exercicios fourier
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Sries de Fourier
Victor Rios Silva [email protected]
Universidade Federal Fluminense (UFF) Instituto de Matemtica (IM)
Departamento de Matemtica Aplicada (GMA) Rua Mrio Santos Braga, S/N Valonguinho 24020-14 - Niteri, Rio de Janeiro, Brasil
Outubro 2010
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Todos os eventos da natureza podem ser equacionados, uns de maneira simples e outros de maneira
mais complexa. Uma das formas de equacionarmos os fenmenos naturais atravs das Sries de Fourier.
Nosso estudo sobre as Sries de Fourier ser uma anlise sobre quais as circunstncias possvel
escrever e como escrever uma funo como uma Srie de Fourier, anlise da convergncia e demonstrao
da derivao e integrao dessas sries.
Nas sees I e II apresentado as funes peridicas e sries trigonomtricas, como uma forma de
reviso de conceitos posteriormente essenciais para o entendimento das Sries de Fourier. Na seo III
apresenta-se as Condies de Dirichlet, na seo IV, as Integrais de Euler, na seo V, a maneira pela qual se
determinam os coeficientes de Fourier, na seo VI, funes pares e mpares, na seo VII, funes com
perodos arbitrrios, a fim de expandirmos o conceito de Sries de Fourier da maneira mais genrica possvel;
na seo VIII, fala-se sobre sries em senos e cossenos e expanso par e mpar, na seo IX, igualdade de
Parseval, na seo X, convergncia das Sries de Fourier, na seo XI, derivao e integrao das Sries de
Fourier, na seo XII, forma complexa das Sries de Fourier e na seo XIII, as aplicaes das Sries de
Fourier. Durante o estudo so propostas diversas questes resolvidas como forma de exemplificao e
melhor entendimento do assunto.
I. Funes Peridicas
Uma funo dita peridica com um perodo T se para qualquer x. Do que
decorre que para n inteiro
Exemplo 1: , temos que , logo .
Exemplo 2: Achar o perodo da funo
Se a funo for peridica:
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Logo
Observao: Se duas funes e possuem perodo T ento a funo
peridica com perodo T.
II. Srie Trigonomtrica
uma srie de funes cujos termos so obtidos multiplicando-se os senos e os cossenos dos
mltiplos sucessivos da Varivel independente x por coeficientes que no dependem da varivel x e so
admitidos reais.
ou
[ ]
(1)
Sendo esta uma srie de funes, sua soma S (no caso de existir, ou seja, se a srie for convergente)
ser uma funo da varivel independente e como os termos da srie so funes trigonomtricas, funes
peridicas de perodo , a soma ser uma funo peridica de perodo . De modo que precisamos
estudar a srie trigonomtrica em um intervalo de comprimento , por exemplo:
As funes peridicas de interesse prtico podem sempre ser representadas por uma srie
trigonomtrica.
[ ]
Esta representao possvel se a satisfaz as condies de suficincia de Dirichlet.
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III. Condies de Dirichlet
Embora no sejam conhecidas as condies necessrias e suficientes para que uma funo possa ser
representada por uma srie trigonomtrica; as condies de suficincia de Dirichlet, apesar de mais
restritivas, asseguram a convergncia da srie para a funo.
1) A funo deve ser contnua e, portanto, limitada no intervalo com exceo, talvez,
de um nmero finito de pontos de descontinuidade de primeira espcie (finitas).
Exemplo: {
Esta funo apresenta, num perodo, apenas um ponto de descontinuidade finita em .
Contra-exemplo: no intervalo
Apresenta um ponto de descontinuidade infinita no ponto .
2) Efetuando-se uma partio no intervalo em um nmero finito de sub-intervalos, a funo
f(x) em cada um deles montona. A funo tem somente um nmero finito de mximos e mnimos
em um perodo.
Exemplo 1:
Podemos considerar 3 subintervalos:
No 1 crescente
No 2 decrescente
No 3 crescente
Apresenta no perodo um ponto de mximo e um
de mnimo.
-
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Contra-exemplo:
Esta funo apresenta um nmero
infinito de mximos e mnimos na
vizinhana de .
Exemplo 2: Verificar se as funes abaixo satisfazem as condies de Dirichlet
a.
,
Sim, pois no ponto onde temos uma indeterminao, a descontinuidade de 1 espcie.
b. ,
No, pois temos descontinuidade infinita para .
c.
,
No, descontinuidade infinita na vizinhana de .
-
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d. {
Sim, as duas condies de Dirichlet so satisfeitas.
e.
,
No, pois na vizinhana de temos um nmero infinito de mximos e mnimos.
IV. Ortogonalidade Integrais de EULER
Os termos na srie so ditos ortogonais com relao ao perodo , isto , a integral em um
perodo do produto de quaisquer dois termos diferentes nula.
1)
De fato:
|
[ ]
2)
De fato:
*
+|
[ ]
3)
De fato: (1)
(2)
Somando membro a membro (1) + (2):
[ ]
[ ]
-
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4)
De fato: (1)
(2)
Fazendo (1) + (2)
[ ]
5)
(1)
(2)
(2) (1):
[ ]
[ ]
6)
7)
) (1)
(2)
(1) + (2):
[ ]
-
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V. Determinao dos Coeficientes de Fourier
Usando propriedades elementares das funes trigonomtricas podemos facilmente determinar
e em termos de de maneira que no intervalo a srie trigonomtrica (1) seja igual funo
isto :
[ ]
Integramos os dois membros de (1) entre (-,)
(
)
= 0 (1 I.E.) 0 (2 I.E.)
[ ]
Clculo de :
Multiplicando (1) por , sendo p, nmero fixo dado, integrando no intervalo ( )
= 0 (1 I.E.) = 0 se (3 I.E.) = 0 (7 I.E.)
Se :
-
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Clculo de :
Multipliquemos (1) por e integremos entre
Se :
Exemplo 1: Determinar a srie de Fourier da funo que supomos possuir perodo e fazer esboo
grfico de e das primeiras trs somas parciais.
,
[
]
[
]
*
+
[ ]
-
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*
+
[ ]
[ ] ,
(
)
As somas parciais so:
;
;
(
)
Vimos que para:
,
A Srie que Fourier representa
-
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Vamos determinar a Srie de Fourier para:
{
A funo a deslocada
unidade para baixo, logo:
,
A funo a mesma , exceto por uma alterao na escala do tempo:
(
)
Verificamos que alterar a escala tempo, altera as frequncias angulares dos termos individuais, mas
no altera seus coeficientes. Assim, para calcular os coeficientes, o perodo pode ser arbitrariamente
mudado se isto parecer conveniente.
Exemplo 2: Desenvolver em srie de Fourier as funes supostas peridicas de perodo :
a. ,
A satisfaz as condies de Dirichlet.
-
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A satisfaz as condies de Dirichlet.
Clculo dos Coeficientes de Fourier:
|
|
Fazendo a integrao por partes:
,
|
-
,
-
|
|
{
.
/
-
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,
|
-
,
-
{
|
}
{
|
}
Logo:
b.
A satisfaz as condies de Dirichlet.
Clculo dos Coeficientes
*
+
*
+
Sabemos que , ento, faremos:
Fazendo integral por partes novamente para
temos:
-
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.
/
.
/
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
*(
) (
) (
) +
c.
A satisfaz as condies de Dirichlet. Vamos calcular os coeficientes:
|
Se fizermos a integrao por partes, teremos:
;
-
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;
[
]
(
)
Se multiplicarmos por n, teremos:
|
Mas, sabemos que: {
De modo anlogo, calculamos
Logo:
*
+
ou
[
]
-
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d. {
A satisfaz as condies de Dirichlet.
Clculo dos Coeficientes
Como a funo mpar, ento .
[ ]
[ ]
[ ] {
(
)
VI. Funes Pares e mpares
Sejam g(x) e h(x) funes definidas no intervalo . Diz-se que:
Observao: O grfico da funo par g(x) simtrico em relao ao eixo das ordenadas.
O valor da funo mpar no ponto zero: .
Para calcular os coeficientes de Fourier de uma funo par e de uma funo mpar, verifiquemos
que:
-
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I)
II)
III) O produto de uma funo par g(x) por uma funo mpar h(x), mpar:
IV) O produto de uma funo par g(x) por uma funo par uma funo par:
-
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V) O produto de uma funo mpar h(x) por uma funo mpar uma funo par:
Concluso: Se uma funo uma funo par, uma funo mpar e:
Por outro lado, se uma funo mpar, mpar e:
Teorema I
A srie de Fourier de uma funo peridica par , que possui perodo , uma srie de Fourier
em cossenos:
Com coeficientes:
A srie de Fourier de uma funo peridica mpar , que possui perodo , uma srie de
Fourier em senos:
-
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Com coeficientes:
Consideremos par.
(1)
(2)
Mas como f par,
Somando-se (1) com (2):
Por outro lado,
Como so funes pares, temos:
*
+
*
+
*
+
*
+
-
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Consideremos agora mpar:
(1)
Como mpar, , ento:
(2)
Fazendo (1) (2):
Por outro lado,
Como so funes mpares:
*
+
*
+
*
+
*
+
-
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Logo, ao calcular os coeficientes da Srie de Fourier para uma funo que tenham simetria,
conveniente integrar de a , ao invs de a .
Algumas vezes interessante deslocar temporariamente ou o eixo vertical ou o horizontal ou ambos,
de maneira a criar uma funo par ou mpar e usar as simplificaes para formas de onda simtricas.
Exemplo 1: Verificar se as funes so pares, mpares ou nem pares nem mpares:
a.
Logo no nem par nem mpar.
b.
Logo, par.
c. | |
| |
Logo, mpar.
d.
Logo, no uma funo nem par, nem mpar.
e.
-
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Logo, uma funo par.
Exemplo 2: Determinar a Srie de Fourier da funo:
{
Como uma funo que apresenta simetria, conveniente integr-la no intervalo .
Clculo dos Coeficientes:
Como par,
|
Como a integral j foi calculada, sabemos que:
{
Portanto:
-
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Exemplo 3: Determine a Srie de Fourier para :
Embora pudssemos determinar a srie de diretamente, vamos relocalizar os eixos a fim de
usar as relaes de simetria, pois a no par nem mpar.
1 Caso: A subtrao de uma constante de
produz uma funo mpar :
Logo:
|
{
(
)
Portanto:
(
)
-
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2 Caso: Mudemos o eixo vertical para obter uma funo par
Logo:
(
)
|
(
)
{
(
)
Portanto:
(
)
Mas como:
(
)
(
)
Podemos reescrever :
(
), exatamente como obtido anteriormente.
-
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Exemplo 4: Desenvolver em Sries de Fourier as funes, supostas peridicas de perodo :
a.
Como par, temos que
|
(
) |
ou
(
)
Se substituirmos , teremos:
-
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b. {
Como mpar,
.
|
{
(
)
c.
Como par, temos que
( |
)
=0 (1 I.E.)
(
)
=0 (1 I.E.)
-
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{
d. | |
A satisfaz as condies de Dirichlet.
Clculo dos Coeficientes
Como | | uma funo par, temos que
*
+
Sabemos que
|
[
]
[ ]
[ ]
{
(
)
-
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Exemplo 5: Determinar a Srie de Fourier das funes peridicas de perodo T:
a. {
e
Como mpar, .
|
{
(
)
b. {
Como par, .
|
{
-
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(
)
c. ,
e
(
)
(
)
(
)|
{
(
)
(
)|
(
)
-
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d. , e
Como a funo no nem par nem mpar, teremos que
calcular .
|
|
|
|
|
|
Logo:
(
)
e. ,
e
-
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(
)
|
(
)|
(
)
Resolvermos a integral da seguinte forma:
(
)|
(
)|
{
Resolvermos a integral da seguinte forma:
-
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(
)|
(
(
))|
{
(
)
(
)
f.
Como sabemos que uma funo par, temos que .
( |
)
(
)
{
g. ,
(
)
[
|
]
(
)
{
-
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(
) (
)
h.
(
)
i.
Como sabemos que uma funo par, temos que
|
-
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Resolvermos a integral da seguinte forma:
(
)|
[ ]
[(
)
(
)
]
j.
Como uma funo par, temos que .
Mas temos que
(
)
,
(
) (
)
-
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k.
Como uma funo par, temos que .
Para calcular
, aplicaremos a soluo por partes duas vezes:
(
)
(
) [ ]
(
) [ ]
Ao multiplicarmos o resultado por
, teremos valendo:
(
) [ ]
(
) [ ]
-
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VII. Funes com Perodo Arbitrrio
At agora consideramos funes peridicas de perodo . Por uma simples mudana de varivel
podemos encontrar a Srie de Fourier para uma funo de perodo T qualquer.
Esta mudana de varivel feita pela seguinte transformao linear.
Seja definida no intervalo (
):
(1)
(2)
Somando membro a membro (1) e (2):
Substituindo em (1):
Ento:
Vamos, pois, trocar a varivel t por x, onde
, logo a (
) definida no intervalo .
Assim:
(
)
Com coeficientes:
(
)
(
)
(
)
-
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Para facilitar os clculos, faamos
Com coeficientes:
O intervalo de integrao pode ser substitudo por qualquer intervalo de comprimento T, por
exemplo,
O Teorema I se verifica para funes pares e mpares, peridicas de perodo T qualquer.
Seja uma funo qualquer, definida num intervalo fechado [ ].
Podemos definir o intervalo T como sendo:
-
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Ento, possvel generalizar a Srie de Fourier descrita acima como:
(
)
Exemplo 1: Determinar a Srie de Fourier da funo , peridica de perodo .
{
Temos que:
Como par:
-
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|
{
(
)
Exemplo 2: Determinar a Srie de Fourier em [ ] da funo .
{
(
)
-
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Exemplo 3: Determine a srie de Fourier da funo , dada por:
A funo pode ser definida como:
,
(
)
(
)
Embora essas integrais possam ser calculadas diretamente, os clculos podem ser simplificados
consideravelmente, mediante o seguinte raciocnio: Designemos por a extenso peridica de a todo o
eixo dos x. Ento, as funes e so peridicas com perodo 2, e temos:
Para qualquer nmero real a. Neste ponto, nos apoiamos no fato bvio de ser contnua por partes
em com perodo . Ento,
Para qualquer par de nmeros reais [ ]. Faremos agora , para obtermos:
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Mas, no intervalo [ ], coincide com a funo par | |, onde para todo k, e:
{
VIII. Sries em Senos e Sries em Cossenos
Desenvolvimento de meio perodo.
Se for par, a srie de Fourier fica:
(1)
Com coeficientes:
(2)
prolongada como funo par.
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Se for mpar, a srie de Fourier fica:
Com coeficientes:
Prolongamento peridico mpar.
Observao: Constatamos que (2) e (4) empregam unicamente os valores de do intervalo .
Para uma funo definida somente neste intervalo podemos formar as sries (1) e (3). Se a funo
satisfaz as condies de Dirichlet, ambas as sries representam a funo no intervalo . Fora deste
intervalo, a srie (1) representar o prolongamento peridico par da , tendo perodo ; e a (3) o
prolongamento peridico mpar da .
-
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Exemplo 1: Encontrar a Srie de Fourier em cossenos da funo definida no intervalo e fazer o
grfico do prolongamento peridico correspondente.
{
(
)
|
(
)
|
{
Logo:
(
)
-
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Exemplo 2: Representar por meio da Srie de Fourier em cossenos e fazer o prolongamento peridico
correspondente.
a. ,
Prolongamento peridico par.
(
|
*
+
)
(
)
Calculemos a integral:
;
(*
+
*
+
*
+
)
(
)
{
Seja:
-
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(
)
Exemplo 3: Representar por meio da Srie de Fourier em senos e fazer o prolongamento peridico
correspondente da seguinte funo:
Mas temos que:
[
]
(
)
(
)
{
(
)
-
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IX. Igualdade de Parseval
Se uma funo qualquer de [ ] ento:
Onde e so os coeficientes de Fourier.
De fato:
*
+
Multiplicando (no sentido do produto interno) a equao(1) por obtm-se:
Tendo em vista que:
=
( )
Conclui-se que:
(
)
(
)
-
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Observao: Em geral,
onde , ,..., um conjunto ortogonal de vetores de um espao de dimenso infinita(espao euclidiano)V.
Assim, um vetor arbitrrio de V. Alm disso, , ..., uma base de v se , e somente se :
X. Convergncia das Sries de Fourier
a. Convergncia Pontual
Seja f(x) contnua por partes em , com perodo e suponhamos que:
[ ]
para todo x. Ento, a srie de Fourier em cada ponto em que f tem derivadas direita e esquerda.
Quando f continua
,
-
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b. Convergncia em Mdia
[ ]
Mais uma vez ressaltamos que a srie converge em mdia para f, e no que converge pontualmente,
no sentido que
para todo em [ ] A convergncia
pontual ocorre, surpreendentemente, quando f razoavelmente bem comportada.
,
Neste caso a srie converge tambm pontualmente para f nos pontos de [ ] onde est
definida. Alm disso, quando , a srie converge para zero, embora no esteja definida nesses
pontos.
Teorema
Seja uma funo continuamente diferencivel por partes em [ ], com o que entendemos
que f tem uma derivada primeira contnua por partes em [ ]. Ento, o desenvolvimento em srie de
Fourier de converge pontualmente em [ ] e tem o valor:
Observao: (
)
a mdia dos limites esquerda e a direita de em , e igual a quando
um ponto de continuidade de .
-
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Assim, podemos afirmar que a srie
[
]]
converge pontualmente no intervalo [ ] para
c. Convergncia Absoluta e uniforme
Teorema
Seja uma funo contnua em , com perodo , e suponhamos que tenha derivada
primeira contnua por partes. Ento, a srie de Fourier de converge uniforme e absolutamente para em
todo intervalo fechado do eixo x.
Teorema
Seja continuamente diferencivel por partes e peridica em com perodo . Ento a
srie de Fourier de converge uniformemente para em qualquer intervalo fechado do eixo x que no
contenha ponto de descontinuidade de .
-
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XI. Derivao e Integrao das Sries de Fourier
Teorema
Seja f uma funo contnua em , com perodo , e suponhamos que tenha derivada
primeira, , contnua por partes. Ento, a srie de Fourier de pode ser obtida derivando a srie de
termo a termo, e a srie derivada converge pontualmente para se existe:
Teorema
Seja f uma funo contnua por partes em com perodo , e seja
, a srie de Fourier de .Ento:
Em outras palavras, a integral definida de , de a at b, pode ser calculada integrando-se a srie de
Fourier de termo a termo:
-
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Teorema da Integral
Seja uma funo arbitrria de [ ] com Srie de Fourier dada por:
Ento, a funo
tem uma srie de Fourier que converge pontualmente com
relao a todo x do intervalo e
[
]
Exemplo 1: [ ]
{
( ) {
-
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Exemplo 2: 0
a. , -
b. ( ) {
{
(
)
XII. Forma Complexa das Sries de Fourier
(
)
Onde pode ser escrito sob a forma complexa. Escreva:
E introduza estas expresses na Srie de Fourier. conveniente definir:
{
-
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Ento, a Srie de Fourier pode ser escrita, sua forma complexa, da seguinte maneira:
Observao:
,
Exemplo 1: Ache a Srie Complexa de Fourier de:
,
{
-
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XIII. Aplicaes das Sries de Fourier
a. Circuitos RLC
(
)
(
)
-
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(
)
b. Deflexo em Vigas
Onde
a rigidez da viga e a carga por unidade de comprimento. Temos tambm que
.
(
)
(
)
(
)
Mas temos que a Srie de Fourier de :
(
)
(
)
{
-
Pgina 56 / 57
{
(
)
-
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Atravs desse estudo, pudemos entender um pouco mais sobre as Sries de Fourier, alm de suas
peculiaridades abordadas de forma especfica nas diversas sees. Foi possvel tambm notar a grande
importncia da mesma para a descrio de fenmenos naturais e a facilidade que ela prope para tal estudo.
Com isso, pode-se afirmar que tal ferramenta essencial para as sociedades poderem interagir com a
natureza de maneira cada vez mais eficaz.
Agradecimentos
Aos amigos Bruno Csar Gimenez, Pedro Gall Fernandes e Liziane Freitas Possmoser pelo empenho,
dedicao e auxlio na elaborao, desenvolvimento e concluso deste estudo.
Ao professor Dr. Altair de Assis pelo material cedido para pesquisa e ateno assistida nos diversos
itens enunciados.
Referncias
[1] Butkov, Eugene, Mathematical Physics, 1 edio (1988)
[2] Assis, Altair S. de, Sries de Fourier 2010
[3] Assis, Altair S. de, Sries de Fourier: Mudana de Intervalo
[4] Assis, Altair S. de, Convergncia das Sries de Fourier
[5] Assis, Altair S. de, Apndice 1
[6] Assis, Altair S. de, Forma Complexa das Sries de Fourier