1 tema 4 la transformada discreta de fourier. 2 esquema general
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TEMA 4
LA TRANSFORMADA DISCRETA DE FOURIER
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ESQUEMA GENERAL
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ESQUEMA GENERAL
Veamos de una forma gráfica y cualitativa la génesis de la DFT:
Sea la señal x(t), cuya Transformada de Fourier es X(f).Veamos un procedimiento numérico de evaluación de esta X(f), que será discreto, y nos dará una estimación del espectro en puntos discretos y además con un cierto error.
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ESQUEMA GENERAL
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ESQUEMA GENERAL
La primera fuente de error es el error de solapamiento (aliasing) que se produce al muestrear la señal en el tiempo.
La segunda fuente de error es la que se produce al truncar la señal en el tiempo (leakage), que da lugar a cierto rizado en la característica espectral.
De lo anterior se desprende la conveniencia de estudiar la DFT en elcontexto de las señales periódicas.
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REPRESENTACIÓN DE SECUENCIAS PERIÓDICAS : LAS SERIES DE FOURIER DISCRETAS
La señal , al ser periódica, admite serdesarrollada en SERIES DE FOURIER
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REPRESENTACIÓN DE SECUENCIAS PERIÓDICAS : LAS SERIES DE FOURIER DISCRETAS
PARALELISMO CONTÍNUO-DISCRETO DEL DESARROLLO EN SERIES
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REPRESENTACIÓN DE SECUENCIAS PERIÓDICAS : LAS SERIES DE FOURIER DISCRETAS
REPRESENTACIÓN EN DFS DE UNA SECUENCIA PERIÓDICA
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PROPIEDADES DE LA DFS
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PROPIEDADES DE LA DFS
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PROPIEDADES DE LA DFS
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PROPIEDADES DE LA DFS
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CONVOLUCIÓN PERIÓDICA
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CONVOLUCIÓN PERIÓDICA
EJEMPLO DE CONVOLUCIÓN PERIÓDICA
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CONVOLUCIÓN PERIÓDICA
EJEMPLO DE CONVOLUCIÓN PERIÓDICA
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MUESTREO EN LA TRANSFORMADA Z
Hemos visto que los valores de X(k) en la representación del DSF de una secuencia periódica son idénticos a las muestras de la Transformada Z de un único periodo de x(n) en N puntos equiespaciados sobre el círculo unitario
Consideremos ahora, de una forma mas general, la relación existente entre una secuencia aperiódica con Transformada Z X(z) y la secuencia periódica para la cual sus coeficientes del DSF corresponden a muestras de X(z) equiespaciadas en ángulo alrededor del círculo unitario.
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MUESTREO EN LA TRANSFORMADA Z
Sea X(z) la Transformada Z de x(n), si evaluamos su transformada z en N puntos equiespaciados en ángulo, obtenemos la secuencia periódica:
donde
a la cual le corresponde la secuencia periódicadada por:
sustituyendo los valores de , obtenemos:
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MUESTREO EN LA TRANSFORMADA Z
intercambiando el orden del sumatorio:
pero:
por lo que:
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MUESTREO EN LA TRANSFORMADA Z
Si longitud [x(n)]<N entonces x(n) puede recuperarse extrayendo un periodo de
Una secuencia finita de duración menor o igual que
N puede representarse exactamente por N muestras de su transformada Z sobre el círculo unidad.Por lo anterior, X(z) también podrá sintetizarse a partir de estas N muestras.
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Relación entre la duración M de una secuencia y el número de muestras N en el espectro.
cuando N<M ocurre el efecto de aliasing.
El subrayado indica una secuencia producida por DFT inversa:
MUESTREO EN LA TRANSFORMADA Z
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REPRESENTACIÓN DE SECUENCIAS DE
DURACIÓN FINITA: LA DFT
Los resultados anteriores sugieren dos puntos de vista orientados a la representación de Fourier de secuencias de duración finita:
1. Representar una secuencia de duración finita N por una secuencia periódica de periodo N y considerar su representación como un periodo del DSF de la secuencia periódica.
2. Representar una secuencia de duración finita N
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DFT:
IDFT:
TRANSFORMADA DISCRETA DE FOURIER
REPRESENTACIÓN DE SECUENCIAS DE
DURACIÓN FINITA: LA DFT
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PROPIEDADES DE LA DFT
1) Linealidad
x3(n)=ax1(n)+bx2(n) , X3(k)= aX1(k)+bX2(k)
Si long[x1(n)]=N1 y long[x2(n)]=N2 entonces
long[x3(n)]=max{N1,N2}
2) Periodicidad
x(n) y X(k) son periódicas con período N.
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PROPIEDADES DE LA DFT
3) Simetría
Si x(n) <--->X(k) entonces x*(n) <--->X*(-k)=
X*(N-k)
Para señales REALES:
x(n)=x*(n) y X(k)=X*(N-k) Re[X(k)] es una función par Im[X(k)] es una función impar |X(k)| es una función par Fase[X(k)] es una función impar
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PROPIEDADES DE LA DFT
4) Desplazamiento Circular de una secuencia
Sea x(n) <---> X(k), ¿ Cuál será el x1(n) <--->
X(k)e-j2pkm/N ?
Interpretación de la DFT como un período de la DSF.
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PROPIEDADES DE LA DFT
5) Convolución Circular
Sean dos secuencias de longitud N x1(n) y x2(n) con
DFTs X1(k) y X2(k).
¿Cuál será la x3(n) cuya DFT es X3(k)=X1(k)X2(k)?
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PROPIEDADES DE LA DFT
5) Convolución Circular
Es decir, x3(n) será un periodo de la convolución
de las secuencias periódicas , correspondientes a x1(n) y x2(n) respectivamente.
x3(n)=x1(n)(~)x2(n) <---> X3(k)=X1(k)X2(k)
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CONVOLUCION LINEAL USANDO LA DFT
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Convolución de dos secuencias finitas de igualnúmero de puntos
CONVOLUCION LINEAL USANDO LA DFT
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CONVOLUCION LINEAL USANDO LA DFT
Convolución de dos secuencias finitas de distintonúmero de puntos
En general si :
DFT’S sobre la base de puntos
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Convolución de una secuencia finita con otra
de un número indefinido de puntos
CONVOLUCION LINEAL USANDO LA DFT
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Convolución de una secuencia finita con otra
de un número indefinido de puntos
CONVOLUCION LINEAL USANDO LA DFT
Solución : Método Solapa y Suma
Convolución Lineal
Long Cada Término de la
sumatoria debe calcularse utilizando DFT de L + M – 1
puntos
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Convolución de una secuencia finita con otra
de un número indefinido de puntos
CONVOLUCION LINEAL USANDO LA DFT
Solución : Método Solapa y Guarda
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COMPUTACIÓN DE LA DFT
DFT:
IDFT:
Caso general, x(n) COMPLEJO:
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COMPUTACIÓN DE LA DFT
TOTAL DE OPERACIONES
Para cada X(k) Todos los X(k)
Productos Sumas Productos Sumas
Operaciones complejas
N N-1 N2 N(N-1)
Operaciones reales
4N 4N-2 4N2 N(4N-2)
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COMPUTACIÓN DE LA DFT
Comparación del número de multiplicaciones requeridas por cálculo directo de DFT y por cálculo mediante el algoritmo FFT:
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COMPUTACIÓN DE LA DFT
PROPIEDAD DE SIMETRIA DE LOS :
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COMPUTACIÓN DE LA DFT
Secuencias reales:
Explicación intuitiva
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COMPUTACIÓN DE LA DFT
Para N=8, Términos k Términos k+N/2
Explicación intuitiva
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COMPUTACIÓN DE LA DFT
Explicación intuitiva
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COMPUTACIÓN DE LA DFT
Explicación intuitiva
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Descomponen x(n) en subsecuencias sucesivamente más pequeñas
Aprovechan la simetria y periodicidad de los
Caso general, N=2v y v entero.
ALGORITMOS FFT DE DECIMANCIÓN EN EL TIEMPO
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Separando en n pares e impares:
LLamando H(k) al primer sumatorio y G(k) al segundo obtenemos:
X(k) = G(k) + H(k)
ALGORITMOS FFT DE DECIMANCIÓN EN EL TIEMPO
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Realizando un proceso análogo de partición con G(k)
y H(k) obtenemos:
y así sucesivamente …
En el caso general de N=2v se precisa de p=log2N
etepas de computación como las comentadas.
ALGORITMOS FFT DE DECIMANCIÓN EN EL TIEMPO