transformada fourier discreta

1

Respuesta de un sistema LIT discreto a exponencialescomplejas

Funcin propia y valor propio de sistemas LIT discretos

[ ] [ ] [ ] [ ]

=

=

==k

kn

kkhzkhknxny

Sistema LITh[n]

y[n][ ] nznx =

[ ] [ ] ( )

( ) [ ]

=

=

=

==

n

n

n

k

kn

znhzH

zHzzkhzny

Tratamiento de Seales

Transformada de Z:

( ) [ ]

=

=n

njj enheH

Transformada de Fourier: jez =

nzFuncin propia: Valor propio: ( )zH


Transformadas Z y de Fourier de seales y sistemas discretos

j

n

n rezznhzH ==

=

][)(

2

=C

n dzzzXj

nx 1)(2

1][


Transformadas Z y de Fourier de seales y sistemas discretos

Transformada Z inversa:

Transformada inversa de Fourier: jez =

( )

=2

njj deeX21]n[x

Series de Fourier de Seales Peridicas Discretas en el Tiempo

x[n] = x[n + N] , 0 = 2 /N

Ecuacin de Sntesis

==

==Nk

njkk

Nk

nN

jk

k eaeanx 02

][

Ecuacin de Anlisis

=

=

==

Nn

nj

Nn

nN

jk

k enxNenx

Na 0][1][1

2


3

Series de Fourier: Tren de pulsos rectangulares

x[n] = 1, -N1 n N1

=

=

=1

1

Nn

Nn

n)N2(jkk eN

1a

-N -N1 0 N1 N

x[n]

n

0.5

1


x[n] = 1, -N1 n N1

=

=

=1

1

Nn

Nn

n)N2(jkk eN

1a

S, m = n+N1

=

=

==1

11

1

N2

0m

m)N2(jkN)N2(jkN2

0m

)Nm)(N2(jkk eeN

1eN1a



4

( )

( )

( )[ ]( )

=+

+

=

=

+

,...N2,N,0k,,N1N2

,...N2,N,0k,Nksen

N/2/1Nk2senN1

a

e1e1e

N1a

1

1

k

N/2jk

N/1N22jkN)N2(jk

k

1

1



Nak , N=10, 2N1+1=5

-20 -15 -10 -5 0 5 10 15 20 k0

5

-20-15

-10-5

05

1015

200

5Nak , N=20, 2N1+1=5

k

-20-15 -10

-5 0 510 15

200

5Nak , N=40, 2N1+1=5

k



5

Transformada de FourierTransformada de Fourier


[ ] =

=Nk

njkk eanx 0

[ ] [ ]

=

=

==n

njk

Nn

njkk enxN

enxN

a 00 11

( ) [ ]

=

=n

njj enxeX

( )01 jkk eXNa =



[ ] ( )=

=Nk

njkjk eeXN

nx 001

[ ] ( )=

221 deeXnx njj

[ ] ( )=

=Nk

njkjk eeXnx 00021

6

Ecuacin de Sntesis

( )

=2

njj deeX21]n[x

Ecuacin de Anlisis

( )

=

=n

njj e]n[xeX

Espectro Peridico con Periodo 2



Condiciones de convergencia:Seales absolutamente sumables:

Seales de energa:

[ ]

7

-N1 0 N1

1x[n]

n

( ) ( )2/sen21Nsen

eX1

j

+

=



( ) ( )=

=

==1

11

1

2

0

N

m

NmjN

Nn

njj eeeX

( )( )

j

NjNjj

eeeeX

+

=1

1 12 11

( )( ) ( )( )

)(1 2/2/2/2/1)2/1(2/1 1111

jjj

NjNjj

j

NjNjj

eeeeee

eeeeX

++

+

=

=

-N1 0 N1

1x[n]

n

( ) ( )2/2/5

senseneX j =



0

X(ej), N1= 2

2--2

5

8

( ) 1eX j =

-4 -2 0 2 4

1

n

0

1X(ejw)

w

X[n] = [n]



h[n] = (a)nu[n]| a |

9

0 < a

10

Seales peridicas

[ ]N

eanxNk

njkk

20

0 == =

( ) ( )

=

=k

kj kaeX 02

Tratamiento de Seales( ) ( )( )kjj eXeX 2+=


=

=

==

Nn

nj

Nn

nN

jk

k enxNenx

Na 0][1][1

2

Seales discretas

( ) ( )

=

=k

kj kaeX 02


( ) ( )( )kjj eXeX 2+=


Seales continuas

( ) ( )

=

=k

k kajX 02

11

x[n] = [n] X(ej) = 1n)Wnsen(de

21]n[x

W

W

nj^

=

=

W = /4

0

1/4x[n]

n

0

1

n

W =

x[n]W = /2

x[n]

n0

1/2


Convergencia:


Linealidad

Desplazamiento en el tiempo

[ ] [ ] ( ) ( )a x n a x n a X e a X eF j j1 1 2 2 1 1 2 2+ +

[ ] ( )x n m e X eF j m j


Propiedades de la Transformada de Fourier

[ ] [ ] )()( 2121 zbXzaXnbxnax Z ++

[ ] )( zXzmnx mZ

12



-N1 0 N1

1x[n]

n

0

X(ej) , N1 = 2

2-2 -

|X(ej)|, N1 = 2

2-2 - 0



-2 0 2 N1+2 6 8

1x[n-2]

n

|X(ej)|, N1 = 2

2-2 - 0

X(ej)-2), N1 =2

2-2 - 0



13

Compleja conjugada

Desplazamiento en frecuencia

[ ] ( )( )e x n X ej n F j 0 0

[ ] ( )x n X eF j* *



[ ] )( 00 zeXnxe jZnj

[ ] )( *** zXnx Z

Desplazamiento en Frecuenciah[n]

n

1

hhp [n] = (-1n)*hlp[n]

n

1

c

H(ej)

-c

1

2-2 -

Hhp(ej)=Hlp (ej(-))

-(-c)-(-c)

1

2-2



14

Expansin en tiempo

( )[ ] ( )x n X ek F j k Tratamiento de Seales


Inversin en el tiempo

[ ] ( )x n X eF j [ ] )1(

zXnx Z

( )[ ] )( kZk zXnx ( )[ ]

[ ]

=kn

knknxnx k de mltiploun es no Si0

de mltiploun es Si/

Expansin en Tiempo

-4 0 4

1x(2)[n]

n

X(ej), N1=2

-2 - 0 2

5

-2 0 2

1x[n]

n

-2 - 0 2

5

X(ej2)



15

Expansin en Tiempo

-6 0 6

1x(3)[n]

n-2 0

5

X(ej3)

2-





Multiplicacin por n

[ ] [ ] ( )

jF eXddjnnxny =

Convolucin

[ ] [ ] [ ] ( ) ( ) ( )y n x n h n Y e X e H eF j j j= =*

[ ]dzzdXznnx Z )(

[ ] [ ] [ ] ( ) )()(* zHzXzYnhnxny Z ==

16

Acumulador

[ ] [ ]( ) ( ) ( )

( ) ( )y n x k

Y ee

X e

X e kk

nF

jj

j

j

k

= =

+

=

=

11

20



Primera diferencia

[ ] [ ] ( ) ( )x n x n e X eF j j 1 1

Multiplicacin

[ ] [ ] [ ] ( ) ( ) ( ){ }z n x n y n Z e X e Y eF j j j= = 1

2



Relacin de Parsevall

[ ] ( )x n X e dn

j2

2

212

==

17

Multiplicacin en tiempo

x[n] = x1[n] x2[n]

n)2/nsen(]n[x

n)4/n3sen(]n[x

2

1

=

=

( ) ( ) ( )

=

deXeX21eX )(j2

2

j1

j




-2 - - /2 0 /2 2

1

X2(ej)

- 2 - - 3/4 0 3/4 2

1

X1(ej)



18


( ) ( ) ( )

=

deXeX21eX )(j2

j1

j

-3/4 0 3/4

1

X^1(ej)

( ) ( ) ( )

=

deXeX21eX )(j2

j1^j




-3/4 0 3/4

1

X^1(ej)

-2 - - /2 0 /2 2

1 X2(ej)

-2 - 0 3/4

0.5

X(ej)

0.25

-3/4 2



19

Convolucin en Tiempo(-1) n(-1) n

x[n] y[n]w1[n] w2[n]

w3[n]

w4[n]

Hlp(ej)

Hlp(ej)

- 2 - /4 0 /4 2

1Hlp(ej

)

-



Propiedades de la Transformada de FourierConvolucin en Tiempo

Hlp(ej)

Hlp(ej)

(-1) n (-1) n


w3[n]

w4[n]

( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

jjlP

j

jjlP

j

jj

eXeHeWeXeHeW

eXeW

)(3

)(2

)(1

=

=

=( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )[ ]

jlP

jlP

j

jjlP

j

eHeHeHeXeHeW+=

= )(

4


20

Propiedades de la Transformada de FourierConvolucin en Tiempo

Hlp(ej)

Hlp(ej)

(-1) n (-1) n


w3[n]

w4[n]

- -3/4 -/4 0 /4 3/4

1

H(ej)

( ) ( ) ( )[ ] jlPjlPj eHeHeH += )(


Sistemas Caracterizados por Ecuaciones en Diferencias Lineales con Coeficientes Constantes

==

=M

kk

N

kk knxbknya

00][][


( )

=

=

= N

k

kk

M

k

kk

za

zbzH

0

0

Funcin de Transferencia

( )

=

=

= N

0k

jkk

M

0k

jkk

j

ea

ebeH

Respuesta en frecuencia

21

Sistemas lineales e invariantes en el tiempo como filtros selectivos en frecuencia

Eliminacin de ruido

Conformacin espectral de seales

Deteccin de seales (Radar, Sonar, etc)

UtilizacinUtilizacin

FiltroEntrada Salida

DiscriminaDiscriminaLTI )e(H j


Filtros idealesFiltros ideales

Clasificacin segn caractersticas en frecuencia

Pasa bajo Pasa alto

/H(ej)/

cc

11 B

-

/H(ej)/

cc

11

-


22

Filtros idealesFiltros ideales

Pasa banda Banda eliminada

Pasa todo

/H(ej)/

2 o -1

11

- 2 o 1

B

/H(ej)/

11

-

/H(ej)/

o

11

- o


Clasificacin segn caractersticas en frecuencia

Otras caractersticas de los filtros ideales

Respuesta de fase lineal

)e(H)e(X)(eY jjj = ][][ 0nnCxny =

PropiedadesPropiedades:EscaladoDesplazamiento temporal

La salida es una versin retardada y escalada

contrarioCasoCe nj

,0, 210

23

Continuacin

Filtros idealesIrrealizables

Se pueden aproximar

El diseo se basa

Ubicando

Polos

Ceros

Principio: Localizar los polos cerca de los puntos de la Principio: Localizar los polos cerca de los puntos de la circunferencia unidad correspondientes a las frecuencias circunferencia unidad correspondientes a las frecuencias

que se desean acentuar y los ceros a las frecuencias que se que se desean acentuar y los ceros a las frecuencias que se desean amortiguardesean amortiguar


Condiciones:

1. Todos los polos deben estar en el 1. Todos los polos deben estar en el interior de la circunferencia unidad interior de la circunferencia unidad para que el filtro sea estable. Sin para que el filtro sea estable. Sin embargo, los ceros pueden situarse embargo, los ceros pueden situarse en cualquier punto.en cualquier punto.

2. Todos los ceros y polos complejos 2. Todos los ceros y polos complejos deben tener su conjugado, de manera deben tener su conjugado, de manera que los coeficientes del filtro sean que los coeficientes del filtro sean reales.reales.


24

Funcin de transferencia expresada en funcin de los polos y ceros

( )( )

=

=

=

N

kk

M

kk

zp

zzbzH

1

1

1

1

01

1)(

1)e(Hb 0j0 = N>M, se obtienen ms

polos triviales que ceros


Filtro pasa bajo

Pasa bajo: Ubicacin de polos cerca de =0 y los ceros cerca =

>>>


25

>>>

Filtro pasa alto

Pasa alto: Ubicacin de ceros cerca de =0 y los polos cerca =,es decir reflejando los polos y ceros del filtro pasa bajo

Para tener un ancho Para tener un ancho de banda ms de banda ms

amplioamplio

Agregar, ms polos y/o ceros


Transformacin de un filtro

Trasladar frecuencias

H(w)

-

H(w- )

-

Aplicando propiedad de traslacin en

frecuencia)()1()( nhnh pb

npa =

( ))e(H)e(H jpbj

pa =


26

SISTEMAS PASA TODOSISTEMAS PASA TODO

Sistema estable y causal cuya magnitudes igual a la unidad para toda frecuencia

Para obteneresta respuesta

Cada polopolo de H(z) debeser acompaado de uncerocero cuyo valor sea elinverso conjugadoinverso conjugado

=

=M

1i1

i

*i

1pt

zd1dz)z(HFuncin de transferencia


Respuesta en frecuenciaRespuesta en frecuencia


z je

=

=

=

=

M

1ij

i

j*ijM

M

1ij

i

*i

jj

pted1ed1e

ed1de)e(H

1)e(H jpt =EL MduloEL Mdulo


27


Ejemplo:Ejemplo:

+

+

=

14j14

j1

4j14

j11

ze541ze

541z

431

e54ze

54z

43z

)z(H

ImIm

ReReX

X

X

o

o

o

Por cada polo en H(z)Por cada polo en H(z)existe un cero de mduloexiste un cero de mduloinverso y fase opuestainverso y fase opuesta


SISTEMAS DE FASE MNIMASISTEMAS DE FASE MNIMA

)z(H1

)z(H

SiSison establesson establesy causalesy causales

H(z) es dees defase mnimafase mnima

Por lo tanto, los polos y ceros de Por lo tanto, los polos y ceros de H(z)deben estar dentro de la circunferenciadeben estar dentro de la circunferenciaunidad.unidad.


transformada fourier discreta

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