Procesamiento Digital de Seales

Autor:

Ing.Rafael Bustamante Alvarez

REPRESENTACIN EN EL DOMINIO DE

LA FRECUENCIA Objetivos:

Introducir los conceptos del dominio en la frecuencia

(Espectros).

Obtener una representacin grafica.

DTFT, DFS, DTF, FFT,

DTFT Es la Transformada de Fourier de una Secuencia Discreta.

x[n] X(w) Una condicin suficiente para la convergencia de la transformada

Discreta de Fourier de Tiempo Discreto es que x(n) sea absolutamente

Sumable:

Propiedades:

1.-Linealidad. ax1(n)+bx2(n) aX1(w)+bX2(w)

2.-Desplazamiento. x(n-k) e-jwkX(w)

3.-Convolucin. x1(n)*x2(n) X1(w).X2(w)

=

=

=

=

)n(xe)n(xe)n(x)w(Xnn

jwn

n

jwn

DFS

La representacin en el dominio de la frecuencia de una secuencia peridica es denominada Series Discretas de Fourier.

Es su transformada

N. periodocon peridodica es )Nn(x)n(x~~

+=

knN

jN

k

~~

enxkX

==

21

0

).()(

knN

2j1N

0k

~~e).k(X

N

1)n(x

==

DFT

Una secuencia x(n) con 0 n N-1 muestras no cero, se puede repetir

para formar una versin peridica .

==caso otro 0

1-Nn0 ,1)n(R donde )n(R).k(X)k(X NN

~

knN

jN

k

enxkX

==

21

0

).()(

knN

jN

k

ekXN

nx

==

21

0

).(1

)(

(DFT)

(IDFT)

Propiedades de la DFT

Periodicidad

X(k+N)=X(k) para todo k

Linealidad

a1x (n)+ a2 x(n) DFT a1X (k)+a2X(k)

Simetra

)()()()()(

)()()()()(

kj kj k kkX

nj nj n nnx

XXXX

xxxx

o

I

e

I

o

R

e

R

o

I

e

I

o

R

e

R

+++=

+++=

b

bb e=par

o=impar

(simetria) par 1-Nn1 nxnNx

)(asimetria impar 1-Nn1 nxnNx

=

=

)()(

)()(

EjemploMediante la DFT, determine la convolucin de las dos secuencias siguientes: x1={2,1,2,1} y

Solucin: x2={1,2,3,4}

jX X jX X

1

0,1,2,3k nxkX

X X X X

2

0,1,2,3k nxnX

4N donde kXnxy kXnx

nxnxnx

2222

kjkj

kj

k

nkj

2

1111

kjkj

kj

k

nkj

1

NDFTNDFT

eee

e

eee

e

22)3(2)2(22)1(10)0(

32

)()(

0)3(2)2(0)1(6)0(

2

)()(

)()()()(

)()()(

4 23

22

3

0

42

2

23

22

3

0

42

1

2,

21,

1

213

==+==

+++=

==

====

+++=

==

=

=

=

=

Ejemplo

16(3)x 14(2)x 16(1)x 14(0)x

)

0,1,2,3,n kXnx

ekXN

nx es X de IDFT La

X X X X

kXkXkXnxnx

3333

nj

k

nkj

3

knN

jN

k

3

NDFT

e

e

====

=

==

=

====

=

=

=

460(4

1

)(4

1)(

).(1

)(

0)3(4)2(0)1(60)0(

)().()()()(

3

0

42

3

21

0

3333

213,

21

Transformada Rpida de Fourier (FFT)

Enfoque: Divide y vencers

Transformada Rpida de Fourier (FFT)-Base 2

Estructura Butterfly

Generalizacin

Ejercicio: Determinar la FFT de x={2,1,2,1}

Transformada Rpida de Fourier

Filtros Adaptativos

Los filtros adaptativos son sistemas variantes en el tiempo de forma que se adaptan a cambios a su entorno , optimizando su funcionamiento de acuerdo a una serie de algoritmos conocidos como algoritmos adaptativos.

+

Sistema adaptativo

Algoritmo adaptativo

+-

e(n)

y(n)x(n)

d(n)

Estructura Directa

e(n)

d(n)

Sistema adaptativo

Sistema Desconocido

+-

y(n)x(n)

Aplicacin:

Identificar sistemas

Estructura Inversa

Sistema adaptativo

Sistema Desconocido

+-

e(n)

y(n)x(n)

d(n)

Aplicacin:

Ecualizacin de canales de comunicacin

Estructura Predictor

Sistema adaptativo

Retardo+

-

e(n)

y(n)x(n)

d(n)

Aplicacin:

Sistemas de control Control Adaptativo y neuronal

x(n-p)

Cancelador activo de ruido

e(n)

Sistema adaptativo

+-

y(n)

d(n)= s(n)+ro(n)

Aplicacin:

Eliminar ruido solapado a la seal espectralmente

x(n)=r1(n)

222 )))(1()()(())()(()( nrfnrnsnyndn oe +==

Algoritmo Least means square(LMS)222 )))(1()()(())()(()( nrfnrnsnyndn oe +==

vectorial) (notacin xwny

xTLwwww

knxkwny

nyndJ

neJ

a

Jaa

n

T

n

n

T

nnnn

L

k

n

n

nn

.)(

.)](),.....1(),0([

)()()(

))()((

)(

1

0

2

2

1

=

=

=

=

=

=

=

+

)()(2)(

))}({(

)(

)()(

))}()()({(

)(

)(

)(

)()(2

)(

))}({(

)(

}))()()({((}.)({)}({

2

1

0

2

1

21

0

2

knxnekw

neE

kw

J

knxkw

knxkwndE

kw

ne

kw

nene

kw

neE

kw

J

a

Jww

knxkwndExwndEneEJ

nn

n

L

k

n

n

nnn

n

nn

L

k

nn

T

n

=

=

=

=

=

=

=

===

=

+

=

x(n)=r1(n)

Algoritmo Least means square(LMS)

xneww

filtros los de scoefcinete los de acin4)Actualiz

nyndne

sistemadel error del acionDeter

xwy(n)

filtro del salidala de cin2)Dtermina

adaptativo filtro del ecoeficient los de cinInicializa 1)

:entofuncionami de etapas s siguientelas tendra LMS el en basado

adaptativo FIR Filtro un de entofuncionami de etapas Las

xneww

vectorial notacin utilizando Ahora

1-Lk0 knxnewkw

:que concluye Se

nn

n

T

n

nnn

nnn

)(2

)()()(

min)3

.

)(2

)()(2)(

1

1

1

+=

=

=

+=

+=

+

+

+