1

Transformada de Fourier Discreta (DFT)

Prof. Juan Moises Mauricio Villanuevajmauricio@cear.ufpb.br

UNIVERSIDADE FEDERAL DA PARAÍBAPROGRAMA DE PÓS-GRADUAÇÃO EM ENGENHARIA ELÉTRICA

Transformada de Fourier em Tempo Discreto

• Para um sinal discreta não periódico x[n], de tamanho L:

2

2, 0,..., 1

kk L

L

[ ] ( )Fx n X

1

0

( ) [ ] , 0,1, 2,...., 1L

j n

n

X x n e k L

3

t

x(t)

A/D

fs = Frequênciade amostragem(sampling)

Ts = 1/fs = Período deamostragem

n

x(n)

0 1 n

x(n)

0 1

N = número de amostras

N-1

Sinal amostrada utilizando um conversor Análogo para Digital

4

Exemplo 1: fs = 10k Amostras/sTs = 1/fs = 0.1 ms (Período de amostragem)N = 100 amostrastwindow = (N)*Ts=100*0.1ms = 10 ms

twindow

t

x(t)

A/D

fs = Frequênciade amostragem(sampling)

Ts = 1/fs = Período deamostragem

n

x(n)

0 1 n

x(n)

0 1

N = número de amostras

N-1

5

1

0

( ) [ ] ,

20,1,2,...., 1,

Nj n

n

X x n e

kk N

N

fs = 10k amostras/sTs = 1/fs = 0.1 ms (Período de amostragem)N = 100 amostrastwindow = N*Ts=100*0.1ms = 10 ms

twindow

t

x(t)

A/D

fs = Frequênciade amostragem(sampling)

Ts = 1/fs = Período deamostragem

n

x(n)

0 1 n

x(n)

0 1 N-1

DFT

Exemplo de avaliação da DFT

L = 5 k = 0,1,2,3,4

6

4

0

42 /5

0

44 /5

0

46 /5

0

48 /5

0

0 0 (0) [ ]

21 (2 / 5) [ ]

5

42 (4 / 5) [ ]

5

63 (6 / 5) [ ]

5

84 (8 / 5) [ ]

5

n

j n

n

j n

n

j n

n

j n

n

k X x n

k X x n e

k X x n e

k X x n e

k X x n e

2, 0,..., 1

kk L

L

Módulo e Fase da DFT

7

0

1

2

3

4

0

42 /5

0

44 /5

0

46 /5

0

48 /5

0

0 0 (0) [ ] (0)

21 (2 / 5) [ ] (2 / 5)

5

42 (4 / 5) [ ] (4 / 5)

5

63 (6 / 5) [ ] (6 / 5)

5

84 (8 / 5) [ ] (

5

j

n

jj n

n

jj n

n

jj n

n

j n

n

k X x n X e

k X x n e X e

k X x n e X e

k X x n e X e

k X x n e X

48 / 5) je

• A resolução da frequência digital é dada como:

8

0

1

2

3

4

0 0 (0)

21 (2 / 5)

54

2 (4 / 5)5

63 (6 / 5)

58

4 (8 / 5)5

j

j

j

j

j

k X e

k X e

k X e

k X e

k X e

0

2

L

Resolução da Frequência Digital

Resolução

Definição da Transformada de Fourier Discreta

• A DFT para o sinal x[n], de tamanho N, é definido por:

• A DFT inversa é definido por

9

2, 0,..., 1

kk N

N

1

0

( ) [ ] , 0,1, 2, ...., 1N

j n

n

X x n e k N

1

0

1[ ] ( ) , 0,1, 2, ..., 1

Nj n

k

x n X e n NN

[ ] ( )Fx n X Notação:

Propriedades da DFT• Linearidade

• Deslocamento no tempo

10

1 1Fx n X

2 2Fx n X

1 2 1 2Fax n bx n aX bX

00

j nFx n n e X

• Deslocamento na frequência

• Convolução

11

0j n Foe x n X

h[n]x[n] y[n]

Fy n x n h n Y X H

k

y n x n h n x k h n k

Propriedades da DFT

Exemplo 2

12

• Para um sinal Sinusoidal s(t)=sin(2πft)

• Frequência do sinal f= 50Hz

• Frequência de amostragem fs=1000 Amostras/s

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20-1

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

Tamanho do sinalL = 20 amostras

Exemplo 2

13

• Incrementando 100 zeros

0 20 40 60 80 100 120-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1señal+ruido

20 amostras

100 zeros

O novo tamanho do sinal é N = 120 amostras

Exemplo 2

14

• Aplicando a Transformada de Fourier Discreta

0 1 2 3 4 5 6 70

2

4

6

8

10

12

rad/s

|DF

T|

199

0

( ) [ ] , 0,1,2,....,199j n

n

X x n e k

0

2 2

120N

Resolução:

Exemplo 2

15

• Transformação de escala (rad) x (Hz)

2 1000

. 1000( )

2 2

s

s

A Transformada de Fourier Discreta é Períodica

f

f

ff Hz

Exemplo 2

16

• Aplicando a Transformada de Fourier Discreta(escala em Hz)

0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 10000

2

4

6

8

10

12

Hertz

|DF

T|

Frequência do sinal f=50Hz

Exemplo 2

17

• Simetria da Transformada de Fourier Discreta

0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 10000

2

4

6

8

10

12

Hertz

|DF

T|

Simetria

Considerações na Avaliação da DFT

18

• A adição de zeros não proporciona nenhuma informaçãoadicional acerca do espectro de X() da sequencia x[n].

• Ao preencher a sequencia x[n] com (N-L) zeros e avaliar aDFT de N pontos, se obtém uma melhor representaçãográfica, devido principalmente à melhora na resolução daDFT.

Exemplo 2

• Simetria e Periodicidade

Propriedades da DFT

19

20

Propriedades da DFT

21

Propriedades da DFT

• Simetria• Período igual a 2*

220 1 2 3 4 5 6 70

5

10

15

20

25

30

35

40

45

50

omega (rad)

|FF

T|

Espectro de x(n)

2

1

0

( ) [ ] ,

20,1,2,...., 1,

Nj n

n

X x n e

kk N

N

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100-1

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

n

x(n)

DFT

N=100fs=10k Amostras/sfo = 1 kHz

Exemplo 3

Transformação de escalas de (rad) para frequência em Hertz

23

0 1 2 3 4 5 6 70

5

10

15

20

25

30

35

40

45

50

omega (rad)

|FF

T|

Espectro de x(n)

2

fs/2

fsf (Hz)

( )2

sff Hz

2

( )sf

f Hz

Realizando a Transformação

24

0 1000 2000 3000 4000 5000 6000 7000 8000 9000 100000

5

10

15

20

25

30

35

40

45

50

f(Hz)

|FF

T|

Espectro de x(n)

fs/2 fsfo

Simetria com respeito a fs/2

Período igual a fs

A Largura de Banda de interesse é igual ao intervalo [0, fs/2]

BW = [0, fs/2]=[0, 5kHz]]

DFT de um sinal ruído branco Gaussiano

• Valor médio = 0 • Desvio padrão = 0.1

25

-0.4 -0.3 -0.2 -0.1 0 0.1 0.2 0.3 0.40

5

10

15

20

25

30

35

40

r = 0 + 0.1*randn(1,1000);figure,hist(r,100)

A DFT do ruído branco Gaussiano

26

0 1000 2000 3000 4000 5000 6000 7000 8000 9000 100000

10

20

30

40

50

60

f(Hz)

|FF

T|

Espectro de x(n)

DFT do ruído

DFT de 2 sinais sinusoidais• fs = 10 kHz (Frequência de amostragem)• Frequência dos sinais f0=1 kHz e f1=3 kHz

27

0 1000 2000 3000 4000 5000 6000 7000 8000 9000 100000

10

20

30

40

50

60

f(Hz)

|FF

T|

Espectro de x(n)

Que acontece se a frequência do sinal de entrada f1é superior a fs/2 = 5000 Hz ?

• Por exemplo, para fo = 1000 Hz e f1 = 6000 Hz• Sendo que a largura de banda vá de [0, 5000]Hz, o espectro do sinal de

6000 Hz produzirá um espectro espelhado com frequência de 4000 Hz. Por tanto, tem-se um espectro de frequência errado.

28

0 1000 2000 3000 4000 5000 6000 7000 8000 9000 100000

10

20

30

40

50

60

f(Hz)

|FF

T|

Espectro de x(n)

fo Simetria de fof1Simetriade f1

Com a finalidade de garantir que a análise de espectros seja realizado respeitando a largura de banda de interesse [0, fs/2], deve-se colocar na entrada do sistema de processamento do sinal um filtro passa baixo com frequência de corte fs/2. Este filtro limitara a largura de banda dos sinais de entrada.

fc=fs/2

FiltroPassaBaixo

1

0

( ) [ ] ,

20,1,2,...., 1,

Nj n

n

X x n e

kk N

N

twindow

t

x(t)

A/D

n

x(n)

0 1 n0 1 N-1

DFT

29

• Se realiza o truncamiento da resposta ao impulso ideal h[n] por uma janela w[n]:

[ ] [ ] [ ]wh n h n w n

( ) ( ) ( )wH F H F W F

30

Multiplicação emtempo discreto

Convolução na Frequência

Análise em Frequencia usando Janelas

• Características das Funções que caracterizam Janelas

31

M n M

[ ] 1w n

[ ] 1n

w nM

[ ] 0.5 0.5 cosn

w nM

[ ] 0.54 0.46 cosn

w nM

2[ ] 0.42 0.5 cos 0.08 cos

n nw n

M M

JANELAS

Boxcar

Blackman

Barlett

Hanning

Hamming

Análise em Frequencia usando Janelas