03 fourier

Análisis de Fourier


F. Javier Cara

ETSII-UPM

Curso 2012-2013

1


ContenidoSeñales continuas

Señales continuas periódicas. Serie de Fourier.Señales continuas periódicas. Serie de Fourier complejaEspectroSeñales continuas no periódicas. Serie de Fourier.Señales continuas no periódicas. Transformada de Fourier.Catalogo de transformadas de FourierDelta de DiracConvolución y su transformada de FourierCorrelación y su transformada de Fourier

Señales discretasSeñales discretas periódicas. Serie de Fourier discreta.Señales discretas no periódicas. Serie de Fourier discreta.Señales discretas no periódicas. Transformada de Fourier en tiempo discreto.Muestreo de señalesTransformada de Fourier discreta (DFT)

2


Señales continuas


◮ Señales continuas.◮ Señales continuas periódicas.

◮ Serie de Fourier.◮ Serie de Fourier compleja.

◮ Señales continuas no periódicas.◮ Serie de Fourier.◮ Transformada de Fourier.

◮ Señales discretas.◮ Señales discretas periódicas.

◮ Serie de Fourier discreta.◮ Señales discretas no periódicas.

◮ Serie de Fourier discreta.◮ Transformada de Fourier en tiempo discreto (DTFT).◮ Transformada de Fourier discreta (DFT).

3


Señales continuas

Jean-Baptiste Joseph Fourier (21 de marzo de 1768, Auxerre- 16 de mayo de 1830, París)

4


Señales continuas

Señales continuas periódicas. Serie de Fourier.

0 0.5 1 1.5 2−20

−10

0

10

20A= 15, f = 2 Hz, T = 0.5 s

y=A

sin(

ωt)

0 0.5 1 1.5 2−20

−10

0

10

20A= 5, f = 2 Hz, T = 0.5 s

y=A

sin(

ωt)

0 0.5 1 1.5 2−20

−10

0

10

20A= 5, f = 4 Hz, T = 0.25 s

y=A

sin(

ωt)

0 0.5 1 1.5 2−20

−10

0

10

20A= 15, f = 2 Hz, T = 0.5 s

y=A

cos(

ωt)

0 0.5 1 1.5 2−20

−10

0

10

20A= 5, f = 2 Hz, T = 0.5 s

y=A

cos(

ωt)

0 0.5 1 1.5 2−20

−10

0

10

20A= 5, f = 4 Hz, T = 0.25 s

y=A

cos(

ωt)

◮ Ondas: y = Asin(ωt), y = Acos(ωt)◮ A: amplitud de la onda.◮ ω = 2π

T= 2πf : frecuencia angular, [rad/s].

◮ T : periodo = tiempo entre dos repeticiones, [s].◮ f = 1

T: frecuencia lineal = num. de repeticiones por segundo, [Hz].

5


Señales continuas


0 0.5 1 1.5 2

−200

20

a1= 10, f

1 = 2 Hz, T

1= 0.5 s.

x 1=a 1co

s(ω

1t)

0 0.5 1 1.5 2

−200

20

a2= 8, f

2 = 4 Hz, T

2= 0.25 s.

x 2=a 2co

s(ω

2t)

0 0.5 1 1.5 2

−200

20

a3= 4, f

3 = 6 Hz, T

3= 0.16667 s.

x 3=a 3co

s(ω

3t)

0 0.5 1 1.5 2

−200

20

a4= 6, f

4 = 8 Hz, T

4= 0.125 s.

x 4=a 4co

s(ω

4t)

0 0.5 1 1.5 2

−200

20

xtotal

= x1 + x

2 + x

3 + x

4

x tota

l

0 0.5 1 1.5 2

−200

20

b1= 10, f

1 = 2 Hz, T

1= 0.5 s.

y 1=b 1si

n(ω

1t)

0 0.5 1 1.5 2

−200

20

b2= 8, f

2 = 4 Hz, T

2= 0.25 s.

y 2=b 2si

n(ω

2t)

0 0.5 1 1.5 2

−200

20

b3= 4, f

3 = 6 Hz, T

3= 0.16667 s.

y 3=b 3si

n(ω

3t)

0 0.5 1 1.5 2

−200

20

b4= 6, f

4 = 8 Hz, T

4= 0.125 s.

y 4=b 4si

n(ω

4t)

0 0.5 1 1.5 2

−200

20

ytotal

= y1 + y

2 + y

3 + y

4

y tota

l

6


Señales continuas


◮ Al sumar ondas coseno, x(t) =K∑

k=1

akcos(ωkt):

◮ Si ωk = n · ω1, n ∈ N ⇒ x(t) es una onda periódica:◮ El periodo de x(t) es T1.

◮ x(0) = x(T ) =K∑

k=1

ak .

◮ Al sumar ondas seno, y(t) =K∑

k=1

bksin(ωkt):

◮ Si ωk = n · ω1, n ∈ N ⇒ y(t) es una onda periódica:◮ El periodo de y(t) es T1.◮ y(0) = y(T ) = 0.

◮ En conclusión, f (t) =K∑

k=1

(akcos(ωkt) + bksin(ωkt)) es periódica:

◮ Si ωk = n · ω1, n ∈ N ⇒ f (t) es una onda periódica:◮ El periodo de f (t) es T1.

◮ f (0) = f (T ) =K∑

k=1

ak .

7


Señales continuas


El recíproco de la propiedad anterior también es cierto:

TeoremaCualquier función periódica de periodo T se puede descomponer en unasuma de senos y cosenos:

f (t) =∞∑

n=1

(

ancos2πn

Tt + bnsin

2πn

Tt

)

◮ Una función f (t) es periódica de periodo T si cumple quef (t) = f (t + T ).

◮ Para n = 1 las ondas tienen la misma frecuencia que la función f(t):

ω1 =2π

T

◮ Esta frecuencia es conocida como frecuencia fundamental. El restode ondas tienen frecuencias múltiplo de la fundamental (comohabíamos visto en en el apartado anterior):

ωn =2πn

T= n · ω1

8


Señales continuas


Por ejemplo, veamos la función periódica (T = 2):

f (t) =

− 1

2−1 < t < 0

+ 1

20 < t < 1

f (t) = f (t + 2) resto

La frecuencia fundamental es ω1 = 2π/T = π.La serie de Fourier de f (t) es:

f (t) =2

πsinπt +

2

3πsin3πt +

2

5πsin5πt +

2

7πsin7πt +

2

9πsin9πt · · ·

En la figura siguiente se representa la función f(t) y los tres primerostérminos de la serie de Fourier. Se observa como con tan sólo trestérminos, la aproximación conseguida es notable.

9


Señales continuas


−4 −2 0 2 4 6−1

−0.5

0

0.5

1

f(t), f0(t) = 2π sin π t

−4 −2 0 2 4 6−1

−0.5

0

0.5

1

f(t), f1(t) = 2/3π sin 3π t

−4 −2 0 2 4 6−1

−0.5

0

0.5

1

f(t), f0(t) + f

1(t)

−4 −2 0 2 4 6−1

−0.5

0

0.5

1

f(t), f2(t) = 2/5π sin 5π t

−4 −2 0 2 4 6−1

−0.5

0

0.5

1

f(t), f0(t) + f

1(t) + f

2(t)

10


Señales continuas


◮ Como ancos 2πnT

t y bnsin2πnT

t oscilan en torno al cero, la suma deellos también lo harán.

◮ Para tener en cuenta funciones periódicas que oscilan en torno a c :

TeoremaCualquier función periódica de periodo T se puede descomponer en unasuma de senos y cosenos:

f (t) = c +

∞∑

n=1

(

ancos2πn

Tt + bnsin

2πn

Tt

)

◮ Por ejemplo, la función g(t) es periódica (T = 2) pero con valoresque oscilan en torno a 1

2.

g(t) =

0 −1 < t < 01 0 < t < 1

g(t) = g(t + 2) resto

11


Señales continuas


−4 −2 0 2 4 6−1

0

1

f(t), f0(t) = 1/2

−4 −2 0 2 4 6−1

0

1

f(t), f1(t) = 2π sin π t

−4 −2 0 2 4 6−1

0

1

f(t), f0(t) + f

1(t)

−4 −2 0 2 4 6−1

0

1

f(t), f2(t) = 2/3π sin 3π t

−4 −2 0 2 4 6−1

0

1

f(t), f0(t) + f

1(t) + f

2(t)

−4 −2 0 2 4 6−1

0

1

f(t), f3(t) = 2/5π sin 5π t

−4 −2 0 2 4 6−1

0

1

f(t), f0(t) + f

1(t) + f

2(t) + f

3(t)

La serie de Fourier de g(t) es:

f (t) =1

2+

2

πsinπt +

2

3πsin3πt +

2

5πsin5πt + · · ·

12


Señales continuas


Obviamente, la pregunta es: ¿cómo se calculan an, bn y c?

Primero, hay recordar que las funciones seno y coseno cumplen:◮ Son simetricas respecto a y = 0:

∫ +T2

−T2

cos

(

2πn

Tt

)

dt = 0

∫ +T2

−T2

sin

(

2πn

Tt

)

dt = 0

◮ Son ortogonales:∫ +T

2

−T2

cos

(

2πm

Tt

)

sin

(

2πn

Tt

)

dt = 0

∫ +T2

−T2

cos

(

2πm

Tt

)

cos

(

2πn

Tt

)

dt =

{

T/2 si m = n

0 si m 6= n

∫ +T2

−T2

sin

(

2πm

Tt

)

sin

(

2πn

Tt

)

dt =

{

T/2 si m = n

0 si m 6= n 13


Señales continuas


Cálculo de los coeficientes an y bn.

f (t) = c +∞∑

n=1

(

ancos

(

2πn

Tt

)

+ bnsin

(

2πn

Tt

))

◮ Término c .

∫ +T2

−T2

f (t)dt =

∫ +T2

−T2

(

c +

∞∑

n=1

(

ancos

(

2πn

Tt

)

+ bnsin

(

2πn

Tt

))

)

dt

⇒∫ +T

2

−T2

f (t)dt = cT ⇒ c =1

T

∫ +T2

−T2

f (t)dt

14


Señales continuas


◮ Término a1.

∫ +T2

−T2

f (t)cos

(

2π

Tt

)

dt =

=

∫ +T2

−T2

(

c +

∞∑

n=1

(

ancos

(

2πn

Tt

)

+ bnsin

(

2πn

Tt

))

)

cos

(

2π

Tt

)

dt

⇒∫ +T

2

−T2

f (t)cos

(

2π

Tt

)

dt = a1

T

2⇒ a1 =

2

T

∫ +T2

−T2

f (t)cos

(

2π

Tt

)

dt

◮ Término an.

an =2

T

∫ +T2

−T2

f (t)cos

(

2πn

Tt

)

dt

15


Señales continuas


◮ Término b1.

∫ +T2

−T2

f (t)sin

(

2π

Tt

)

dt =

=

∫ +T2

−T2

(

c +

∞∑

n=1

(

ancos

(

2πn

Tt

)

+ bnsin

(

2πn

Tt

))

)

sin

(

2π

Tt

)

dt

⇒∫ +T

2

−T2

f (t)sin

(

2π

Tt

)

dt = b1

T

2⇒ b1 =

2

T

∫ +T2

−T2

f (t)sin

(

2π

Tt

)

dt

◮ Término bn.

bn =2

T

∫ +T2

−T2

f (t)sin

(

2πn

Tt

)

dt

16


Señales continuas


Teorema de la serie de FourierCualquier función periódica de periodo T se puede descomponer como:

f (t) =a0

2+

∞∑

n=1

(

ancos

(

2πn

Tt

)

+ bnsin

(

2πn

Tt

))

an =2

T

∫ +T2

−T2

f (t)cos

(

2πn

Tt

)

dt, n = 0, 1, 2, . . .

bn =2

T

∫ +T2

−T2

f (t)sin

(

2πn

Tt

)

dt, n = 1, 2, . . .

Nota: Los términos an y bn se calculan integrando en un periodo. En lasfórmulas anteriores se ha integrado entre −T/2 y T/2 pero también sepodría hacer entre 0 y T. Los an y bn obtenidos dependen de los límitesde integración elegidos, aunque (a2

n + b2n) es constante.

17


Señales continuas

Señales continuas periódicas. Serie de Fourier compleja








18


Señales continuas


Serie de Fourier compleja

e ix = cosx + isinx ⇒{

cos(nω1t) =1

2

(

e inω1t + e−inω1t)

sin(nω1t) =1

2i

(

e inω1t − e−inω1t)

f (t) =a0

2+

∞∑

n=1

an

2

(


+bn

2i

(


=a0

2+

∞∑

n=1

1

2(an − ibn)e

inω1t +1

2(an + ibn)e

−inω1t

=a0

2+

∞∑

n=1

Cneinω1t + Dne

−inω1t

Cn =1

2(an − ibn) =

2

T

∫ +T2

−T2

f (t)e−inω1tdt

Dn =1

2(an + ibn) =

2

T

∫ +T2

−T2

f (t)e inω1tdt19


Señales continuas


ya que

an =2

T

∫ +T2

−T2

f (t)cosnω1tdt =2

T

∫ +T2

−T2

f (t)1

2

(


dt

bn =2

T

∫ +T2

−T2

f (t)sinnω1tdt =2

T

∫ +T2

−T2

f (t)1

2i

(


dt

Teniendo en cuenta ésto

f (t) =a0

2+

∞∑

n=1

(

Cneinω1t + Dne

−inω1t)

=

∞∑

n=0

Cneinω1t +

∞∑

n=1

Dne−inω1t

=∞∑

n=0

Cneinω1t +

−∞∑

n=−1

D(−n)einω1t =

∞∑

n=0

Cneinω1t +

−∞∑

n=−1

Cneinω1t

=

∞∑

n=−∞

Cneinω1t

20


Señales continuas


Teorema de la serie de Fourier en notación complejaCualquier función periódica de periodo T se puede descomponer como:

f (t) =

∞∑

n=−∞

Cnei2πnt/T

Cn =1

T

∫ +T2

−T2

f (t)e−i2πnt/T dt, Cn ∈ C

Las ventajas de utilizar la serie es Fourier en complejos son:◮ Notación más compacta, más elegante.◮ Es más facil operar con exponenciales que con senos y cosenos:

multiplicar, derivar, ...◮ ¡¡¡ Pero es igual trabajar con senos-cosenos que con exp. complejas!!!

* Los pares (t, f (t)) representan la función f en el dominio del

tiempo.* Los pares

(

(ωn,Cn) : n ∈ Z, ωn = 2πT

n = nω1

)

representan la funciónf en el dominio de la frecuencia.

21


Señales continuas


EjemploDesarrollar en series de Fourier f (t) = t2, 0 < t < 2π, con periodo 2π.

a0 =2

T

∫ T

0

f (t)dt =1

π

∫ 2π

0

t2dt =8π2

3

an =2

T

∫ T

0

f (t) cos2πnt

Tdt =

1

π

∫ 2π

0

t2 cos ntdt

Integrando por partes

an =1

π

(

t2sin nt

n+ 2t

cos nt

n2− 2

sin nt

n3

)∣

∣

∣

∣

2π

0

=4

n2

bn =2

T

∫ T

0

f (t) sin2πnt

Tdt =

1

π

∫ 2π

0

t2 sin ntdt

=1

π

(

−t2cos nt

n+ 2t

sin nt

n2+ 2

cos nt

n3

)∣

∣

∣

∣

2π

0

= −4π

n

22


Señales continuas


Cn =1

2(an − ibn) =

1

2

(

4

n2+ i

4π

n

)

=2 + i2πn

n2

C0 =1

2a0 =

4π2

3

Por tanto

f (t) = t2 ≈ 4π2

3+

∞∑

n=1

(

4

n2cos nt − 4π

nsin nt

)

f (t) = t2 ≈ 4π2

3+

∞∑

n=−∞

n 6=0

2 + i2πn

n2e int

◮ Frecuencia fundamental: ω1 = 2π/T = 1 rad/s.

◮ Frecuencias de Fourier: nω1 = 1, 2, 3, 4, . . . rad/s

23


Señales continuas


−10 −5 0 5 10 15−20

02040

f(t)=t2, f0(t) = 4π2/3

−10 −5 0 5 10 15−20

02040

f(t), f1(t) = 4 cos t − 4π sin t

−10 −5 0 5 10 15−20

02040

f(t), f0(t) + f

1(t)

−10 −5 0 5 10 15−20

02040

f(t), f2(t) = cos 2t − 2π sin 2t

−10 −5 0 5 10 15−20

02040

f(t), f0(t) + f

1(t) + f

2(t)

−10 −5 0 5 10 15−20

02040

f(t), f3(t) = 4/9cos 3t − 4π/3 sin 3t

−10 −5 0 5 10 15−20

02040

f(t), f0(t) + f

1(t) + f

2(t) + f

3(t)

−10 −5 0 5 10 15−20

02040

f(t), f4(t) = 1/4cos 4t − π sin 4t

−10 −5 0 5 10 15−20

02040

f(t), f0(t) + f

1(t) + f

2(t) + f

3(t) + f

4(t)

24


Señales continuas

Espectro

Espectro◮ Un espectro es la representación de una señal en el dominio de la

frecuencia.◮ Cuando tenemos senos-cosenos, el espectro consiste en representar

an y bn frente a ωn. Es preferible representar dn =√

a2n + b2

n frentea ωn, ya que an y bn dependen de como se haya elegido T.

◮ En complejos, se puede representar la parte real y la parte imaginariade Cn, o el módulo (espectro de módulo) y la fase (espectro de fase).

◮ El espectro de módulo, |Cn|, es simétrico respecto al eje x = 0.

Cn = 1

2(an − ibn)

C−n = Dn = 1

2(an + ibn)

}

⇒ C−n = C∗n ⇒ |C−n| = |Cn|

◮ dn se reparte entre Cn y C−n en partes iguales:

|Cn|2 =1

2(a2

n+b2

n), n = 0, 1, 2, . . . |C−n|2 =1

2(a2

n+b2

n), n = 1, 2, 3, . . .

|Cn|2 + |C−n|2 = 2|Cn|2 = d2

n , n = 1, 2, 3, . . .

C0 = d0

25


Señales continuas

Espectro

EjemploEspectro de f (t) = t2

−5 0 5−20

−10

0

10

20

an

−5 0 5−20

−10

0

10

20

bn

−5 0 5−20

−10

0

10

20

(an2 + b

n2)1/2

−5 0 5−20

−10

0

10

20

REAL(cn)

ωn

−5 0 5−20

−10

0

10

20

IMAG(cn)

ωn

−5 0 5−20

−10

0

10

20

MOD(cn)

ωn

−5 0 5−20

−10

0

10

20

2*MOD(cn), n>1

ωn 26


Señales continuas

Espectro

Teorema de ParsevalTeoremaSea f (t) una función periódica, y sean an y bn los coeficientes deldesarrollo en serie de Fourier. Entonces se cumple que:

1

T

∫ +T2

−T2

(f (t))2dt = a2

0 +1

2

∞∑

n=1

(

a2

n + b2

n

)

TeoremaSea f (t) una función periódica, y sean Cn los coeficientes del desarrolloen serie de Fourier complejo. Entonces se cumple que:

1

T

∫ +T2

−T2

(f (t))2dt =

∞∑

n=−∞

C 2

n

Luego el espectro está relacionado con el valor cuadrático medio de laseñal en un periodo. 27


Señales continuas

Señales continuas no periódicas. Serie de Fourier.




◮ Señales continuas no periódicas.◮ Serie de Fourier◮ Transformada de Fourier.




28


Señales continuas


En el caso de que tengamos una señal no periódica, se puede aplicar elanálisis de Fourier de dos maneras:

1. Creando una señal periódica a partir de la señal no periódica.

2. Transformada de Fourier.

Figura: Señal no periódica.

29


Señales continuas


1. Creando señal periódica.

◮ Si tenemos una señal, f (t), definida entre ta y tb podemos crear unaseñal periódica a partir de ella, g(t), simplemente repitiendo f (t).

◮ El periodo de la nueva señal es T = tb − ta.◮ La nueva señal periódica, g(t), puede analizarse utilizando la serie de

Fourier. Los resultados obtenidos son válidos en el intervalo [tb − ta]. 30


Señales continuas

Señales continuas no periódicas. Transformada de Fourier.

2. Transformada de Fourier

h(t) =

{

f (t) t ∈ [ta, tb]0 resto

◮ La otra opción consiste en definir una función periódica pero cuyoperiodo es infinito, h(t).

◮ Aparece así el concepto de Transformada de Fourier.

31


Señales continuas


Sabemos que

h(t) =

∞∑

n=−∞

Cnei2πnt/T

Cn =1

T

∫ +T2

−T2

h(t)e−i2πnt/T dt

Sustituyendo una en la otra

h(t) =

∞∑

n=−∞

(

1

T

∫ +T2

−T2

h(t)e−i2πnt/T dt

)

e i2πnt/T

Por otro lado ωn = 2πT

n, por lo que la distancia entre ωn y ωn+1 es∆ω = 2π/T . Sustituyendo

h(t) =∞∑

n=−∞

(

∆ω

2π

∫ +T2

−T2

h(t)e−in∆ωtdt

)

e in∆ωt

32


Señales continuas


Conforme T → ∞, ∆ω → dω (se hace infinitésimo), n∆ω = ωn → ω (lavariable discreta se hace continua), y la suma se convierte en una integral

h(t) = limT→∞

∞∑

n=−∞

(

∆ω

2π

∫ +T2

−T2

h(t)e−in∆ωtdt

)

e in∆ωt

h(t) =

∫ ∞

−∞

(

1

2π

∫ ∞

−∞

h(t)e−iωtdt

)

e iωtdω

TeoremaLa Transformada de Fourier y la Transformada Inversa de Fourier sedefinen mediante:

H(ω) =1

2π

∫ ∞

−∞

h(t)e−iωtdt

h(t) =

∫ ∞

−∞

H(ω)e iωtdω

33


Señales continuas


El factor 1

2π nosotros lo hemos asignado a H(ω), pero también lopodíamos haber asignado a h(t). De hecho, no existe una soluciónconsensuada para este problema, y nos podemos encontrar las siguientesdefiniciones para la transformada de Fourier:

H(ω) =1

2π

∫ ∞

−∞

h(t)e−iωtdt

h(t) =

∫ ∞

−∞

H(ω)e iωtdω

H(ω) =

∫ ∞

−∞

h(t)e−iωtdt

h(t) =1

2π

∫ ∞

−∞

H(ω)e iωtdω

H(ω) =1√2π

∫ ∞

−∞

h(t)e−iωtdt

h(t) =1√2π

∫ ∞

−∞

H(ω)e iωtdω

H(f ) =

∫ ∞

−∞

h(t)e−i2πftdt

h(t) =

∫ ∞

−∞

H(f )e i2πftdω

34


Señales continuas


Hay dos condiciones generales que tiene que cumplir la función h(t) paratener transformada de Fourier:

◮ La función ha de ser absolútamente integrable, esto es,∫ +T

2

−T2|h(t)|dt < ∞.

◮ Cualquier discontinuidad de h(t) tiene que ser finita.

Aplicando la fórmula de Euler, la transformada de Fourier a veces seescribe

H(ω) =1

2π

∫ ∞

−∞

h(t) cos(ωt)dt − i1

2π

∫ ∞

−∞

h(t) sin(ωt)dt

Por tanto, H(ω) = H∗(−ω) y el espectro, |H(ω)|, es simétrico respectoal eje Y.

TeoremaTeorema de Parseval. Sea h(t) una función periódica, y sea H(ω) suTransformada de Fourier. Entonces se cumple que:

∫ ∞

−∞

(h(t))2dt = 2π

∫ ∞

−∞

|H(ω)|2 dω =

∫ ∞

−∞

|H(f )|2 df

35


Señales continuas


Construir una función periódica vs Transformada de Fourier.

El espectro |H(ω)| es continuo, en contraposición al de |Cn| que esdiscreto. Esto quiere decir que hay que utilizar todas las frecuencias quehay entre −ω0 y ω0 para obtener exáctamente la función f (t) como sumade senos y cosenos. Sin embargo, si sólo empleo determinadas frecuencias,las ωn, la suma de senos y cosenos me da una función periódica: quecoincide con f (t) entre ta y tb, pero que se repite fuera de ese intervalo.

36


Señales continuas

Catalogo de transformadas de Fourier


37


Señales continuas


38


Señales continuas


39


Señales continuas


40


Señales continuas

Delta de Dirac

Delta de Dirac o función impulsoLa Delta de Dirac es la siguiente función:

δ(t) = lim∆t→0

ρ(∆t)

δ(t) no es una función como las que trabajamos en análisis: se encuadrandentro de las funciones generalizadas o distribuciones. Cumplen que:

δ(t) =

0 si t 6= 0∞∫

−∞

δ(t)dt = 1

∞∫

−∞

h(t)δ(t)dt = h(0)

41


Señales continuas

Delta de Dirac

Cuando está aplicada en t = t0:

δ(t) = lim∆t→0

ρ(t0,∆t)

Las ecuaciones son ahora:

δ(t − t0) =

0 si t 6= t0∞∫

−∞

δ(t − t0)dt = 1

∞∫

−∞

h(t)δ(t − t0)dt = h(t0)

42


Señales continuas

Delta de Dirac

Gráficamente, δ(t) se representa como una flecha con altura unidad, y losimpulsos en general se representan como flechas con altura igual a suintegral.

43


Señales continuas

Delta de Dirac

Producto de la función impulso y una función ordinaria h(t)Se define como

δ(t − t0)h(t) = h(t0)δ(t − t0)

En efecto, integrando∞∫

−∞

δ(t − t0)h(t) =

∞∫

−∞

h(t0)δ(t − t0)

Para el primer miembro∞∫

−∞

δ(t − t0)h(t) = h(t0)

y el segundo miembro∞∫

−∞

h(t0)δ(t − t0) = h(t0)

∞∫

−∞

δ(t − t0) = h(t0)

44


Señales continuas

Delta de Dirac

Producto de una función con un tren de impulsos

◮ función: h(t);

◮ tren de impulsos:∞∑

n=−∞

δ(t − n∆t);

h(t) ·∞∑

n=−∞

δ(t − n∆t) =

∞∑

n=−∞

h(t)δ(t − n∆t)

El resultado es otro tren de impulsos con alturade cada impulso h(n∆t), ya que

h(t)δ(t − n∆t) = h(n∆t)δ(t − n∆t)

Por tanto

∞∑

n=−∞

h(t)δ(t−n∆t) =

∞∑

n=−∞

h(n∆t)δ(t−n∆t)

45


Señales continuas

Convolución y su transformada de Fourier

Convolución y su transformada de FourierIntegral de convolución (convoluciónentre x(t) y h(t))

y(t) =

∫ ∞

−∞

x(τ)h(t − τ)dτ

Tamb. se indica como y(t) = x(t) ∗ h(t).Proceso de convolución:

1. Folding. Se construye h(−τ).

2. Displacement. Se desplaza h(−τ)una cantidad igual a t ⇒ h(t − τ).

3. Multiplication. Se multiplican x(τ)y h(t − τ).

4. Integration. El área bajox(τ) · h(t − τ) es el valor de laconvolución en el instante t.

46


Señales continuas


Ejemplo: convolución de dos señales rectangulares.

47


Señales continuas


Ejemplo: convolución con impulsos.

48


Señales continuas


Forma alternativa de la integral de convolución

Convolución entre x(t) y h(t):

◮ Integral de convolución

y(t) =

∫ ∞

−∞

x(τ)h(t − τ)dτ

◮ Forma alternativa

y(t) =

∫ ∞

−∞

h(τ)x(t − τ)dτ

En la figura de la izquierda se hace laconvolución entre la función rectangulary e−at utilizando las dos integralesanteriores. El resultado es el mismo.

49


Señales continuas


Teorema (Teorema de convolución en el tiempo)La Transformada de Fourier de la convolución de dos funciones en eldominio del tiempo es igual al producto de las Transformadas de Fourierde las funciones en el dominio de la frecuencia.

y(t) =

∫ ∞

−∞

x(τ)h(t − τ)dτTF⇐⇒

{

Y (f ) = H(f )X (f )Y (ω) = 2πH(ω)X (ω)

Teorema (Teorema de convolución en frecuencia)La Transformada de Fourier del producto de dos funciones en el dominiodel tiempo es igual a la convolución de las Transformadas de Fourier delas funciones en el dominio de la frecuencia.

y(t) = x(t)h(t)TF⇐⇒

{

Y (f ) = H(f ) ∗ X (f )Y (ω) = 1

2πH(ω) ∗ X (ω)

50


Señales continuas


Ejemplos del teorema de convolución en el tiempo

51


Señales continuas


Ejemplos del teorema de convolución en frecuencia

52


Señales continuas

Correlación y su transformada de Fourier


Integral de correlación

y(t) =

∫ ∞

−∞

x(τ)h(t + τ)dτ

Proceso de correlación:

1. Displacement. Se desplaza h(τ)una cantidad igual a t ⇒ h(t + τ).

2. Multiplication. Se multiplican x(τ)y h(t + τ).

3. Integration. El área bajox(τ) · h(t + τ) es el valor de laconvolución en el instante t.

53


Señales continuas


TeoremaLa Transformada de Fourier de la correlación de dos funciones es igual alproducto de la conjugada de la Transformada de Fourier de la primerafunción y la Transformada de Fourier de la segunda función.

y(t) =

∫ ∞

−∞

x(τ)h(t + τ)dτTF⇐⇒

{

Y (f ) = H(f )X ∗(f )Y (ω) = 2πH(ω)X ∗(ω)

Cuando x(t) = h(t), la correlación se conoce como autocorrelación deh(t). Entonces se tiene

y(t) =

∫ ∞

−∞

h(τ)h(t+τ)dτTF⇐⇒

{

Y (f ) = H(f )H∗(f ) = |H(f )|2Y (ω) = 2πH(ω)X ∗(ω) = 2π|H(ω)|2

54


Señales continuas


Comparación entre convolución y correlación

55


Señales discretas

Señales discretas periódicas. Serie de Fourier discreta.






◮ Serie de Fourier discreta.

◮ Señales discretas no periódicas.◮ Serie de Fourier discreta.◮ Transformada de Fourier en tiempo discreto (DTFT).◮ Transformada de Fourier discreta (DFT).

56


Señales discretas


Sea una señal periódica, f (t), de periodo T . Tomamos N valoresdiscretos de f (t) en cada periodo, separados ∆t. Se cumple entonces que:

T = N∆t

−10 −5 0 5 10 15−10

0

10

20

30

40

Discretizacion de f(t)=t2. N=8

t (s)

f(t)

= t2

−10 −5 0 5 10 15−10

0

10

20

30

40

Valores discretos

t (s)

f(t k)

= t k2

57


Señales discretas


No conocemos la función de partida, sólo los puntos discretos. Podemosconstruir una suma de senos y cosenos que pase por los puntos discretos.Las ecuaciones en el caso continuo eran:

f (t) =∞∑

n=−∞

Cnei2πnt/T

Cn =1

T

∫ +T2

−T2

f (t)e−i2πnt/Tdt

El valor de la señal en cada tk = k∆t será:

f (tk) = f (k∆t) =

∞∑

n=−∞

Cnei2πn(k∆t)/(N∆t) =

∞∑

n=−∞

Cnei2πnk/N

58


Señales discretas


Cn para valores discretos se calcula teniendo en cuenta:

Cn =1

T

∫ +T2

−T2

f (t)e−i2πnt/T dt =1

T

∫ T

0

f (t)e−i2πnt/T dt

Como en un periodo sólo hay datos en N instantes tk , se pueden calcularN valores de Cn.

Cn =1

N∆t

N−1∑

n=0

f (k∆t)e−i2πnk∆t/(N∆t)∆t =1

N

N−1∑

n=0

f (k∆t)e−i2πnk/N

Figura: Aproximación de una integral por una suma.59


Señales discretas


TeoremaCualquier función periódica discreta de periodo T = N∆t se puededescomponer como:

f (k∆t) =N−1∑

n=0

Cnei2πnk/N

Cn =1

N

N−1∑

k=0


◮ Las frecuencias de cada Cn son: ωn = 2πnT

= 2πnN∆t

.

◮ Es facil comprobar que C−n = C∗n , por lo que |C−n| = |Cn| y el

espectro (ωn, |Cn|) es simétrico respecto al eje x = 0.

60


Señales discretas


Propiedades

◮ n = 0

C0 =1

N

N−1∑

k=0

f (k∆t) ⇒ Media de los valores discretos de f , f (k∆t).

Como f (k∆t) son valores reales, C0 es un número real.

◮ n =N

2

CN2=

1

N

N−1∑

k=0

f (k∆t)e−i2π(N/2)k/N =1

N

N−1∑

k=0

f (k∆t) cos(πk)

CN2

también es un número real.

61


Señales discretas


◮ n =N

2+ m

CN2 +m =

1

N

N−1∑

k=0

f (k∆t)e−i2π(N/2+m)k/N

=1

N

N−1∑

k=0

f (k∆t)e−i2πmk/Ne−ikπ = C∗N2 −m

Luego los elementos simétricos respecto a N/2 son complejosconjugados.

62


Señales discretas


* Esto quiere decir que la mitad de la información es redundante, yaque conociendo los términos desde n = 1 hasta n = N

2− 1 puedes

conocer los términos desde n = N2+ 1 hasta n = N − 1.

* La frecuencia más alta que se puede evaluar es

ωmaxk = ωN

2= 2π(N/2)/(N∆t) =

π

∆t

que se conoce como la frecuencia de Nyquist.

ωNyquist =π

∆trad/s, fNyquist =

1

2∆tHz.

* Si la señal original tiene una frecuencia mayor que ωNyquist entoncesla serie de Fourier no la puede evaluar.

* Lo anterior es válido si N es par. Si N es impar, la mayor frequenciaque se puede conocer es la correspondiente a n = N−1

2. A partir de

ahí la información es redundante.* Por tanto, como la frecuencia de Nyquist se ha definido como ωN

2,

no es posible evaluar esta frecuencia con N impar (la máximafrecuencia que se puede evaluar es ωN−1

2).

* Se volverá a incidir sobre ésto al estudiar la DFT. 63


Señales discretas









64


Señales discretas


En el caso de que tengamos valores discretos de una señal no periódica,se puede aplicar el análisis de Fourier de dos maneras:

1. Creando una señal discreta periódica a partir de la señal noperiódica.

2. Transformada de Fourier en tiempo discreto.

3. Transformada de Fourier discreta .

Figura: Señal discreta no periódica.

65


Señales discretas

Señales discretas no periódicas. Serie de Fourier discreta.

1. Creando señal discreta periódica.

◮ Si tenemos una señal discreta, f (tk), definida entre ta y tb podemoscrear una señal periódica a partir de ella, g(tk), simplementerepitiendo f (tk).

◮ El periodo de g(tk) es T = tb − ta = N∆t.◮ g(tk) puede analizarse utilizando la serie de Fourier discreta. Los

resultados obtenidos son válidos en el intervalo [tb − ta].66


Señales discretas

Señales discretas no periódicas. Serie de Fourier discreta.

Por tanto, las ecuaciones serían

f (k∆t) =

N−1∑

n=0

Cnei2πnk/N

Cn =1

N

N−1∑

k=0


67


Señales discretas

Señales discretas no periódicas. Transformada de Fourier en tiempo discreto.

2. Transformada de Fourier en tiempo discreto

h(tk) =

{

f (tk) tk ∈ [ta, tb]0 resto

◮ La otra opción consiste en definir una función discreta periódicapero cuyo periodo es infinito, h(tk).

◮ Esto se hace discretizando la Transformada de Fourier Continua.

68


Señales discretas


Las ecuaciones de la transformada de Fourier en tiempo continuo son

H(ω) =1

2π

∫ ∞

−∞

h(t)e−iωtdt

h(t) =

∫ ∞

−∞

H(ω)e iωtdω

Conocemos N valores [tk , f (tk)], tk = k∆t, k = 0, 1, . . . ,N − 1

H(ω) =1

2π

∫ ∞

−∞

h(k∆t)e−iωk∆tdt =1

2π

N−1∑

k=0

h(k∆t)e−iωk∆t∆t

=∆t

2π

N−1∑

k=0

h(k∆t)e−iωk∆t

Esta función es periódica con periodo 2π∆t

ya que

e−iωk∆t = e−iω(k+ 2π∆t )∆t , ∀k

69


Señales discretas


h(k∆t) =

∫ ∞

−∞

H(ω)e iωk∆tdω

H(ω)e iωk∆t es periódica con periodo 2π∆t

por lo que la integral anteriortoma un valor infinito. Por ello se integra en un periodo

h(k∆t) =

∫

2π∆t

H(ω)e iωk∆tdω

Por otro lado, el factor ∆t2π que acompaña a H(ω) en la ecuación anterior

se suele poner a h(k∆t), ya que el resultado final es el mismo.

TeoremaLa Transformada de Fourier y la Transformada Inversa de Fourier entiempo discreto (Discrete Time Fourier Transform, DTFT) se definen:

H(ω) =

N−1∑

k=0


h(k∆t) =∆t

2π

∫

2π∆t

H(ω)e iωk∆tdω

70


Señales discretas

Muestreo de señales

Muestreo de señalesLas señales en tiempo discreto pueden aparecer de muchas formas, perolo más común es que aparezcan como consecuencia del muestreo deseñales en tiempo continuo.

A partir de una señal continua xc(t)se obtiene una secuencia de muestrasxk mediante la relación

xk = xc(k∆t)

donde ∆t = tk − tk−1 es el periodode muestreo y

fs =1

∆t

es la frecuencia de muestreo, ennumero de muestras por segundo. Figura: Señal muestreada

71


Señales discretas


TeoremaSea función continua xc(t), el valormuestreado de xc(t) en t = tk es elproducto

xk = x(tk) = x(t)δ(t − tk)

dónde δ(t) es la función impulso.

Cuando queremos muestrear envarios puntos multiplicamos por untren de impulsos.

◮ (a) Señal continua.

◮ (b)-(c) Señal muestreada. Lainformación contenida en (b) y(c) es la misma ya que

∫ ∞

−∞

x(t)δ(t−k∆t) = x(k∆t) = xk Figura: Señal muestreada

72


Señales discretas


◮ La diferencia fundamental entre xs(t) (Figura b) y xk (Figura c) esque xs(t) es una señal en tiempo continuo (concretamente un trende impulsos) que es cero excepto en múltiplos enteros de ∆t.

◮ Por el contrario, la secuencia xk está indexada con la variable enterak , lo que introduce una normalización en el tiempo. Es decir, lasecuencia de números xk no contiene información explícita sobre lafrecuencia de muestreo.

Por este motivo las ecuaciones de la DTFT se expresan también como

H(ω) =

N−1∑

k=0

hke−iωk

hk =1

2π

∫

2π

H(ω)e iωkdω

Es decir, se toma ∆t = 1, no hay referencia al periodo de muestreo. Estohace que las ecuaciones sean más generales, se pueden aplicar a cualquiersecuencia de valores discretos, no solamente a secuencias obtenidas conmuestreo.

73


Señales discretas


Representación del muestreo en el dominio de la frecuencia

(a) Señal que queremos muestrear,h(t) (muestreamos cada T seg).

(b) Tren de impulsos ∆(t).

(e) Muestreo de h(t)= producto deh(t) y el tren de impulsos ∆(t).

(c) Transformada de Fourier deh(t), H(f ).

(d) Transformada de Fourier deltren de impulsos ∆(t), ∆(f ).

(f) Convolución de H(f ) y ∆(f ): laT. F. del producto es laconvolución.

La señal (f) es la transformada deFourier de la señal muestreada (e).

74


Señales discretas


Aliasing

Se repite el mismo proceso que en lafigura anterior, pero ahora lafrecuencia de muestreo, 1/T, esmenor que 2fc , y por tanto aparecesolapamientos en la transformada deFourier de la señal muestreada. Laseñal obtenida en (e) estádistorsionada debido a lossolapamientos, y no es posiblerecuperar la señal original h(t) apartir de sus muestras h(t) ·∆(t).A este fenómeno se conoce comoALIASING.

75


Señales discretas


El aliasing siempre aparece al muestrearuna señal continua. Si se cumple queH(f ) = 0 para f ≥ fc , podemos evitarel aliasing tomando

1

T≥ 2fc

Si la señal en frecuencias no se hacenula a partir de un valor, sólo podemoshacer que el error de aliasing seapequeño disminuyendo T.En la figura de la izquierda, la señal h(t)está muestreada con frecuencia demuestreo

fs =1

T= 2fc

A esa frecuencia se le conoce comofrecuencia de Nyquist.

76


Señales discretas


Aliasing en el dominio del tiempo◮ Sea y1 = cos(2πft). Tomamos valores discretos cada ∆t. Si

1

2∆t= fs

2< f , entonces por los valores discretos pasan

y1 = cos(2πft) y también y2 = cos(2π|f − fs |t). Este es elfenómeno del aliasing en el dominio del tiempo.

◮ Para evitar el aliasing, fs2= 1

2∆t≥ fmax , es decir, la frecuencia de

Nyquist tiene que ser mayor o igual que la máxima frecuencia quehay en nuestros datos.

◮ fs es la frecuencia de muestreo (numero de datos por segundo).

−0.05 −0.04 −0.03 −0.02 −0.01 0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05

−1

0

1

(a) f = 60 Hz; fs = 400 Hz; f

nq = 200 Hz

−0.05 −0.04 −0.03 −0.02 −0.01 0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05

−1

0

1

(b) f = 60 Hz; fs = 120 Hz; f

nq = 60 Hz

−0.05 −0.04 −0.03 −0.02 −0.01 0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05

−1

0

1

(c) f = 60 Hz; fs = 80 Hz; f

nq = 40 Hz

a fs/2 > 60: por los datos sólo pasay1 = cos(2π60t).

b fs/2 = 60: caso límite (fnq = f ); porlos datos sólo pasa y1 = cos(2π60t)

c fs/2 < 60: por los datos pasany1 = cos(2π60t) e y2 = cos(2π20t).

77


Señales discretas


Teorema de muestreo

Hay un numero infinito de señales que pueden generar un conjunto dadode nuestras. El teorema del muestreo nos indica qué condicione se tienenque dar para que unos valores muestreados especifiquen unívocamente ala señal y la podamos reconstruir perfectamente.

78


Señales discretas


Teorema (Teorema del muestreo de Nyquist)Sea x(t) una señal continua que cumple que

X (f ) = 0 para |f | ≥ fm;

x(t) está determinada unívocamente mediante sus muestrasxk = x(k∆t), k = 0,±1,±2, . . . si

fs =1

∆t≥ 2fm [Hz]

fs es la frecuencia de muestreo y fm es la frecuencia a partir de la cualX (f ) se anula. Se define la frecuencia de Nyquist como la mitad de la demuestreo, y por tanto la condición anterior también se expresa como

fnq =fs

2=

1

2∆t≥ fm [Hz]

79


Señales discretas


Interpretación gráfica del Teorema de muestreo

Si se cumplen las condiciones del teorema, la señal recuperada xr (t)coincide con la señal de partida x(t).

80


Señales discretas

Transformada de Fourier discreta (DFT)

3. Transformada de Fourier discreta (DFT)Por último tenemos que obtener una expresión de la Transformada deFourier que sea discreta en el tiempo y en frecuencia para que lapodamos implementar con el ordenador. Para ello partimos de laTransformada de Fourier en tiempo discreto (DTFT)

H(ω) =

N−1∑

k=0


h(k∆t) =∆t

2π

∫

2π∆t

H(ω)e iωk∆tdω

Tomando valores discretos de la frecuencia

ωn =2πn

T=

2πn

N∆t, n = 0, 1, . . . ,N − 1

⇒ ∆ω = ωn − ωn−1 =2π

T=

2π

N∆t

81


Señales discretas


H(ωn) =N−1∑

k=0

h(k∆t)e−iωnk∆t =N−1∑

k=0

h(k∆t)e−i 2πnkN

h(k∆t) =∆t

2π

N−1∑

n=0

H(ωn)eiωnk∆t∆ω =

∆t

2π

N−1∑

n=0

H(ωn)ei 2πnk∆t

N∆t2π

N∆t=

=1

N

N−1∑

n=0

H(ωn)ei 2πnk

N

TeoremaLa Transformada de Fourier discreta y la Transformada Inversa de Fourierdiscreta (Discrete Fourier Transform, DFT) se definen mediante:

H(n∆ω) =N−1∑

k=0

h(k∆t)e−i 2πnkN

h(k∆t) =1

N

N−1∑

n=0

H(n∆ω)e i 2πnkN

82


Señales discretas


Interpretación gráfica de la DFT(a) Función en el tiempo h(t) y su

transformada de Fourier, H(f ).

(b) Tren de impulsos ∆0(t) y sutransformada de Fourier ∆0(f ).

(c) Muestreo de h(t), h(t) ·∆0(t), y sutransformada de Fourier H(f ) ∗∆0(f ).

(d) Las señales no son infinitas: latruncamos multiplicando en el tiempopor una ventana x(t) de altura unidad.Esta ventana también tiene T. Fourier.

(e) h(t) ·∆0(t) · x(t) y su T. FourierH(f ) ∗∆0(f ) ∗ X (f )

(f) Muestreamos en frecuencia multipl. porun tren de impulsos, ∆1(f ).

(g) h̃(t) = [h(t) ·∆0(t) · x(t)] ∗∆1(t)H̃(f ) = [H(f ) ∗∆0(f ) ∗ X (f )] ·∆1(f ) 83


Señales discretas


Las fórmulas para la DFT son generales y se pueden aplicar a cualquierconjunto de datos {x0, x1, x2, . . . , xN−1}, sin que necesariamenteprovengan del muestreo de una señal continua

TeoremaSean N valores discretos {x0, x1, x2, . . . , xN−1}. La Transformada deFourier discreta (DFT) y la Transformada Inversa de Fourier discreta(IDFT) se definen mediante:

Xn =

N−1∑

k=0

xke−i2πnk/N , n = 0, 1, · · · , (N − 1)

xk =1

N

N−1∑

n=0

Xnei2πnk/N , k = 0, 1, · · · , (N − 1)

De hecho, estas ecuaciones se pueden obtener sin hacer referencia a laTransformada de Fourier continua, diréctamente trabajando con datosdiscretos.

84


Señales discretas


Comentarios◮ Aunque hemos partido de la Transformada de Fourier continua, que

presupone periodo infinito, al discretizar obtenemos una funciónperiódica (ver Figura 6.2 (g)).

◮ En realidad, el resultado obtenido construyendo una función discretaperiódica

f (k∆t) =N−1∑

n=0

Cnei2πnk/N , k = 0, 1, · · · , (N − 1)

Cn =1

N

N−1∑

k=0

f (k∆t)e−i2πnk/N , n = 0, 1, · · · , (N − 1)

es idéntico al obtenido discretizando la Transf. de Fourier continua

h(k∆t) =1

N

N−1∑

n=0

H(n∆ω)e i2πnk/N , k = 0, 1, · · · , (N − 1)

H(n∆ω) =

N−1∑

k=0

h(k∆t)e−i2πnk/N , n = 0, 1, · · · , (N − 1)85


Señales discretas


Comentarios◮ Existe un algoritmo muy eficiente para implementar la DFT

conocido como Fast Fourier Transform (FFT).◮ La transformada de Fourier reproduce exáctamente los valores xk ,

pero no reproduce exáctamente la señal continua x(t). Será tantomás precisa en cuanto el intervalo de muestreo tienda a cero.

◮ El factor 1

Nno siempre va con Xn. Depende del autor.

◮ Para k = 1 estamos en el instante de tiempo t = (k − 1)∆t = 0seg .◮ Matlab utiliza las siguientes expresiones:

Xn =

N∑

k=1

xke−i(2π/N)(n−1)(k−1) n = 1, 2, · · · ,N

xk =1

N

N∑

n=1

Xnei(2π/N)(n−1)(k−1) k = 1, 2, · · · ,N

◮ El espectro {(ωn, |Xn|) : n = 0, 1, . . . , (N − 1), ωn = 2πn/(N∆t)} essimétrico respecto al eje y .

86


Señales discretas


EjemploCalcular la DFT de los datos obtenidos al muestrear la señal x(t) = t2

con ∆t = 1 seg considerando

◮ N=8;

◮ N=9.

N=8

k tk = k∆t xk n ωn = 2πN∆t

n Xn

0 0 0 0 0 1401 1 1 1 π/4 -4.69+77.25i2 2 4 2 2π/4 -24.00+32.00i3 3 9 3 3π/4 -27.31+13.25i4 4 16 4 4π/4 -28.005 5 25 5 5π/4 -27.31-13.25i6 6 36 6 6π/4 -24.00-32.00i7 7 49 7 7π/4 -4.69-77.25i

87


Señales discretas


◮ Los valores anteriores se han obtenido en Matlab haciendox=[0 1 4 9 16 25 36 49];X=fft(x);

◮ La frecuencia de muestreo fs y de Nyquist fnq son

fs =1

∆t= 1 Hz = 2π rad/s, fnq =

fs

2=

1

2∆t= 0,5 Hz = π rad/s.

◮ Para n=0 el resultado es real y es la suma de los xk

X0 =N−1∑

k=0

xk = 140

◮ Para n=N/2=4 el resultado también es real

XN2=

N−1∑

k=0

xke−i2πkN/2

N =

N−1∑

j=0

xke−iπj =

N−1∑

k=0

xk cos(πk)

= 0 − 1 + 4 − 9 + 16 − 25 + 36 − 49 = −28

88


Señales discretas


◮ Se cumple que Xn = X ∗N−n, n = 1, 2, . . . ,N/2 − 1. Efectivamente

X1 = X ∗7 , X2 = X ∗

6 , X3 = X ∗5 .

* Esto quiere decir que la mitad de la información es redundante, yaque conociendo los términos desde n = 1 hasta n = N

2− 1 se pueden

conocer los términos desde n = N2+ 1 hasta n = N − 1.

* La frecuencia más alta que se puede evaluar es la frecuencia deNyquist

ωmaxk = ωN

2= 2π(N/2)/(N∆t) =

π

∆t

* Si la señal original tiene una frecuencia mayor que ωNyquist entoncesla DFT no la puede evaluar y se produce aliasing.

◮ Como vemos estas propiedades eran válidas para las series de Fourierdiscretas.

89


Señales discretas


N=9

k tk = k∆t xk n ωn = 2πN∆t

n Xn

0 0 0 0 0 2041 1 1 1 2π/9 -2.03+11.27i2 2 4 2 4π/9 -29.61+48.27i3 3 9 3 6π/9 -34.50+23.38i4 4 16 4 8π/9 -35.86+7.14i5 5 25 5 10π/9 -35.86-7.14i6 6 36 6 12π/9 -34.50-23.38i7 7 49 7 14π/9 -29.61-48.27i8 8 64 8 16π/9 -2.03-11.27i

◮ La frecuencia de muestreo fs y de Nyquist fnq son

fs =1

∆t= 1 Hz = 2π rad/s, fnq =

fs

2=

1

2∆t= 0,5 Hz = π rad/s.

◮ Para n=0 el resultado es real y es la suma de los xk

X0 =

N−1∑

k=0

xk = 204

90


Señales discretas


◮ Se cumple que Xn = X ∗N−n, n = 1, 2, . . . ,N/2. Efectivamente

X1 = X ∗8 , X2 = X ∗

7 , X3 = X ∗6 , X4 = X ∗

5 .

* Luego la mitad de la información es redundante, ya que conociendolos términos desde n = 1 hasta n = N−1

2se pueden conocer los

términos desde n = N+1

2hasta n = N − 1.

* La frecuencia más alta que se puede evaluar es

ωmaxk = ωN−1

2= (2π(N − 1)/2)/(N∆t) =

π

∆t

N − 1

N= 8π/9

* Por lo tanto no es posible evaluar la frecuencia de Nyquist (ωN2) con

N impar.

* Si la señal original tiene una frecuencia mayor que ωN−12

entonces la

DFT no la puede evaluar y se produce aliasing.

91


Señales discretas


0 2 4 6 80

20

40

60

80

N=8, xk

tk (s)

t2

0 0.8 1.6 2.4 3.1 3.9 4.7 5.50

50

100

150

200

250

N=8, |Xn|

ωn (rad/s)

|Xn|

0 2 4 6 80

20

40

60

80

N=9, xk

tk (s)

t2

0 0.7 1.4 2.1 2.8 3.5 4.2 4.9 5.60

50

100

150

200

250

N=9, |Xn|

ωn (rad/s)

|Xn|

92


Señales discretas


EjemploSean N datos reales, {xj , j = 0, 1, . . . ,N − 1}. La transformada discretade Fourier y la transformada inversa de estos datos se define como

Xk =N−1∑

j=0

xje−i

2πjkN , k = 0, 1, . . . ,N − 1

xj =1

N

N−1∑

k=0

Xke i2πjkN , j = 0, 1, . . . ,N − 1

Expresar la transf. discreta de Fourier como suma de senos y cosenos.

◮ Para k = 0

X0 =

N−1∑

j=0

xj

Es la suma de todos los datos de partida, y por lo tanto, es unnúmero real. Esto es válido tanto si N es par como si es impar. En elresto de pasos hay que distinguir entre ambas situaciones:

93


Señales discretas


N es par

◮ Para k = N2

XN2=

N−1∑

j=0

xje−i

2πjN/2N =

N−1∑

j=0

xje−iπj =

N−1∑

j=0

xj cos(πj)

luego es la suma de los números pares menos la suma de losnúmeros impares (y también es un número real).

◮ Para k = 1

X1 =N−1∑

j=0

xje−i

2πjN

que es un número complejo. Pero

XN−1 =

N−1∑

j=0

xje−i

2πj(N−1)N =

N−1∑

j=0

xje−i2πje i

2πjN =

N−1∑

j=0

xjei2πjN

Es decir, XN−1 es el complejo conjugado de X1. Y en general secumple que XN−r es el complejo conjugado de Xr , parar = 1, 2, . . . , N

2− 1.

94


Señales discretas


Teniendo en cuenta estas tres propiedades podemos hacer

xj =1

N

N−1∑

k=0

Xke i2πjkN =

=1

NX0 +

1

NXN

2cos(πj) +

N/2−1∑

k=1

(

Xke i2πjkN + XN−ke i

2πj(N−k)N

)

=1

NX0 +

1

NXN

2cos(πj) +

1

N

N/2−1∑

k=1

(

Xke i2πjkN + X ∗

k e−i2πjkN

)

dónde X ∗k es el complejo conjugado de Xk . Supongamos que

Xk = zk + iyk ; desarrollando

Xke i2πjkN + X ∗

k e−i2πjkN = (zk + iyk)

[

cos

(

2πjk

N

)

+ i sin

(

2πjk

N

)]

+

(zk − iyk)

[

cos

(

2πjk

N

)

− i sin

(

2πjk

N

)]

= 2zk cos

(

2πjk

N

)

− 2yk sin

(

2πjk

N

)

95


Señales discretas


Sustituyendo arriba

xj =1

NX0 +

1

NXN

2cos(πj) +

1

N

N/2−1∑

k=1

(

Xke i2πjkN + X ∗

k e−i2πjkN

)

=1

NX0 +

1

NXN

2cos(πj) +

1

N

N/2−1∑

k=1

(

2zk cos

(

2πjk

N

)

− 2yk sin

(

2πjk

N

))

=a0

2+

N/2∑

k=1

(

ak cos

(

2πjk

N

)

+ bk sin

(

2πjk

N

))

donde

ak =2zk

N, bk = −2yk

N

aN2=

XN2

N, bN

2= 0

96


Señales discretas


Esta ecuación se puede agrupar un poco más

xj =

N/2∑

k=0

(

ak cos

(

2πjk

N

)

+ bk sin

(

2πjk

N

))

donde

a0 =X0

N, b0 = 0

aN2=

XN2

N, bN

2= 0

ak =2zk

N, bk = −2yk

N

97


Señales discretas


N es imparPara k = 1

X1 =

N−1∑

j=0

xje−i

2πjN

que es un número complejo. Pero

XN−1 =

N−1∑

j=0

xje−i

2πj(N−1)N =

N−1∑

j=0

xje−i2πje i

2πjN =

N−1∑

j=0

xjei2πjN

Es decir, XN−1 es el complejo conjugado de X1. Y en general se cumpleque XN−r es el complejo conjugado de Xr , para r = 1, 2, . . . , N−1

2.

98


Señales discretas


Teniendo en cuenta estas tres propiedades podemos hacer

xj =1

N

N−1∑

k=0

Xke i2πjkN =

=1

NX0 +

(N−1)/2∑

k=1

(

Xke i2πjkN + XN−ke i

2πj(N−k)N

)

=1

NX0 +

1

N

(N−1)/2∑

k=1

(

Xke i2πjkN + X ∗

k e−i2πjkN

)

dónde X ∗k es el complejo conjugado de Xk . Supongamos que

Xk = zk + iyk ; desarrollando

Xke i2πjkN + X ∗

k e−i2πjkN = (zk + iyk)

[

cos

(

2πjk

N

)

+ i sin

(

2πjk

N

)]

+

(zk − iyk)

[

cos

(

2πjk

N

)

− i sin

(

2πjk

N

)]

= 2zk cos

(

2πjk

N

)

− 2yk sin

(

2πjk

N

)

99


Señales discretas


Sustituyendo arriba

xj =1

NX0 +

1

N

(N−1)/2∑

k=1

(

Xke i2πjkN + X ∗

k e−i2πjkN

)

=1

NX0 +

1

N

(N−1)/2∑

k=1

(

2zk cos

(

2πjk

N

)

− 2yk sin

(

2πjk

N

))

=a0

2+

(N−1)/2∑

k=1

(

ak cos

(

2πjk

N

)

+ bk sin

(

2πjk

N

))

donde

ak =2zk

N, bk = −2yk

NO también como

xj =

(N−1)/2∑

k=0

(

ak cos

(

2πjk

N

)

+ bk sin

(

2πjk

N

))

donde

a0 =X0

N, b0 = 0, ak =

2zk

N, bk = −2yk

N100


Señales discretas


EjemploLa transformada de Fourier continua estaba definida para frecuenciaspositivas y negativas.

h(t) =

∫ ∞

−∞

H(ω)e iωtdω

Expresar también la transformada de Fourier discreta para frecuenciaspositivas y negativas.

xk =

N−1∑

k=0

Xnei2πnk/N , k = 0, 1, · · · , (N − 1)

Para resolver este ejercicio nos basamos en la propiedad X−n = X ∗n .

101


Señales discretas


◮ Si N es par:

xk =

N/2∑

n=−N/2−1

Xnei2πnk/N , k = 0, 1, · · · , (N − 1)

* X0 y XN2

son reales.

* X−r = X ∗

r , r = 1, . . . , N2− 1.

◮ Si N es impar:

xk =

(N−1)/2∑

n=−(N−1)/2

Xnei2πnk/N , k = 0, 1, · · · , (N − 1)

* X0 es real.* X−r = X ∗

r , r = 1, . . . , N−1

2.

◮ Si expresamos xk (tanto N par como N impar) como suma de senosy cosenos obtenemos la misma expresion que antes.

102

03 fourier

Documents