transformada de fourier - isa.uniovi.es

F. Briz, Octubre 2021

EU4M Master in Mechatronic and Micro-Mechatronic Systems

Máster en Mecatrónica: ISC

Implementación Sistema de Control

Transformada de Fourier





tiempo

Señal en el tiempo:

- Continua / Discreta?

- Periódica / no periódica?

Transformada de Fourier





Transformada Discreta de Fourier (DFT)

muestras/tiempo

T

N muestras

Tiempo muestreado = N·T

• Asume que la señal es discreta y periódica en el intervalo considerado (N muestras)

tiempo

harmónicos/Hz

f Frecuencia

¿Rango de frecuencias?





-1

-0.5

0

0.5

1

0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50

-1

-0.5

0

0.5

1

-1

-0.5

0

0.5

1

0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50

-1

-0.5

0

0.5

1

xn·yn

xn

yn

xn·yn

xn

yn

¿ xn·yn ?n=1

N-1

muestras muestras

¿ xn·yn ?n=1

N-1






-1

-0.5

0

0.5

1

0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50

-1

-0.5

0

0.5

1

xn·yn

xn

yn

¿ xn·yn ?n=1

N-1

muestras

¿ xn·yn ?n=1

N-1

0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50

-1

-0.5

0

0.5

1

-1

-0.5

0

0.5

1

xn·yn

xn

yn

muestras






Xk = xn e-(2j/N)·k·n , k = 0, 1, … , N-1n=1

N-1

xn = Xk e(2j/N)·k·n , n = 0, 1, … , N-1k=1

N-1

e-(2j/N)·k·n = cos((2/N)·k·n) - j sin((2/N)·k·n)

Transformada Discreta de Fourier:

Transformada inversa de Fourier

Fórmula de Euler:

-1

0

1

-1

0

1

-1

0

1

0 5 10 15muestras

ej. N=16 k=0

k=1

k=2






T

N muestras

• Asume que la señal es discreta y periódica en el intervalo considerado (N muestras)

tiempo

muestras/tiempo

Armónico h=0

Armónico h=1

Armónico h=2

…

Armónico h=N-1






DFT – relación tiempo frecuencia

0 10 20 30 40 50 60

-1

0

1

muestras

0

10

20

30

40

0 10 20 30 40 50 60-200

-100

0

100

200

harmónicos

tiempo Frecuencia

magnitud

fase

• La DFT de una secuencia de N elementos es otra secuencia de N elementos.

• Cada elemento de la DFT es un número complejo. Se puede representar bien en forma

de parte real-parte compleja ó en forma módulo-argumento (magnitud-fase).

• Si la secuencia en el tiempo es real, es espectro muestra una simetría especular es

suficiente considerar los primeros N/2+1 elementos (armónico 0 a N/2).





0 10 20 30 40 50 60

0 10 20 30 40 50 60

-1

0

1

muestras

0

10

20

30

40

harmónicosm

agnitud sin normalizar

0

0.5

1

magnitud normalizado

tiempo Frecuencia

• A menudo es útil que la magnitud de los harmónicos del espectro coincidan con el valor

de pico de la componente senoidal correspondientes en el tiempo se realiza una

normalización del espectro.

• Si la secuencia en el tiempo es real, la magnitud se normaliza dividiendo por N/2,

excepto los harmónicos 0 y N/2, que se dividen por N.






0 10 20 30 40 50 60

-1

0

1

muestras

0 10 20 30 40 50 60-200

-100

0

100

200

harmónicos

fase

0

0.5

1

magnitud

tiempo Frecuencia

• Asumiendo que la señal en el tiempo es periódica en el intervalo analizado, desplazar

la señal en el tiempo produce una variación en las fase del espectro.

• Desplazar la señal no afecta a la magnitud.






0 10 20 30 40 50 60

-1

-0.5

0

0.5

1

muestras

0 5 10 15 20 25 30

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

harmónicos

0 10 20 30 40 50 60

muestras

0 5 10 15 20 25 30

harmónicos

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

-1

-0.5

0

0.5

1

• Se produce cuando la señal no es periódica en el intervalo (N muestras) considerado. La señal

(o sus componentes) no se corresponde exactamente con las frecuencias en las que queda

dividido el espectro, con lo que sus componentes espectrales se dispersan.

• Este efecto se puede mitigar mediante el uso de ventanas de suavizado

Dispersión espectral





Ejemplo: análisis de vibraciones de máquinas rotativas

0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4 0.45 0.5-10

0

10señal acelerómetro

m/s

2

tiempo (s)

0 1000 2000 3000 4000 5000 6000 7000 8000 9000 100000

0.2

0.4

0.6m

ag

nitu

d D

FT

0 200 400 600 800 1000 12000

0.2

0.4

0.6

ma

gn

itu

d D

FT

frecuencia (Hz)

Acelerómetros

tiempo

Frecuencia

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