guÍa de variable compleja y anÁlisis de fourier...

GUÍA DE VARIABLE COMPLEJA Y ANÁLISIS DE FOURIER Academia de Matemáticas y Física I.C.

1. Sean iz 21, iz 542 , iz 233 y iz 314 . Realice las siguientes operaciones

empleando la representación cartesiana.

a) 321 zzz b) ))(( 4321 zzzz c)

32

41Rezz

zz d)

1

41

32

zz

zz

e)

13

2

2

)31(Im

ziz

zi f) 21

3

4 ImRe zziz

z

h) 4321 zzzz

2. Calcule las siguientes operaciones.

a) 𝑖2015 b) 𝑖1000000 c) (𝑖85 + 𝑖−28)(𝑖64 + 𝑖−37) d) 𝑖117+𝑖−73

𝑖60−𝑖−129

3. a) Si 𝑧 = −1

2+

√5

2𝑖, pruebe que se cumple: 1 + 𝑧 + 𝑧2 = 0 y

1

𝑧= 𝑧2.

b) Para 𝑧 = −1

2+

√3

2𝑖 pruebe que: |𝑧| = 1, 𝑧2 = 𝑧̅, 𝑧3 = 1 𝑦 𝑐𝑎𝑙𝑐𝑢𝑙𝑒 𝑧3002.

4. Calcule el valor de 𝑦 para que el producto de (3 − 6𝑖)(4 + 𝑦𝑖) sea:

a) un imaginario puro b) un real

5. Determine el valor de 𝑥:

a) para que el número 𝑥 + 3𝑖 tenga el mismo módulo que 2√5 + √5𝑖.

b) para que 𝑥+2+𝑥𝑖

𝑥+𝑖 sea imaginario puro.

6. Si 𝑧 =1+𝑥𝑖

𝑥+𝑖 pruebe que |𝑧| = 1, usando dos procedimientos distintos.

7. Pruebe que si la suma de dos números complejos dividido por su diferencia es un número

imaginario puro, entonces tienen el mismo módulo.

8. Pruebe que para todo número complejo 𝑧 se cumple. a) 𝑅𝑒(𝑖𝑧) = −𝐼𝑚(𝑧) b) 𝐼𝑚(𝑖𝑧) = −𝑅𝑒(𝑧)

9. Sean 𝑧, 𝑤 dos números complejos cualesquiera. Pruebe que se cumple:

a) |1 − 𝑧�̅�|2 − |𝑧 − 𝑤|2 = (1 − |𝑧|2)(1 − |𝑤|2) b) |𝑧 + 𝑤|2 + |𝑧 − 𝑤|2 = 2(|𝑧|2 + |𝑤|2) 10. Halle la solución de las siguientes ecuaciones de primer grado.

a) iizi 4)2()23( b) ziiizi )2()56()3()21(


c) 0)6()21()52()34( iziizi d) iizi

izi21

)38()4(

)52()37(

11. Use la representación polar para realizar las siguientes operaciones y exprese el resultado en

la forma cartesiana.

Sean iwizibia 7 ,56 ,31 ,23 .

a) 45ba b) bw

az c)

1

4

3

z

w d)

45

34

ba

zw e)

43

24

zb

wa

12. Halle dos números complejos cuyo cociente sea 3, la suma de sus argumentos 𝜋

3 y la suma de

sus módulos sea 8.

13. El producto de dos números complejos es 2𝑖 y el cubo de uno de ellos dividido por el otro es 1

2,

encuentre dichos números. 14. Emplee el teorema de De Moivre para deducir las siguientes identidades.

a) cossen3cos3cos 23 b) 4224 sensen cos6cos4cos

32 sensen cos33sen cossen4sen cos44sen 33

15. Si sen 𝜃 =1

2, 0 < 𝜃 <

𝜋

2, aplique los resultados del ejercicio 14 para hallar los valores de:

a) cos 3𝜃 𝑦 sen 3𝜃 b) cos 4𝜃 𝑦 sen 4𝜃

16. Si 𝑧 ∈ ℂ, 𝑧 ≠ 1, deduzca la fórmula z

zzzzz

nn

1

11

132 .

17. Aplique la fórmula del ejercicio 16 y el teorema de De Moivre para probar que:

21

21

21

2

)sen(cos3cos2coscos1

sen

nsenn

21

21

21

sen2

)cos(cossen 3sen2sensen

nn

Suponga que sen 1

2𝜃 ≠ 0. Sugerencia: haga iez .

18. Calcule las raíces mostradas a continuación.

a) 6 1 b) 4 i c) √3+3𝑖

−3+3𝑖

3 d) √

𝑖35−𝑖18

1+𝑖

4

19. Resuelva las siguientes ecuaciones.

a) 𝑧5 + 32 = 0 b) 𝑧4 + 16𝑖 = 0 c) 𝑧6 −1+𝑖

√3+𝑖= 0


20. Si kz es una raíz enésima de la unidad, diferente a la unidad misma, es decir, 1kz , probar

que se cumple 01 132 n

kkkk zzzz . Sugerencia: use la fórmula del ejercicio 16.

21. Aplique la fórmula del ejercicio 16 para determinar el valor de la expresión mostrada abajo.

1 + (1 + 𝑖) + (1 + 𝑖)2 + (1 + 𝑖)3 + ⋯ + (1 + 𝑖)9 22. Pruebe que:

a) (1+cos 𝜃+𝑖 sen 𝜃

1+cos 𝜃−𝑖 sen 𝜃)

𝑛

= 𝑒𝑖𝑛𝜃 , 𝑛 ∈ ℕ

b) Si 𝑧 +1

𝑧= 2 cos 𝑡 , 𝑡 ∈ ℝ 𝑦 𝑧 ∈ ℂ, entonces 𝑧𝑛 +

1

𝑧𝑛 = 2 cos 𝑛𝑡 , 𝑛 ∈ ℕ.

23. Si 𝑧, 𝑤 ∈ ℂ son raíces sextas de 1, pruebe que también son raíces sextas de 1:

a) 𝑧𝑤 b) 𝑧

𝑤 c) 𝑧2 d)

𝑧3

𝑤3

24. a) ¿Pueden ser 𝑧1 = 2 + 𝑖, 𝑧2 = −2 + 𝑖, 𝑧3 = −1 − 2𝑖, 𝑧4 = 1 − 2𝑖 las raíces de un número complejo? Justifique su respuesta.

b) Si la ecuación 2𝑧3 − 5𝑧2 + 16𝑧 − 1 = 0 tiene tres raíces distintas entre sí, ¿pueden ser imaginarias las tres? Justifique su respuesta.

25. Halle las raíces de las siguientes ecuaciones de segundo grado.

a) 0232 zz b) 01032 izz

c) 0)1(22 iziz d) 0)1(2 2 iziiz

26. Considere la ecuación 𝑧4 − 4𝑧3 + 7𝑧2 − 8𝑧 + 10 = 0. Se sabe que √2𝑖 𝑦 2 − 𝑖 son dos raíces de ella, halle las otras dos.

27. Sea 𝑧 ∈ ℂ. Si 𝑧3 = 𝑖𝑧, calcule el valor de 𝑧. 28. Determine las raíces de:

a) 𝑧4 + 𝑧3 + 𝑧2 + 𝑧 + 1 = 0 b) 𝑧6 + 𝑧5 + 𝑧4 + 𝑧3 + 𝑧2 + 𝑧 + 1 = 0 Sugerencia: Aplique la fórmula del ejercicio 16.


29. Sea 𝑤 ∈ ℂ tal que 𝑤2 + 𝑤 + 1 = 0. Encuentre dos números reales 𝑎, 𝑏 para los cuales se cumple la relación:

7 + 5𝑤 + 3𝑤2

1 − 2𝑤= 𝑎 + 𝑏𝑤

30. Si 𝑤 ∈ ℂ tal que 𝑤5 = 1 pruebe que:

a) 𝑤

1+𝑤2 +𝑤2

1+𝑤4 +𝑤3

1+𝑤+

𝑤4

1+𝑤3 = 2 b) 𝑤

1−𝑤2 +𝑤2

1−𝑤4 +𝑤3

1−𝑤+

𝑤4

1−𝑤3 = 0, 𝑤 ≠ 1

31. Sean 𝑧, 𝑤 ∈ ℂ tales que |𝑧| = |𝑤|. Muestre que si 𝛼 ∈ ℂ se cumple la siguiente igualdad.

|𝑧 + 𝛼|2 + |𝑧 − 𝛼|2 = |𝑤 + 𝛼|2 + |𝑤 − 𝑎|2

Proporcione una interpretación geométrica de este resultado.

32. Considere la ecuación cuadrática 𝑎2𝑧2 + 𝑎𝑏𝑧 + 𝑐2 = 0 donde 𝑎, 𝑏, 𝑐 ∈ ℂ y represente por 𝑧1, 𝑧2

sus raíces. Pruebe que si 𝑏

𝑐 es un número real, entonces |𝑧1| = |𝑧2| o

𝑧1

𝑧2∈ ℝ.

33. Para las siguientes funciones determine u(x,y), v(x,y), sus partes real e imaginaria,

respectivamente.

a) )47()2()( izizf b) )23()( izzzf

c) zzzzf 23)( d) zizizf )2()1()( 2

e) iz

zzf

)( f)

4)(

2

z

zzf

g) iz

izzf

2

2

)( h) iz

izzzf

2

)3)(2()(

34. Halle ),(),,( rvru para las funciones mostradas a continuación.

a) 23)( zzzf b) 2

2 1)(

z

zzf

c) iz

izzf

3

2)(

d) )()( izzzf

35. Exprese las siguientes funciones en términos de la variable compleja z.

a) )()()( yxiyxzf b) ixyyxzf 22)(

c) )2()2()( 22 yxyixyxzf d) )1()1()( 2222 yxiyxzf


e) iyx

yxzf

22

)( f) x

yi

y

xzf )(

36. Exprese las siguientes funciones en términos de la variable compleja z.

a) 𝑓(𝑧) =sen 𝜃

𝑟+ 𝑖

cos 𝜃

𝑟 b) 𝑓(𝑧) = (𝑟2 cos 2𝜃 − 2𝑟 sen 𝜃) + 𝑖(𝑟2 sen 2𝜃 + 2𝑟 cos 𝜃)

c) 𝑔(𝑧) =𝑟2+1

𝑟cos 𝜃 + 𝑖

𝑟2−1

𝑟sen 𝜃 d) 𝑔(𝑧) =

𝑟 cos 2𝜃+cos 3𝜃

𝑟3 − 𝑖𝑟 sen 2𝜃+sen 3𝜃

𝑟3

37. Describe geométricamente los siguientes conjuntos.

a) {𝑧: 𝑅𝑒(𝑧) ≥ 0, 𝑧 ∈ ℂ} b) {𝑧: 𝑅𝑒(𝑧) ≥ 𝐼𝑚(𝑧), 𝑧 ∈ ℂ}

c) {𝑧: |𝑧 − (1 − 𝑖)| ≤ 2, 𝑧 ∈ ℂ} d) {𝑧: |𝑧 + 𝑖| > 3, 𝑧 ∈ ℂ} e) {𝑧: 𝑅𝑒(𝑧) ≥ 0, 𝑧 ∈ ℂ} f) {𝑧: |𝑧 − 2 + 𝑖| = 2, 𝑧 ∈ ℂ}

38. Sea 𝑆 = {𝑧: |2𝑧 − 3 − 𝑖| = 4, 𝑧 ∈ ℂ}. ¿Cuáles de los siguientes puntos son puntos interiores, exteriores y frontera de dicho con junto?

a) 𝑧 = 1 + 3𝑖 b) 𝑧 = 2 + 𝑖 c) 𝑧 =7

2+

1

2𝑖

d) 𝑧 = 4 − 3𝑖 e) 𝑧 = −1

2+

1

2𝑖 f) 𝑧 =

3

2−

1

2𝑖

39. Clasifique los conjuntos mostrados a continuación en: a) abiertos o cerrados, b) conexos o no

conexos, c) acotados o no acotados. a) 𝐴 = {𝑧: |𝑧 − 𝑖| < 2, 𝑧 ∈ ℂ} b) 𝐵 = {𝑧: |𝑖𝑧 + 3 − 2𝑖| ≤ 4, 𝑧 ∈ ℂ}

c) 𝐶 = {𝑧: |2𝑧 − 3𝑖| < 2 𝑜 |2𝑧 − 3𝑖 > 4, 𝑧 ∈ ℂ|}

d) 𝐷 = {𝑧: |2𝑖𝑧 + 3| ≤ 3 𝑜 |3𝑧 − 4 − 2𝑖| ≤ 2, 𝑧 ∈ ℂ}

40. Determine el mapeo de las rectas 𝑥 = 2, 𝑦 = −1 bajo la función 𝑓(𝑧) = 𝑖𝑧 + 2.

41. Considere la función 𝑓(𝑧) = (1 + 𝑖)𝑧 + 2 − 𝑖. Halle el mapeo de la región delimitada por las

rectas 𝑥 = 1, 𝑥 = −2, 𝑦 = 2, 𝑦 = −1 bajo la función señalada.

42. Obtenga el mapeo de la región definida por las rectas 𝑦 = −𝑥 + 1, 𝑦 = 𝑥 + 1, 𝑦 = 0 bajo la función 𝑓(𝑧) = (2 − 𝑖)𝑧 + 1 − 3𝑖.


43. Calcule el valor de los siguientes límites, si es que existen.

a) izziiz

3)23( 2

3lim b)

iizz

iziiz

iz

1

4)2(2

2

23lim

c) izz

iizz

iz

3

3

2

1lim d)

16

324

5

2lim

z

iz

iz

e) izziz

iizziz

iz 23)23(

642)23(23

23

23lim

f) izizizz

iziziziiz

iz 33)21(33

1)1()32()2(234

234

1lim

g) )23(2)2(

4)23(2

2

limizzi

ziiz

z

h) izizz

izizzi

z

3)1(2

212)31(234

23

lim

44. Determine si las siguientes funciones son continuas en el punto señalado.

a)

ii

iziziz

iziz

zf

z , 22

3

, )1(

2)2(

)(

2

2

en 𝑧 = −𝑖

b)

i1z para i-3z

2i-2z

1z para 22)22()1(

)1(3)4(

)(

2

2

iizizi

iziiz

zf en 𝑧 = 1 + 𝑖

45. Aplique la definición de derivada para hallar la derivada de las siguientes funciones:

a) 𝐹(𝑧) = (2 + 𝑖)𝑧2 + 𝑖𝑧 + 4 − 3𝑖 b) 𝑓(𝑧) =𝑖𝑧+1

𝑖𝑧−1

c) 𝐺(𝑧) =𝑧2

𝑧+1 d) 𝑤 = 𝑖𝑧3


46. Determine cuáles de las funciones mostradas a continuación satisfacen las ecuaciones de Cauchy-Riemann y para éstas, halle su derivada.

a) zzzf 2)( b) 22)( ixyxzf c) z

zzf )(

d) senhyisenxyxzf coshcos)( e) 0,,)(2222

yxyx

yi

yx

xzf

f) 0,),arctan()ln()( 22

21 yx

x

yiyxzf g) xyisenxy

yxzf e 22cos)(22

h) xysenhyxixyyxsenzf 2cos2cosh)( 2222

i) )2(ln2cos)( 22 senrirrzf j) 0,cos

)( rr

seni

rzf

47. Pruebe que la función u(x,y) es armónica en algún dominio y encuentre una armónica

conjugada v(x,y).

a) )1(2),( yxyxu b) 23 32),( xyxxyxu c) senxsenhyyxu ),(

d) yxyxu e cos),( e) xyyxu 2),( f) senyxyxyxu e 22),(

g) 22

),(yx

yyxu

h) )ln(),( 22

21 yxyxu i) xy

yxyxu e 2cos),(22

48. En coordenadas polares la función 𝑢(𝑟, 𝜃) es armónica si cumple la siguiente ecuación:

𝑟2 𝜕2𝑢

𝜕𝑟2 + 𝑟𝜕𝑢

𝜕𝑟+

𝜕2𝑢

𝜕𝜃2 = 0. Determine si las funciones mostradas abajo son armónicas en algún

dominio.

a) 𝑢(𝑟, 𝜃) = 𝑟3 cos(3𝜃) b) 𝑢(𝑟, 𝜃) =sen 𝜃

𝑟 c) 𝑢(𝑟, 𝜃) =

10𝑟2−sen(2𝜃)

𝑟2

49. Para las funciones del ejercicio anterior, halle una armónica conjugada. 50. Calcule el valor de las siguientes expresiones.

a) ei

3

1

b) ei 43 c) e

i

i 1

2


51. Halle la solución de:

a) iez

43 b) 112

ez

c) iez

31 d) 1eiz

52. Pruebe que ee izzi sí y sólo si nnz para un número entero.

53. Pruebe las siguientes relaciones que involucran funciones trigonométricas complejas.

a) senhyxseniyxz coshcoscos b) isenhyiysen )(

c) yiy cosh)cos( d) ysenhxz 222coscos

e) 212121 coscos)cos( senzsenzzzzz f) zsenzz 22cos2cos

g) zz 22 csccot1 54. Determine la solución de las siguientes ecuaciones. a) 1senz b) iz 2cos c) 0cos z d) isenz 23

55. Pruebe las siguientes relaciones para funciones hiperbólicas complejas.

a) 212121 coshcosh)cosh( senhzsenhzzzzz b) ziz cos)cosh(

c) )cos(cosh izz d) isenhxsenyyxz coscoshcosh

e) yxsenhz 222coscosh f) zsenhzz 22cosh2cosh

56. Determine la solución de las ecuaciones mostradas a continuación. a) isenhz b) 1cosh z c) iz 1cosh d) isenhz 4

57. Calcule el valor de las expresiones siguientes.

a) )( eiLog b) )1( iLog c) ilog d) )1log( i e) )3log(e i

58. Pruebe que )1(2)1( 2 iLogiLog pero que )1(2)1( 2 iLogiLog .

59. Si 0)Re( 1 z y 0)Re( 2 z demuestre que )()()( 2121 zLogzLogzzLog .


60. Halle el valor de las siguientes potencias.

a) ii)2( b) ii c) ii 4)1(

61. Deduzca las siguientes fórmulas.

a) 1logcos 21 zziz b) izzi

ziiz

,log

2tan 1

62. Calcule el valor de las expresiones siguientes.

a) )2(tan 1 i b) )1(cos 1 c) )1(cos 1 i d) )(1 isen

63. Pruebe que izz

zdz

d

,

1

1tan

2

1 .

64. Deduzca las siguientes fórmulas.

a) 1logcosh 21 zzz b) 1,1

1log

2

1tanh 1

z

z

zz

65. Halle el valor de las expresiones siguientes.

a) )21(tanh 1 i b) )1(cosh 1 i c) )3(cosh 1 i d) )2(1 isenh

66. Pruebe que 1,1

1tanh

2

1

zz

zdz

d.

67. Aplique la regla de L´Hopital para hallar el valor de los siguientes límites.

a) z

zsenzz

z

coslim

0

b)

z

z

z

2

coslim

2

c) 2

2

0lim

z

zsen

z

d) 2

4

0 2cos2lim

zz

z

z

68. Sea 𝐶1 la línea recta desde 𝑧 = 0 ℎ𝑎𝑠𝑡𝑎 𝑧 = 1 + 𝑖, 𝐶2 la línea quebrada desde 𝑧 = 0 𝑎 𝑧 =1 𝑦 𝑙𝑢𝑒𝑔𝑜 𝑎 𝑧 = 1 + 𝑖, 𝐶3 el arco desde 𝑧 = 0 ℎ𝑎𝑠𝑡𝑎 𝑧 = 1 + 𝑖 de la circunferencia de centro 1 + 0𝑖 y radio 1. Calcule:

a) ∫ 𝑥𝑑𝑧𝐶3

b) ∫ 𝑦𝑑𝑧𝐶1

c) ∫ 𝑧̅𝑑𝑧𝐶2

d) ∫ 𝑧𝑑𝑧𝐶3


69. Calcule la integral de línea de la función z

zzf

2)(

donde C es el contorno: a) el semicírculo

,0,2)( tetz it , b) el círculo 2,0,2)( tetz it .

70. Sea C el círculo Rzz 0 , recorrido en el sentido positivo. Usar la representación

paramétrica ,,0 titRzz e para obtener los siguientes resultados

a) i

Czz

dz2

0

b)

C

ndzzz n ,3,2,1con 0)( 1

0

c) )(2

)( 1

0 a

C

sena

Ridzzz

aa

donde a es cualquier número real distinto de cero y donde

se toman la rama principal del integrando y el valor principal de aR .

71. Determine ∫ 𝑧𝑅𝑒(𝑧)𝑑𝑧𝐶

donde 𝐶 es la circunferencia |𝑧| = 1 recorrida en el sentido positivo.

72. Halle el valor de ∫ 𝑧2𝑑𝑧𝐶

donde 𝐶 es:

a) el arco de parábola 𝑦 = 𝑥2 que une los puntos 𝑧1 = 0 𝑦 𝑧2 = 1 + 𝑖. b) el segmento de recta que une los mismos puntos del inciso a). 73. Si C es el contorno del triángulo cuyos vértices son los puntos: 2+2i, -i y –2+2i, halle el valor

de la integral de línea de la función z

zf1

)( a lo largo de C, recorrido en el sentido positivo.

74. Calcule C

dzsenz , donde C es el contorno descrito por ,0, titz .

75. Halle el valor de las siguientes integrales definidas.

a)

i

i

dzsenz

2

1

b)

2

11

coshi

dzz c) 2

i

i

dzze d) dzz

i

2

02

cos


76. Sabiendo que

bia

xbia

dxxbia e

e)(

)(,donde se ha omitido la constante de integración,

pruebe que:

a)

22

)cos(cos

ba

bsenbxbxaaxbxdxax e

e

b)

22

)cos(

ba

bxbasenbxaxsenbxdxax e

e

En los siguientes problemas aplique las fórmulas integrales de Cauchy o el teorema de Cauchy-Goursat para calcular el valor de las integrales de línea de las funciones indicadas con el contorno señalado. Considere que los contornos están recorridos en el sentido positivo.

77. 4

1)(

2

z

zzf , donde C es la circunferencia 5z .

78. 4

12)(

2

z

zzf , C es la semicircunferencia superior de radio 1 con centro en el origen y el

segmento de recta que une los puntos z = -1 y z = 1.

79. 𝑓(𝑧) =cos 𝑧

𝑧3 donde 𝐶 es el contorno |𝑧| = 1.

80. iz

zzf e

2

)(

, C es el cuadrado de lado dos con centro en el origen.

81. 2

2cos)(

z

zzf , C es cualquier contorno cerrado que contenga al origen.

82. 22 )1(

)(

z

ztzf e , C es la circunferencia 3z y 0t .

83. 𝑓(𝑧) =2𝑧+5

𝑧2−2𝑧 para la circunferencia |𝑧 − 3| = 2

84. 𝑓(𝑧) =1

𝑧3(𝑧−1)2 para 𝐶: |𝑧 − 2| = 5.

85. Investigue el radio de convergencia de las siguientes series.

a) ∑cos(𝑖𝑛)

2𝑛∞𝑛=1 b) ∑

𝑛 sen(in)

3𝑛∞𝑛=1 c) ∑

𝑒𝑖2𝑛

𝑛√𝑛∞𝑛=1 d) ∑

𝑛

tan(𝑖𝜋𝑛)∞𝑛=1


86. Halle el radio de convergencia de las siguientes series de potencias.

a) ∑ 𝑒𝑖𝑛𝑧𝑛∞𝑛=1 b) ∑ (1 + 𝑖)𝑛𝑧𝑛∞

𝑛=0 c) ∑ (𝑧

1−𝑖)

𝑛∞𝑛=0 d) ∑ (1 + 3𝑖)𝑘(𝑧 − 𝑖)𝑘∞

𝑘=0

87. Para los siguientes ejercicios halle la serie de Laurent de la función en la región señalada.

a) z0 para cosh

)(2z

zzf b) z0 para

1 )( 3

zsenhzzf

c)

z1 ii) 10 i) :para )1(

1)(

2z

zzzf

d) 211 iii) 11-z0 ii) 10 i) :para 1

)(2

zzzz

zf

e) z0 para 1

)(z

senzsenzf f) 11-z0 para 1

1

1)(

zsen

zzf .

88. Halle el desarrollo en serie de Laurent para la función

1y real númeroun es donde , para 1

)(

aazaaz

zf . A continuación escriba

iez para obtener las siguientes fórmulas.

2

2

1 cos21

coscos

aa

aana

n

n

21 cos21

aa

asennsena

n

n

89. Para las siguientes funciones encuentre y clasifique sus singularidades.

a) zz

zzf

3)( b)

z

zzf

tan)( c)

zzzf

1cos)( 3 d)

3

1cos)(

z

zzf

90. Determine los residuos de las siguientes funciones en sus puntos singulares.

a) 𝑓(𝑧) =1

(𝑧−1)(𝑧−2) b) 𝐹(𝑧) =

𝑧

𝑧4+1 c) 𝑔(𝑧) =

𝑧𝑒𝑖𝑧

𝑧2+𝑘2 , 𝑘 ∈ ℝ

d) 𝐺(𝑧) = 𝑧3 sen1

𝑧 e) 𝑤 =

cos 𝑧

𝑧2(𝑧−𝜋)3 f) 𝑤 =5𝑧2−4𝑧+3

(𝑧+19(𝑧+2)(𝑧+3)


91. Aplique el teorema del residuo para evaluar las siguientes integrales. Considere el contorno

orientado positivamente.

a) C

dzz

z

12

3

donde 2 : zC b) C

dzzz

senz23 )(

para 2 : zC

c) C

zz

dzm )1( 2

donde 2

1: izC y m un entero no negativo.

d) C

zdztan para 1: zC e)

C

dzzz

z

)9)(1(

232

3

donde 4: zC

f) C

dzzz

z

)1(

cos2

para 2: zC g)

Czzz

izz

65

32323

2

donde 4: zC

92. Si 8: zC , orientada en el sentido positivo y siendo t un número real, probar que

ttdz

Csenhz

zt

i

e 2cos2 cos21 2

1

En los siguientes problemas transforme las integrales de variable real a una integral de variable compleja y aplique el teorema del residuo para calcular su valor.

93.

0cos45

d 94.

2

0

21 sen

d 95. 1con

)cos(0

2

aa

d

96. 1con cos21

2

0

2

a

aa

d

97.

0

6 dsen 98.

2

0

6 cos d

En los siguientes ejercicios transforme las integrales impropias a una integral de variable compleja y use el teorema del residuo para hallar su valor.

99.

0

2 1x

dx 100.

32 )1(x

dx 101.

0

22

2

)4)(1( xx

dxx


102.

0

222

2

0acon )( ax

dxx 103.

86

)2(24

2

xx

dxx

En los siguientes problemas aplique el teorema del residuo para determinar el valor de las integrales impropias que involucran funciones seno y coseno, transformándolas previamente a una integral de variable compleja.

104.

1

cos2x

xdx 105.

0

2 16

x

dxsenxx 106.

0

22 )4)(1(

cos

xx

dxx

107.

22

3

)1(

x

dxsenxx 108. 0ba,con

)(

cos

0

222

bx

axdx

Aplique el método apropiado para evaluar las siguientes integrales impropias cuyos polos están sobre el eje real.

109. dxx

x

14

cos2

110.

dxx

xsen2

2

111. 0ba,con coscos

0

2

dxx

bxax

112.

dxxx

senx

542 113. 0bcon

)(

cos22

dxbax

ax

114. Empleando la teoría de residuos, calcule la transformada inversa de Laplace para las

siguientes funciones.

a) 𝐹(𝑠) =1

𝑠6 b) 𝐹(𝑠) =1

𝑠2+4 c) 𝐹(𝑠) =

1

(𝑠−5)3 d)𝐹(𝑠) =1

𝑠4−1

e) 𝐹(𝑠) =𝑒𝑎𝑠

𝑠2−5𝑠+6, 𝑎 > 0 f) 𝐹(𝑠) =

𝑠

(𝑠−𝑎)(𝑠−𝑏), 𝑎, 𝑏 ∈ ℝ g) 𝐹(𝑠) =

𝑠2−𝑘2

(𝑠2+𝑘2)2 , 𝑘 ∈ ℝ


ANÁLISIS DE FOURIER

Halle la serie de Fourier de las funciones periódicas de periodo 2 que a continuación se indican.

115.

t0 si 2

0t- si 1)(tf 116. t- para )( senhttf

117. 𝑓(𝑡) =𝑒𝜋𝑡

𝜋 𝑝𝑎𝑟𝑎 − 𝜋 ≤ 𝑡 < 𝜋 118.

t0 si 2

0- si 0)(

sent

ttf

119. La gráfica de la función periódica es:

120. La gráfica de la función periódica es:


121. La gráfica de la función es:

122. a) tttf - para )( 2 , b) Con la serie de Fourier obtenida en el inciso a) y

aplicando el teorema de Parseval pruebe que

1

2

2 6

1

n n

.

Determine la serie de Fourier de las funciones periódicas de periodo T que a continuación se indican.

123. t0 1

0- 1)(

2

2T

T

ttf 124.

2T

2T

t0 4

1

- 4

1)(

T

t

otT

t

tf

125.

2T

0

2T

t0

0- 0)(

tsen

ttf

126.

22 1)( TT tttf

127. 1t1- 2)(21 e ttf 128. 3t3- cosh)( ttf


129. La gráfica de la función periódica es

:

130. La gráfica de la función es:

131. Empleando el resultado del problema 119 y el teorema de Parseval pruebe que se cumple

0

2

2 8)12(

1

n n

.

Calcule la serie de Fourier compleja de las funciones proporcionadas a continuación.

132.

t0 si 1

0t- si 1)(tf 133. t- para )( senhttf


134. t0 0

0- 1)(

2

2T

T

ttf 135.

t0 0

0- sen t )(

2

2T

T

ttf

Para las siguientes funciones aplique la definición y halle su transformada de Fourier.

136. 𝑓(𝑡) = {2 𝑝𝑎𝑟𝑎 − 2 < 𝑡 < 20 𝑒𝑛 𝑜𝑡𝑟𝑜 𝑐𝑎𝑠𝑜

137. 𝑓(𝑡) = 𝑢(𝑡)𝑒−𝑡 donde 𝑢(𝑡) es la función

escalón.

138. 𝑓(𝑡) = 𝐴𝑒−|𝑡|, 𝐴 𝑢𝑛 𝑟𝑒𝑎𝑙 𝑝𝑜𝑠𝑖𝑡𝑖𝑣𝑜. 139. 𝑓(𝑡) = cos 𝑡

140. 𝑓(𝑡) = 𝑒𝑎𝑡 sen 𝑏𝑡 ; 𝑎, 𝑏 ∈ ℝ+ 141. 𝑓(𝑡) = {1 𝑝𝑎𝑟𝑎 − 𝑎 < 𝑡 < 01 𝑝𝑎𝑟𝑎 0 < 𝑡 < 𝑎 0 𝑒𝑛 𝑜𝑡𝑟𝑜 𝑐𝑎𝑠𝑜

𝑎 ∈ ℝ+

Aplique las propiedades para determinar la transformada de Fourier de las funciones que a continuación se señalan.

142. t0 0

0- )(

2

2T

T

tAtf 143. 𝑓(𝑡) = 2 cos 3𝑡 + 3 sen 2𝑡

144. 𝑓(𝑡) = 4𝑒−|3𝑡| 145. 𝑓(𝑡) = 𝑒−|𝑡|𝑒2𝑖𝑡

146. 𝑓(𝑡) = cos 2𝑡 [𝑢(𝑡 + 1) − 𝑢(𝑡 − 1)] 147. 𝑓(𝑡) = 𝑢(𝑡 − 3)𝑒−2(𝑡−3)

148. 𝑓(𝑡) = 𝛿(𝑡 − 2) + 𝛿(𝑡 + 2) 149. 𝑓(𝑡) =𝑑

𝑑𝑡[𝑒−𝑡 cos 2𝑡]

150. 𝑓(𝑡) = ∫ 5𝑒−|𝑢|𝑑𝑢𝑡

−∞ 151. 𝑓(𝑡) = ∫ 𝑒𝑎𝑢 sin 𝑏(𝑡 − 𝑢)𝑑𝑢

𝑡

−∞

Use las propiedades para hallar la transformada inversa de Fourier de las siguientes funciones.

152. 𝐹(𝜔) = 𝛿(𝜔) 153. 𝐹(𝜔) = 𝑒−𝑖𝑎𝜔, 𝑎 ∈ ℝ+ 154. 𝐹(𝜔) =2

3−𝑖𝜔

155. 𝐹(𝜔) = 𝐴, 𝐴 ∈ ℝ+ 156. 𝐹(𝜔) =sin 𝜔

𝑤 157. 𝐹(𝜔) =

𝑒−𝑖𝜔

2+𝑖𝜔

158. 𝐹(𝜔) =𝑒2𝑖(𝜔−3)

𝑖(𝜔−3)+5 159. 𝐹(𝜔 = −

2

𝜔2

.

guÍa de variable compleja y anÁlisis de fourier...

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