Análisis Fourier

Capitulo 6

Tarea

• Usa un sismograma de cualquier parte del mundo del terremoto de Chile. Muéstramelo el jueves 6 de

mayo.• Aplica la transformada de Fourier.• Identificar unos modos normales.

• Deconvoluir el componente vertical de un componente horizontal.

• Identificar el Moho en la señal.

El concepto básico

• Filtros ~ multiplicación o división en el dominio del tiempo

• Convolución– Señal → FFT → multiplicar → IFFT

• Deconvolución– Señal → FFT → dividir → IFFT

La Serie de Fourier

• La suma de muchas ondas para crear una señal

110

22

nn

nn T

tnb

T

tnaatf

sincos

La solución para los componentes

0m222

2

T

-T

dtT

t

T

tn sincos

2

2 110

2

2

2222 T

-T nn

nn

T

-T

dtT

tnb

T

tnaa

T

tkdttf

T

tn sincoscoscos

110

22

nn

nn T

tnb

T

tnaatf

sincos

0

2

2

12

2kk

T

-T

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tn

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2

2

0 22 T

-T

kk dttf

T

tk

Ta

cos

2

2

k22 T

-Tk dttf

T

t

Tb

sin

La Serie de Fourier complejo

2

2

12

T

-Tnnnn dttftit

Tiba sincos

10 2

1

n

ti-nn

tinn

nn eibaeibaatf

2

2

12

T

-T

tinn dttfe

Tiba n

2

2

12

T

-T

tinn dttfe

Tiba n

2nnn- ibaF 2nnn ibaF 0aFn

La solución de la serie de Fourier complejo

110

n

ti-n-

n

tin

nn eFeFFtf

2

2

1 T

-T

tin dttfe

TF n

n

tin

neFtf

2

2

12

T

-T

tinn dttfe

Tiba n →

La transformada de Fourier

2

2

1 T

-T

tin dttfe

TF n

n

tin

neFtf

→

→

n

tin

neTFtf 2

dtetfF ti n

deFtf ti

nn

2

1

¡Qué chido!

La utilidad de la transformada

Función de transferencia

• Una señal, x( t ), está afectada por otra señal, f( t )• La otra señal, f( t ), se llama la respuesta de impulso• La señal final, y( t ), se determina en frecuencia

– Y(ω) = X(ω) F(ω)

• O en el dominio de tiempo

deFXty ti

2

1

Convolución

deFXty ti

2

1

dttfxty

En el libro

Convolución

XFY / Deconvolución

Filtros, Señales, Transformada, Convolución

Funciones de Green

''','',';, dVdttxtxtxtx,u SG

SGU • G puede ser la respuesta de instrumento, efectos

por el medio (i.e. reflectores o interfaces), efecto de sitio, cualquier efecto que cambia por frecuencia

Función de receptor

• U(ω) se considera el componente horizontal.

• G(ω) es la función de Green, en este caso se considera un componente vertical

• S(ω) es la función de receptor o la serie de los reflectores que convierte las ondas P a ondas S.

SGU

Señales de tiempo finito

• La frecuencia de Nyquist– La mitad de la frecuencia de

muestras– El limite (arriba) de frecuencia

que se puede medir adentro de una señal

• O en periodo: Hay que muestrear el doble del periodo de la señal para observarla

• Entonces, si quiero medir un modo normal, ¿cuánto tiempo tengo que observarlo?

El tiempo de muestra es un filtro de la señal

• G es la señal en el espacio de frecuencia que se muestra.– El rango de frecuencias es

limitado por el tiempo de muestras, b.

• f es la señal completa sin limites en el tiempo de muestra.

dtetftbG ti