trabajo fourier

MATEMÁTICA SUPERIOR -

INGENIERIA EN SISTEMAS

Prof. Marina Bloeck

Lic. Nori Cheein de Auat

Alumno: Nuñez, Juan Francisco Martin

10 5 10 15 20 25 30

-2

-1

0

1

2f(t)=cos(3t)+cos((3+pi)

t

f(t)

Series de Fourier

El nombre se debe al matemático francés Jean-Baptiste Joseph Fourier que desarrolló la

teoría cuando estudiaba la ecuación del calor. Fue el primero que estudió tales series

sistemáticamente, y publicando sus resultados iniciales en 1807 y 1811. Esta área de

investigación se llama algunas veces Análisis armónico.

Es una aplicación usada en muchas ramas de la ingeniería, además de ser una

herramienta sumamente útil en la teoría matemática abstracta. Areas de aplicación

incluyen análisis vibratorio, acústica, óptica, procesamiento de imágenes y señales, y

compresión de datos. En ingeniería, para el caso de los sistemas de telecomunicaciones,

y a través del uso de los componentes espectrales de frecuencia de una señal dada, se

puede optimizar el diseño de un sistema para la señal portadora del mismo. Refierase al

uso de un analizador de espectros.

Representación mediante una serie de Fourier

Si una función f , de la variable independiente t, con periodo π2 es seccionalmente

continua en el intervalo ππ ≤≤− t y tiene derivada por izquierda y por derecha en

cada punto de ese intervalo, entonces la serie de Fourier correspondiente es

convergente. Si la serie de Fourier es correspondiente a una función f converge con la

suma de f(t) se dirá que se trata de una seria de la s0erie de Fourier de f y se escribe:

KK ++++++= )()cos(cos2

f(t) 11

0 ntsenbntasentbtaa

nn (1)

Pero esta serie (1) se puede expresar de una forma más breve:

)cos(2

)f(1

0 senntbntaa

tn

nn∑∞

=

++=

Los coeficientes )( 0 nnbaa para funciones con este periodo se obtienen a partir de:

∫−

=

π

ππ

dttfa )(1

0 ∫−

=

π

ππ

ntdttfan cos)(1

∫−

=

π

ππ

ntdttfbn sin)(1



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2

Funciones que tienen periodo arbitrario

Si la función no tiene periodo π2 necesitamos hacer una transición de este periodo a las

que tienen cualquier periodo T. Supongamos que f(t) (t variable independiente) tenga un

periodo T; entonces puede introducirse una nueva variable x tal que f, como función de

x tenga periodo π2 .

tT

xxT π

π

2

2t =⇒=

Esto significa que f como función de x tiene periodo π2 . Ahora expresamos la serie de

la siguiente forma:

)cos(22

f)f(1

0 senntbntaa

xT

tn

nn∑∞

=

++=

=

π

Con coeficientes )( 0 nnbaa obtenidos a partir de las formulas de Euler:

∫ ∫∫− −−

=−

=−

=

π

π

π

π

π

πππππππ

sennxdxxT

bnxdxxT

adxxT

a nn2

f1

cos2

f1

2f

10

Pero dado que tT

xxT π

π

2

2t =⇒= , se tiene que dt

Tdx

π2= y el intervalo de

integración sobre el eje x corresponde al intervalo:

22

Tt

T≤≤

−(2)

A continuación mostraremos por que los extremos de integración toman esos valores

(2)

π−

+=x , entonces xT

π2:

Valor asumido: π−=x

222

TTx

T −=−= π

ππ



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3

Valor asumido: π=x

222

TTx

T== π

ππ

En consecuencia:

∫−

=2

2

0 )f(2

T

T

dttT

a

∫−

=2

2

2cos)f(

2

T

T

n tdtT

nt

Ta

π

∫−

=2

2

2sin)f(

2

T

T

n tdtT

nt

Tb

π

A partir de estos resultados expresamos la serie de Fourier de la siguiente manera:

∑ ∑∞

=

∞

=

++=1 1

0 2sin

2cos

2)f(

n n

nn tT

nbt

T

na

at

ππ

EL INTERVALO DE INTEGRACION PUEDE REEMPLAZARSE POR CUALQUIER

INTERVALO DE LONGITUD T

Funciones pares e impares:

Ciertas propiedades de las funciones se reflejan en sus series de Fourier

Función par:

Sea f(x) una función de valor real de una variable real. Entonces f es par si se satisface

la siguiente ecuación para todo x en el dominio de f:



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4

)f()f( xx =−

Algunos ejemplos de funciones pares son: xxxx ),cos(,, 24

Desde un punto de vista geométrico, una función par es simétrica con respecto al eje

y, lo que quiere decir que su gráfica no se altera luego de una reflexión sobre el eje y.

Si f es par entonce el integrando ∫−

=2

2

2sin)f(

2

T

T

n tdtT

nt

Tb

π es impar y 0=nb

Función impar:

Nuevamente, sea f(x) una función valor real de una variable real. Entonces f es impar si

se satisface la siguiente ecuación para todo x en el dominio de f:

)f()f( xx −=−

Algunos ejemplos de funciones impares: )sin(,,3xxx



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5

Desde un punto de vista geométrico, una función impar posee una simetría rotacional

con respecto al origen de coordenadas, lo que quiere decir que su gráfica no se altera

luego de una rotación de 180 grados alrededor del origen.

IMPORTANTE: En las series de Fourier las funciones impares aparecen solo los

términos de la función seno. En las series de Fourier correspondientes a funciones pares

aparecen solo los términos del coseno.

Si f es impar el integrando ∫−

=2

2

2cos)f(

2

T

T

n tdtT

nt

Ta

πes par y 0=na

Series de Fourier de funciones pares e impares

La serie de Fourier de una función par f(t) de periodo T es una serie cosenoidal de

Fourier

∑∞

=

+=1

0 2cos

2)f(

n

n tT

na

at

π

Con coeficientes:

∫=2

0

0 )f(4

T

dttT

a ∫=

2

0

2cos)f(

4

T

n tdtT

nt

Ta

π



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6

La serie de Fourier de una función impar f(t) de periodo T es una serie senoidal de

Fourier

∑∞

=

=1

2sin)f(

n

n tT

nbt

π

∫=2

0

2sin)f(

4

T

n tdtT

nt

Tb

π

Desarrollos de medio rango

En problemas de la física e ingeniería es necesario aplicar las series de Fourier a

funciones escalares que solo están definidas sobre algún intervalo finito.

f(t)(t)f1 = con (t)f1 par y un intervalo Lt0 ≤≤ , 1f recibe el nombre de extensión

periódica PAR

Ahora este es nuestro intervalo finito: Lt0 ≤≤ si hacemos 2

TL = por lo tanto

Lt0 ≤≤ se corresponde con el intervalo de integración 2

0T

t ≤≤

Empleando nuestro intervalo de medio rango y periodo LT 2= a una serie cosenoidal

se obtiene:

∑∞

=

+=1

0 cos2

)f(n

n tL

na

at

π

Con coeficientes:

∫=

L

dttL

a0

0 )f(2

∫=

L

n tdtL

nt

La

0

cos)f(2 π

De manera analoga se obtiene una serie senosoidal de Fourier, la cual representa una

función impar. f(t)(t)f 2 = con Lt0 ≤≤ , 2f recibe el nombre de extensión periódica

IMPAR. Se deduce que:

∑∞

=

=1

sin)f(n

n tL

nbt

π y con coeficientes ∫=

L

n tdtL

nt

Lb

0

sin)f(2 π



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7

Forma compleja de una serie de Fourier

Consideremos una serie de Fourier para una función periódica f(t) con periodo 0

2

ϖ

π=T .

A partir de este periodo rescribimos la serie de Fourier:

∑ ∑∞

=

∞

=

++=1 1

0 2sin

2cos

2)f(

n n

nn tT

nbt

T

na

at

ππ(1)

Quedando de la siguiente manera:

∑ ∑∞

=

∞

=

++=1 1

000 sincos2

1)f(

n n

nn tnbtnaat ωω(2)

Para facilitar los cálculos obtenemos una formula alternativa utilizando las formulas de

Euler



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( )

( )

1

)4(2

1sin

)3(2

1cos

00

00

0

0

−=

−=

+=

−

−

j

eej

tn

eetn

jtnjtn

jtnjtn

ϖϖ

ϖϖ

ω

ω

Sustituyendo (3) y (4) en (2).

( ) ( )∑∞

=

−−

−+

++=

1

00000

2

1

2

1

2

1)f(

n

jtnjtn

n

jtnjtn

n eej

beeaatϖϖϖϖ

Por propiedad matemática jj

−=1

∑∞

=

−

++−+=

1

0 )(2

1)(

2

1

2

1)f( 00

n

nn

jtn

nn

jtnjbaejbaeat

ϖϖ

Definiendo:

)(2

1);(

2

1;

2

100 jbacjbacac nnnnnn +=−== −

Obteniendo así resultados congruentes con la formula para nb ya que nb corresponde a

la función seno y es impar f(t)t)f(bb nn −=−∧=− . La serie puede escribirse como:

∑∞

∞−

= 0f(t)ωjnt

nc

A la expresión obtenida se le llama forma compleja de la serie de Fourier



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Teorema de PARSEVAL

El promedio o valor medio de una señal cualquiera f(t) en un periodo T se puede

calcular como la altura de un rectángulo que tenga la misma área que el área bajo la

curva de f(t)

De acuerdo a lo anterior, si una función periódica f(t) representa una señal de voltaje o

corriente, la potencia promedio entregada a una carga resistiva de 1 ohm en un periodo

está dada por

Si f(t) es periódica, también lo será y el promedio en un periodo será el

promedio en cualquier otro periodo.

El teorema de PARSEVAL nos permite calcular la integral de

Una consecuencia importante es:

f(t)

h=Altura

promedio

∫=

T

dttfArea0

)(

T

Area=Th

∫−

2

2

21 )]([

T

T

Tdttf

2)]([ tf2)]([ tf

( )∑∫∞

=−

++=1

222

2

2

021

2)]([

n

nn

T

T

Tba

adttf



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10

∫

∫

−∞→

−∞→

=

=

2

2

2

2

0cos)(lim

0sin)(lim

T

Tn

T

Tn

dtT

tntf

dtT

tntf

π

π

Que se conoce como el teorema de Riemann.

Diferenciación termino a término

Vamos a considerar a las series de Fourier como posibles soluciones de ecuaciones

diferenciales. Supongamos una función f continua para toda t, periodica y con

periodo 2L, y que su derivada 'f es suave por partes para toda t. Entonces la serie de

Fourier de 'f es la serie:

∑

+−=′

L

nb

L

n

L

tna

L

nt nn

ππππcossin)(f esta serie se obtuvo diferenciando termino

a termino )cos(2

)f(1

0 senntbntaa

tn

nn∑∞

=

++=

Transformadas finitas de Fourier

La transformada finita de seno de Fourier Lttf ≤≤0),( se define como:

∫=

L

s dtL

tntfnf

0

sin)()(π

Donde n es un entero. La función f(t) se llama inversa de la transformada finita del seno

de Fourier de )(nf s y esta definida por:

∑∞

=

=1

sin)(2

)(n

sL

tnnf

Ltf

π

La transformada finita de coseno de Fourier Lttf ≤≤0),( se define como:

∫=

L

c dtL

tntfnf

0

cos)()(π



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Donde n es un entero. La función f(t) se llama inversa de la transformada finita del

coseno de Fourier de )(nf c y esta dada por:

∑∞

=

+=1

cos)(2

)0(1

)(n

ccL

tnnf

Lf

Ltf

π

La FFT (TRANSFORMADAS FINITAS DE FOURIER) ha hecho posible el desarrollo

de equipo electrónico digital con la capacidad de cálculo de espectros de frecuencia para

señales del mundo real, por ejemplo:

• Osciloscopio digital Fuke 123

• Osc. Digital Tektronix THS720P

• Power Platform PP-4300

Osciloscopio digital

Fuke 123

Osc. Digital Tektronix

THS720P

Power Platform PP-4300



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Integral de Fourier

f(x) satisface las siguientes condiciones:

1) )(xf satisface las condiciones de Drichlet en cada intervalo finito ππ ≤≤− t

2) dttf∫∞

∞−

)( es convergente, es decir es absolutamente integrable en ∞≤≤∞− t

Entonces el teorema de la integral de Fourier establece que:

{ }∫∞

+=0

)sin()()cos()()( λλλλλ dtBtAtf

De donde

dtttfA ∫∞

∞−

= )cos()(1

)( λπ

λ

dtttfB ∫∞

∞−

= )sin()(1

)( λπ

λ

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