apuntes de variable compleja y análisis de fourier 2...
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Apuntes de Variable Compleja y Análisis de Fourier2o ETSI Telecomunicación (Universidad de Málaga)
Carlos García Argos ([email protected])http://pagina.de/telecos_malaga
Curso 1999/2000
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Índice general
1. El número complejo 7
1.1. Definición y representación geométrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.1.1. Operaciones con números complejos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.1.2. Representación geométrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.1.3. Algunas definiciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.1.4. Propiedades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.2. Formas polar y exponencial del número complejo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.2.1. Forma trigonométrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.2.2. Forma polar de un número complejo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.2.3. Operaciones en polares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.3. Razones trigonométricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.4. Razones hiperbólicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.5. Funciones logarítmicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.6. Potenciación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.7. Topología del plano complejo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
2. Funciones de variable compleja 13
2.1. Definición de función de variable compleja . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
2.2. Límites y continuidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
2.3. Continuidad de funciones elementales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
3. Derivación 17
3.1. Definición . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
3.1.1. Propiedades de las derivadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
3.2. Funciones analíticas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
3.2.1. Condiciones de Cauchy-Riemann . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
3.3. Derivabilidad de funciones elementales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
3.4. Algunas definiciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
3.4.1. Puntos singulares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
4. Integración 21
4.1. Introducción: curvas y conjuntos conexos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
4.2. Integral curvilínea . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
4.2.1. Propiedades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
4.3. Teorema de Cauchy-Goursat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
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4 ÍNDICE GENERAL
4.3.1. Teorema de Cauchy para dominios múltiplemente conexos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
4.4. Derivadas sucesivas de funciones analíticas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
4.5. Teorema de Green . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
4.5.1. Teorema de Green en el plano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
4.5.2. Forma compleja del teorema de Green . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
5. Teoremas fundamentales 25
5.1. Teorema de Morera . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
5.2. Teorema del módulo máximo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
5.3. Desigualdad de Cauchy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
5.4. Teorema de Liouville . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
5.5. Teorema fundamental del Álgebra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
5.6. Fórmulas integrales de Poisson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
5.6.1. Fórmula integral de Poisson para un círculo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
5.6.2. Fórmulas integrales de Poisson para un semiplano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
6. Series 27
6.1. Series numéricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
6.2. Series de funciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
6.2.1. Convergencia uniforme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
6.3. Series de potencias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
6.4. Convergencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
6.4.1. Teoremas generales de convergencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
6.4.2. Teoremas sobre convergencia absoluta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
6.4.3. Criterios de convergencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
6.4.4. Teoremas sobre convergencia uniforme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
6.4.5. Teoremas sobre series de potencias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
6.5. Series de Taylor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
6.6. Series de Laurent . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
6.6.1. Clasificación de singularidades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
6.7. Principio de los ceros aislados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
7. Residuos 33
7.1. Definición . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
7.1.1. Cálculo de residuos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
7.2. Teorema de los residuos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
7.3. Cálculo de integrales reales utilizando el teorema de los residuos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
7.3.1. Integrales de la forma∫∞−∞ R (x) dx . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
7.3.2. Integrales de la forma∫ 2π
0R (senθ, cosθ) dθ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
7.3.3. Integrales de la forma∫∞−∞ R (x) cosmxdx;
∫∞−∞ R (x) senmxdx;
∫∞−∞ R (x) eix dx . . . . . . . . . 34
7.3.4. Integrales de la forma∫∞0
R(x)xa dx con 0 < a < 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
7.4. Valor principal de Cauchy para integrales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
ÍNDICE GENERAL 5
8. Transformaciones conformes 37
8.1. Función conforme: teorema de caracterización . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
8.1.1. Teorema de la aplicación de Riemann . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
8.2. Transformaciones elementales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
8.2.1. Traslación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
8.2.2. Lineal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
8.2.3. Inversión . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
8.2.4. Bilineal (homografías) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
8.3. Otras transformaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
8.3.1. Exponencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
8.3.2. Logarítmica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
8.3.3. Potencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
8.4. El problema de Dirichlet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
9. Series de Fourier 39
9.1. Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
9.1.1. Funciones periódicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
9.1.2. Función absolutamente integrable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
9.2. Desarrollo en Series de Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
9.3. Teorema de localización de Riemann . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
9.4. Teorema de Dirichlet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
9.5. Desarrollos en series de Fourier: casos simplificados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
9.5.1. Funciones pares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
9.5.2. Funciones impares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
9.5.3. Función periódica de periodo 2T . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
9.6. Series de Fourier de funciones no periódicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
9.7. Forma compleja . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
10. Integral de Fourier 43
10.1. Fórmula de la integral de Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
10.2. Teorema de inversión . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
11. Transformada de Fourier 45
11.1. Definición . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
11.1.1. Transformadas seno y coseno . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
11.2. Propiedades de la transformada de Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
11.2.1. Linealidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
11.2.2. Cambio de escala . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
11.2.3. Traslación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
11.2.4. Transformadas sucesivas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
11.2.5. Transformada de la derivada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
11.3. Producto de convolución . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
11.3.1. Propiedades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
11.3.2. Teoremas sobre el producto de convolución . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
6 ÍNDICE GENERAL
Capítulo 1
El número complejo
1.1. Definición y representación geométrica
Un número complejo es un par de números reales:
C = {(a, b) |a, b ∈ R} |(a, b) = (c, d) ⇔ a = c; b = d
1.1.1. Operaciones con números complejos
1. Suma: (a, b) + (c, d) = (a + c, b + d)
2. Producto: (a, b) · (c, d) = (a · c− b · d, a · c + b · d)
3. División: (a,b)(c,d) = (a,b)·(c,−d)
(c,d)·(c,−d)
1.1.2. Representación geométrica
El punto en el plano se conoce como el afijo del número complejo.
R ∼ R× {0} ⊂ R× R = C
Si definimos un número real a como (a,0) y definiendo i=(0,1):
z = (a, b) = a (1, 0) + b (0, 1) = a + bi
1.1.3. Algunas definiciones
Módulo del número complejo
z = (a, b)
|z| =√
a2 + b2 (1.1)
Conjugado
z = (a,−b)
Argumento
Arg(z) = θ = θ + 2kπ (1.2)
Es el ángulo que forma el vector con el eje real positivo en el sentido contrario a las agujas del reloj.
7
8 CAPÍTULO 1. EL NÚMERO COMPLEJO
1.1.4. Propiedades
1. |z| = |z|
2. z · z = (a + bi) (a− bi) = a2 + b2 = |z|2
3. z1 ± z2 = z1 ± z2
4. z1 · z2 = z1 · z2
5. |z1 · z2| = |z1| |z2|;∣∣∣ z1z2
∣∣∣ = |z1||z2|
6. |z1 + z2| ≤ |z1|+ |z2|
7. ||z1| − |z2|| ≤ |z1 − z2|
1.2. Formas polar y exponencial del número complejo
z = (a, b) = a + bi
z = rθ
r =√
a2 + b2; tgθ =b
a
Existen dos números complejos con el mismo módulo y argumento, pero no son iguales: (a, b) y (−a,−b).
1.2.1. Forma trigonométrica
z = r · (cosθ + i · senθ) (1.3)
1.2.2. Forma polar de un número complejo
ez = ea+bi = eaebi; ebi = cosb + i senb (Formula de Euler)
ez = ea (cosb + i senb) ⇒ r (cosθ + i senθ) = r eiθ (1.4)
Propiedades:
1. |ez| = ea; arg (ez) = b
2. z ∈ R ⇒ ez ∈ R
3. z1, z2 → ez1+z2 = ez1 · ez2
4. e2kπi = 12kπi = cos (2πk) + i sen (2πk) = 1
5. ez+2kπi = ez (Las exponenciales complejas no son inyectivas)
1.3. RAZONES TRIGONOMÉTRICAS 9
1.2.3. Operaciones en polares
1. Suma: no se puede hacer
2. Producto: z1 = ρθ; z2 = rα → z1 · z2 = ρθ · rα = (ρr)θ+α
3. División: ρθ
rα= Yβ ; ρθ = Yβ · rα = (r · Y )α+β+2kπ ⇒
{Y = ρ
rβ = θ − α
ρθ
rα=(ρ
r
)(θ−α)
4. Potencias: zn = (a + bi)n =(
n0
)an +
(n1
)an−1 (i · b) + . . . +
(nn
)(i · b)n
ip = i4r+s = i4r · is = is
En forma polar: z = rθ; zn = (rθ)n = (rn)n·θ
Trigonométrica: (r (cosθ + i senθ))n = rn (cos (nθ) + i sen (nθ)) Fórmula de Moivre
5. Raíces: z = rθn√
z = n√
rθ = Xα ⇒ rθ = (Xα)n = (Xn)nα, por tanto: r = Xn ⇒ X = n√
r; θ = nα ⇒ α = θn
n√
rθ = ( n√
r) θ+2kπn
Un número complejo tiene n raíces n-ésimas.Si tenemos una circunferencia de radio n
√r y la dividimos en n partes iguales, uniendo los afijos obtenemos un
polígono regular de n lados.
1.3. Razones trigonométricas
eia = cosa + i sena (1.5)
e−ia = cosa− i sena (1.6)
Se obtiene, sumando o restando:
cosa = eia+e−ia
2 sena = eia−e−ia
2i
Para z ∈ C:
cosz = eiz+e−iz
2 senz = eiz−e−iz
2i tgz = senzcosz
Estas relaciones verifican las propiedades fundamentales de la trigonometría:
1. sen2z + cos2z = 1
2. sen (z ± w) = senz cosw ± cosz senw
3. cos (z ± w) = cosz cosw ∓ senz senw
4. sen (−z) = −senz; cos (−z) = cosz
5. senz = 0 ⇔ z = kπ
1.4. Razones hiperbólicas
Se definen de forma similar el seno, coseno y tangente hiperbólicas:
coshz = ez+e−z
2 senhz = ez−e−z
2 tghz = senzcosz
Y las propiedades fundamentales, de forma análoga a las trigonométricas:
1. cosh2z − senh2z = 1
2. senh (z ± w) = senhz coshw ± coshz senhw
3. cosh (z ± w) = coshz coshw ± senhz senhw
4. senh (−z) = −senhz; cosh (−z) = coshz
10 CAPÍTULO 1. EL NÚMERO COMPLEJO
1.5. Funciones logarítmicas
ex = y; lny = x Exponencial: C → C
Vamos a restringir el dominio de la exponencial para que sea inyectiva:
Hp = R× [p, p + 2π) → C; f : Hp → C f(z) = ez
Ahora no se puede dar el caso que ez = ez+2kπi ya que el intervalo no contiene ningún punto que cumpla eso.
Definimos de la siguiente forma el logaritmo de un número complejo z:
lnz = ln |z|+ i argz (1.7)
Donde argz es uno de los argumentos del número complejo z.
Tal y como hemos definido antes el argumento, Argz = θ + 2kπ, ln |z|+ i Argz es el conjunto de todos los logaritmosde un número complejo distinto de 0. Expresaremos el conjunto de todos los logaritmos de un número complejo zcomo:
Lnz = ln |z|+ i Argz = ln |z|+ i (θ + 2kπ) (1.8)
donde θ es el argumento de z que está en [p, p + 2π).
Por tanto, para cada valor de k lo que se tiene es una rama del logaritmo del número complejo z. El valor k=0 corre-sponde a la rama principal del logaritmo, y su valor es el valor principal.
logwz = k =lnz
lnw(1.9)
Propiedades:
1. ln (z1 · z2) = lnz1 + lnz2
2. ln z1z2
= lnz1 − lnz2
3. lnzn = n lnz
1.6. Potenciación
zw = ew lnz (1.10)
Ejemplo:
i−2i = e−2i(ln1+i(π2 +2kπ)) = e2(π
2 +2kπ) = eπ+4kπ ∀k ∈ Z
Si nos lo piden en la rama principal, hacemos k=0.
•
1.7. Topología del plano complejo
Dado z0 ∈ C, r ∈ R, se define como entorno de centro z0 y radio r al conjunto:
B (z0, r) = {z ∈ C/ |z − z0| < r}. Se extienden las definiciones de la recta real al plano complejo, tales como puntointerior, adherente, etc., y conjuntos abiertos, cerrados, compactos, ...
En la recta real, el infinito se entiende a partir de sus entornos, para cualquier k, un entorno de infinito es el conjunto{x ∈ R/x > k} = (k, ∞).
1.7. TOPOLOGÍA DEL PLANO COMPLEJO 11
Para extender esta definición al plano complejo, veamos otra forma de representación gráfica del conjunto de losnúmeros complejos, la esfera de Riemann.
Si dibujamos una esfera tangente al plano complejo, sea P el punto tangente a la esfera y N el diametralmente opuestoa P. Trazando rectas que unen N con cualquier punto de la esfera recorremos todo el plano complejo. Si S es la esfera,podemos establecer la correspondencia biunívoca C → S − N de forma que al punto M del plano le corresponde elM’ de la esfera.
El conjunto de los números complejos lo podemos representar ahora sobre el conjunto S-N (quitando de la esfera elpolo N). El punto del infinito complejo sería el punto N que le falta a la esfera. Así, un entorno de infinito sería laproyección de los casquetes esféricos centrados en N sobre el plano complejo.
12 CAPÍTULO 1. EL NÚMERO COMPLEJO
Capítulo 2
Funciones de variable compleja
2.1. Definición de función de variable compleja
f : A ⊂ C → C
z ∈ A → w = f (z) ∈ C (un solo valor) ⇒ Funcion uniforme o univalorada
Dom (f) = {z ∈ A/f (z) tenga sentido}
Ejemplos:
f (z) = 1z−7 definida en C− {7}
f (z) = 1z2+4 definida en C− {2i,−2i}
•
Si z ∈ A, z = x + iy:
f (z) = f (x + iy) = w = u (x, y) + i · v (x, y)
2.2. Límites y continuidad
Definición: z0 es punto de acumulación de A si B∗ (z0, r) ∩A 6= �
Definición: límite:
lımz→z0
f (z) = L si∀δ, ε > 0∃B (z0, δ)/
z ∈ B (z0, δ) ∩Az 6= z0
}⇒ f (z) ∈ B (L, ε)
Forma topológica:
lımz→z0
f (z) = L ⇔ ∀ε > 0∃δ > 0 / 0 < |z − z0| < δ ⇒ |f (z)− L| < ε
Propiedades de los límites:
lımz→z0
f (z) = L z0 = x0 + iy0, f (z) = u (x, y) + i · v (x, y)
1. lımz→z0 f (z) = L ⇔
{lım
(x,y)→(x0,y0) u (x, y) = Hlım
(x,y)→(x0,y0) v (x, y) = K
13
14 CAPÍTULO 2. FUNCIONES DE VARIABLE COMPLEJA
2. El límite, si existe, es único
3. Si lımz→z0 f (z) = L y lımz→z0 g (z) = L′:a) lımz→z0 (f (z)± g (z)) = L± L′
b) lımz→z0 a · f (z) = aL∀a ∈ Cc) lımz→z0 f (z) · g (z) = LL′
d) lımz→z0f(z)g(z) = L
L′ ∀L′ 6= 0
Límites en el infinito:
lımz→z0
f (z) = ∞ o lımz→∞
f (z) = L
(S-N → C: esfera de Riemann)N punto del infinito complejo. Un entorno de N será un casquete esférico de la esfera de Riemann centrado enN. Esta zona se corresponde con el exterior de los círculos centrados en el origen del plano complejo y de radioM>0, suficientemente grande. Los entornos de infinito son los conjuntos {z/ |z| > M}.
Continuidad:f : A ⊂ C → Cf continua en z0 ∈ A si:- ∃f (z0)- ∃ lımz→z0 f (z)
y f (z0) = lımz→z0
f (z)
Propiedades de las funciones continuas:Sean f : A ⊂ C → C y g : A ⊂ C → C continuas en z0 ∈ A
1. Si f (z) = u (x, y) + i · v (x, y)
lımz→z0
f (z) = f (z0) = u0 + i · v0
f continua en z0 ⇔{
lım(x,y)→(x0,y0) u (x, y) = u0 = u (x0, y0)lım(x,y)→(x0,y0) v (x, y) = v0 = v (x0, y0)
2. f ± g, f · g y fg (g 6= 0) son continuas
3. Regla de la cadena:A
f→ Cg→ C
z0 → f (z0) → g (f (z0))f continua en z0, g continua en f (z0) ⇒ g ◦ f continua en z0.
4. f continua en A ⇒ |f (z)| , f (z) continuas en A.
5. f continua en A ⊂ C compacto (cerrado y acotado)⇒ f acotada en A, o lo que es lo mismo, ∀z ∈ A, |f (z)| ≤ M ,para un M>0.
Continuidad uniforme:f : A ⊂ C → C (univalorada) es uniformemente continua en A si:
∀ε > 0∃δ > 0 /∀z, z′ ∈ A siendo |z − z′| < δ ⇒ |f (z)− f (z′)| < ε
Propiedad fundamental: Si f es uniformemente continua en A, entonces f es continua en A.
Por otro lado, si f es continua en A, siendo A cerrado y acotado, entonces f es uniformemente continua en A.
2.3. CONTINUIDAD DE FUNCIONES ELEMENTALES 15
2.3. Continuidad de funciones elementales
1. Polinomios: P (z) = a0 + a1z + a2z2 + . . . + anzn. Si se escribe separándola en parte real e imaginaria, ambas son
polinomios reales, por lo que las funciones polinómicas son continuas.
2. Funciones racionales: f (z) = P (z)Q(z) . Continua en los puntos en los que Q (z) no se anule.
3. Funciones exponenciales: f (z) = ez . Escrita como f (z) = u (x, y) + i · v (x, y) = excosy + iexseny, tanto u como vson continuas en R2, por lo que f es continua.
4. Funciones logarítmicas: f (z) = lnz = ln |z|+ iargz. Definiendo f (z) = u (r, θ) + i · v (r, θ) = lnr + iθ, siendo u yv continuas, lo será también f (z) si z 6= 0 con θ ∈ (α, α + 2π). No será continua en la semirrecta θ=α ya que entodo entorno de uno de los puntos de dicha semirrecta toma valores arbitrariamente próximos a α y a α+2π.Las funciones f (z) = zp y g (z) = pz se definen a través del logaritmo, así que serán continuas donde lo sea lnz.
5. Funciones trigonométricas: f (z) = senz y g (z) = cosz son continuas ya que están definidas según las exponen-ciales, mientras que tgz es continua menos en los puntos tales que cosz = 0, es decir, en z = π
2 + kπ, con k ∈ Z.
6. Funciones hiperbólicas: igual que en el caso anterior, son continuas en tanto se definen según operaciones conexponenciales, teniendo en cuenta el caso de tghz.
16 CAPÍTULO 2. FUNCIONES DE VARIABLE COMPLEJA
Capítulo 3
Derivación
3.1. Definición
Dado U, conjunto abierto del plano complejo, f (z) función de U en C y z0 un punto de U. f (z) es derivable en z0 siexiste:
lımz→z0
f (z)− f (z0)z − z0
= lımh→0
f (z0 + h)− f (z0)h
= f ′ (z0)
f ′ (z0) es la derivada de f en el punto z0.
Además, debe ser z = z0 + h ∈ U .
Extendiendo la definición, decimos que f es derivable en U si lo es para cada z ∈ U . A la función que hace correspon-der a cada z ∈ U su derivada se la llama función derivada, f ′ (z).
3.1.1. Propiedades de las derivadas
Sean f (z) , g (z) derivables en z0 y a, b ∈ C:
1. af + bg es derivable en z0 y (af + bg)′ (z0) = af ′ (z0) + bg′ (z0).
2. fg es derivable en z0 y (fg)′ (z0) = f (z0) g′ (z0) + f ′ (z0) g (z0)
3. Si g (z0) 6= 0, fg es derivable:
(fg
)′(z0) = f ′(z0)g(z0)−f(z0)g
′(z0)
(g(z0))2 .
4. Regla de la cadena: f (z) derivable en z0 y g (z) derivable en f (z0):g ◦ f derivable en z0 y (g ◦ f)′ (z0) = g′ (f (z0)) · f ′ (z0).
Si f (z) es derivable en z0, entonces es continua en ese punto.
3.2. Funciones analíticas
Una función f (z) es analítica en un punto z0 si es derivable en todos los puntos de algún entorno de z0. Si existef ′ (z) en todo punto z de un conjunto U, se dice que es analítica en U. También se las llaman funciones regularesu holomorfas.
3.2.1. Condiciones de Cauchy-Riemann
Dada f (z) = u (x, y) + i · v (x, y) definida en un conjunto abierto U, y sea z0 = a + ib ∈ U . f es derivable en z0 si, ysólo si, tanto u (x, y) como v (x, y) son diferenciables en (a, b) y se verifica:
∂u
∂x(a, b) =
∂v
∂y(a, b) y
∂u
∂y(a, b) = −∂v
∂x(a, b) (3.1)
17
18 CAPÍTULO 3. DERIVACIÓN
Y el valor de la derivada en el punto queda:
f ′ (z0) =∂u
∂x(a, b) + i
∂v
∂x(a, b) =
∂v
∂y(a, b)− i
∂u
∂y
Se llama punto singular de una función f (z) a todo punto z0 para el que en todo entorno suyo, existe un puntoen el que f no es derivable.
Si f (z) = u (x, y) + i · v (x, y) es analítica en un abierto, tanto u (x, y) como v (x, y) son armónicas en dichoconjunto.
3.3. Derivabilidad de funciones elementales
1. Funciones polinómicas: las funciones polinómicas son enteras, y la derivada de zn es nzn−1, por lo que la derivadade P (z) = a0 + a1z + . . . + anzn es P ′ (z) = a1 + 2a2z + . . . + nanzn−1.
2. Funciones exponenciales:f (z) = ez = ex (cosy + iseny), o lo que es lo mismo: u (x, y) = excosy y v (x, y) = exseny
Dado que tanto u como v son diferenciables para todo (x, y) ∈ R2, y además: u′
x = excosy = v′
y y u′
y =−exseny = −v
′
x.Por tanto, la función exponencial es entera y f ′ (z) = ∂u
∂x + i ∂v∂x = ez .
3. Funciones trigonométricas e hiperbólicas: La función senz se definía:
f (z) = senz =eiz − e−iz
2i
y es entera por ser combinación de funciones enteras. Su derivada sería:
f ′ (z) =ieiz + ie−iz
2i=
eiz + e−iz
2= cosz
De la misma forma, si f (z) = cosz, f ′ (z) = −senz, y si f (z) = tgz, f ′ (z) = 1cos2z
= 1 + tg2z. Esta última esderivable en C−
{π2 + kπ, k ∈ Z
}.
Para las funciones hiperbólicas:f (z) = senhz; f ′ (z) = coshzf (z) = coshz; f ′ (z) = senhzf (z) = tghz; f ′ (z) = 1
cosh2z
= 1− tgh2z, si coshz 6= 0
4. Funciones logarítmicas:f (z) = lnz es continua en todo el plano complejo menos en z = 0 y en la semirrecta correspondiente a θ = psiendo la rama del logaritmo [p, p + 2π). No es derivable en el origen de coordenadas y en la semirrecta. En lospuntos en los que es derivable, su derivada es:f ′ (z) = e−iθ
(1r + i · 0
)= 1
reiθ = 1z
3.4. Algunas definiciones
3.4.1. Puntos singulares
Un punto en el que f (z) deja de ser analítica se llama punto singular o singularidad de f. Hay varios tipos:
1. Singularidades aisladas: Se dice que el punto z = z0 es una singularidad aislada o punto singular aislado si∃δ > 0 / |z − z0| = δ no encierre puntos singulares distintos de z0. Si no puede encontrarse δ, el punto es unasingularidad no aislada.
2. Polos: Si se puede encontrar un entero positivo n tal que lımz→z0 (z − z0)n
f (z) = A 6= 0, entonces se dice quez0 es un polo de orden n. Si n = 1, a z0 se le llama polo simple.Si g (z) = (z − z0)
nf (z) siendo f (z0) 6= 0 y n un entero positivo, z0 es llamado un cero de orden n de g (z). Si
n = 1, se le llama cero simple. En este caso, z0 es un poco de orden n de 1g(z) .
3.4. ALGUNAS DEFINICIONES 19
3. Puntos de ramificación: Las funciones multívocas (o multivaloradas) tienen varias ramas en las que son unívocas.Si se establece una barrera (o varias) que limite las ramas, el punto común a dichas barreras se llama punto deramificación, y también constituye un punto singular.
4. Singularidades evitables: z0 es una singularidad evitable de f (z) si existe lımz→z0 f (z).
5. Singularidades esenciales: Una singularidad que no sea ninguna de las anteriores es una singularidad esencial.
6. Singularidad en el infinito: El tipo de singularidad de f (z) en z = ∞ es el mismo que el de f(
1w
)en w = 0.
20 CAPÍTULO 3. DERIVACIÓN
Capítulo 4
Integración
4.1. Introducción: curvas y conjuntos conexos
Se llama arco a una aplicación γ de un intervalo cerrado [a, b], de R en C. γ (t) = α (t) + iβ (t) ; t ∈ [a, b]. Si α y βson derivables con continuidad, el arco es diferenciable, y su longitud es:
L =∫ b
a
√(α′ (t))2 + (β′ (t))2dt
Un arco es simple si no se corta a sí mismo.
Un arco es cerrado si γ (a) = γ (b).
Un arco es diferenciable a trozos si γ es una función continua y existe una partición del intervalo: a = t0 < t1 <. . . < tn = b tal que γ es derivable con continuidad en cada subintervalo de la partición.
Entenderemos el sentido positivo de recorrido de un arco, curva o camino (los tres significan lo mismo) como elcontrario al de rotación de las agujas del reloj.
Un conjunto se dice conexo si dados dos puntos contenidos en él, existe un arco diferenciable a trozos que losune y que está totalmente contenido en el conjunto.
Proposición: si D es un conjunto abierto y conexo, se verifica que no existen dos subconjuntos abiertos A y Bno vacíos y disjuntos tales que A ∪B = D.
Proposición: si D es un conjunto abierto y conexo, los únicos subconjuntos de D que son abiertos y cerradosson el vacío y el propio D.
Se dice que un conjunto A (contenido en C) es simplemente conexo si su complementario en C es conexo. O loque es lo mismo, es un conjunto sin agujeros.
Un conjunto simplemente conexo es conexo, pero no al revés. Llamaremos a un conjunto no simplemente conexomúltiplemente conexo.
Un conjunto D es un dominio si es abierto y conexo.
4.2. Integral curvilínea
Vamos a definir primero la integral de una función compleja de variable real. Dada g (t) = x (t) + iy (t) diremos que esintegrable en un intervalo [a, b] si lo son x (t) e y (t), definiendo:
∫ b
a
g (t) dt =∫ b
a
x (t) dt + i
∫ b
a
y (t) dt
Veamos ahora el concepto de integral de línea de una función compleja o integral compleja.
21
22 CAPÍTULO 4. INTEGRACIÓN
Dado el arco diferenciable C definido por z (t) = x (t) + iy (t) ; t ∈ [a, b] y una función de variable compleja f (z) =u (x, y) + iv (x, y) continua sobre un conjunto que contenga a C. La integral de línea de f (z) a lo largo de C se define:
∫C
f (z) dz =∫ b
a
(u (x (t) , y (t)) + iv (x (t) , y (t))) (x′ (t) + iy′ (t)) dt
=∫ b
a
(u (x (t) , y (t) x′ (t))− v (x (t) , y (t)) y′ (t)) dt + i
∫ b
a
(u (x (t) , y (t)) y′ (t) + v (x (t) , y (t))x′ (t)) dt
Y dicha integral existe ya que si f (z) es continua, también u y v. Esa expresión se puede escribir así:
∫C
f (z) dz =∫ b
a
f (z (t)) z′ (t) dt (4.1)
4.2.1. Propiedades
1. Si -C es el arco C recorrido en sentido contrario, entonces∫−C
f (z) dz = −∫
Cf (z) dz.
2. Si los arcos C1 y C2 son tales que su suma es el arco C,∫
Cf (z) dz =
∫C1
f (z) dz +∫
C2f (z) dz.
3. Si f (z) y g (z) son continuas sobre C y α, β ∈ C,∫
C(αf (z) + βg (z)) dz = α
∫C
f (z) dz + β∫
Cg (z) dz.
4. Sea f (z) una función continua sobre el arco C y L la longitud de C:∣∣∫
Cf (z) dz
∣∣ ≤ ∫ b
a|f (z)| |z′ (t)| dt ≤ ML
siendo M una cota superior de |f (z)| sobre C.
4.3. Teorema de Cauchy-Goursat
Sea f (z) analítica en una región R y sobre su frontera C. Entonces:
∮C
f (z) dz = 0 (4.2)
4.3.1. Teorema de Cauchy para dominios múltiplemente conexos
Si tenemos que C es una curva cerrada y que C1, C2, . . . Ck son curvas cerradas y contenidas en el interior de C, D laregión del plano interior a C y exterior a todas las Ci i = 1, 2, . . . k, y f (z) es analítica en D:
∮C
f (z) dz =k∑
i=1
∮Ci
f (z) dz
Y si denotamos por Γ a la curva formada por C recorrida en sentido positivo y las Ci en sentido negativo:
∮Γ
f (z) dz = 0
4.4. Derivadas sucesivas de funciones analíticas
Sea f (z) una función analítica en un contorno cerrado y simple, C y en su interior. Si z0 es punto interior a C, podemoscalcular todas las f (n) (z) y estas son analíticas ∀n ∈ N,siendo:
f (n) (z0) =n!2πi
∮C
f (z)(z − z0)
n+1 (4.3)
Esta fórmula también se conoce como Fórmula integral de Cauchy para las derivadas.
4.5. TEOREMA DE GREEN 23
4.5. Teorema de Green
4.5.1. Teorema de Green en el plano
Dados P (x, y) y Q (x, y) continuos y con derivadas parciales continuas en una región R y sobre su frontera C:
∮C
Pdx + Qdy =∫ ∫
R
(∂Q
∂x− ∂P
∂y
)dxdy
4.5.2. Forma compleja del teorema de Green
Sea F (z, z) continua y con derivadas parciales continuas en una región R y sobre su frontera C, donde z = x + iy yz = x− iy son las coordenadas conjugadas complejas; el Teorema de Green puede escribirse de la forma:
∮C
F (z, z) dz = 2i
∫ ∫R
∂F
∂zdxdy (4.4)
24 CAPÍTULO 4. INTEGRACIÓN
Capítulo 5
Teoremas fundamentales
5.1. Teorema de Morera
Sea f (z) continua en una región R simplemente conexa y tal que∮
Cf (z) dz = 0 alrededor de cada curva simple
cerrada C en R. Entonces f (z) es analítica en R.
5.2. Teorema del módulo máximo
Si f (z) es analítica dentro y sobre una curva simple cerrada C y no es idénticamente igual a una constante, entoncesel valor máximo de |f (z)| se encuentra sobre C.
5.3. Desigualdad de Cauchy
Si f (z) es analítica dentro y sobre un círculo C de radio r y centro en z = a, entonces:
∣∣∣f (n) (a)∣∣∣ ≤ M · n!
rnn = 0, 1, 2, . . . (5.1)
donde M es una constante tal que |f (z)| < M sobre C, es decir, M es una cota superior de |f (z)| sobre C.
5.4. Teorema de Liouville
Supongamos que para todo z en el plano complejo entero: a) f (z) es analítica y b) f (z) está acotada, es decir, |f (z)| <M para alguna constante M. Entonces f (z) debe ser una constante.
5.5. Teorema fundamental del Álgebra
Todo polinomio P (z) = a0 + a1z + a2z2 + . . . + anzn = 0 de grado n ≥ 1 y an 6= 0 tiene por lo menos una raíz
compleja. Por tanto, P (z) = 0 tiene exactamente n raíces, si se tiene en cuenta la multiplicidad de las raíces.
5.6. Fórmulas integrales de Poisson
5.6.1. Fórmula integral de Poisson para un círculo
Sea f (z) una función analítica dentro y sobre el círculo C definido por |z| = R y orientado en sentido positivo, siendoz = reiθ un punto interior a C:
f(reiθ
)=
12
∫ 2π
0
(R2 − r2
)· f(Reiθ
)R2 − 2Rrcos (θ − φ) + r2
dφ (5.2)
25
26 CAPÍTULO 5. TEOREMAS FUNDAMENTALES
Si u (r, θ) y v (r, θ) son las partes real e imaginaria de f(reiθ
)mientras que u (R,φ) y v (R,φ) son las partes real e
imaginaria de f(Reiφ
), entonces:
u (r, θ) =12π
∫ 2π
0
(R2 − r2
)· u (R,φ)
R2 − 2Rrcos (θ − φ) + r2dφ
v (r, θ) =12π
∫ 2π
0
(R2 − r2
)· v (R,φ)
R2 − 2Rrcos (θ − φ) + r2dφ
Expresan los valores de una función armónica dentro de un círculo, en términos de sus valores sobre la frontera.
5.6.2. Fórmulas integrales de Poisson para un semiplano
Sea f (z) analítica en el semiplano superior y ≥ 0 (o Imz ≥ 0) del plano complejo y sea z0 = x0 + iy0 un punto de esesemiplano. Entonces:
f (z0) =1π
∫ ∞
−∞
y0 · f (x)(x− x0)
2 + y20
dx (5.3)
En términos de las partes real e imaginaria de f (z0), puede escribirse:
u (x0, y0) =1π
∫ ∞
−∞
y0 · u (x, 0)(x− x0)
2 + y20
dx
v (x0, y0) =1π
∫ ∞
−∞
y0 · v (x, 0)(x− x0)
2 + y20
dx
Expresan los valores de una función armónica en el semiplano superior en términos de los valores sobre el eje x (lafrontera) del semiplano.
Capítulo 6
Series
6.1. Series numéricas
Definición: sucesión de números complejos es toda aplicación, f, del conjunto de los números naturales en el delos números complejos.
Definición: una sucesión, zn, tiene como límite el número z ∈ C, notándose lımn→∞ zn = z ó lım zn = z si paratodo ε>0 existe p ∈ N tal que si n > p se tiene que |zn − zp| < ε.
Proposición: sean la sucesión zn = xn + iyn y z = x + iy:
lımn→∞
zn = z ⇔ lımn→∞
xn = x y lımn→∞
yn = y
Definición: se dice que una sucesión zn está acotada si existe un número real no negativo, M, tal que |zn| ≤M ∀n ∈ N.
Se dice que zn es una sucesión de Cauchy si para todo ε>0 existe p ∈ N tal que si n, m > p es |zn − zm| < ε.
Definición: se llama serie compleja a la sucesión de término general Sn = z1 + z2 + . . . + zn, dada la sucesión zn.Cuando Sn es convergente, se dice que la serie es convergente, y el límite de la sucesión, S, existe y se denota:
∞∑n=1
zn = S = lım Sn = lımn∑
k=1
zk
Proposición: La serie∞∑
n=1zn converge, si y sólo si convergen las dos series
∞∑n=1
xn y∞∑
n=1yn.
Definición: la serie de números complejos∞∑
n=1zn es absolutamente convergente si la serie real de términos posi-
tivos∞∑
n=1|zn| es convergente.
Proposición: si una serie es absolutamente convergente, es convergente.
6.2. Series de funciones
Dado un subconjunto U de C y una sucesión de funciones {fn (z)} definidas sobre U, llamamos serie de funciones a:
f1 (z) + f2 (z) + . . . =∞∑
n=1
fn (z) (6.1)
Denotándose también∑
fn (z) por brevedad.
Una condición necesaria pero no suficiente para que la serie converja es que lım fn (z) = 0.
27
28 CAPÍTULO 6. SERIES
Una serie de funciones es convergente en U si para cada z0 ∈ U la serie numérica∑
fn (z0) es convergente, yentonces a U se le llama región de convergencia de la serie. Además, una serie de funciones converge en U si ysólo si su resto en cada punto de H tiene como límite cero.
Una serie de funciones converge absolutamente en U si la serie de sus módulos es convergente.
Toda serie de funciones absolutamente convergente es convergente.
Dada∑
an, serie real de términos no negativos tal que |fn (z)| ≤ an para todo n y todo z, si∑
an converge,entonces
∑fn (z) converge absoluta y uniformemente en todo U.
Si fn (z) son continuas en U y∑
fn (z) converge uniformemente en U hacia una función F (z), entonces F (z)es también continua en U. Además, si C es una curva contenida en U:
∫C
f (z) dz =∫
C
(∑fn (z)
)dz =
∑∫C
fn (z) dz
6.2.1. Convergencia uniforme
Si llamamos a Rn (z) = fn+1 (z) + fn+2 (z) + . . . = S (z) − Sn (z) el residuo de la serie de funciones después de ntérminos, se puede decir que la serie es uniformemente convergente a S (z) en U si dado cualquier ε > 0 podemosencontrar un número N tal que para todo z en U sea:
|Rn (z)| = |S (z)− Sn (z)| < ε ∀n > N
6.3. Series de potencias
Una serie de la forma
a0 + a1 (z − a) + a2 (z − a)2 + . . . =∞∑
n=0
an (z − a)n (6.2)
=∑
an (z − a)n (6.3)
se llama serie de potencias en z − a.
Es obvio que la serie converge para z = a, pero hay otros puntos para los que converge. Se puede demostrar queexiste un R > 0 tal que la serie de potencias converge para |z − a| < R y diverge para |z − a| > R, mientras que para|z − a| = R puede o no conveger. Se llama a R radio de convergencia de la serie de potencias.
6.4. Convergencia
6.4.1. Teoremas generales de convergencia
Si una sucesión tiene límite, este es único
Si fn = an + ibn n = 1, 2, 3, . . . siendo an y bn reales, una condición necesaria y suficiente para que {fn} converjaes que {an} y {bn} converjan.
Si {an} es una sucesión real tal que a) an+1 ≥ an o an+1 ≤ an y b) |an| < M (constante) entonces {an} converge.Es decir, que {an} es o bien monótona creciente o bien decreciente, y además acotada.
Criterio de Cauchy para la convergencia: Una condición necesaria y suficiente para que {fn} converja es quedado cualquier ε > 0 podamos encontrar un número N tal que |fp − fq| < ε, ∀p, q > N .
La multiplicación de cada término de una serie por una constante distinta de cero no altera la convergencia odivergencia de ésta.
La eliminación o adición de un número finito de términos en una serie no altera su convergencia o divergencia.
6.4. CONVERGENCIA 29
6.4.2. Teoremas sobre convergencia absoluta
Los términos de una serie absolutamente convergente se pueden arreglar en cualquier orden y la serie sigueconvergiendo a la misma suma. En cambio, los términos de una serie condicionalmente convergente se puedenordenar de forma que la suma valga cualquier valor escogido de antemano.
La suma, diferencia y producto de series absolutamente convergentes son absolutamente convergentes.
6.4.3. Criterios de convergencia
Criterio de comparación: Se tiene |an| ≤ |bn|:Si {bn} converge, {an} tambiénSi {an} diverge, también diverge {bn}.
Criterio del cociente: Si existe lım∣∣∣ fn+1
fn
∣∣∣ = L:Si L < 1 la serie {fn} converge absolutamenteSi L > 1 divergeSi L = 1 no podemos asegurar nada sobre la convergencia o divergencia
Criterio de la raiz: Si existe lım n√|fn| = L: el criterio es el mismo que el anterior.
Criterio de Raabe: Si existe lım n(1−
∣∣∣ fn+1fn
∣∣∣) = L:Si L > 1 la serie {fn} converge absolutamenteSi L < 1 divergeSi L = 1 no podemos asegurar nada.
Criterio de Gauss: Si∣∣∣ fn+1
fn
∣∣∣ = 1− Ln + cn
n2 donde |cn| < M para todo n > N , entonces:Si L > 1 la serie converge absolutamenteSi L ≤ 1 diverge o converge condicionalmente
Criterio para la serie alternada: Si an ≥ 0, an+1 ≤ an; n = 1, 2, 3, . . . y lım an = 0, entonces a1 − a2 + a3 − . . . =∑(−1)n−1
an converge.
6.4.4. Teoremas sobre convergencia uniforme
Criterio M de Weierstrass: Si |fn (z)| ≤ Mn donde Mn es independiente de z en una región R y∑
Mn converge,entonces
∑fn (z) es uniformemente convergente en R.
La suma de una serie de fonciones continuas uniformemente convergente es continua, es decir, si fn (z) escontinua en R y S (z) =
∑fn (z) es uniformemente convergente en R, entonces S (z) es continua en R.
Una serie de funciones continuas uniformemente convergente se puede integrar término a término.
Si f′
n (z) = ddz fn (z) existe en R,
∑f′
n (z) converge uniformemente en R y∑
fn (z) converge en R, entoncesddz
∑fn (z) =
∑f ′
n(z)
Si {fn (z)} es analítica y∑
fn (z) es uniformemente convergente en R, entonces S (z) =∑
fn (z) es analítica enR.
6.4.5. Teoremas sobre series de potencias
Una serie de potencias converge uniforme y absolutamente en cualquier región que esté contenida en su círculode convergencia.
Una serie de potencias se puede diferenciar (o integrar) término a término en cualquier región (o curva) incluidaen su círculo de convergencia.
La suma de una serie de potencias es una función continua en cualquier región que esté incluida en el interiorde su círculo de convergencia.
Teorema de Abel: Sea∑
anzn con radio de convergencia R y suponiendo que z0 es un punto del círculo deconvergencia. Entonces lımz→z0
∑anzn =
∑anzn
0 donde z → z0 desde dentro del círculo de convergencia.Esto se puede extender a series de potencias.
Si∑
anzn converge a cero para todo z tal que |z| < R, R > 0, entonces an = 0. De la misma forma, si∑
anzn =∑bnzn para todo z tal que |z| < R entonces an = bn.
30 CAPÍTULO 6. SERIES
6.5. Series de Taylor
Sea f (z) analítica dentro y sobre una curva cerrada y simple C y a y a + h dos puntos dentro de C. Entonces:
f (a + h) = f (a) + hf ′ (a) +h2
2!f ′′ (a) + . . . +
hn
n!f (n) (a) + . . .
o, escribiendo z = a + h, h = z − a,
f (z) = f (a) + f ′ (a) (z − a) +f ′′ (a)
2!(z − a)2 + . . . +
f (n) (a)n!
(z − a)n + . . . (6.4)
Este es el Teorema de Taylor y la serie anterior se llama serie o desarrollo de Taylor para f (z).
La región de convergencia de esta serie está dada por |z − a| < R donde R es la distancia desde a a la singularidadmás próxima de la función f (z). Sobre |z − a| = R la serie puede converger o no, mientras que para |z − a| > Rdiverge.
Si la singularidad más próxima está en el infinito, es trivial deducir que el radio de convergencia es infinito, es decir,la serie converge para todo z.
Si a = 0 la serie se denomina serie de McLaurin.
6.6. Series de Laurent
Sean C1 y C2 dos círculos concéntricos de radios R1 y R2, respectivamente, y centro en a. Si f (z) es unívoca y analíticasobre C1 y C2 en la región comprendida entre ambos círculos, R, y si C es cualquier círculo concéntrico entre C1 y C2:
f (z) = a0 + a1 (z − a) + a2 (z − a)2 + . . . +a−1
(z − a)+
a−2
(z − a)2+
a−3
(z − a)3+ . . . (6.5)
donde:
an =1
2πi
∮C1
f (z)(z − a)n+1 dz n = 0, 1, 2, . . . (6.6)
a−n =1
2πi
∮C2
f (z) · (z − a)n−1dz n = 1, 2, 3, . . . (6.7)
O también:
an =1
2πi
∮C
f (z)(z − a)n+1 dz n = 0,±1,±2, . . . (6.8)
Este es el Teorema de Laurent, y 6.5 se llama serie o desarrollo de Laurent.
La parte a0 + a1 (z − a) + a2 (z − a)2 + . . . se llama parte analítica de la serie de Laurent, y el resto (las potenciasnegativas) se llama parte principal. Si la parte principal es cero, la serie de Laurent es simplemente la serie de Taylor.
6.6.1. Clasificación de singularidades
1. Polos: Si la parte principal del desarrollo de Laurent de una función f (z) tiene un número finito de términos,k, se dice que z = a es un polo de orden k. Si n = 1 se llama polo simple.Si f (z) tiene un polo en z = a, entonces lımz→a f (z) = ∞.
2. Singularidades evitables: Si una función unívoca f (z) no está definida en z = a pero existe lımz→a, entoncesz = a es una singularidad evitable. En tal caso se define f (z) en z = a como lımz→a f (z).
6.7. PRINCIPIO DE LOS CEROS AISLADOS 31
3. Singularidades esenciales: Si f (z) es unívoca, cualquier singularidad que no sea un polo o una singularidadevitable es una singularidad esencial. Si z = a es una singularidad esencial de f (z), la parte principal del desar-rollo de Laurent de la función tiene infinitos términos.Teorema de Weierstrass-Casorati: en cualquier vecindad de una singularidad esencial aislada a, una función analíti-ca f (z) toma valores arbitrariamente próximos a cualquier número complejo A.Teorema de Picard: en la vecindad de una singularidad esencial aislada a, una función analítica puede tomarcualquier valor, el que sea, con la excepción quizá de un único valor.
4. Puntos de ramificación: Un punto z = z0 se llama punto de ramificación de la función multívoca f (z) si lasramas de f (z) se intercambian cuando z describe un camino cerrado alrededor de z0.
5. Singularidades en el infinito: Si hacemos z = 1/w en f (z), obtenemos la función f (1/w) = F (w). Entonces lasingularidad en z = ∞ está definida como la misma singularidad de F (w) en w = 0.
6.7. Principio de los ceros aislados
Dada f (z) se dice que z0 es un cero de la función si f (z0) = 0. Se dice que además el cero es aislado si existe algúnentorno de z0 en el que f (z) 6= 0 para todo z del entorno siendo z 6= z0.
El principio de los ceros aislados dice que si f (z) es analítica en un dominio y no idénticamente nula, todos los ceros dela función en ese dominio son aislados.
Corolario: si dos funciones analíticas definidas ambas en un dominio coinciden en un entorno de ese dominio, coinci-den en todo el dominio.
32 CAPÍTULO 6. SERIES
Capítulo 7
Residuos
7.1. Definición
Si tenemos una función f (z) unívoca y analítica dentro y sobre el círculo C excepto en su centro, el punto z = a,hemos visto en el capítulo anterior que f (z) tiene una serie de Laurent en torno a z = a dada por
f (z) =∞∑
n=−∞an (z − a)n (7.1)
= a0 + a1 (z − a) + a2 (z − a)2 + . . . +a−1
(z − a)+
a−2
(z − a)2+ . . . (7.2)
siendo
an =1
2πi
∮C
f (z)(z − a)n+1 dz n = 0,±1,±2, . . .
Para el caso de n = −1 se tiene:
∮C
f (z) dz = 2πia−1 (7.3)
Ya que a−1 es el único coeficiente de 7.2 que interviene en 7.3, se le llama residuo de f (z) en z = a.
7.1.1. Cálculo de residuos
Parece que para obtener el residuo de una función en un punto hay que encontrar el desarrollo de Laurent de lafunción en torno a dicho punto, pero en el caso de que el punto sea un polo de orden k de la función existe una fórmulamuy sencilla para hallar a−1, dada por:
a−1 = lımz→a
1(k − 1)!
dk−1
dzk−1
((z − a)k · f (z)
)(7.4)
Si es un polo simple (k = 1) se reduce a:
a−1 = lımz→a
(z − a) · f (z)
Si se define 0! = 1.
Si el punto es una singularidad esencial, el residuo puede encontrarse en ocasiones utilizando desarrollos en seriesconocidos.
33
34 CAPÍTULO 7. RESIDUOS
7.2. Teorema de los residuos
Sea f (z) unívoca y analítica dentro y sobre una curva simple y cerrada C salvo en las singularidades a, b, c, ...interiores a C con residuos a−1, b−1, c−1, . . . Entonces el teorema de los residuos dice:∮
C
f (z) dz = 2πi (a−1 + b−1 + c−1 + . . .) (7.5)
Esto es una generalización de 7.3, y además los teoremas y fórmulas integrales de Cauchy son casos especiales deeste teorema.
7.3. Cálculo de integrales reales utilizando el teorema de los residuos
El teorema de los residuos nos da un método para calcular algunas integrales reales que de otra forma sería muylaborioso. Sin embargo, no todas las integrales reales se pueden resolver mediante métodos de variable compleja, yademás existe una metodología para cada caso particular. Vamos a ver 4 tipos de integrales que podemos resolvermediante esto, y el método general de resolución será: buscar una integral de una función compleja en una curvacerrada a elegir, y se puede resolver la integral compleja de dos formas diferentes, una a través del teorema de losresiduos y la otra descomponiendo la integral en los trozos que compongan la curva. El resultado debe ser el mismo.
7.3.1. Integrales de la forma∫∞−∞ R (x) dx 1
Consideramos∮
CR (z) dz a lo largo de una curva C formada por el segmento sobre el eje x desde −r a +r y la
semicircunferencia encima del eje x que tiene como diámetro el segmento (denotada como Γ), y hacemos que r →∞.Además, si Q (x) es una función par, se puede usar esto mismo para calcular
∫∞0
Q (x) dx. De esta forma, la integralqueda: ∮
C
R (z) dz =∮
Γ
R (z) dz +∫ r
−r
R (x) dx
Y hacemos que r →∞.
Al resolver∮
CR (z) dz se usa el teorema de los residuos y se cogen los polos zi tales que Imzi ≥ 0.
Teorema
Si |F (z) dz| ≤ Mrk para z = reiθ donde k > 1 y M son constantes, y si Γ es la semicircunferencia antes definida:
lımr→∞
∫Γ
F (z) dz = 0
7.3.2. Integrales de la forma∫ 2π0 R (senθ, cosθ) dθ
Sea z = eiθ. Entonces senθ = z−z−1
2i , cosθ = z+z−1
2 y dz = ieiθdθ o dθ = dziz . Entonces la integral es equivalente a∮
CR (z) dz donde C es el círculo unidad con centro en el origen (esto es así porque la integral es desde 0 a 2π).
7.3.3. Integrales de la forma∫∞−∞ R (x) cosmx dx;
∫∞−∞ R (x) senmx dx;
∫∞−∞ R (x) eix dx
Consideramos∮
CR (z) eimzdz donde C es el mismo contorno que en el primer tipo.
Teorema
Si |F (z)| ≤ Mrk para z = reiθ donde k > 0 y M son constantes, entonces si Γ es la semicircunferencia descrita en el
primer tipo de integrales:
lımr→∞
∫Γ
eimz · F (z) dz = 0
1R denota una función racional
7.4. VALOR PRINCIPAL DE CAUCHY PARA INTEGRALES 35
7.3.4. Integrales de la forma∫∞0
R(x)xa dx con 0 < a < 1
Verificando que R (z) es una función sin polos en el semieje real positivo y tal que lımx→∞ R (x) = 0.
Si tomamos como función f (z) = R(z)za esta tiene toda una semirrecta que empieza en el origen de singularidades ya
que za = ealn|z|+iθ con b ≤ θ < b + 2π.
La curva C a considerar es la circunferencia de radio r centrada en el origen que se recorre excluyendo el semiejepositivo real y el origen, siendo δ el radio de exclusión con centro en el origen tendiendo a cero (para que en Cδ nohaya singularidades salvo las del semieje positivo real). De esta forma, f (z) sólo tiene, como mucho, singularidadesaisladas dentro de C.
Por tanto:
∫C
R (z)za
dz =∫
Cr
R (z)za
dz +∫ δ
r
R (x)xa
dx +∫−Cδ
R (z)za
dz +∫ r
δ
R (x)xae2πia
dx
La última integral se explica teniendo en cuenta que cuando recorremos el segmento que une r con δ (de r a δ) elargumento de z es 2π y por tanto za = ealn|z|+i2π = |z|a e2πai = xae2πai.
Si hacemos tender r a infinito y δ a cero, aplicando el Teorema de los Residuos:
2πi∑
Res (f (z) , zj) =∫
C
R (z)za
dz = lımr→∞
∫Cr
R (z)za
dz + lımδ→0
∫−Cδ
R (z)za
dz +(1− e−2πai
) ∫ ∞
0
R (x)xa
dx
Y se comprueba que:
lımr→∞
∫Cr
R (z)za
dz = lımδ→0
∫−Cδ
R (z)za
dz = 0
7.4. Valor principal de Cauchy para integrales
Si F (x) es continua en a ≤ x ≤ b excepto en un punto x0 tal que a < x0 < b, entonces si ε1 y ε2 son positivos,definimos
∫ b
a
F (x) dx = lımε1,ε2→0
(∫ x0−ε1
a
F (x) dx +∫ b
x0+ε2
F (x) dx
)
En algunos casos los límites no existen si ε1 6= ε2, pero sí si tomamos ε1 = ε2 = ε, en cuyo caso se llama valor principalde Cauchy de la siguiente integral a:
∫ b
a
F (x) dx = lımε→0
(∫ x0−ε
a
F (x) dx +∫ b
x0+ε
F (x) dx
)(7.6)
36 CAPÍTULO 7. RESIDUOS
Capítulo 8
Transformaciones conformes
En este capítulo se trata la transformación de una región de un plano complejo a otra región en un plano complejodiferente.
8.1. Función conforme: teorema de caracterización
Se dice que una función f (z) es conforme en un punto z0 si es analítica en dicho punto y además f′(z0) 6= 0. También
se dice que es una transformación conforme.
Si una transformación es conforme en un punto, conserva los ángulos entre curvas que pasan por ese punto.
Si f (z) es analítica y tal que f′(z0) = 0 entonces los ángulos en z0 se transforman mediante f en múltiplos de
los originales.
La inversa de una transformación conforme también es conforme, y
(f−1
)′(z0) =
1f ′ (z0)
8.1.1. Teorema de la aplicación de Riemann
Dado un subconjunto D abierto y simplemente conexo del plano complejo, existe una transformación conforme f (z)tal que f (D) es el disco unidad (|z| < 1).
8.2. Transformaciones elementales
8.2.1. Traslación
w = z + b b ∈ C desplaza cada punto (x, y) mediante el vector b.
8.2.2. Lineal
w = az + b a ∈ C a = Aα se dilata o contrae z por A y se gira en α, y además se desplaza mediante b.
8.2.3. Inversión
w = 1z
Representa una inversión respecto a la circunferencia unidad.
Transforma rectas en rectas o circunferencias:Ax + By + C = 0 ⇒ C
(u2 + v2
)+ Au−Bv = 0
Transforma circunferencias en rectas o circunferencias:x2 + y2 + Ax + By + C = 0 ⇒ C
(u2 + v2
)+ Au−Bv + 1 = 0
37
38 CAPÍTULO 8. TRANSFORMACIONES CONFORMES
8.2.4. Bilineal (homografías)
w = az+bcz+d = a
c + bc−adc
1cz+d debe ser c 6= 0 y bc− ad 6= 0 para que no sea constante.
La inversa de una aplicación bilineal es otra aplicación bilineal.
La composición de homografías es otra homografía.
Dados los puntos z1, z2, z3, w1, w2, w3 ∈ C ∃!T (zi) = wi1 que sea transformación bilineal:
(z − z1) (z2 − z3)(z − z3) (z2 − z1)
=(w − w1) (w2 − w3)(w − w3) (w2 − w1)
8.3. Otras transformaciones
8.3.1. Exponencial
w = ez Transforma una recta vertical x = k en una circunferencia de radio ek y una recta horizontal y = k en unarecta cuyo ángulo sobre la horizontal es k.
8.3.2. Logarítmica
w = lnz es analítica en todo el plano complejo menos en una semirrecta con origen en z = 0. Su comportamiento esel contrario que el de la exponencial.
8.3.3. Potencial
w = zm m ≥ 2 ∈ Z el recinto R = {z; a ≤ argz ≤ b} en R′ {w; am ≤ argw ≤ bm}. Los puntos que se encuentren en
una semirrecta con origen en cero se transforman en puntos que están en otra semirrecta con origen en cero pero conángulo un múltiplo del original.
Si m ≥ 2 la función es analítica en todo el plano complejo pero no es conforme en z = 0, y si 0 < m < 1 (si es racional)no será analítica en z = 0.
8.4. El problema de Dirichlet
Una función armónica es toda aquella que cumple la ecuación de Laplace:
∆F =∂2F
∂x2+
∂2F
∂y2= 0
Si se plantea la ecuación de esta forma no tiene solución única, así que hay que especificar unas condiciones de contorno.
El problema de Dirichlet consiste en encontrar una función f (x, y) derivable dos veces en un dominio D y que verifique:
∂2f∂x2 + ∂2f
∂y2 = 0 ∀ (x, y) ∈ D
f (x, y) = f0 ∀ (x, y) ∈ Fr (D)
Donde Fr (D) significa la frontera donde f0 es constante.
Otro problema de ecuación de Laplace con condiciones de contorno es el problema de Neumann, que es similar al deDirichlet pero la segunda condición es ∂f
∂~n = 0∀ (x, y) ∈ Fr (D) siendo ~n el vector normal a la curva que define lafrontera de D.
1∃! = existe uno solo
Capítulo 9
Series de Fourier
9.1. Introducción
9.1.1. Funciones periódicas
Dada una función f (x) se dice que es periódica de periodo 2p si verifica que f (x + 2p) = f (x) ∀x.
Dada una función periódica de periodo 2p para todo l 6= 0 existe una función g (t) = f(
tpl
)también periódica
y de periodo 2l. No hay más que hacer x = tpl , y de esta forma el estudio de funciones periódicas se reduce al
de las funciones de un determinado periodo 2p, que en nuestro caso será de 2π.
9.1.2. Función absolutamente integrable
Dada una función f (x), esta es absolutamente integrable en un intervalo si se puede encontrar una partición del inter-valo de forma que en cada uno de los subintervalos de la partición f (x) es integrable.
La integral de f (x) en el intervalo es la suma de las integrales en cada uno de los subintervalos.
Toda función continua es integrable y toda función continua a trozos es integrable en los subintervalos en losque es continua, por tanto toda función continua a trozos es absolutamente integrable.
9.2. Desarrollo en Series de Fourier
Dada una función f (x) periódica de periodo 2π se puede encontrar su desarrollo en Series de Fourier si existen{an} , {bn} constantes tales que, para todo x, se cumple:
f (x) =a0
2+
∞∑n=1
(ancosnx + bnsennx) (9.1)
Los an y bn se llaman coeficientes de Fourier, y se hallan de la siguente forma:
a0 = 1π
∫ 2π
0f (x) dx
an = 1π
∫ 2π
0f (x) cosnxdx
bn = 1π
∫ 2π
0f (x) sennxdx
(9.2)
También se puede integrar en el intervalo [−π, π].
Si las integrales existen para una función periódica de periodo 2π, f (x), la serie de Fourier de f (x) es:
f (x) ∼ a0
2+
∞∑n=1
(ancosnx + bnsennx)
39
40 CAPÍTULO 9. SERIES DE FOURIER
9.3. Teorema de localización de Riemann
Dada f (x) absolutamente integrable y periódica de periodo 2π, la serie de Fourier de f convergerá en x si, y sólo si,dado r tal que 0 < r < π
2 existe el siguiente límite:
lımn→∞
2π
∫ r
0
f (x + 2t) + f (x− 2t)t
sen ((2n + 1) t)t
dt = L
Y L es el valor al que converge la serie de Fourier (en caso de que exista).
9.4. Teorema de Dirichlet
Si f (x) es una función continua a trozos en [0, 2π], periódica de periodo 2π y tal que existen las derivadas por laizquierda y por la derecha de f, existe la serie de Fourier de f que converge en cada punto x a:
f (x+) + f (x−)2
Converge por tanto en los puntos en los que f es continua.
9.5. Desarrollos en series de Fourier: casos simplificados
9.5.1. Funciones pares
Se dice que una función es par si f (−x) = f (x). Si tenemos una función f (x) periódica de periodo 2π y par, entonceslos coeficientes de Fourier del desarrollo de f quedan:
a0 = 2π
∫ π
0f (x) dx
an = 2π
∫ π
0f (x) cosnxdx
bn = 0
(9.3)
Donde hemos escogido el intervalo [−π, π] para integrar los coeficientes. Al ser f (x) par, la integral del seno, que esuna función impar, es cero. El producto de una función par con una impar es una función impar, el de dos funcionespares o impares es una función par, y la integral de una función impar entre [−a, a] es cero.
9.5.2. Funciones impares
Justo al contrario que antes, una función es impar si f (−x) = −f (x). Dada una función f (x) periódica de periodo2π e impar, los coeficientes del desarrollo de Fourier de la función son:
an = 0
bn = 2π
∫ π
0f (x) sennxdx
(9.4)
9.5.3. Función periódica de periodo 2T
Si tenemos una función f (x) periódica de periodo 2T se puede hacer un cambio de variable para obtener una funciónde periodo 2π: x = tT
π . En ese caso, el desarrollo en series de Fourier queda:
f (x) ∼ a0
2+
∞∑n=1
(ancos
(n
πx
T
)+ bnsen
(n
πx
T
))(9.5)
9.6. SERIES DE FOURIER DE FUNCIONES NO PERIÓDICAS 41
9.6. Series de Fourier de funciones no periódicas
Si tenemos una función f (x) definida en un intervalo [a, b] no periódica, se puede definir otra función g (t) de formaque sea periódica de periodo b − a y que sea igual a f (x) cuando t ∈ [a, b]. De esta forma, la serie de Fourier de lafunción g (t) será la serie de Fourier de f (x) dentro del intervalo [a, b].
Si se requiere que la serie de Fourier de f (x) sea una serie de senos o cosenos, si se puede, se definirá g (t) como paro impar (según lo que interese).
9.7. Forma compleja
Usando las fórmulas exponenciales del seno y el coseno: cosnx = einx+e−inx
2 y sennx = einx−e−inx
2i se llega a:
C0 = a0
Cn = an−ibn
2
C−n = an+ibn
2
(9.6)
Y por tanto, la serie de Fourier queda:
f (x) ∼∞∑
n=−∞Cneinx (9.7)
Siendo:
Cn =12π
∫ 2π
0
f (x) e−inxdx n = 0,±1,±2, . . . (9.8)
Y si la función es periódica de periodo 2T :
f (x) ∼∞∑
n=−∞Cnei nπx
T (9.9)
con:
Cn =1
2T
∫ T
−T
f (x) e−i nπxT dx (9.10)
42 CAPÍTULO 9. SERIES DE FOURIER
Capítulo 10
Integral de Fourier
En el capítulo anterior hemos considerado el desarrollo en series de Fourier de una función de periodo 2T . En el casode que T →∞ nos encontramos con la integral de Fourier.
10.1. Fórmula de la integral de Fourier
Dada una función f (x) tal que ella y su derivada son continuas a trozos y tal que∫∞−∞ |f (x)| dx converge, o lo que es
lo mismo, f (x) es absolutamente integrable en (−∞,∞), el teorema de la integral de Fourier establece que:
f (x) =1π
∫ ∞
0
(∫ ∞
−∞f (t) cos (s (t− x)) dt
)ds (10.1)
Forma exponencial de la integral de Fourier: en las mismas hipótesis anteriores, si además existe∫∞−∞
|f(x+t)−f(x−t)|t dt:
f (x) =12π
∫ ∞
−∞
(∫ ∞
−∞f (t) eis(t−x)dt
)ds
10.2. Teorema de inversión
Si f (t) verifica las hipótesis del teorema de la integral de Fourier en forma exponencial, en los puntos de continuidadde f, si F {f (t)} = F (s) =
∫∞−∞ e−istf (t) dt entonces1:
F−1 {F (s)} = f (t) =12π
∫ ∞
−∞eistF (s) ds
1F {f (t)} significa “Transformada de Fourier de f (t)”, igual que F (s)
43
44 CAPÍTULO 10. INTEGRAL DE FOURIER
Capítulo 11
Transformada de Fourier
11.1. Definición
De las ecuaciones 9.9 y 9.10 se tiene, si s0 = πT :
FT (ns0) = 2TCn
=∫ T
T
f (t) e−is0ntdt
F (ns0) = lımT→∞
FT (n)
=∫ ∞
−∞f (t) e−is0ntdt
De ahí, sacamos la definición de transformada de Fourier de la función f :
F (s) =∫ ∞
−∞f (t) e−istdt = F {f (t)} (11.1)
11.1.1. Transformadas seno y coseno
Transformada seno : FS {f (t)} = FS (s) =∫ ∞
0
f (t) sen (ts) dt
Transformada coseno : FC {f (t)} = FC (s) =∫ ∞
0
f (t) cos (ts) dt
11.2. Propiedades de la transformada de Fourier
11.2.1. Linealidad
F {αf + βg} = αF {f}+ βF {g}
11.2.2. Cambio de escala
a ∈ R, F (s) = F {f (t)} ⇒ F {f (at)} =1|a|
F( s
a
)45
46 CAPÍTULO 11. TRANSFORMADA DE FOURIER
11.2.3. Traslación
∃F {f (t)} ⇒ F {f (t− a)} = e−isaF {f (t)}
11.2.4. Transformadas sucesivas
Si F (s) es integrable, entonces F {F (t)} = 2πf (−s)
11.2.5. Transformada de la derivada
Si f y f’ son absolutamente integrables en R y los límites de f en infinito o menos infinito tienden a cero:
F{
f′(t)}
= isF {f (t)}
11.3. Producto de convolución
Dadas dos funciones f y g, se llama producto de convolución de ambas a:
(f ∗ g) (t) =∫ ∞
−∞f (x) g (t− x) dx (11.2)
si la integral existe.
11.3.1. Propiedades
El producto de convolución es conmutativo: f ∗ g = g ∗ f
Es asociativo: f ∗ (g ∗ h) = (f ∗ g) ∗ h
Si f (x) = g (x) = 0 ∀x < 0, entonces (f ∗ g) (t) =∫ t
0f (x) g (t− x) dx.
La integral va hasta t porque si x > t ⇒ t− x < 0, g (t− x) = 0.
11.3.2. Teoremas sobre el producto de convolución
Si f y g son funciones absolutamente integrables y una de ellas está acotada, existe la convolución de ambaspara todo x real.
Si f y g son absolutamente integrables y convergen∫∞−∞ |f (x)|2 dx y
∫∞−∞ |g (x)|2 dx existe la convolución de
ambas funciones.
Corolario: Si f y g verifican las hipótesis de alguno de los teoremas anteriores:a) (f ∗ g) (x) está acotadab) (f ∗ g) (x) es continua e integrable si f ó g es continua.
Teorema de convolución para transformadas de Fourier: f (t) y g (t) verifican las hipótesis de alguno de los dos teo-remas anteriores y una de las dos es continua. Entonces:
∫ ∞
−∞(f ∗ g) (t) e−istdt =
(∫ ∞
−∞f (t) e−istdt
)(∫ ∞
−∞g (t) e−istdt
)Y también se puede escribir:
F−1 {F (s) G (s)} = (f ∗ g) (t) =∫ ∞
−∞f (x) g (t− x) dx
La utilidad es calcular las transformadas inversas de productos de transformadas.
Identidad de Parseval:∫∞−∞ |F (s)|2 ds = 2π
∫∞−∞ |f (t)|2 dt
Sirve para resolver la integral de f (t) siendo la de F (s) más sencilla.