series de fourier - ehu.eusmtpalezp/mundo/ana2/cdi2cap10.pdf · entorno del punto) y el teorema de...

CALCULODIFERENCIALEINTEGRAL2,UPV/E

HU

Cap´ıtulo 10Series de Fourier

10.1. Introduccion historica

Las series de Fourier surgen con el estudio de algunas ecuaciones en derivadas parciales, cuyosmodelos mas simples son los siguientes:

1) Ecuacion del calor:@u

@t=@2u

@x2(su solucion corresponde a la temperatura u(x, t) de un

alambre en el instante t y en el punto x).

2) Ecuacion de ondas:@2u

@t2=

@2u

@x2(la solucion u(x, t) es ahora la altura de una onda en

propagacion para el instante t en un punto cuya proyeccion sobre el eje es x).

3) Ecuacion de Poisson:@2u

@t2+@2u

@x2= ⇢ (ahora u es la energıa potencial de un cuerpo y ⇢ es

la densidad de masas).

Nos limitaremos a estudiar la ecuacion del calor (analogamente se podrıa hacer con las otrasecuaciones). Para buscar sus soluciones, suponemos que u es de variables separadas, es decirde la forma u(t, x) = '(t)⇠(x). Entonces u

t

= '0(t)⇠(x) y uxx

= '(t)⇠00(x), de donde

'0(t)⇠(x) = '(t)⇠00(x) =) '0(t)/'(t) = ⇠00(x)/⇠(x).

Como el primer miembro no depende de x y el segundo miembro no depende de t, deben serconstantes. Debemos resolver entonces las siguientes ecuaciones:

'0(t)/'(t) = k; ⇠00(x)/⇠(x) = k,

con k constante.

La solucion general de la primera ecuacion es '(t) = cekt y de la segunda ⇠(x) = c1

cos(�x)+c2

sen(�x), donde k = ��2 (si k > 0, � es complejo).

115


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116 10.1. Introduccion historica

Supongamos por simplificar que el alambre es circular y tiene longitud 2⇡. Esto hace que ⇠sea periodica de periodo 2⇡, y que � deba ser entero; resulta ⇠(x) = c

1

cos(nx) + c2

sen(nx),con n 2 Z.Como las soluciones de la ecuacion del calor se obtienen haciendo k = �n2, tenemos lasiguiente familia de soluciones:

un

(t, x) = e�n

2t cos(nx), v

n

(t, x) = e�n

2t sen(nx).

Ademas, cualquier combinacion lineal finita de ellas

u(t, x) =n1X

n=n0

[an

e�n

2t cos(nx) + b

n

e�n

2t sen(nx)]

es solucion.

En este punto, Fourier afirmo que toda solucion puede escribirse como combinacion lineal desenos y cosenos (lo que lleva involucrado un problema de convergencia).

Por otra parte, cuando t = 0, obtenemos una funcion de una variable

u(0, x) = f(x) =n1X

n=n0

[an

cos(nx) + bn

sen(nx)].

De acuerdo con esto, Fourier suponıa tambien que toda funcion periodica se puede escribircomo suma infinita de senos y cosenos, lo cual no es cierto puntualmente.

Otra forma de escribir las series anteriores se obtiene con las formulas cosx = (eix + e�ix)/2,senx = (eix � e�ix)/2i. Ası

u(t, x) =X

n2Ne�n

2t

✓an

2+

bn

2i

◆einx +

✓an

2� b

n

2i

◆e�inx

�=X

n2Zcn

e�n

2teinx,

donde, para t = 0, tenemos f(x) =P

n2Z cneinx.

Aquı se plantean las siguientes preguntas:

1) ¿Las exponenciales trigonometricas seran base de algun espacio?

Esto permitirıa obtener la funcion f cuando se conocen sus coeficientes respecto a dicha base.

2) ¿Como obtener los coeficientes cn

cuando la funcion f es conocida?

Para responder a esta pregunta, aplicamos las siguientes formulas:

1

2⇡

Z2⇡

0

einx dx =

(1 si n = 01

2⇡in

(ein2⇡ � 1) = 0 si n 6= 0,

1

2⇡

Z2⇡

0

einxe�imx dx =

(1 si n = m

1

2⇡i(n�m)

(ei(n�m)2⇡ � 1) = 0 si n 6= m.

Con lo anterior tenemosZ

2⇡

0

f(x) dx =

Z2⇡

0

X

n2Zcn

einx dx =X

n2Zcn

Z2⇡

0

einxdx = 2⇡c0

;

Z2⇡

0

f(x)e�imx dx =

Z2⇡

0

X

n2Zcn

einxe�imxdx =X

n2Zcn

Z2⇡

0

einxe�imxdx = 2⇡cm

.


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Capıtulo 10. Series de Fourier 117

Por tanto, cm

=1

2⇡

Z2⇡

0

f(x)e�imx dx, m 2 Z.

Aquı se debe precisar en que sentido converge la serie y como justificar el intercambio de laserie con la integral.

En la actualidad, las series ası construidas son un instrumento indispensable en el analisis defenomenos periodicos (movimientos oscilatorios, orbitas planetarias, etc.).

El libro [Ca], ofrece una buena exposicion historica de la importancia de la teorıa de las seriesde Fourier en muchos problemas de fısica.

10.2. Coeficientes de Fourier, ortogonalidad

Dada una funcion 2⇡-periodica f , queremos encontrar una serie trigonometrica

a0

2+

1X

n=1

(an

cosnx+ bn

sennx) (10.1)

que represente a dicha funcion. Para ello debemos determinar adecuadamente los coeficientes{a

n

} y {bn

}.Un resultado previo, cuya demostracion omitimos, es el siguiente:

Lema 10.2.1. La familia de funciones {1, cosx, cos 2x, . . . , senx, sen 2x, . . . } es ortogonal,es decir, si '

1

y '2

son dos funciones cualesquiera (distintas) de dicha familia, entoncesZ

⇡

�⇡

'1

(x)'2

(x) dx = 0.

Es facil entonces demostrar lo siguiente:

Teorema 10.2.2. Si la serie (10.1) converge uniformemente a la funcion f en el intervalo[�⇡,⇡], entonces

ak

=1

⇡

Z⇡

�⇡

f(x) cos kx dx, bk

=1

⇡

Z⇡

�⇡

f(x) sen kx dx. (10.2)

Demostracion. Escribimos

f(x) =a0

2+

1X

n=1

(an

cosnx+ bn

sennx),

multiplicamos ambos lados de la igualdad por cos kx e integramos. De este modo, obtenemosZ

⇡

�⇡

f(x) cos kx dx =a0

2

Z⇡

�⇡

cos kx dx+1X

n=1

✓an

Z⇡

�⇡

cosnx cos kx dx+ bn

Z⇡

�⇡

sennx cos kx dx

◆.

Aplicando el lema anterior, deducimos que

ak

=1

⇡

Z⇡

�⇡

f(x) cos kx dx.

Un procedimiento analogo permite calcular los coeficientes bk

.


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118 10.3. Lema de Riemann-Lebesgue

Definicion. Dada una funcion integrable f , los valores {a0

, a1

, a2

, . . . , b1

, b2

, . . . } dados por(10.2) reciben el nombre de coeficientes de Fourier asociados a dicha funcion. En este caso,escribimos

f(x) ⇠ a0

2+

1X

n=1

(an

cosnx+ bn

sennx).

Las siguientes propiedades se deducen facilmente de la definicion. Utilizaremos la notacion,cuando haya lugar a confusion, a

n

(h) y bn

(h) para representar los coeficientes de Fourier deuna funcion h.

i) Acotacion: las sucesiones {a0

, a1

, . . . } y {b1

, b2

, . . . } estan acotadas.

ii) Linealidad: an

(f + g) = an

(f) + an

(g), bn

(f + g) = bn

(f) + bn

(g).

iii) Derivabilidad: si existe f 0 y es integrable, entonces

an

(f) = �bn

(f 0)

n, b

n

(f) =an

(f 0)

n, n � 1.

(se entiende que f es continua para lo cual debe extenderse periodicamente).

iv) Simetrıa: si f es par, entonces bn

(f) = 0 y an

(f) =2

⇡

Z⇡

0

f(x) cosnx dx.

De forma similar, si f es impar, entonces an

(f) = 0 y bn

(f) =2

⇡

Z⇡

0

f(x) sennx dx.

10.3. Lema de Riemann-Lebesgue

Como hemos visto, una caracterıstica de los coeficientes de Fourier de una funcion integrablees que estan acotadas. Probaremos a continuacion que tambien tienen lımite cero.

Teorema 10.3.1. Sea f una funcion integrable y acotada. Entonces, para todo � 2 R,

lım↵!1

Z⇡

�⇡

f(t) sen(↵t+ �) dt = 0.

Demostracion. Haremos la prueba en tres pasos:

Si f es la funcion caracterıstica de un intervalo [a, b],

��Z

⇡

�⇡

f(t) sen(↵t+ �) dt

�� =��Z

b

a

sen(↵t+ �) dt

�� =��1

↵(cos(↵b+ �)� cos(↵a+ �))

�� 2

|↵| .

Por tanto, el lımite es cero.

Si f es una funcion escalonada, basta aplicar el caso anterior a cada uno de los subin-tervalos donde f es constante.


HU


Si f es integrable arbitraria, dado " > 0, sea s una funcion escalonada tal queZ

⇡

�⇡

|f(t)� s(t)| dt < "

2.

Como la propiedad es cierta para funciones escalonadas, existe M > 0 tal que��Z

⇡

�⇡

s(t) sen(↵t+ �) dt

�� <"

2, 8↵ � M.

Por tanto, si ↵ � M ,��Z

⇡

�⇡

f(t) sen(↵t+ �) dt

�� Z

⇡

�⇡

(f(t)� s(t)) sen(↵t+ �) dt

��+��Z

⇡

�⇡

s(t) sen(↵t+ �) dt

��

<

Z⇡

�⇡

|f(t)� s(t)| dt+ "

2<"

2+"

2= ".

Esto concluye la prueba.

Corolario 10.3.2 (lema de Riemann-Lebesgue). Si f es una funcion integrable y acotada,entonces

lım↵!1

Z⇡

�⇡

f(t) sen↵t dt = lım↵!1

Z⇡

�⇡

f(t) cos↵t dt = 0.

Demostracion. Basta hacer � = 0 y � = ⇡/2 en el teorema anterior.

El resultado tambien es cierto para funciones no acotadas pero absolutamente integrables.

10.4. Convergencia puntual: nucleo de Dirichlet

Nos planteamos a continuacion el problema inverso: dada la serie de Fourier de una funcionf , ¿bajo que condiciones converge en un punto x

0

dado?, ¿la suma de la serie coincide con elvalor f(x

0

)?

Los resultados mas destacados en esta direccion son el teorema de localizacion de Riemann(la convergencia de la serie en un punto depende del comportamiento de la funcion en algunentorno del punto) y el teorema de Fejer (los promedios de las sumas parciales de una seriede Fourier forman una serie convergente).

En 1876, Paul du Bois-Reymond construyo una funcion continua en [�⇡,⇡] con f(⇡) = f(�⇡)cuya serie de Fourier diverge en un subconjunto denso de [�⇡,⇡], por tanto infinito. Casi unsiglo despues, en 1966, Lennard Carleson probo que la serie de Fourier de una funcion decuadrado integrable converge a la funcion en casi todo punto de [�⇡,⇡], lo que asegura laconvergencia a la funcion tambien en un conjunto infinito de puntos.

A lo largo de esta seccion, f es una funcion 2⇡-periodica e integrable en [�⇡,⇡].Si llamamos

sn

f(x) =a0

2+

nX

k=1

(ak

cos kx+ bk

sen kx)


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120 10.4. Convergencia puntual: nucleo de Dirichlet

a la n-esima suma parcial de la serie de Fourier asociada a f y, teniendo en cuenta la expresionintegral de los coeficientes, podemos escribir

sn

f(x) =1

2⇡

Z⇡

�⇡

f(t) dt+1

⇡

nX

k=1

Z⇡

�⇡

f(t)(cos kx cos kt+ sen kx sen kt) dt

=1

⇡

Z⇡

�⇡

f(t)

1

2+

nX

k=1

cos k(x� t)

!dt =

1

⇡

Z⇡

�⇡

f(t)Dn

(x� t) dt,

donde denotamos por Dn

(u) =1

2+cosu+cos 2u+ · · ·+cosnu al llamado nucleo de Dirichlet.

Multiplicando ambos lados por senu/2 y aplicando la formula 2 cosA senB = senA+B

2�

senA�B

2, llegamos a la expresion

Dn

(u) =

8<

:

sen(n+ 1/2)u

2 senu/2si u 6= 2⇡m,

n+ 1/2 si u = 2⇡m.(10.3)

A partir de la definicion, son evidentes las siguientes propiedades:

Proposicion 10.4.1. Si Dn

(u) es el nucleo de Dirichlet definido en (10.3), entonces:

i) Dn

es una funcion 2⇡-periodica.

ii) Dn

es par.

iii)1

⇡

Z⇡

�⇡

Dn

(u) du = 1.

Por ser Dn

, podemos escribir tambien:

Dn

(u) =1

2

nX

k=�n

cos kx.

A partir de estas propiedades, encontramos las siguientes expresiones de la suma parcial:

sn

f(x) =1

⇡

Z⇡

�⇡

f(x� t)Dn

(t) dt =1

⇡

Z⇡

�⇡

f(x+ t)Dn

(t) dt (10.4)

=1

⇡

Z⇡

�⇡

f(x+ t) + f(x� t)

2D

n

(t) dt =1

⇡

Z⇡

0

(f(x+ t) + f(x� t))Dn

(t) dt. (10.5)

Como consecuencia del lema de Riemann-Lebesgue (lema 10.3.2), se pueden demostrar algu-nos resultados sobre la convergencia de series de Fourier.

Teorema 10.4.2 (principio de localizacion de Riemann). i) Si f es una funcion integra-ble en (�⇡,⇡) tal que f(x) = 0 para x 2 (x

0

� �, x0

+ �) y algun � > 0, entonceslımn!1

sn

f(x0

) = 0.


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ii) Si f y g son funciones integrables en (�⇡,⇡) tales que f(x) = g(x) para x 2 (x0

��, x0

+�)y algun � > 0, entonces lım

n!1sn

f(x0

) = lımn!1

sn

g(x0

).

Demostracion. La segunda parte es consecuencia inmediata de la primera, teniendo en cuentaque s

n

f � sn

g = sn

(f � g).

Para probar la primera parte, aplicamos la formula (10.4), con lo que

sn

f(x0

) =1

⇡

Z⇡

�⇡

f(x0

� t)Dn

(t) dt =1

⇡

Z

�|t|⇡

f(x0

� t)

2 sen t/2sen(n+ 1/2)t dt.

Como el primer factor del integrando es una funcion integrable (el denominador es una funcioncontinua y no nula), el lema de Riemann-Lebesgue asegura que lım

n!1sn

f(x0

) = 0.

Teorema 10.4.3. Si f es una funcion integrable en (�⇡,⇡) y derivable en un punto x0

,entonces la serie de Fourier asociada a f converge a f(x

0

) en el punto x0

.

Demostracion. A partir de las propiedades del nucleo de Dirichlet, podemos escribir

|sn

f(x0

)� f(x0

)| = 1

⇡

Z⇡

�⇡

|f(x0

+ t)� f(x0

)| ·��sen(n+ 1/2)t

2 sen t/2

�� dt

=1

⇡

Z⇡

�⇡

��f(x

0

+ t)� f(x0

)

t

�� ·��

t

2 sen t/2· sen(n+ 1/2)t

�� dt.

El primer factor es una funcion integrable en (�⇡,��)[(�,⇡) y, por ser f derivable en x0

, estaacotada en (��, �), de modo que es integrable en (�⇡,⇡); el segundo factor es una funcioncontinua en (�⇡,⇡) (pues tiene una discontinuidad evitable en el origen). Basta aplicar ellema de Riemann-Lebesgue para concluir que lım

n!1 |sn

f(x0

)� f(x0

)| = 0.

Un resultado similar puede obtenerse modificando las hipotesis como se indica a continuacion.

Teorema 10.4.4 (teorema de Lipschitz). Si f es una funcion integrable en (�⇡,⇡) y existex0

2 (�⇡,⇡) tal que|f(x

0

+ t)� f(x0

)| L|t|,

para alguna constante L > 0 y |t| < �, entonces la serie de Fourier asociada a f converge af(x

0

) en el punto x0

.

Definicion. Decimos que una funcion verifica la condicion de Lipschitz de orden ↵ en unpunto x

0

cuando existen L > 0 y � > 0 tales que

|f(x0

+ t)� f(x0

)| L|t|↵, cuando |t| < �.

Corolario 10.4.5. Si f es una funcion integrable en (�⇡,⇡) y verifica una condicion deLipschitz de orden ↵, con 0 < ↵ 1 en un punto x

0

, entonces la serie de Fourier asociada af converge a f(x

0

) en el punto x0

.


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122 10.4. Convergencia puntual: nucleo de Dirichlet

Para la demostracion, basta observar que 1/|t|1�↵ es integrable en (�⇡,⇡).Este resultado permite deducir, por ejemplo, que la serie de Fourier de la funcion f(x) =|x|↵ sen(1/|x|), definida en (�⇡,⇡), con 0 < ↵ < 1, converge a f en x = 0.

Una pequena modificacion de este argumento puede realizarse para probar la convergenciade la serie de Fourier a una funcion en un punto donde presente una discontinuidad de salto.Para ello debemos definir las derivadas laterales de funciones para las que existen lımiteslaterales en x

0

, que denotaremos por f(x0

+) y f(x0

�), de la siguiente manera:

f 0(x0

+) = lımt!0

+

f(x0

+ t)� f(x0

+)

t, f 0(x

0

�) = lımt!0

�

f(x0

+ t)� f(x0

�)

t.

Teorema 10.4.6. Si f es una funcion integrable en (�⇡,⇡) y tiene derivadas laterales en

un punto x0

, entonces la serie de Fourier asociada a f converge af(x

0

+) + f(x0

�)

2en el

punto x0

.

Demostracion. Aplicando la formula (10.5) del nucleo de Dirichlet, tenemos que

sn

f(x0

)� f(x0

+) + f(x0

�)

2=

1

⇡

Z⇡

0

(f(x0

+ t)� f(x0

+) + f(x0

� t)� f(x0

�))sen(n+ 1/2)t

2 sen t/2dt.

Un razonamiento analogo al teorema anterior permite deducir el resultado.

Para el caso general, si f es una funcion integrable en (�⇡,⇡) y 2⇡-periodica, para cadax 2 (�⇡,⇡) y � < ⇡, definimos

g(t) =f(x+ t) + f(x� t)

2, t 2 [0, �]

y llamamos s(x) = g(0+) = lımt!0

+ g(t) (la cual coincide con f(x) si f es continua en x). Apartir del lema de Riemann-Lebesgue, podemos obtener el siguiente resultado.

Teorema 10.4.7 (Criterio de Dini). Si existen s(x) y

Z�

0

g(t)� s(x)

tdt, entonces la serie

de Fourier asociada a f converge a s(x).

Demostracion. Debido a que1

⇡

Z⇡

�⇡

Dn

(u) du = 1, tenemos que

sn

f(x)� s(x) =1

⇡

Z⇡

�⇡

f(x+ t) + f(x� t)

2·D

n

(t) dt� 1

⇡

Z⇡

�⇡

s(x)Dn

(t) dt

=1

⇡

Z⇡

�⇡

(g(t)� s(x)) ·Dn

(t) dt =1

⇡

Z⇡

�⇡

g(t)� s(x)

t· t

2 sen t/2· sen(n+ 1/2)t dt.

Basta aplicar el lema de Riemann-Lebesgue para concluir la prueba.


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10.5. Aplicacion a funciones particulares

Todos los resultados anteriores pueden extenderse a otros intervalos sin mas que realizarconvenientes cambios de variable. Resumimos a continuacion todos los casos particulares.

I) Sea f integrable en [0, `].

a) Sea ' la prolongacion par de f dada por

'(x) = f(x), x 2 [0, `], '(�x) = '(x), '(x+ 2`) = '(x).

En [0, `], la serie de Fourier asociada es

'(x) = f(x) ⇠ a0

2+

1X

n=1

an

cos⇡nx

`,

donde

an

=1

`

Z`

�`

'(x) cos⇡nx

`dx =

2

`

Z`

0

f(x) cos⇡nx

`dx, n = 0, 1, . . .

b) Sea la prolongacion impar de f dada por

(x) = f(x), x 2 [0, `], (�x) = �f(x), (x+ 2`) = (x).

En [0, `], la serie de Fourier asociada es

(x) = f(x) ⇠1X

n=1

bn

sen⇡nx

`,

donde

bn

=1

`

Z`

�`

(x) sen⇡nx

`dx =

2

`

Z`

0

f(x) sen⇡nx

`dx, n = 1, 2, . . .

II) Sea f integrable en un intervalo [a, b] que no admite prolongacion con ninguna paridad.Sea 2` = b� a y F la prolongacion periodica de f dada por

F (x) = f(x), x 2 [a, b], F (x+ 2`) = F (x).

En [a, b], la serie de Fourier asociada es

F (x) = f(x) ⇠ a0

2+

1X

n=1

⇣an

cos⇡nx

`+ b

n

sen⇡nx

`

⌘

o bien

f(x) ⇠ a0

2+

1X

n=1

✓an

cos2⇡nx

b� a+ b

n

sen2⇡nx

b� a

◆,

donde

an

=1

`

Z`

�`

F (x) cos⇡nx

`dx =

2

b� a

Zb

a

f(x) cos2⇡nx

b� adx, n = 0, 1, . . .

bn

=2

b� a

Zb

a

f(x) sen2⇡nx

b� adx, n = 1, 2, . . .


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124 10.6. Aproximacion en media cuadratica

Ejemplos

Los siguientes desarrollos se han obtenido a partir de la definicion de los coeficientes deFourier y teniendo en cuenta las simetrıas de cada una de las funciones:

a) signx ⇠ 4

⇡

✓senx+

sen 3x

3+

sen 5x

5+ . . .

◆

b) x ⇠ 2

✓senx� sen 2x

2+

sen 3x

3� sen 4x

4+ . . .

◆

c) x2 ⇠ ⇡2

3� 4

✓cosx� cos 2x

22+

cos 3x

32� . . .

◆

d) |x| ⇠ ⇡

2� 4

⇡

✓cosx+

cos 3x

32+

cos 5x

52+ . . .

◆

e) | senx| ⇠ 2

⇡� 4

⇡

✓cos 2x

1 · 3 +cos 4x

3 · 5 +cos 6x

5 · 7 + . . .

◆

f) cos ax ⇠ 2a sen a⇡

⇡

0

@ 1

2a2+X

n�1

(�1)n

a2 � n2

cosnx

1

A, a no entero.

A partir de los desarrollos anteriores, se pueden obtener las sumas de diferentes series. Deja-mos como ejercicio su comprobacion.

i)⇡

4= 1� 1

3+

1

5� 1

7+ . . .

ii)⇡

2p2= 1 +

1

3� 1

5� 1

7+ . . .

iii)⇡2

12= 1� 1

22+

1

32� 1

52+ . . .

iv)⇡2

8= 1 +

1

32+

1

52+ . . .

v)1

2=

1

1 · 3 +1

3 · 5 +1

5 · 7 + . . .

vi)⇡ � 2

4=

1

1 · 3 � 1

3 · 5 +1

5 · 7 � . . .

vii)a⇡

sen a⇡= 1 + 2a2

X

n�1

(�1)n

a2 � n2

.

viii) a⇡ cotg a⇡ = 1 + 2a2X

n�1

1

a2 � n2

.

10.6. Aproximacion en media cuadratica

Sea pn

el polinomio trigonometrico de grado n dado por

pn

(x) =c0

2+

nX

k=1

(ck

cos kx+ dk

sen kx).

Como consecuencia del lema 10.2.1, se demuestra facilmente que

1

⇡

Z⇡

�⇡

|pn

(x)|2 dx =c20

2+

nX

k=1

(c2k

+ d2k

),


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llamada igualdad de Plancherel para polinomios trigonometricos.

Queremos encontrar el polinomio trigonometrico de grado n que mejor aproxima, en mediacuadratica, a una funcion f de cuadrado integrable, es decir el que hace mınima la cantidad

Z⇡

�⇡

|f � pn

|2.

Teorema 10.6.1. El polinomio trigonometrico de grado n que mejor aproxima a una funcionf de cuadrado integrable en media cuadratica es la n-esima suma parcial de su serie deFourier.

Demostracion. Utilizando la serie de Fourier asociada a f , obtenemos que

Z⇡

�⇡

|f � pn

|2 =Z

⇡

�⇡

f2 � 2⇡nX

k=1

(ck

ak

+ dk

bk

)� ⇡a0

c0

+ ⇡c20

2+ ⇡

nX

k=1

(c2k

+ d2k

)

=

Z⇡

�⇡

f2 � ⇡

a20

2+

nX

k=1

(a2k

+ b2k

)

!+ ⇡

(a

0

� c0

)2

2+

nX

k=1

((ak

� ck

)2 + (bk

� dk

)2)

!,

de donde se deduce que el mınimo se alcanza cuando ck

= ak

y dk

= bk

.

Una consecuencia interesante de este resultado es la siguiente:

Corolario 10.6.2. a) (Desigualdad de Bessel) Si f es una funcion de cuadrado integrable,entonces

a20

2+

1X

n=1

(a2n

+ b2n

) 1

⇡

Z⇡

�⇡

|f(x)|2 dx.

b) (Identidad de Parseval) Si f es integrable y acotada, entonces

a20

2+

1X

n=1

(a2n

+ b2n

) =1

⇡

Z⇡

�⇡

|f(x)|2 dx.

A su vez, este resultado implica que las sucesiones {an

} y {bn

} convergen a cero (por el criteriodel resto de las series). Ademas, como toda funcion integrable y acotada es de cuadradointegrable, las sucesiones asociadas a su serie de Fourier convergen a cero.

10.7. Convergencia uniforme

Recordemos el criterio de Weierstrass para series arbitrarias de funciones: dada una sucesionde funciones {f

n

} definidas en un dominio D, si existe una sucesion numerica {Mn

} tal que|f

n

(x)| Mn

, para todo x 2 D y n 2 N, yP

Mn

es convergente, entonces la serieP

fn

converge uniformemente en D.

En el caso de series de Fourier, si la serieX

n�1

(|an

| + |bn

|) es convergente, la seriea0

2+

X

n�1

(an

cosnx + bn

sennx) converge uniformemente. Como, ademas, el lımite uniforme de


HU

126 10.8. Suma de series de Fourier

funciones continuas es continua, solo las funciones continuas pueden tener serie de Fourierque converja uniformemente.

Con estas ideas, desarrollamos los resultados basicos de convergencia uniforme de las seriesde Fourier.

Teorema 10.7.1. Sea f una funcion continua en [�⇡,⇡], con f(�⇡) = f(⇡), con derivadacontinua a trozos y acotada. Entonces la serie de Fourier asociada a f converge uniforme-mente en [�⇡,⇡].

Demostracion. A partir de la relacion entre los coeficientes de Fourier de f y f 0:

an

(f) = �bn

(f 0)/n, bn

(f) = an

(f 0)/n, n � 1,

obtenemos que

|an

(f)| 1

2

✓1

n2

+ n2|an

(f)|2◆

1

2

✓1

n2

+ |bn

(f 0)|2◆

|bn

(f)| 1

2

✓1

n2

+ n2|bn

(f)|2◆

1

2

✓1

n2

+ |an

(f 0)|2◆.

Como, por hipotesis, la funcion f 0 es de cuadrado integrable, por la desigualdad de Bessel,tenemos que X

n�1

(|an

(f 0)|2 + |bn

(f 0)|2)

es convergente. En consecuencia,X

n�1

(|an

(f)| + |bn

(f)|) es convergente y, por el criterio de

Weierstrass, la serie de Fourier converge uniformemente.

Un criterio mas general de convergencia de series de funciones es el criterio de Dirichlet:dadas dos sucesiones de funciones {f

n

} y {gn

} definidas en un dominio D, si existe unaconstante M > 0 tal que |

Pn

k=1

fk

(x)| M para todo x 2 D y n 2 N, la sucesion {gn

(x)}es decreciente para todo x 2 D y lım g

n

= 0 uniformemente en D, entonces la serieP

fn

gn

converge uniformemente en D.

Ası, por ejemplo, la serieX 1

ncosnx converge uniformemente en [�,⇡ � �] si 0 < � < ⇡/2.

Ademas la suma de la serie es continua en (0,⇡).

10.8. Suma de series de Fourier

El problema recıproco de encontrar la serie de Fourier asociada a una funcion es el de encontrarla funcion asociada a una serie de Fourier dada, incluso en el caso de que la serie sea divergente.La unica condicion que se exige es que, caso de haber convergencia, la suma de la serie seala funcion asociada a la serie.


HU


10.8.1. Metodo de las medias aritmeticas (metodo Cesaro)

Si sn

=a0

2+

nX

k=1

(ak

cos kx+bk

sen kx) y �n

(x) =s0

(x) + s1

(x) + · · ·+ sn�1

(x)

n, se demuestra

que

�n

(x) =a0

2+

n�1X

k=1

n� k

n(a

k

cos kx+ bk

sen kx) (10.6)

y

�n

(x) =1

n⇡

Z⇡

�⇡

f(x+ t)sen2(nt/2)

2 sen2(t/2)dt.

Un resultado general de convergencia que da validez al metodo de las medias aritmeticas esel siguiente:

Proposicion 10.8.1. Si lımn!1

sn

(x) = f(x), entonces lımn!1

�n

(x) = f(x).

Esto significa que, en caso de que la serie de Fourier sea convergente, su suma coincide conel lımite de sus medias aritmeticas.

Los resultados concretos de convergencia son:

Proposicion 10.8.2. Si f es 2⇡-periodica y absolutamente integrable, entonces lımn!1

�n

(x) =

f(x+) + f(x�)

2y la convergencia es uniforme a f(x) en los puntos de continuidad.

Recordemos que la serie de Fourier de una funcion continua puede ser divergente; sin embargo,las sumas del tipo (10.6) convergen uniformemente a f(x).

10.8.2. Metodo de sumacion de Abel

Definicion. Dada una sucesion {un

}, si llamamos sn

= u0

+ u1

+ · · · + un

y �n

(r) = u0

+u1

r + · · ·+ un

rn, con �(r) = lım�n

(r), decimos que la serieP

un

es sumable por el metodode Abel al valor � cuando la sucesion {�

n

(r)} converge para r 2 (0, 1) (para lo que basta que{u

n

} este acotada) y existe � = lımr!1

��(r).

Tambien este metodo es consistente gracias al siguiente resultado.

Proposicion 10.8.3. Si la serieP

un

converge a �, es sumable Abel tambien a �.

Ejemplo. La serie 1� 1+ 1� 1+ . . . es divergente. Sin embargo, es sumable Cesaro porques1

= 1, s2

= 0, s3

= 1, . . . y �1

= 1�2

= 1/2,�3

= 2/3, . . . , de modo que lım�n

= 1/2.

Tambien es sumable Abel porque �(r) = 1�r+r2�r3+ · · · = 1/(1+r) y lımr!1

� �(r) = 1/2.

Aplicacion a las series de Fourier

Definimos f(x, r) =a0

2+

1X

n=1

rn(an

cosnx + bn

sennx), 0 r < 1. Esta serie es convergente

por el criterio de Weierstrass. Por tanto, la serie de Fourier a0

/2+P1

n=1

(an

cosnx+bn

sennx)es sumable Abel si existe lım

r!1

�f(x, r).


HU

128 10.9. Ejercicios propuestos

Se puede probar que

f(x, r) =1

2⇡

Z⇡

�⇡

f(t)1� r2

1� 2r cos(t� x) + r2dt, 0 r < 1

(la funcion '(t, x) =1� r2

1� 2r cos(t� x) + r2se llama nucleo de Poisson), lo que conduce al

siguiente resultado principal de convergencia.

Proposicion 10.8.4. Si f es 2⇡-periodica y absolutamente integrable, entonces lımr!1

�f(x, r) =

f(x+) + f(x�)

2(la serie de Fourier es siempre sumable Abel) y la convergencia es uniforme.

Ejercicio. Calcular la suma de la serie convergenteX

n�1

nrn cosnx, |r| < 1. ¿Por que es

convergente esta serie?

Sugerencia: tener en cuenta que

X

n�1

ntn�1rn cosnx =@

@t(1/2 +

X

n�1

rntn cosnx) =@

@t

✓1

2· 1� r2t2

1� 2r cosx+ r2t2

◆.

10.9. Ejercicios propuestos

Ejercicio 10.1. ¿Que particularidades poseen los coeficientes de Fourier an

, bn

(n = 1, 2, ...)de una funcion f(x) de periodo 2⇡, si la grafica de la funcion:

a) tiene centros de simetrıa en los puntos (0, 0), (±⇡/2, 0);

b) tiene un centro de simetrıa en el origen de coordenadas y los ejes de simetrıa x = ±⇡/2?

S: a) an

= 0, b2n�1

= 0, b) an

= 0, b2n

= 0.

Ejercicio 10.2. ¿Que forma especial presentan los coeficientes de Fourier de f en (�⇡,⇡)en los siguientes casos?

a) f(x+ ⇡) = f(x), 8x.

b) f(x+ ⇡) = �f(x), 8x.

S: a) a2n�1

= 0, b2n�1

= 0, b) a2n

= 0, b2n

= 0.

Ejercicio 10.3. ¿Que forma especial presentan los coeficientes de Fourier de f en (�⇡,⇡)en los siguientes casos?

a) f par y ⇡-antiperiodica.


HU


b) f impar y ⇡-antiperiodica.

c) f par y ⇡-periodica.

d) f impar y ⇡-periodica.

S: a) a2n

= 0, bn

= 0, b) an

= 0, b2n

= 0, c) a2n�1

= 0, bn

= 0, d) an

= 0, b2n�1

= 0.

Ejercicio 10.4. Sea f una funcion integrable en (0,⇡/2). ¿Como debe prolongarse al inter-valo (�⇡,⇡) para que su serie de Fourier tenga la forma

f(x) ⇠1X

n=1

a2n�1

cos(2n� 1)x, x 2 (�⇡,⇡)?

S: f(x) = �f(⇡ � x), si x 2 (⇡/2,⇡); f(x) = f(�x), si x 2 (�⇡, 0).

Ejercicio 10.5. Sea f una funcion integrable en (0,⇡/2). ¿Como debe prolongarse al inter-valo (�⇡,⇡) para que su serie de Fourier tenga la forma

f(x) ⇠1X

n=1

b2n�1

sen(2n� 1)x, x 2 (�⇡,⇡)?

Aplicar el resultado a la funcion f(x) = x2, x 2 (0,⇡/2).

S: f(x) = f(⇡ � x), si x 2 (⇡/2,⇡); f(x) = �f(�x), si x 2 (�⇡, 0).Para el caso f(x) = x2, 0 < x < ⇡/2, definimos f(x) = (⇡ � x)2 si ⇡/2 < x < ⇡ yf(x) = �f(�x) si �⇡ < x < 0. Ademas, b

2n�1

= (�1)n�1

4

(2n�1)

2 � 8

(2n�1)

3 .

Ejercicio 10.6. ¿ Que relacion tienen entre sı los coeficientes de Fourier an

, bn

y ↵n

,�n

(n =1, 2, . . . ) de las funciones f(x) y g(x), si f(�x) = g(x)?

S: an

= ↵n

, �n

= �bn

.

Ejercicio 10.7. ¿ Que relacion tienen entre sı los coeficientes de Fourier an

, bn

y ↵n

,�n

(n =1, 2, . . . ) de las funciones f(x) y g(x), si f(�x) = �g(x)?

S: ↵n

= �an

, �n

= bn

.

Ejercicio 10.8. Sea f una funcion 2⇡-periodica con derivada segunda continua.

a) Expresar los coeficientes de Fourier de f 0 y f 00 en terminos de los de f .

b) Encontrar una funcion f que verifique f(x)� f 00(x) = 3 senx+ 2 cos 2x.


HU


S: a) a0

(f 0) = 0, an

(f 0) = nbn

(f), bn

(f 0) = �nan

(f), an

(f 00) = �n2an

(f), bn

(f 00) =�n2b

n

(f); b) f(x) = (3/2) senx+ (2/5) cosx.

Ejercicio 10.9. Conociendo los coeficientes de Fourier an

, bn

(n = 0, 1, 2, . . . ) de una funcionintegrable f(x), de perıodo 2⇡, calcular los coeficientes de Fourier a

n

, bn

(n = 1, 2, . . . ) de lafuncion trasladada f(x+ h), con h constante.

S: an

= an

cosnh+ bn

sennh, bn

= bn

cosnh� an

sennh.

Ejercicio 10.10. Sea f(x) una funcion continua de periodo 2⇡ y an

, bn

(n = 0, 1, 2, . . . ), suscoeficientes de Fourier. Determinar los coeficientes de Fourier A

n

, Bn

(n = 0, 1, 2, . . . ), de laconvolucion

F (x) =

Z⇡

�⇡

f(t)f(x+ t) dt.

Basandose en el resultado obtenido, deducir la identidad de Parseval.

S: A0

= ⇡a20

, An

= ⇡(a2n

+ b2n

), Bn

= ⇡(an

bn

� an

bn

) = 0; F (0) =R⇡

�⇡

|f(t)|2 dt =⇡a

20

2

+

⇡P

n2N(a2

n

+ b2n

).

Ejercicio 10.11. Calcular las series de Fourier de las siguientes funciones en los intervalosindicados:

a) f(x) = 1� x en [0, 1) en serie de cosenos.

b) f(x) = 1� x en [0, 1) en serie de senos.

c) f(x) = 1� x en [0, 1) en serie completa.

d) f(x) = 10� x en [5, 15) en serie de Fourier.

e) f(x) = x⇣⇡2� x⌘

en [0,⇡

2) en serie de senos.

f) f(x) = x⇣⇡2� x⌘

en [0,⇡

2) en serie de cosenos.

g) f(x) = x⇣⇡2� x⌘

en [0,⇡

2) en serie completa de Fourier.

Ejercicio 10.12. Desarrollar la funcion f(x) = x⇣⇡2� x⌘en el intervalo (0,⇡/2);

a) en serie de cosenos de arcos impares;

b) en serie de senos de arcos impares.


HU


Ejercicio 10.13. Sea la funcion �(x) = (⇡2 � x2)2.

a) Desarrollar la funcion �(x) en serie de Fourier en el intervalo (�⇡,⇡).

b) Calcular la suma de la serie

1� 1

24+

1

34� 1

44+ · · ·+ (�1)n�1

n4

+ · · · .

S: a) 8

15

⇡4 � 48P1

n=1

(�1)n cosnx

n

4 ; b) 7

720

⇡4.

Ejercicio 10.14. a) Demostrar que, si �⇡ < x < ⇡,

x = 2⇣senx

1� sen 2x

2+

sen 3x

3� . . .

⌘.

b) Integrando el resultado de a), demostrar que, si �⇡ x ⇡,

x2 =⇡2

3� 4⇣cosx

12� cos 2x

22+

cos 3x

32� . . .

⌘.

c) Integrando el resultado de b), demostrar que, si �⇡ x ⇡,

x(⇡ � x)(⇡ + x) = 12⇣senx

13� sen 2x

23+

sen 3x

33� . . .

⌘.

d) Demostrar que las series en b) y c) convergen uniformemente a sus funciones respectivas.

Ejercicio 10.15. a) Demostrar que, para �⇡ < x < ⇡,

x cosx = �1

2senx+ 2

⇣ 2

1 · 3 sen 2x� 3

2 · 4 sen 3x+4

3 · 5 sen 4x� · · ·⌘.

b) Teniendo en cuenta el resultado en a), demostrar que, para �⇡ x ⇡,

x senx = 1� 1

2cosx� 2

⇣cos 2x1 · 3 � cos 3x

2 · 4 +cos 4x

3 · 5 � · · ·⌘.

Ejercicio 10.16. A partir de las propiedades del nucleo de Dirichlet, demostrar las siguientesformulas.

a)⇡2

4� 2

nX

k=1,k impar

1

k2=

Z⇡

0

t sen(n+ 1/2)t

2 sen t/2dt.

Concluir que1X

k=1

1

(2k � 1)2=⇡2

8y que

1X

k=1

1

k2=⇡2

6.

¿Como adaptar el metodo anterior para calcularX

n2N

1

n2k

, con k 2 N?


HU


b)⇡

2=

Z⇡

0

sen(n+ 1/2)t

✓1

2 sen t/2� 1

t

◆dt+

Z⇡

0

sen(n+ 1/2)t

tdt.

Concluir que⇡

2=

Z 1

0

senu

udu.

Solucion. Basta multiplicar por t en las expresiones del nucleo de Dirichlet e integrar en elintervalo [0,⇡]. Luego calcular el lımite y aplicar el lema de Riemann-Lebesgue.

Para la segunda parte, basta integrar las dos expresiones del nucleo de Dirichlet y hacern ! 1.

Ejercicio 10.17. Calcular la suma por el metodo de Cesaro de las siguientes series:

a) 1/2 +P

n�1

cosnx.

b)P

n�1

sennx.

Ejercicio 10.18. Sea f una funcion 2⇡-periodica y lipschitziana de grado ↵ > 0, es decir

9c > 0 : |f(x)� f(y)| c · |x� y|↵, 8x, y.

Probar que |an

| c⇡↵/n↵, |bn

| c⇡↵/n↵.

Ejercicio 10.19. Sea f una funcion 2⇡-periodica, de clase C(1) en [0, 2⇡] y tal que f(0) =

f(2⇡),

Z2⇡

0

f(t) dt = 0. Probar que kf 0k � kfk y que la igualdad se verifica si y solo si

f(x) = a cosx+ b senx.

Ejercicio 10.20. Sea f una funcion cuya serie de Fourier es

1

4+X

n�1

1

n!· cosnx.

¿Es necesariamente continua? ¿Es necesariamente derivable? ¿Cual es la suma de la serie?

Ejercicio 10.21. Sea f una funcion 2⇡-periodica y continuamente derivable a trozos. Probarque |a

n

| c/n y |bn

| c/n, para todo n 2 N.

series de fourier - ehu.eusmtpalezp/mundo/ana2/cdi2cap10.pdf · entorno del punto) y el teorema de...

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