INTRODUCCIN A LAS

TELECOMUNICACIONES

TRANSFORMADA DE FOURIER

EN TIEMPO DISCRETO

Teorema de muestreoTeorema de muestreo

)()()(

ss nTttgtg

tjnTs ss etgtg)()( 1

n

sTs nGG s )()(1

BsTs

42

BsT 21

)2(2 Bs Intervalo

de Nyquist

Velocidad de

muestreo

t

.g(t)

W2B-2B

G()

t

.gs(t)

W

G()t W

T(t) W(w)

Tiene un profundo significado en la teora de la comunicacin:

Muestreo Prctico

Muestreo por impulsos es solammente terico.

* El muestreo real se realiza mediante pulsos angostos.

Tambien se puede reconstruir la seal cuando se muestrea

a .

Donde : g(t) seal de informacin;

k(t): tren de pulsos;

gs(t): Seal muestreada.

BTs

2

1 )().()( tktgtgs

tj

n

nssetgKtg )()(

)()( sn

ns nGKG

MUESTREO PRCTICO

.

Muestreo

Muestreo y reconstruc. de seales pasa bajo

.

conversor C/D

X[n] Espectro de la senal de salida

C/D

Espectro de la senal de entrada

Cont.

. seal continua

Y que

=

Cont.

Resulta la relacin:

Observamos que es a la vez:

* Repeticin peridica de .

* Un escalado por un factor de .Es decir el valor de

en corresponde con el que toma en

Relaciones entre espectros en el muestreo de

seales

continuacin

Podemos escribir la relacin directa entre y .

Caso de seales reales continuas pasa bajo como son : audio,

voz, television, seales digitales en banda base. Al muestrear

estas seales pueden suceder dos casos:

* que no se produzca solapamiento .

* que se produzca solapamiento . ver figura.

Relaciones entre espectros en el caso que

exista aliasing

Recuperacin de una seal pasa-bajo a partir

de sus muestras

Condiciones necesarias para recuperar una seal continua a partir

de sus muestras.

*Las muestras x[n] tomadas equiespaciadamente.

*Conocer Ts para saber a que instantes corresponden las muestra.

*Saber que es una seal original pasa bajo.

*Que su ancho de banda sea .

El hecho de que se pueda recuperar exactamente una seal

a partir de sus muestras es equivalente a decir que las

muestras contienen la misma cantidad de informacin que

la seal continua. Por lo tanto cualquier manipulacin de

la seal continua que pudiramos pensar, podr ser

realizada sobre sus muestras.

Seales continuas diferentes

Dado un conjunto de muestras X[n] de una seal continua

tomadas a una frecuencia de muestreo . La cantidad de

seales continuas que pueden corresponder a dichas

muestras es infinita.

Diagrama de bloque de un conversor

1.- generamos la seal analgica a partir de x[n]. fig.2-b

2.-Luego que tiene , se aplica a un filtro analgico pasa bajo

ideal cuya ganancia en la banda de paso debe ser y ancho de

banda para obtener .

.Muestreo periodico

)()( nTtts

)()()( tstxtx cs

)()()( nTttxtx cs

)()()( nTtnTxtxn

cs

No contiene informacin de la

frecuencia de muestreo.

xn: nmeros finitos.

Xs(t): reas de los impulsos

.Representacion del muestreo en el dominio de la frecuencia

Efecto en el dominio de la frecuencia del muestreo en el tiempo

Tomando la T.F.

k

skT

jS )(2

)(

))((1

)( sk

cs kjXT

jX

Ns 2

Ns 2

)( jX c

)(*)(2

1)( jSjXjX cs

.Recuperacion exacta de una seal a partir de sus muestras

)()()( jXjHjX srr

Ns 2

)( NscN

)()( jXjX cr

)(txc

)(txs

)(txc

.Efecto de solapamiento en el muestreo de

Solapamiento en el dominio de la frecuencia:

t0cos

t0cos

02s

02s

t0cos

ts )cos( 0

.Teorema de Nyquist:

Ahora se expresar la T.F. En tiempo discreto de la

secuencia x[n] en funcion de y de

Sabemos que

La T.F.

Como

Y

;

O de forma equivalente

NsT

22

)( jeX)( jX s

)( jX c

)()()( nTtnTxtxn

cs

Tnjcs enTxjX )()()(][ nTxnx c

n

njj enxeX ][)()(|)()( TjT

j

s eXeXjX

))((1

)( sk

c

Tj kjXT

eX

))2

((1

)(T

k

TjX

TeX

k

c

j

.Muestreo y reconstruccion de una seal senoidal

Dada la seal: con periodo de

muestreo T=1/6000. Se obtiene: x[n]=xc[nT]= cos(4000Tn)

por lo que

)4000cos()( ttxc

3/240000 T

120002

T

s

40000

)4000()4000()( jX c

.Solapamiento de

Ahora T=1/1500 ; este periodo no cumple el criterio de Nyquist

ttxc 4000cos)(

800023000/2 0 Ts

TRANSFORMADA DE FOURIER EN TIEMPO DISCRETO

.

nNjkNk

keanx)/2(

Transformada de Fourier en tiempo discreto

nNjk

Nk

keanx)/2(

~

][

n

nNjkN

Nn

nNjk

k enxN

enxN

a )/2()/2( ][1

][1 2

1

~

][][ nxnx

n

njj enxex ][)(

)(1

0jkk eX

Na

njkjk

Nk

eeXN

nx 00 )(1

][~

N

20

2

1 oN

Nk

njkjk eeXnx 0~

00 )(2

1][

Reescribiendo la serie de Fourier en TD.

Puesto que en un periodo que incluye desde

N1hasta N2 de manera que:

Definiendo la funcin

Vemos que

Combinando la 1era y la ltima ecuacin:

Ya que la ltima ecuacin se puede

reescribir:

Cont...TFTD

A medida que y

deeXnx njj )(2

1][

2

][][~

nxnx

n

njj enxeX ][)(

N

Para seales aperidicas es peridica con

periodo 2

)( jeX

Transf. De Fourier en tiempo discreto

Dada la funcin:

Ejemplo:

-N1 N2

t

X[n]

0

2

21 )(][ deeXnx njj

n

njj enxeX ][)(

1||]......[][ ananx n

01

1)()(n

ae

njjjaeex

-10 -8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8 100.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

4

4.5

5

5.5

Si a=0.8

-10 -8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8 100.6

0.8

1

1.2

1.4

1.6

1.8

2

01

1)()(n

ae

jjjaeex

Si a=0.5

-10 -8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8 100.8

0.85

0.9

0.95

1

1.05

1.1

1.15

1.2

1.25

Si a=0.2

Cont......TFD

Dado:

La transf.Discreta de Fourier:

1||........][ || aanx n

2

2

cos21

1)(aa

ajeX

-10 -8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8 100

1

2

3

4

5

6

7

8

9

.a=0.8

nj

n

nnj

n

nj eaeaeX

1

0

)(

mj

m

nj

n

nj eaeaeX )()()(10

nm

j

j

j

j

ae

ae

aeeX

11

1)(

Cont.....TFD

Ejemplo:

Con el mismo procedimiento que se realiz para una funcin peridica

discreta.

1

1

||........1

||........0{][Nn

Nnnx

1

1

)(N

Nn

njj eeX

)2/(

)2/1()( 1

sen

NseneX j

-15 -10 -5 0 5 10 15-2

-1

0

1

2

3

4

5

Si N1=2

X[n]

n-N1 0N1

1

Cont...TDF

-15 -10 -5 0 5 10 15-4

-2

0

2

4

6

8

10

Si N1= 4

-15 -10 -5 0 5 10 15-4

-2

0

2

4

6

8

10

12

14

16

N1=7

Dado el diagrama:

El sistema cambia la magnitud de |G(w)| a |G(w)||H(w)|.

El sistema cambia la fase de g(w) a g(w)+ h(w).

A la salida algunas frecuencias pueden ser reforzadas o

atenuadas. Es decir la salida podra no parecerse a la entrada.

Se dice que la Tx es libre de distorsin si la seal de entrada y

salida son idnticas.Una salida retardada pero que mantiene la

forma de onda.

Para la no distorsin todas las componentes de la frecuencia de

entrada deben llegar a la salida libres de distorsin.

Trasmisin libre de distorsin

)]()([|)(| |)(|()()(

hg

GjeHGHGR

H(G() R()

KH |)(|

Cont....

Tambien pata Tx sin distorsin, el atraso en la fase que ocasiona

H(w) en cada componente de frecuencia debe ser proporcional a

la frecuencia de cada componente.

dh t )(

dtj

d eKGttKgR )()]([)(

|H(w)|

w0

h(w)

)()( dttkgtr

Cont.......

En el ckto:

A) H(w); B) Trazar |H(w)| y (w)

C)Para Tx sin distorsin Cul es la condicin del B de g(t)?

D)Cual es el retardo en la Tx?

R=1000

C)(tg )(trfc 910

ja

a

RCjcjR

cjH

1

1

)/1(

/1)(

1|)(|22

a

aH asi ....

Aplicando los conceptos

Densidad espectral de energia

Sea g(t) una seal real. La energa se define:

Densidad espectral de Energa (DEE)

En un sistema lineal invariante en el tiempo:

dttgtEg )()(

2

dG 2|)(|

2

1

:|)(|)( 2 Gg

0

)(2)( dfdfE ggg

H(w)G(w) R(w)

)(|)(||)()(||)(|)( 222 gr HGHR

DEE de un exponencial

DEE:

Ejemplo: Determinar la DEE de

2/

2/

2 1)(T

Tg TdtdttgE

F.P.Bajo.g(t) .r(t)

dfT

cTEcf

r )2

(sin20

22

Tf

g

r c fTdfTcTE

E0

2 )()(sin2

)2/(sin)( 22 TcTg

)(tg

Energa de seales moduladas

Dada la seal

Y la DEE de la seal modulada:

)()( Gtg ttgt 0cos).()(

)]()([2

1)( 00 GG

2

00 |)()(|4

1)( GG

)(4

1)(

4

1)( 00 gg

)2

()(B

g

K

0

K/4

)(

0-0

De la grfica deducimos que

E = Eg

DENSIDAD ESPECTRAL DE POTENCIA (DEP)

Si g(t) existe entre (-, ) definimos la potencia Pg como la

potencia media que se disipa en un resistor de 1 cuando se

aplica un voltaje g(t).

Para encontrar la expresin de Pg en el dominio de la frecuencia

observamos que las seales de potencia tienen energa infinita y

por lo tanto pueden no tener TRANS. DE FOURIER.

dttgPT

T

TT

g

2/

2/

21 )(lim

Promedio del

cuadrado de

la seal

T/2-T/2

.g(t)

.gT(t)

t

t

Cont......DEP

Conforme T

Pero:

)()( TT Gtg

dGdttgE TTT2

21

2

|)(|)(

dttgdttgT

TT

2/

2/

22

)()(

dGP TT

TT

E

Tg

T 2

211 |)(|[limlim

2|)(| TT GET

dP T

G

TT

E

Tg

TT2|)(|

21 limlim

T

G

Tg

TS2|)(|lim)(

Densidad espectral de

Potencia ( DEP ).

Cont....DEP

Remplazando en la ecuacin anterior:

Correlacion de las seales de energa Dada 2 seales g1(t) y g2(t) definimos la funcin de correlacin

cruzada g1g2().

La autocorrelacin:

Se deduce

dSP gg )(2

1

dffSP gg )2(20

dttgtgT

TT

Tgg )()(lim)( 2

2/

2/1

1

21

2/

2/

1 )()(lim)(T

TT

Tg dttgtg

)()( gg Es una funcin par de

Cont......de autocorrelacin

Cont....

Ejemplo: Hallar la DEP y la potencia de :

TT

TTTT

gTg

dttgtg)(

1 lim)()(lim)(

}{lim)}({)(

TT

gTg

)(lim)(2|)(| gT

G

Tg S

T

)0(ggP

)cos()( 0 tAtg

2/

2/

00 ])(cos[)cos(lim)(T

TT

g dtttA

2/

2/

2/

2/000

12 )22cos(cos{lim2 T

T

T

TT

T

A dttdt

0)cos()( 022

Ag

Cont.......Autocorrelacin.

Si:

Hallar la DEP de

Hallar: , , de la funcin

)}()({2

)}({)( 00

2

A

S gg

2)0(

2AP gg

ttgt 0cos)()(

0cos)(2

1)( g

)()(4

1)( 00 gg SSS

)(g )(gS gP

)cos()cos()( 222111 tAtAtg

)()()( 21 tgtgtg

Aplicando la definicin de autocorrelacin

Evaluando:

Finalmente

dttgtgdttgtgdttgtgdttgtg

TTg )()()()()()()()({

1lim)( 12212211

)()()()()(122121 ggggggg

0)()(1221

gggg

)()()(21 ggg

1

2

1 cos2

)(1

Ag 2

2

2 cos2

)(2

Ag

)]()([)]()([{2

)( 122

211

2

1

AAg

AUTOCORRELACIN DE UNA SEAL PERIDICA + RUIDO

.