Aceleración del pistón


Página N° 8

DESPLAZAMIENTO, VELOCIDAD Y ACELERACIÓN DE UN PUNTO CUALQUIERA DE BIELA.

Desplazamiento.

El desplazamiento respecto de o, de un punto cualquiera (E) de la biela (Figura 4) será igual al

desplazamiento del punto B respecto de O, más la longitud h, menos el desplazamiento

relativo del punto E respecto al B )( EBX , de este modo se obtiene:

Figura 4

BEBOE XXhX

Siendo: )cos.( hhX BE

coscos0

hXhhXhX BBE

:0EX es el desplazamiento relativo de E con respecto a O y lo llamaremos XE

Luego:

coshXX BE

y la componente en el eje Y es

hsenYY BE

Pero YB =0, luego


Página N° 9

hsenYE

Sustituyendo sen y cos de la igualdad:

2

22

2

2

2

2

2

4

2cos11cos

4

2cos1

2

...2

11cos

1

sen

sensen

sensen

Tenemos que:

senL

hRY

hL

hRX

E

E

)2cos1(1

4

1)cos1(

E = punto considerado de la biela si el pistón estuviera en PMS;

E’= punto E si la biela tuviera solamente movimiento hacia abajo (se cumple OE=BE’);

E’’= punto actual biela después del desplazamiento del pistón en su valor X y rotación de la

biela.

Velocidad.

Las dos componentes de la velocidad

X E EY

del punto E serán:

11 2

2

cos

E EE

E EE

dX dX d hX R sen sen

dt d dt L

dY dY d hY R

dt d dt L

Aceleración.

Las dos componentes Ex y E

y de la aceleración serán:

2

2

1cos 1 cos 2

E Ex

E

E Ey

E

d X d X d hR

dt d dt L

d Y d Y d hR sen

dt d dt L


Página N° 10

CINEMÁTICA DE LA MANIVELA

El desplazamiento, velocidad, y aceleración del punto C de la manivela (Figura 5), se puede

visualizar en las siguientes ecuaciones:

Figura 5

Desplazamiento del punto C:

cos.RX C

senRYC .

Velocidad del punto C:

senRX C ..

cos..RYC

Aceleración del punto C:

cos.².RX C

senRYC .².


Página N° 11

MODELIZACIÓN DEL SISTEMA BIELA MANIVELA

Para efectuar un análisis de fuerzas dinámicas completo de cualquier mecanismo se necesitan

conocer las propiedades másicas (masa, centro de gravedad, momento de inercia) de los

eslabones móviles.

La manivela se encuentra en rotación pura y el pistón en traslación pura (figura 6). La biela

se encuentra con un movimiento complejo (rotación más traslación) y para efectuar un

análisis dinámico exacto se necesitaría determinar la aceleración lineal de su CG para todas

las posiciones, lo cual implicaría evaluar todas las secciones de la biela punto a punto, desde

el muñón que articula con el pistón, hasta el muñón que articula con la manivela. Por este

motivo, se presenta la necesidad de obtener un modelo de la biela que permita simplificar el

análisis dinámico por lo que a continuación se presentará dicho análisis. La misma necesidad

se plantea para el pistón y la manivela.

Se parte del análisis del sistema biela-manivela completo, analizando componente por

componente: pistón, manivela y biela.

Cabe destacar que se estudiará el caso en que el sistema biela manivela es un mecanismo que

tiene un movimiento de entrada rotacional en la manivela con velocidad angular constante y

genera un movimiento de salida rectilíneo alternativo del pistón

Modelización del pistón:

Inicialmente se comienza por el pistón, considerando una masa puntual (MP) equivalente o

igual a la masa del pistón completo, incluyendo los aros del mismo.

Vale recordar que el pistón tiene únicamente movimiento rectilíneo alternativo.

La biela y la manivela son reemplazadas por unas barras rígidas articuladas, las cuales tienen

la función de transmitir el movimiento. Para este análisis no se considera la masa de las

mismas.

“Se considera para el análisis una masa puntual concentrada en B, con el mismo valor de la masa del pistón”.

Figura 7

Punto B – Masa puntual equivalente a

la masa del pistón (MP)

Punto C – Articulación

biela/manivela

Punto O – Articulación de

manivela


Página N° 12

Modelización de la manivela:

La manivela presenta únicamente movimiento de rotación.

Para el análisis de la manivela se considerará toda la masa de la manivela concentrada en el

punto C (llamando Mm a la masa de la manivela),

“Se considera para el análisis una masa puntual concentrada en C, con el mismo valor de la masa de la

manivela”.

Figura 8

Modelización de la biela:

La idea básica es generar un modelo de la biela con masas distribuidas de tal forma que

permita simplificar el análisis representando la dinámica de la biela real de la forma más

aproximada posible. Se intentará crear un modelo de dos (2) masas puntuales concentradas,

una en el muñón de manivela (punto C) y otra en el perno del pistón (punto B) de tal manera

que la masa concentrada en la manivela estaría en rotación pura como parte de la manivela, y

la masa concentrada en el perno del pistón estaría en traslación pura como parte del pistón.

Estas masas puntuales concentradas no tienen dimensión y se supone que se conectan con una

barra sin masa pero rígida.

Figura 6

A continuación se detallará el estudio referente a como se modeliza la biela con masa

distribuida.

Mm


Página N° 13

Modelo dinámicamente equivalente

En la siguiente figura (figura 9), se muestra una biela común con masa distribuida que

llamaremos original. En la figura b) se muestra un modelo genérico de la biela compuesto por

dos (2) masas. Una masa tm se localiza a una distancia tl del CG de la barra original y la

segunda masa pm a una distancia pl del CG. La masa de la biela original es bM y su

momento de inercia con respecto a su CG es 3GI .

Los requerimientos para la equivalencia dinámica son los siguientes:

1- La masa del modelo debe ser igual a la del cuerpo rígido original (biela).

2- El centro de gravedad del modelo debe de estar en la misma localización que el del

cuerpo rígido original (biela).

3- El momento de inercia del modelo debe ser igual que el del cuerpo rígido original

(biela).

Figura 9

Al expresar matemáticamente estos tres (3) requisitos para la equivalencia dinámica en

términos de variables se obtiene:

btp Mmm 1)


Página N° 14

ttpp lmlm .. 2)

3².². Gttpp Ilmlm 3)

Existen cuatro (4) incógnitas con tres (3) ecuaciones, pm , pl , tm , tl , por lo que se debe de

elegir un valor para cualquier variable a fin de resolver el sistema. Se elegirá la distancia tl

que será igual a la distancia del CG al perno del pistón, bl , como se ve en c). Esto colocará

una masa en una localización deseada, que es el perno del pistón y que está animado de

traslación. Al resolver las ecuaciones anteriores 1) y 2) se obtiene el valor de las masas

supuestas:

bp

bbp

ll

lMm

. 4)

bp

p

bbll

lMm

. 5)

Y sustituyendo estas expresiones de pm y bm en 3), se tiene una relación entre pl y

bl (ecuación 6), que es la que tiene que cumplir el modelo que se intenta construir para que el

mismo se comporte dinámicamente igual a la biela original:

bb

Gp

bpbGp

bp

p

bp

bp

bb

lM

Il

llMIlll

lMl

ll

lM

.

..²..²..

3

3

6)

Esta expresión 6) obtenida, representa en un cuerpo rígido, la relación entre la distancia del

centro de percusión al CG ( pl ) y la ubicación del centro de rotación percusiva ( bl ) (respecto

del CG) correspondiente. Es decir que la distancia pl es la localización del centro de percusión

correspondiente a un centro de rotación en bl , así que la segunda masa pm debe de colocarse

en el centro de percusión P del eslabón para obtener una equivalencia dinámica exacta junto

con las masas determinadas en 4) y 5).

Modelo práctico o aproximado

La configuración de la biela original es grande en el muñón de manivela y pequeña en el

extremo del perno del pistón. Esto coloca el CG cerca del extremo grande. El centro de

percusión P estará aún más cerca del extremo grande de lo que estaría el CG. Por esta razón se

puede colocar la segunda masa concentrada, que pertenece a P, en la manivela con un error

relativamente pequeño respecto al modelo dinámico. Este nuevo modelo práctico o

aproximado es adecuado para los cálculos de diseño preliminares.


Página N° 15

Al sustituir la distancia al por pl y llamando a las masas concentradas a esas distancias MC y

MB, se vuelven a escribir las ecuaciones como:

ap ll

ba

bb

ll

lMMC

.

ba

ab

ll

lMMB

.

Estas ecuaciones determinan la cantidad de la masa total de la biela que se debe de colocar en

cada extremo para modelar dinámicamente dicho eslabón en forma práctica o aproximada.

“Se considera para el análisis una masa puntual concentrada en B y otra en C, sumando ambas el valor de la

masa de la biela original”.

Figura 10

El momento de inercia para el modelo práctico o aproximado queda:

bab llMI ..2

Por lo tanto, aparece entre ambos modelos una diferencia de cuplas ( CC ) de valor:

senlllMIIC pabbCGC .

²)..(.).( 2

Punto B – Masa puntual equivalente a la

masa de la biela concentrada en B (MB).

Punto C – Masa puntual de la

biela concentrada en C (MC)


Página N° 16

ESTUDIO DE FUERZAS EN EL SISTEMA BIELA –MANIVELA. DIMENSIONADO PRELIMINAR DE SUS COMPONENTES

De acuerdo a lo visto anteriormente, el modelo práctico del sistema biela manivela queda:

Figura 11

donde:

MP: masa del pistón

MB: masa de la biela concentrada en el punto B.

MC: masa de la biela concentrada en el punto C.

:mcM masa de la manivela concentrada en C.

A continuación se realizará el dimensionado de los componentes del sistema:


Página N° 17

Componente Perno de Pistón

Figura 12

cos.

XMPFpp

con

)2cos1

(cos2

RX

quedando

A

Fppadmpp

2

donde:

:PPF Fuerza en el perno del pistón en dirección de la biela

:X Aceleración en el punto B del pistón

:rF Fuerza de acción sobre la pared del pistón

:ipF Fuerza de inercia en el pistón

:A Área del perno del pistón

Componente Biela

Si se corta la biela transversalmente como muestra la siguiente figura (Figura 13), se puede

evaluar la fuerza que se transmite por la misma.


Página N° 18

Figura 13

:bF Fuerza que se transmite por la biela

:bA Área de la biela

:MBMP Masa del pistón más la masa de la biela en B

:adm Tensión normal admisible del material de la biela

Componente Muñón de manivela

Figura 14

:mmF Fuerza en el muñón de manivela (se resuelve por el teorema del coseno)

:mcF Fuerza de la masa de la biela en C, rotando alrededor de O.

:bF Fuerza que se transmite por la biela hacia el muñón de la manivela

o también se puede esquematizar como:


Página N° 19

Figura 15

donde:

:admmm tensión normal admisible del material del muñón de la manivela.

:r

bF Componente radial de Fb en la dirección radial de la manivela.

:t

bF Componente tangencial de Fb en la dirección perpendicular de la manivela.

:mmA Área del muñón de manivela.

)(. senFF b

t

b

)cos(. b

r

b FF

Componente manivela

Las masas de la manivela son puramente rotantes, por lo tanto las fuerzas que generan son

fuerzas centrifugas y su dirección es radial.

Si designamos con Mm a la masa de la manivela y con R el radio de rotación de su centro de

gravedad, se tiene: 2RMF mMC


Página N° 20

Figura 16

donde:

:MCF Fuerza de la masa de la manivela en C, rotando alrededor de O.

En la manivela se presentan esfuerzos de tracción/compresión, de corte y de flexión que

generan las siguientes tensiones:

- m

r

bmcMC AFFFcompresióntracción /)(/

con 2RMCFmc

- JrmRFt

bflexión /)..(

- m

t

b AFcorte /)(

donde:

mA : Área de la manivela

rm: radio de la sección de la manivela

J : momento de inercia de la manivela

Para el dimensionado deberá usarse alguna hipótesis de rotura


Página N° 21

Análisis de reacciones en los vínculos

Figura 17

-Análisis en el vínculo “o”:

RFMt

bt .

)(. senFF b

t

b

)(.. senRFM bt

cos.. FTsenFRRY

senFTFRRX .cos.

)(r

bmcMC FFFFR

donde:

:tM Momento producido por la fuerza t

bF

:XR Esfuerzo en el vínculo en dirección X

:YR Esfuerzo en el vínculo en dirección Y

:FR Resultante de las fuerzas radiales en la articulación definir las formula

:FT Fuerza en la articulación debido a esfuerzos tangenciales, únicamente dada por t

bF .


Página N° 22

Análisis en las paredes del pistón

Figura 18

senFF PPr .

cos..sen

XMPFr

tgXMPFr ..

donde:

:rF Fuerza de roce en las paredes del pistón

:MP Masa del pistón

:PPF Fuerza que transmite la biela al perno del pistón

La componente rF es tanto mayor cuanto mayor es el ángulo y es evidentemente la razón

de la pérdida de potencia causada por el rozamiento entre el pistón y la pared del cilindro.


Página N° 23

Diagrama del par motor

La componente Fb es transmitida por la biela al codo del cigüeñal y por lo tanto al cigüeñal. Fb

actúa con respecto al eje de rotación con un brazo d = r sen ( + ), de modo que origina el

momento motor Mt de intensidad:

dFM bt .

)( senrFM bt

Figura 19

coscos)(

cos

sensenrXMBMPsenr

XMBMPM t

Recordando que

sen1

sen , y que

2

2

11cos sen , se tiene:

2

2

11

cos

sen

sensenrXMBMPM t


Página N° 24

y, despreciando el término

2

2

1sen , se tiene en definitiva:

22

1sensenrXMBMPM t

La misma expresión del momento motor puede obtenerse descomponiendo la fuerza Fb en una

componente radial Frb y una tangencial F

tb.

La primera, Frb, evidentemente no contribuye al momento motriz, mientras la segunda, F

tb,

actúa con un brazo r constante. El momento motriz vale:

rFM t

bt

De la figura se tiene inmediatamente:

)( senFF b

t

b

Y por lo tanto:

)sen(rFM bt

De este modo se puede trazar en función de el diagrama del par motor Mt el cual se anula

para = 0 y = .

Bibliografía

- Manuales del Ingeniero Técnico. Motores Térmicos. Motores de pistón y turbinas a

gas. Günther Schneider

- Motori Endotermici. Dante Giacosa

- Diseño de Maquinaria. Robert L. Norton (Segunda Edición)

- Apunte de Cátedra de Motores (Dpto. Aeronáutica). Algunas partes están transcriptas

del mismo.

mecanismos y elementos de máquinas mecanismos y … sistema biela... · motores alternativos -...

Documents