10 transformada fourier
TRANSCRIPT
( ) ( ) exp( )F f t i t dtω ω∞
−∞
= −∫
1( ) ( ) exp ( )
2f t F i t dω ω ω
π
∞
−∞
= ∫
La transformadade
Fourier
De la Serie de Fourier a la Transformada de Fourier
La serie de Fourier nos permite obtener una representación en el dominio de la frecuencia de funciones periódicas f(t).
¿Es posible extender de alguna manera las series de Fourier para obtener una representación en el dominio de la frecuencia de funciones no periódicas?
Consideremos la siguiente función periódica de periodo T:
Tren de pulsos de amplitud 1, ancho p y periodo T:
1f(t)
t. . . -T -T/2
0
T/2 T . . .
p
-p/2 p/2
<<<<<<
= −
−−
22
22
22
0
1
0
)(Tp
pp
pT
t
t
t
tf
Los coeficientes de la serie compleja de Fourier en este caso resultan puramente reales:
El espectro de frecuencia correspondiente lo obtenemos (en este caso) graficando cn contra ω = nω0.
)(
)(
20
20p
p
n n
nsen
T
pc
ωω
=
Espectro del tren de pulsos para p = 1, T = 2
-60 -40 -20 0 20 40 60-0.2
0
0.2
0.4
0.6
w=nw0
c n
Si el periodo del tren de pulsos aumenta...
-20 -10 0 10 200
0.5
1
1.5
p = 1, T = 2
t
f(t)
t-20 -10 0 10 200
0.5
1
1.5p = 1, T = 5
f(t)
-20 -10 0 10 200
0.5
1
1.5
p = 1, T = 10
t
f(t)
-20 -10 0 10 200
0.5
1
1.5
p = 1, T = 20
t
f(t)
-50 0 50-0.1
0
0.1
0.2
0.3
p = 1, T = 5
-50 0 50-0.05
0
0.05
0.1
0.15
p = 1, T = 10
-50 0 50-0.02
0
0.02
0.04
0.06p = 1, T = 20
-50 0 50-0.2
0
0.2
0.4
0.6p = 1, T = 2
ω=nω0
c n
...el espectro se "densifica".
En el límite cuando T→∞, la función deja de ser periódica:
¿Qué pasa con los coeficientes de la serie de Fourier?
-20 -10 0 10 200
0.5
1
1.5p = 1, T = ∞
t
f(t)
Si se hace T muy grande (T→∞), el espectro se vuelve "continuo":
El razonamiento anterior nos lleva a reconsiderar la expresión de una función f(t) no periódica en el dominio de la frecuencia, no como una suma de armónicos de frecuencia nω0, sino como una función continua de la frecuencia ω.
Así, la serie:
al cambiar la "variable discreta" nω0 (cuando T→∞) por la variable continua ω, se transforma en una integral de la siguiente manera:
∑∞
−∞=
=n
tinnectf 0)( ω
Recordemos:
La serie de Fourier es:-T/2< x < T/2
O bien:
∑ ∫∞
−∞= −
−
=n
tinT
T
tinT edtetftf 00
2/
2/
1 )()( ωω
0
2/
2/
1 2y)( 0
ωπω == ∫
−
− TdtetfcT
T
tinTn
∑ ∫∞
−∞= −
−
=n
tinT
T
tin edtetftf 000
2/
2/21 )()( ωωπ ω
∫ ∫∞
∞−
∞
∞−
−
= ωωω
π dedtetftf titi)()( 21
T
T
/2
/2
0
0
πωωπ
==
Cuando T→ ∞, nω0 → ω y ω0 → dω y el sumatorio se convierte en:
La transformada de Fourier
Es decir,
donde:
Estas expresiones nos permiten calcular la expresión F(ω) (dominio de la frecuencia) a partir de f(t) (dominio del tiempo) y viceversa.
∫∞
∞−
= ωω ωπ deFtf ti)()( 21
∫∞
∞−
−= dtetfF tiωω )()(
Identidad de Fouriero antitrans-formada de Fourier
Transformadade Fourier
La transformada de Fourier y la transformada inversa de Fourier
( ) ( ) exp( )F f t i t dtω ω∞
−∞
= −∫1
( ) ( ) exp( )2
f t F i t dω ω ωπ
∞
−∞
= ∫En algunos textos, el factor 1/2π se "reparte" entre la transformada y la anti-transformada para obtener simetría en la expresión, como: 1/√(2π).
Notación: A la función F(ω) se le llama transformada de Fourier de f(t) y se denota por F o , es decir
En forma similar, a la expresión que nos permite obtener f(t) a partir de F(ω) se le llama transformada inversa de Fourier y se denota por F –1 ,es decir
∫∞
∞−
− == ωωω ωπ deFtfFF ti)()()]([ 211
∫∞
∞−
−=== dtetffFtfF tiωωω )()(ˆ)()]([
f̂
Transformadas integrales
– K(τ,t): núcleo o kernel.
– Asocia a cada función f(t) en el espacio t, directo o real, otra función F(τ) en el espacio τ o recíproco.
– Ejemplos: de Fourier, Wavelet, transformada Z, de Laplace, de Hilbert, de Radon, etc
dttftKFb
a∫= )(),()( ττ
Un problema que es difícil de resolver en sus "coordenadas" (espacio t) originales, a menudo, es más sencillo de resolver al transformarlo a espacio τ.
Después, la transformada inversa nos devuelve la solución en el espacio original.
Problem in
Transform space
Original
problem
Solution in
Transform space
Solution of
original problem
Integral transform
Relatively easy solution
Difficult solution
Inverse transform
Ejemplo. Calcular F(ω) para el pulso rectangular f(t) siguiente:
Solución. La expresión en el dominio del tiempo de la función es:
-p/2 0 p/2
1f(t)
t
<<<
<= −
−
t
t
t
tfp
pp
p
2
22
2
0
1
0
)(
Integrando:
Usando la fórmula de Euler:
∫∫−
−∞
∞−
− ==2/
2/
)()(p
p
titi dtedtetfF ωωω
2/
2/
1p
p
tii e −
−−= ω
ω )( 2/2/1 pipii ee ωωω −= −
−
)2/(sinc2/
)2/()( pp
p
psenpF ω
ωωω ==
ieepsen
pipi
2)2/(
2/2/ ωω
ω−−=
En forma gráfica,la transformada es:
-50 0 50
0
0.5
1F(w) con p=1
w
F(w
)
p =1
<<<
<= −
−
t
t
t
tfp
pp
p
2
22
2
0
1
0
)(
)2/(sinc)( ppF ωω =
Sinc(x/2) es la transformada de Fourier de una función rectángulo.
Sinc2(x/2) es la transformada de Fourier de una función triangulo.
Sinc2(ax) es el patrón de difracción de una ranura.
La función sinc(x)
Demostrar que la transformada de Fourier de la función triángulo, ∆(t), es sinc2(ω/2)
ω0
2sinc ( / 2)ω1
t0
( )t∆1
1/2-1/2
TF
Ejercicio: Calcular la Transformada de Fourier de la función escalón unitario o función de Heaviside, u(t):
Grafica U(ω) = F[u(t)].¿Qué rango de frecuencias contiene U(ω)?¿Cuál es la frecuencia predominante?
u(t)
0
1
t
La función delta de Kronecker y delta de Dirac
if 0( )
0 if 0
tt
tδ
∞ =≡ ≠
t
δ(t)
,
1 if
0 if m n
m n
m nδ
=≡ ≠
La función impulso o delta de Dirac
Recordemos que podemos pensar en la función delta como el límite de una serie de funciones como la siguiente:
t
f1(t)
f2(t)
fm(t) = m exp[-(mt)2]/√π
f3(t)
δ(t)
Y recordemos algunas propiedades de la función δ
( ) 1t dtδ∞
−∞
=∫ t
δ(t)
( ) ( ) ( ) ( ) ( )t a f t dt t a f a dt f aδ δ∞ ∞
−∞ −∞
− = − =∫ ∫
exp( ) 2 (
exp[ ( ) ] 2 (
i t dt
i t dt
ω π δ ω
ω ω π δ ω ω
∞
−∞
∞
−∞
± = )
′ ′± − = − )
∫
∫
Transformada de Fourier de la δ(t):
( ) )(ttf δ= ( ) 1)(ˆ ==→ ∫∞
∞−
− dtetf tiδω ω
t
δ(t)
ω
1
ω
δ(ω)
Observa que la transformada de Fourier de f(t) = 1/(2π) es:
t
( ) )(dtef̂ ti ωπδ==ω ∫∞
∞−
ω− 21
π2
1
Recordemos
f t( )=
0 , t < −T
2
1 , −T
2≤ t ≤
T
2
0 , T2
< t
−T
2
T
2
T
2πT
−2πT
2
2)(ˆ
T
Tsen
Tfω
ωω
=→
( )
<
≤≤−
−<
=
2
, 0
22 , 1
2
, 0
tT
Tt
T
Tt
tf
2
2)(ˆ
T
Tsen
Tfω
ωω
=→
f t( )= 1
T ∞
( ) ∫∞
∞−
−=→ dtef ti1ˆ ωω )( ωδπ= 2
T ∞
Transformada de Fourier de la función coseno
+ω0 0 −ω0 ω
0{cos( )}tωFcos(ω0t)
t 0
( ) )cos( 0ttf ω= ( ) ∫∞
∞−
−= dtetf tiωωω )cos(ˆ0
( ) =+=
+= ∫∫
∞
∞−
+−−−∞
∞−
−−
dteedteee tititititi
)()( 00
00
2
1
2ωωωωω
ωω
[ ])()(2
2)(ˆ
00 ωωδωωδπω ++−=f
[ ])()()(ˆ00 ωωδωωδπω ++−=f
Transformada de Fourier de la función seno:
( ) )( 0tsentf ω= ( ) == ∫∞
∞−
− dtetsenf tiωωω )(ˆ0
∫∞
∞−
−−
−= dte
iee ti
titiω
ωω
2
00 ( ) dteei
titi∫∞
∞−
+−−− −= )()( 00
2
1 ωωωω
[ ])()()(ˆ00 ωωδωωδπω −−+= if
+ω0 0 −ω0 ω
sen(ω0t)
t 0
t)}sen({ 0ωF
La transformada de Fourier de la onda plana exp(iω0 t)
La TF de exp(iω0t) es una frecuencia pura.
F {exp(iω 0t)}
0 ω0 ω
exp(iω0t)
0 t
t Re
Im
0
)(2
}{
0)( 0
00
ωωδπωω
ωωω
−=
==
∫
∫∞
∞−
−−
∞
∞−
−
dte
dteeeF
ti
tititi
Sum
F {exp(iω 0t)}
0 ω0 ω
exp(iω 0t)
0 t
t Re
Im
0
TF
0 ω
TF
Encontrar la transformada de Fourier de la función:
( )
0
0,0
0 ,
>
<≥
=−
a
t
tetf
at
( ) == ∫∞
−−
0
ˆ dteef tiat ωω
2222
0
)(
0
)(
1
1)10(
1
ωω
ω
ωω
ω
ωω
ω
ωω
+−
+
=−−
+
=+
=−+
−
=+
−=∞+−∞
+−∫
ai
a
aia
ia
ia
iaia
iaedte
tiatia
La transformada de Fourier de una Gaussiana, exp(-at2), es otra Gaussiana.
2 2
2
{exp( )} exp( )exp( )
exp( / 4 )
at at i t dt
a
ω
ω
∞
−∞
− = − −
µ −
∫F
t0
2exp( )at−
ω0
2exp( / 4 )aω−
TF
Más adelante lo demostraremos.
La transformada inversa de Fourier
Dada la función en el espacio recíproco G(k), podemos retornar al espacio directo mediante la inversa de la transformada de Fourier:
{ } ∫∞
∞−
− == dkekGkGFxg ikx)(2
1)()( 1
π ∫∞
∞−
−= dxexgkG ikx)()(
)'(
)'(
)'(
''
2
1)(
)()(2
1
xg
xx
xxik
ikxikxikx
dxdkexg
dkedxexgdkekG
∫ ∫
∫ ∫ ∫∞
∞−
−
∞
∞−
−
∞
∞−
∞
∞−
∞
∞−
−
π
=
=
π
δ
A partir de su definición, obtener la transformada inversa de Fourier de la función ( ) ( ) ( ) 33 3
5
3
2
+−
−=
ωωω
iig
( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( )
( )
( ) 3orden de polo 33
)(
3
2
:residuos) de (teoría de Cálculo
3
5
3
2
3
5
3
2
3
31
1
33
331
1
21
iziz
ezf
dei
I
I
dei
dei
deii
gF
deggF
izx
xi
I
xi
I
xi
xi
xi
−=⇒−
=
−=
+−
−=
=
+
−−
=
=
∫
∫∫
∫
∫
∞
∞−
∞
∞−
∞
∞−
∞
∞−
−
∞
∞−
−
ωω
ωω
ωω
ωωω
ωω
ω
ωω
ω
ω
[ ]
[ ]
( )
( )
[ ]
[ ]0x;0I
0x;ex2
5π2f(z)πi10I
2
eixf(z)
3 orden i polo de3z3iz
ef(z)
dωe3iω
5I
):e residuos (teoría d ICálculo de
0x;0I
0x;eπx2f(z)πi4I
2
eixf(z)
2
x32
i3z2
x32
i3z
3
izx
iωω32
2
1
x32
i3-z1
x32
i3-z
sRe
sRe
sRe
sRe
<=
>==
−=
=⇒+
=
+=
>=
<−==
−=
−
=
−
=
∞
∞−
=
=
∫
( )
>π−
<π−=
−−
0x;ex5
0x;ex2gF
:esFourier de inversa ada transformla Luego
x32
x321
6136
1)(
2 −−=
ωωω
ig
∫∞
∞−= ωω ω degxf xi)()(
A partir de la definición, obtener la transformada inversa de Fourier
de la función:
Respuesta.
Integrando en el plano complejo:
izizzzzz
zg2
3 ,
3
2 ,
))((6
1)( 21
21
==−−
=
• Si x > 0:
∫∫
∫ ∑
−
Γ=
+=
==
R
RR
kk
izx
dwwGdzzG
zzGidzezg
)()(
)),((Res2)(
)(
2
1
γ
π
izxg(z)eG(z) = Tomando
Haciendo lim R→∞ ⇒=−−
=∞→∞→
06136
1lim)(lim Como
2zz izzzg
γ
-R R
C
Jordan) de 3 (Lema 0)(lim)(R
=⇒ ∫∞→ R
izxdxezgγ
Entonces:
−==
−−
∑xx
k eezzGixf 3
2
2
3
5
2)),((Res2)(
ππ
• Si x < 0:
∫∫
∫ ∑
−
Γ=
−=
==
R
RR
kk
izx
dwwGdzzG
zzGidzezg
)()(
)),((Res2)(
)(
2
1
γ
π
γ
-R R
Haciendo lim R→∞
⇒=−−
=
=
∞→
∞→
06136
1lim
)(lim Como
2z
z
izz
zg
Jordan) de 3 (Lema 0)(lim)(R
=⇒ ∫∞→ R
izxdxezgγ
Entonces: 0)),((Res2)( == ∑ kzzGixf π
<
≥
−
=−−
0 , x 0
0 , x ee5
π2f(x)
x3
2x
2
3
Algunas funciones no poseen transformada de Fourier
La condición de suficiencia para que la transformada de Fourier de f(x), F(ω) exista es:
es decir, que f(x) sea de cuadrado sumable. Funciones que no vayan asintóticamente a cero cuando x tiende a +∞ y –∞ en general no tienen transformadas de Fourier.
∫∞
∞−
∞<dxxg2
)(
La TF y su inversa son simétricas.
( ) exp( )
12 ( )exp( [ ] )
2
F t i t dt
F t i t dt
ω
π ωπ
∞
−∞
∞
−∞
−
= −
∫
∫
Si la TF de f(t) es F(ω), entonces la TF de F(t) es:
Renombrando la variable de integración de t a ω’, podemos ver que llegamos a la TF inversa:
12 ( )exp( [ ] )
2F i dπ ω ω ω ω
π
∞
−∞
′ ′ ′= −
∫
2 ( )fπ ω= −
Este el motivo por el que a menudo f y F se dice que son un "par transformado."
Que podemos escribir:
La transformada de Fourier es en general compleja
La transformada de Fourier F(k) y la función original f(x) son ambas en general complejas.
De modo que la transformada de Fourier puede escribirse como:
{ } )()()( kiFkFxfF ir +=
{ }
potencia de espectro A
espectral fase
espectral magnitud o amplitud
)(
)()()(
2222
22
)(
≡+==
≡Θ≡
+==
== Θ
ir
ir
ki
FFF
A
FFkFA
ekAkFxfF
La transformada de Fourier cuando f(x) es real
La TF F(k) es particularmente simple cuando f(x) es real:
( )
∫
∫
∫∫
∞
∞−
∞
∞−
∞
∞−
∞
∞−
−
−=
=
−=
dx)kxsin()x(f)k(F
dx)kxcos()x(f)k(F
dx)kx(isen)kxcos()x(fdxe)x(f
i
r
ikx
{ } )k(iF)k(F)x(fF ir +=
Propiedades de las transformadas de Fourier:
1. Linealidad:
f (t) F .T .← → ˆ f ω( )g(t) F .T .← → ˆ g ω( )
⇒ f (t) + g(t) F .T .← → ˆ f ω( )+ ˆ g ω( )
f (t) F .T .← → ˆ f ω( )⇒ (a + ib) f (t) F .T .← → (a + ib) ˆ f ω( )
La transformada de Fourier de la combinación lineal de dos funciones.
f(t)
g(t)
t
t
t
ω
ω
ω
F(ω)
G(ω)
f(t) + g(t)
F(ω) + G(ω)
)}({)}({
)}()({
tgbFtfaF
tbgtafF
+=+
Calcular la transformada de Fourier de la siguiente función:
f (t) =
0 , t > a2
1 , b
2< t <
a
2
2 , t < b2
; a > b > 0
La función f(t) se puede escribir también del siguiente modo:
f (t) = g( t) + h(t)
donde g(t) =0 , t > a
2
1 , t < a2
; h( t) =0 , t > b
2
1 , t < b2
Luego:
ˆ f (ω ) = ˆ g (ω) + ˆ h (ω)
2b2b
sen
2
b
2a2a
sen
2
a)(f̂ ω
ω
π+ω
ω
π=ω
Calcular la transformada de Fourier de la siguiente función:
0
1
-a -b b a0
Tenemos que calcular la transformada de Fourier de la siguiente función:
f t( )=
0, t < −a
1, − a < t < −b
0, − b < t < b
1, b < t < a
0, t > a
; h(t) =0 , t > b
1 , t < b
g(t) =
0 , t > a
1 , t < a
f t( )= g(t) − h(t)
F.T . → ˆ g (ω) =2a
2πsen(ωa)
ωa
h(t) =0 , t > b
1 , t < b
g(t) =0 , t > a
1 , t < a
F.T . → ˆ h (ω) =2b
2πsen(ωb)
ωb
ˆ f (ω) = ˆ g (ω) − ˆ h (ω) =2a
2πsen(ωa)
ωa−
2b
2πsen(ωb)
ωb
( ){ } )(ˆ ωftfF =
( ){ }
=
=
==
∫
∫
∫
∞
∞−
−
∞
∞−
−
∞
∞−
−
af
adtetf
a
atdeatfa
dteatfatfF
ta
i
ata
i
ti
ωω
ω
ω
ˆ1')'(
1
)()(1
)(
'
)(
2. Escalado: ( ){ }
=
af
aatfF
ωˆ1
Efecto de la propiedad de escalado
f(t) F(ω)
Pulsocorto
Pulsomedio
Pulsolargo
Mientras más corto es el pulso, más ancho es el espectro.
Esta es la esencia del principio de incertidumbre en mecánica cuántica.
ω
ω
ω
t
t
t
La transformada de Fourier respecto al espacio
Si f(x) es función de la posición,
k se conoce como frecuencia espacial.
Todo lo expuesto sobre la transformada de Fourier entre los dominios t y ω se aplica los dominios x y k.
k
x( ){ } )(ˆ)( kfdxexfxfF ikt == ∫∞
∞−
−
3. Traslación en el dominio de tiempos
( ) ( )ωω ω featfftf aiTFTF ˆ)(ˆ)( .... →←+⇒ →←
( ) ∫∞
∞−
−= dtetgg tiωω )(ˆ ∫∞
∞−
−+= dteatf tiω)(
( ) ∫∞
∞−
−−= dueufg aui )()(ˆ ωω ∫∞
∞−
−= dueufe uiai ωω )(
( ) )(ˆˆ ωω ω feg ai=
f (t + a) = g(t)
4. : f (t) = f *(t) ⇒ ˆ f ω( )= ˆ f * −ω( )
[ ] [ ][ ] [ ]
−−=
−=
)(ˆIm)(ˆIm
)(ˆRe)(ˆRe
ωω
ωω
ff
ff
5. : ( ) ∫∞
∞−
= dttff )(0ˆ
( ) ∫∞
∞−
= ωωπ
dff )(ˆ2
10
5. Identidad de Parseval : f *(t)g( t)dt−∞
∞
∫ = ˆ f *(ω) ˆ g (ω )dω−∞
∞
∫
=
∫∫ ∫∞
∞−
∞
∞−
∞
∞−
−dtdgdf ee
titi'
')'(ˆ)(ˆ * ωωωω ωω
∫ ∫∫∞
∞−
∞
∞−
−−∞
∞−
= edtgdfd
ti
'
)'(ˆ')(ˆ )(* ωωωωωω
δ(ω ' −ω )
f (t) = g( t) ⇒ f (t) 2
dt−∞
∞
∫ = ˆ f (ω ) 2
dω−∞
∞
∫
Teorema de Rayleigh
∫∞
∞−
= ωωω dgf )(ˆ)(ˆ *
En particular:
Toda función puede escribirse como la suma de una función par y una función impar
( ) [ ( ) ( )] / 2
( ) [ ( ) ( )] / 2
( ) ( ) ( )
E x f x f x
O x f x f x
f x E x O x
≡ + −
≡ − −
⇓
= +
E(-x) = E(x)
O(-x) = -O(x)
E(x)
f(x)
O(x)
Sea f(x) una función cualquiera.
Transformadas de Fourier de funciones pares, f(t) = f(-t):
( ) ∫∞
∞−
−= dttff etiωω )(ˆ
+= ∫ ∫
∞−
∞−−
0
0
)()( dttfdttf eetiti ωω
+= ∫ ∫
∞ ∞−
0 0
)()()(ˆ dttfdttff eetiti ωωω ( )∫
∞−+=
0
)( dttf eetiti ωω
( ) ∫∞
=0
)cos()(2ˆ dtttff ωω
+−= ∫ ∫
∞ ∞−
0 0
)()()(ˆ dttfdttff eetiti ωωω
Transformadas de Fourier de funciones impares, f(t) = -f(-t):
( ) ∫∞
∞−
−= dttff etiωω )(ˆ
+= ∫ ∫
∞−
∞−−
0
0
)()( dttfdttf eetiti ωω
( )∫∞
−+−=0
)( dttf eetiti ωω
( ) ∫∞
=0
)()(2ˆ dttsentfif ωω
6. Transformada de la derivada:
ikF(k)ikF(f(x))(x))fF( ==′
( ) )k´(iF))x(f´(iF)x(xfF ==7. Transformada xf(x):
Ejercicio: demostrar las propiedades anteriores.
Y en general:
( ) F(k)ik(x))F(f n)n( =
Y en general:
( ) )k´(Fi)x(fxF nn =
1. Encontrar la transformada de Fourier de la función:
2. A partir del resultado anterior y una conocida propiedad de la transformada de Fourier, determina la transformada de Fourier de la función:
( )21
1)(
xxf
+=
( )221 x
x)x(g
+=
iz-izzfz
zfdzz
eI
dxx
ekF
ikz
ikx
==∈∀+
=⇒+
=
+=
∫
∫
∞
∞−
−
∞
∞−
−
21
22
2
y excepto C,z analítica es )(1
1)(con 3" tipo" integral
1
:complejo plano al integral la Pasamos1
)( integral lapiden Nos1.
k
kikz
iz
ikz
iz
kikz
iz
ikz
iz
ekF
eiz
ei
z
eikF
eiz
ei
z
eikF
lím
lím
−
−
→
−
=
−−
−→
−
−=
=
=
+
=
+
=
<
=
−
−=
+
−=
≥
π
πππ
πππ
)(:que modo De
21
2)(
:C circuito elen integramos 0k Para
21
2)(
:C circuito elen integramos 0k Para
2
1
2
2
Res
Res
C1
C2
[ ] ( )
( ) ( )
( ) 21)(
12
1
2
:1
2y que Puesto
22
2222
22
k
k
eik
x
xFkG
eikx
xF
x
xF
x
x
dx
df fikF
dx
dfF
−
−
−=
+=⇒
⇒=
+−=
+−
+−==
π
π
2.
Encontrar la transformada de Fourier de la función: siendo a>0 constante.
−=
2exp)(
2axxf
)(2
exp)(2
exp)(22
xaxfax
axxfax
xf −=
−−=′⇒
−=
)´()( kiaFkikF −=
Derivando tenemos:
[ ] ⇒
====′
)´())(´()(
)())(())((
kiFxfiFxxfF
kikFxfikFxfF
Transformando a ambos lados de la ecuación y usando las siguientes propiedades de la TF:
Veamos otra aplicación de estas dos últimas propiedades:
a
k
t
uuax
ikxax
a
k
ea
kF
adt
t
e
a
duea
duea
dxeFB
dxeeBekF
2
0
0
2
22
2
22
2
22
2)(
22
22
2)0(
)(
−
∞ −
∞ −∞
∞−
−∞
∞−
−
−∞
∞−
−−
=
==
====
==
∫
∫∫∫
∫
π
π
u2 = ax2/2
a
k
BekFkiaFkikF 2
2
)()´()(−
=⇒−=
u2 = t
ConvoluciónSe define la integral de convolución de dos funciones f(t) y g(t) del siguiente modo:
( ) duutguftgf )()()( −=∗ ∫∞
∞−
dutgutf )()(∫∞
∞−
−=
rect(x) * rect(x) = ∆(x)
Ejemplo visual:
Convolución con la función delta
Convolucionar una función con una delta, simplemente centra la función sobre la delta.
( ) ) ( ) ( – )
( )
f t t a f t u u a du
f t a
δ δ∞
−∞
∗ ( − = −
= −
∫
Propiedades de la convolución
Commutativa:
Asociativa:
Distributiva:
fggf ⊗=⊗
€
f⊗(g⊗h)=(f⊗g)⊗h
€
f⊗(g+h)=f⊗g+f⊗h
( ) )()()(*)( wGwFtgtfF ⋅=
El teorema de convolución oteorema de Wiener-Khitchine
Convolución en el espacio real es equivalente a
multiplicación en el espacio recíproco.
Ejemplo del teorema de convolución
2
{ ( )}
sinc ( / 2)
x
k
∆ =F{rect( )}
sinc( / 2)
x
k
=F
rect( ) rect( ) ( )x x x∗ = ∆
2sinc( / 2) sinc( / 2) sinc ( / 2)k k k× =
( )
=
=−=∗
∫∫ ∫
∫∞
∞−
−∞
∞−
∞
∞−
∞
∞−
dudegdef
duutguftgf
utiui ')'(ˆ2
1)(ˆ
2
1
)()()(
)(' ωωπ
ωωπ
ωω
=
∫ ∫∫∞
∞−
−
∞
∞−
−∞
∞−
ωωωπω
ωωδ
ωωωdfddueeg
uiti)(ˆ'
2
1 )'(ˆ
)'(
)'('
Demostremos el teorema de convolución.
)()( )(ˆ )(ˆ tgtfdegf ti ∗=∫∞
∞−
ωωω ω
=
−∫ ∫
∞
∞−
∞
∞−
ωωωωωδω ω dfdegti )(ˆ ')'( )'(ˆ '
( ) )()()(*)( wGwFtgtfF ⋅=
Aplicando la TF a ambos lados:
<
>=
2 , )cos(
2 , 0
)(
0
Ttt
Tt
tfω
Ejemplo de aplicación del teorema de convolución:
Calcular la transformada de Fourier de la siguiente función:
( ) ∫−
−=2
2
0 )cos(ˆ
T
T
ti dtetf ωωω ∫−
−−
+=
2
2
2
00
T
T
tititi
dteee ωωω
2
20
)(
0
)( 00
2
1)(ˆ
T
T
titi ieief
−
+−−−
+
+−
=ωωωω
ωωωωω
Podemos hacerlo aplicando la definición:
+
+−+
−
−−=
2)(
)2(
2)(
)2(
2
1)(ˆ
00
00
Tsen
iiTsen
iif ωω
ωωωω
ωωω
( ) ( )
+
+
+−
−
=
2
2)(
2
2)(
2)(ˆ
0
0
0
0
T
Tsen
T
Tsen
Tf
ωω
ωω
ωω
ωωω
<
>=
2 , )cos(
2 , 0
)(
0
Ttt
Tt
tfω
<
>=
2 , 1
2 , 0
)(T
t
Tt
th
; g t( ) = cos(ω0t)
[ ])()(2
)(ˆ 00 ωωδωωδπω ++−=g
2
2)(ˆ
T
Tsen
Thω
ωω
=
<
>=
2 , )cos(
2 , 0
)(
0
Ttt
Tt
tfω
( ) )()( tgthtf =→
TF
TF
Pero, también podemos usar:
ghhgf ˆˆˆ ∗==
( ) dtetgthgh tiω
πω −
∞
∞−∫=∗ )()(
2
1)(ˆˆghhgf ˆˆˆ ∗==
( ) =−=∗ ∫∞
∞−
')'(ˆ)'(ˆ)(ˆˆ ωωωωω dghgh
[ ] ')'()'(2
2'
2'
2
100 ωωωωδωωωδπ
ω
ω
πd
T
Tsen
T +−+−−
= ∫∞
∞−
( ) ( )
+
+
+−
−
=∗=
2
2)(
2
2)(
22
1))(ˆˆ()(ˆ
0
0
0
0
T
Tsen
T
Tsen
Tghf
ωω
ωω
ωω
ωω
πωω
Calcular la transformada de Fourier del producto de convolución de lassiguientes funciones:
f (t) =0 , t > a − b
2
1 , t < a − b2
g( t) = 2π δ t −a + b
2
+ δ t +
a + b
2
El producto de convolución de las funciones f(t) y g(t) es:
f ∗ g( )(t) =1
2πf (u)
−∞
∞
∫ g(t − u)du
f ∗ g( )(t) = f (u)−∞
∞
∫ δ(t −a + b
2− u) + δ(t +
a + b
2− u)
du
f ∗ g( )(t) = f (t −a + b
2) + f (t +
a + b
2)
es decir que el producto de convolución de f(t) y g(t) son dos funcionespulso de anchura a-b centradas en (a+b)/2 y -(a+b)/2 cuya gráfica es lasiguiente:
0
1
-a -b b a0
y cuya transformada de Fourier calculamos en el ejercicio anterior:
2a
2πsen(ωa)
ωa−
2b
2πsen(ωb)
ωb
Una forma alternativa para calcular la transformada de Fourier delproducto de convolución de f(t) y g(t) es usar el teorema de convolución, según el cuál, la transformada de Fourier del producto de convolución de f(t) y g(t) es igual al producto de las transformadas de Fourier respectivasde f(t) y g(t):
f ∗ g( )(t) = F .T . → ˆ f (ω) ˆ g (ω)
f (t) =0 , t > a − b
2
1 , t < a − b2
F.T . → ˆ f (ω) =a − b
2π
sen(ωa − b
2)
ω a − b
2
Calculamos la transformada de Fourier de g(t):
ˆ g ω( ) =1
2πg(t)
−iωte dt−∞
∞
∫
ˆ g ω( ) =1
2π2π δ t −
a + b
2
+ δ t +
a + b
2
− iωte dt
−∞
∞
∫
ˆ g ω( ) = −iω a+ b
2e + iω a+ b
2e = 2cos ωa + b
2
ˆ f (ω) ˆ g ω( ) =a − b
2π
sen(ωa − b
2)
ω a − b
2
2cos ωa + b
2
ˆ f (ω) ˆ g ω( ) =a − b
2π
sen(ωa − b
2)
ω a − b
2
2cos ωa + b
2
ˆ f (ω) ˆ g ω( ) =2
π1
ω2sen(ω
a − b
2)cos ω
a + b
2
ˆ f (ω) ˆ g ω( ) =2
π1
ωsen(ωa) − sen ωb( )[ ]
que coincide con la transformada que habíamos calculado del otro modo.
ˆ f (ω ) =T 2
2π
sen2(ωT
2)
ω 2T 2
4
Utilizar el teorema de convolución para calcular la antitransformada de Fourier de la siguiente función:
Tenemos que calcular la antitransformada:
f t( )=1
2πˆ f (ω )
iωte dω−∞
∞
∫
f t( )=1
2πT 2
2π
sen2 (ωT
2)
ω2T 2
4
iωte dω−∞
∞
∫ =1
2πT
2π
sen(ωT
2)
ωT
2
2
iωte dω−∞
∞
∫
f (t) =1
2πT
2π
sen(ωT
2)
ωT
2
T
2π
sen(ωT
2)
ωT
2
iωte dω−∞
∞
∫
y, llamando:
ˆ g (ω ) =T
2π
sen(ωT
2)
ωT
2
nos queda que:
f (t) =1
2πˆ g (ω )ˆ g (ω )
iωte dω−∞
∞
∫ =1
2π2π g ∗ g( )(t)
Teorema de convolución
g(t) =0 , t > T
2
1 , t < T2
Antitransformadade Fourier
Por tanto, la integral de convolución de g(t) consigo misma queda:
g ∗ g( )(t) =1
2πg(u)
−∞
∞
∫ g(t − u)du
g(t) =0 , t > T
2
1 , t < T2
donde
Si t < −T ⇒ g ∗ g( )(t) = 0
Si − T < t < 0 ⇒ g ∗ g( )(t) =1
2π1 ×1
−T
2
t +T
2
∫ × du =t + T
2π
Si 0 < t < T ⇒ g ∗ g( )(t) =1
2π1×1
t −T
2
T
2
∫ × du =T − t
2π
Si t > T ⇒ g ∗ g( )(t) = 0
Luego:
f (t) = g ∗ g( )(t) =T − t
2π , t < T
0 , t > T